Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} - 2) \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} - 2) \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} + 0) \cdot e^{2 x - 5} + (5 x^{3} - 2) \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $15 x^{2} \cdot e^{2 x - 5} + (5 x^{3} - 2) \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $15 x^{2} \cdot e^{2 x - 5} + 2 (5 x^{3} - 2) \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (10 x^{3} + 15 x^{2} - 4)$

= $(10 x^{3} + 15 x^{2} - 4) \cdot e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} + 8 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 25 x^{4} + 8 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 25 x^{4} + 8 x) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 5 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{5} - 12 x^{2} + (- 25 x^{4} + 8 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{5} - 25 x^{4} - 12 x^{2} + 8 x)$

= $(15 x^{5} - 25 x^{4} - 12 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x - 2)$

$f'(x) =$ $12 x \cdot \ln (x - 2) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 2} \cdot (1 + 0)$

= $12 x \ln (x - 2) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 2} \cdot (1)$

= $12 x \ln (x - 2) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 2}$

= $12 x \ln (x - 2) + 6 \frac{x^{2}}{x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 9) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 9) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x - 9) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\sin (x^{2}) + (x - 9) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\sin (x^{2}) + 2 (x - 9) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $5 e^{- 0,7 x} + 5 (x + 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $5 e^{- 0,7 x} - 3,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3,5 x - 5,5)$

= $(- 3,5 x - 5,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten