Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 1} + x^{3} \cdot e^{4 x - 1} \cdot 4$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 1} + x^{3} \cdot 4 e^{4 x - 1}$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 1} + 4 x^{3} \cdot e^{4 x - 1}$

= $e^{4 x - 1} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} - 8 x) \cdot e^{x} + (2 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (2 x^{3} - 4 x^{2} + (6 x^{2} - 8 x))$

= $e^{x} \cdot (2 x^{3} + 2 x^{2} - 8 x)$

= $(2 x^{3} + 2 x^{2} - 8 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $21 x^{2} \cdot \ln (x) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $21 x^{2} \ln (x) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $21 x^{2} \ln (x) + 7 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\cos (x) - 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\cos (x) - 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $5 {(\cos (x) - 2)}^{4} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $5 {(\cos (x) - 2)}^{4} \cdot (- \sin (x))$

= $- 5 {(\cos (x) - 2)}^{4} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 55-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 55-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 55 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{55}$

Somit gilt für die 55-te Ableitung:

f⁽⁵⁵⁾(x) = ${(- 1,1)}^{55} \cdot e^{- 1,1 x}$

= $- 189,05914247128 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 9$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 9$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 9 + (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten