Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x + 3} - 3 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x + 3} - 3 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x + 3} \cdot 2 + 3 \cdot \sin (x)$

= $2 e^{2 x + 3} + 3 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} - x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} - x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 1} + (- 4 x^{5} - x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $(- 20 x^{4} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 1} + (- 4 x^{5} - x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 1})$

= $(- 20 x^{4} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 1} - 3 (- 4 x^{5} - x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 1}$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (12 x^{5} + 3 x^{2} + (- 20 x^{4} - 2 x))$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (12 x^{5} - 20 x^{4} + 3 x^{2} - 2 x)$

= $(12 x^{5} - 20 x^{4} + 3 x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{{(x^{3} + 5)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{{(x^{3} + 5)}^{2}}$

= $3 {(x^{3} + 5)}^{- 2}$

=> f'(x) = $- 6 {(x^{3} + 5)}^{- 3} \cdot (3 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{{(x^{3} + 5)}^{3}} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $- \frac{6}{{(x^{3} + 5)}^{3}} \cdot (3 x^{2})$

= $- 18 \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 5)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1,4 x - 11,8)$

= $(1,4 x - 11,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten