$\text{f(x)}=$ $-3+e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^x$

= $e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x-2}+x^4·e^{3x-2}·3$

= $4x^3·e^{3x-2}+x^4·3e^{3x-2}$

= $4x^3·e^{3x-2}+3x^4·e^{3x-2}$

= $e^{3x-2}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^3+2x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-3x^2+4x\right)·e^{-x}+\left(-x^3+2x^2\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $\left(-3x^2+4x\right)·e^{-x}+\left(-x^3+2x^2\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $\left(-3x^2+4x\right)·e^{-x}-\left(-x^3+2x^2\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·(x^3-2x^2+\left(-3x^2+4x\right))$

= $e^{-x}·\left(x^3-5x^2+4x\right)$

= $\left(x^3-5x^2+4x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3x^3·\ln \left(x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $9x^2·\ln \left(x-4\right)+3x^3·\frac{1}{x-4}·\left(1+0\right)$

= $9x^2\ln \left(x-4\right)+3x^3·\frac{1}{x-4}·\left(1\right)$

= $9x^2\ln \left(x-4\right)+3x^3·\frac{1}{x-4}$

= $9x^2\ln \left(x-4\right)+3\frac{x^3}{x-4}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x^2-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x^2-4\right)·\left(2x+0\right)$

= $3\cdot \cos \left(x^2-4\right)·\left(2x\right)$

= $6\cos \left(x^2-4\right)x$

= $6x·\cos \left(x^2-4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+81\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,5}x}-3\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{1,5}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{1,5}x+6\right)$

= $\left(\mathrm{1,5}x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$