Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 1} - \frac{4}{\sqrt{x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 1} - \frac{4}{\sqrt{x}}$

= $- 2 e^{- 2 x + 1} - 4 x^{- \frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- 2 e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2) + 2 x^{- \frac{3}{2}}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2) + \frac{2}{{(\sqrt{x})}^{3}}$

= $4 e^{- 2 x + 1} + \frac{2}{{(\sqrt{x})}^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{x} \cdot 1$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{5 x - 1}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{5 x - 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{5 x - 1} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{5 x - 1} \cdot 5$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{5 x - 1} + \sqrt{x} \cdot e^{5 x - 1} \cdot 5$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{5 x - 1}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 5 e^{5 x - 1}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{5 x - 1}}{\sqrt{x}} + 5 \sqrt{x} \cdot e^{5 x - 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,520875 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,520875 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,74900625 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${(- 1,15)}^{45} \cdot e^{- 1,15 x}$

= $- 538,76926898841 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $e^{- 0,5 x} + (x - 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5 x + 3)$

= $(- 0,5 x + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten