Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{9}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{9}{8} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{9}{8} x} \cdot \frac{9}{8}$

= $\frac{63}{64} e^{\frac{9}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 2} + x^{4} \cdot e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 2} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x + 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 2} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x + 2}$

= $e^{3 x + 2} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{4} + e^{- x} \cdot 4 x^{3}$

= $- e^{- x} x^{4} + 4 \cdot e^{- x} x^{3}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x - 2)$

$f'(x) =$ $18 x^{2} \cdot \ln (x - 2) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 2} \cdot (1 + 0)$

= $18 x^{2} \ln (x - 2) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 2} \cdot (1)$

= $18 x^{2} \ln (x - 2) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 2}$

= $18 x^{2} \ln (x - 2) + 6 \frac{x^{3}}{x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (- 2 x) + (2 x - 2) \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $2 \cdot \cos (- 2 x) + (2 x - 2) \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $2 \cdot \cos (- 2 x) + 2 (2 x - 2) \cdot \sin (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${(- 0,9)}^{52} \cdot e^{- 0,9 x}$

= $0,0041745579179293 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 2 e^{- 0,2 x} - 2 (x - 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 2 e^{- 0,2 x} + 0,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,4 x - 2,8)$

= $(0,4 x - 2,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten