$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x}·2$

= $-4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^3-1\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-12x^2+0\right)·e^{-3x}+\left(-4x^3-1\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-12x^2·e^{-3x}+\left(-4x^3-1\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-12x^2·e^{-3x}-3\left(-4x^3-1\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(12x^3-12x^2+3\right)$

= $\left(12x^3-12x^2+3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{2x}}{x^2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{2x}·2·x^2-e^{2x}·2x}{{\left(x^2\right)}^2}$

= $\frac{2·e^{2x}{x}^2-2·e^{2x}x}{{\left(x^2\right)}^2}$

= $\frac{2x^2·e^{2x}-2x·e^{2x}}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $7x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $7·\ln \left(x\right)+7x·\frac{1}{x}·1$

= $7\ln \left(x\right)+7x·\frac{1}{x}$

= $7\ln \left(x\right)+7$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\sin \left(3x\right)+x^3·\cos \left(3x\right)·3$

= $3x^2·\sin \left(3x\right)+x^3·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $3x^2·\sin \left(3x\right)+3x^3·\cos \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^x$

f'(x) = $4e^x$

f''(x) = $4e^x$

f'''(x) = $4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $4e^x$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}+5\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-x+6\right)$

= $\left(-x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$