$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}-e^{-x+1}$

= $x^{\frac{1}{4}}-e^{-x+1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}-e^{-x+1}·\left(-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-e^{-x+1}·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+e^{-x+1}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{2x}+x^4·e^{2x}·2$

= $4x^3·e^{2x}+x^4·2e^{2x}$

= $4x^3·e^{2x}+2x^4·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^4+4x^3\right)$

= $\left(2x^4+4x^3\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $2x^3·\ln \left(x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6x^2·\ln \left(x-2\right)+2x^3·\frac{1}{x-2}·\left(1+0\right)$

= $6x^2\ln \left(x-2\right)+2x^3·\frac{1}{x-2}·\left(1\right)$

= $6x^2\ln \left(x-2\right)+2x^3·\frac{1}{x-2}$

= $6x^2\ln \left(x-2\right)+2\frac{x^3}{x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-9\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-3x}+\left(3x-9\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}+\left(3x-9\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3e^{-3x}-3\left(3x-9\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-9x+30\right)$

= $\left(-9x+30\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^x·\left(x+89\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-3$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-3$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,3}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}-3+\mathrm{0,3}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$