Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x + 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 3} + x^{4} \cdot e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 3} + x^{4} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 3})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 3} - 4 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 3}$

= $e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (x^{5} + 4 x^{4})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (x^{5} + 4 x^{4})$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (x^{5} + 4 x^{4}) + e^{x} \cdot (5 x^{4} + 16 x^{3})$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 4 x^{4} + (5 x^{4} + 16 x^{3}))$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 9 x^{4} + 16 x^{3})$

= $(x^{5} + 9 x^{4} + 16 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} - 4 x^{2}} \cdot (- 15 x^{2} - 8 x)$

= $\frac{- 15 x^{2} - 8 x}{- 5 x^{3} - 4 x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (15 x + 8)}{- x \cdot (5 x + 4)}$

= $\frac{- (15 x + 8)}{- x \cdot (5 x + 4)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x - 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x - 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x - 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (9 x - 15)$

= $(9 x - 15) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,614125 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,614125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,52200625 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${0,85}^{45} \cdot e^{0,85 x}$

= $0,00066657904555222 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 3$

= $e^{- 0,2 x} + (x + 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 3$

= $e^{- 0,2 x} - 0,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$

= $e^{- 0,2 x} + 3 - 0,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten