$\text{f(x)}=$ $-2+\frac{3}{4}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{4}{e}^{2x}·2$

= $\frac{3}{2}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^3+2\right)·e^{-5x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-6x^2+0\right)·e^{-5x-4}+\left(-2x^3+2\right)·e^{-5x-4}·\left(-5\right)$

= $-6x^2·e^{-5x-4}+\left(-2x^3+2\right)·\left(-5e^{-5x-4}\right)$

= $-6x^2·e^{-5x-4}-5\left(-2x^3+2\right)·e^{-5x-4}$

= $e^{-5x-4}·\left(10x^3-6x^2-10\right)$

= $\left(10x^3-6x^2-10\right)·e^{-5x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{3x^2-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x^2-1}·6x$

= $-6·e^{3x^2-1}x$

= $-6x{e}^{3x^2-1}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{3x}·3$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(e^{3x}+3\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-3{\left(e^{3x}+3\right)}^2·(e^{3x}·3+0)$

= $-3{\left(e^{3x}+3\right)}^2·\left(3e^{3x}\right)$

= $-9{\left(e^{3x}+3\right)}^2·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,520875}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,520875}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,74900625}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{33}·e^{-\mathrm{1,15}x}$

= $-\mathrm{100,69982867478}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-4$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-4$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{2,4}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}-4-\mathrm{2,4}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$