Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{7}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{7}{4} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{7}{4} x} \cdot \frac{7}{4}$

= $- \frac{7}{4} e^{\frac{7}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} - 10 x) \cdot e^{x - 4} + (- 5 x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{x - 4} \cdot 1$

= $(- 20 x^{3} - 10 x) \cdot e^{x - 4} + (- 5 x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{x - 4}$

= $e^{x - 4} \cdot (- 5 x^{4} - 5 x^{2} + (- 20 x^{3} - 10 x))$

= $e^{x - 4} \cdot (- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 5 x^{2} - 10 x)$

= $(- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 5 x^{2} - 10 x) \cdot e^{x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} + 3} \cdot (- 6 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 3 x^{2} + 3} x$

= $- 12 x e^{- 3 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x - 4} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x - 4} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{3 x - 3}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{3 x - 3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{3 x - 3} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{3 x - 3} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{3 x - 3} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{3 x - 3}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 3 e^{3 x - 3}$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{3 x - 3}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot e^{3 x - 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${1,1}^{52} \cdot e^{1,1 x}$

= $142,04293198443 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 7$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 7$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 7$

= $2 e^{- 0,1 x} + 7 - 0,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten