$\text{f(x)}=$ $2-3e^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{4}{3}x}·\frac{4}{3}$

= $-4e^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{x+3}+x^2·e^{x+3}·1$

= $2x·e^{x+3}+x^2·e^{x+3}$

= $e^{x+3}·\left(x^2+2x\right)$

= $\left(x^2+2x\right)·e^{x+3}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-3x}+x^2·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+x^2·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3x^2·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $2x^3·\ln \left(x-7\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6x^2·\ln \left(x-7\right)+2x^3·\frac{1}{x-7}·\left(1+0\right)$

= $6x^2\ln \left(x-7\right)+2x^3·\frac{1}{x-7}·\left(1\right)$

= $6x^2\ln \left(x-7\right)+2x^3·\frac{1}{x-7}$

= $6x^2\ln \left(x-7\right)+2\frac{x^3}{x-7}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+1\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-3x}+\left(3x+1\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}+\left(3x+1\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3e^{-3x}-3\left(3x+1\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-9x+0\right)$

= $e^{-3x}·\left(-9x\right)$

= $x·\left(-9e^{-3x}\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,614125}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,614125}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,52200625}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{33}·e^{\mathrm{0,85}x}$

= $\mathrm{0,0046862402361501}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,5}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{1,5}x-\mathrm{2,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,5}x-\mathrm{2,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$