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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x - 3} + x^{5} \cdot e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x - 3} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x - 3}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x - 3} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x - 3}$

= $e^{2 x - 3} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} + 5} \cdot 4 x$

= $- 12 \cdot e^{2 x^{2} + 5} x$

= $- 12 x e^{2 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $4 \cdot \ln (x) + 4 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $4 \ln (x) + 4 x \cdot \frac{1}{x}$

= $4 \ln (x) + 4$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 3)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 3) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 6$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x + 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 6$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 6$

= $5 e^{- 0,2 x} + 6 - (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x}$