Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{9}{8} e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{9}{8} e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{9}{8} e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{27}{28} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{4} + e^{2 x} \cdot 4 x^{3}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{4} + 4 \cdot e^{2 x} x^{3}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 10 x \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{2} + 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 10 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 5 x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{2} - 10 x - 3)$

= $(15 x^{2} - 10 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 4) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 4) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} - 4) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,05 x}$

f'(x) = $5 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $5,25 e^{1,05 x}$

f''(x) = $5,25 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $5,5125 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $5,5125 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $5,788125 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,788125 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $6,07753125 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${1,05}^{62} \cdot 5 e^{1,05 x}$

= $102,96901224135 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 5$

= $e^{- 0,7 x} + (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 5$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$

= $e^{- 0,7 x} - 5 - 0,7 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten