$\text{f(x)}=$ $-5+\frac{1}{2}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{2}{e}^{3x}·3$

= $\frac{3}{2}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3-2e^{-x-3}-4\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-2e^{-x-3}·\left(-1\right)+4\cdot \sin \left(x\right)$

= $\frac{3}{2}{x}^2+2e^{-x-3}+4\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x^2+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x^2+3}·\left(-2x\right)$

= $6·e^{-x^2+3}x$

= $6x{e}^{-x^2+3}$

$\text{f(x)}=$ $5x^3·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $15x^2·\ln \left(x\right)+5x^3·\frac{1}{x}·1$

= $15x^2\ln \left(x\right)+5x^3·\frac{1}{x}$

= $15x^2\ln \left(x\right)+5x^2$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-3x}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-3x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-3x}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-3x}+\sqrt{x}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-3x}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-3x}}{\sqrt{x}}-3\sqrt{x}·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^x·\left(x+75\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+6$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+6$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{0,7}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+6$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}+6+\mathrm{0,7}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$