Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{4} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} - x^{3}) \cdot e^{- 4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} - x^{3}) \cdot e^{- 4 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 2} + (- 3 x^{5} - x^{3}) \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $(- 15 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 2} + (- 3 x^{5} - x^{3}) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 2})$

= $(- 15 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 2} - 4 (- 3 x^{5} - x^{3}) \cdot e^{- 4 x - 2}$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (12 x^{5} + 4 x^{3} + (- 15 x^{4} - 3 x^{2}))$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (12 x^{5} - 15 x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2})$

= $(12 x^{5} - 15 x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $15 x^{2} \cdot \ln (x) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $15 x^{2} \ln (x) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $15 x^{2} \ln (x) + 5 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(- x^{3} + 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(- x^{3} + 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 4 {(- x^{3} + 5)}^{3} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $- 4 {(- x^{3} + 5)}^{3} \cdot (- 3 x^{2})$

= $12 {(- x^{3} + 5)}^{3} x^{2}$

= $12 x^{2} {(- x^{3} + 5)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{1,1 x}$

f'(x) = $2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,2 e^{1,1 x}$

f''(x) = $2,2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,42 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $2,42 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,662 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,662 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,9282 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${1,1}^{47} \cdot 2 e^{1,1 x}$

= $176,39497051795 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 4$

= $3 e^{- 0,9 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 4$

= $3 e^{- 0,9 x} - 2,7 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 4$

= $3 e^{- 0,9 x} + 4 - 2,7 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten