Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{8}{9} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{8}{9} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{8}{3} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \sqrt{x} - \frac{1}{2 x^{3}} - e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \sqrt{x} - \frac{1}{2 x^{3}} - e^{- 3 x - 4}$

= $- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x^{- 3} - e^{- 3 x - 4}$

=> f'(x) = $- 2 x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{- 4} - e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{3}{2 x^{4}} - e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $- \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{3}{2 x^{4}} + 3 e^{- 3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x + 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $6 e^{3 x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x + 4)$

$f'(x) =$ $6 x \cdot \ln (x + 4) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 4} \cdot (1 + 0)$

= $6 x \ln (x + 4) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 4} \cdot (1)$

= $6 x \ln (x + 4) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 4}$

= $6 x \ln (x + 4) + 3 \frac{x^{2}}{x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 18)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 18) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 82)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 8$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x - 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 8$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$

= $3 e^{- 0,1 x} + 8 - 0,3 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten