$\text{f(x)}=$ $-2e^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $-\frac{2}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-4x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-4x-1}+x^4·e^{-4x-1}·\left(-4\right)$

= $4x^3·e^{-4x-1}+x^4·\left(-4e^{-4x-1}\right)$

= $4x^3·e^{-4x-1}-4x^4·e^{-4x-1}$

= $e^{-4x-1}·\left(-4x^4+4x^3\right)$

= $\left(-4x^4+4x^3\right)·e^{-4x-1}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x-2}·2$

= $4e^{2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $4x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $8x·\ln \left(x\right)+4x^2·\frac{1}{x}·1$

= $8x\ln \left(x\right)+4x^2·\frac{1}{x}$

= $8x\ln \left(x\right)+4x$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x}+x^2·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+x^2·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2x^2·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,52200625}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{45}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

= $-\mathrm{0,00066657904555222}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}+\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{0,9}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}x+\mathrm{5,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,9}x+\mathrm{5,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$