$\text{f(x)}=$ $1-e^{\frac{9}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{9}{8}x}·\frac{9}{8}$

= $-\frac{9}{8}{e}^{\frac{9}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x+2}-\frac{3}{2}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x+2}·\left(-3\right)-\frac{9}{2}{x}^2$

= $-3e^{-3x+2}-\frac{9}{2}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{-5x^2+4}{e^x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{\left(-10x+0\right)·e^x-\left(-5x^2+4\right)·e^x}{{\left(e^x\right)}^2}$

= $\frac{-\left(-5x^2+4\right)·e^x-10x·e^x}{e^{2x}}$

= $\frac{-e^{x-2x}·\left(-5x^2+10x+4\right)}{1}$

= $\frac{-e^{-x}·\left(-5x^2+10x+4\right)}{1}$

= $\frac{-\left(-5x^2+10x+4\right)·e^{-x}}{1}$

= $-\left(-5x^2+10x+4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{6x}·6$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-3x}+x^2·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+x^2·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3x^2·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,05}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,05}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,157625}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,157625}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,21550625}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{76}·e^{\mathrm{1,05}x}$

= $\mathrm{40,774320219943}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+5\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,1}x}+5\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,5}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,5}x+\mathrm{8,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,5}x+\mathrm{8,5}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$