$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}\left(-x^4+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(-x^4+5\right)+e^{-3x}·\left(-4x^3+0\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(-x^4+5\right)+e^{-3x}·\left(-4x^3\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(-x^4+5\right)-4·e^{-3x}{x}^3$

= $e^{-3x}·\left(3x^4-4x^3-15\right)$

= $\left(3x^4-4x^3-15\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{2x^3+3}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x^3+3}·6x^2$

= $18·e^{2x^3+3}{x}^2$

= $18x^2{e}^{2x^3+3}$

$\text{f(x)}=$ $6x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6·\ln \left(x\right)+6x·\frac{1}{x}·1$

= $6\ln \left(x\right)+6x·\frac{1}{x}$

= $6\ln \left(x\right)+6$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+8\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·e^{-2x}+\left(2x^2+8\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4x·e^{-2x}+\left(2x^2+8\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $4x·e^{-2x}-2\left(2x^2+8\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-4x^2+4x-16\right)$

= $\left(-4x^2+4x-16\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,52200625}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{33}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

= $-\mathrm{0,0046862402361501}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-7$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-7$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{1,4}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-7$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}-7-\mathrm{1,4}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$