Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{5} + 3 x) \cdot e^{- 4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{5} + 3 x) \cdot e^{- 4 x - 1}$

$f'(x) =$ $(5 x^{4} + 3) \cdot e^{- 4 x - 1} + (x^{5} + 3 x) \cdot e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4)$

= $(5 x^{4} + 3) \cdot e^{- 4 x - 1} + (x^{5} + 3 x) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 1})$

= $(5 x^{4} + 3) \cdot e^{- 4 x - 1} - 4 (x^{5} + 3 x) \cdot e^{- 4 x - 1}$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (5 x^{4} + 3 + (- 4 x^{5} - 12 x))$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4 x^{5} + 5 x^{4} - 12 x + 3)$

= $(- 4 x^{5} + 5 x^{4} - 12 x + 3) \cdot e^{- 4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (x^{3} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (x^{3} - 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (x^{3} - 3 x) + e^{- x} \cdot (3 x^{2} - 3)$

= $- e^{- x} (x^{3} - 3 x) + e^{- x} (3 x^{2} - 3)$

= $e^{- x} \cdot (3 x^{2} - 3 + (- x^{3} + 3 x))$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 3)$

= $(- x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 3) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x^{2} + 8)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x^{2} + 8)$

$f'(x) =$ $21 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 8) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} + 8} \cdot (2 x + 0)$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} + 8) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} + 8} \cdot (2 x)$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} + 8) + 7 x^{3} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 8}$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} + 8) + 14 \frac{x^{3} \cdot x}{x^{2} + 8}$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} + 8) + 14 \frac{x^{4}}{x^{2} + 8}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (3 x - 1) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + (3 x - 1) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (3 x - 1) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $3 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 3,45 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 3,45 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $3,9675 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $3,9675 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 4,562625 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,562625 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $5,24701875 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${(- 1,15)}^{34} \cdot 3 e^{- 1,15 x}$

= $347,41440892798 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 2$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $2 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $2 e^{- 0,5 x} - (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- x + 0)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- x)$

= $x \cdot (- e^{- 0,5 x})$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten