Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \sqrt[3]{x} + 2 x^{4} + 2 e^{- 2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \sqrt[3]{x} + 2 x^{4} + 2 e^{- 2 x - 2}$

= $4 x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{4} + 2 e^{- 2 x - 2}$

=> f'(x) = $\frac{4}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 8 x^{3} + 2 e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 8 x^{3} + 2 e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $\frac{4}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 8 x^{3} - 4 e^{- 2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x^{2} + 4} \cdot 6 x$

= $12 \cdot e^{3 x^{2} + 4} x$

= $12 x e^{3 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x \cdot \ln (x^{2} - 6)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x \cdot \ln (x^{2} - 6)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \ln (x^{2} - 6) + 3 x \cdot \frac{1}{x^{2} - 6} \cdot (2 x + 0)$

= $3 \ln (x^{2} - 6) + 3 x \cdot \frac{1}{x^{2} - 6} \cdot (2 x)$

= $3 \ln (x^{2} - 6) + 3 x \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 6}$

= $3 \ln (x^{2} - 6) + 6 \frac{x \cdot x}{x^{2} - 6}$

= $3 \ln (x^{2} - 6) + 6 \frac{x^{2}}{x^{2} - 6}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x + 6) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $\sin (- 3 x) + (x + 6) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $\sin (- 3 x) - 3 (x + 6) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 51-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${1,1}^{51} \cdot e^{1,1 x}$

= $129,12993816767 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 5$

= $e^{- 0,9 x} + (x - 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 5$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

= $e^{- 0,9 x} - 5 - 0,9 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten