$\text{f(x)}=$ $-2+3e^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{1}{2}x}·\frac{1}{2}$

= $\frac{3}{2}{e}^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $2x^5-2e^{-2x-4}-\frac{1}{4}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $10x^4-2e^{-2x-4}·\left(-2\right)-\frac{1}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

= $10x^4+4e^{-2x-4}-\frac{1}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-2x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2x+1}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $3x·\ln \left(x-7\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3·\ln \left(x-7\right)+3x·\frac{1}{x-7}·\left(1+0\right)$

= $3\ln \left(x-7\right)+3x·\frac{1}{x-7}·\left(1\right)$

= $3\ln \left(x-7\right)+3x·\frac{1}{x-7}$

= $3\ln \left(x-7\right)+3\frac{x}{x-7}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-2\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(3x-2\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $3\cdot \sin \left(x^2\right)+\left(3x-2\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $3\cdot \sin \left(x^2\right)+2\left(3x-2\right)\cos \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{48}·e^{\mathrm{0,9}x}$

= $\mathrm{0,0063626854411360}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,5}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{1,5}x-\mathrm{3,5}\right)$

= $\left(\mathrm{1,5}x-\mathrm{3,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$