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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x^{4}} + 3 e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{x^{4}} + 3 e^{- 3 x + 4}$

= $- 2 x^{- 4} + 3 e^{- 3 x + 4}$

=> f'(x) = $8 x^{- 5} + 3 e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{x^{5}} + 3 e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $\frac{8}{x^{5}} - 9 e^{- 3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x + 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x + 3} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} - 5} \cdot (12 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{3} - 5} \cdot (12 x^{2})$

= $12 \frac{x^{2}}{4 x^{3} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (2 x - 8) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $2 \cdot \sin (- 2 x) + (2 x - 8) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $2 \cdot \sin (- 2 x) - 2 (2 x - 8) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,157625 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,157625 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,21550625 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${(- 1,05)}^{75} \cdot e^{- 1,05 x}$

= $- 38,832685923756 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 8$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $5 e^{- 0,4 x} + 5 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $5 e^{- 0,4 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 2 x - 5)$

= $(- 2 x - 5) \cdot e^{- 0,4 x}$