Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x - 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x - 3} + x^{5} \cdot e^{- x - 3} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x - 3} + x^{5} \cdot (- e^{- x - 3})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x - 3} - x^{5} \cdot e^{- x - 3}$

= $e^{- x - 3} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{e^{2 x}}{- 2 x^{3} + 4 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{e^{2 x}}{- 2 x^{3} + 4 x^{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 2 x^{3} + 4 x^{2}) - e^{2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 8 x)}{{(- 2 x^{3} + 4 x^{2})}^{2}}$

= $\frac{2 \cdot e^{2 x} (- 2 x^{3} + 4 x^{2}) - e^{2 x} (- 6 x^{2} + 8 x)}{{(- 2 x^{3} + 4 x^{2})}^{2}}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x \cdot \ln (x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x \cdot \ln (x - 5)$

$f'(x) =$ $4 \cdot \ln (x - 5) + 4 x \cdot \frac{1}{x - 5} \cdot (1 + 0)$

= $4 \ln (x - 5) + 4 x \cdot \frac{1}{x - 5} \cdot (1)$

= $4 \ln (x - 5) + 4 x \cdot \frac{1}{x - 5}$

= $4 \ln (x - 5) + 4 \frac{x}{x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(- 3 x - 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(- 3 x - 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $5 {(- 3 x - 4)}^{4} \cdot (- 3 + 0)$

= $5 {(- 3 x - 4)}^{4} \cdot (- 3)$

= $- 15 {(- 3 x - 4)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 55-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,1 x}$

f'(x) = $4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $4,4 e^{1,1 x}$

f''(x) = $4,4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $4,84 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $4,84 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,324 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,324 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,8564 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 55-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 55 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{55}$

Somit gilt für die 55-te Ableitung:

f⁽⁵⁵⁾(x) = ${1,1}^{55} \cdot 4 e^{1,1 x}$

= $756,23656988512 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 7$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x + 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 7$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 7$

= $2 e^{- 0,9 x} + 7 - 1,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten