$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{3}{4}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-4x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-4x+5}+x^4·e^{-4x+5}·\left(-4\right)$

= $4x^3·e^{-4x+5}+x^4·\left(-4e^{-4x+5}\right)$

= $4x^3·e^{-4x+5}-4x^4·e^{-4x+5}$

= $e^{-4x+5}·\left(-4x^4+4x^3\right)$

= $\left(-4x^4+4x^3\right)·e^{-4x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{x^2}{e^{3x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2x·e^{3x}-x^2·e^{3x}·3}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{2x·e^{3x}-x^2·3e^{3x}}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{2x·e^{3x}-3x^2·e^{3x}}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{-3x^2·e^{3x}+2x·e^{3x}}{e^{6x}}$

= $\frac{e^{3x-6x}·\left(-3x^2+2x\right)}{1}$

= $\frac{e^{-3x}·\left(-3x^2+2x\right)}{1}$

= $\frac{\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x}}{1}$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^2+x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^2+x}·\left(4x+1\right)$

= $\frac{4x+1}{2x^2+x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[3]{x}·e^{-2x}$

= $x^{\frac{1}{3}}·e^{-2x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}·e^{-2x}+x^{\frac{1}{3}}·e^{-2x}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}·e^{-2x}+\sqrt[3]{x}·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\frac{1}{3}\frac{e^{-2x}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+\sqrt[3]{x}·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\frac{1}{3}\frac{e^{-2x}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}-2\sqrt[3]{x}·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,729}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{45}·e^{\mathrm{0,9}x}$

= $\mathrm{0,0087279635680877}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{3,2}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{3,2}x-\mathrm{13,6}\right)$

= $\left(\mathrm{3,2}x-\mathrm{13,6}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$