$\text{f(x)}=$ $-5+\frac{11}{9}{e}^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{11}{9}{e}^{\frac{1}{2}x}·\frac{1}{2}$

= $\frac{11}{18}{e}^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x+5}+x^5·e^{-3x+5}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x+5}+x^5·\left(-3e^{-3x+5}\right)$

= $5x^4·e^{-3x+5}-3x^5·e^{-3x+5}$

= $e^{-3x+5}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{3x}+x^2·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+x^2·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3x^2·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{x}·1$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-3x}+\left(x-1\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $e^{-3x}+\left(x-1\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $e^{-3x}-3\left(x-1\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x+4\right)$

= $\left(-3x+4\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-x}$

f'(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f'''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $-5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{0,7}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}x+\mathrm{1,7}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,7}x+\mathrm{1,7}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$