$\text{f(x)}=$ $-2e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)+3e^{x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x\right)+3e^{x-5}·1$

= $-3\cdot \cos \left(x\right)+3e^{x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^2-5x\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x-5\right)·e^{-x}+\left(2x^2-5x\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $\left(4x-5\right)·e^{-x}+\left(2x^2-5x\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $\left(4x-5\right)·e^{-x}-\left(2x^2-5x\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·(4x-5+\left(-2x^2+5x\right))$

= $e^{-x}·\left(-2x^2+9x-5\right)$

= $\left(-2x^2+9x-5\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x·\ln \left(x^2+9\right)$

$\text{f'(x)}=$ $1·\ln \left(x^2+9\right)+x·\frac{1}{x^2+9}·\left(2x+0\right)$

= $\ln \left(x^2+9\right)+x·\frac{1}{x^2+9}·\left(2x\right)$

= $\ln \left(x^2+9\right)+x·2\frac{x}{x^2+9}$

= $\ln \left(x^2+9\right)+2\frac{x·x}{x^2+9}$

= $\ln \left(x^2+9\right)+2\frac{x^2}{x^2+9}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(e^{-2x}+5\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-4\left(e^{-2x}+5\right)·(e^{-2x}·\left(-2\right)+0)$

= $-4\left(e^{-2x}+5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $8\left(e^{-2x}+5\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,520875}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,520875}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,74900625}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{45}·e^{\mathrm{1,15}x}$

= $\mathrm{538,76926898841}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-2$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,5}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,5}x-\mathrm{7,5}\right)$

= $\left(\mathrm{0,5}x-\mathrm{7,5}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$