Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{5}{8} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{x} + (- 5 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{4} + 2 x^{3} + (- 20 x^{3} + 6 x^{2}))$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{4} - 18 x^{3} + 6 x^{2})$

= $(- 5 x^{4} - 18 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x^{2} - 2} \cdot 6 x$

= $12 \cdot e^{3 x^{2} - 2} x$

= $12 x e^{3 x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \ln (x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \ln (x - 5)$

$f'(x) =$ $8 x \cdot \ln (x - 5) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 5} \cdot (1 + 0)$

= $8 x \ln (x - 5) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 5} \cdot (1)$

= $8 x \ln (x - 5) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 5}$

= $8 x \ln (x - 5) + 4 \frac{x^{2}}{x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} + 7) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} + 7) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) - 2 (x^{2} + 7) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 92)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 8$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- e^{- 0,5 x} - (x + 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (0,5 x - 0,5)$

= $(0,5 x - 0,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten