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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x - 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{x - 2} + x^{5} \cdot e^{x - 2} \cdot 1$

= $5 x^{4} \cdot e^{x - 2} + x^{5} \cdot e^{x - 2}$

= $e^{x - 2} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $e^{- x^{2} + 3} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \cdot e^{- x^{2} + 3} x$

= $- 2 x e^{- x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} - 4 x} \cdot (2 x - 4)$

= $\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 8) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 8) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 8) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 8) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 8) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 15)$

= $(2 x - 15) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{1,05 x}$

f'(x) = $- 2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 2,1 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 2,1 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 2,205 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 2,205 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 2,31525 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,31525 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 2,4310125 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${1,05}^{60} \cdot (- 2 e^{1,05 x})$

= $- 37,358371788246 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 7$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $5 e^{- 0,1 x} + 5 (x - 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $5 e^{- 0,1 x} - 0,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,5 x + 7)$

= $(- 0,5 x + 7) \cdot e^{- 0,1 x}$