$\text{f(x)}=$ $1-3e^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{5}{8}x}·\frac{5}{8}$

= $-\frac{15}{8}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x+1}-\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x+1}·\left(-3\right)-\cos \left(x\right)$

= $9e^{-3x+1}-\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^x·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·x^3+e^x·3x^2$

= $e^x{x}^3+3·e^x{x}^2$

= $e^x·\left(x^3+3x^2\right)$

= $\left(x^3+3x^2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $6x^3·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $18x^2·\ln \left(x\right)+6x^3·\frac{1}{x}·1$

= $18x^2\ln \left(x\right)+6x^3·\frac{1}{x}$

= $18x^2\ln \left(x\right)+6x^2$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·e^{2x}$

= $x^{\frac{1}{4}}·e^{2x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·e^{2x}+x^{\frac{1}{4}}·e^{2x}·2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·e^{2x}+\sqrt[4]{x}·e^{2x}·2$

= $\frac{1}{4}\frac{e^{2x}}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·2e^{2x}$

= $\frac{1}{4}\frac{e^{2x}}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+2\sqrt[4]{x}·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-2e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{1,7}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,7}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{1,445}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,445}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{1,22825}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,22825}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $-\mathrm{1,0440125}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{34}·\left(-2e^{\mathrm{0,85}x}\right)$

= $-\mathrm{0,0079666084014552}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-7$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-7$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-7-\mathrm{0,6}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$