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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x + 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{4 x + 4} + x^{2} \cdot e^{4 x + 4} \cdot 4$

= $2 x \cdot e^{4 x + 4} + x^{2} \cdot 4 e^{4 x + 4}$

= $2 x \cdot e^{4 x + 4} + 4 x^{2} \cdot e^{4 x + 4}$

= $e^{4 x + 4} \cdot (4 x^{2} + 2 x)$

= $(4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{4 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $9 e^{3 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x) + x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $3 x^{2} \ln (x) + x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $3 x^{2} \ln (x) + x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 5) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 5) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (2 x + 5) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + (2 x + 5) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (2 x + 5) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 1,1)}^{47} \cdot e^{- 1,1 x}$

= $- 88,197485258975 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 4$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x + 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 4$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 4$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 4 + 1,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x}$