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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{x}$

= $- 3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x - 1} + (2 x + 1) \cdot e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x - 1} + (2 x + 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 1})$

= $2 e^{- 3 x - 1} - 3 (2 x + 1) \cdot e^{- 3 x - 1}$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (- 6 x - 1)$

= $(- 6 x - 1) \cdot e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} + 5} \cdot (- 4 x)$

= $- 8 \cdot e^{- 2 x^{2} + 5} x$

= $- 8 x e^{- 2 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $12 x \cdot \ln (x) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $12 x \ln (x) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $12 x \ln (x) + 6 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} - 3) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} - 3) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) - 3 (x^{2} - 3) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 9$

= $- e^{- 0,8 x} - (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 9$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 9$

= $- e^{- 0,8 x} + 9 + 0,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x}$