Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x + 4} - \frac{5}{2} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x + 4} - \frac{5}{2} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x + 4} \cdot 2 + \frac{5}{2} \cdot \sin (x)$

= $- 4 e^{2 x + 4} + \frac{5}{2} \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{4} - 3 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{4} - 3 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x^{3} - 3) \cdot e^{3 x} + (x^{4} - 3 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(4 x^{3} - 3) \cdot e^{3 x} + (x^{4} - 3 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(4 x^{3} - 3) \cdot e^{3 x} + 3 (x^{4} - 3 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (4 x^{3} - 3 + (3 x^{4} - 9 x))$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3} - 9 x - 3)$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3} - 9 x - 3) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $9 x^{2} \cdot \ln (x) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $9 x^{2} \ln (x) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $9 x^{2} \ln (x) + 3 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (3 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (3 x - 2)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (3 x - 2) + x^{4} \cdot \cos (3 x - 2) \cdot (3 + 0)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (3 x - 2) + x^{4} \cdot \cos (3 x - 2) \cdot (3)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (3 x - 2) + x^{4} \cdot 3 \cdot \cos (3 x - 2)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (3 x - 2) + 3 x^{4} \cdot \cos (3 x - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,157625 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,157625 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,21550625 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${1,05}^{75} \cdot e^{1,05 x}$

= $38,832685923756 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 8$

= $- e^{- 0,3 x} - (x - 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 8$

= $- e^{- 0,3 x} + 0,3 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$

= $- e^{- 0,3 x} - 8 + 0,3 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten