$\text{f(x)}=$ $1-2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{3x}·3$

= $-6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x-2\right)·e^{4x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-1+0\right)·e^{4x+5}+\left(-x-2\right)·e^{4x+5}·4$

= $-e^{4x+5}+\left(-x-2\right)·4e^{4x+5}$

= $-e^{4x+5}+4\left(-x-2\right)·e^{4x+5}$

= $e^{4x+5}·\left(-4x-9\right)$

= $\left(-4x-9\right)·e^{4x+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $7x·\ln \left(x-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $7·\ln \left(x-5\right)+7x·\frac{1}{x-5}·\left(1+0\right)$

= $7\ln \left(x-5\right)+7x·\frac{1}{x-5}·\left(1\right)$

= $7\ln \left(x-5\right)+7x·\frac{1}{x-5}$

= $7\ln \left(x-5\right)+7\frac{x}{x-5}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(e^{-3x}+4\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\left(e^{-3x}+4\right)·(e^{-3x}·\left(-3\right)+0)$

= $4\left(e^{-3x}+4\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-12\left(e^{-3x}+4\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^x·\left(x+87\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,8}x}+5\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-4x+1\right)$

= $\left(-4x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$