$\text{f(x)}=$ $2+\frac{3}{5}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{5}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{3}{5}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-5x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-5x+3}+x^5·e^{-5x+3}·\left(-5\right)$

= $5x^4·e^{-5x+3}+x^5·\left(-5e^{-5x+3}\right)$

= $5x^4·e^{-5x+3}-5x^5·e^{-5x+3}$

= $e^{-5x+3}·\left(-5x^5+5x^4\right)$

= $\left(-5x^5+5x^4\right)·e^{-5x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{x+1}·1$

= $-2e^{x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^3+2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^3+2x}·\left(9x^2+2\right)$

= $\frac{9x^2+2}{3x^3+2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-5\right)·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(-2x\right)+\left(x-5\right)·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $\sin \left(-2x\right)+\left(x-5\right)·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $\sin \left(-2x\right)-2\left(x-5\right)·\cos \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,52200625}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{30}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

= $\mathrm{0,0076307595947895}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-7$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-7$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{0,7}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-7$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}-7-\mathrm{0,7}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$