Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{\frac{11}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{\frac{11}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} e^{\frac{11}{9} x} \cdot \frac{11}{9}$

= $\frac{11}{27} e^{\frac{11}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{5} + e^{3 x} \cdot 5 x^{4}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{5} + 5 \cdot e^{3 x} x^{4}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{e^{3 x}}{3 x^{4} - x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{e^{3 x}}{3 x^{4} - x}$

$f'(x) =$ $\frac{e^{3 x} \cdot 3 \cdot (3 x^{4} - x) - e^{3 x} \cdot (12 x^{3} - 1)}{{(3 x^{4} - x)}^{2}}$

= $\frac{3 \cdot e^{3 x} (3 x^{4} - x) - e^{3 x} (12 x^{3} - 1)}{{(3 x^{4} - x)}^{2}}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \ln (x - 6)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \ln (x - 6)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \ln (x - 6) + x^{2} \cdot \frac{1}{x - 6} \cdot (1 + 0)$

= $2 x \ln (x - 6) + x^{2} \cdot \frac{1}{x - 6} \cdot (1)$

= $2 x \ln (x - 6) + x^{2} \cdot \frac{1}{x - 6}$

= $2 x \ln (x - 6) + \frac{x^{2}}{x - 6}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot \cos (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot \cos (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (3 x) + (2 x - 5) \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $2 \cdot \cos (3 x) + (2 x - 5) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $2 \cdot \cos (3 x) - 3 (2 x - 5) \cdot \sin (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,614125 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,614125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,52200625 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${0,85}^{50} \cdot e^{0,85 x}$

= $0,0002957646637127 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 5$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 5$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 5$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 5 + 1,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten