Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{7}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{7}{4} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{7}{4} x} \cdot \frac{7}{4}$

= $\frac{7}{4} e^{\frac{7}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x - 4} + x^{5} \cdot e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x - 4} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x - 4}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x - 4} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x - 4}$

= $e^{3 x - 4} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot (- e^{- x})$

= $2 x \cdot e^{- x} - x^{2} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x - 3} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x - 3} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 3) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 3) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} - 3) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,520875 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,520875 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,74900625 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${1,15}^{46} \cdot e^{1,15 x}$

= $619,58465933667 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 4$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x + 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 4$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 4$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 4 + 1,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten