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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x + 5} + x^{4} \cdot e^{x + 5} \cdot 1$

= $4 x^{3} \cdot e^{x + 5} + x^{4} \cdot e^{x + 5}$

= $e^{x + 5} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x - 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $21 x^{2} \cdot \ln (x) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $21 x^{2} \ln (x) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $21 x^{2} \ln (x) + 7 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{x + 5}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{x + 5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{x + 5} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{x + 5} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{x + 5} + \sqrt{x} \cdot e^{x + 5} \cdot 1$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{x + 5}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot e^{x + 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 36-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,15 x}$

f'(x) = $4 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $4,6 e^{1,15 x}$

f''(x) = $4,6 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,29 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $5,29 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,0835 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,0835 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,996025 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${1,15}^{36} \cdot 4 e^{1,15 x}$

= $612,607407743 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- e^{- 0,5 x} - (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (0,5 x - 1,5)$

= $(0,5 x - 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$