Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{x}$

= $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 4} + x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 4} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 4})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 4} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4}$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x^{3} - 1} \cdot 9 x^{2}$

= $27 \cdot e^{3 x^{3} - 1} x^{2}$

= $27 x^{2} e^{3 x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $4 x \cdot \ln (x) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $4 x \ln (x) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $4 x \ln (x) + 2 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (2 x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (2 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (2 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (2 x) + \sqrt{x} \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (2 x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (2 x)}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 31-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{1,15 x}$

f'(x) = $3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,45 e^{1,15 x}$

f''(x) = $3,45 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,9675 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $3,9675 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $4,562625 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,562625 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,24701875 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${1,15}^{31} \cdot 3 e^{1,15 x}$

= $228,43061325091 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 2 e^{- 0,2 x} - 2 (x - 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 2 e^{- 0,2 x} + 0,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,4 x - 2,4)$

= $(0,4 x - 2,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten