Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 5 x) \cdot e^{- 5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 5 x) \cdot e^{- 5 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} + 5) \cdot e^{- 5 x + 4} + (- 3 x^{3} + 5 x) \cdot e^{- 5 x + 4} \cdot (- 5)$

= $(- 9 x^{2} + 5) \cdot e^{- 5 x + 4} + (- 3 x^{3} + 5 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 4})$

= $(- 9 x^{2} + 5) \cdot e^{- 5 x + 4} - 5 (- 3 x^{3} + 5 x) \cdot e^{- 5 x + 4}$

= $e^{- 5 x + 4} \cdot (- 9 x^{2} + 5 + (15 x^{3} - 25 x))$

= $e^{- 5 x + 4} \cdot (15 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 5)$

= $(15 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 5) \cdot e^{- 5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x - 2) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x - 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x - 2) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x + 7)$

= $(- 3 x + 7) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 8)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 8)$

$f'(x) =$ $18 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 8) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 8} \cdot (2 x + 0)$

= $18 x^{2} \ln (x^{2} - 8) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 8} \cdot (2 x)$

= $18 x^{2} \ln (x^{2} - 8) + 6 x^{3} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 8}$

= $18 x^{2} \ln (x^{2} - 8) + 12 \frac{x^{3} \cdot x}{x^{2} - 8}$

= $18 x^{2} \ln (x^{2} - 8) + 12 \frac{x^{4}}{x^{2} - 8}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x + 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x + 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x + 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x - 21)$

= $(- 9 x - 21) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 51-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${1,1}^{51} \cdot e^{1,1 x}$

= $129,12993816767 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 6$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 6$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 6 + 1,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten