Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{5}{8} e^{\frac{9}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{5}{8} e^{\frac{9}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{\frac{9}{8} x} \cdot \frac{9}{8}$

= $\frac{45}{64} e^{\frac{9}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{5} + e^{2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{2 x} x^{4}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{3} + e^{- 3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - 3} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} - 3} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{5 x + 1}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{5 x + 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{5 x + 1} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{5 x + 1} \cdot 5$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{5 x + 1} + \sqrt{x} \cdot e^{5 x + 1} \cdot 5$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{5 x + 1}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 5 e^{5 x + 1}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{5 x + 1}}{\sqrt{x}} + 5 \sqrt{x} \cdot e^{5 x + 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 68-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,05 x}$

f'(x) = $4 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,2 e^{1,05 x}$

f''(x) = $4,2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,41 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $4,41 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,6305 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,6305 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,862025 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${1,05}^{68} \cdot 4 e^{1,05 x}$

= $110,39065953928 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 9$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 9$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 9$

= $2 e^{- 0,1 x} - 9 - 0,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten