Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{7}{6} e^{\frac{3}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{7}{6} e^{\frac{3}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{6} e^{\frac{3}{2} x} \cdot \frac{3}{2}$

= $\frac{7}{4} e^{\frac{3}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 1} + x^{5} \cdot e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 1} + x^{5} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 1})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 1} - 4 x^{5} \cdot e^{- 4 x - 1}$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{2} + 3} \cdot 2 x$

= $6 \cdot e^{x^{2} + 3} x$

= $6 x e^{x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $1 \cdot \ln (x) + x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $\ln (x) + x \cdot \frac{1}{x}$

= $\ln (x) + 1$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} - 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x - 4)$

= $(2 x^{2} + 2 x - 4) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $- e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $- 0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,857375 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,857375 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,81450625 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${(- 0,95)}^{79} \cdot (- e^{- 0,95 x})$

= $0,017384604615804 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 1$

= $e^{- 0,5 x} + (x + 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 1$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$

= $e^{- 0,5 x} + 1 - 0,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten