$\text{f(x)}=$ $5+2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{2x}·2$

= $4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^x+x^4·e^x$

= $4x^3·e^x+x^4·e^x$

= $e^x·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-4\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-2x}+\left(2x-4\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}+\left(2x-4\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2e^{-2x}-2\left(2x-4\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-4x+10\right)$

= $\left(-4x+10\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $7x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $7·\ln \left(x\right)+7x·\frac{1}{x}·1$

= $7\ln \left(x\right)+7x·\frac{1}{x}$

= $7\ln \left(x\right)+7$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{-x^2+3}$

= $3{\left(-x^2+3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{\left(-x^2+3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-2x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{-x^2+3}}·\left(-2x+0\right)$

= $\frac{3}{2\sqrt{-x^2+3}}·\left(-2x\right)$

= $-3\frac{x}{\sqrt{-x^2+3}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^x$

f'(x) = $-3e^x$

f''(x) = $-3e^x$

f'''(x) = $-3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $-3e^x$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+5$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+5$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,2}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}+5+\mathrm{0,2}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$