$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{6}{7}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{6}{7}{e}^{3x}·3$

= $\frac{18}{7}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}\cdot \sin \left(x\right)+2e^{-3x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}\cdot \cos \left(x\right)+2e^{-3x+1}·\left(-3\right)$

= $\frac{2}{3}\cdot \cos \left(x\right)-6e^{-3x+1}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x^2+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x^2+4}·\left(-6x\right)$

= $18·e^{-3x^2+4}x$

= $18x{e}^{-3x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^3+x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^3+x^2}·\left(-15x^2+2x\right)$

= $\frac{-15x^2+2x}{-5x^3+x^2}$

= $\frac{1·\left(-15x+2\right)}{x·\left(-5x+1\right)}$

= $\frac{-15x+2}{x·\left(-5x+1\right)}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-8\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-3x}+\left(x^2-8\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+\left(x^2-8\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3\left(x^2-8\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x+24\right)$

= $\left(-3x^2+2x+24\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,857375}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,857375}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,81450625}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{61}·e^{\mathrm{0,95}x}$

= $\mathrm{0,043766309037604}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-3$

= $4e^{-\mathrm{0,2}x}+4\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-3$

= $4e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,8}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3$

= $4e^{-\mathrm{0,2}x}-3-\mathrm{0,8}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$