Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{5}{6} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 5} + x^{4} \cdot e^{5 x + 5} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 5} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x + 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 5} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x + 5}$

= $e^{5 x + 5} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $6 x^{2} \ln (x) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $6 x^{2} \ln (x) + 2 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{3 x} + 1)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{3 x} + 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 {(e^{3 x} + 1)}^{3} \cdot (e^{3 x} \cdot 3 + 0)$

= $- 12 {(e^{3 x} + 1)}^{3} \cdot (3 e^{3 x})$

= $- 36 {(e^{3 x} + 1)}^{3} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 31-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,614125 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,614125 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,52200625 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${(- 0,85)}^{31} \cdot e^{- 0,85 x}$

= $- 0,0064861456555711 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 3$

= $e^{- 0,3 x} + (x + 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 3$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 3$

= $e^{- 0,3 x} - 3 - 0,3 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten