$\text{f(x)}=$ $1-3e^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $-\frac{3}{4}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}\left(-4x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·\left(-4x+5\right)+e^{3x}·\left(-4+0\right)$

= $3·e^{3x}\left(-4x+5\right)+e^{3x}·\left(-4\right)$

= $3·e^{3x}\left(-4x+5\right)-4e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(-12x+11\right)$

= $\left(-12x+11\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{-2x}}{-2x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(-2x-4\right)-e^{-2x}·\left(-2+0\right)}{{\left(-2x-4\right)}^2}$

= $\frac{-2·e^{-2x}\left(-2x-4\right)-e^{-2x}·\left(-2\right)}{{\left(-2x-4\right)}^2}$

= $\frac{-2·e^{-2x}\left(-2x-4\right)+2e^{-2x}}{{\left(-2x-4\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $6x^3·\ln \left(x+6\right)$

$\text{f'(x)}=$ $18x^2·\ln \left(x+6\right)+6x^3·\frac{1}{x+6}·\left(1+0\right)$

= $18x^2\ln \left(x+6\right)+6x^3·\frac{1}{x+6}·\left(1\right)$

= $18x^2\ln \left(x+6\right)+6x^3·\frac{1}{x+6}$

= $18x^2\ln \left(x+6\right)+6\frac{x^3}{x+6}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{-x^3-2}$

= $2{\left(-x^3-2\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-2{\left(-x^3-2\right)}^{-2}·\left(-3x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(-x^3-2\right)}^2}·\left(-3x^2+0\right)$

= $-\frac{2}{{\left(-x^3-2\right)}^2}·\left(-3x^2\right)$

= $6\frac{x^2}{{\left(-x^3-2\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,614125}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,614125}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,52200625}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{48}·e^{\mathrm{0,85}x}$

= $\mathrm{0,00040936285634976}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{7,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$