$\text{f(x)}=$ $\frac{6}{7}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{7}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{18}{7}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x-3}+x^3·e^{-2x-3}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x-3}+x^3·\left(-2e^{-2x-3}\right)$

= $3x^2·e^{-2x-3}-2x^3·e^{-2x-3}$

= $e^{-2x-3}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^3+2\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(9x^2+0\right)·e^{-2x}+\left(3x^3+2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $9x^2·e^{-2x}+\left(3x^3+2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $9x^2·e^{-2x}-2\left(3x^3+2\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-6x^3+9x^2-4\right)$

= $\left(-6x^3+9x^2-4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3x}·3$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{x+2}$

= $3{\left(x+2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{\left(x+2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{x+2}}·\left(1+0\right)$

= $\frac{3}{2\sqrt{x+2}}·\left(1\right)$

= $\frac{3}{2\sqrt{x+2}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-x}$

f'(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f'''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,1}x}+5\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,5}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,5}x+4\right)$

= $\left(-\mathrm{0,5}x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$