$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-x}+x^4·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $4x^3·e^{-x}+x^4·\left(-e^{-x}\right)$

= $4x^3·e^{-x}-x^4·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x}+x^5·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x}+x^5·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $5x^4·e^{-2x}-2x^5·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $5x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $10x·\ln \left(x\right)+5x^2·\frac{1}{x}·1$

= $10x\ln \left(x\right)+5x^2·\frac{1}{x}$

= $10x\ln \left(x\right)+5x$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+3\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-3x}+\left(2x+3\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2e^{-3x}+\left(2x+3\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2e^{-3x}-3\left(2x+3\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-6x-7\right)$

= $\left(-6x-7\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{57}·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $-\mathrm{0,0024650347049581}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,4}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{6,8}\right)$

= $\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{6,8}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$