$\text{f(x)}=$ $2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2+3\right)·e^{2x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·e^{2x+3}+\left(3x^2+3\right)·e^{2x+3}·2$

= $6x·e^{2x+3}+\left(3x^2+3\right)·2e^{2x+3}$

= $6x·e^{2x+3}+2\left(3x^2+3\right)·e^{2x+3}$

= $e^{2x+3}·\left(6x^2+6x+6\right)$

= $\left(6x^2+6x+6\right)·e^{2x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+1\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{2x}+\left(2x+1\right)·e^{2x}·2$

= $2e^{2x}+\left(2x+1\right)·2e^{2x}$

= $2e^{2x}+2\left(2x+1\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(4x+4\right)$

= $\left(4x+4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $5x^3·\ln \left(x^2+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $15x^2·\ln \left(x^2+4\right)+5x^3·\frac{1}{x^2+4}·\left(2x+0\right)$

= $15x^2\ln \left(x^2+4\right)+5x^3·\frac{1}{x^2+4}·\left(2x\right)$

= $15x^2\ln \left(x^2+4\right)+5x^3·2\frac{x}{x^2+4}$

= $15x^2\ln \left(x^2+4\right)+10\frac{x^3·x}{x^2+4}$

= $15x^2\ln \left(x^2+4\right)+10\frac{x^4}{x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-4\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-3x}+\left(3x-4\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}+\left(3x-4\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3e^{-3x}-3\left(3x-4\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-9x+15\right)$

= $\left(-9x+15\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+90\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,9}x}+5\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{4,5}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{4,5}x-22\right)$

= $\left(-\mathrm{4,5}x-22\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$