Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x}$

$f'(x) =$ $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 5} + x^{4} \cdot e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 5} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x + 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 5} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x + 5}$

= $e^{2 x + 5} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x^{2} + 2} \cdot 6 x$

= $18 \cdot e^{3 x^{2} + 2} x$

= $18 x e^{3 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{x} \cdot 1$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (- 2 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (- 2 x - 1)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (- 2 x - 1) + x^{4} \cdot \cos (- 2 x - 1) \cdot (- 2 + 0)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- 2 x - 1) + x^{4} \cdot \cos (- 2 x - 1) \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- 2 x - 1) + x^{4} \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x - 1))$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- 2 x - 1) - 2 x^{4} \cdot \cos (- 2 x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,520875 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,520875 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,74900625 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${(- 1,15)}^{34} \cdot e^{- 1,15 x}$

= $115,80480297599 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 2$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x - 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,9 x - 9,3)$

= $(0,9 x - 9,3) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten