Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{3}{5} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{3}{5} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{5} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{9}{5} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 3) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 3) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{x} + (3 x + 3) \cdot e^{x}$

= $3 e^{x} + (3 x + 3) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (3 x + 6)$

= $(3 x + 6) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} - 4 x} \cdot (- 3 x^{2} - 4)$

= $\frac{- 3 x^{2} - 4}{- x^{3} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (x - 2)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${0,9}^{48} \cdot e^{0,9 x}$

= $0,0063626854411360 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 8$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x - 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 x + 12)$

= $(- 2 x + 12) \cdot e^{- 0,5 x}$