$\text{f(x)}=$ $-5-e^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{4}{5}x}·\frac{4}{5}$

= $-\frac{4}{5}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x+2\right)·e^{-x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(5+0\right)·e^{-x+1}+\left(5x+2\right)·e^{-x+1}·\left(-1\right)$

= $5e^{-x+1}+\left(5x+2\right)·\left(-e^{-x+1}\right)$

= $5e^{-x+1}-\left(5x+2\right)·e^{-x+1}$

= $e^{-x+1}·\left(-5x+3\right)$

= $\left(-5x+3\right)·e^{-x+1}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x}+x^3·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x}+x^3·\left(-e^{-x}\right)$

= $3x^2·e^{-x}-x^3·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^2-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^2-2x}·\left(-10x-2\right)$

= $\frac{-10x-2}{-5x^2-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(-3x^2+1\right)}^2}$

= $-{\left(-3x^2+1\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $2{\left(-3x^2+1\right)}^{-3}·\left(-6x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{{\left(-3x^2+1\right)}^3}·\left(-6x+0\right)$

= $\frac{2}{{\left(-3x^2+1\right)}^3}·\left(-6x\right)$

= $-12\frac{x}{{\left(-3x^2+1\right)}^3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $2e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{2,1}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,1}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{2,205}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,205}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{2,31525}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,31525}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{2,4310125}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{80}·2e^{\mathrm{1,05}x}$

= $\mathrm{99,122882133685}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,8}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$