Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + e^{\frac{6}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + e^{\frac{6}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{6}{5} x} \cdot \frac{6}{5}$

= $\frac{6}{5} e^{\frac{6}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} + 10 x) \cdot e^{3 x} + (- x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 4 x^{3} + 10 x) \cdot e^{3 x} + (- x^{4} + 5 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 4 x^{3} + 10 x) \cdot e^{3 x} + 3 (- x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 15 x^{2} + (- 4 x^{3} + 10 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x)$

= $(- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{e^{x}}{- 3 x^{4} + 5 x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{e^{x}}{- 3 x^{4} + 5 x^{3}}$

$f'(x) =$ $\frac{e^{x} \cdot (- 3 x^{4} + 5 x^{3}) - e^{x} \cdot (- 12 x^{3} + 15 x^{2})}{{(- 3 x^{4} + 5 x^{3})}^{2}}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x + 1)$

$f'(x) =$ $6 x \cdot \ln (x + 1) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 1} \cdot (1 + 0)$

= $6 x \ln (x + 1) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 1} \cdot (1)$

= $6 x \ln (x + 1) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 1}$

= $6 x \ln (x + 1) + 3 \frac{x^{2}}{x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 2) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 2) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 2) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 6)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 6) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,520875 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,520875 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,74900625 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${1,15}^{43} \cdot e^{1,15 x}$

= $407,3869708797 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 4 e^{- 0,3 x} - 4 (x + 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 1,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,2 x + 3,2)$

= $(1,2 x + 3,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten