Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 5 x) \cdot e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 5 x) \cdot e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 5) \cdot e^{- 3 x + 1} + (- 2 x^{2} + 5 x) \cdot e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $(- 4 x + 5) \cdot e^{- 3 x + 1} + (- 2 x^{2} + 5 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 1})$

= $(- 4 x + 5) \cdot e^{- 3 x + 1} - 3 (- 2 x^{2} + 5 x) \cdot e^{- 3 x + 1}$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 4 x + 5 + (6 x^{2} - 15 x))$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (6 x^{2} - 19 x + 5)$

= $(6 x^{2} - 19 x + 5) \cdot e^{- 3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} - 2) \cdot e^{- 3 x + 3} + (- x^{4} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $(- 4 x^{3} - 2) \cdot e^{- 3 x + 3} + (- x^{4} - 2 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 3})$

= $(- 4 x^{3} - 2) \cdot e^{- 3 x + 3} - 3 (- x^{4} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 3}$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (- 4 x^{3} - 2 + (3 x^{4} + 6 x))$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (3 x^{4} - 4 x^{3} + 6 x - 2)$

= $(3 x^{4} - 4 x^{3} + 6 x - 2) \cdot e^{- 3 x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x) + x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $3 x^{2} \ln (x) + x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $3 x^{2} \ln (x) + x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(x - 5)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(x - 5)}^{5}$

$f'(x) =$ $10 {(x - 5)}^{4} \cdot (1 + 0)$

= $10 {(x - 5)}^{4} \cdot (1)$

= $10 {(x - 5)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $5 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 5,75 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 5,75 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $6,6125 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $6,6125 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 7,604375 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 7,604375 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $8,74503125 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${(- 1,15)}^{43} \cdot 5 e^{- 1,15 x}$

= $- 2 036,9348543985 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,4 x + 4)$

= $(- 0,4 x + 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten