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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x + 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x + 4} + x^{2} \cdot e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x + 4} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x + 4}$

= $2 x \cdot e^{3 x + 4} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x + 4}$

= $e^{3 x + 4} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{x^{3}}{e^{x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{x^{3}}{e^{x}}$

$f'(x) =$ $\frac{3 x^{2} \cdot e^{x} - x^{3} \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}}$

= $\frac{3 x^{2} \cdot e^{x} - x^{3} \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}}$

= $\frac{- x^{3} \cdot e^{x} + 3 x^{2} \cdot e^{x}}{e^{2 x}}$

= $\frac{e^{x - 2 x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})}{1}$

= $\frac{e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})}{1}$

= $\frac{(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x}}{1}$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x - 4)$

$f'(x) =$ $6 x \cdot \ln (x - 4) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 4} \cdot (1 + 0)$

= $6 x \ln (x - 4) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 4} \cdot (1)$

= $6 x \ln (x - 4) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 4}$

= $6 x \ln (x - 4) + 3 \frac{x^{2}}{x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (2 x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (2 x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (2 x^{2} - 4) \cdot (4 x + 0)$

= $- 3 \cdot \sin (2 x^{2} - 4) \cdot (4 x)$

= $- 12 \sin (2 x^{2} - 4) x$

= $- 12 x \cdot \sin (2 x^{2} - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 8$

= $e^{- 0,7 x} + (x + 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 8$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$

= $e^{- 0,7 x} + 8 - 0,7 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x}$