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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{14}{9} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 8 x + 4) \cdot e^{3 x + 1} + (- 4 x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $(- 8 x + 4) \cdot e^{3 x + 1} + (- 4 x^{2} + 4 x) \cdot 3 e^{3 x + 1}$

= $(- 8 x + 4) \cdot e^{3 x + 1} + 3 (- 4 x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x + 1}$

= $e^{3 x + 1} \cdot (- 8 x + 4 + (- 12 x^{2} + 12 x))$

= $e^{3 x + 1} \cdot (- 12 x^{2} + 4 x + 4)$

= $(- 12 x^{2} + 4 x + 4) \cdot e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} - 1} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{3} - 1} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 3 x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 3} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{3} + 3} \cdot (6 x^{2})$

= $6 \frac{x^{2}}{2 x^{3} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 6) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 6) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (2 x + 6) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $2 \cdot \sin (- 2 x) + (2 x + 6) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $2 \cdot \sin (- 2 x) - 2 (2 x + 6) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 8$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x + 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 8$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 8 + 0,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x}$