Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 3 e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 3 e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{12}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 2} + x^{4} \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 2} + x^{4} \cdot 4 e^{4 x + 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 2} + 4 x^{4} \cdot e^{4 x + 2}$

= $e^{4 x + 2} \cdot (4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{5} + e^{- 2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{- 2 x} x^{4}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $- \cos (x^{2} + 1) \cdot (2 x + 0)$

= $- \cos (x^{2} + 1) \cdot (2 x)$

= $- 2 \cos (x^{2} + 1) x$

= $- 2 x \cdot \cos (x^{2} + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,520875 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,520875 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,74900625 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${1,15}^{49} \cdot e^{1,15 x}$

= $942,31081876866 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 7$

= $- e^{- 0,8 x} - (x - 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 7$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 7$

= $- e^{- 0,8 x} - 7 + 0,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten