$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{16}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-x-1}+x^4·e^{-x-1}·\left(-1\right)$

= $4x^3·e^{-x-1}+x^4·\left(-e^{-x-1}\right)$

= $4x^3·e^{-x-1}-x^4·e^{-x-1}$

= $e^{-x-1}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x-1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x^2-1}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x^2-1}·6x$

= $6·e^{3x^2-1}x$

= $6x{e}^{3x^2-1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x+2}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{-x+2}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{-x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-3x+5}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-3x+5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-3x+5}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-3x+5}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-3x+5}+\sqrt{x}·e^{-3x+5}·\left(-3\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-3x+5}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-3e^{-3x+5}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-3x+5}}{\sqrt{x}}-3\sqrt{x}·e^{-3x+5}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,52200625}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{38}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

= $\mathrm{0,002079309688431}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-3$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-3$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,6}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-3$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}-3-\mathrm{1,6}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$