Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 2 e^{\frac{3}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 2 e^{\frac{3}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{3}{2} x} \cdot \frac{3}{2}$

= $- 3 e^{\frac{3}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 4 x) \cdot e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 4 x) \cdot e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x + 5} + (- 5 x^{3} + 4 x) \cdot e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $(- 15 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x + 5} + (- 5 x^{3} + 4 x) \cdot 3 e^{3 x + 5}$

= $(- 15 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x + 5} + 3 (- 5 x^{3} + 4 x) \cdot e^{3 x + 5}$

= $e^{3 x + 5} \cdot (- 15 x^{2} + 4 + (- 15 x^{3} + 12 x))$

= $e^{3 x + 5} \cdot (- 15 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x + 4)$

= $(- 15 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x + 4) \cdot e^{3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{x^{3} + 2} \cdot 3 x^{2}$

= $6 \cdot e^{x^{3} + 2} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 4 x^{2}} \cdot (6 x^{2} + 8 x)$

= $\frac{6 x^{2} + 8 x}{2 x^{3} + 4 x^{2}}$

= $\frac{2 \cdot 1 \cdot (3 x + 4)}{2 x \cdot (x + 2)}$

= $\frac{2 (3 x + 4)}{2 x \cdot (x + 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x - 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{3} \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{3} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 2})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2} - 4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 2}$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,857375 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,857375 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,81450625 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${0,95}^{74} \cdot e^{0,95 x}$

= $0,022467088258818 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 6$

= $e^{- 0,3 x} + (x - 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 6$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 6$

= $e^{- 0,3 x} + 6 - 0,3 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten