Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + 3 e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + 3 e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{5}{2} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4} + e^{x} \cdot 4 x^{3}$

= $e^{x} x^{4} + 4 \cdot e^{x} x^{3}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 3 x^{2} + 5} x$

= $- 12 x e^{- 3 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $12 x \cdot \ln (x) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $12 x \ln (x) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $12 x \ln (x) + 6 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (2 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (2 x - 5)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sin (2 x - 5) + x^{2} \cdot \cos (2 x - 5) \cdot (2 + 0)$

= $2 x \cdot \sin (2 x - 5) + x^{2} \cdot \cos (2 x - 5) \cdot (2)$

= $2 x \cdot \sin (2 x - 5) + x^{2} \cdot 2 \cdot \cos (2 x - 5)$

= $2 x \cdot \sin (2 x - 5) + 2 x^{2} \cdot \cos (2 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 70-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,157625 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,157625 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,21550625 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${(- 1,05)}^{70} \cdot e^{- 1,05 x}$

= $30,426425535514 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 7$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 7$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 7$

= $4 e^{- 0,8 x} - 7 - 3,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten