$\text{f(x)}=$ $-4+\frac{11}{9}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{11}{9}{e}^{\frac{5}{7}x}·\frac{5}{7}$

= $\frac{55}{63}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^3+3x\right)·e^{-4x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^2+3\right)·e^{-4x+3}+\left(-5x^3+3x\right)·e^{-4x+3}·\left(-4\right)$

= $\left(-15x^2+3\right)·e^{-4x+3}+\left(-5x^3+3x\right)·\left(-4e^{-4x+3}\right)$

= $\left(-15x^2+3\right)·e^{-4x+3}-4\left(-5x^3+3x\right)·e^{-4x+3}$

= $e^{-4x+3}·(-15x^2+3+\left(20x^3-12x\right))$

= $e^{-4x+3}·\left(20x^3-15x^2-12x+3\right)$

= $\left(20x^3-15x^2-12x+3\right)·e^{-4x+3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^5+e^{3x}·5x^4$

= $3·e^{3x}{x}^5+5·e^{3x}{x}^4$

= $e^{3x}·\left(3x^5+5x^4\right)$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $6x·\ln \left(x^2+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6·\ln \left(x^2+3\right)+6x·\frac{1}{x^2+3}·\left(2x+0\right)$

= $6\ln \left(x^2+3\right)+6x·\frac{1}{x^2+3}·\left(2x\right)$

= $6\ln \left(x^2+3\right)+6x·2\frac{x}{x^2+3}$

= $6\ln \left(x^2+3\right)+12\frac{x·x}{x^2+3}$

= $6\ln \left(x^2+3\right)+12\frac{x^2}{x^2+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+7\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(x^2+7\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $2x·\cos \left(x^3\right)+\left(x^2+7\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $2x·\cos \left(x^3\right)-3\left(x^2+7\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+95\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+1$

= $-3e^{-\mathrm{0,8}x}-3\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+1$

= $-3e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{2,4}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+1$

= $-3e^{-\mathrm{0,8}x}+1+\mathrm{2,4}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$