Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{3} + e^{- 2 x} \cdot 3 x^{2}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{3} + 3 \cdot e^{- 2 x} x^{2}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{2} + 5} \cdot 2 x$

= $6 \cdot e^{x^{2} + 5} x$

= $6 x e^{x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 5} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{3} + 5} \cdot (6 x^{2})$

= $6 \frac{x^{2}}{2 x^{3} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot \cos (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot \cos (3 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (3 x) + (3 x - 1) \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $3 \cdot \cos (3 x) + (3 x - 1) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $3 \cdot \cos (3 x) - 3 (3 x - 1) \cdot \sin (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 3 e^{- 0,9 x} + 2,7 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2,7 x + 10,5)$

= $(2,7 x + 10,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten