Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x + 1} + \cos (x) + \frac{8}{3} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x + 1} + \cos (x) + \frac{8}{3} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x + 1} \cdot 1 - \sin (x) + \frac{8}{3} \cdot \cos (x)$

= $- 2 e^{x + 1} - \sin (x) + \frac{8}{3} \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x - 4} + x^{3} \cdot e^{x - 4} \cdot 1$

= $3 x^{2} \cdot e^{x - 4} + x^{3} \cdot e^{x - 4}$

= $e^{x - 4} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x + 8)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x + 8)$

$f'(x) =$ $21 x^{2} \cdot \ln (x + 8) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 8} \cdot (1 + 0)$

= $21 x^{2} \ln (x + 8) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 8} \cdot (1)$

= $21 x^{2} \ln (x + 8) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 8}$

= $21 x^{2} \ln (x + 8) + 7 \frac{x^{3}}{x + 8}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{2 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{2 x^{2} - 2}$

= $2 {(2 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(2 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} - 2}} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} - 2}} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 79)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 9$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x + 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,4 x - 3,2)$

= $(0,4 x - 3,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten