$\text{f(x)}=$ $-2+e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{-3x}}{x^2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{-3x}·\left(-3\right)·x^2-e^{-3x}·2x}{{\left(x^2\right)}^2}$

= $\frac{-3·e^{-3x}{x}^2-2·e^{-3x}x}{{\left(x^2\right)}^2}$

= $\frac{-3x^2·e^{-3x}-2x·e^{-3x}}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x-3}·\left(2+0\right)$

= $\frac{1}{2x-3}·\left(2\right)$

= $\frac{2}{2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-\sin \left(3x^2-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(3x^2-3\right)·\left(6x+0\right)$

= $-\cos \left(3x^2-3\right)·\left(6x\right)$

= $-6\cos \left(3x^2-3\right)x$

= $-6x·\cos \left(3x^2-3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-2e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{1,8}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,8}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{1,62}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,62}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{1,458}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,458}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{1,3122}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{49}·\left(-2e^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $\mathrm{0,011452833794045}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}x-\mathrm{2,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x-\mathrm{2,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$