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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{x}$

= $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x + 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{4 x + 4} + x^{3} \cdot e^{4 x + 4} \cdot 4$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x + 4} + x^{3} \cdot 4 e^{4 x + 4}$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x + 4} + 4 x^{3} \cdot e^{4 x + 4}$

= $e^{4 x + 4} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{4 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} + 4} \cdot 4 x$

= $- 12 \cdot e^{2 x^{2} + 4} x$

= $- 12 x e^{2 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 3} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} - 3} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sin (x^{2}) + x^{2} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + x^{2} \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 x^{2} \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 x^{3} \cdot \cos (x^{2})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 6$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x - 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,2 x + 9)$

= $(- 1,2 x + 9) \cdot e^{- 0,4 x}$