Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} - 2) \cdot e^{- 3 x + 2} + (4 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $(12 x^{2} - 2) \cdot e^{- 3 x + 2} + (4 x^{3} - 2 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 2})$

= $(12 x^{2} - 2) \cdot e^{- 3 x + 2} - 3 (4 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 2}$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (12 x^{2} - 2 + (- 12 x^{3} + 6 x))$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (- 12 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 2)$

= $(- 12 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 2) \cdot e^{- 3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x - 2}$

$f'(x) =$ $e^{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \ln (x) + 3 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $3 \ln (x) + 3 x \cdot \frac{1}{x}$

= $3 \ln (x) + 3$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 6) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 6) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x + 6) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x + 6) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x + 6) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x - 9)$

= $(- 6 x - 9) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${1,1}^{50} \cdot e^{1,1 x}$

= $117,3908528797 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x - 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,1 x - 5,1)$

= $(2,1 x - 5,1) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten