Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x + 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x + 1} + x^{3} \cdot e^{x + 1} \cdot 1$

= $3 x^{2} \cdot e^{x + 1} + x^{3} \cdot e^{x + 1}$

= $e^{x + 1} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 4 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 4 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- 4 x^{2} - 3 x) + e^{- x} \cdot (- 8 x - 3)$

= $- e^{- x} (- 4 x^{2} - 3 x) + e^{- x} (- 8 x - 3)$

= $e^{- x} \cdot (- 8 x - 3 + (4 x^{2} + 3 x))$

= $e^{- x} \cdot (4 x^{2} - 5 x - 3)$

= $(4 x^{2} - 5 x - 3) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} + 2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 2)$

= $\frac{- 6 x^{2} + 2}{- 2 x^{3} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (3 x) + (x^{2} - 1) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + (x^{2} - 1) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + 3 (x^{2} - 1) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,614125 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,614125 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,52200625 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${(- 0,85)}^{45} \cdot e^{- 0,85 x}$

= $- 0,00066657904555222 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 8$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 8$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 8$

= $2 e^{- 0,8 x} - 8 - 1,6 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten