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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $- \frac{3}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} - 2 e^{- 3 x + 5} - 5 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} - 2 e^{- 3 x + 5} - 5 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $9 x^{2} - 2 e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3) + 5 \cdot \sin (x)$

= $9 x^{2} + 6 e^{- 3 x + 5} + 5 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \ln (x) + 2 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $2 \ln (x) + 2 x \cdot \frac{1}{x}$

= $2 \ln (x) + 2$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(- x + 5)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(- x + 5)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(- x + 5)}^{2} \cdot (- 1 + 0)$

= $- 3 {(- x + 5)}^{2} \cdot (- 1)$

= $3 {(- x + 5)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $5,75 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $5,75 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 6,6125 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 6,6125 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $7,604375 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $7,604375 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 8,74503125 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${(- 1,15)}^{38} \cdot (- 5 e^{- 1,15 x})$

= $- 1 012,7166209252 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 2$

= $e^{- 0,7 x} + (x - 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 2$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$

= $e^{- 0,7 x} + 2 - 0,7 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x}$