$\text{f(x)}=$ $-4-3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{2x}·2$

= $-6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^4+x^3\right)·e^{-5x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(16x^3+3x^2\right)·e^{-5x-1}+\left(4x^4+x^3\right)·e^{-5x-1}·\left(-5\right)$

= $\left(16x^3+3x^2\right)·e^{-5x-1}+\left(4x^4+x^3\right)·\left(-5e^{-5x-1}\right)$

= $\left(16x^3+3x^2\right)·e^{-5x-1}-5\left(4x^4+x^3\right)·e^{-5x-1}$

= $e^{-5x-1}·(-20x^4-5x^3+\left(16x^3+3x^2\right))$

= $e^{-5x-1}·\left(-20x^4+11x^3+3x^2\right)$

= $\left(-20x^4+11x^3+3x^2\right)·e^{-5x-1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x^2-5}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x^2-5}·\left(-4x\right)$

= $-4·e^{-2x^2-5}x$

= $-4x{e}^{-2x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $5x^3·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $15x^2·\ln \left(x\right)+5x^3·\frac{1}{x}·1$

= $15x^2\ln \left(x\right)+5x^3·\frac{1}{x}$

= $15x^2\ln \left(x\right)+5x^2$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+6\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{3x}+\left(x^2+6\right)·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+\left(x^2+6\right)·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3\left(x^2+6\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x+18\right)$

= $\left(3x^2+2x+18\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+90\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{0,5}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{0,5}x-3\right)$

= $\left(\mathrm{0,5}x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$