$\text{f(x)}=$ $2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^3-1\right)·e^{4x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-9x^2+0\right)·e^{4x-2}+\left(-3x^3-1\right)·e^{4x-2}·4$

= $-9x^2·e^{4x-2}+\left(-3x^3-1\right)·4e^{4x-2}$

= $-9x^2·e^{4x-2}+4\left(-3x^3-1\right)·e^{4x-2}$

= $e^{4x-2}·\left(-12x^3-9x^2-4\right)$

= $\left(-12x^3-9x^2-4\right)·e^{4x-2}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x}+x^3·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x}+x^3·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3x^2·e^{-3x}-3x^3·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $2x^3·\ln \left(x^2+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6x^2·\ln \left(x^2+3\right)+2x^3·\frac{1}{x^2+3}·\left(2x+0\right)$

= $6x^2\ln \left(x^2+3\right)+2x^3·\frac{1}{x^2+3}·\left(2x\right)$

= $6x^2\ln \left(x^2+3\right)+2x^3·2\frac{x}{x^2+3}$

= $6x^2\ln \left(x^2+3\right)+4\frac{x^3·x}{x^2+3}$

= $6x^2\ln \left(x^2+3\right)+4\frac{x^4}{x^2+3}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(e^{2x}-5\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2\left(e^{2x}-5\right)·(e^{2x}·2+0)$

= $-2\left(e^{2x}-5\right)·\left(2e^{2x}\right)$

= $-4\left(e^{2x}-5\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,52200625}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{36}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

= $\mathrm{0,0028779372850257}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,2}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{9,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{9,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$