$\text{f(x)}=$ $1+2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{2x}·2$

= $4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}\left(-2x^5-x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(-2x^5-x\right)+e^{-2x}·\left(-10x^4-1\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(-2x^5-x\right)+e^{-2x}\left(-10x^4-1\right)$

= $e^{-2x}·(-10x^4-1+\left(4x^5+2x\right))$

= $e^{-2x}·\left(4x^5-10x^4+2x-1\right)$

= $\left(4x^5-10x^4+2x-1\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x^3+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x^3+3}·9x^2$

= $-18·e^{3x^3+3}{x}^2$

= $-18x^2{e}^{3x^3+3}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\ln \left(x\right)+x^2·\frac{1}{x}·1$

= $2x\ln \left(x\right)+x^2·\frac{1}{x}$

= $2x\ln \left(x\right)+x$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\cos \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\cos \left(2x\right)+x^3·(-\sin \left(2x\right)·2)$

= $3x^2·\cos \left(2x\right)+x^3·\left(-2\cdot \sin \left(2x\right)\right)$

= $3x^2·\cos \left(2x\right)-2x^3·\sin \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-x}$

f'(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f'''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-3$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-3$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{2,4}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}-3-\mathrm{2,4}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$