$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{4}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{4}{e}^{2x}·2$

= $\frac{7}{2}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-4x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-4x+1}+x^3·e^{-4x+1}·\left(-4\right)$

= $3x^2·e^{-4x+1}+x^3·\left(-4e^{-4x+1}\right)$

= $3x^2·e^{-4x+1}-4x^3·e^{-4x+1}$

= $e^{-4x+1}·\left(-4x^3+3x^2\right)$

= $\left(-4x^3+3x^2\right)·e^{-4x+1}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{3x^2-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x^2-1}·6x$

= $-6·e^{3x^2-1}x$

= $-6x{e}^{3x^2-1}$

$\text{f(x)}=$ $2x·\ln \left(x^2-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2·\ln \left(x^2-3\right)+2x·\frac{1}{x^2-3}·\left(2x+0\right)$

= $2\ln \left(x^2-3\right)+2x·\frac{1}{x^2-3}·\left(2x\right)$

= $2\ln \left(x^2-3\right)+2x·2\frac{x}{x^2-3}$

= $2\ln \left(x^2-3\right)+4\frac{x·x}{x^2-3}$

= $2\ln \left(x^2-3\right)+4\frac{x^2}{x^2-3}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\cos \left(-2x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\cos \left(-2x+2\right)+x^2·(-\sin \left(-2x+2\right)·\left(-2+0\right))$

= $2x·\cos \left(-2x+2\right)+x^2·(-\sin \left(-2x+2\right)·\left(-2\right))$

= $2x·\cos \left(-2x+2\right)+x^2·2\cdot \sin \left(-2x+2\right)$

= $2x·\cos \left(-2x+2\right)+2x^2·\sin \left(-2x+2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^x$

f'(x) = $2e^x$

f''(x) = $2e^x$

f'''(x) = $2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+2$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+2$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{2,5}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}+2-\mathrm{2,5}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$