$\text{f(x)}=$ $\frac{11}{9}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{11}{9}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{11}{3}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-x+5}+3\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-x+5}·\left(-1\right)+3\cdot \cos \left(x\right)$

= $-3e^{-x+5}+3\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5x+4}{e^{-x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{\left(5+0\right)·e^{-x}-\left(5x+4\right)·e^{-x}·\left(-1\right)}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{5e^{-x}-\left(5x+4\right)·\left(-e^{-x}\right)}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{5e^{-x}+\left(5x+4\right)·e^{-x}}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{5e^{-x}+\left(5x+4\right)·e^{-x}}{e^{-2x}}$

= $\frac{e^{-x+2x}·\left(5x+9\right)}{1}$

= $\frac{e^x·\left(5x+9\right)}{1}$

= $\frac{\left(5x+9\right)·e^x}{1}$

= $\left(5x+9\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x^3-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x^3-4x}·\left(-12x^2-4\right)$

= $\frac{-12x^2-4}{-4x^3-4x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-5\right)·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(2x\right)+\left(x^2-5\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $2x·\sin \left(2x\right)+\left(x^2-5\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $2x·\sin \left(2x\right)+2\left(x^2-5\right)·\cos \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^x·\left(x+91\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,2}x}+4\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,8}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,8}x-\mathrm{0,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,8}x-\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$