$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x-3}+\frac{1}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x-3}·2+\frac{1}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

= $-4e^{2x-3}+\frac{1}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^4+5x\right)·e^{-3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x^3+5\right)·e^{-3x+4}+\left(-2x^4+5x\right)·e^{-3x+4}·\left(-3\right)$

= $\left(-8x^3+5\right)·e^{-3x+4}+\left(-2x^4+5x\right)·\left(-3e^{-3x+4}\right)$

= $\left(-8x^3+5\right)·e^{-3x+4}-3\left(-2x^4+5x\right)·e^{-3x+4}$

= $e^{-3x+4}·(-8x^3+5+\left(6x^4-15x\right))$

= $e^{-3x+4}·\left(6x^4-8x^3-15x+5\right)$

= $\left(6x^4-8x^3-15x+5\right)·e^{-3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $5x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $10x·\ln \left(x\right)+5x^2·\frac{1}{x}·1$

= $10x\ln \left(x\right)+5x^2·\frac{1}{x}$

= $10x\ln \left(x\right)+5x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+6\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{3x}+\left(x+6\right)·e^{3x}·3$

= $e^{3x}+\left(x+6\right)·3e^{3x}$

= $e^{3x}+3\left(x+6\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x+19\right)$

= $\left(3x+19\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^x$

f'(x) = $2e^x$

f''(x) = $2e^x$

f'''(x) = $2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-2x+11\right)$

= $\left(-2x+11\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$