$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{1}{4}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{4}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{1}{2}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-3x+4}+x^2·e^{-3x+4}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x+4}+x^2·\left(-3e^{-3x+4}\right)$

= $2x·e^{-3x+4}-3x^2·e^{-3x+4}$

= $e^{-3x+4}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x^2-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x^2-3}·\left(-6x\right)$

= $6·e^{-3x^2-3}x$

= $6x{e}^{-3x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $3x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3·\ln \left(x\right)+3x·\frac{1}{x}·1$

= $3\ln \left(x\right)+3x·\frac{1}{x}$

= $3\ln \left(x\right)+3$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\cos \left(x^2\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(x^2\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\cos \left(x^2\right)+x^{\frac{1}{2}}·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\cos \left(x^2\right)+\sqrt{x}·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x^2\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x^2\right)}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}\sin \left(x^2\right)x$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x^2\right)}{\sqrt{x}}-2{\left(\sqrt{x}\right)}^3·\sin \left(x^2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^x$

f'(x) = $5e^x$

f''(x) = $5e^x$

f'''(x) = $5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $5e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-4$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-4$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4+\mathrm{0,8}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$