$\text{f(x)}=$ $4+3e^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $\frac{8}{3}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{x^3}+3x^4+e^{-3x-5}$

= $-3x^{-3}+3x^4+e^{-3x-5}$

=> f'(x) = $9x^{-4}+12x^3+e^{-3x-5}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{x^4}+12x^3+e^{-3x-5}·\left(-3\right)$

= $\frac{9}{x^4}+12x^3-3e^{-3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{-2x}}{x^4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{-2x}·\left(-2\right)·x^4-e^{-2x}·4x^3}{{\left(x^4\right)}^2}$

= $\frac{-2·e^{-2x}{x}^4-4·e^{-2x}{x}^3}{{\left(x^4\right)}^2}$

= $\frac{-2x^4·e^{-2x}-4x^3·e^{-2x}}{x^8}$

$\text{f(x)}=$ $5x^2·\ln \left(x^2-6\right)$

$\text{f'(x)}=$ $10x·\ln \left(x^2-6\right)+5x^2·\frac{1}{x^2-6}·\left(2x+0\right)$

= $10x\ln \left(x^2-6\right)+5x^2·\frac{1}{x^2-6}·\left(2x\right)$

= $10x\ln \left(x^2-6\right)+5x^2·2\frac{x}{x^2-6}$

= $10x\ln \left(x^2-6\right)+10\frac{x^2·x}{x^2-6}$

= $10x\ln \left(x^2-6\right)+10\frac{x^3}{x^2-6}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2-9\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·e^{-2x}+\left(2x^2-9\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4x·e^{-2x}+\left(2x^2-9\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $4x·e^{-2x}-2\left(2x^2-9\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-4x^2+4x+18\right)$

= $\left(-4x^2+4x+18\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^x$

f'(x) = $-e^x$

f''(x) = $-e^x$

f'''(x) = $-e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{2,4}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{2,4}x+16\right)$

= $\left(-\mathrm{2,4}x+16\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$