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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \cdot \cos (x) + 2 e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \cdot \cos (x) + 2 e^{2 x - 4}$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot \sin (x) + 2 e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $- 5 \cdot \sin (x) + 4 e^{2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x^{3} - 5} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 6 \cdot e^{- 2 x^{3} - 5} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} - x} \cdot (- 10 x - 1)$

= $\frac{- 10 x - 1}{- 5 x^{2} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} + 1) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} + 1) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) - 3 (x^{2} + 1) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $4,5 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $4,5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 4,05 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 4,05 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,645 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,645 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,2805 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${(- 0,9)}^{65} \cdot (- 5 e^{- 0,9 x})$

= $0,0053055830599824 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 3$

= $- e^{- 0,1 x} - (x + 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 3$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$

= $- e^{- 0,1 x} + 3 + 0,1 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x}$