Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{1}{3} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{1}{3} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{3} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x + 1} + \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x + 1} + \sqrt{x}$

= $2 e^{- x + 1} + x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2 e^{- x + 1} \cdot (- 1) + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x + 1} \cdot (- 1) + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

= $- 2 e^{- x + 1} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 6)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 6)$

$f'(x) =$ $10 x \cdot \ln (x^{2} + 6) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 6} \cdot (2 x + 0)$

= $10 x \ln (x^{2} + 6) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 6} \cdot (2 x)$

= $10 x \ln (x^{2} + 6) + 5 x^{2} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 6}$

= $10 x \ln (x^{2} + 6) + 10 \frac{x^{2} \cdot x}{x^{2} + 6}$

= $10 x \ln (x^{2} + 6) + 10 \frac{x^{3}}{x^{2} + 6}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(e^{2 x} + 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(e^{2 x} + 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 2 (e^{2 x} + 4) \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $- 2 (e^{2 x} + 4) \cdot (2 e^{2 x})$

= $- 4 (e^{2 x} + 4) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${(- 0,9)}^{57} \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 0,0024650347049581 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 5$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 5$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

= $e^{- 0,9 x} - 5 - 0,9 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten