$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x}·3$

= $-9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{2}\cdot \cos \left(x\right)+\frac{4}{x^3}+3e^{2x+2}$

= $-\frac{5}{2}\cdot \cos \left(x\right)+4x^{-3}+3e^{2x+2}$

=> f'(x) = $\frac{5}{2}\cdot \sin \left(x\right)-12x^{-4}+3e^{2x+2}·2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2}\cdot \sin \left(x\right)-\frac{12}{x^4}+3e^{2x+2}·2$

= $\frac{5}{2}\cdot \sin \left(x\right)-\frac{12}{x^4}+6e^{2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{3x}·3$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-3e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{2,7}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,7}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{2,43}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,43}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{2,187}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,187}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{1,9683}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{60}·\left(-3e^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-\mathrm{0,0053910308997433}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,9}x}-\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{0,9}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{6,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{6,4}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$