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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} - 3 e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} - 3 e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 3 e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $\frac{3}{2} x^{2} - 6 e^{2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} - 1} \cdot (- 4 x)$

= $- 8 \cdot e^{- 2 x^{2} - 1} x$

= $- 8 x e^{- 2 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $9 x^{2} \cdot \ln (x) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $9 x^{2} \ln (x) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $9 x^{2} \ln (x) + 3 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (- 2 x) + x^{5} \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 2 x) + x^{5} \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 2 x) - 2 x^{5} \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 4,5 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 4,5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $4,05 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $4,05 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,645 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,645 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,2805 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${(- 0,9)}^{61} \cdot 5 e^{- 0,9 x}$

= $- 0,008086546349615 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 8$

= $e^{- 0,7 x} + (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 8$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$

= $e^{- 0,7 x} + 8 - 0,7 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x}$