$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $\frac{9}{14}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-4x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-4x-1}+x^3·e^{-4x-1}·\left(-4\right)$

= $3x^2·e^{-4x-1}+x^3·\left(-4e^{-4x-1}\right)$

= $3x^2·e^{-4x-1}-4x^3·e^{-4x-1}$

= $e^{-4x-1}·\left(-4x^3+3x^2\right)$

= $\left(-4x^3+3x^2\right)·e^{-4x-1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·x^5+e^{2x}·5x^4$

= $2·e^{2x}{x}^5+5·e^{2x}{x}^4$

= $e^{2x}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $4x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·\ln \left(x\right)+4x·\frac{1}{x}·1$

= $4\ln \left(x\right)+4x·\frac{1}{x}$

= $4\ln \left(x\right)+4$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-6\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{2x}+\left(x-6\right)·e^{2x}·2$

= $e^{2x}+\left(x-6\right)·2e^{2x}$

= $e^{2x}+2\left(x-6\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x-11\right)$

= $\left(2x-11\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+84\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(x-2\right)$

= $\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$