$\text{f(x)}=$ $3e^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $\frac{18}{7}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^4+5x^3\right)·e^{-2x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x^3+15x^2\right)·e^{-2x+3}+\left(2x^4+5x^3\right)·e^{-2x+3}·\left(-2\right)$

= $\left(8x^3+15x^2\right)·e^{-2x+3}+\left(2x^4+5x^3\right)·\left(-2e^{-2x+3}\right)$

= $\left(8x^3+15x^2\right)·e^{-2x+3}-2\left(2x^4+5x^3\right)·e^{-2x+3}$

= $e^{-2x+3}·(-4x^4-10x^3+\left(8x^3+15x^2\right))$

= $e^{-2x+3}·\left(-4x^4-2x^3+15x^2\right)$

= $\left(-4x^4-2x^3+15x^2\right)·e^{-2x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{-2x}}{x^2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{-2x}·\left(-2\right)·x^2-e^{-2x}·2x}{{\left(x^2\right)}^2}$

= $\frac{-2·e^{-2x}{x}^2-2·e^{-2x}x}{{\left(x^2\right)}^2}$

= $\frac{-2x^2·e^{-2x}-2x·e^{-2x}}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $2x^2·\ln \left(x+9\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x·\ln \left(x+9\right)+2x^2·\frac{1}{x+9}·\left(1+0\right)$

= $4x\ln \left(x+9\right)+2x^2·\frac{1}{x+9}·\left(1\right)$

= $4x\ln \left(x+9\right)+2x^2·\frac{1}{x+9}$

= $4x\ln \left(x+9\right)+2\frac{x^2}{x+9}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+8\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(x+8\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $\cos \left(x^2\right)+\left(x+8\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $\cos \left(x^2\right)-2\left(x+8\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+95\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,6}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{1,6}x-4\right)$

= $\left(-\mathrm{1,6}x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$