Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{1}{4} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{1}{4} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x + 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x + 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (4 x + 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x} + (4 x + 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 e^{- 2 x} - 2 (4 x + 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x - 6)$

= $(- 8 x - 6) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 5 x^{3} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 5 x^{3} - x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 5 x^{3} - x) + e^{3 x} \cdot (- 15 x^{2} - 1)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 5 x^{3} - x) + e^{3 x} (- 15 x^{2} - 1)$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{2} - 1 + (- 15 x^{3} - 3 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{3} - 15 x^{2} - 3 x - 1)$

= $(- 15 x^{3} - 15 x^{2} - 3 x - 1) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $10 x \cdot \ln (x^{2} - 1) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \cdot (2 x + 0)$

= $10 x \ln (x^{2} - 1) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \cdot (2 x)$

= $10 x \ln (x^{2} - 1) + 5 x^{2} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 1}$

= $10 x \ln (x^{2} - 1) + 10 \frac{x^{2} \cdot x}{x^{2} - 1}$

= $10 x \ln (x^{2} - 1) + 10 \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{x + 2} + x^{5} \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

= $5 x^{4} \cdot e^{x + 2} + x^{5} \cdot e^{x + 2}$

= $e^{x + 2} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,1 x}$

f'(x) = $4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $4,4 e^{1,1 x}$

f''(x) = $4,4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $4,84 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $4,84 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,324 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,324 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,8564 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${1,1}^{65} \cdot 4 e^{1,1 x}$

= $1 961,4829011914 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 7$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x + 10,4)$

= $(- 1,4 x + 10,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten