$\text{f(x)}=$ $3e^{\frac{9}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{\frac{9}{8}x}·\frac{9}{8}$

= $\frac{27}{8}{e}^{\frac{9}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $6x^3-3e^{x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $18x^2-3e^{x+2}·1$

= $18x^2-3e^{x+2}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{2x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x+1}·2$

= $6e^{2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $3x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3·\ln \left(x\right)+3x·\frac{1}{x}·1$

= $3\ln \left(x\right)+3x·\frac{1}{x}$

= $3\ln \left(x\right)+3$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-3\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{3x}+\left(x-3\right)·e^{3x}·3$

= $e^{3x}+\left(x-3\right)·3e^{3x}$

= $e^{3x}+3\left(x-3\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x-8\right)$

= $\left(3x-8\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $2e^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{2,2}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,2}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{2,42}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,42}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{2,662}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,662}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{2,9282}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,1}}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${\mathrm{1,1}}^{56}·2e^{\mathrm{1,1}x}$

= $\mathrm{415,93011343681}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+2$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+2$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,2}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}+2-\mathrm{1,2}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$