$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{8}{e}^{2x}·2$

= $\frac{5}{4}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^3+2x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3x^2+4x\right)·e^{-3x}+\left(x^3+2x^2\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\left(3x^2+4x\right)·e^{-3x}+\left(x^3+2x^2\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\left(3x^2+4x\right)·e^{-3x}-3\left(x^3+2x^2\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·(-3x^3-6x^2+\left(3x^2+4x\right))$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3-3x^2+4x\right)$

= $\left(-3x^3-3x^2+4x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^4-x^3\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(20x^3-3x^2\right)·e^{-3x}+\left(5x^4-x^3\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\left(20x^3-3x^2\right)·e^{-3x}+\left(5x^4-x^3\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\left(20x^3-3x^2\right)·e^{-3x}-3\left(5x^4-x^3\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·(-15x^4+3x^3+\left(20x^3-3x^2\right))$

= $e^{-3x}·\left(-15x^4+23x^3-3x^2\right)$

= $\left(-15x^4+23x^3-3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x}·2$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-3x}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-3x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-3x}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-3x}+\sqrt{x}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-3x}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-3x}}{\sqrt{x}}-3\sqrt{x}·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-4e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{3,6}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{3,6}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{3,24}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{3,24}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{2,916}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,916}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{2,6244}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{45}·\left(-4e^{\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-\mathrm{0,034911854272351}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{7,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$