Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $(6 x - 4) \cdot e^{- x + 4} + (3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $(6 x - 4) \cdot e^{- x + 4} + (3 x^{2} - 4 x) \cdot (- e^{- x + 4})$

= $(6 x - 4) \cdot e^{- x + 4} - (3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- x + 4}$

= $e^{- x + 4} \cdot (6 x - 4 + (- 3 x^{2} + 4 x))$

= $e^{- x + 4} \cdot (- 3 x^{2} + 10 x - 4)$

= $(- 3 x^{2} + 10 x - 4) \cdot e^{- x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{5} + e^{- 3 x} \cdot 5 x^{4}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{5} + 5 \cdot e^{- 3 x} x^{4}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $6 x \cdot \ln (x) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $6 x \ln (x) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $6 x \ln (x) + 3 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(\cos (x) - 2)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(\cos (x) - 2)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 9 {(\cos (x) - 2)}^{2} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 9 {(\cos (x) - 2)}^{2} \cdot (- \sin (x))$

= $9 {(\cos (x) - 2)}^{2} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 8$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1,5 x - 6)$

= $(- 1,5 x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten