$\text{f(x)}=$ $5-e^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $-\frac{6}{7}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-2x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-2x-4}+x^4·e^{-2x-4}·\left(-2\right)$

= $4x^3·e^{-2x-4}+x^4·\left(-2e^{-2x-4}\right)$

= $4x^3·e^{-2x-4}-2x^4·e^{-2x-4}$

= $e^{-2x-4}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{x^2}{e^{-2x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2x·e^{-2x}-x^2·e^{-2x}·\left(-2\right)}{{\left(e^{-2x}\right)}^2}$

= $\frac{2x·e^{-2x}-x^2·\left(-2e^{-2x}\right)}{{\left(e^{-2x}\right)}^2}$

= $\frac{2x·e^{-2x}+2x^2·e^{-2x}}{{\left(e^{-2x}\right)}^2}$

= $\frac{2x^2·e^{-2x}+2x·e^{-2x}}{e^{-4x}}$

= $\frac{2·e^{-2x+4x}·\left(x^2+x\right)}{1}$

= $\frac{2·e^{2x}·\left(x^2+x\right)}{1}$

= $\frac{2\left(x^2+x\right)·e^{2x}}{1}$

= $2\left(x^2+x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $3x·\ln \left(x^2-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3·\ln \left(x^2-2\right)+3x·\frac{1}{x^2-2}·\left(2x+0\right)$

= $3\ln \left(x^2-2\right)+3x·\frac{1}{x^2-2}·\left(2x\right)$

= $3\ln \left(x^2-2\right)+3x·2\frac{x}{x^2-2}$

= $3\ln \left(x^2-2\right)+6\frac{x·x}{x^2-2}$

= $3\ln \left(x^2-2\right)+6\frac{x^2}{x^2-2}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{3x}+x^2·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+x^2·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3x^2·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,857375}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,857375}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,81450625}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{63}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

= $-\mathrm{0,039499093906438}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-6$

= $-3e^{-\mathrm{0,7}x}-3\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-6$

= $-3e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{2,1}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-6$

= $-3e^{-\mathrm{0,7}x}-6+\mathrm{2,1}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$