$\text{f(x)}=$ $3+\frac{7}{8}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{8}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{7}{8}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-x-3}+x^2·e^{-x-3}·\left(-1\right)$

= $2x·e^{-x-3}+x^2·\left(-e^{-x-3}\right)$

= $2x·e^{-x-3}-x^2·e^{-x-3}$

= $e^{-x-3}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x^2+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x^2+4}·6x$

= $-12·e^{3x^2+4}x$

= $-12x{e}^{3x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $3x^2·\ln \left(x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6x·\ln \left(x-3\right)+3x^2·\frac{1}{x-3}·\left(1+0\right)$

= $6x\ln \left(x-3\right)+3x^2·\frac{1}{x-3}·\left(1\right)$

= $6x\ln \left(x-3\right)+3x^2·\frac{1}{x-3}$

= $6x\ln \left(x-3\right)+3\frac{x^2}{x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-8\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x-8\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x-8\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x-8\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x+17\right)$

= $\left(-2x+17\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,520875}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,520875}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,74900625}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{42}·e^{\mathrm{1,15}x}$

= $\mathrm{354,24953989539}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+5$

= $4e^{-\mathrm{0,2}x}+4\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+5$

= $4e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,8}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5$

= $4e^{-\mathrm{0,2}x}+5-\mathrm{0,8}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$