$\text{f(x)}=$ $5+\frac{3}{5}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{5}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{9}{5}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{x+1}+x^4·e^{x+1}·1$

= $4x^3·e^{x+1}+x^4·e^{x+1}$

= $e^{x+1}·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^{x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^3+4x\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-12x^2+4\right)·e^{2x}+\left(-4x^3+4x\right)·e^{2x}·2$

= $\left(-12x^2+4\right)·e^{2x}+\left(-4x^3+4x\right)·2e^{2x}$

= $\left(-12x^2+4\right)·e^{2x}+2\left(-4x^3+4x\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·(-12x^2+4+\left(-8x^3+8x\right))$

= $e^{2x}·\left(-8x^3-12x^2+8x+4\right)$

= $\left(-8x^3-12x^2+8x+4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{2x}·2$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+9\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{2x}+\left(x+9\right)·e^{2x}·2$

= $e^{2x}+\left(x+9\right)·2e^{2x}$

= $e^{2x}+2\left(x+9\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x+19\right)$

= $\left(2x+19\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+94\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,8}x}-2\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{1,6}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{1,6}x-\mathrm{0,4}\right)$

= $\left(\mathrm{1,6}x-\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$