Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $(8 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{3 x - 3} + (2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $(8 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{3 x - 3} + (2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot 3 e^{3 x - 3}$

= $(8 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{3 x - 3} + 3 (2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 3}$

= $e^{3 x - 3} \cdot (6 x^{4} + 12 x^{3} + (8 x^{3} + 12 x^{2}))$

= $e^{3 x - 3} \cdot (6 x^{4} + 20 x^{3} + 12 x^{2})$

= $(6 x^{4} + 20 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{4} + e^{- 3 x} \cdot 4 x^{3}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{4} + 4 \cdot e^{- 3 x} x^{3}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{x^{3} + 5}$

= $2 {(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(x^{3} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (3 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x^{3} + 5}} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{x^{3} + 5}} \cdot (3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 5}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 31-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,520875 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,520875 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,74900625 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${1,15}^{31} \cdot e^{1,15 x}$

= $76,143537750304 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 4$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x + 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 4$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 4 + (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten