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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 4} + 2 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 4} + 2 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3) + 2 \cdot \cos (x)$

= $6 e^{- 3 x - 4} + 2 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 4) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 4) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{2} + 4) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 x \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{2} + 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $6 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{2} + 4) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 6 x - 8)$

= $(- 6 x^{2} + 6 x - 8) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${0,9}^{64} \cdot e^{0,9 x}$

= $0,0011790184577739 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 5$

= $e^{- 0,9 x} + (x - 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 5$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

= $e^{- 0,9 x} - 5 - 0,9 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x}$