Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{3}{5} e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{3}{5} e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{5} e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{3}{20} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{4 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 6 x^{2} - 8 x) \cdot e^{4 x + 5} + (- 2 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{4 x + 5} \cdot 4$

= $(- 6 x^{2} - 8 x) \cdot e^{4 x + 5} + (- 2 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot 4 e^{4 x + 5}$

= $(- 6 x^{2} - 8 x) \cdot e^{4 x + 5} + 4 (- 2 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{4 x + 5}$

= $e^{4 x + 5} \cdot (- 8 x^{3} - 16 x^{2} + (- 6 x^{2} - 8 x))$

= $e^{4 x + 5} \cdot (- 8 x^{3} - 22 x^{2} - 8 x)$

= $(- 8 x^{3} - 22 x^{2} - 8 x) \cdot e^{4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{e^{3 x}}{5 x^{3} - 4 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{e^{3 x}}{5 x^{3} - 4 x^{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{e^{3 x} \cdot 3 \cdot (5 x^{3} - 4 x^{2}) - e^{3 x} \cdot (15 x^{2} - 8 x)}{{(5 x^{3} - 4 x^{2})}^{2}}$

= $\frac{3 \cdot e^{3 x} (5 x^{3} - 4 x^{2}) - e^{3 x} (15 x^{2} - 8 x)}{{(5 x^{3} - 4 x^{2})}^{2}}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} - x^{2}} \cdot (- 15 x^{2} - 2 x)$

= $\frac{- 15 x^{2} - 2 x}{- 5 x^{3} - x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (15 x + 2)}{- x \cdot (5 x + 1)}$

= $\frac{- (15 x + 2)}{- x \cdot (5 x + 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{- x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{- x^{3} + 4}$

= $- 3 {(- x^{3} + 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = $3 {(- x^{3} + 4)}^{- 2} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(- x^{3} + 4)}^{2}} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $\frac{3}{{(- x^{3} + 4)}^{2}} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 9 \frac{x^{2}}{{(- x^{3} + 4)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,6 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $3,6 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,24 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 3,24 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,916 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,916 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,6244 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 0,9)}^{50} \cdot (- 4 e^{- 0,9 x})$

= $- 0,02061510082928 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 2 e^{- 0,6 x} - 2 (x - 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 2 e^{- 0,6 x} + 1,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,2 x - 5,6)$

= $(1,2 x - 5,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten