Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{4} + e^{3 x} \cdot 4 x^{3}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{4} + 4 \cdot e^{3 x} x^{3}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{x^{2}}{e^{3 x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{x^{2}}{e^{3 x}}$

$f'(x) =$ $\frac{2 x \cdot e^{3 x} - x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3}{{(e^{3 x})}^{2}}$

= $\frac{2 x \cdot e^{3 x} - x^{2} \cdot 3 e^{3 x}}{{(e^{3 x})}^{2}}$

= $\frac{2 x \cdot e^{3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{3 x}}{{(e^{3 x})}^{2}}$

= $\frac{- 3 x^{2} \cdot e^{3 x} + 2 x \cdot e^{3 x}}{e^{6 x}}$

= $\frac{e^{3 x - 6 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)}{1}$

= $\frac{e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)}{1}$

= $\frac{(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}}{1}$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \ln (x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \ln (x - 5)$

$f'(x) =$ $4 x \cdot \ln (x - 5) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 5} \cdot (1 + 0)$

= $4 x \ln (x - 5) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 5} \cdot (1)$

= $4 x \ln (x - 5) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 5}$

= $4 x \ln (x - 5) + 2 \frac{x^{2}}{x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{3} \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{3} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4} - 5 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 36-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{0,85 x}$

f'(x) = $5 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $4,25 e^{0,85 x}$

f''(x) = $4,25 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $3,6125 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $3,6125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $3,070625 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,070625 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,61003125 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${0,85}^{36} \cdot 5 e^{0,85 x}$

= $0,014389686425128 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (x + 0)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot x$

= $x \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten