$\text{f(x)}=$ $-3-2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}\left(3x^3+5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(3x^3+5x\right)+e^{-x}·\left(9x^2+5\right)$

= $-e^{-x}\left(3x^3+5x\right)+e^{-x}\left(9x^2+5\right)$

= $e^{-x}·(9x^2+5+\left(-3x^3-5x\right))$

= $e^{-x}·\left(-3x^3+9x^2-5x+5\right)$

= $\left(-3x^3+9x^2-5x+5\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^5+4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-5x^4+12x^2\right)·e^{-2x}+\left(-x^5+4x^3\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\left(-5x^4+12x^2\right)·e^{-2x}+\left(-x^5+4x^3\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\left(-5x^4+12x^2\right)·e^{-2x}-2\left(-x^5+4x^3\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·(2x^5-8x^3+\left(-5x^4+12x^2\right))$

= $e^{-2x}·\left(2x^5-5x^4-8x^3+12x^2\right)$

= $\left(2x^5-5x^4-8x^3+12x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $3\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{6x}·6$

= $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(-3x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(-3x+1\right)·\left(-3+0\right)$

= $2\cdot \cos \left(-3x+1\right)·\left(-3\right)$

= $-6\cdot \cos \left(-3x+1\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,52200625}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{48}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

= $\mathrm{0,00040936285634976}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+2$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+2$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,6}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+2$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}+2-\mathrm{0,6}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$