$\text{f(x)}=$ $3+\frac{7}{8}{e}^{\frac{11}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{8}{e}^{\frac{11}{8}x}·\frac{11}{8}$

= $\frac{77}{64}{e}^{\frac{11}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^4+4\right)·e^{x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(16x^3+0\right)·e^{x-5}+\left(4x^4+4\right)·e^{x-5}·1$

= $16x^3·e^{x-5}+\left(4x^4+4\right)·e^{x-5}$

= $16x^3·e^{x-5}+\left(4x^4+4\right)·e^{x-5}$

= $e^{x-5}·\left(4x^4+16x^3+4\right)$

= $\left(4x^4+16x^3+4\right)·e^{x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x+3}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{2x}·2$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{-2x^2+2}$

= $-3{\left(-2x^2+2\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $3{\left(-2x^2+2\right)}^{-2}·\left(-4x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{{\left(-2x^2+2\right)}^2}·\left(-4x+0\right)$

= $\frac{3}{{\left(-2x^2+2\right)}^2}·\left(-4x\right)$

= $-12\frac{x}{{\left(-2x^2+2\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-3e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{2,7}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,7}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{2,43}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,43}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{2,187}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,187}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{1,9683}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{64}·\left(-3e^{\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-\mathrm{0,0035370553733216}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-8$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}-4\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-8$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,2}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-8$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}-8+\mathrm{1,2}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$