Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 8 x + 0) \cdot e^{3 x + 1} + (- 4 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $- 8 x \cdot e^{3 x + 1} + (- 4 x^{2} + 2) \cdot 3 e^{3 x + 1}$

= $- 8 x \cdot e^{3 x + 1} + 3 (- 4 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x + 1}$

= $e^{3 x + 1} \cdot (- 12 x^{2} - 8 x + 6)$

= $(- 12 x^{2} - 8 x + 6) \cdot e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x^{3} - 1} \cdot 9 x^{2}$

= $18 \cdot e^{3 x^{3} - 1} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{3 x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x \cdot \ln (x + 7)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x \cdot \ln (x + 7)$

$f'(x) =$ $6 \cdot \ln (x + 7) + 6 x \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot (1 + 0)$

= $6 \ln (x + 7) + 6 x \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot (1)$

= $6 \ln (x + 7) + 6 x \cdot \frac{1}{x + 7}$

= $6 \ln (x + 7) + 6 \frac{x}{x + 7}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (2 x) + (3 x + 2) \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $3 \cdot \cos (2 x) + (3 x + 2) \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $3 \cdot \cos (2 x) - 2 (3 x + 2) \cdot \sin (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,157625 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,157625 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,21550625 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${(- 1,05)}^{65} \cdot e^{- 1,05 x}$

= $- 23,839900559179 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 1$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 1$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$

= $4 e^{- 0,8 x} + 1 - 3,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten