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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \cdot \cos (x) - e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \cdot \cos (x) - e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $4 \cdot \sin (x) - e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $4 \cdot \sin (x) - 3 e^{3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 4} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 4} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (2 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (2 x - 5)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (2 x - 5) \cdot (2 + 0)$

= $- 2 \cdot \cos (2 x - 5) \cdot (2)$

= $- 4 \cdot \cos (2 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 67-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,157625 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,157625 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,21550625 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 67-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 67 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{67}$

Somit gilt für die 67-te Ableitung:

f⁽⁶⁷⁾(x) = ${(- 1,05)}^{67} \cdot e^{- 1,05 x}$

= $- 26,283490366495 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 4$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- e^{- 0,1 x} - (x - 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,1 x - 1,3)$

= $(0,1 x - 1,3) \cdot e^{- 0,1 x}$