$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{21}{8}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{x+4}+4\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{x+4}·1+4\cdot \cos \left(x\right)$

= $3e^{x+4}+4\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x}+x^5·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x}+x^5·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $5x^4·e^{-2x}-2x^5·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $7x·\ln \left(x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $7·\ln \left(x-1\right)+7x·\frac{1}{x-1}·\left(1+0\right)$

= $7\ln \left(x-1\right)+7x·\frac{1}{x-1}·\left(1\right)$

= $7\ln \left(x-1\right)+7x·\frac{1}{x-1}$

= $7\ln \left(x-1\right)+7\frac{x}{x-1}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $12{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^3·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $12{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^3·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-12{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^3·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^x$

f'(x) = $2e^x$

f''(x) = $2e^x$

f'''(x) = $2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,4}x}-5\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(2x+7\right)$

= $\left(2x+7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$