Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{3}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 4 x) \cdot e^{4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 4 x) \cdot e^{4 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} - 4) \cdot e^{4 x - 2} + (- 5 x^{4} - 4 x) \cdot e^{4 x - 2} \cdot 4$

= $(- 20 x^{3} - 4) \cdot e^{4 x - 2} + (- 5 x^{4} - 4 x) \cdot 4 e^{4 x - 2}$

= $(- 20 x^{3} - 4) \cdot e^{4 x - 2} + 4 (- 5 x^{4} - 4 x) \cdot e^{4 x - 2}$

= $e^{4 x - 2} \cdot (- 20 x^{3} - 4 + (- 20 x^{4} - 16 x))$

= $e^{4 x - 2} \cdot (- 20 x^{4} - 20 x^{3} - 16 x - 4)$

= $(- 20 x^{4} - 20 x^{3} - 16 x - 4) \cdot e^{4 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $4 x \cdot \ln (x) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $4 x \ln (x) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $4 x \ln (x) + 2 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (3 x^{3} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (3 x^{3} + 4)$

$f'(x) =$ $\cos (3 x^{3} + 4) \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\cos (3 x^{3} + 4) \cdot (9 x^{2})$

= $9 \cos (3 x^{3} + 4) x^{2}$

= $9 x^{2} \cdot \cos (3 x^{3} + 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 1$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3,6 x - 21,2)$

= $(- 3,6 x - 21,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten