Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} (- 5 x^{5} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} (- 5 x^{5} - 2 x)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- 5 x^{5} - 2 x) + e^{- x} \cdot (- 25 x^{4} - 2)$

= $- e^{- x} (- 5 x^{5} - 2 x) + e^{- x} (- 25 x^{4} - 2)$

= $e^{- x} \cdot (- 25 x^{4} - 2 + (5 x^{5} + 2 x))$

= $e^{- x} \cdot (5 x^{5} - 25 x^{4} + 2 x - 2)$

= $(5 x^{5} - 25 x^{4} + 2 x - 2) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2 x - 1}{e^{3 x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2 x - 1}{e^{3 x}}$

$f'(x) =$ $\frac{(2 + 0) \cdot e^{3 x} - (2 x - 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3}{{(e^{3 x})}^{2}}$

= $\frac{2 e^{3 x} - (2 x - 1) \cdot 3 e^{3 x}}{{(e^{3 x})}^{2}}$

= $\frac{2 e^{3 x} - 3 (2 x - 1) \cdot e^{3 x}}{{(e^{3 x})}^{2}}$

= $\frac{2 e^{3 x} - 3 (2 x - 1) \cdot e^{3 x}}{e^{6 x}}$

= $\frac{e^{3 x - 6 x} \cdot (- 6 x + 5)}{1}$

= $\frac{e^{- 3 x} \cdot (- 6 x + 5)}{1}$

= $\frac{(- 6 x + 5) \cdot e^{- 3 x}}{1}$

= $(- 6 x + 5) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x - 5)$

$f'(x) =$ $10 x \cdot \ln (x - 5) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 5} \cdot (1 + 0)$

= $10 x \ln (x - 5) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 5} \cdot (1)$

= $10 x \ln (x - 5) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 5}$

= $10 x \ln (x - 5) + 5 \frac{x^{2}}{x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (- x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (- x + 3)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (- x + 3) + x^{4} \cdot \cos (- x + 3) \cdot (- 1 + 0)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- x + 3) + x^{4} \cdot \cos (- x + 3) \cdot (- 1)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- x + 3) + x^{4} \cdot (- \cos (- x + 3))$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- x + 3) - x^{4} \cdot \cos (- x + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 78)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,8 x + 1,2)$

= $(- 0,8 x + 1,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten