$\text{f(x)}=$ $-e^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $-\frac{8}{9}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+1\right)·e^{4x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{4x-4}+\left(2x+1\right)·e^{4x-4}·4$

= $2e^{4x-4}+\left(2x+1\right)·4e^{4x-4}$

= $2e^{4x-4}+4\left(2x+1\right)·e^{4x-4}$

= $e^{4x-4}·\left(8x+6\right)$

= $\left(8x+6\right)·e^{4x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^4-4x\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x^3-4\right)·e^{-2x}+\left(2x^4-4x\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\left(8x^3-4\right)·e^{-2x}+\left(2x^4-4x\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\left(8x^3-4\right)·e^{-2x}-2\left(2x^4-4x\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·(8x^3-4+\left(-4x^4+8x\right))$

= $e^{-2x}·\left(-4x^4+8x^3+8x-4\right)$

= $\left(-4x^4+8x^3+8x-4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{7x}·7$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{{\left(-2x-4\right)}^3}$

= ${\left(-2x-4\right)}^{-3}$

=> f'(x) = $-3{\left(-2x-4\right)}^{-4}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(-2x-4\right)}^4}·\left(-2+0\right)$

= $-\frac{3}{{\left(-2x-4\right)}^4}·\left(-2\right)$

= $\frac{6}{{\left(-2x-4\right)}^4}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-x}$

f'(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f'''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-5$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-5$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,4}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}-5-\mathrm{0,4}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$