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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{9}{4} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x - 1} + \frac{1}{4} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x - 1} + \frac{1}{4} x^{4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x - 1} \cdot (- 1) + x^{3}$

= $2 e^{- x - 1} + x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x - 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x - 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x - 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 5 e^{- 3 x} + (- 5 x - 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 5 e^{- 3 x} - 3 (- 5 x - 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x - 2)$

= $(15 x - 2) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x + 2} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (3 x - 5) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + (3 x - 5) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (3 x - 5) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${0,9}^{48} \cdot e^{0,9 x}$

= $0,0063626854411360 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 2$

= $- e^{- 0,8 x} - (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 2$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 2$

= $- e^{- 0,8 x} + 2 + 0,8 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x}$