Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x + 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 4} + x^{4} \cdot e^{- 5 x + 4} \cdot (- 5)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 4} + x^{4} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 4})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 4} - 5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 4}$

= $e^{- 5 x + 4} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x - 2} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x - 1}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 2 x - 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{- 2 x - 1} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{- 2 x - 1} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 2 x - 1}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 1})$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 2 x - 1}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x - 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 1$

= $- e^{- 0,2 x} - (x - 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 1$

= $- e^{- 0,2 x} + 0,2 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 1$

= $- e^{- 0,2 x} - 1 + 0,2 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten