Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 + 5 6 e 2x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 2 + 5 6 e 2x

f'(x)= 0 + 5 6 e 2x · 2

= 5 3 e 2x

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 e x +3 -7 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 3 e x +3 -7 x 3

f'(x)= 3 e x +3 · 1 -21 x 2

= 3 e x +3 -21 x 2

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= e 2x · x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= e 2x · x 3

f'(x)= e 2x · 2 · x 3 + e 2x · 3 x 2

= 2 · e 2x x 3 +3 · e 2x x 2

= e 2x · ( 2 x 3 +3 x 2 )

= ( 2 x 3 +3 x 2 ) · e 2x

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 x 2 · ln( x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 3 x 2 · ln( x )

f'(x)= 6x · ln( x ) + 3 x 2 · 1 x · 1

= 6 x ln( x ) + 3 x 2 · 1 x

= 6 x ln( x ) +3x

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( 3 x 2 +4 ) · e 2x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( 3 x 2 +4 ) · e 2x

f'(x)= ( 6x +0 ) · e 2x + ( 3 x 2 +4 ) · e 2x · 2

= 6x · e 2x + ( 3 x 2 +4 ) · 2 e 2x

= 6 x · e 2x +2 ( 3 x 2 +4 ) · e 2x

= e 2x · ( 6 x 2 +6x +8 )

= ( 6 x 2 +6x +8 ) · e 2x

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= 5 e -x .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = 5 e -x

f'(x) = 5 e -x · ( -1 ) = -5 e -x

f''(x) = -5 e -x · ( -1 ) = 5 e -x

f'''(x) = 5 e -x · ( -1 ) = -5 e -x

f(4)(x) = -5 e -x · ( -1 ) = 5 e -x

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f(79)(x) = -5 e -x

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -5 ( x -6 ) · e -0,5x -9x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -5 ( x -6 ) · e -0,5x -9x

f'(x)= -5 · ( 1 +0 ) · e -0,5x -5 ( x -6 ) · e -0,5x · ( -0,5 ) -9

= -5 e -0,5x -5 ( x -6 ) · ( -0,5 e -0,5x ) -9

= -5 e -0,5x +2,5 ( x -6 ) · e -0,5x -9

= -5 e -0,5x -9 +2,5 ( x -6 ) · e -0,5x