$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{2x}·2$

= $\frac{5}{4}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{x+4}+4\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x+4}·1+4\cdot \cos \left(x\right)$

= $-e^{x+4}+4\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^3+2\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(9x^2+0\right)·e^{-2x}+\left(3x^3+2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $9x^2·e^{-2x}+\left(3x^3+2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $9x^2·e^{-2x}-2\left(3x^3+2\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-6x^3+9x^2-4\right)$

= $\left(-6x^3+9x^2-4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $2x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x·\ln \left(x\right)+2x^2·\frac{1}{x}·1$

= $4x\ln \left(x\right)+2x^2·\frac{1}{x}$

= $4x\ln \left(x\right)+2x$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(e^{2x}+3\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $9{\left(e^{2x}+3\right)}^2·(e^{2x}·2+0)$

= $9{\left(e^{2x}+3\right)}^2·\left(2e^{2x}\right)$

= $18{\left(e^{2x}+3\right)}^2·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $4e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{4,6}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,6}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{5,29}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{5,29}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{6,0835}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{6,0835}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{6,996025}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{44}·4e^{-\mathrm{1,15}x}$

= $1\mathrm{873,9800660466}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,7}x}-3\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{2,1}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{2,1}x-\mathrm{11,4}\right)$

= $\left(\mathrm{2,1}x-\mathrm{11,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$