$\text{f(x)}=$ $-e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x}·\left(-1\right)$

= $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2-5x\right)·e^{-2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x-5\right)·e^{-2x-5}+\left(3x^2-5x\right)·e^{-2x-5}·\left(-2\right)$

= $\left(6x-5\right)·e^{-2x-5}+\left(3x^2-5x\right)·\left(-2e^{-2x-5}\right)$

= $\left(6x-5\right)·e^{-2x-5}-2\left(3x^2-5x\right)·e^{-2x-5}$

= $e^{-2x-5}·(6x-5+\left(-6x^2+10x\right))$

= $e^{-2x-5}·\left(-6x^2+16x-5\right)$

= $\left(-6x^2+16x-5\right)·e^{-2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4x^2+1}{e^{3x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{\left(8x+0\right)·e^{3x}-\left(4x^2+1\right)·e^{3x}·3}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{8x·e^{3x}-\left(4x^2+1\right)·3e^{3x}}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{8x·e^{3x}-3\left(4x^2+1\right)·e^{3x}}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{-3\left(4x^2+1\right)·e^{3x}+8x·e^{3x}}{e^{6x}}$

= $\frac{e^{3x-6x}·\left(-12x^2+8x-3\right)}{1}$

= $\frac{e^{-3x}·\left(-12x^2+8x-3\right)}{1}$

= $\frac{\left(-12x^2+8x-3\right)·e^{-3x}}{1}$

= $\left(-12x^2+8x-3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $7x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $14x·\ln \left(x\right)+7x^2·\frac{1}{x}·1$

= $14x\ln \left(x\right)+7x^2·\frac{1}{x}$

= $14x\ln \left(x\right)+7x$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(-3x+1\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $9{\left(-3x+1\right)}^2·\left(-3+0\right)$

= $9{\left(-3x+1\right)}^2·\left(-3\right)$

= $-27{\left(-3x+1\right)}^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+87\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+9$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+9$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{2,5}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+9$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}+9+\mathrm{2,5}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$