Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 2 e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 2 e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $- \frac{5}{3} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{2} - 3 x) \cdot e^{5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{2} - 3 x) \cdot e^{5 x + 3}$

$f'(x) =$ $(10 x - 3) \cdot e^{5 x + 3} + (5 x^{2} - 3 x) \cdot e^{5 x + 3} \cdot 5$

= $(10 x - 3) \cdot e^{5 x + 3} + (5 x^{2} - 3 x) \cdot 5 e^{5 x + 3}$

= $(10 x - 3) \cdot e^{5 x + 3} + 5 (5 x^{2} - 3 x) \cdot e^{5 x + 3}$

= $e^{5 x + 3} \cdot (10 x - 3 + (25 x^{2} - 15 x))$

= $e^{5 x + 3} \cdot (25 x^{2} - 5 x - 3)$

= $(25 x^{2} - 5 x - 3) \cdot e^{5 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 1} \cdot (- 12 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{3} + 1} \cdot (- 12 x^{2})$

= $- 12 \frac{x^{2}}{- 4 x^{3} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 3) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 3) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (2 x) + (2 x + 3) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $2 \cdot \sin (2 x) + (2 x + 3) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $2 \cdot \sin (2 x) + 2 (2 x + 3) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 82)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 4$

= $5 e^{- 0,4 x} + 5 (x + 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 4$

= $5 e^{- 0,4 x} - 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 4$

= $5 e^{- 0,4 x} + 4 - 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten