$\text{f(x)}=$ $2+3e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^x$

= $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $e^x{x}^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·x^5+e^x·5x^4$

= $e^x{x}^5+5·e^x{x}^4$

= $e^x·\left(x^5+5x^4\right)$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x+5}·2$

= $2e^{2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^2+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^2+1}·\left(4x+0\right)$

= $\frac{1}{2x^2+1}·\left(4x\right)$

= $4\frac{x}{2x^2+1}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2x+4}+x^2·e^{2x+4}·2$

= $2x·e^{2x+4}+x^2·2e^{2x+4}$

= $2x·e^{2x+4}+2x^2·e^{2x+4}$

= $e^{2x+4}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x+4}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,857375}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,857375}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,81450625}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{64}·e^{\mathrm{0,95}x}$

= $\mathrm{0,037524139211116}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-8$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-8$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,4}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}-8-\mathrm{0,4}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$