$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $\frac{5}{32}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-2x-1}-\frac{5}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2x-1}·\left(-2\right)+\frac{5}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

= $6e^{-2x-1}+\frac{5}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\frac{x^2}{e^x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2x·e^x-x^2·e^x}{{\left(e^x\right)}^2}$

= $\frac{2x·e^x-x^2·e^x}{{\left(e^x\right)}^2}$

= $\frac{-x^2·e^x+2x·e^x}{e^{2x}}$

= $\frac{e^{x-2x}·\left(-x^2+2x\right)}{1}$

= $\frac{e^{-x}·\left(-x^2+2x\right)}{1}$

= $\frac{\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}}{1}$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $7x·\ln \left(x^2+8\right)$

$\text{f'(x)}=$ $7·\ln \left(x^2+8\right)+7x·\frac{1}{x^2+8}·\left(2x+0\right)$

= $7\ln \left(x^2+8\right)+7x·\frac{1}{x^2+8}·\left(2x\right)$

= $7\ln \left(x^2+8\right)+7x·2\frac{x}{x^2+8}$

= $7\ln \left(x^2+8\right)+14\frac{x·x}{x^2+8}$

= $7\ln \left(x^2+8\right)+14\frac{x^2}{x^2+8}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2x^2+1}$

= $3{\left(2x^2+1\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-3{\left(2x^2+1\right)}^{-2}·\left(4x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(2x^2+1\right)}^2}·\left(4x+0\right)$

= $-\frac{3}{{\left(2x^2+1\right)}^2}·\left(4x\right)$

= $-12\frac{x}{{\left(2x^2+1\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,857375}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,857375}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,81450625}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{75}·e^{\mathrm{0,95}x}$

= $\mathrm{0,021343733845878}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,2}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{1,2}x-\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$