Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{8}{9} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{8}{9} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{8}{9} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{2} - 5) \cdot e^{- 4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{2} - 5) \cdot e^{- 4 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 2 x + 0) \cdot e^{- 4 x + 2} + (- x^{2} - 5) \cdot e^{- 4 x + 2} \cdot (- 4)$

= $- 2 x \cdot e^{- 4 x + 2} + (- x^{2} - 5) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 2})$

= $- 2 x \cdot e^{- 4 x + 2} - 4 (- x^{2} - 5) \cdot e^{- 4 x + 2}$

= $e^{- 4 x + 2} \cdot (4 x^{2} - 2 x + 20)$

= $(4 x^{2} - 2 x + 20) \cdot e^{- 4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x - 2}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x + 8)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x + 8)$

$f'(x) =$ $6 x \cdot \ln (x + 8) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 8} \cdot (1 + 0)$

= $6 x \ln (x + 8) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 8} \cdot (1)$

= $6 x \ln (x + 8) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 8}$

= $6 x \ln (x + 8) + 3 \frac{x^{2}}{x + 8}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\cos (x) - 3)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\cos (x) - 3)}^{5}$

$f'(x) =$ $5 {(\cos (x) - 3)}^{4} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $5 {(\cos (x) - 3)}^{4} \cdot (- \sin (x))$

= $- 5 {(\cos (x) - 3)}^{4} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 2$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x - 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 2$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 2$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 2 + 3,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten