$\text{f(x)}=$ $4+\frac{5}{6}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{6}{e}^{\frac{7}{8}x}·\frac{7}{8}$

= $\frac{35}{48}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{4x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{4x+2}+x^4·e^{4x+2}·4$

= $4x^3·e^{4x+2}+x^4·4e^{4x+2}$

= $4x^3·e^{4x+2}+4x^4·e^{4x+2}$

= $e^{4x+2}·\left(4x^4+4x^3\right)$

= $\left(4x^4+4x^3\right)·e^{4x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x+4}·3$

= $-6e^{3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $6x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6·\ln \left(x\right)+6x·\frac{1}{x}·1$

= $6\ln \left(x\right)+6x·\frac{1}{x}$

= $6\ln \left(x\right)+6$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(-x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(-x-3\right)·\left(-1+0\right)$

= $-\sin \left(-x-3\right)·\left(-1\right)$

= $\sin \left(-x-3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^x$

f'(x) = $-5e^x$

f''(x) = $-5e^x$

f'''(x) = $-5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $-5e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+9$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+9$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,4}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+9$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}+9-\mathrm{0,4}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$