$\text{f(x)}=$ $3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{2x}·2$

= $6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{x-3}-\frac{3}{x^2}$

= $e^{x-3}-3x^{-2}$

=> f'(x) = $e^{x-3}·1+6x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{x-3}·1+\frac{6}{x^3}$

= $e^{x-3}+\frac{6}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-2x^2-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2x^2-1}·\left(-4x\right)$

= $12·e^{-2x^2-1}x$

= $12x{e}^{-2x^2-1}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{3x}·3$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+4\right)·\cos \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\cos \left(-2x\right)+\left(2x+4\right)·(-\sin \left(-2x\right)·\left(-2\right))$

= $2\cdot \cos \left(-2x\right)+\left(2x+4\right)·2\cdot \sin \left(-2x\right)$

= $2\cdot \cos \left(-2x\right)+2\left(2x+4\right)·\sin \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^x·\left(x+83\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}+2\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,2}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,2}x+3\right)$

= $\left(-\mathrm{0,2}x+3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$