Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{5} + x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{5} + x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 5}$

$f'(x) =$ $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 5} + (x^{5} + x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5)$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 5} + (x^{5} + x^{4}) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 5})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 5} - 5 (x^{5} + x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 5}$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5 x^{5} - 5 x^{4} + (5 x^{4} + 4 x^{3}))$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5 x^{5} + 0 + 4 x^{3})$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5 x^{5} + 4 x^{3})$

= $(- 5 x^{5} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x^{2} + 4} \cdot 6 x$

= $12 \cdot e^{3 x^{2} + 4} x$

= $12 x e^{3 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x + 6)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x + 6)$

$f'(x) =$ $10 x \cdot \ln (x + 6) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 6} \cdot (1 + 0)$

= $10 x \ln (x + 6) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 6} \cdot (1)$

= $10 x \ln (x + 6) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 6}$

= $10 x \ln (x + 6) + 5 \frac{x^{2}}{x + 6}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 9) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 9) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 9) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 27)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 27) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 4,5 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 4,5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $4,05 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $4,05 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,645 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,645 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,2805 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${(- 0,9)}^{57} \cdot 5 e^{- 0,9 x}$

= $- 0,01232517352479 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 3$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,8 x - 2)$

= $(- 0,8 x - 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten