Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $- \frac{3}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{5 x + 5}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{5 x + 5} + (x + 5) \cdot e^{5 x + 5} \cdot 5$

= $e^{5 x + 5} + (x + 5) \cdot 5 e^{5 x + 5}$

= $e^{5 x + 5} + 5 (x + 5) \cdot e^{5 x + 5}$

= $e^{5 x + 5} \cdot (5 x + 26)$

= $(5 x + 26) \cdot e^{5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \ln (x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \ln (x - 2)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \ln (x - 2) + x^{2} \cdot \frac{1}{x - 2} \cdot (1 + 0)$

= $2 x \ln (x - 2) + x^{2} \cdot \frac{1}{x - 2} \cdot (1)$

= $2 x \ln (x - 2) + x^{2} \cdot \frac{1}{x - 2}$

= $2 x \ln (x - 2) + \frac{x^{2}}{x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{- 3 x - 1}$

= $- 3 {(- 3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(- 3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{- 3 x - 1}} \cdot (- 3 + 0)$

= $- \frac{3}{2 \sqrt{- 3 x - 1}} \cdot (- 3)$

= $\frac{9}{2 \sqrt{- 3 x - 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${(- 0,9)}^{57} \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 0,0024650347049581 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 7$

= $e^{- 0,4 x} + (x - 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 7$

= $e^{- 0,4 x} - 0,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 7$

= $e^{- 0,4 x} - 7 - 0,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten