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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{5}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{5}{3} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{5}{3} x} \cdot \frac{5}{3}$

= $- \frac{5}{3} e^{\frac{5}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} (- 3 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} (- 3 x - 2)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 3 x - 2) + e^{x} \cdot (- 3 + 0)$

= $e^{x} (- 3 x - 2) + e^{x} \cdot (- 3)$

= $e^{x} (- 3 x - 2) - 3 e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 3 x - 5)$

= $(- 3 x - 5) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x^{3} - 2} \cdot 3 x^{2}$

= $- 9 \cdot e^{x^{3} - 2} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $6 x^{2} \ln (x) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $6 x^{2} \ln (x) + 2 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- 3 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- 3 x + 1)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (- 3 x + 1) \cdot (- 3 + 0)$

= $3 \cdot \sin (- 3 x + 1) \cdot (- 3)$

= $- 9 \cdot \sin (- 3 x + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,157625 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,157625 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,21550625 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${(- 1,05)}^{61} \cdot e^{- 1,05 x}$

= $- 19,613145188829 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 9$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x - 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,8 x + 6,6)$

= $(- 1,8 x + 6,6) \cdot e^{- 0,6 x}$