$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{6}{e}^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-4x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-4x-3}+x^4·e^{-4x-3}·\left(-4\right)$

= $4x^3·e^{-4x-3}+x^4·\left(-4e^{-4x-3}\right)$

= $4x^3·e^{-4x-3}-4x^4·e^{-4x-3}$

= $e^{-4x-3}·\left(-4x^4+4x^3\right)$

= $\left(-4x^4+4x^3\right)·e^{-4x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x+4\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4+0\right)·e^{-x}+\left(-4x+4\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-4e^{-x}+\left(-4x+4\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $-4e^{-x}-\left(-4x+4\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(4x-8\right)$

= $\left(4x-8\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $4x·\ln \left(x^2+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·\ln \left(x^2+2\right)+4x·\frac{1}{x^2+2}·\left(2x+0\right)$

= $4\ln \left(x^2+2\right)+4x·\frac{1}{x^2+2}·\left(2x\right)$

= $4\ln \left(x^2+2\right)+4x·2\frac{x}{x^2+2}$

= $4\ln \left(x^2+2\right)+8\frac{x·x}{x^2+2}$

= $4\ln \left(x^2+2\right)+8\frac{x^2}{x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{3x^3+2}$

= $3{\left(3x^3+2\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-3{\left(3x^3+2\right)}^{-2}·\left(9x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(3x^3+2\right)}^2}·\left(9x^2+0\right)$

= $-\frac{3}{{\left(3x^3+2\right)}^2}·\left(9x^2\right)$

= $-27\frac{x^2}{{\left(3x^3+2\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,52200625}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{31}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

= $-\mathrm{0,0064861456555711}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+9$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+9$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+9$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}+9-3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$