Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} (4 x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} (4 x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (4 x^{3} + 1) + e^{- 2 x} \cdot (12 x^{2} + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (4 x^{3} + 1) + e^{- 2 x} \cdot (12 x^{2})$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (4 x^{3} + 1) + 12 \cdot e^{- 2 x} x^{2}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{3} + 12 x^{2} - 2)$

= $(- 8 x^{3} + 12 x^{2} - 2) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x + 1) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x + 1) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (- x + 1) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- e^{- 2 x} + (- x + 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- e^{- 2 x} - 2 (- x + 1) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x - 3)$

= $(2 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $14 x \cdot \ln (x) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $14 x \ln (x) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $14 x \ln (x) + 7 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 3) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 3) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (x^{2} + 3) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${1,1}^{57} \cdot e^{1,1 x}$

= $228,76156239025 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 6$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 6$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 6 + 0,3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten