$\text{f(x)}=$ $-5+e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2-4x\right)·e^{-3x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x-4\right)·e^{-3x-2}+\left(2x^2-4x\right)·e^{-3x-2}·\left(-3\right)$

= $\left(4x-4\right)·e^{-3x-2}+\left(2x^2-4x\right)·\left(-3e^{-3x-2}\right)$

= $\left(4x-4\right)·e^{-3x-2}-3\left(2x^2-4x\right)·e^{-3x-2}$

= $e^{-3x-2}·(4x-4+\left(-6x^2+12x\right))$

= $e^{-3x-2}·\left(-6x^2+16x-4\right)$

= $\left(-6x^2+16x-4\right)·e^{-3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x^3+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x^3+4}·\left(-9x^2\right)$

= $18·e^{-3x^3+4}{x}^2$

= $18x^2{e}^{-3x^3+4}$

$\text{f(x)}=$ $4x·\ln \left(x-7\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·\ln \left(x-7\right)+4x·\frac{1}{x-7}·\left(1+0\right)$

= $4\ln \left(x-7\right)+4x·\frac{1}{x-7}·\left(1\right)$

= $4\ln \left(x-7\right)+4x·\frac{1}{x-7}$

= $4\ln \left(x-7\right)+4\frac{x}{x-7}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{-2x+4}$

= $3{\left(-2x+4\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-3{\left(-2x+4\right)}^{-2}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(-2x+4\right)}^2}·\left(-2+0\right)$

= $-\frac{3}{{\left(-2x+4\right)}^2}·\left(-2\right)$

= $\frac{6}{{\left(-2x+4\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+76\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{1,4}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{1,4}x+\mathrm{11,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,4}x+\mathrm{11,8}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$