$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x+2}+x^3·e^{-2x+2}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x+2}+x^3·\left(-2e^{-2x+2}\right)$

= $3x^2·e^{-2x+2}-2x^3·e^{-2x+2}$

= $e^{-2x+2}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $e^x·\left(-2x^2-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·\left(-2x^2-4x\right)+e^x·\left(-4x-4\right)$

= $e^x·(-4x-4+\left(-2x^2-4x\right))$

= $e^x·\left(-2x^2-8x-4\right)$

= $\left(-2x^2-8x-4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $7x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $14x·\ln \left(x\right)+7x^2·\frac{1}{x}·1$

= $14x\ln \left(x\right)+7x^2·\frac{1}{x}$

= $14x\ln \left(x\right)+7x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-5\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{3x}+\left(x-5\right)·e^{3x}·3$

= $e^{3x}+\left(x-5\right)·3e^{3x}$

= $e^{3x}+3\left(x-5\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x-14\right)$

= $\left(3x-14\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+94\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-2x-9\right)$

= $\left(-2x-9\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$