$\text{f(x)}=$ $5+\frac{5}{4}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{4}{e}^{3x}·3$

= $\frac{15}{4}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{2}\cdot \cos \left(x\right)-2\cdot \sin \left(x\right)-2e^{-x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{2}\cdot \sin \left(x\right)-2\cdot \cos \left(x\right)-2e^{-x-4}·\left(-1\right)$

= $\frac{7}{2}\cdot \sin \left(x\right)-2\cdot \cos \left(x\right)+2e^{-x-4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^3+e^{-2x}·3x^2$

= $-2·e^{-2x}{x}^3+3·e^{-2x}{x}^2$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $4x·\ln \left(x+6\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·\ln \left(x+6\right)+4x·\frac{1}{x+6}·\left(1+0\right)$

= $4\ln \left(x+6\right)+4x·\frac{1}{x+6}·\left(1\right)$

= $4\ln \left(x+6\right)+4x·\frac{1}{x+6}$

= $4\ln \left(x+6\right)+4\frac{x}{x+6}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+1\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{2x}+\left(3x+1\right)·e^{2x}·2$

= $3e^{2x}+\left(3x+1\right)·2e^{2x}$

= $3e^{2x}+2\left(3x+1\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(6x+5\right)$

= $\left(6x+5\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $-3e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{3,45}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,45}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{3,9675}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{3,9675}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{4,562625}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{4,562625}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{5,24701875}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{41}·\left(-3e^{-\mathrm{1,15}x}\right)$

= $\mathrm{924,12923450972}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+7$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+7$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}+7-\mathrm{0,5}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$