Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{11}{9} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{11}{9} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{11}{9} e^{x}$

= $\frac{11}{9} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} - 3) \cdot e^{4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} - 3) \cdot e^{4 x - 1}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} + 0) \cdot e^{4 x - 1} + (2 x^{3} - 3) \cdot e^{4 x - 1} \cdot 4$

= $6 x^{2} \cdot e^{4 x - 1} + (2 x^{3} - 3) \cdot 4 e^{4 x - 1}$

= $6 x^{2} \cdot e^{4 x - 1} + 4 (2 x^{3} - 3) \cdot e^{4 x - 1}$

= $e^{4 x - 1} \cdot (8 x^{3} + 6 x^{2} - 12)$

= $(8 x^{3} + 6 x^{2} - 12) \cdot e^{4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 4) \cdot e^{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 4) \cdot e^{- 2 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} + 0) \cdot e^{- 2 x - 1} + (- 3 x^{5} + 4) \cdot e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

= $- 15 x^{4} \cdot e^{- 2 x - 1} + (- 3 x^{5} + 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 1})$

= $- 15 x^{4} \cdot e^{- 2 x - 1} - 2 (- 3 x^{5} + 4) \cdot e^{- 2 x - 1}$

= $e^{- 2 x - 1} \cdot (6 x^{5} - 15 x^{4} - 8)$

= $(6 x^{5} - 15 x^{4} - 8) \cdot e^{- 2 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x) + x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $3 x^{2} \ln (x) + x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $3 x^{2} \ln (x) + x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x + 8) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x + 8) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x + 8) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x + 18)$

= $(4 x + 18) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $3 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,7 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 2,7 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,43 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $2,43 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,187 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,187 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,9683 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${(- 0,9)}^{45} \cdot 3 e^{- 0,9 x}$

= $- 0,026183890704263 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 9$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- e^{- 0,1 x} - (x + 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,1 x - 0,8)$

= $(0,1 x - 0,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten