Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} + 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{4} + 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{3} + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x^{4} + 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $12 x^{3} \cdot e^{2 x} + (3 x^{4} + 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $12 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 (3 x^{4} + 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{4} + 12 x^{3} + 6)$

= $(6 x^{4} + 12 x^{3} + 6) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x - 3) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x - 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x + 12)$

= $(- 9 x + 12) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x^{2} + 7)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x^{2} + 7)$

$f'(x) =$ $15 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 7) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} + 7} \cdot (2 x + 0)$

= $15 x^{2} \ln (x^{2} + 7) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} + 7} \cdot (2 x)$

= $15 x^{2} \ln (x^{2} + 7) + 5 x^{3} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 7}$

= $15 x^{2} \ln (x^{2} + 7) + 10 \frac{x^{3} \cdot x}{x^{2} + 7}$

= $15 x^{2} \ln (x^{2} + 7) + 10 \frac{x^{4}}{x^{2} + 7}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (x - 2)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (x - 2) + x^{4} \cdot \cos (x - 2)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (x - 2) + x^{4} \cdot \cos (x - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 39-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,614125 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,614125 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,52200625 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 39-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 39 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{39}$

Somit gilt für die 39-te Ableitung:

f⁽³⁹⁾(x) = ${(- 0,85)}^{39} \cdot e^{- 0,85 x}$

= $- 0,0017674132351664 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} - x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 1$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x + 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 1$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 1$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 1 + 0,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten