$\text{f(x)}=$ $5-e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{-x}·\left(-1\right)$

= $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{5x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{5x-1}+x^4·e^{5x-1}·5$

= $4x^3·e^{5x-1}+x^4·5e^{5x-1}$

= $4x^3·e^{5x-1}+5x^4·e^{5x-1}$

= $e^{5x-1}·\left(5x^4+4x^3\right)$

= $\left(5x^4+4x^3\right)·e^{5x-1}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x^2+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x^2+5}·\left(-6x\right)$

= $18·e^{-3x^2+5}x$

= $18x{e}^{-3x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x^2-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x^2-5x}·\left(8x-5\right)$

= $\frac{8x-5}{4x^2-5x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\cos \left(x^3\right)+x^2·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $2x·\cos \left(x^3\right)+x^2·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $2x·\cos \left(x^3\right)-3x^2\sin \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\cos \left(x^3\right)-3x^4·\sin \left(x^3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+94\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+7$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(x+0\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·x$

= $x·e^{-\mathrm{0,5}x}$