Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 2} + x^{3} \cdot e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 2} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x + 2}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 2} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x + 2}$

= $e^{3 x + 2} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x - 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x - 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{2 x} + (- 3 x - 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 3 e^{2 x} + (- 3 x - 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 3 e^{2 x} + 2 (- 3 x - 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x - 13)$

= $(- 6 x - 13) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x \cdot \ln (x^{2} + 7)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x \cdot \ln (x^{2} + 7)$

$f'(x) =$ $7 \cdot \ln (x^{2} + 7) + 7 x \cdot \frac{1}{x^{2} + 7} \cdot (2 x + 0)$

= $7 \ln (x^{2} + 7) + 7 x \cdot \frac{1}{x^{2} + 7} \cdot (2 x)$

= $7 \ln (x^{2} + 7) + 7 x \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 7}$

= $7 \ln (x^{2} + 7) + 14 \frac{x \cdot x}{x^{2} + 7}$

= $7 \ln (x^{2} + 7) + 14 \frac{x^{2}}{x^{2} + 7}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x - 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x - 4} + x^{3} \cdot e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x - 4} + x^{3} \cdot (- e^{- x - 4})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x - 4} - x^{3} \cdot e^{- x - 4}$

= $e^{- x - 4} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x - 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 1$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x - 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4,5 x + 9,5)$

= $(- 4,5 x + 9,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten