$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{3x}·3$

= $\frac{21}{8}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{4x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{4x-4}+x^5·e^{4x-4}·4$

= $5x^4·e^{4x-4}+x^5·4e^{4x-4}$

= $5x^4·e^{4x-4}+4x^5·e^{4x-4}$

= $e^{4x-4}·\left(4x^5+5x^4\right)$

= $\left(4x^5+5x^4\right)·e^{4x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^2-3\right)·e^{-5x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-6x+0\right)·e^{-5x+3}+\left(-3x^2-3\right)·e^{-5x+3}·\left(-5\right)$

= $-6x·e^{-5x+3}+\left(-3x^2-3\right)·\left(-5e^{-5x+3}\right)$

= $-6x·e^{-5x+3}-5\left(-3x^2-3\right)·e^{-5x+3}$

= $e^{-5x+3}·\left(15x^2-6x+15\right)$

= $\left(15x^2-6x+15\right)·e^{-5x+3}$

$\text{f(x)}=$ $7x^3·\ln \left(x^2-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $21x^2·\ln \left(x^2-2\right)+7x^3·\frac{1}{x^2-2}·\left(2x+0\right)$

= $21x^2\ln \left(x^2-2\right)+7x^3·\frac{1}{x^2-2}·\left(2x\right)$

= $21x^2\ln \left(x^2-2\right)+7x^3·2\frac{x}{x^2-2}$

= $21x^2\ln \left(x^2-2\right)+14\frac{x^3·x}{x^2-2}$

= $21x^2\ln \left(x^2-2\right)+14\frac{x^4}{x^2-2}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(e^{3x}-2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-9{\left(e^{3x}-2\right)}^2·(e^{3x}·3+0)$

= $-9{\left(e^{3x}-2\right)}^2·\left(3e^{3x}\right)$

= $-27{\left(e^{3x}-2\right)}^2·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+2$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+2$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{3,2}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+2$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}+2+\mathrm{3,2}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$