Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{x + 1}$

$f'(x) =$ $(8 x^{3} - 4 x) \cdot e^{x + 1} + (2 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{x + 1} \cdot 1$

= $(8 x^{3} - 4 x) \cdot e^{x + 1} + (2 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{x + 1}$

= $e^{x + 1} \cdot (2 x^{4} - 2 x^{2} + (8 x^{3} - 4 x))$

= $e^{x + 1} \cdot (2 x^{4} + 8 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x)$

= $(2 x^{4} + 8 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x) \cdot e^{x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{3} + x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{3} + x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 4 x^{3} + x^{2}) + e^{- 2 x} \cdot (- 12 x^{2} + 2 x)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- 4 x^{3} + x^{2}) + e^{- 2 x} (- 12 x^{2} + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x^{3} - 2 x^{2} + (- 12 x^{2} + 2 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x^{3} - 14 x^{2} + 2 x)$

= $(8 x^{3} - 14 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (3 x + 7) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + (3 x + 7) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (3 x + 7) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 88)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 9$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 9$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 9$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 9 + 3,6 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten