Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $- \frac{7}{8} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 4} + \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x - 4} + \sqrt{x}$

= $3 e^{x - 4} + x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $3 e^{x - 4} \cdot 1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $3 e^{x - 4} \cdot 1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

= $3 e^{x - 4} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(8 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (4 x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $8 x \cdot e^{- 3 x} + (4 x^{2} + 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $8 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (4 x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{2} + 8 x - 12)$

= $(- 12 x^{2} + 8 x - 12) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x^{2} + 7)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x^{2} + 7)$

$f'(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 7) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} + 7} \cdot (2 x + 0)$

= $6 x^{2} \ln (x^{2} + 7) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} + 7} \cdot (2 x)$

= $6 x^{2} \ln (x^{2} + 7) + 2 x^{3} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 7}$

= $6 x^{2} \ln (x^{2} + 7) + 4 \frac{x^{3} \cdot x}{x^{2} + 7}$

= $6 x^{2} \ln (x^{2} + 7) + 4 \frac{x^{4}}{x^{2} + 7}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 3)$

= $(2 x - 3) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 70-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,857375 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,857375 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,81450625 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${(- 0,95)}^{70} \cdot e^{- 0,95 x}$

= $0,027583690436775 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,9 x + 1,5)$

= $(0,9 x + 1,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten