$\text{f(x)}=$ $2e^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{\frac{5}{7}x}·\frac{5}{7}$

= $\frac{10}{7}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)-e^{3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)-e^{3x+5}·3$

= $3\cdot \cos \left(x\right)-3e^{3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x^3+5}·\left(-3x^2\right)$

= $3·e^{-x^3+5}{x}^2$

= $3x^2{e}^{-x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^3-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^3-5}·\left(15x^2+0\right)$

= $\frac{1}{5x^3-5}·\left(15x^2\right)$

= $15\frac{x^2}{5x^3-5}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(\cos \left(x\right)-3\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-8{\left(\cos \left(x\right)-3\right)}^3·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $-8{\left(\cos \left(x\right)-3\right)}^3·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $8{\left(\cos \left(x\right)-3\right)}^3·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-x}$

f'(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}x}-2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{1,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{1,4}x+\mathrm{0,8}\right)$

= $\left(\mathrm{1,4}x+\mathrm{0,8}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$