Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{8} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} - x) \cdot e^{5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} - x) \cdot e^{5 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 10 x - 1) \cdot e^{5 x - 4} + (- 5 x^{2} - x) \cdot e^{5 x - 4} \cdot 5$

= $(- 10 x - 1) \cdot e^{5 x - 4} + (- 5 x^{2} - x) \cdot 5 e^{5 x - 4}$

= $(- 10 x - 1) \cdot e^{5 x - 4} + 5 (- 5 x^{2} - x) \cdot e^{5 x - 4}$

= $e^{5 x - 4} \cdot (- 10 x - 1 + (- 25 x^{2} - 5 x))$

= $e^{5 x - 4} \cdot (- 25 x^{2} - 15 x - 1)$

= $(- 25 x^{2} - 15 x - 1) \cdot e^{5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{2} - 2) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{2} - 2) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (- x^{2} - 2) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 2 x \cdot e^{- 3 x} + (- x^{2} - 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (- x^{2} - 2) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 x^{2} - 2 x + 6)$

= $(3 x^{2} - 2 x + 6) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 8)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 8)$

$f'(x) =$ $15 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 8) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 8} \cdot (2 x + 0)$

= $15 x^{2} \ln (x^{2} - 8) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 8} \cdot (2 x)$

= $15 x^{2} \ln (x^{2} - 8) + 5 x^{3} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 8}$

= $15 x^{2} \ln (x^{2} - 8) + 10 \frac{x^{3} \cdot x}{x^{2} - 8}$

= $15 x^{2} \ln (x^{2} - 8) + 10 \frac{x^{4}}{x^{2} - 8}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (2 x + 8) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $2 \cdot \sin (- 2 x) + (2 x + 8) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $2 \cdot \sin (- 2 x) - 2 (2 x + 8) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${(- 0,9)}^{57} \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 0,0024650347049581 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 8$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 8$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 8 + 0,3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten