Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 5} + x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 5} + x^{3} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 5})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 5} - 4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5}$

= $e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{e^{2 x}}{- x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{e^{2 x}}{- x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $\frac{e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- x^{3} - 2) - e^{2 x} \cdot (- 3 x^{2} + 0)}{{(- x^{3} - 2)}^{2}}$

= $\frac{2 \cdot e^{2 x} (- x^{3} - 2) - e^{2 x} \cdot (- 3 x^{2})}{{(- x^{3} - 2)}^{2}}$

= $\frac{2 \cdot e^{2 x} (- x^{3} - 2) + 3 \cdot e^{2 x} x^{2}}{{(- x^{3} - 2)}^{2}}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x + 5)$

$f'(x) =$ $12 x \cdot \ln (x + 5) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 5} \cdot (1 + 0)$

= $12 x \ln (x + 5) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 5} \cdot (1)$

= $12 x \ln (x + 5) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 5}$

= $12 x \ln (x + 5) + 6 \frac{x^{2}}{x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x + 9) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x + 9) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x + 9) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x + 29)$

= $(6 x + 29) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 69-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,157625 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,157625 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,21550625 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${(- 1,05)}^{69} \cdot e^{- 1,05 x}$

= $- 28,977548129061 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 5$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x - 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 5$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 5$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + 5 + (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten