Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{9}{8} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{9}{8} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{9}{8} e^{x}$

= $\frac{9}{8} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} + 1) \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} + 1) \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 0) \cdot e^{2 x - 2} + (5 x^{5} + 1) \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $25 x^{4} \cdot e^{2 x - 2} + (5 x^{5} + 1) \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $25 x^{4} \cdot e^{2 x - 2} + 2 (5 x^{5} + 1) \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (10 x^{5} + 25 x^{4} + 2)$

= $(10 x^{5} + 25 x^{4} + 2) \cdot e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} + 5} \cdot 4 x$

= $- 8 \cdot e^{2 x^{2} + 5} x$

= $- 8 x e^{2 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x + 1} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{5 x + 5}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{5 x + 5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{5 x + 5} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{5 x + 5} \cdot 5$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{5 x + 5} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{5 x + 5} \cdot 5$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{5 x + 5}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 e^{5 x + 5}$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{5 x + 5}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 5 \sqrt[3]{x} \cdot e^{5 x + 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 7$

= $3 e^{- 0,3 x} + 3 (x - 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 7$

= $3 e^{- 0,3 x} - 0,9 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 7$

= $3 e^{- 0,3 x} + 7 - 0,9 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten