Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{5}{7} e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{5}{7} e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{5}{9} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x + 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 1} + x^{4} \cdot e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 1} + x^{4} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 1})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 1} - 4 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 1}$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x + 2) \cdot e^{- 5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x + 2) \cdot e^{- 5 x + 2}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{- 5 x + 2} + (5 x + 2) \cdot e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $5 e^{- 5 x + 2} + (5 x + 2) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 2})$

= $5 e^{- 5 x + 2} - 5 (5 x + 2) \cdot e^{- 5 x + 2}$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (- 25 x - 5)$

= $(- 25 x - 5) \cdot e^{- 5 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $8 x \cdot \ln (x) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $8 x \ln (x) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $8 x \ln (x) + 4 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 3} + x^{4} \cdot e^{5 x + 3} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 3} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x + 3}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 3} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x + 3}$

= $e^{5 x + 3} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x + 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 78)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 8$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1,8 x - 8,8)$

= $(- 1,8 x - 8,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten