$\text{f(x)}=$ $-3+3e^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{5}{8}x}·\frac{5}{8}$

= $\frac{15}{8}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x-4}+\frac{4}{x^2}$

= $-3e^{3x-4}+4x^{-2}$

=> f'(x) = $-3e^{3x-4}·3-8x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x-4}·3-\frac{8}{x^3}$

= $-9e^{3x-4}-\frac{8}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{2x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{2x^3-3}·6x^2$

= $-18·e^{2x^3-3}{x}^2$

= $-18x^2{e}^{2x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $1·\ln \left(x\right)+x·\frac{1}{x}·1$

= $\ln \left(x\right)+x·\frac{1}{x}$

= $\ln \left(x\right)+1$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[3]{x}·e^{-3x}$

= $x^{\frac{1}{3}}·e^{-3x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}·e^{-3x}+x^{\frac{1}{3}}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}·e^{-3x}+\sqrt[3]{x}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\frac{1}{3}\frac{e^{-3x}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+\sqrt[3]{x}·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\frac{1}{3}\frac{e^{-3x}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}-3\sqrt[3]{x}·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{5,75}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{5,75}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{6,6125}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{6,6125}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{7,604375}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{7,604375}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{8,74503125}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{36}·\left(-5e^{-\mathrm{1,15}x}\right)$

= $-\mathrm{765,75925967875}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$