Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x - 2} - \frac{2}{x^{2}} - \sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x - 2} - \frac{2}{x^{2}} - \sqrt[4]{x}$

= $e^{- x - 2} - 2 x^{- 2} - x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $e^{- x - 2} \cdot (- 1) + 4 x^{- 3} - \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $e^{- x - 2} \cdot (- 1) + \frac{4}{x^{3}} - \frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

= $- e^{- x - 2} + \frac{4}{x^{3}} - \frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 5} \cdot (- 6 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 3 x^{2} - 5} x$

= $- 12 x e^{- 3 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} + x} \cdot (- 4 x + 1)$

= $\frac{- 4 x + 1}{- 2 x^{2} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (2 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (2 x - 3)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \cos (2 x - 3) + x^{5} \cdot (- \sin (2 x - 3) \cdot (2 + 0))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (2 x - 3) + x^{5} \cdot (- \sin (2 x - 3) \cdot (2))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (2 x - 3) + x^{5} \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x - 3))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (2 x - 3) - 2 x^{5} \cdot \sin (2 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 68-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{1,05 x}$

f'(x) = $3 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,15 e^{1,05 x}$

f''(x) = $3,15 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,3075 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $3,3075 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,472875 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,472875 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,64651875 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${1,05}^{68} \cdot 3 e^{1,05 x}$

= $82,79299465446 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 4$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x + 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 4$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 4 + (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten