Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 1} + x^{4} \cdot e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 1} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x + 1}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 1} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x + 1}$

= $e^{2 x + 1} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 3) \cdot e^{4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 3) \cdot e^{4 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} + 0) \cdot e^{4 x - 2} + (- 4 x^{5} - 3) \cdot e^{4 x - 2} \cdot 4$

= $- 20 x^{4} \cdot e^{4 x - 2} + (- 4 x^{5} - 3) \cdot 4 e^{4 x - 2}$

= $- 20 x^{4} \cdot e^{4 x - 2} + 4 (- 4 x^{5} - 3) \cdot e^{4 x - 2}$

= $e^{4 x - 2} \cdot (- 16 x^{5} - 20 x^{4} - 12)$

= $(- 16 x^{5} - 20 x^{4} - 12) \cdot e^{4 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} + 1} \cdot (- 15 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{3} + 1} \cdot (- 15 x^{2})$

= $- 15 \frac{x^{2}}{- 5 x^{3} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(e^{3 x} + 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(e^{3 x} + 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $5 {(e^{3 x} + 4)}^{4} \cdot (e^{3 x} \cdot 3 + 0)$

= $5 {(e^{3 x} + 4)}^{4} \cdot (3 e^{3 x})$

= $15 {(e^{3 x} + 4)}^{4} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 1$

= $2 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 1$

= $2 e^{- 0,5 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 1$

= $2 e^{- 0,5 x} - 1 - (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten