Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} (- 4 x^{4} - 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} (- 4 x^{4} - 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 4 x^{4} - 4 x^{2}) + e^{2 x} \cdot (- 16 x^{3} - 8 x)$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 4 x^{4} - 4 x^{2}) + e^{2 x} (- 16 x^{3} - 8 x)$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{4} - 8 x^{2} + (- 16 x^{3} - 8 x))$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x)$

= $(- 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{5} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{5} - 4)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 3 x^{5} - 4) + e^{3 x} \cdot (- 15 x^{4} + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 3 x^{5} - 4) + e^{3 x} \cdot (- 15 x^{4})$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 3 x^{5} - 4) - 15 \cdot e^{3 x} x^{4}$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{5} - 15 x^{4} - 12)$

= $(- 9 x^{5} - 15 x^{4} - 12) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $10 x \cdot \ln (x) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $10 x \ln (x) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $10 x \ln (x) + 5 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{{(2 x^{3} - 1)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{{(2 x^{3} - 1)}^{3}}$

= $- {(2 x^{3} - 1)}^{- 3}$

=> f'(x) = $3 {(2 x^{3} - 1)}^{- 4} \cdot (6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(2 x^{3} - 1)}^{4}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\frac{3}{{(2 x^{3} - 1)}^{4}} \cdot (6 x^{2})$

= $18 \frac{x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 5 e^{- 0,4 x} - 5 (x - 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 5 e^{- 0,4 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 x - 9)$

= $(2 x - 9) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten