$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{5}{8}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{8}{e}^x$

= $\frac{5}{8}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{x-3}-\cos \left(x\right)-x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{x-3}·1+\sin \left(x\right)-2x$

= $-2e^{x-3}+\sin \left(x\right)-2x$

$\text{f(x)}=$ $2e^{x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{x-1}·1$

= $2e^{x-1}$

$\text{f(x)}=$ $5x^3·\ln \left(x^2-8\right)$

$\text{f'(x)}=$ $15x^2·\ln \left(x^2-8\right)+5x^3·\frac{1}{x^2-8}·\left(2x+0\right)$

= $15x^2\ln \left(x^2-8\right)+5x^3·\frac{1}{x^2-8}·\left(2x\right)$

= $15x^2\ln \left(x^2-8\right)+5x^3·2\frac{x}{x^2-8}$

= $15x^2\ln \left(x^2-8\right)+10\frac{x^3·x}{x^2-8}$

= $15x^2\ln \left(x^2-8\right)+10\frac{x^4}{x^2-8}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[3]{x}·e^{-3x}$

= $x^{\frac{1}{3}}·e^{-3x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}·e^{-3x}+x^{\frac{1}{3}}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}·e^{-3x}+\sqrt[3]{x}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\frac{1}{3}\frac{e^{-3x}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+\sqrt[3]{x}·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\frac{1}{3}\frac{e^{-3x}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}-3\sqrt[3]{x}·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,520875}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,520875}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,74900625}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{40}·e^{-\mathrm{1,15}x}$

= $\mathrm{267,8635462347}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$