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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{5}{4} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 3} + x^{3} \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 3} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 3} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 3} \cdot (- 4 x)$

= $4 \cdot e^{- 2 x^{2} + 3} x$

= $4 x e^{- 2 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (2 x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (2 x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (2 x^{3} + 1) \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $3 \cdot \cos (2 x^{3} + 1) \cdot (6 x^{2})$

= $18 \cos (2 x^{3} + 1) x^{2}$

= $18 x^{2} \cdot \cos (2 x^{3} + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,7 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $2,7 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,43 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 2,43 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,187 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,187 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,9683 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 0,9)}^{60} \cdot (- 3 e^{- 0,9 x})$

= $- 0,0053910308997433 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 1$

= $- 2 e^{- 0,4 x} - 2 (x - 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 1$

= $- 2 e^{- 0,4 x} + 0,8 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 1$

= $- 2 e^{- 0,4 x} - 1 + 0,8 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x}$