Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{7}{4} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x + 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 5} + x^{3} \cdot e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 5} + x^{3} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 5})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 5} - 5 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 5}$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{4} + e^{- x} \cdot 4 x^{3}$

= $- e^{- x} x^{4} + 4 \cdot e^{- x} x^{3}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x + 6)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x + 6)$

$f'(x) =$ $10 x \cdot \ln (x + 6) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 6} \cdot (1 + 0)$

= $10 x \ln (x + 6) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 6} \cdot (1)$

= $10 x \ln (x + 6) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 6}$

= $10 x \ln (x + 6) + 5 \frac{x^{2}}{x + 6}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (3 x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (3 x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (3 x^{3} + 1) \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $3 \cdot \sin (3 x^{3} + 1) \cdot (9 x^{2})$

= $27 \sin (3 x^{3} + 1) x^{2}$

= $27 x^{2} \cdot \sin (3 x^{3} + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 3$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x + 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 3$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$

= $2 e^{- 0,2 x} + 3 - 0,4 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten