Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{10}{9} e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{10}{9} e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{10}{9} e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{5}{9} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 1} + x^{3} \cdot e^{5 x - 1} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 1} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x - 1}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 1} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x - 1}$

= $e^{5 x - 1} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x - 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $18 x^{2} \cdot \ln (x) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $18 x^{2} \ln (x) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $18 x^{2} \ln (x) + 6 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{2 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{2 x^{2} + 5}$

= $2 {(2 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(2 x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 5}} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 5}} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 5}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${1,1}^{49} \cdot e^{1,1 x}$

= $106,71895716336 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 7$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x - 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,2 x + 9,2)$

= $(- 1,2 x + 9,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten