$\text{f(x)}=$ $2-3e^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $-\frac{18}{7}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-2x-1}+x^4·e^{-2x-1}·\left(-2\right)$

= $4x^3·e^{-2x-1}+x^4·\left(-2e^{-2x-1}\right)$

= $4x^3·e^{-2x-1}-2x^4·e^{-2x-1}$

= $e^{-2x-1}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{-4x^3-5x^2}{e^{3x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{\left(-12x^2-10x\right)·e^{3x}-\left(-4x^3-5x^2\right)·e^{3x}·3}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{\left(-12x^2-10x\right)·e^{3x}-\left(-4x^3-5x^2\right)·3e^{3x}}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{\left(-12x^2-10x\right)·e^{3x}-3\left(-4x^3-5x^2\right)·e^{3x}}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{-3\left(-4x^3-5x^2\right)·e^{3x}+\left(-12x^2-10x\right)·e^{3x}}{e^{6x}}$

= $\frac{e^{3x-6x}·\left(3x^2\left(4x+5\right)-2x\left(6x+5\right)\right)}{1}$

= $\frac{e^{-3x}·\left(3x^2\left(4x+5\right)-2x\left(6x+5\right)\right)}{1}$

= $\frac{\left(3x^2\left(4x+5\right)-2x\left(6x+5\right)\right)·e^{-3x}}{1}$

= $(3x^2·\left(4x+5\right)-2x·\left(6x+5\right))·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $7x^3·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $21x^2·\ln \left(x\right)+7x^3·\frac{1}{x}·1$

= $21x^2\ln \left(x\right)+7x^3·\frac{1}{x}$

= $21x^2\ln \left(x\right)+7x^2$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-8\right)·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(-3x\right)+\left(x-8\right)·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $\cos \left(-3x\right)+\left(x-8\right)·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $\cos \left(-3x\right)+3\left(x-8\right)·\sin \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+80\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{1,5}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{1,5}x-\mathrm{1,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,5}x-\mathrm{1,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$