Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{x}$

= $- 3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x + 9)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x + 9)$

$f'(x) =$ $21 x^{2} \cdot \ln (x + 9) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 9} \cdot (1 + 0)$

= $21 x^{2} \ln (x + 9) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 9} \cdot (1)$

= $21 x^{2} \ln (x + 9) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 9}$

= $21 x^{2} \ln (x + 9) + 7 \frac{x^{3}}{x + 9}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{2 x} + \sqrt{x} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 e^{2 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 67-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $5 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 5,25 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 5,25 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $5,5125 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $5,5125 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 5,788125 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,788125 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $6,07753125 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 67-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 67 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{67}$

Somit gilt für die 67-te Ableitung:

f⁽⁶⁷⁾(x) = ${(- 1,05)}^{67} \cdot 5 e^{- 1,05 x}$

= $- 131,41745183248 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 8$

= $- e^{- 0,7 x} - (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 8$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 8$

= $- e^{- 0,7 x} - 8 + 0,7 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten