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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{5} - 5 x) \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{5} - 5 x) \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $(5 x^{4} - 5) \cdot e^{2 x - 2} + (x^{5} - 5 x) \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $(5 x^{4} - 5) \cdot e^{2 x - 2} + (x^{5} - 5 x) \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $(5 x^{4} - 5) \cdot e^{2 x - 2} + 2 (x^{5} - 5 x) \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (5 x^{4} - 5 + (2 x^{5} - 10 x))$

= $e^{2 x - 2} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4} - 10 x - 5)$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4} - 10 x - 5) \cdot e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - x} \cdot (6 x^{2} - 1)$

= $\frac{6 x^{2} - 1}{2 x^{3} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (3 x) + (2 x - 8) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 \cdot \sin (3 x) + (2 x - 8) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 \cdot \sin (3 x) + 3 (2 x - 8) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 6$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 6$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 6$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 6 + (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x}$