Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{1}{4} e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{1}{4} e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{3}{20} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 1} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1}$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{- 3 x^{4} + 5 x^{3}}{e^{x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{- 3 x^{4} + 5 x^{3}}{e^{x}}$

$f'(x) =$ $\frac{(- 12 x^{3} + 15 x^{2}) \cdot e^{x} - (- 3 x^{4} + 5 x^{3}) \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}}$

= $\frac{- (- 3 x^{4} + 5 x^{3}) \cdot e^{x} + (- 12 x^{3} + 15 x^{2}) \cdot e^{x}}{e^{2 x}}$

= $\frac{e^{x - 2 x} \cdot (- x^{3} (- 3 x + 5) + 3 x^{2} (- 4 x + 5))}{1}$

= $\frac{e^{- x} \cdot (- x^{3} (- 3 x + 5) + 3 x^{2} (- 4 x + 5))}{1}$

= $\frac{(- x^{3} (- 3 x + 5) + 3 x^{2} (- 4 x + 5)) \cdot e^{- x}}{1}$

= $(- x^{3} \cdot (- 3 x + 5) + 3 x^{2} \cdot (- 4 x + 5)) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \ln (x) + 3 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $3 \ln (x) + 3 x \cdot \frac{1}{x}$

= $3 \ln (x) + 3$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{3 x + 2}$

= $- {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(3 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x + 2}} \cdot (3 + 0)$

= $- \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x + 2}} \cdot (3)$

= $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x + 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- x}$

f'(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f'''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 7$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $e^{- 0,3 x} + (x + 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3 x + 0,1)$

= $(- 0,3 x + 0,1) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten