$\text{f(x)}=$ $2-2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{2x+3}+8\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x+3}·2+8\cdot \cos \left(x\right)$

= $4e^{2x+3}+8\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x-4}·3$

= $-9e^{3x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x+5}·\left(-4+0\right)$

= $\frac{1}{-4x+5}·\left(-4\right)$

= $-\frac{4}{-4x+5}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(\cos \left(x\right)+1\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $4\left(\cos \left(x\right)+1\right)·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $4\left(\cos \left(x\right)+1\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-4\left(\cos \left(x\right)+1\right)·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^x$

f'(x) = $3e^x$

f''(x) = $3e^x$

f'''(x) = $3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,2}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{11,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{11,2}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$