Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x - 2} + 9 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x - 2} + 9 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x - 2} \cdot 2 - 9 \cdot \sin (x)$

= $- 6 e^{2 x - 2} - 9 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{- 3 x^{4} - 4 x^{3}}{e^{2 x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{- 3 x^{4} - 4 x^{3}}{e^{2 x}}$

$f'(x) =$ $\frac{(- 12 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{2 x} - (- 3 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{2 x} \cdot 2}{{(e^{2 x})}^{2}}$

= $\frac{(- 12 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{2 x} - (- 3 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot 2 e^{2 x}}{{(e^{2 x})}^{2}}$

= $\frac{(- 12 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{2 x} - 2 (- 3 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}}{{(e^{2 x})}^{2}}$

= $\frac{- 2 (- 3 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{2 x} + (- 12 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{2 x}}{e^{4 x}}$

= $\frac{e^{2 x - 4 x} \cdot (2 x^{3} (3 x + 4) - 12 x^{2} (x + 1))}{1}$

= $\frac{e^{- 2 x} \cdot (2 x^{3} (3 x + 4) - 12 x^{2} (x + 1))}{1}$

= $\frac{(2 x^{3} (3 x + 4) - 12 x^{2} (x + 1)) \cdot e^{- 2 x}}{1}$

= $(2 x^{3} \cdot (3 x + 4) - 12 x^{2} \cdot (x + 1)) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 6) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 6) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \sin (3 x) + (3 x^{2} - 6) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $6 x \cdot \sin (3 x) + (3 x^{2} - 6) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $6 x \cdot \sin (3 x) + 3 (3 x^{2} - 6) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 3$

= $e^{- 0,2 x} + (x - 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 3$

= $e^{- 0,2 x} - 0,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 3$

= $e^{- 0,2 x} - 3 - 0,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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