Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 2} + x^{4} \cdot e^{5 x + 2} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 2} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x + 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 2} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x + 2}$

= $e^{5 x + 2} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} - 4 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} - 4 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} - 4) \cdot e^{3 x} + (5 x^{3} - 4 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(15 x^{2} - 4) \cdot e^{3 x} + (5 x^{3} - 4 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(15 x^{2} - 4) \cdot e^{3 x} + 3 (5 x^{3} - 4 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{2} - 4 + (15 x^{3} - 12 x))$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{3} + 15 x^{2} - 12 x - 4)$

= $(15 x^{3} + 15 x^{2} - 12 x - 4) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $18 x^{2} \cdot \ln (x) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $18 x^{2} \ln (x) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $18 x^{2} \ln (x) + 6 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 5 x - 2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 5 x - 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 5 x - 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 5 x - 2} \cdot (- 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 5 x - 2} + \sqrt{x} \cdot e^{- 5 x - 2} \cdot (- 5)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 5 x - 2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 2})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 5 x - 2}}{\sqrt{x}} - 5 \sqrt{x} \cdot e^{- 5 x - 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${0,9}^{58} \cdot e^{0,9 x}$

= $0,0022185312344623 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 8$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- e^{- 0,2 x} - (x + 7) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- e^{- 0,2 x} + 0,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,2 x + 0,4)$

= $(0,2 x + 0,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten