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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{2} + 4 x) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{2} + 4 x) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 2 x + 4) \cdot e^{x} + (- x^{2} + 4 x) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 2 x + 4 + (- x^{2} + 4 x))$

= $e^{x} \cdot (- x^{2} + 2 x + 4)$

= $(- x^{2} + 2 x + 4) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} - 5} \cdot (- 6 x)$

= $6 \cdot e^{- 3 x^{2} - 5} x$

= $6 x e^{- 3 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x + 4)$

$f'(x) =$ $14 x \cdot \ln (x + 4) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 4} \cdot (1 + 0)$

= $14 x \ln (x + 4) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 4} \cdot (1)$

= $14 x \ln (x + 4) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 4}$

= $14 x \ln (x + 4) + 7 \frac{x^{2}}{x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sin (x) + 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sin (x) + 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $2 (\sin (x) + 5) \cdot (\cos (x) + 0)$

= $2 (\sin (x) + 5) \cdot (\cos (x))$

= $2 (\sin (x) + 5) \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${1,1}^{46} \cdot e^{1,1 x}$

= $80,179532053614 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} - x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 1$

= $e^{- 0,2 x} + (x - 7) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 1$

= $e^{- 0,2 x} - 0,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 1$

= $e^{- 0,2 x} - 1 - 0,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x}$