Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x - 1} + \frac{1}{3} \cdot \sin (x) + \frac{4}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x - 1} + \frac{1}{3} \cdot \sin (x) + \frac{4}{x^{4}}$

= $2 e^{- 2 x - 1} + \frac{1}{3} \cdot \sin (x) + 4 x^{- 4}$

=> f'(x) = $2 e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2) + \frac{1}{3} \cdot \cos (x) - 16 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2) + \frac{1}{3} \cdot \cos (x) - \frac{16}{x^{5}}$

= $- 4 e^{- 2 x - 1} + \frac{1}{3} \cdot \cos (x) - \frac{16}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x + 2} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x + 2} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 1} + x^{4} \cdot e^{5 x - 1} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 1} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x - 1}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 1} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x - 1}$

= $e^{5 x - 1} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x - 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1,4 x - 0,6)$

= $(1,4 x - 0,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten