$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{4x^3}+4\sqrt{x}+e^{-3x+2}$

= $\frac{7}{4}{x}^{-3}+4x^{\frac{1}{2}}+e^{-3x+2}$

=> f'(x) = $-\frac{21}{4}{x}^{-4}+2x^{-\frac{1}{2}}+e^{-3x+2}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{21}{4x^4}+\frac{2}{\sqrt{x}}+e^{-3x+2}·\left(-3\right)$

= $-\frac{21}{4x^4}+\frac{2}{\sqrt{x}}-3e^{-3x+2}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x+4}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $5x·\ln \left(x^2+7\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5·\ln \left(x^2+7\right)+5x·\frac{1}{x^2+7}·\left(2x+0\right)$

= $5\ln \left(x^2+7\right)+5x·\frac{1}{x^2+7}·\left(2x\right)$

= $5\ln \left(x^2+7\right)+5x·2\frac{x}{x^2+7}$

= $5\ln \left(x^2+7\right)+10\frac{x·x}{x^2+7}$

= $5\ln \left(x^2+7\right)+10\frac{x^2}{x^2+7}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(-3x-2\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-15{\left(-3x-2\right)}^4·\left(-3+0\right)$

= $-15{\left(-3x-2\right)}^4·\left(-3\right)$

= $45{\left(-3x-2\right)}^4$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-5e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{5,25}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{5,25}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{5,5125}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{5,5125}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{5,788125}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{5,788125}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $-\mathrm{6,07753125}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 67-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 67 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{67}$

Somit gilt für die 67-te Ableitung:

f⁽⁶⁷⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{67}·\left(-5e^{\mathrm{1,05}x}\right)$

= $-\mathrm{131,41745183248}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,8}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$