$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{x^2}-9x^5+2e^{-2x+1}$

= $-x^{-2}-9x^5+2e^{-2x+1}$

=> f'(x) = $2x^{-3}-45x^4+2e^{-2x+1}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{x^3}-45x^4+2e^{-2x+1}·\left(-2\right)$

= $\frac{2}{x^3}-45x^4-4e^{-2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^4-x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x^3-3x^2\right)·e^{-2x}+\left(2x^4-x^3\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\left(8x^3-3x^2\right)·e^{-2x}+\left(2x^4-x^3\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\left(8x^3-3x^2\right)·e^{-2x}-2\left(2x^4-x^3\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·(-4x^4+2x^3+\left(8x^3-3x^2\right))$

= $e^{-2x}·\left(-4x^4+10x^3-3x^2\right)$

= $\left(-4x^4+10x^3-3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{7x}·7$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x}+x^4·e^{3x}·3$

= $4x^3·e^{3x}+x^4·3e^{3x}$

= $4x^3·e^{3x}+3x^4·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{-x}$

f'(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f''(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f'''(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-7$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-7$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,5}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-7$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}-7+\mathrm{0,5}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$