Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x + 3} + x^{2} \cdot e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 3} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 3})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 3} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 3}$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x + 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x + 5} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 6)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 6)$

$f'(x) =$ $10 x \cdot \ln (x^{2} + 6) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 6} \cdot (2 x + 0)$

= $10 x \ln (x^{2} + 6) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 6} \cdot (2 x)$

= $10 x \ln (x^{2} + 6) + 5 x^{2} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 6}$

= $10 x \ln (x^{2} + 6) + 10 \frac{x^{2} \cdot x}{x^{2} + 6}$

= $10 x \ln (x^{2} + 6) + 10 \frac{x^{3}}{x^{2} + 6}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 8) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 8) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 8) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 24)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 24) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 44-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,614125 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,614125 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,52200625 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${(- 0,85)}^{44} \cdot e^{- 0,85 x}$

= $0,00078421064182614 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 2$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x - 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 2$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2 + 2,1 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten