Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 3 e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 3 e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} - 5 x^{2}) \cdot e^{5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} - 5 x^{2}) \cdot e^{5 x + 4}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} - 10 x) \cdot e^{5 x + 4} + (5 x^{5} - 5 x^{2}) \cdot e^{5 x + 4} \cdot 5$

= $(25 x^{4} - 10 x) \cdot e^{5 x + 4} + (5 x^{5} - 5 x^{2}) \cdot 5 e^{5 x + 4}$

= $(25 x^{4} - 10 x) \cdot e^{5 x + 4} + 5 (5 x^{5} - 5 x^{2}) \cdot e^{5 x + 4}$

= $e^{5 x + 4} \cdot (25 x^{5} - 25 x^{2} + (25 x^{4} - 10 x))$

= $e^{5 x + 4} \cdot (25 x^{5} + 25 x^{4} - 25 x^{2} - 10 x)$

= $(25 x^{5} + 25 x^{4} - 25 x^{2} - 10 x) \cdot e^{5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{- 2 x^{3} + 5 x^{2}}{e^{x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{- 2 x^{3} + 5 x^{2}}{e^{x}}$

$f'(x) =$ $\frac{(- 6 x^{2} + 10 x) \cdot e^{x} - (- 2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}}$

= $\frac{- (- 2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{x} + (- 6 x^{2} + 10 x) \cdot e^{x}}{e^{2 x}}$

= $\frac{e^{x - 2 x} \cdot (- x^{2} (- 2 x + 5) + 2 x (- 3 x + 5))}{1}$

= $\frac{e^{- x} \cdot (- x^{2} (- 2 x + 5) + 2 x (- 3 x + 5))}{1}$

= $\frac{(- x^{2} (- 2 x + 5) + 2 x (- 3 x + 5)) \cdot e^{- x}}{1}$

= $(- x^{2} \cdot (- 2 x + 5) + 2 x \cdot (- 3 x + 5)) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $7 \cdot \ln (x) + 7 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $7 \ln (x) + 7 x \cdot \frac{1}{x}$

= $7 \ln (x) + 7$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) - 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) - 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 8 {(\cos (x) - 2)}^{3} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 8 {(\cos (x) - 2)}^{3} \cdot (- \sin (x))$

= $8 {(\cos (x) - 2)}^{3} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 5$

= $4 e^{- 0,4 x} + 4 (x - 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 5$

= $4 e^{- 0,4 x} - 1,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$

= $4 e^{- 0,4 x} + 5 - 1,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten