Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 3 e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 3 e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{18}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 4} + 4 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x - 4} + 4 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $3 e^{x - 4} \cdot 1 - 4 \cdot \sin (x)$

= $3 e^{x - 4} - 4 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{e^{2 x}}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{e^{2 x}}{x^{4}}$

$f'(x) =$ $\frac{e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{4} - e^{2 x} \cdot 4 x^{3}}{{(x^{4})}^{2}}$

= $\frac{2 \cdot e^{2 x} x^{4} - 4 \cdot e^{2 x} x^{3}}{{(x^{4})}^{2}}$

= $\frac{2 x^{4} \cdot e^{2 x} - 4 x^{3} \cdot e^{2 x}}{x^{8}}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $21 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 1) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \cdot (2 x + 0)$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} - 1) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \cdot (2 x)$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} - 1) + 7 x^{3} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 1}$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} - 1) + 14 \frac{x^{3} \cdot x}{x^{2} - 1}$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} - 1) + 14 \frac{x^{4}}{x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(- 2 x^{3} - 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(- 2 x^{3} - 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $6 {(- 2 x^{3} - 4)}^{2} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $6 {(- 2 x^{3} - 4)}^{2} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 36 {(- 2 x^{3} - 4)}^{2} x^{2}$

= $- 36 {((- 2 x^{3} - 4) x)}^{2}$

= $- 36 {(x (- 2 x^{3} - 4))}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{0,9 x}$

f'(x) = $3 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,7 e^{0,9 x}$

f''(x) = $2,7 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,43 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $2,43 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,187 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,187 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,9683 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${0,9}^{46} \cdot 3 e^{0,9 x}$

= $0,023565501633837 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 1$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x - 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 1$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 1$

= $2 e^{- 0,9 x} + 1 - 1,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten