$\text{f(x)}=$ $1-2e^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $-\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{4\sqrt{x}}-3e^{2x+2}$

= $\frac{5}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}-3e^{2x+2}$

=> f'(x) = $-\frac{5}{8}{x}^{-\frac{3}{2}}-3e^{2x+2}·2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{8{\left(\sqrt{x}\right)}^3}-3e^{2x+2}·2$

= $-\frac{5}{8{\left(\sqrt{x}\right)}^3}-6e^{2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{x}·1$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+2\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{3x}+\left(x^2+2\right)·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+\left(x^2+2\right)·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3\left(x^2+2\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x+6\right)$

= $\left(3x^2+2x+6\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-x}$

f'(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f'''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(x-3\right)$

= $\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$