Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $- \frac{9}{7} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 5}$

$f'(x) =$ $(3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 4 x + 5} + (x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4)$

= $(3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 4 x + 5} + (x^{3} + 2 x^{2}) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 5})$

= $(3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 4 x + 5} - 4 (x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 5}$

= $e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4 x^{3} - 8 x^{2} + (3 x^{2} + 4 x))$

= $e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x)$

= $(- 4 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} - 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} - 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 0) \cdot e^{2 x} + (5 x^{5} - 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $25 x^{4} \cdot e^{2 x} + (5 x^{5} - 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $25 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 (5 x^{5} - 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{5} + 25 x^{4} - 6)$

= $(10 x^{5} + 25 x^{4} - 6) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x \cdot \ln (x - 6)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x \cdot \ln (x - 6)$

$f'(x) =$ $7 \cdot \ln (x - 6) + 7 x \cdot \frac{1}{x - 6} \cdot (1 + 0)$

= $7 \ln (x - 6) + 7 x \cdot \frac{1}{x - 6} \cdot (1)$

= $7 \ln (x - 6) + 7 x \cdot \frac{1}{x - 6}$

= $7 \ln (x - 6) + 7 \frac{x}{x - 6}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 5} + x^{3} \cdot e^{4 x - 5} \cdot 4$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 5} + x^{3} \cdot 4 e^{4 x - 5}$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 5} + 4 x^{3} \cdot e^{4 x - 5}$

= $e^{4 x - 5} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{4 x - 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 75)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,2 x - 1,8)$

= $(0,2 x - 1,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten