Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 2} + x^{5} \cdot e^{5 x + 2} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 2} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x + 2}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 2} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x + 2}$

= $e^{5 x + 2} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{e^{3 x}}{x^{5}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{e^{3 x}}{x^{5}}$

$f'(x) =$ $\frac{e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{5} - e^{3 x} \cdot 5 x^{4}}{{(x^{5})}^{2}}$

= $\frac{3 \cdot e^{3 x} x^{5} - 5 \cdot e^{3 x} x^{4}}{{(x^{5})}^{2}}$

= $\frac{3 x^{5} \cdot e^{3 x} - 5 x^{4} \cdot e^{3 x}}{x^{10}}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x + 9)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x + 9)$

$f'(x) =$ $9 x^{2} \cdot \ln (x + 9) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 9} \cdot (1 + 0)$

= $9 x^{2} \ln (x + 9) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 9} \cdot (1)$

= $9 x^{2} \ln (x + 9) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 9}$

= $9 x^{2} \ln (x + 9) + 3 \frac{x^{3}}{x + 9}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 2 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (- 2 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (- 2 x) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 2 x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 2 x)}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot \sin (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${(- 1,1)}^{48} \cdot e^{- 1,1 x}$

= $97,017233784873 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 1$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 1$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

= $3 e^{- 0,8 x} - 1 - 2,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten