$\text{f(x)}=$ $-e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x}·2$

= $-2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{5x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{5x+3}+x^3·e^{5x+3}·5$

= $3x^2·e^{5x+3}+x^3·5e^{5x+3}$

= $3x^2·e^{5x+3}+5x^3·e^{5x+3}$

= $e^{5x+3}·\left(5x^3+3x^2\right)$

= $\left(5x^3+3x^2\right)·e^{5x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{-3x}}{2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(2x-5\right)-e^{-3x}·\left(2+0\right)}{{\left(2x-5\right)}^2}$

= $\frac{-3·e^{-3x}\left(2x-5\right)-e^{-3x}·\left(2\right)}{{\left(2x-5\right)}^2}$

= $\frac{-3·e^{-3x}\left(2x-5\right)-2e^{-3x}}{{\left(2x-5\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^2-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^2-1}·\left(6x+0\right)$

= $\frac{1}{3x^2-1}·\left(6x\right)$

= $6\frac{x}{3x^2-1}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-x+4}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-x+4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-x+4}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-x+4}·\left(-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-x+4}+\sqrt{x}·e^{-x+4}·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-x+4}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-e^{-x+4}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-x+4}}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}·e^{-x+4}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^x$

f'(x) = $5e^x$

f''(x) = $5e^x$

f'''(x) = $5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $5e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{1,8}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{1,8}x-\mathrm{5,6}\right)$

= $\left(\mathrm{1,8}x-\mathrm{5,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$