$\text{f(x)}=$ $e^x$

$\text{f'(x)}=$ $e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^2-3x\right)·e^{-2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x-3\right)·e^{-2x-1}+\left(-4x^2-3x\right)·e^{-2x-1}·\left(-2\right)$

= $\left(-8x-3\right)·e^{-2x-1}+\left(-4x^2-3x\right)·\left(-2e^{-2x-1}\right)$

= $\left(-8x-3\right)·e^{-2x-1}-2\left(-4x^2-3x\right)·e^{-2x-1}$

= $e^{-2x-1}·(-8x-3+\left(8x^2+6x\right))$

= $e^{-2x-1}·\left(8x^2-2x-3\right)$

= $\left(8x^2-2x-3\right)·e^{-2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^2-4\right)·e^{4x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-6x+0\right)·e^{4x-5}+\left(-3x^2-4\right)·e^{4x-5}·4$

= $-6x·e^{4x-5}+\left(-3x^2-4\right)·4e^{4x-5}$

= $-6x·e^{4x-5}+4\left(-3x^2-4\right)·e^{4x-5}$

= $e^{4x-5}·\left(-12x^2-6x-16\right)$

= $\left(-12x^2-6x-16\right)·e^{4x-5}$

$\text{f(x)}=$ $3x^2·\ln \left(x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6x·\ln \left(x+4\right)+3x^2·\frac{1}{x+4}·\left(1+0\right)$

= $6x\ln \left(x+4\right)+3x^2·\frac{1}{x+4}·\left(1\right)$

= $6x\ln \left(x+4\right)+3x^2·\frac{1}{x+4}$

= $6x\ln \left(x+4\right)+3\frac{x^2}{x+4}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\sin \left(-3x\right)+x^4·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $4x^3·\sin \left(-3x\right)+x^4·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $4x^3·\sin \left(-3x\right)-3x^4·\cos \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+77\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-7$

= $-2e^{-\mathrm{0,8}x}-2\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-7$

= $-2e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{1,6}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-7$

= $-2e^{-\mathrm{0,8}x}-7+\mathrm{1,6}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$