Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{8}{9} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{8}{9} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{8}{3} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{2} + e^{- 2 x - 3}$

$f'(x) =$ $- 4 x + e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $- 4 x - 2 e^{- 2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{4} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(16 x^{3} - 3) \cdot e^{- 2 x} + (4 x^{4} - 3 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(16 x^{3} - 3) \cdot e^{- 2 x} + (4 x^{4} - 3 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(16 x^{3} - 3) \cdot e^{- 2 x} - 2 (4 x^{4} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (16 x^{3} - 3 + (- 8 x^{4} + 6 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{4} + 16 x^{3} + 6 x - 3)$

= $(- 8 x^{4} + 16 x^{3} + 6 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x \cdot \ln (x^{2} - 8)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $3 x \cdot \ln (x^{2} - 8)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \ln (x^{2} - 8) + 3 x \cdot \frac{1}{x^{2} - 8} \cdot (2 x + 0)$

= $3 \ln (x^{2} - 8) + 3 x \cdot \frac{1}{x^{2} - 8} \cdot (2 x)$

= $3 \ln (x^{2} - 8) + 3 x \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 8}$

= $3 \ln (x^{2} - 8) + 6 \frac{x \cdot x}{x^{2} - 8}$

= $3 \ln (x^{2} - 8) + 6 \frac{x^{2}}{x^{2} - 8}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x + 3)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 5 x + 3)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (- 5 x + 3) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (- 5 x + 3) \cdot (- 5 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (- 5 x + 3) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 5 x + 3) \cdot (- 5 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 5 x + 3)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 5 x + 3) \cdot (- 5))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 5 x + 3)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 5 \cdot \sin (- 5 x + 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 5 x + 3)}{\sqrt{x}} + 5 \sqrt{x} \cdot \sin (- 5 x + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 92)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 5$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x + 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1,4 x + 2,2)$

= $(1,4 x + 2,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten