Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + 2 e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + 2 e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{7}{4} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) - 2 x^{5} + 3 e^{- x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (x) - 2 x^{5} + 3 e^{- x + 3}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - 10 x^{4} + 3 e^{- x + 3} \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{3} \cdot \sin (x) - 10 x^{4} - 3 e^{- x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $8 x \cdot \ln (x) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $8 x \ln (x) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $8 x \ln (x) + 4 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{2 x}$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot e^{2 x} + x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot e^{2 x} + \sqrt[4]{x} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{2 x}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot 2 e^{2 x}$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{2 x}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 2 \sqrt[4]{x} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,520875 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,520875 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,74900625 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 1,15)}^{47} \cdot e^{- 1,15 x}$

= $- 712,52235823717 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 8$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x - 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 8$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 8$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 8 + 1,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten