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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{3} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{3} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{4}{3} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{5} - 3 e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{5} - 3 e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $- 15 x^{4} - 3 e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $- 15 x^{4} - 6 e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} - 2} \cdot (- 4 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 2 x^{2} - 2} x$

= $- 12 x e^{- 2 x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $5 \cdot \ln (x) + 5 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $5 \ln (x) + 5 x \cdot \frac{1}{x}$

= $5 \ln (x) + 5$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 5} + x^{4} \cdot e^{5 x + 5} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 5} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x + 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 5} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x + 5}$

= $e^{5 x + 5} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x + 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${(- 1,1)}^{48} \cdot e^{- 1,1 x}$

= $97,017233784873 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 3$

= $- e^{- 0,5 x} - (x + 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 3$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 3$

= $- e^{- 0,5 x} - 3 + 0,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$