$\text{f(x)}=$ $3+\frac{1}{3}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{3}{e}^{3x}·3$

= $e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^3-5x^2\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(9x^2-10x\right)·e^x+\left(3x^3-5x^2\right)·e^x$

= $e^x·(3x^3-5x^2+\left(9x^2-10x\right))$

= $e^x·\left(3x^3+4x^2-10x\right)$

= $\left(3x^3+4x^2-10x\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{-2x}}{x^2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{-2x}·\left(-2\right)·x^2-e^{-2x}·2x}{{\left(x^2\right)}^2}$

= $\frac{-2·e^{-2x}{x}^2-2·e^{-2x}x}{{\left(x^2\right)}^2}$

= $\frac{-2x^2·e^{-2x}-2x·e^{-2x}}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{7x}·7$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+4\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{2x}+\left(x^2+4\right)·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+\left(x^2+4\right)·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2\left(x^2+4\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x+8\right)$

= $\left(2x^2+2x+8\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+87\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+2$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+2$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{2,5}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}+2+\mathrm{2,5}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$