$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^5-2x^4\right)·e^{-4x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^4-8x^3\right)·e^{-4x+2}+\left(-3x^5-2x^4\right)·e^{-4x+2}·\left(-4\right)$

= $\left(-15x^4-8x^3\right)·e^{-4x+2}+\left(-3x^5-2x^4\right)·\left(-4e^{-4x+2}\right)$

= $\left(-15x^4-8x^3\right)·e^{-4x+2}-4\left(-3x^5-2x^4\right)·e^{-4x+2}$

= $e^{-4x+2}·(12x^5+8x^4+\left(-15x^4-8x^3\right))$

= $e^{-4x+2}·\left(12x^5-7x^4-8x^3\right)$

= $\left(12x^5-7x^4-8x^3\right)·e^{-4x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^x}{x^5-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^x·\left(x^5-4\right)-e^x·\left(5x^4+0\right)}{{\left(x^5-4\right)}^2}$

= $\frac{e^x\left(x^5-4\right)-e^x·\left(5x^4\right)}{{\left(x^5-4\right)}^2}$

= $\frac{e^x\left(x^5-4\right)-5·e^x{x}^4}{{\left(x^5-4\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $7x^3·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $21x^2·\ln \left(x\right)+7x^3·\frac{1}{x}·1$

= $21x^2\ln \left(x\right)+7x^3·\frac{1}{x}$

= $21x^2\ln \left(x\right)+7x^2$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-6\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{2x}+\left(3x-6\right)·e^{2x}·2$

= $3e^{2x}+\left(3x-6\right)·2e^{2x}$

= $3e^{2x}+2\left(3x-6\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(6x-9\right)$

= $\left(6x-9\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+83\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,9}x}-3\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{2,7}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{2,7}x+\mathrm{10,5}\right)$

= $\left(\mathrm{2,7}x+\mathrm{10,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$