$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{4x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{4x+3}+x^3·e^{4x+3}·4$

= $3x^2·e^{4x+3}+x^3·4e^{4x+3}$

= $3x^2·e^{4x+3}+4x^3·e^{4x+3}$

= $e^{4x+3}·\left(4x^3+3x^2\right)$

= $\left(4x^3+3x^2\right)·e^{4x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x-2}·\left(-3\right)$

= $9e^{-3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{4x}·4$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+8\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{3x}+\left(3x+8\right)·e^{3x}·3$

= $3e^{3x}+\left(3x+8\right)·3e^{3x}$

= $3e^{3x}+3\left(3x+8\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(9x+27\right)$

= $\left(9x+27\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^x·\left(x+83\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,9}x}+4\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{3,6}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{3,6}x-\mathrm{10,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{3,6}x-\mathrm{10,4}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$