Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{18}{7} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{3 x} + (2 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(10 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{3 x} + (2 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(10 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{3 x} + 3 (2 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{5} - 9 x^{3} + (10 x^{4} - 9 x^{2}))$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{5} + 10 x^{4} - 9 x^{3} - 9 x^{2})$

= $(6 x^{5} + 10 x^{4} - 9 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $2 e^{2 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} - 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 3)$

= $\frac{- 3 x^{2} - 3}{- x^{3} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2 x + 3}$

= ${(2 x + 3)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- {(2 x + 3)}^{- 2} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(2 x + 3)}^{2}} \cdot (2 + 0)$

= $- \frac{1}{{(2 x + 3)}^{2}} \cdot (2)$

= $- \frac{2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{0,9 x}$

f'(x) = $- e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${0,9}^{60} \cdot (- e^{0,9 x})$

= $- 0,0017970102999144 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x + 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1,4 x + 2,2)$

= $(1,4 x + 2,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten