Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 5} + x^{4} \cdot e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 5} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x + 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 5} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x + 5}$

= $e^{3 x + 5} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 6)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 6)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \ln (x^{2} + 6) + x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 6} \cdot (2 x + 0)$

= $2 x \ln (x^{2} + 6) + x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 6} \cdot (2 x)$

= $2 x \ln (x^{2} + 6) + x^{2} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 6}$

= $2 x \ln (x^{2} + 6) + 2 \frac{x^{2} \cdot x}{x^{2} + 6}$

= $2 x \ln (x^{2} + 6) + 2 \frac{x^{3}}{x^{2} + 6}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x + 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x + 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x + 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x + 13)$

= $(3 x + 13) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 66-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,857375 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,857375 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,81450625 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${0,95}^{66} \cdot e^{0,95 x}$

= $0,033865535638032 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} - x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 1$

= $5 e^{- 0,5 x} + 5 (x + 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 1$

= $5 e^{- 0,5 x} - 2,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 1$

= $5 e^{- 0,5 x} - 1 - 2,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten