$\text{f(x)}=$ $5+3e^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $e^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-4x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-4x+4}+x^2·e^{-4x+4}·\left(-4\right)$

= $2x·e^{-4x+4}+x^2·\left(-4e^{-4x+4}\right)$

= $2x·e^{-4x+4}-4x^2·e^{-4x+4}$

= $e^{-4x+4}·\left(-4x^2+2x\right)$

= $\left(-4x^2+2x\right)·e^{-4x+4}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{3x}+x^3·e^{3x}·3$

= $3x^2·e^{3x}+x^3·3e^{3x}$

= $3x^2·e^{3x}+3x^3·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $3\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{x}·1$

= $\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\sin \left(-2x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\sin \left(-2x+5\right)+x^4·\cos \left(-2x+5\right)·\left(-2+0\right)$

= $4x^3·\sin \left(-2x+5\right)+x^4·\cos \left(-2x+5\right)·\left(-2\right)$

= $4x^3·\sin \left(-2x+5\right)+x^4·\left(-2\cdot \cos \left(-2x+5\right)\right)$

= $4x^3·\sin \left(-2x+5\right)-2x^4·\cos \left(-2x+5\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^x$

f'(x) = $-2e^x$

f''(x) = $-2e^x$

f'''(x) = $-2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-6$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-6$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,5}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-6$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}-6+\mathrm{0,5}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$