Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} + 1} \cdot (- 6 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 3 x^{2} + 1} x$

= $- 12 x e^{- 3 x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (2 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (2 x - 2)$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \sin (2 x - 2)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \sin (2 x - 2) + x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (2 x - 2) \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \sin (2 x - 2) + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (2 x - 2) \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (2 x - 2)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (2 x - 2) \cdot (2)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (2 x - 2)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 2 \cdot \cos (2 x - 2)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (2 x - 2)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot \cos (2 x - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 7$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x + 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,5 x - 3,5)$

= $(1,5 x - 3,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten