$\text{f(x)}=$ $3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x}·3$

= $9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-5x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-5x+3}+x^3·e^{-5x+3}·\left(-5\right)$

= $3x^2·e^{-5x+3}+x^3·\left(-5e^{-5x+3}\right)$

= $3x^2·e^{-5x+3}-5x^3·e^{-5x+3}$

= $e^{-5x+3}·\left(-5x^3+3x^2\right)$

= $\left(-5x^3+3x^2\right)·e^{-5x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^3-3\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(9x^2+0\right)·e^{-x}+\left(3x^3-3\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $9x^2·e^{-x}+\left(3x^3-3\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $9x^2·e^{-x}-\left(3x^3-3\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-3x^3+9x^2+3\right)$

= $\left(-3x^3+9x^2+3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $6x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6·\ln \left(x\right)+6x·\frac{1}{x}·1$

= $6\ln \left(x\right)+6x·\frac{1}{x}$

= $6\ln \left(x\right)+6$

$\text{f(x)}=$ ${\left(-x^3-3\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $3{\left(-x^3-3\right)}^2·\left(-3x^2+0\right)$

= $3{\left(-x^3-3\right)}^2·\left(-3x^2\right)$

= $-9{\left(-x^3-3\right)}^2{x}^2$

= $-9{\left(\left(-x^3-3\right)x\right)}^2$

= $-9{\left(x\left(-x^3-3\right)\right)}^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,52200625}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{31}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

= $-\mathrm{0,0064861456555711}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}-2\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,4}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,4}x-4\right)$

= $\left(\mathrm{0,4}x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$