$\text{f(x)}=$ $-3-2e^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $-\frac{16}{9}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-x+2}-5\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-x+2}·\left(-1\right)+5\cdot \sin \left(x\right)$

= $-3e^{-x+2}+5\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^4+1\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(16x^3+0\right)·e^{-x}+\left(4x^4+1\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $16x^3·e^{-x}+\left(4x^4+1\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $16x^3·e^{-x}-\left(4x^4+1\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-4x^4+16x^3-1\right)$

= $\left(-4x^4+16x^3-1\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $7x^3·\ln \left(x+8\right)$

$\text{f'(x)}=$ $21x^2·\ln \left(x+8\right)+7x^3·\frac{1}{x+8}·\left(1+0\right)$

= $21x^2\ln \left(x+8\right)+7x^3·\frac{1}{x+8}·\left(1\right)$

= $21x^2\ln \left(x+8\right)+7x^3·\frac{1}{x+8}$

= $21x^2\ln \left(x+8\right)+7\frac{x^3}{x+8}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(e^{-x}-4\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $5{\left(e^{-x}-4\right)}^4·(e^{-x}·\left(-1\right)+0)$

= $5{\left(e^{-x}-4\right)}^4·\left(-e^{-x}\right)$

= $-5{\left(e^{-x}-4\right)}^4·e^{-x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^x$

f'(x) = $3e^x$

f''(x) = $3e^x$

f'''(x) = $3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+1$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+1$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{1,5}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}+1-\mathrm{1,5}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$