$\text{f(x)}=$ $1+e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{2x}·2$

= $2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x+2\right)·e^{x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4+0\right)·e^{x+4}+\left(4x+2\right)·e^{x+4}·1$

= $4e^{x+4}+\left(4x+2\right)·e^{x+4}$

= $e^{x+4}·\left(4x+6\right)$

= $\left(4x+6\right)·e^{x+4}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2x}+x^2·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+x^2·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2x^2·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{6x}·6$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·e^{-2x}$

= $x^{\frac{1}{4}}·e^{-2x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·e^{-2x}+x^{\frac{1}{4}}·e^{-2x}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·e^{-2x}+\sqrt[4]{x}·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{e^{-2x}}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{e^{-2x}}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-2\sqrt[4]{x}·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^x$

f'(x) = $-5e^x$

f''(x) = $-5e^x$

f'''(x) = $-5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $-5e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,6}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,2}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$