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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{5 x - 3} + x^{2} \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $2 x \cdot e^{5 x - 3} + x^{2} \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $2 x \cdot e^{5 x - 3} + 5 x^{2} \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$

= $(5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4} + e^{x} \cdot 4 x^{3}$

= $e^{x} x^{4} + 4 \cdot e^{x} x^{3}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $15 x^{2} \cdot \ln (x) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $15 x^{2} \ln (x) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $15 x^{2} \ln (x) + 5 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{3 x} + 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{3 x} + 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 15 {(e^{3 x} + 2)}^{4} \cdot (e^{3 x} \cdot 3 + 0)$

= $- 15 {(e^{3 x} + 2)}^{4} \cdot (3 e^{3 x})$

= $- 45 {(e^{3 x} + 2)}^{4} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 92)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 2$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 2$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 2 + 3,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x}$