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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 3} + x^{4} \cdot e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 3} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x - 3}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 3} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x - 3}$

= $e^{2 x - 3} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} + 3} \cdot 6 x$

= $- 12 \cdot e^{3 x^{2} + 3} x$

= $- 12 x e^{3 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \ln (x) + 3 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $3 \ln (x) + 3 x \cdot \frac{1}{x}$

= $3 \ln (x) + 3$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x + 2) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x + 2) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x + 2) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x + 7)$

= $(3 x + 7) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,1 x}$

f'(x) = $- e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${1,1}^{58} \cdot (- e^{1,1 x})$

= $- 251,63771862927 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 7$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- e^{- 0,8 x} - (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (0,8 x - 4,2)$

= $(0,8 x - 4,2) \cdot e^{- 0,8 x}$