$\text{f(x)}=$ $\frac{6}{5}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{5}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{12}{5}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(x\right)+3e^{-x+5}-x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(x\right)+3e^{-x+5}·\left(-1\right)-3x^2$

= $-5\cdot \cos \left(x\right)-3e^{-x+5}-3x^2$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{2x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{2x^3+5}·6x^2$

= $-18·e^{2x^3+5}{x}^2$

= $-18x^2{e}^{2x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\ln \left(x-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\ln \left(x-5\right)+x^2·\frac{1}{x-5}·\left(1+0\right)$

= $2x\ln \left(x-5\right)+x^2·\frac{1}{x-5}·\left(1\right)$

= $2x\ln \left(x-5\right)+x^2·\frac{1}{x-5}$

= $2x\ln \left(x-5\right)+\frac{x^2}{x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x^2-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x^2-4\right)·\left(2x+0\right)$

= $-\sin \left(x^2-4\right)·\left(2x\right)$

= $-2\sin \left(x^2-4\right)x$

= $-2x·\sin \left(x^2-4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $e^x·\left(x+80\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+5\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,7}x}+5\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{3,5}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{3,5}x-9\right)$

= $\left(-\mathrm{3,5}x-9\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$