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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{x}$

= $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x - 3) \cdot e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x - 3) \cdot e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{3 x - 4} + (4 x - 3) \cdot e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $4 e^{3 x - 4} + (4 x - 3) \cdot 3 e^{3 x - 4}$

= $4 e^{3 x - 4} + 3 (4 x - 3) \cdot e^{3 x - 4}$

= $e^{3 x - 4} \cdot (12 x - 5)$

= $(12 x - 5) \cdot e^{3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x^{3} + 3} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \cdot e^{- 3 x^{3} + 3} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $14 x \cdot \ln (x) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $14 x \ln (x) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $14 x \ln (x) + 7 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{3 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{3 x^{2} + 4}$

= $- {(3 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(3 x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x^{2} + 4}} \cdot (6 x + 0)$

= $- \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x^{2} + 4}} \cdot (6 x)$

= $- 3 \frac{x}{\sqrt{3 x^{2} + 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 78)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 3 (x - 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 3 e^{- 0,9 x} + 2,7 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2,7 x - 5,7)$

= $(2,7 x - 5,7) \cdot e^{- 0,9 x}$