Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 3} + x^{5} \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 3} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 3} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x + 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x + 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{2 x} + (4 x + 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 e^{2 x} + (4 x + 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 e^{2 x} + 2 (4 x + 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (8 x + 10)$

= $(8 x + 10) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x \cdot \ln (x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x \cdot \ln (x + 1)$

$f'(x) =$ $5 \cdot \ln (x + 1) + 5 x \cdot \frac{1}{x + 1} \cdot (1 + 0)$

= $5 \ln (x + 1) + 5 x \cdot \frac{1}{x + 1} \cdot (1)$

= $5 \ln (x + 1) + 5 x \cdot \frac{1}{x + 1}$

= $5 \ln (x + 1) + 5 \frac{x}{x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

= $- 2 {(- x^{2} + 1)}^{- 3}$

=> f'(x) = $6 {(- x^{2} + 1)}^{- 4} \cdot (- 2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{{(- x^{2} + 1)}^{4}} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{6}{{(- x^{2} + 1)}^{4}} \cdot (- 2 x)$

= $- 12 \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 30-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,520875 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,520875 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,74900625 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${(- 1,15)}^{30} \cdot e^{- 1,15 x}$

= $66,211771956786 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 4$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 4$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$

= $2 e^{- 0,9 x} - 4 - 1,8 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten