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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{6}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x - 4) \cdot e^{- 5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x - 4) \cdot e^{- 5 x - 3}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{- 5 x - 3} + (5 x - 4) \cdot e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $5 e^{- 5 x - 3} + (5 x - 4) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 3})$

= $5 e^{- 5 x - 3} - 5 (5 x - 4) \cdot e^{- 5 x - 3}$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (- 25 x + 25)$

= $(- 25 x + 25) \cdot e^{- 5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x - 6)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x - 6)$

$f'(x) =$ $21 x^{2} \cdot \ln (x - 6) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 6} \cdot (1 + 0)$

= $21 x^{2} \ln (x - 6) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 6} \cdot (1)$

= $21 x^{2} \ln (x - 6) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 6}$

= $21 x^{2} \ln (x - 6) + 7 \frac{x^{3}}{x - 6}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 2) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 2) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \sin (2 x) + (2 x^{2} - 2) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $4 x \cdot \sin (2 x) + (2 x^{2} - 2) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $4 x \cdot \sin (2 x) + 2 (2 x^{2} - 2) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 9$

= $e^{- 0,6 x} + (x + 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 9$

= $e^{- 0,6 x} - 0,6 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} - 9$

= $e^{- 0,6 x} - 9 - 0,6 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x}$