Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (x) - 2 e^{3 x - 4} - \frac{5}{3} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (x) - 2 e^{3 x - 4} - \frac{5}{3} x^{2}$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (x) - 2 e^{3 x - 4} \cdot 3 - \frac{10}{3} x$

= $3 \cdot \cos (x) - 6 e^{3 x - 4} - \frac{10}{3} x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2} + e^{x} \cdot 2 x$

= $e^{x} x^{2} + 2 \cdot e^{x} x$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 6)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 6)$

$f'(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 6) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 6} \cdot (2 x + 0)$

= $6 x^{2} \ln (x^{2} - 6) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 6} \cdot (2 x)$

= $6 x^{2} \ln (x^{2} - 6) + 2 x^{3} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 6}$

= $6 x^{2} \ln (x^{2} - 6) + 4 \frac{x^{3} \cdot x}{x^{2} - 6}$

= $6 x^{2} \ln (x^{2} - 6) + 4 \frac{x^{4}}{x^{2} - 6}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x - 1}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x - 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x - 1} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x - 1} + \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x - 1}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 1})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x - 1}}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x - 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{0,9 x}$

f'(x) = $4 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,6 e^{0,9 x}$

f''(x) = $3,6 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,24 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $3,24 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,916 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,916 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,6244 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${0,9}^{46} \cdot 4 e^{0,9 x}$

= $0,031420668845116 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 8$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x + 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 8$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 8$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 8 + 2,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten