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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{5} - 4 \cdot \sin (x) + 3 e^{- 2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{5} - 4 \cdot \sin (x) + 3 e^{- 2 x - 2}$

$f'(x) =$ $10 x^{4} - 4 \cdot \cos (x) + 3 e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $10 x^{4} - 4 \cdot \cos (x) - 6 e^{- 2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2} + e^{x} \cdot 2 x$

= $e^{x} x^{2} + 2 \cdot e^{x} x$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $5 \cdot \ln (x) + 5 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $5 \ln (x) + 5 x \cdot \frac{1}{x}$

= $5 \ln (x) + 5$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(e^{2 x} + 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(e^{2 x} + 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 (e^{2 x} + 5) \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $- 4 (e^{2 x} + 5) \cdot (2 e^{2 x})$

= $- 8 (e^{2 x} + 5) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 40-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $5 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 4,25 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 4,25 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $3,6125 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $3,6125 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 3,070625 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,070625 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,61003125 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${(- 0,85)}^{40} \cdot 5 e^{- 0,85 x}$

= $0,0075115062494572 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 9$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x - 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 9$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 9$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 9 + 2,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$