Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - 2 e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - 2 e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $- e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 2 x) \cdot e^{5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 2 x) \cdot e^{5 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} - 2) \cdot e^{5 x + 1} + (- 3 x^{3} - 2 x) \cdot e^{5 x + 1} \cdot 5$

= $(- 9 x^{2} - 2) \cdot e^{5 x + 1} + (- 3 x^{3} - 2 x) \cdot 5 e^{5 x + 1}$

= $(- 9 x^{2} - 2) \cdot e^{5 x + 1} + 5 (- 3 x^{3} - 2 x) \cdot e^{5 x + 1}$

= $e^{5 x + 1} \cdot (- 9 x^{2} - 2 + (- 15 x^{3} - 10 x))$

= $e^{5 x + 1} \cdot (- 15 x^{3} - 9 x^{2} - 10 x - 2)$

= $(- 15 x^{3} - 9 x^{2} - 10 x - 2) \cdot e^{5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $12 x \cdot \ln (x) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $12 x \ln (x) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $12 x \ln (x) + 6 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (3 x - 1) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + (3 x - 1) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (3 x - 1) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 41-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{1,15 x}$

f'(x) = $- 2 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 2,3 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 2,3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 2,645 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 2,645 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 3,04175 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,04175 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 3,4980125 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${1,15}^{41} \cdot (- 2 e^{1,15 x})$

= $- 616,08615633982 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 3$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x + 7) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 3$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$

= $5 e^{- 0,2 x} + 3 - (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten