$\text{f(x)}=$ $-4-2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^x$

= $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^2-4x\right)·e^{2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4x-4\right)·e^{2x-1}+\left(-2x^2-4x\right)·e^{2x-1}·2$

= $\left(-4x-4\right)·e^{2x-1}+\left(-2x^2-4x\right)·2e^{2x-1}$

= $\left(-4x-4\right)·e^{2x-1}+2\left(-2x^2-4x\right)·e^{2x-1}$

= $e^{2x-1}·(-4x-4+\left(-4x^2-8x\right))$

= $e^{2x-1}·\left(-4x^2-12x-4\right)$

= $\left(-4x^2-12x-4\right)·e^{2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{2x}}{x^2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{2x}·2·x^2-e^{2x}·2x}{{\left(x^2\right)}^2}$

= $\frac{2·e^{2x}{x}^2-2·e^{2x}x}{{\left(x^2\right)}^2}$

= $\frac{2x^2·e^{2x}-2x·e^{2x}}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x^2+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^2+2}·\left(2x+0\right)$

= $\frac{1}{x^2+2}·\left(2x\right)$

= $2\frac{x}{x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\sin \left(x^3\right)+x^2·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+x^2·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3x^2\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3x^4·\cos \left(x^3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $-e^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{1,1}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,1}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{1,21}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,21}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{1,331}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,331}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{1,4641}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,1}}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${\mathrm{1,1}}^{61}·\left(-e^{\mathrm{1,1}x}\right)$

= $-\mathrm{334,92980349556}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}-\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$