Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\sqrt{x})}^{3} - 2 e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\sqrt{x})}^{3} - 2 e^{3 x + 2}$

= $- 2 x^{\frac{3}{2}} - 2 e^{3 x + 2}$

=> f'(x) = $- 3 x^{\frac{1}{2}} - 2 e^{3 x + 2} \cdot 3$

$f'(x) =$ $- 3 \sqrt{x} - 2 e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $- 3 \sqrt{x} - 6 e^{3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x - 3) \cdot e^{- 2 x} + (- 2 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 4 x - 3) \cdot e^{- 2 x} + (- 2 x^{2} - 3 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 4 x - 3) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 2 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x - 3 + (4 x^{2} + 6 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{2} + 2 x - 3)$

= $(4 x^{2} + 2 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x + 2} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{2 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{2 x^{2} + 2}$

= $2 {(2 x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(2 x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 2}} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 2}} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 92)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 5$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x + 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 5$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 5$

= $2 e^{- 0,9 x} + 5 - 1,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten