$\text{f(x)}=$ $3e^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{\frac{7}{8}x}·\frac{7}{8}$

= $\frac{21}{8}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-5x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-5x-3}+x^4·e^{-5x-3}·\left(-5\right)$

= $4x^3·e^{-5x-3}+x^4·\left(-5e^{-5x-3}\right)$

= $4x^3·e^{-5x-3}-5x^4·e^{-5x-3}$

= $e^{-5x-3}·\left(-5x^4+4x^3\right)$

= $\left(-5x^4+4x^3\right)·e^{-5x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^x}{x^2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^x·x^2-e^x·2x}{{\left(x^2\right)}^2}$

= $\frac{e^x{x}^2-2·e^{x}x}{{\left(x^2\right)}^2}$

= $\frac{x^2·e^x-2x·e^x}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $3x^3·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $9x^2·\ln \left(x\right)+3x^3·\frac{1}{x}·1$

= $9x^2\ln \left(x\right)+3x^3·\frac{1}{x}$

= $9x^2\ln \left(x\right)+3x^2$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-9\right)·\cos \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(2x\right)+\left(3x-9\right)·(-\sin \left(2x\right)·2)$

= $3\cdot \cos \left(2x\right)+\left(3x-9\right)·\left(-2\cdot \sin \left(2x\right)\right)$

= $3\cdot \cos \left(2x\right)-2\left(3x-9\right)·\sin \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-x}$

f'(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f'''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{2,4}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{2,4}x+\mathrm{12,8}\right)$

= $\left(\mathrm{2,4}x+\mathrm{12,8}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$