$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{7}{8}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{8}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{7}{4}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^4+4\right)·e^{4x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(20x^3+0\right)·e^{4x+5}+\left(5x^4+4\right)·e^{4x+5}·4$

= $20x^3·e^{4x+5}+\left(5x^4+4\right)·4e^{4x+5}$

= $20x^3·e^{4x+5}+4\left(5x^4+4\right)·e^{4x+5}$

= $e^{4x+5}·\left(20x^4+20x^3+16\right)$

= $\left(20x^4+20x^3+16\right)·e^{4x+5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-4x^3-x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(-4x^3-x^2\right)+e^{-3x}·\left(-12x^2-2x\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(-4x^3-x^2\right)+e^{-3x}\left(-12x^2-2x\right)$

= $e^{-3x}·(12x^3+3x^2+\left(-12x^2-2x\right))$

= $e^{-3x}·\left(12x^3-9x^2-2x\right)$

= $\left(12x^3-9x^2-2x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{7x}·7$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+8\right)·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(2x\right)+\left(x^2+8\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $2x·\sin \left(2x\right)+\left(x^2+8\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $2x·\sin \left(2x\right)+2\left(x^2+8\right)·\cos \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^x$

f'(x) = $-2e^x$

f''(x) = $-2e^x$

f'''(x) = $-2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+2$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+2$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,6}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+2$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}+2+\mathrm{1,6}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$