Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{6}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 1} + x^{3} \cdot e^{5 x - 1} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 1} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x - 1}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 1} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x - 1}$

= $e^{5 x - 1} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{5} - 4 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{5} - 4 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(20 x^{4} - 4) \cdot e^{2 x} + (4 x^{5} - 4 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(20 x^{4} - 4) \cdot e^{2 x} + (4 x^{5} - 4 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(20 x^{4} - 4) \cdot e^{2 x} + 2 (4 x^{5} - 4 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (20 x^{4} - 4 + (8 x^{5} - 8 x))$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{5} + 20 x^{4} - 8 x - 4)$

= $(8 x^{5} + 20 x^{4} - 8 x - 4) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $6 x^{2} \ln (x) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $6 x^{2} \ln (x) + 2 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(3 x + 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(3 x + 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 5 {(3 x + 2)}^{4} \cdot (3 + 0)$

= $- 5 {(3 x + 2)}^{4} \cdot (3)$

= $- 15 {(3 x + 2)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,157625 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,157625 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,21550625 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${1,05}^{75} \cdot e^{1,05 x}$

= $38,832685923756 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 1$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 1$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 1$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 1 + 0,3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten