$\text{f(x)}=$ $2+e^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $\frac{1}{4}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}+2e^{-3x-1}$

= $-2x^{-3}+2e^{-3x-1}$

=> f'(x) = $6x^{-4}+2e^{-3x-1}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{x^4}+2e^{-3x-1}·\left(-3\right)$

= $\frac{6}{x^4}-6e^{-3x-1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^5+e^{-2x}·5x^4$

= $-2·e^{-2x}{x}^5+5·e^{-2x}{x}^4$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x·\ln \left(x^2-8\right)$

$\text{f'(x)}=$ $1·\ln \left(x^2-8\right)+x·\frac{1}{x^2-8}·\left(2x+0\right)$

= $\ln \left(x^2-8\right)+x·\frac{1}{x^2-8}·\left(2x\right)$

= $\ln \left(x^2-8\right)+x·2\frac{x}{x^2-8}$

= $\ln \left(x^2-8\right)+2\frac{x·x}{x^2-8}$

= $\ln \left(x^2-8\right)+2\frac{x^2}{x^2-8}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(-3x^2+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \sin \left(-3x^2+5\right)·\left(-6x+0\right)$

= $3\cdot \sin \left(-3x^2+5\right)·\left(-6x\right)$

= $-18\sin \left(-3x^2+5\right)x$

= $-18x·\sin \left(-3x^2+5\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $3e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{2,55}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,55}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{2,1675}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,1675}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{1,842375}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,842375}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{1,56601875}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{35}·3e^{-\mathrm{0,85}x}$

= $-\mathrm{0,010157425711855}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+8$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+8$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,2}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+8$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}+8-\mathrm{1,2}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$