$\text{f(x)}=$ $-2e^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{\frac{5}{6}x}·\frac{5}{6}$

= $-\frac{5}{3}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^2+4\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-6x+0\right)·e^{-x}+\left(-3x^2+4\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-6x·e^{-x}+\left(-3x^2+4\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $-6x·e^{-x}-\left(-3x^2+4\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(3x^2-6x-4\right)$

= $\left(3x^2-6x-4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2x^3-5x^2}{e^{-x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{\left(6x^2-10x\right)·e^{-x}-\left(2x^3-5x^2\right)·e^{-x}·\left(-1\right)}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{\left(6x^2-10x\right)·e^{-x}-\left(2x^3-5x^2\right)·\left(-e^{-x}\right)}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{\left(6x^2-10x\right)·e^{-x}+\left(2x^3-5x^2\right)·e^{-x}}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{\left(2x^3-5x^2\right)·e^{-x}+\left(6x^2-10x\right)·e^{-x}}{e^{-2x}}$

= $\frac{e^{-x+2x}·\left(x^2\left(2x-5\right)+2x\left(3x-5\right)\right)}{1}$

= $\frac{e^x·\left(x^2\left(2x-5\right)+2x\left(3x-5\right)\right)}{1}$

= $\frac{\left(x^2\left(2x-5\right)+2x\left(3x-5\right)\right)·e^x}{1}$

= $(x^2·\left(2x-5\right)+2x·\left(3x-5\right))·e^x$

$\text{f(x)}=$ $5x^2·\ln \left(x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $10x·\ln \left(x+1\right)+5x^2·\frac{1}{x+1}·\left(1+0\right)$

= $10x\ln \left(x+1\right)+5x^2·\frac{1}{x+1}·\left(1\right)$

= $10x\ln \left(x+1\right)+5x^2·\frac{1}{x+1}$

= $10x\ln \left(x+1\right)+5\frac{x^2}{x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+5\right)·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(-3x\right)+\left(x^2+5\right)·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $2x·\sin \left(-3x\right)+\left(x^2+5\right)·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $2x·\sin \left(-3x\right)-3\left(x^2+5\right)·\cos \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-x}$

f'(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+9$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+9$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+9$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}+9+3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$