Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{4 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} + 4 x) \cdot e^{4 x - 4} + (- 3 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{4 x - 4} \cdot 4$

= $(- 9 x^{2} + 4 x) \cdot e^{4 x - 4} + (- 3 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot 4 e^{4 x - 4}$

= $(- 9 x^{2} + 4 x) \cdot e^{4 x - 4} + 4 (- 3 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{4 x - 4}$

= $e^{4 x - 4} \cdot (- 12 x^{3} + 8 x^{2} + (- 9 x^{2} + 4 x))$

= $e^{4 x - 4} \cdot (- 12 x^{3} - x^{2} + 4 x)$

= $(- 12 x^{3} - x^{2} + 4 x) \cdot e^{4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} + 1} \cdot (- 3 x^{2})$

= $6 \cdot e^{- x^{3} + 1} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{- x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x \cdot \ln (x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x \cdot \ln (x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $6 \cdot \ln (x^{2} - 5) + 6 x \cdot \frac{1}{x^{2} - 5} \cdot (2 x + 0)$

= $6 \ln (x^{2} - 5) + 6 x \cdot \frac{1}{x^{2} - 5} \cdot (2 x)$

= $6 \ln (x^{2} - 5) + 6 x \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 5}$

= $6 \ln (x^{2} - 5) + 12 \frac{x \cdot x}{x^{2} - 5}$

= $6 \ln (x^{2} - 5) + 12 \frac{x^{2}}{x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (- 3 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (- 3 x - 2)$

$f'(x) =$ $- \cos (- 3 x - 2) \cdot (- 3 + 0)$

= $- \cos (- 3 x - 2) \cdot (- 3)$

= $3 \cdot \cos (- 3 x - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 36-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{0,85 x}$

f'(x) = $- e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $- 0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,614125 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,614125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,52200625 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${0,85}^{36} \cdot (- e^{0,85 x})$

= $- 0,0028779372850257 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 7$

= $e^{- 0,1 x} + (x - 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 7$

= $e^{- 0,1 x} - 0,1 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 7$

= $e^{- 0,1 x} + 7 - 0,1 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten