Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{2}{3} e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{2}{3} e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{2}{3} e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{4}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 5 x^{5} - 5 x^{4})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 5 x^{5} - 5 x^{4})$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 5 x^{5} - 5 x^{4}) + e^{- 2 x} \cdot (- 25 x^{4} - 20 x^{3})$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- 5 x^{5} - 5 x^{4}) + e^{- 2 x} (- 25 x^{4} - 20 x^{3})$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{5} + 10 x^{4} + (- 25 x^{4} - 20 x^{3}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{5} - 15 x^{4} - 20 x^{3})$

= $(10 x^{5} - 15 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x \cdot \ln (x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x \cdot \ln (x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $4 \cdot \ln (x^{2} - 2) + 4 x \cdot \frac{1}{x^{2} - 2} \cdot (2 x + 0)$

= $4 \ln (x^{2} - 2) + 4 x \cdot \frac{1}{x^{2} - 2} \cdot (2 x)$

= $4 \ln (x^{2} - 2) + 4 x \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 2}$

= $4 \ln (x^{2} - 2) + 8 \frac{x \cdot x}{x^{2} - 2}$

= $4 \ln (x^{2} - 2) + 8 \frac{x^{2}}{x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 4) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 4) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (2 x^{2} - 4) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $4 x \cdot \cos (x^{2}) + (2 x^{2} - 4) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $4 x \cdot \cos (x^{2}) - 2 (2 x^{2} - 4) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 8$

= $- e^{- 0,1 x} - (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 8$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 8$

= $- e^{- 0,1 x} - 8 + 0,1 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten