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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x}$

$f'(x) =$ $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{3} + e^{2 x} \cdot 3 x^{2}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{3} + 3 \cdot e^{2 x} x^{2}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} - 4} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{3} - 4} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 3 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} - 2} \cdot (- 10 x + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{2} - 2} \cdot (- 10 x)$

= $- 10 \frac{x}{- 5 x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(x^{2} - 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(x^{2} - 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $15 {(x^{2} - 2)}^{4} \cdot (2 x + 0)$

= $15 {(x^{2} - 2)}^{4} \cdot (2 x)$

= $30 {(x^{2} - 2)}^{4} x$

= $30 x {(x^{2} - 2)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 8$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $3 e^{- 0,9 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $3 e^{- 0,9 x} - 2,7 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2,7 x - 13,2)$

= $(- 2,7 x - 13,2) \cdot e^{- 0,9 x}$