$\text{f(x)}=$ $1-3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x}+x^5·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x}+x^5·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $5x^4·e^{-2x}-2x^5·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-x^3+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(-x^3+5\right)+e^{-2x}·\left(-3x^2+0\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(-x^3+5\right)+e^{-2x}·\left(-3x^2\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(-x^3+5\right)-3·e^{-2x}{x}^2$

= $e^{-2x}·\left(2x^3-3x^2-10\right)$

= $\left(2x^3-3x^2-10\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $1·\ln \left(x\right)+x·\frac{1}{x}·1$

= $\ln \left(x\right)+x·\frac{1}{x}$

= $\ln \left(x\right)+1$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-6\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(3x-6\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $3\cdot \sin \left(x^2\right)+\left(3x-6\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $3\cdot \sin \left(x^2\right)+2\left(3x-6\right)\cos \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,05}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,05}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,157625}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,157625}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,21550625}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{61}·e^{\mathrm{1,05}x}$

= $\mathrm{19,613145188829}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+9$

= $-5e^{-\mathrm{0,4}x}-5\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+9$

= $-5e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+9$

= $-5e^{-\mathrm{0,4}x}+9+2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$