Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} + 5 x^{2}) \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} + 5 x^{2}) \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} + 10 x) \cdot e^{5 x - 3} + (- x^{5} + 5 x^{2}) \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $(- 5 x^{4} + 10 x) \cdot e^{5 x - 3} + (- x^{5} + 5 x^{2}) \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $(- 5 x^{4} + 10 x) \cdot e^{5 x - 3} + 5 (- x^{5} + 5 x^{2}) \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (- 5 x^{5} + 25 x^{2} + (- 5 x^{4} + 10 x))$

= $e^{5 x - 3} \cdot (- 5 x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2} + 10 x)$

= $(- 5 x^{5} - 5 x^{4} + 25 x^{2} + 10 x) \cdot e^{5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- 2 x} + (- x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 5 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- 2 x} + (- x^{5} - 3 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 5 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{5} + 6 x^{2} + (- 5 x^{4} - 6 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{5} - 5 x^{4} + 6 x^{2} - 6 x)$

= $(2 x^{5} - 5 x^{4} + 6 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x - 5} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{x^{3} + 4}$

= $- 3 {(x^{3} + 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = $3 {(x^{3} + 4)}^{- 2} \cdot (3 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(x^{3} + 4)}^{2}} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{3}{{(x^{3} + 4)}^{2}} \cdot (3 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 4)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{0,9 x}$

f'(x) = $- 5 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 4,5 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 4,5 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 4,05 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 4,05 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 3,645 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,645 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 3,2805 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${0,9}^{54} \cdot (- 5 e^{0,9 x})$

= $- 0,016906959567614 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x - 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,9 x - 6,6)$

= $(0,9 x - 6,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten