$\text{f(x)}=$ $-5+\frac{9}{7}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{9}{7}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{27}{7}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^2+2\right)·e^{-x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2x+0\right)·e^{-x+3}+\left(-x^2+2\right)·e^{-x+3}·\left(-1\right)$

= $-2x·e^{-x+3}+\left(-x^2+2\right)·\left(-e^{-x+3}\right)$

= $-2x·e^{-x+3}-\left(-x^2+2\right)·e^{-x+3}$

= $e^{-x+3}·\left(x^2-2x-2\right)$

= $\left(x^2-2x-2\right)·e^{-x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x^3+2}·9x^2$

= $-18·e^{3x^3+2}{x}^2$

= $-18x^2{e}^{3x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $6x·\ln \left(x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6·\ln \left(x+3\right)+6x·\frac{1}{x+3}·\left(1+0\right)$

= $6\ln \left(x+3\right)+6x·\frac{1}{x+3}·\left(1\right)$

= $6\ln \left(x+3\right)+6x·\frac{1}{x+3}$

= $6\ln \left(x+3\right)+6\frac{x}{x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-9\right)·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(-3x\right)+\left(x-9\right)·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $\sin \left(-3x\right)+\left(x-9\right)·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $\sin \left(-3x\right)-3\left(x-9\right)·\cos \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,15}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{1,520875}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,520875}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{1,74900625}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{50}·e^{-\mathrm{1,15}x}$

= $1\mathrm{083,657441584}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(x-3\right)$

= $\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$