$\text{f(x)}=$ $2-e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{2x}·2$

= $-2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x-4}+x^4·e^{-3x-4}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x-4}+x^4·\left(-3e^{-3x-4}\right)$

= $4x^3·e^{-3x-4}-3x^4·e^{-3x-4}$

= $e^{-3x-4}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x-4}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·\left(-2x^2+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·\left(-2x^2+2\right)+e^{3x}·\left(-4x+0\right)$

= $3·e^{3x}\left(-2x^2+2\right)+e^{3x}·\left(-4x\right)$

= $3·e^{3x}\left(-2x^2+2\right)-4·e^{3x}x$

= $e^{3x}·\left(-6x^2-4x+6\right)$

= $\left(-6x^2-4x+6\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $5x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $10x·\ln \left(x\right)+5x^2·\frac{1}{x}·1$

= $10x\ln \left(x\right)+5x^2·\frac{1}{x}$

= $10x\ln \left(x\right)+5x$

$\text{f(x)}=$ ${\left(-2x+1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $4{\left(-2x+1\right)}^3·\left(-2+0\right)$

= $4{\left(-2x+1\right)}^3·\left(-2\right)$

= $-8{\left(-2x+1\right)}^3$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+94\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+5$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+5$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,5}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}+5-\mathrm{1,5}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$