Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{6} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{6} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{6} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{5}{3} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x + 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 2} + x^{3} \cdot e^{- 4 x + 2} \cdot (- 4)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 2} + x^{3} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 2})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 2} - 4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 2}$

= $e^{- 4 x + 2} \cdot (- 4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} - 3} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{x^{3} - 3} \cdot (3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{x^{3} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{3 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{3 x^{3} + 5}$

= $- 3 {(3 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(3 x^{3} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (9 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x^{3} + 5}} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x^{3} + 5}} \cdot (9 x^{2})$

= $- \frac{27}{2} \frac{x^{2}}{\sqrt{3 x^{3} + 5}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 5$

= $- e^{- 0,7 x} - (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 5$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 5$

= $- e^{- 0,7 x} + 5 + 0,7 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten