$\text{f(x)}=$ $-2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{5x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{5x-3}+x^4·e^{5x-3}·5$

= $4x^3·e^{5x-3}+x^4·5e^{5x-3}$

= $4x^3·e^{5x-3}+5x^4·e^{5x-3}$

= $e^{5x-3}·\left(5x^4+4x^3\right)$

= $\left(5x^4+4x^3\right)·e^{5x-3}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{2x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x^3+2}·6x^2$

= $12·e^{2x^3+2}{x}^2$

= $12x^2{e}^{2x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $8\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{6x}·6$

= $\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{-3x^3+4}$

= $2{\left(-3x^3+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${\left(-3x^3+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-9x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{-3x^3+4}}·\left(-9x^2+0\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{-3x^3+4}}·\left(-9x^2\right)$

= $-9\frac{x^2}{\sqrt{-3x^3+4}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{2,8}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{2,8}x+\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(\mathrm{2,8}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$