Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x + 2} + 7 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x + 2} + 7 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3) + 7 \cdot \cos (x)$

= $- 3 e^{- 3 x + 2} + 7 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} + 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} + 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} + 0) \cdot e^{2 x} + (- x^{4} + 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 x^{3} \cdot e^{2 x} + (- x^{4} + 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 (- x^{4} + 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{4} - 4 x^{3} + 2)$

= $(- 2 x^{4} - 4 x^{3} + 2) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $6 \cdot \ln (x) + 6 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $6 \ln (x) + 6 x \cdot \frac{1}{x}$

= $6 \ln (x) + 6$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (2 x) + (x + 7) \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $\cos (2 x) + (x + 7) \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $\cos (2 x) - 2 (x + 7) \cdot \sin (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,520875 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,520875 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,74900625 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${1,15}^{48} \cdot e^{1,15 x}$

= $819,40071197274 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 6$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 6$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $3 e^{- 0,2 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $3 e^{- 0,2 x} - 0,6 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,6 x + 6,6)$

= $(- 0,6 x + 6,6) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten