Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x - 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 2} + x^{4} \cdot e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 2} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 2})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 2} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 2}$

= $e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $8 x \cdot \ln (x^{2} + 2) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 2} \cdot (2 x + 0)$

= $8 x \ln (x^{2} + 2) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 2} \cdot (2 x)$

= $8 x \ln (x^{2} + 2) + 4 x^{2} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 2}$

= $8 x \ln (x^{2} + 2) + 8 \frac{x^{2} \cdot x}{x^{2} + 2}$

= $8 x \ln (x^{2} + 2) + 8 \frac{x^{3}}{x^{2} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 4) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 4) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (3 x^{2} - 4) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $6 x \cdot \sin (x^{3}) + (3 x^{2} - 4) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $6 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (3 x^{2} - 4) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 35-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,614125 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,614125 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,52200625 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${(- 0,85)}^{35} \cdot e^{- 0,85 x}$

= $- 0,0033858085706184 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1,4 x - 11,8)$

= $(1,4 x - 11,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten