Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{6}{7} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{3}} - e^{- x - 5} - 5 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{3}} - e^{- x - 5} - 5 \cdot \sin (x)$

= $- x^{- 3} - e^{- x - 5} - 5 \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $3 x^{- 4} - e^{- x - 5} \cdot (- 1) - 5 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{x^{4}} - e^{- x - 5} \cdot (- 1) - 5 \cdot \cos (x)$

= $\frac{3}{x^{4}} + e^{- x - 5} - 5 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 12 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 12 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{2 x} + 2 (- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{4} + 8 x^{3} + (- 12 x^{3} + 12 x^{2}))$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{4} - 4 x^{3} + 12 x^{2})$

= $(- 6 x^{4} - 4 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x \cdot \ln (x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x \cdot \ln (x + 4)$

$f'(x) =$ $1 \cdot \ln (x + 4) + x \cdot \frac{1}{x + 4} \cdot (1 + 0)$

= $\ln (x + 4) + x \cdot \frac{1}{x + 4} \cdot (1)$

= $\ln (x + 4) + x \cdot \frac{1}{x + 4}$

= $\ln (x + 4) + \frac{x}{x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (3 x) + (2 x + 2) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 \cdot \sin (3 x) + (2 x + 2) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 \cdot \sin (3 x) + 3 (2 x + 2) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,157625 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,157625 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,21550625 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${1,05}^{74} \cdot e^{1,05 x}$

= $36,983510403577 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 3$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x + 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 3$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 3$

= $2 e^{- 0,8 x} + 3 - 1,6 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten