Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x + 1} + x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 1} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 1} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1}$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{e^{- 3 x}}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{e^{- 3 x}}{x^{4}}$

$f'(x) =$ $\frac{e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{4} - e^{- 3 x} \cdot 4 x^{3}}{{(x^{4})}^{2}}$

= $\frac{- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{4} - 4 \cdot e^{- 3 x} x^{3}}{{(x^{4})}^{2}}$

= $\frac{- 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 4 x^{3} \cdot e^{- 3 x}}{x^{8}}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (3 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (3 x + 1)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (3 x + 1)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (3 x + 1) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (3 x + 1) \cdot (3 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (3 x + 1) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (3 x + 1) \cdot (3 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (3 x + 1)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- \sin (3 x + 1) \cdot (3))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (3 x + 1)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x + 1))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (3 x + 1)}{\sqrt{x}} - 3 \sqrt{x} \cdot \sin (3 x + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{0,85 x}$

f'(x) = $- e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $- 0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,614125 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,614125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,52200625 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${0,85}^{48} \cdot (- e^{0,85 x})$

= $- 0,00040936285634976 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 1$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 1$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 1 + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten