Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{3} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{3} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{3} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{10}{3} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- 3 x + 5} + (- 3 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $(- 15 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- 3 x + 5} + (- 3 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 5})$

= $(- 15 x^{4} - 6 x) \cdot e^{- 3 x + 5} - 3 (- 3 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5}$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (9 x^{5} + 9 x^{2} + (- 15 x^{4} - 6 x))$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (9 x^{5} - 15 x^{4} + 9 x^{2} - 6 x)$

= $(9 x^{5} - 15 x^{4} + 9 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- 3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 2 x^{3}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 2 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 6 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (- 2 x^{5} + 2 x^{3}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 10 x^{4} + 6 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (- 2 x^{5} + 2 x^{3}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 10 x^{4} + 6 x^{2}) \cdot e^{2 x} + 2 (- 2 x^{5} + 2 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 10 x^{4} + 6 x^{2}))$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{5} - 10 x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2})$

= $(- 4 x^{5} - 10 x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 8)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 8)$

$f'(x) =$ $10 x \cdot \ln (x^{2} - 8) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 8} \cdot (2 x + 0)$

= $10 x \ln (x^{2} - 8) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 8} \cdot (2 x)$

= $10 x \ln (x^{2} - 8) + 5 x^{2} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 8}$

= $10 x \ln (x^{2} - 8) + 10 \frac{x^{2} \cdot x}{x^{2} - 8}$

= $10 x \ln (x^{2} - 8) + 10 \frac{x^{3}}{x^{2} - 8}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x + 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x + 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x + 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x + 10)$

= $(4 x + 10) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{x}$

f'(x) = $2 e^{x}$

f''(x) = $2 e^{x}$

f'''(x) = $2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x - 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,2 x - 11,4)$

= $(1,2 x - 11,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten