Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{9}{8} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{9}{8} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{9}{8} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{27}{8} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{4 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} + 4 x) \cdot e^{4 x - 4} + (- 2 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{4 x - 4} \cdot 4$

= $(- 8 x^{3} + 4 x) \cdot e^{4 x - 4} + (- 2 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot 4 e^{4 x - 4}$

= $(- 8 x^{3} + 4 x) \cdot e^{4 x - 4} + 4 (- 2 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{4 x - 4}$

= $e^{4 x - 4} \cdot (- 8 x^{4} + 8 x^{2} + (- 8 x^{3} + 4 x))$

= $e^{4 x - 4} \cdot (- 8 x^{4} - 8 x^{3} + 8 x^{2} + 4 x)$

= $(- 8 x^{4} - 8 x^{3} + 8 x^{2} + 4 x) \cdot e^{4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \ln (x) + 3 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $3 \ln (x) + 3 x \cdot \frac{1}{x}$

= $3 \ln (x) + 3$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 72-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,857375 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,857375 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,81450625 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${0,95}^{72} \cdot e^{0,95 x}$

= $0,024894280619189 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 1$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 1$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 1$

= $3 e^{- 0,7 x} + 1 - 2,1 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten