$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{3}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-2x+4}+2\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2x+4}·\left(-2\right)-2\cdot \sin \left(x\right)$

= $2e^{-2x+4}-2\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^2-3x\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2x-3\right)·e^{-3x}+\left(-x^2-3x\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\left(-2x-3\right)·e^{-3x}+\left(-x^2-3x\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\left(-2x-3\right)·e^{-3x}-3\left(-x^2-3x\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·(-2x-3+\left(3x^2+9x\right))$

= $e^{-3x}·\left(3x^2+7x-3\right)$

= $\left(3x^2+7x-3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3x}·3$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(e^{-x}-4\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-4{\left(e^{-x}-4\right)}^3·(e^{-x}·\left(-1\right)+0)$

= $-4{\left(e^{-x}-4\right)}^3·\left(-e^{-x}\right)$

= $4{\left(e^{-x}-4\right)}^3·e^{-x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $4e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{4,2}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,2}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{4,41}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{4,41}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{4,6305}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{4,6305}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{4,862025}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{79}·4e^{\mathrm{1,05}x}$

= $\mathrm{188,80548977845}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+2$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}-5\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+2$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2$

= $-5e^{-\mathrm{0,2}x}+2+\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$