$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{11}{8}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{11}{8}{e}^{\frac{5}{6}x}·\frac{5}{6}$

= $\frac{55}{48}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x+4}+\frac{3}{x^3}$

= $-3e^{-x+4}+3x^{-3}$

=> f'(x) = $-3e^{-x+4}·\left(-1\right)-9x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x+4}·\left(-1\right)-\frac{9}{x^4}$

= $3e^{-x+4}-\frac{9}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^2+4\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2x+0\right)·e^{-3x}+\left(-x^2+4\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-2x·e^{-3x}+\left(-x^2+4\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-2x·e^{-3x}-3\left(-x^2+4\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(3x^2-2x-12\right)$

= $\left(3x^2-2x-12\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $1·\ln \left(x\right)+x·\frac{1}{x}·1$

= $\ln \left(x\right)+x·\frac{1}{x}$

= $\ln \left(x\right)+1$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+4\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+4\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+4\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+4\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-8\right)$

= $\left(-2x^2+2x-8\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,4641}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{64}·e^{-\mathrm{1,1}x}$

= $\mathrm{445,79156845259}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-3$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-3$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,2}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}-3-\mathrm{1,2}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$