Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{1}{2} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} (5 x^{5} - x^{4})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} (5 x^{5} - x^{4})$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (5 x^{5} - x^{4}) + e^{x} \cdot (25 x^{4} - 4 x^{3})$

= $e^{x} \cdot (5 x^{5} - x^{4} + (25 x^{4} - 4 x^{3}))$

= $e^{x} \cdot (5 x^{5} + 24 x^{4} - 4 x^{3})$

= $(5 x^{5} + 24 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{- 5 x^{5} - 3 x^{2}}{e^{2 x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{- 5 x^{5} - 3 x^{2}}{e^{2 x}}$

$f'(x) =$ $\frac{(- 25 x^{4} - 6 x) \cdot e^{2 x} - (- 5 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{2 x} \cdot 2}{{(e^{2 x})}^{2}}$

= $\frac{(- 25 x^{4} - 6 x) \cdot e^{2 x} - (- 5 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x}}{{(e^{2 x})}^{2}}$

= $\frac{(- 25 x^{4} - 6 x) \cdot e^{2 x} - 2 (- 5 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}}{{(e^{2 x})}^{2}}$

= $\frac{- 2 (- 5 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (- 25 x^{4} - 6 x) \cdot e^{2 x}}{e^{4 x}}$

= $\frac{e^{2 x - 4 x} \cdot (2 x^{2} (5 x^{3} + 3) - x (25 x^{3} + 6))}{1}$

= $\frac{e^{- 2 x} \cdot (2 x^{2} (5 x^{3} + 3) - x (25 x^{3} + 6))}{1}$

= $\frac{(2 x^{2} (5 x^{3} + 3) - x (25 x^{3} + 6)) \cdot e^{- 2 x}}{1}$

= $(2 x^{2} \cdot (5 x^{3} + 3) - x \cdot (25 x^{3} + 6)) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (2 x) + (3 x + 4) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $3 \cdot \sin (2 x) + (3 x + 4) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $3 \cdot \sin (2 x) + 2 (3 x + 4) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{x}$

f'(x) = $- 5 e^{x}$

f''(x) = $- 5 e^{x}$

f'''(x) = $- 5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $- 5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 8$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 8$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 8$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 8 + 3,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten