$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x}·3$

= $-9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-4x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-4x+1}+x^2·e^{-4x+1}·\left(-4\right)$

= $2x·e^{-4x+1}+x^2·\left(-4e^{-4x+1}\right)$

= $2x·e^{-4x+1}-4x^2·e^{-4x+1}$

= $e^{-4x+1}·\left(-4x^2+2x\right)$

= $\left(-4x^2+2x\right)·e^{-4x+1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x^3+2}·\left(-3x^2\right)$

= $-3·e^{-x^3+2}{x}^2$

= $-3x^2{e}^{-x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $2x^3·\ln \left(x+8\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6x^2·\ln \left(x+8\right)+2x^3·\frac{1}{x+8}·\left(1+0\right)$

= $6x^2\ln \left(x+8\right)+2x^3·\frac{1}{x+8}·\left(1\right)$

= $6x^2\ln \left(x+8\right)+2x^3·\frac{1}{x+8}$

= $6x^2\ln \left(x+8\right)+2\frac{x^3}{x+8}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+7\right)·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(2x\right)+\left(x^2+7\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $2x·\sin \left(2x\right)+\left(x^2+7\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $2x·\sin \left(2x\right)+2\left(x^2+7\right)·\cos \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^x·\left(x+76\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)-5$

= $5e^{-\mathrm{0,9}x}+5\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)-5$

= $5e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{4,5}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5$

= $5e^{-\mathrm{0,9}x}-5-\mathrm{4,5}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$