Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 6 x) \cdot e^{5 x + 3} + (- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 3} \cdot 5$

= $(- 12 x^{2} + 6 x) \cdot e^{5 x + 3} + (- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot 5 e^{5 x + 3}$

= $(- 12 x^{2} + 6 x) \cdot e^{5 x + 3} + 5 (- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 3}$

= $e^{5 x + 3} \cdot (- 20 x^{3} + 15 x^{2} + (- 12 x^{2} + 6 x))$

= $e^{5 x + 3} \cdot (- 20 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x)$

= $(- 20 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x) \cdot e^{5 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} - 2 x} \cdot (2 x - 2)$

= $\frac{2 x - 2}{x^{2} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(\cos (x) - 1)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(\cos (x) - 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $8 {(\cos (x) - 1)}^{3} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $8 {(\cos (x) - 1)}^{3} \cdot (- \sin (x))$

= $- 8 {(\cos (x) - 1)}^{3} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,157625 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,157625 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,21550625 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${(- 1,05)}^{78} \cdot (- e^{- 1,05 x})$

= $- 44,953688042488 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 4$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x - 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 4$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 4$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 4 + 1,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten