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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 5} + x^{3} \cdot e^{4 x - 5} \cdot 4$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 5} + x^{3} \cdot 4 e^{4 x - 5}$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 5} + 4 x^{3} \cdot e^{4 x - 5}$

= $e^{4 x - 5} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} + 5} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{3} + 5} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{- 3 x + 3}$

= $- {(- 3 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(- 3 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{- 3 x + 3}} \cdot (- 3 + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- 3 x + 3}} \cdot (- 3)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{- 3 x + 3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,857375 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,857375 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,81450625 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${0,95}^{79} \cdot e^{0,95 x}$

= $0,017384604615804 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 7$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x + 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 7$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 7$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 7 + 2,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x}$