Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $- \frac{15}{8} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x + 5} + \frac{2}{3} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x + 5} + \frac{2}{3} x^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x + 5} \cdot 2 + 2 x^{2}$

= $- 6 e^{2 x + 5} + 2 x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x)$

= $12 \cdot e^{- 3 x^{2} + 5} x$

= $12 x e^{- 3 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x \cdot \ln (x + 8)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x \cdot \ln (x + 8)$

$f'(x) =$ $1 \cdot \ln (x + 8) + x \cdot \frac{1}{x + 8} \cdot (1 + 0)$

= $\ln (x + 8) + x \cdot \frac{1}{x + 8} \cdot (1)$

= $\ln (x + 8) + x \cdot \frac{1}{x + 8}$

= $\ln (x + 8) + \frac{x}{x + 8}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x + 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x + 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x + 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x + 4)$

= $(4 x + 4) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${(- 0,9)}^{58} \cdot e^{- 0,9 x}$

= $0,0022185312344623 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 6$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x - 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 6$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 6 + 1,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten