$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x}·3$

= $-6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x-5}-\frac{3}{4}\sqrt[4]{x}$

= $3e^{-2x-5}-\frac{3}{4}{x}^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $3e^{-2x-5}·\left(-2\right)-\frac{3}{16}{x}^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x-5}·\left(-2\right)-\frac{3}{16{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

= $-6e^{-2x-5}-\frac{3}{16{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^x}{x^2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^x·x^2-e^x·2x}{{\left(x^2\right)}^2}$

= $\frac{e^x{x}^2-2·e^{x}x}{{\left(x^2\right)}^2}$

= $\frac{x^2·e^x-2x·e^x}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{2x}·2$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\cos \left(x\right)+2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $3{\left(\cos \left(x\right)+2\right)}^2·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $3{\left(\cos \left(x\right)+2\right)}^2·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-3{\left(\cos \left(x\right)+2\right)}^2·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $3e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{2,7}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,7}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{2,43}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,43}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{2,187}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,187}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{1,9683}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{56}·3e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $\mathrm{0,0082167823498602}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,5}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{1,5}x-\mathrm{5,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,5}x-\mathrm{5,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$