$\text{f(x)}=$ $2e^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{\frac{2}{3}x}·\frac{2}{3}$

= $\frac{4}{3}{e}^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-4x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-4x+4}+x^3·e^{-4x+4}·\left(-4\right)$

= $3x^2·e^{-4x+4}+x^3·\left(-4e^{-4x+4}\right)$

= $3x^2·e^{-4x+4}-4x^3·e^{-4x+4}$

= $e^{-4x+4}·\left(-4x^3+3x^2\right)$

= $\left(-4x^3+3x^2\right)·e^{-4x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{-4x-1}{e^x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{\left(-4+0\right)·e^x-\left(-4x-1\right)·e^x}{{\left(e^x\right)}^2}$

= $\frac{-4e^x-\left(-4x-1\right)·e^x}{{\left(e^x\right)}^2}$

= $\frac{-4e^x-\left(-4x-1\right)·e^x}{e^{2x}}$

= $\frac{-e^{x-2x}·\left(-4x+3\right)}{1}$

= $\frac{-e^{-x}·\left(-4x+3\right)}{1}$

= $\frac{-\left(-4x+3\right)·e^{-x}}{1}$

= $-\left(-4x+3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $6x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $12x·\ln \left(x\right)+6x^2·\frac{1}{x}·1$

= $12x\ln \left(x\right)+6x^2·\frac{1}{x}$

= $12x\ln \left(x\right)+6x$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(\cos \left(x\right)+3\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $6{\left(\cos \left(x\right)+3\right)}^2·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $6{\left(\cos \left(x\right)+3\right)}^2·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-6{\left(\cos \left(x\right)+3\right)}^2·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+92\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+4$

= $5e^{-\mathrm{0,7}x}+5\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+4$

= $5e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{3,5}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+4$

= $5e^{-\mathrm{0,7}x}+4-\mathrm{3,5}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$