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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x + 3} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x + 3} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3) - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)$

= $- 6 e^{- 3 x + 3} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $14 x \cdot \ln (x) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $14 x \ln (x) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $14 x \ln (x) + 7 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(2 x + 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(2 x + 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $15 {(2 x + 4)}^{4} \cdot (2 + 0)$

= $15 {(2 x + 4)}^{4} \cdot (2)$

= $30 {(2 x + 4)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,614125 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,614125 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,52200625 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${(- 0,85)}^{46} \cdot e^{- 0,85 x}$

= $0,00056659218871939 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $e^{- 0,4 x} + (x + 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $e^{- 0,4 x} - 0,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4 x + 0,6)$

= $(- 0,4 x + 0,6) \cdot e^{- 0,4 x}$