Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{8}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 5 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 3) \cdot e^{- 5 x - 5} + (- 2 x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5)$

= $(- 4 x + 3) \cdot e^{- 5 x - 5} + (- 2 x^{2} + 3 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 5})$

= $(- 4 x + 3) \cdot e^{- 5 x - 5} - 5 (- 2 x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 5 x - 5}$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (- 4 x + 3 + (10 x^{2} - 15 x))$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (10 x^{2} - 19 x + 3)$

= $(10 x^{2} - 19 x + 3) \cdot e^{- 5 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} + 3} \cdot (- 6 x)$

= $12 \cdot e^{- 3 x^{2} + 3} x$

= $12 x e^{- 3 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $5 \cdot \ln (x) + 5 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $5 \ln (x) + 5 x \cdot \frac{1}{x}$

= $5 \ln (x) + 5$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x - 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x - 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x - 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x - 6)$

= $(4 x - 6) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 39-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{1,15 x}$

f'(x) = $3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,45 e^{1,15 x}$

f''(x) = $3,45 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,9675 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $3,9675 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $4,562625 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,562625 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,24701875 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 39-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 39 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{39}$

Somit gilt für die 39-te Ableitung:

f⁽³⁹⁾(x) = ${1,15}^{39} \cdot 3 e^{1,15 x}$

= $698,77446843836 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 5$

= $2 e^{- 0,3 x} + 2 (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 5$

= $2 e^{- 0,3 x} - 0,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 5$

= $2 e^{- 0,3 x} - 5 - 0,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten