$\text{f(x)}=$ $-5-3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{2x}·2$

= $-6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^2+x\right)·e^{x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2x+1\right)·e^{x+4}+\left(-x^2+x\right)·e^{x+4}·1$

= $\left(-2x+1\right)·e^{x+4}+\left(-x^2+x\right)·e^{x+4}$

= $e^{x+4}·(-2x+1+\left(-x^2+x\right))$

= $e^{x+4}·\left(-x^2-x+1\right)$

= $\left(-x^2-x+1\right)·e^{x+4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(-x-2\right)+e^{-3x}·\left(-1+0\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(-x-2\right)+e^{-3x}·\left(-1\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(-x-2\right)-e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(3x+5\right)$

= $\left(3x+5\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^3+x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^3+x}·\left(15x^2+1\right)$

= $\frac{15x^2+1}{5x^3+x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+7\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2+7\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2+7\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3\left(x^2+7\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-x}$

f'(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f'''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,8}x+0\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $\mathrm{0,8}x·e^{-\mathrm{0,2}x}$