$\text{f(x)}=$ $-4-3e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x-2}-3\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x-2}·\left(-3\right)+3\cdot \sin \left(x\right)$

= $3e^{-3x-2}+3\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^3-x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-12x^2-2x\right)·e^{-x}+\left(-4x^3-x^2\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $\left(-12x^2-2x\right)·e^{-x}+\left(-4x^3-x^2\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $\left(-12x^2-2x\right)·e^{-x}-\left(-4x^3-x^2\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·(4x^3+x^2+\left(-12x^2-2x\right))$

= $e^{-x}·\left(4x^3-11x^2-2x\right)$

= $\left(4x^3-11x^2-2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x}·1$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(-2x-5\right)}^2}$

= $-2{\left(-2x-5\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $4{\left(-2x-5\right)}^{-3}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{{\left(-2x-5\right)}^3}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{4}{{\left(-2x-5\right)}^3}·\left(-2\right)$

= $-\frac{8}{{\left(-2x-5\right)}^3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $e^x·\left(x+88\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,6}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{5,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{5,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$