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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{4 x + 3} + x^{2} \cdot e^{4 x + 3} \cdot 4$

= $2 x \cdot e^{4 x + 3} + x^{2} \cdot 4 e^{4 x + 3}$

= $2 x \cdot e^{4 x + 3} + 4 x^{2} \cdot e^{4 x + 3}$

= $e^{4 x + 3} \cdot (4 x^{2} + 2 x)$

= $(4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} - 2} \cdot (- 4 x)$

= $- 8 \cdot e^{- 2 x^{2} - 2} x$

= $- 8 x e^{- 2 x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $4 x \cdot \ln (x^{2} - 2) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 2} \cdot (2 x + 0)$

= $4 x \ln (x^{2} - 2) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 2} \cdot (2 x)$

= $4 x \ln (x^{2} - 2) + 2 x^{2} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 2}$

= $4 x \ln (x^{2} - 2) + 4 \frac{x^{2} \cdot x}{x^{2} - 2}$

= $4 x \ln (x^{2} - 2) + 4 \frac{x^{3}}{x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (2 x) + (x^{2} - 5) \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $2 x \cdot \cos (2 x) + (x^{2} - 5) \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $2 x \cdot \cos (2 x) - 2 (x^{2} - 5) \cdot \sin (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 4$

= $3 e^{- 0,9 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 4$

= $3 e^{- 0,9 x} - 2,7 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 4$

= $3 e^{- 0,9 x} + 4 - 2,7 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x}$