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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{2}{3} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{4 \sqrt{x}} - 2 e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{5}{4 \sqrt{x}} - 2 e^{- 2 x + 1}$

= $- \frac{5}{4} x^{- \frac{1}{2}} - 2 e^{- 2 x + 1}$

=> f'(x) = $\frac{5}{8} x^{- \frac{3}{2}} - 2 e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8 {(\sqrt{x})}^{3}} - 2 e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $\frac{5}{8 {(\sqrt{x})}^{3}} + 4 e^{- 2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{4} + e^{3 x} \cdot 4 x^{3}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{4} + 4 \cdot e^{3 x} x^{3}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $10 x \cdot \ln (x) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $10 x \ln (x) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $10 x \ln (x) + 5 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(\sin (x) + 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(\sin (x) + 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 4 {(\sin (x) + 2)}^{3} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $- 4 {(\sin (x) + 2)}^{3} \cdot (\cos (x))$

= $- 4 {(\sin (x) + 2)}^{3} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 89)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x + 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3,6 x - 6,8)$

= $(- 3,6 x - 6,8) \cdot e^{- 0,9 x}$