Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- x} + (- 3 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(- 9 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- x} + (- 3 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot (- e^{- x})$

= $(- 9 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- x} - (- 3 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (3 x^{3} + 2 x^{2} + (- 9 x^{2} - 4 x))$

= $e^{- x} \cdot (3 x^{3} - 7 x^{2} - 4 x)$

= $(3 x^{3} - 7 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x - 5) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x - 5) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{3 x} + (4 x - 5) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 e^{3 x} + (4 x - 5) \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 e^{3 x} + 3 (4 x - 5) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (12 x - 11)$

= $(12 x - 11) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} - 3 x^{2}} \cdot (- 6 x^{2} - 6 x)$

= $\frac{- 6 x^{2} - 6 x}{- 2 x^{3} - 3 x^{2}}$

= $\frac{- 6 \cdot 1 \cdot (x + 1)}{- x \cdot (2 x + 3)}$

= $\frac{- 6 (x + 1)}{- x \cdot (2 x + 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (- 5 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (- 5 x - 1)$

= $x^{\frac{3}{2}} \cdot \cos (- 5 x - 1)$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 5 x - 1) + x^{\frac{3}{2}} \cdot (- \sin (- 5 x - 1) \cdot (- 5 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x - 1) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot (- \sin (- 5 x - 1) \cdot (- 5 + 0))$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x - 1) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot (- \sin (- 5 x - 1) \cdot (- 5))$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x - 1) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot 5 \cdot \sin (- 5 x - 1)$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x - 1) + 5 {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (- 5 x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${(- 1,1)}^{63} \cdot e^{- 1,1 x}$

= $- 405,26506222963 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,8 x + 18)$

= $(- 2,8 x + 18) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten