Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{4 x - 4} + x^{2} \cdot e^{4 x - 4} \cdot 4$

= $2 x \cdot e^{4 x - 4} + x^{2} \cdot 4 e^{4 x - 4}$

= $2 x \cdot e^{4 x - 4} + 4 x^{2} \cdot e^{4 x - 4}$

= $e^{4 x - 4} \cdot (4 x^{2} + 2 x)$

= $(4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} + 8 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 2 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 8 x^{3} + 8 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 2 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 8 x^{3} + 8 x) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 2 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{4} - 12 x^{2} + (- 8 x^{3} + 8 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{4} - 8 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x)$

= $(6 x^{4} - 8 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $21 x^{2} \cdot \ln (x) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $21 x^{2} \ln (x) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $21 x^{2} \ln (x) + 7 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot \cos (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot \cos (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (3 x) + (x^{2} + 6) \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $2 x \cdot \cos (3 x) + (x^{2} + 6) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $2 x \cdot \cos (3 x) - 3 (x^{2} + 6) \cdot \sin (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${(- 1,1)}^{62} \cdot e^{- 1,1 x}$

= $368,42278384512 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 1$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x + 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 1$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 1$

= $2 e^{- 0,1 x} + 1 - 0,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten