$\text{f(x)}=$ $3e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)-3e^{-2x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)-3e^{-2x-3}·\left(-2\right)$

= $-\sin \left(x\right)+6e^{-2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{x^4}{e^{-3x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4x^3·e^{-3x}-x^4·e^{-3x}·\left(-3\right)}{{\left(e^{-3x}\right)}^2}$

= $\frac{4x^3·e^{-3x}-x^4·\left(-3e^{-3x}\right)}{{\left(e^{-3x}\right)}^2}$

= $\frac{4x^3·e^{-3x}+3x^4·e^{-3x}}{{\left(e^{-3x}\right)}^2}$

= $\frac{3x^4·e^{-3x}+4x^3·e^{-3x}}{e^{-6x}}$

= $\frac{e^{-3x+6x}·\left(3x^4+4x^3\right)}{1}$

= $\frac{e^{3x}·\left(3x^4+4x^3\right)}{1}$

= $\frac{\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}}{1}$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $4x·\ln \left(x^2+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·\ln \left(x^2+2\right)+4x·\frac{1}{x^2+2}·\left(2x+0\right)$

= $4\ln \left(x^2+2\right)+4x·\frac{1}{x^2+2}·\left(2x\right)$

= $4\ln \left(x^2+2\right)+4x·2\frac{x}{x^2+2}$

= $4\ln \left(x^2+2\right)+8\frac{x·x}{x^2+2}$

= $4\ln \left(x^2+2\right)+8\frac{x^2}{x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+4\right)·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(3x\right)+\left(x^2+4\right)·\cos \left(3x\right)·3$

= $2x·\sin \left(3x\right)+\left(x^2+4\right)·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $2x·\sin \left(3x\right)+3\left(x^2+4\right)·\cos \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,157625}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,157625}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,21550625}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{65}·e^{-\mathrm{1,05}x}$

= $-\mathrm{23,839900559179}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}x}-2\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{1,4}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{1,4}x-\mathrm{0,6}\right)$

= $\left(\mathrm{1,4}x-\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$