$\text{f(x)}=$ $-e^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $-\frac{1}{4}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-5x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-5x+5}+x^2·e^{-5x+5}·\left(-5\right)$

= $2x·e^{-5x+5}+x^2·\left(-5e^{-5x+5}\right)$

= $2x·e^{-5x+5}-5x^2·e^{-5x+5}$

= $e^{-5x+5}·\left(-5x^2+2x\right)$

= $\left(-5x^2+2x\right)·e^{-5x+5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·\left(-3x-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·\left(-3x-5\right)+e^{3x}·\left(-3+0\right)$

= $3·e^{3x}\left(-3x-5\right)+e^{3x}·\left(-3\right)$

= $3·e^{3x}\left(-3x-5\right)-3e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(-9x-18\right)$

= $\left(-9x-18\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $6x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $12x·\ln \left(x\right)+6x^2·\frac{1}{x}·1$

= $12x\ln \left(x\right)+6x^2·\frac{1}{x}$

= $12x\ln \left(x\right)+6x$

$\text{f(x)}=$ $-\sin \left(-2x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(-2x+4\right)·\left(-2+0\right)$

= $-\cos \left(-2x+4\right)·\left(-2\right)$

= $2\cdot \cos \left(-2x+4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^x·\left(x+87\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,7}x}-3\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{2,1}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{2,1}x-\mathrm{17,7}\right)$

= $\left(\mathrm{2,1}x-\mathrm{17,7}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$