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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 2 e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 2 e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{7}{4} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 1} + x^{4} \cdot e^{4 x - 1} \cdot 4$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 1} + x^{4} \cdot 4 e^{4 x - 1}$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 1} + 4 x^{4} \cdot e^{4 x - 1}$

= $e^{4 x - 1} \cdot (4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x - 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x - 2} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x + 1} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x + 1} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{2 x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{2 x^{2} - 3}$

= $2 {(2 x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(2 x^{2} - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} - 3}} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} - 3}} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 30-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{0,85 x}$

f'(x) = $5 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $4,25 e^{0,85 x}$

f''(x) = $4,25 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $3,6125 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $3,6125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $3,070625 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,070625 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,61003125 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${0,85}^{30} \cdot 5 e^{0,85 x}$

= $0,038153797973947 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 7$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $e^{- 0,5 x} + (x + 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5 x - 2)$

= $(- 0,5 x - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$