$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x}·2$

= $-4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x+2}+x^3·e^{-2x+2}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x+2}+x^3·\left(-2e^{-2x+2}\right)$

= $3x^2·e^{-2x+2}-2x^3·e^{-2x+2}$

= $e^{-2x+2}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-3x^3+3x^2\right)+e^{-x}·\left(-9x^2+6x\right)$

= $-e^{-x}\left(-3x^3+3x^2\right)+e^{-x}\left(-9x^2+6x\right)$

= $e^{-x}·(3x^3-3x^2+\left(-9x^2+6x\right))$

= $e^{-x}·\left(3x^3-12x^2+6x\right)$

= $\left(3x^3-12x^2+6x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $4x^3·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $12x^2·\ln \left(x\right)+4x^3·\frac{1}{x}·1$

= $12x^2\ln \left(x\right)+4x^3·\frac{1}{x}$

= $12x^2\ln \left(x\right)+4x^2$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+5\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(2x+5\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(2x+5\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(2x+5\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+85\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,9}x}-3\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{2,7}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{2,7}x-\mathrm{16,5}\right)$

= $\left(\mathrm{2,7}x-\mathrm{16,5}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$