Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{3}{2} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x} + (x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x} + (x^{3} + 2 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x} + 2 (x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 4 x^{2} + (3 x^{2} + 4 x))$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 7 x^{2} + 4 x)$

= $(2 x^{3} + 7 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

= $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \ln (x) + 2 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $2 \ln (x) + 2 x \cdot \frac{1}{x}$

= $2 \ln (x) + 2$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 5) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 5) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} - 5) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 79)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} - x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 1$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x + 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 1$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 1$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 1 + 2,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten