$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^5-4x^2\right)·e^{-2x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(20x^4-8x\right)·e^{-2x+3}+\left(4x^5-4x^2\right)·e^{-2x+3}·\left(-2\right)$

= $\left(20x^4-8x\right)·e^{-2x+3}+\left(4x^5-4x^2\right)·\left(-2e^{-2x+3}\right)$

= $\left(20x^4-8x\right)·e^{-2x+3}-2\left(4x^5-4x^2\right)·e^{-2x+3}$

= $e^{-2x+3}·(-8x^5+8x^2+\left(20x^4-8x\right))$

= $e^{-2x+3}·\left(-8x^5+20x^4+8x^2-8x\right)$

= $\left(-8x^5+20x^4+8x^2-8x\right)·e^{-2x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x-1}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x-1}$

$\text{f(x)}=$ $7x^3·\ln \left(x^2+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $21x^2·\ln \left(x^2+5\right)+7x^3·\frac{1}{x^2+5}·\left(2x+0\right)$

= $21x^2\ln \left(x^2+5\right)+7x^3·\frac{1}{x^2+5}·\left(2x\right)$

= $21x^2\ln \left(x^2+5\right)+7x^3·2\frac{x}{x^2+5}$

= $21x^2\ln \left(x^2+5\right)+14\frac{x^3·x}{x^2+5}$

= $21x^2\ln \left(x^2+5\right)+14\frac{x^4}{x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{2x^2+5}$

= ${\left(2x^2+5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{\left(2x^2+5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(4x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\cdot \sqrt{2x^2+5}}·\left(4x+0\right)$

= $\frac{1}{2\cdot \sqrt{2x^2+5}}·\left(4x\right)$

= $2\frac{x}{\sqrt{2x^2+5}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^x$

f'(x) = $3e^x$

f''(x) = $3e^x$

f'''(x) = $3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-2$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-2$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-2$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}-2+3\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$