$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{3x}·3$

= $\frac{3}{2}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x\left(-4x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·\left(-4x-2\right)+e^x·\left(-4+0\right)$

= $e^x\left(-4x-2\right)+e^x·\left(-4\right)$

= $e^x\left(-4x-2\right)-4e^x$

= $e^x·\left(-4x-6\right)$

= $\left(-4x-6\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-3x}+x^2·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+x^2·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3x^2·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $6x^3·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $18x^2·\ln \left(x\right)+6x^3·\frac{1}{x}·1$

= $18x^2\ln \left(x\right)+6x^3·\frac{1}{x}$

= $18x^2\ln \left(x\right)+6x^2$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+8\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+8\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+8\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+8\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-16\right)$

= $\left(-2x^2+2x-16\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^x$

f'(x) = $-4e^x$

f''(x) = $-4e^x$

f'''(x) = $-4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $-4e^x$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+6$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+6$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,8}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+6$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}+6-\mathrm{0,8}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$