$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x}·2$

= $-4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{4}\cdot \sin \left(x\right)+e^{2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{4}\cdot \cos \left(x\right)+e^{2x+4}·2$

= $-\frac{7}{4}\cdot \cos \left(x\right)+2e^{2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x+5}·3$

= $-6e^{3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\ln \left(x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\ln \left(x-1\right)+x^2·\frac{1}{x-1}·\left(1+0\right)$

= $2x\ln \left(x-1\right)+x^2·\frac{1}{x-1}·\left(1\right)$

= $2x\ln \left(x-1\right)+x^2·\frac{1}{x-1}$

= $2x\ln \left(x-1\right)+\frac{x^2}{x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·\sin \left(x^3\right)$

= $x^{\frac{1}{4}}·\sin \left(x^3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·\sin \left(x^3\right)+x^{\frac{1}{4}}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·\sin \left(x^3\right)+\sqrt[4]{x}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+3\sqrt[4]{x}\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+3{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^9·\cos \left(x^3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,520875}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,520875}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,74900625}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{41}·e^{-\mathrm{1,15}x}$

= $-\mathrm{308,04307816991}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+3$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+3$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,2}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3$

= $-e^{-\mathrm{0,2}x}+3+\mathrm{0,2}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$