$\text{f(x)}=$ $-4-2e^{\frac{7}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{7}{5}x}·\frac{7}{5}$

= $-\frac{14}{5}{e}^{\frac{7}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-x+5}-4x^2$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-x+5}·\left(-1\right)-8x$

= $-3e^{-x+5}-8x$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^4+e^{-3x}·4x^3$

= $-3·e^{-3x}{x}^4+4·e^{-3x}{x}^3$

= $e^{-3x}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\ln \left(x\right)+x^2·\frac{1}{x}·1$

= $2x\ln \left(x\right)+x^2·\frac{1}{x}$

= $2x\ln \left(x\right)+x$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+8\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-2x}+\left(3x+8\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3e^{-2x}+\left(3x+8\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3e^{-2x}-2\left(3x+8\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-6x-13\right)$

= $\left(-6x-13\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+93\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,6}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{7,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{7,2}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$