Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 3 e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 3 e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $- \frac{5}{2} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x - 5} + x^{4} \cdot e^{x - 5} \cdot 1$

= $4 x^{3} \cdot e^{x - 5} + x^{4} \cdot e^{x - 5}$

= $e^{x - 5} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(10 x + 4) \cdot e^{2 x} + (5 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(10 x + 4) \cdot e^{2 x} + (5 x^{2} + 4 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(10 x + 4) \cdot e^{2 x} + 2 (5 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (10 x + 4 + (10 x^{2} + 8 x))$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{2} + 18 x + 4)$

= $(10 x^{2} + 18 x + 4) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x - 3)$

$f'(x) =$ $15 x^{2} \cdot \ln (x - 3) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 3} \cdot (1 + 0)$

= $15 x^{2} \ln (x - 3) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 3} \cdot (1)$

= $15 x^{2} \ln (x - 3) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 3}$

= $15 x^{2} \ln (x - 3) + 5 \frac{x^{3}}{x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x + 5)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (x + 5)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (x + 5) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (x + 5) + \sqrt{x} \cdot \cos (x + 5)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x + 5)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (x + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 7$

= $4 e^{- 0,2 x} + 4 (x + 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 7$

= $4 e^{- 0,2 x} - 0,8 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 7$

= $4 e^{- 0,2 x} - 7 - 0,8 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten