Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{5}{3} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x + 1} + x^{2} \cdot e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x + 1} + x^{2} \cdot (- e^{- x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- x + 1} - x^{2} \cdot e^{- x + 1}$

= $e^{- x + 1} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} - 6 x) \cdot e^{- x + 4} + (- 2 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $(- 8 x^{3} - 6 x) \cdot e^{- x + 4} + (- 2 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot (- e^{- x + 4})$

= $(- 8 x^{3} - 6 x) \cdot e^{- x + 4} - (- 2 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- x + 4}$

= $e^{- x + 4} \cdot (2 x^{4} + 3 x^{2} + (- 8 x^{3} - 6 x))$

= $e^{- x + 4} \cdot (2 x^{4} - 8 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x)$

= $(2 x^{4} - 8 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x + 3)$

$f'(x) =$ $9 x^{2} \cdot \ln (x + 3) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 3} \cdot (1 + 0)$

= $9 x^{2} \ln (x + 3) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 3} \cdot (1)$

= $9 x^{2} \ln (x + 3) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 3}$

= $9 x^{2} \ln (x + 3) + 3 \frac{x^{3}}{x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{x - 3}$

= $- 3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{x - 3}} \cdot (1 + 0)$

= $- \frac{3}{2 \sqrt{x - 3}} \cdot (1)$

= $- \frac{3}{2 \sqrt{x - 3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 1,1)}^{60} \cdot e^{- 1,1 x}$

= $304,48163954142 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 6$

= $4 e^{- 0,1 x} + 4 (x + 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 6$

= $4 e^{- 0,1 x} - 0,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

= $4 e^{- 0,1 x} + 6 - 0,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten