Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} - 3) \cdot e^{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} - 3) \cdot e^{- 2 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} + 0) \cdot e^{- 2 x - 1} + (- x^{5} - 3) \cdot e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

= $- 5 x^{4} \cdot e^{- 2 x - 1} + (- x^{5} - 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 1})$

= $- 5 x^{4} \cdot e^{- 2 x - 1} - 2 (- x^{5} - 3) \cdot e^{- 2 x - 1}$

= $e^{- 2 x - 1} \cdot (2 x^{5} - 5 x^{4} + 6)$

= $(2 x^{5} - 5 x^{4} + 6) \cdot e^{- 2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{x^{5}}{e^{x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{x^{5}}{e^{x}}$

$f'(x) =$ $\frac{5 x^{4} \cdot e^{x} - x^{5} \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}}$

= $\frac{5 x^{4} \cdot e^{x} - x^{5} \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}}$

= $\frac{- x^{5} \cdot e^{x} + 5 x^{4} \cdot e^{x}}{e^{2 x}}$

= $\frac{e^{x - 2 x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})}{1}$

= $\frac{e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})}{1}$

= $\frac{(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}}{1}$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $6 x^{2} \ln (x) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $6 x^{2} \ln (x) + 2 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (- 4 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (- 4 x + 3)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sin (- 4 x + 3) + x^{2} \cdot \cos (- 4 x + 3) \cdot (- 4 + 0)$

= $2 x \cdot \sin (- 4 x + 3) + x^{2} \cdot \cos (- 4 x + 3) \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot \sin (- 4 x + 3) + x^{2} \cdot (- 4 \cdot \cos (- 4 x + 3))$

= $2 x \cdot \sin (- 4 x + 3) - 4 x^{2} \cdot \cos (- 4 x + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 82)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 9$

= $- 5 e^{- 0,4 x} - 5 (x + 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 9$

= $- 5 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 9$

= $- 5 e^{- 0,4 x} - 9 + 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten