$\text{f(x)}=$ $-1-2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}\left(x^2-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(x^2-4x\right)+e^{-x}·\left(2x-4\right)$

= $-e^{-x}\left(x^2-4x\right)+e^{-x}\left(2x-4\right)$

= $e^{-x}·(2x-4+\left(-x^2+4x\right))$

= $e^{-x}·\left(-x^2+6x-4\right)$

= $\left(-x^2+6x-4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x-5}·2$

= $6e^{2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $4x^2·\ln \left(x+8\right)$

$\text{f'(x)}=$ $8x·\ln \left(x+8\right)+4x^2·\frac{1}{x+8}·\left(1+0\right)$

= $8x\ln \left(x+8\right)+4x^2·\frac{1}{x+8}·\left(1\right)$

= $8x\ln \left(x+8\right)+4x^2·\frac{1}{x+8}$

= $8x\ln \left(x+8\right)+4\frac{x^2}{x+8}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+1\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{2x}+\left(2x+1\right)·e^{2x}·2$

= $2e^{2x}+\left(2x+1\right)·2e^{2x}$

= $2e^{2x}+2\left(2x+1\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(4x+4\right)$

= $\left(4x+4\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,52200625}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{50}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

= $\mathrm{0,0002957646637127}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-6$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-6$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{1,5}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-6$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}-6-\mathrm{1,5}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$