Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{12}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 8 x) \cdot e^{- 4 x + 1} + (- 2 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $(- 10 x^{4} + 8 x) \cdot e^{- 4 x + 1} + (- 2 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 1})$

= $(- 10 x^{4} + 8 x) \cdot e^{- 4 x + 1} - 4 (- 2 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 1}$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (8 x^{5} - 16 x^{2} + (- 10 x^{4} + 8 x))$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (8 x^{5} - 10 x^{4} - 16 x^{2} + 8 x)$

= $(8 x^{5} - 10 x^{4} - 16 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- 4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x - 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x - 2} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $5 \cdot \ln (x) + 5 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $5 \ln (x) + 5 x \cdot \frac{1}{x}$

= $5 \ln (x) + 5$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 8) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 8) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x^{2} - 8) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $6 x \cdot e^{2 x} + (3 x^{2} - 8) \cdot 2 e^{2 x}$

= $6 x \cdot e^{2 x} + 2 (3 x^{2} - 8) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{2} + 6 x - 16)$

= $(6 x^{2} + 6 x - 16) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- e^{- 0,7 x} - (x - 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (0,7 x - 1,7)$

= $(0,7 x - 1,7) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten