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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{4 x - 4} + x^{2} \cdot e^{4 x - 4} \cdot 4$

= $2 x \cdot e^{4 x - 4} + x^{2} \cdot 4 e^{4 x - 4}$

= $2 x \cdot e^{4 x - 4} + 4 x^{2} \cdot e^{4 x - 4}$

= $e^{4 x - 4} \cdot (4 x^{2} + 2 x)$

= $(4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x - 1}$

$f'(x) =$ $- e^{x - 1} \cdot 1$

= $- e^{x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $14 x \cdot \ln (x) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $14 x \ln (x) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $14 x \ln (x) + 7 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x + 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x + 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x + 19)$

= $(3 x + 19) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,3 x - 1,5)$

= $(0,3 x - 1,5) \cdot e^{- 0,1 x}$