$\text{f(x)}=$ $1+2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^x$

= $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-3x-4}-\frac{9}{2}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x-4}·\left(-3\right)-9x$

= $-6e^{-3x-4}-9x$

$\text{f(x)}=$ $-e^{2x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x-3}·2$

= $-2e^{2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $6x^3·\ln \left(x^2-9\right)$

$\text{f'(x)}=$ $18x^2·\ln \left(x^2-9\right)+6x^3·\frac{1}{x^2-9}·\left(2x+0\right)$

= $18x^2\ln \left(x^2-9\right)+6x^3·\frac{1}{x^2-9}·\left(2x\right)$

= $18x^2\ln \left(x^2-9\right)+6x^3·2\frac{x}{x^2-9}$

= $18x^2\ln \left(x^2-9\right)+12\frac{x^3·x}{x^2-9}$

= $18x^2\ln \left(x^2-9\right)+12\frac{x^4}{x^2-9}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-2x}+\left(2x-5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}+\left(2x-5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2e^{-2x}-2\left(2x-5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-4x+12\right)$

= $\left(-4x+12\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+80\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+9$

= $5e^{-\mathrm{0,7}x}+5\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+9$

= $5e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{3,5}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+9$

= $5e^{-\mathrm{0,7}x}+9-\mathrm{3,5}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$