$\text{f(x)}=$ $-e^{\frac{5}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{\frac{5}{4}x}·\frac{5}{4}$

= $-\frac{5}{4}{e}^{\frac{5}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{x+1}+x^4·e^{x+1}·1$

= $4x^3·e^{x+1}+x^4·e^{x+1}$

= $e^{x+1}·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^{x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{x^5}{e^{-3x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5x^4·e^{-3x}-x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)}{{\left(e^{-3x}\right)}^2}$

= $\frac{5x^4·e^{-3x}-x^5·\left(-3e^{-3x}\right)}{{\left(e^{-3x}\right)}^2}$

= $\frac{5x^4·e^{-3x}+3x^5·e^{-3x}}{{\left(e^{-3x}\right)}^2}$

= $\frac{3x^5·e^{-3x}+5x^4·e^{-3x}}{e^{-6x}}$

= $\frac{e^{-3x+6x}·\left(3x^5+5x^4\right)}{1}$

= $\frac{e^{3x}·\left(3x^5+5x^4\right)}{1}$

= $\frac{\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x}}{1}$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^2+x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^2+x}·\left(4x+1\right)$

= $\frac{4x+1}{2x^2+x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+6\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+6\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+6\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+6\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-12\right)$

= $\left(-2x^2+2x-12\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+81\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,2}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{1,2}x+9\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x+9\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$