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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{4} + e^{- 2 x} \cdot 4 x^{3}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{4} + 4 \cdot e^{- 2 x} x^{3}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 1} \cdot 6 x^{2}$

= $18 \cdot e^{2 x^{3} - 1} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{2 x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $4 x \cdot \ln (x) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $4 x \ln (x) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $4 x \ln (x) + 2 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (- 2 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (- 2 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $- \sin (- 2 x^{2} - 3) \cdot (- 4 x + 0)$

= $- \sin (- 2 x^{2} - 3) \cdot (- 4 x)$

= $4 \sin (- 2 x^{2} - 3) x$

= $4 x \cdot \sin (- 2 x^{2} - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,1 x}$

f'(x) = $4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $4,4 e^{1,1 x}$

f''(x) = $4,4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $4,84 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $4,84 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,324 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,324 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,8564 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${1,1}^{45} \cdot 4 e^{1,1 x}$

= $291,56193474041 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 5$

= $- 4 e^{- 0,3 x} - 4 (x + 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 5$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 1,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 5$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 5 + 1,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x}$