$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x-2\right)·e^{5x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4+0\right)·e^{5x+4}+\left(4x-2\right)·e^{5x+4}·5$

= $4e^{5x+4}+\left(4x-2\right)·5e^{5x+4}$

= $4e^{5x+4}+5\left(4x-2\right)·e^{5x+4}$

= $e^{5x+4}·\left(20x-6\right)$

= $\left(20x-6\right)·e^{5x+4}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{3x}+x^3·e^{3x}·3$

= $3x^2·e^{3x}+x^3·3e^{3x}$

= $3x^2·e^{3x}+3x^3·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $2x·\ln \left(x^2+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2·\ln \left(x^2+4\right)+2x·\frac{1}{x^2+4}·\left(2x+0\right)$

= $2\ln \left(x^2+4\right)+2x·\frac{1}{x^2+4}·\left(2x\right)$

= $2\ln \left(x^2+4\right)+2x·2\frac{x}{x^2+4}$

= $2\ln \left(x^2+4\right)+4\frac{x·x}{x^2+4}$

= $2\ln \left(x^2+4\right)+4\frac{x^2}{x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(e^x+4\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $8{\left(e^x+4\right)}^3·\left(e^x+0\right)$

= $8{\left(e^x+4\right)}^3·\left(e^x\right)$

= $8{\left(e^x+4\right)}^3·e^x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,857375}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,857375}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,81450625}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{60}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

= $\mathrm{0,046069798986952}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{2,4}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{2,4}x-16\right)$

= $\left(\mathrm{2,4}x-16\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$