$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x-5}+x^4·e^{-3x-5}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x-5}+x^4·\left(-3e^{-3x-5}\right)$

= $4x^3·e^{-3x-5}-3x^4·e^{-3x-5}$

= $e^{-3x-5}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·x^2+e^x·2x$

= $e^x{x}^2+2·e^{x}x$

= $e^x·\left(x^2+2x\right)$

= $\left(x^2+2x\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-7\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-7}{5x}·5$

= $-\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2+4\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·e^{-3x}+\left(3x^2+4\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $6x·e^{-3x}+\left(3x^2+4\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $6x·e^{-3x}-3\left(3x^2+4\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-9x^2+6x-12\right)$

= $\left(-9x^2+6x-12\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-4e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{4,2}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,2}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{4,41}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{4,41}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{4,6305}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{4,6305}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{4,862025}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{61}·\left(-4e^{\mathrm{1,05}x}\right)$

= $-\mathrm{78,452580755317}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}-5\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(3x-8\right)$

= $\left(3x-8\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$