Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x}$

$f'(x) =$ $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} - 5) \cdot e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} - 5) \cdot e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} + 0) \cdot e^{x + 5} + (5 x^{4} - 5) \cdot e^{x + 5} \cdot 1$

= $20 x^{3} \cdot e^{x + 5} + (5 x^{4} - 5) \cdot e^{x + 5}$

= $e^{x + 5} \cdot (5 x^{4} + 20 x^{3} - 5)$

= $(5 x^{4} + 20 x^{3} - 5) \cdot e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x + 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x + 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{2 x} + (- 5 x + 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 5 e^{2 x} + (- 5 x + 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 5 e^{2 x} + 2 (- 5 x + 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x - 1)$

= $(- 10 x - 1) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x + 1)$

$f'(x) =$ $12 x^{2} \cdot \ln (x + 1) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 1} \cdot (1 + 0)$

= $12 x^{2} \ln (x + 1) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 1} \cdot (1)$

= $12 x^{2} \ln (x + 1) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 1}$

= $12 x^{2} \ln (x + 1) + 4 \frac{x^{3}}{x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 9) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 9) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (x^{2} + 9) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 7$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 7$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 7$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 7 + 2,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten