Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{6}{7} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 4} + \frac{7}{3} x^{4} + 2 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 4} + \frac{7}{3} x^{4} + 2 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3) + \frac{28}{3} x^{3} + 2 \cdot \cos (x)$

= $6 e^{- 3 x - 4} + \frac{28}{3} x^{3} + 2 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} - 4} \cdot 6 x$

= $- 12 \cdot e^{3 x^{2} - 4} x$

= $- 12 x e^{3 x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $1 \cdot \ln (x) + x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $\ln (x) + x \cdot \frac{1}{x}$

= $\ln (x) + 1$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 6) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 6) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (3 x - 6) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $3 \cdot \sin (- 2 x) + (3 x - 6) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $3 \cdot \sin (- 2 x) - 2 (3 x - 6) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 39-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,614125 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,614125 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,52200625 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 39-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 39 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{39}$

Somit gilt für die 39-te Ableitung:

f⁽³⁹⁾(x) = ${(- 0,85)}^{39} \cdot e^{- 0,85 x}$

= $- 0,0017674132351664 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 5$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x - 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 5$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 5$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 5 + 3,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten