$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{5}{7}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{7}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{10}{7}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)+3e^{-x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)+3e^{-x-2}·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)-3e^{-x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{-4x^2-4}{e^{2x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{\left(-8x+0\right)·e^{2x}-\left(-4x^2-4\right)·e^{2x}·2}{{\left(e^{2x}\right)}^2}$

= $\frac{-8x·e^{2x}-\left(-4x^2-4\right)·2e^{2x}}{{\left(e^{2x}\right)}^2}$

= $\frac{-8x·e^{2x}-2\left(-4x^2-4\right)·e^{2x}}{{\left(e^{2x}\right)}^2}$

= $\frac{-2\left(-4x^2-4\right)·e^{2x}-8x·e^{2x}}{e^{4x}}$

= $\frac{-2·e^{2x-4x}·\left(-4x^2+4x-4\right)}{1}$

= $\frac{-2·e^{-2x}·\left(-4x^2+4x-4\right)}{1}$

= $\frac{-2\left(-4x^2+4x-4\right)·e^{-2x}}{1}$

= $-2\left(-4x^2+4x-4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\ln \left(x\right)+x^2·\frac{1}{x}·1$

= $2x\ln \left(x\right)+x^2·\frac{1}{x}$

= $2x\ln \left(x\right)+x$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\cos \left(-x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\cos \left(-x+4\right)+x^3·(-\sin \left(-x+4\right)·\left(-1+0\right))$

= $3x^2·\cos \left(-x+4\right)+x^3·(-\sin \left(-x+4\right)·\left(-1\right))$

= $3x^2·\cos \left(-x+4\right)+x^3·\sin \left(-x+4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $e^x·\left(x+78\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{7,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$