$\text{f(x)}=$ $-3e^{\frac{3}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{\frac{3}{2}x}·\frac{3}{2}$

= $-\frac{9}{2}{e}^{\frac{3}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^3+x^2\right)·e^{5x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-6x^2+2x\right)·e^{5x+4}+\left(-2x^3+x^2\right)·e^{5x+4}·5$

= $\left(-6x^2+2x\right)·e^{5x+4}+\left(-2x^3+x^2\right)·5e^{5x+4}$

= $\left(-6x^2+2x\right)·e^{5x+4}+5\left(-2x^3+x^2\right)·e^{5x+4}$

= $e^{5x+4}·(-10x^3+5x^2+\left(-6x^2+2x\right))$

= $e^{5x+4}·\left(-10x^3-x^2+2x\right)$

= $\left(-10x^3-x^2+2x\right)·e^{5x+4}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^2-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^2-2}·\left(6x+0\right)$

= $\frac{1}{3x^2-2}·\left(6x\right)$

= $6\frac{x}{3x^2-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2-5\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·e^{3x}+\left(3x^2-5\right)·e^{3x}·3$

= $6x·e^{3x}+\left(3x^2-5\right)·3e^{3x}$

= $6x·e^{3x}+3\left(3x^2-5\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(9x^2+6x-15\right)$

= $\left(9x^2+6x-15\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+86\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{0,7}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}x+\mathrm{3,1}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,7}x+\mathrm{3,1}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$