Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{4}{5} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{4}{5} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{5} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{12}{5} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x + 2} - \frac{5}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x + 2} - \frac{5}{x^{3}}$

= $2 e^{3 x + 2} - 5 x^{- 3}$

=> f'(x) = $2 e^{3 x + 2} \cdot 3 + 15 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x + 2} \cdot 3 + \frac{15}{x^{4}}$

= $6 e^{3 x + 2} + \frac{15}{x^{4}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{e^{2 x}}{- 3 x^{5} + x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{e^{2 x}}{- 3 x^{5} + x^{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 3 x^{5} + x^{2}) - e^{2 x} \cdot (- 15 x^{4} + 2 x)}{{(- 3 x^{5} + x^{2})}^{2}}$

= $\frac{2 \cdot e^{2 x} (- 3 x^{5} + x^{2}) - e^{2 x} (- 15 x^{4} + 2 x)}{{(- 3 x^{5} + x^{2})}^{2}}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $15 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 1) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \cdot (2 x + 0)$

= $15 x^{2} \ln (x^{2} - 1) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \cdot (2 x)$

= $15 x^{2} \ln (x^{2} - 1) + 5 x^{3} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 1}$

= $15 x^{2} \ln (x^{2} - 1) + 10 \frac{x^{3} \cdot x}{x^{2} - 1}$

= $15 x^{2} \ln (x^{2} - 1) + 10 \frac{x^{4}}{x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(\sin (x) + 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(\sin (x) + 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(\sin (x) + 3)}^{2} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $- 3 {(\sin (x) + 3)}^{2} \cdot (\cos (x))$

= $- 3 {(\sin (x) + 3)}^{2} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 68-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{1,05 x}$

f'(x) = $- 5 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 5,25 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 5,25 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 5,5125 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 5,5125 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 5,788125 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,788125 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 6,07753125 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${1,05}^{68} \cdot (- 5 e^{1,05 x})$

= $- 137,9883244241 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 8$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x - 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- x + 6)$

= $(- x + 6) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten