Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} - 1) \cdot e^{- 4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} - 1) \cdot e^{- 4 x - 2}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} + 0) \cdot e^{- 4 x - 2} + (5 x^{3} - 1) \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $15 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2} + (5 x^{3} - 1) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 2})$

= $15 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2} - 4 (5 x^{3} - 1) \cdot e^{- 4 x - 2}$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (- 20 x^{3} + 15 x^{2} + 4)$

= $(- 20 x^{3} + 15 x^{2} + 4) \cdot e^{- 4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x^{3} + 1} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \cdot e^{- 3 x^{3} + 1} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $12 x^{2} \cdot \ln (x) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $12 x^{2} \ln (x) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $12 x^{2} \ln (x) + 4 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 8) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 8) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x + 8) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x + 8) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x + 8) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x + 25)$

= $(3 x + 25) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 30-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $4 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 4,6 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 4,6 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $5,29 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $5,29 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 6,0835 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 6,0835 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $6,996025 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${(- 1,15)}^{30} \cdot 4 e^{- 1,15 x}$

= $264,84708782714 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 8$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 8$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 8 + 1,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten