Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{2}{3} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{2}{3} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{2}{3} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 2 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 5} + 3 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 5} + 3 \sqrt{x}$

= $- 3 e^{- 2 x - 5} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- 3 e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2) + \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2) + \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

= $6 e^{- 2 x - 5} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (3 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (3 x + 1)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (3 x + 1) + e^{2 x} \cdot (3 + 0)$

= $2 \cdot e^{2 x} (3 x + 1) + e^{2 x} \cdot (3)$

= $2 \cdot e^{2 x} (3 x + 1) + 3 e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (6 x + 5)$

= $(6 x + 5) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- x - 1)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (- x - 1) + x^{3} \cdot \cos (- x - 1) \cdot (- 1 + 0)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- x - 1) + x^{3} \cdot \cos (- x - 1) \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- x - 1) + x^{3} \cdot (- \cos (- x - 1))$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- x - 1) - x^{3} \cdot \cos (- x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 44-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,520875 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,520875 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,74900625 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${1,15}^{44} \cdot e^{1,15 x}$

= $468,49501651166 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 9$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $5 e^{- 0,1 x} + 5 (x + 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $5 e^{- 0,1 x} - 0,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,5 x + 1,5)$

= $(- 0,5 x + 1,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten