Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 3) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 3) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{2} + 3) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 10 x \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{2} + 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 10 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 5 x^{2} + 3) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{2} - 10 x - 9)$

= $(15 x^{2} - 10 x - 9) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x + 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x + 4} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x + 4} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} + 3) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} + 3) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) - 3 (x^{2} + 3) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${(- 0,9)}^{53} \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 0,0037571021261364 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 7$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $e^{- 0,1 x} + (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $e^{- 0,1 x} - 0,1 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1 x + 0,9)$

= $(- 0,1 x + 0,9) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten