$\text{f(x)}=$ $-e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-2x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-2x+3}+x^4·e^{-2x+3}·\left(-2\right)$

= $4x^3·e^{-2x+3}+x^4·\left(-2e^{-2x+3}\right)$

= $4x^3·e^{-2x+3}-2x^4·e^{-2x+3}$

= $e^{-2x+3}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x-5\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-5+0\right)·e^{2x}+\left(-5x-5\right)·e^{2x}·2$

= $-5e^{2x}+\left(-5x-5\right)·2e^{2x}$

= $-5e^{2x}+2\left(-5x-5\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(-10x-15\right)$

= $\left(-10x-15\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $1·\ln \left(x\right)+x·\frac{1}{x}·1$

= $\ln \left(x\right)+x·\frac{1}{x}$

= $\ln \left(x\right)+1$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(\cos \left(x\right)+2\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $6\left(\cos \left(x\right)+2\right)·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $6\left(\cos \left(x\right)+2\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-6\left(\cos \left(x\right)+2\right)·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+88\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-6$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-6$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,2}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-6$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}-6-\mathrm{1,2}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$