Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x}$

$f'(x) =$ $- e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} (- 3 x^{3} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} (- 3 x^{3} - 2 x)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 3 x^{3} - 2 x) + e^{- 2 x} \cdot (- 9 x^{2} - 2)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- 3 x^{3} - 2 x) + e^{- 2 x} (- 9 x^{2} - 2)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 9 x^{2} - 2 + (6 x^{3} + 4 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{3} - 9 x^{2} + 4 x - 2)$

= $(6 x^{3} - 9 x^{2} + 4 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{x^{2}}{e^{3 x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{x^{2}}{e^{3 x}}$

$f'(x) =$ $\frac{2 x \cdot e^{3 x} - x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3}{{(e^{3 x})}^{2}}$

= $\frac{2 x \cdot e^{3 x} - x^{2} \cdot 3 e^{3 x}}{{(e^{3 x})}^{2}}$

= $\frac{2 x \cdot e^{3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{3 x}}{{(e^{3 x})}^{2}}$

= $\frac{- 3 x^{2} \cdot e^{3 x} + 2 x \cdot e^{3 x}}{e^{6 x}}$

= $\frac{e^{3 x - 6 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)}{1}$

= $\frac{e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)}{1}$

= $\frac{(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}}{1}$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 7)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 7)$

$f'(x) =$ $21 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 7) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 7} \cdot (2 x + 0)$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} - 7) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 7} \cdot (2 x)$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} - 7) + 7 x^{3} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 7}$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} - 7) + 14 \frac{x^{3} \cdot x}{x^{2} - 7}$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} - 7) + 14 \frac{x^{4}}{x^{2} - 7}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(e^{- 3 x} + 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(e^{- 3 x} + 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $6 (e^{- 3 x} + 4) \cdot (e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0)$

= $6 (e^{- 3 x} + 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 18 (e^{- 3 x} + 4) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,520875 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,520875 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,74900625 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${1,15}^{43} \cdot e^{1,15 x}$

= $407,3869708797 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 3 (x - 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 3 e^{- 0,9 x} + 2,7 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2,7 x - 13,8)$

= $(2,7 x - 13,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten