$\text{f(x)}=$ $3-2e^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{2}{3}x}·\frac{2}{3}$

= $-\frac{4}{3}{e}^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^3-x\right)·e^{x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(15x^2-1\right)·e^{x-1}+\left(5x^3-x\right)·e^{x-1}·1$

= $\left(15x^2-1\right)·e^{x-1}+\left(5x^3-x\right)·e^{x-1}$

= $e^{x-1}·(15x^2-1+\left(5x^3-x\right))$

= $e^{x-1}·\left(5x^3+15x^2-x-1\right)$

= $\left(5x^3+15x^2-x-1\right)·e^{x-1}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-2x^3+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2x^3+1}·\left(-6x^2\right)$

= $18·e^{-2x^3+1}{x}^2$

= $18x^2{e}^{-2x^3+1}$

$\text{f(x)}=$ $7x^3·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $21x^2·\ln \left(x\right)+7x^3·\frac{1}{x}·1$

= $21x^2\ln \left(x\right)+7x^3·\frac{1}{x}$

= $21x^2\ln \left(x\right)+7x^2$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+1\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-3x}+\left(x^2+1\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+\left(x^2+1\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3\left(x^2+1\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x-3\right)$

= $\left(-3x^2+2x-3\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+84\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-7$

= $4e^{-\mathrm{0,2}x}+4\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-7$

= $4e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,8}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-7$

= $4e^{-\mathrm{0,2}x}-7-\mathrm{0,8}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$