Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{11}{8} e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{11}{8} e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{11}{8} e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{55}{64} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{4} - 3) \cdot e^{- 4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{4} - 3) \cdot e^{- 4 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 16 x^{3} + 0) \cdot e^{- 4 x + 2} + (- 4 x^{4} - 3) \cdot e^{- 4 x + 2} \cdot (- 4)$

= $- 16 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 2} + (- 4 x^{4} - 3) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 2})$

= $- 16 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 2} - 4 (- 4 x^{4} - 3) \cdot e^{- 4 x + 2}$

= $e^{- 4 x + 2} \cdot (16 x^{4} - 16 x^{3} + 12)$

= $(16 x^{4} - 16 x^{3} + 12) \cdot e^{- 4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{e^{- x}}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{e^{- x}}{x^{4}}$

$f'(x) =$ $\frac{e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{4} - e^{- x} \cdot 4 x^{3}}{{(x^{4})}^{2}}$

= $\frac{- e^{- x} x^{4} - 4 \cdot e^{- x} x^{3}}{{(x^{4})}^{2}}$

= $\frac{- x^{4} \cdot e^{- x} - 4 x^{3} \cdot e^{- x}}{x^{8}}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $21 x^{2} \cdot \ln (x) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $21 x^{2} \ln (x) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $21 x^{2} \ln (x) + 7 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x - 3) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\sin (x^{2}) + (x - 3) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\sin (x^{2}) + 2 (x - 3) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $2 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 2,1 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 2,1 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $2,205 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $2,205 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 2,31525 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,31525 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $2,4310125 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${(- 1,05)}^{61} \cdot 2 e^{- 1,05 x}$

= $- 39,226290377658 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 5$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 5$

= $- 3 e^{- 0,9 x} + 2,7 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 5 + 2,7 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten