$\text{f(x)}=$ $e^x$

$\text{f'(x)}=$ $e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^5+2x\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-20x^4+2\right)·e^x+\left(-4x^5+2x\right)·e^x$

= $e^x·(-20x^4+2+\left(-4x^5+2x\right))$

= $e^x·\left(-4x^5-20x^4+2x+2\right)$

= $\left(-4x^5-20x^4+2x+2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $2e^{2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x-1}·2$

= $4e^{2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $1·\ln \left(x\right)+x·\frac{1}{x}·1$

= $\ln \left(x\right)+x·\frac{1}{x}$

= $\ln \left(x\right)+1$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{-3x-1}$

= $-3{\left(-3x-1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{\left(-3x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\sqrt{-3x-1}}·\left(-3+0\right)$

= $-\frac{3}{2\sqrt{-3x-1}}·\left(-3\right)$

= $\frac{9}{2\sqrt{-3x-1}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{-x}$

f'(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f'''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $-5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,2}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}x+\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,2}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$