Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{2}{3} e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{2}{3} e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{2}{3} e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{4}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \cdot \sin (x) - 2 e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \cdot \sin (x) - 2 e^{- x - 1}$

$f'(x) =$ $- 8 \cdot \cos (x) - 2 e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $- 8 \cdot \cos (x) + 2 e^{- x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (- 2 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 x \cdot e^{- 2 x} + (- 2 x^{2} - 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 4 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 2 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{2} - 4 x + 10)$

= $(4 x^{2} - 4 x + 10) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \ln (x) + 2 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $2 \ln (x) + 2 x \cdot \frac{1}{x}$

= $2 \ln (x) + 2$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x + 2) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x + 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x - 4)$

= $(- 6 x - 4) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 91)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 4$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 4$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$

= $e^{- 0,9 x} - 4 - 0,9 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten