Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- x + 2}$

$f'(x) =$ $(15 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- x + 2} + (3 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $(15 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- x + 2} + (3 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot (- e^{- x + 2})$

= $(15 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- x + 2} - (3 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- x + 2}$

= $e^{- x + 2} \cdot (- 3 x^{5} + 3 x^{2} + (15 x^{4} - 6 x))$

= $e^{- x + 2} \cdot (- 3 x^{5} + 15 x^{4} + 3 x^{2} - 6 x)$

= $(- 3 x^{5} + 15 x^{4} + 3 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (3 x^{4} - 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (3 x^{4} - 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (3 x^{4} - 5 x^{2}) + e^{- x} \cdot (12 x^{3} - 10 x)$

= $- e^{- x} (3 x^{4} - 5 x^{2}) + e^{- x} (12 x^{3} - 10 x)$

= $e^{- x} \cdot (- 3 x^{4} + 5 x^{2} + (12 x^{3} - 10 x))$

= $e^{- x} \cdot (- 3 x^{4} + 12 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x)$

= $(- 3 x^{4} + 12 x^{3} + 5 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $18 x^{2} \cdot \ln (x) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $18 x^{2} \ln (x) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $18 x^{2} \ln (x) + 6 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x - 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x - 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x + 7)$

= $(- 6 x + 7) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,157625 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,157625 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,21550625 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${1,05}^{61} \cdot e^{1,05 x}$

= $19,613145188829 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 3$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 3$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 3 + 3,2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten