$\text{f(x)}=$ $1+\frac{7}{8}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{8}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{7}{4}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x-3}+x^3·e^{-2x-3}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x-3}+x^3·\left(-2e^{-2x-3}\right)$

= $3x^2·e^{-2x-3}-2x^3·e^{-2x-3}$

= $e^{-2x-3}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{x^2}{e^{3x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2x·e^{3x}-x^2·e^{3x}·3}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{2x·e^{3x}-x^2·3e^{3x}}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{2x·e^{3x}-3x^2·e^{3x}}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{-3x^2·e^{3x}+2x·e^{3x}}{e^{6x}}$

= $\frac{e^{3x-6x}·\left(-3x^2+2x\right)}{1}$

= $\frac{e^{-3x}·\left(-3x^2+2x\right)}{1}$

= $\frac{\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x}}{1}$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $6x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $12x·\ln \left(x\right)+6x^2·\frac{1}{x}·1$

= $12x\ln \left(x\right)+6x^2·\frac{1}{x}$

= $12x\ln \left(x\right)+6x$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{x^2+1}$

= $-3{\left(x^2+1\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $3{\left(x^2+1\right)}^{-2}·\left(2x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{{\left(x^2+1\right)}^2}·\left(2x+0\right)$

= $\frac{3}{{\left(x^2+1\right)}^2}·\left(2x\right)$

= $6\frac{x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,05}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,05}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,157625}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,157625}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,21550625}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{78}·e^{\mathrm{1,05}x}$

= $\mathrm{44,953688042488}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-5$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-5$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{3,5}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-5$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}-5+\mathrm{3,5}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$