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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{3}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{3}{2} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{3}{2} x} \cdot \frac{3}{2}$

= $\frac{9}{2} e^{\frac{3}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x + 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 3} + x^{4} \cdot e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 3} + x^{4} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 3})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 3} - 4 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 3}$

= $e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (- x^{2} + 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 2 x \cdot e^{3 x} + (- x^{2} + 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 2 x \cdot e^{3 x} + 3 (- x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 2 x + 9)$

= $(- 3 x^{2} - 2 x + 9) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $12 x \cdot \ln (x) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $12 x \ln (x) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $12 x \ln (x) + 6 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot \cos (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (- 3 x) + (2 x + 9) \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $2 \cdot \cos (- 3 x) + (2 x + 9) \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $2 \cdot \cos (- 3 x) + 3 (2 x + 9) \cdot \sin (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 8$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 8$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 8$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 8 + 1,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x}$