Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{1}{4} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{1}{4} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{3}{4} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) + 3 e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) + 3 e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{2} \cdot \sin (x) + 3 e^{x + 3} \cdot 1$

= $\frac{7}{2} \cdot \sin (x) + 3 e^{x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{x^{5}}{e^{- 2 x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{x^{5}}{e^{- 2 x}}$

$f'(x) =$ $\frac{5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - x^{5} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)}{{(e^{- 2 x})}^{2}}$

= $\frac{5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x})}{{(e^{- 2 x})}^{2}}$

= $\frac{5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x}}{{(e^{- 2 x})}^{2}}$

= $\frac{2 x^{5} \cdot e^{- 2 x} + 5 x^{4} \cdot e^{- 2 x}}{e^{- 4 x}}$

= $\frac{e^{- 2 x + 4 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})}{1}$

= $\frac{e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})}{1}$

= $\frac{(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}}{1}$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x - 4)$

$f'(x) =$ $9 x^{2} \cdot \ln (x - 4) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 4} \cdot (1 + 0)$

= $9 x^{2} \ln (x - 4) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 4} \cdot (1)$

= $9 x^{2} \ln (x - 4) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 4}$

= $9 x^{2} \ln (x - 4) + 3 \frac{x^{3}}{x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (2 x) + (x^{2} - 8) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + (x^{2} - 8) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + 2 (x^{2} - 8) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 3$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x + 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 3$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 3$

= $5 e^{- 0,2 x} - 3 - (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten