$\text{f(x)}=$ $e^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{\frac{3}{5}x}·\frac{3}{5}$

= $\frac{3}{5}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^4+2x\right)·e^{-4x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(20x^3+2\right)·e^{-4x+5}+\left(5x^4+2x\right)·e^{-4x+5}·\left(-4\right)$

= $\left(20x^3+2\right)·e^{-4x+5}+\left(5x^4+2x\right)·\left(-4e^{-4x+5}\right)$

= $\left(20x^3+2\right)·e^{-4x+5}-4\left(5x^4+2x\right)·e^{-4x+5}$

= $e^{-4x+5}·(20x^3+2+\left(-20x^4-8x\right))$

= $e^{-4x+5}·\left(-20x^4+20x^3-8x+2\right)$

= $\left(-20x^4+20x^3-8x+2\right)·e^{-4x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{-x}}{x^5}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{-x}·\left(-1\right)·x^5-e^{-x}·5x^4}{{\left(x^5\right)}^2}$

= $\frac{-e^{-x}{x}^5-5·e^{-x}{x}^4}{{\left(x^5\right)}^2}$

= $\frac{-x^5·e^{-x}-5x^4·e^{-x}}{x^{10}}$

$\text{f(x)}=$ $5x·\ln \left(x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5·\ln \left(x+3\right)+5x·\frac{1}{x+3}·\left(1+0\right)$

= $5\ln \left(x+3\right)+5x·\frac{1}{x+3}·\left(1\right)$

= $5\ln \left(x+3\right)+5x·\frac{1}{x+3}$

= $5\ln \left(x+3\right)+5\frac{x}{x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(x^2-4\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-15{\left(x^2-4\right)}^4·\left(2x+0\right)$

= $-15{\left(x^2-4\right)}^4·\left(2x\right)$

= $-30{\left(x^2-4\right)}^{4}x$

= $-30x{\left(x^2-4\right)}^4$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+86\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-3x+11\right)$

= $\left(-3x+11\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$