$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{\frac{5}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{\frac{5}{4}x}·\frac{5}{4}$

= $\frac{5}{12}{e}^{\frac{5}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x+2}-\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x+2}·\left(-2\right)+\sin \left(x\right)$

= $2e^{-2x+2}+\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^2+e^{-3x}·2x$

= $-3·e^{-3x}{x}^2+2·e^{-3x}x$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x^3+3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^3+3x}·\left(3x^2+3\right)$

= $\frac{3x^2+3}{x^3+3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-9\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{2x}+\left(3x-9\right)·e^{2x}·2$

= $3e^{2x}+\left(3x-9\right)·2e^{2x}$

= $3e^{2x}+2\left(3x-9\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(6x-15\right)$

= $\left(6x-15\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}-4\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{3,6}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{3,6}x-\mathrm{11,2}\right)$

= $\left(\mathrm{3,6}x-\mathrm{11,2}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$