$\text{f(x)}=$ $-2-3e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^5-3x\right)·e^{-2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(20x^4-3\right)·e^{-2x+4}+\left(4x^5-3x\right)·e^{-2x+4}·\left(-2\right)$

= $\left(20x^4-3\right)·e^{-2x+4}+\left(4x^5-3x\right)·\left(-2e^{-2x+4}\right)$

= $\left(20x^4-3\right)·e^{-2x+4}-2\left(4x^5-3x\right)·e^{-2x+4}$

= $e^{-2x+4}·(20x^4-3+\left(-8x^5+6x\right))$

= $e^{-2x+4}·\left(-8x^5+20x^4+6x-3\right)$

= $\left(-8x^5+20x^4+6x-3\right)·e^{-2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x^3-2}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x^3-2}·\left(-9x^2\right)$

= $-27·e^{-3x^3-2}{x}^2$

= $-27x^2{e}^{-3x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{7x}·7$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+8\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2+8\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)+\left(x^2+8\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $2x·\cos \left(x^2\right)-2\left(x^2+8\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-x}$

f'(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f'''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+7$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+7$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}+7-\mathrm{0,5}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$