$\text{f(x)}=$ $-2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{2x+1}+\frac{3}{x^4}$

= $-e^{2x+1}+3x^{-4}$

=> f'(x) = $-e^{2x+1}·2-12x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x+1}·2-\frac{12}{x^5}$

= $-2e^{2x+1}-\frac{12}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^5+2x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(25x^4+4x\right)·e^{-x}+\left(5x^5+2x^2\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $\left(25x^4+4x\right)·e^{-x}+\left(5x^5+2x^2\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $\left(25x^4+4x\right)·e^{-x}-\left(5x^5+2x^2\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·(-5x^5-2x^2+\left(25x^4+4x\right))$

= $e^{-x}·\left(-5x^5+25x^4-2x^2+4x\right)$

= $\left(-5x^5+25x^4-2x^2+4x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\ln \left(x^2+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\ln \left(x^2+5\right)+x^3·\frac{1}{x^2+5}·\left(2x+0\right)$

= $3x^2\ln \left(x^2+5\right)+x^3·\frac{1}{x^2+5}·\left(2x\right)$

= $3x^2\ln \left(x^2+5\right)+x^3·2\frac{x}{x^2+5}$

= $3x^2\ln \left(x^2+5\right)+2\frac{x^3·x}{x^2+5}$

= $3x^2\ln \left(x^2+5\right)+2\frac{x^4}{x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\sin \left(x\right)+1\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\sin \left(x\right)+1\right)·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $2\left(\sin \left(x\right)+1\right)·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $2\left(\sin \left(x\right)+1\right)·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $4e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{4,2}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,2}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{4,41}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{4,41}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{4,6305}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{4,6305}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{4,862025}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{80}·4e^{\mathrm{1,05}x}$

= $\mathrm{198,24576426737}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{2,4}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{2,4}x-16\right)$

= $\left(\mathrm{2,4}x-16\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$