$\text{f(x)}=$ $-1-2e^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $-\frac{16}{9}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)-3e^{-3x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)-3e^{-3x+2}·\left(-3\right)$

= $-2\cdot \sin \left(x\right)+9e^{-3x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2-2\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·e^{3x}+\left(3x^2-2\right)·e^{3x}·3$

= $6x·e^{3x}+\left(3x^2-2\right)·3e^{3x}$

= $6x·e^{3x}+3\left(3x^2-2\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(9x^2+6x-6\right)$

= $\left(9x^2+6x-6\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{2x}·2$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(e^x+2\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-10{\left(e^x+2\right)}^4·\left(e^x+0\right)$

= $-10{\left(e^x+2\right)}^4·\left(e^x\right)$

= $-10{\left(e^x+2\right)}^4·e^x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+82\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{3,2}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{3,2}x+\mathrm{23,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{3,2}x+\mathrm{23,2}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$