Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} (- 5 x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} (- 5 x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 5 x^{2} + 4) + e^{2 x} \cdot (- 10 x + 0)$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 5 x^{2} + 4) + e^{2 x} \cdot (- 10 x)$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 5 x^{2} + 4) - 10 \cdot e^{2 x} x$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{2} - 10 x + 8)$

= $(- 10 x^{2} - 10 x + 8) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{e^{3 x}}{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{e^{3 x}}{x + 3}$

$f'(x) =$ $\frac{e^{3 x} \cdot 3 \cdot (x + 3) - e^{3 x} \cdot (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

= $\frac{3 \cdot e^{3 x} (x + 3) - e^{3 x} \cdot (1)}{{(x + 3)}^{2}}$

= $\frac{3 \cdot e^{3 x} (x + 3) - e^{3 x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $12 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 5) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 5} \cdot (2 x + 0)$

= $12 x^{2} \ln (x^{2} - 5) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 5} \cdot (2 x)$

= $12 x^{2} \ln (x^{2} - 5) + 4 x^{3} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 5}$

= $12 x^{2} \ln (x^{2} - 5) + 8 \frac{x^{3} \cdot x}{x^{2} - 5}$

= $12 x^{2} \ln (x^{2} - 5) + 8 \frac{x^{4}}{x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x^{2} - 5) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x) + (x^{2} - 5) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x) - 3 (x^{2} - 5) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 76)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x - 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,6 x - 13,6)$

= $(1,6 x - 13,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten