Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - 2 e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - 2 e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{3} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{4}{x^{2}} - e^{- 3 x - 2} + 3 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{4}{x^{2}} - e^{- 3 x - 2} + 3 \sqrt{x}$

= $- 4 x^{- 2} - e^{- 3 x - 2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $8 x^{- 3} - e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3) + \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{x^{3}} - e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3) + \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

= $\frac{8}{x^{3}} + 3 e^{- 3 x - 2} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (4 x^{3} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (4 x^{3} + 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (4 x^{3} + 5 x) + e^{- x} \cdot (12 x^{2} + 5)$

= $- e^{- x} (4 x^{3} + 5 x) + e^{- x} (12 x^{2} + 5)$

= $e^{- x} \cdot (12 x^{2} + 5 + (- 4 x^{3} - 5 x))$

= $e^{- x} \cdot (- 4 x^{3} + 12 x^{2} - 5 x + 5)$

= $(- 4 x^{3} + 12 x^{2} - 5 x + 5) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $18 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 5) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 5} \cdot (2 x + 0)$

= $18 x^{2} \ln (x^{2} - 5) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 5} \cdot (2 x)$

= $18 x^{2} \ln (x^{2} - 5) + 6 x^{3} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 5}$

= $18 x^{2} \ln (x^{2} - 5) + 12 \frac{x^{3} \cdot x}{x^{2} - 5}$

= $18 x^{2} \ln (x^{2} - 5) + 12 \frac{x^{4}}{x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (- 2 x) + x^{5} \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 2 x) + x^{5} \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 2 x) - 2 x^{5} \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $3 e^{- 0,3 x} + 3 (x - 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $3 e^{- 0,3 x} - 0,9 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,9 x + 3,9)$

= $(- 0,9 x + 3,9) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten