Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 4 x + 1} + (- 4 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $(- 12 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 4 x + 1} + (- 4 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 1})$

= $(- 12 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 4 x + 1} - 4 (- 4 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 1}$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (16 x^{3} - 8 x^{2} + (- 12 x^{2} + 4 x))$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (16 x^{3} - 20 x^{2} + 4 x)$

= $(16 x^{3} - 20 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $1 \cdot \ln (x) + x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $\ln (x) + x \cdot \frac{1}{x}$

= $\ln (x) + 1$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{x - 2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{x - 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{x - 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{x - 2} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{x - 2} + \sqrt{x} \cdot e^{x - 2} \cdot 1$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{x - 2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot e^{x - 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,857375 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,857375 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,81450625 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${(- 0,95)}^{79} \cdot e^{- 0,95 x}$

= $- 0,017384604615804 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 4$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x - 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,2 x - 2,6)$

= $(0,2 x - 2,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten