Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{3} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x + 1} + x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 1} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 1} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1}$

= $e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{x^{5}}{e^{- x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{x^{5}}{e^{- x}}$

$f'(x) =$ $\frac{5 x^{4} \cdot e^{- x} - x^{5} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)}{{(e^{- x})}^{2}}$

= $\frac{5 x^{4} \cdot e^{- x} - x^{5} \cdot (- e^{- x})}{{(e^{- x})}^{2}}$

= $\frac{5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot e^{- x}}{{(e^{- x})}^{2}}$

= $\frac{x^{5} \cdot e^{- x} + 5 x^{4} \cdot e^{- x}}{e^{- 2 x}}$

= $\frac{e^{- x + 2 x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})}{1}$

= $\frac{e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})}{1}$

= $\frac{(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}}{1}$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \ln (x) + x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $2 x \ln (x) + x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $2 x \ln (x) + x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x + 6) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $\sin (x^{3}) + (x + 6) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\sin (x^{3}) + 3 (x + 6) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{x}$

f'(x) = $4 e^{x}$

f''(x) = $4 e^{x}$

f'''(x) = $4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,4 x - 6,8)$

= $(0,4 x - 6,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten