Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 4} + x^{5} \cdot e^{4 x + 4} \cdot 4$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 4} + x^{5} \cdot 4 e^{4 x + 4}$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 4} + 4 x^{5} \cdot e^{4 x + 4}$

= $e^{4 x + 4} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x^{2} - 5} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \cdot e^{- 2 x^{2} - 5} x$

= $- 4 x e^{- 2 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $10 x \cdot \ln (x) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $10 x \ln (x) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $10 x \ln (x) + 5 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x - 5) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x - 5) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x - 5) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (9 x - 12)$

= $(9 x - 12) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $5,75 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $5,75 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 6,6125 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 6,6125 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $7,604375 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $7,604375 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 8,74503125 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${(- 1,15)}^{42} \cdot (- 5 e^{- 1,15 x})$

= $- 1 771,247699477 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} - x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 1$

= $3 e^{- 0,2 x} + 3 (x + 7) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 1$

= $3 e^{- 0,2 x} - 0,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 1$

= $3 e^{- 0,2 x} - 1 - 0,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten