Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{7}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{7}{5} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{7}{5} x} \cdot \frac{7}{5}$

= $- \frac{14}{5} e^{\frac{7}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 1} + x^{3} \cdot e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 1} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x + 1}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 1} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x + 1}$

= $e^{3 x + 1} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x^{3} - 3} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 9 \cdot e^{- x^{3} - 3} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{- x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,157625 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,157625 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,21550625 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${1,05}^{78} \cdot e^{1,05 x}$

= $44,953688042488 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 5$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 5$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 5$

= $4 e^{- 0,8 x} + 5 - 3,2 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten