Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{8}{9} e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{8}{9} e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{8}{27} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} (- 4 x^{5} + 4 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} (- 4 x^{5} + 4 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 4 x^{5} + 4 x^{3}) + e^{3 x} \cdot (- 20 x^{4} + 12 x^{2})$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 4 x^{5} + 4 x^{3}) + e^{3 x} (- 20 x^{4} + 12 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{5} + 12 x^{3} + (- 20 x^{4} + 12 x^{2}))$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{5} - 20 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x^{2})$

= $(- 12 x^{5} - 20 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} + 4} \cdot 6 x$

= $- 12 \cdot e^{3 x^{2} + 4} x$

= $- 12 x e^{3 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $4 x \cdot \ln (x^{2} + 4) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4} \cdot (2 x + 0)$

= $4 x \ln (x^{2} + 4) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4} \cdot (2 x)$

= $4 x \ln (x^{2} + 4) + 2 x^{2} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 4}$

= $4 x \ln (x^{2} + 4) + 4 \frac{x^{2} \cdot x}{x^{2} + 4}$

= $4 x \ln (x^{2} + 4) + 4 \frac{x^{3}}{x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (2 x) + x^{4} \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot \sin (2 x) + x^{4} \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (2 x) + 2 x^{4} \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,857375 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,857375 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,81450625 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${0,95}^{61} \cdot e^{0,95 x}$

= $0,043766309037604 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 5$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x - 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 5$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 5$

= $2 e^{- 0,2 x} - 5 - 0,4 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten