$\text{f(x)}=$ $3+e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x+3}-\frac{9}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x+3}·3-\frac{9}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

= $-9e^{3x+3}-\frac{9}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x+5}·2$

= $2e^{2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $5x·\ln \left(x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5·\ln \left(x-2\right)+5x·\frac{1}{x-2}·\left(1+0\right)$

= $5\ln \left(x-2\right)+5x·\frac{1}{x-2}·\left(1\right)$

= $5\ln \left(x-2\right)+5x·\frac{1}{x-2}$

= $5\ln \left(x-2\right)+5\frac{x}{x-2}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x}+x^3·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x}+x^3·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3x^2·e^{-3x}-3x^3·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^x·\left(x+83\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+6$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+6$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,6}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+6$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}+6-\mathrm{0,6}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$