Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{1}{2} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{1}{2} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x - 4} + x^{5} \cdot e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x - 4} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x - 4}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x - 4} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x - 4}$

= $e^{3 x - 4} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{2} + e^{- 2 x} \cdot 2 x$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{- 2 x} x$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x - 5)$

$f'(x) =$ $6 x \cdot \ln (x - 5) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 5} \cdot (1 + 0)$

= $6 x \ln (x - 5) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 5} \cdot (1)$

= $6 x \ln (x - 5) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 5}$

= $6 x \ln (x - 5) + 3 \frac{x^{2}}{x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 5 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 5 x - 4)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (- 5 x - 4)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- 5 x - 4) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 5 x - 4) \cdot (- 5 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (- 5 x - 4) + \sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x - 4) \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 5 x - 4)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x - 4) \cdot (- 5)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 5 x - 4)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 5 \cdot \cos (- 5 x - 4))$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 5 x - 4)}{\sqrt{x}} - 5 \sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 78)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 7$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 7$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 7$

= $2 e^{- 0,7 x} + 7 - 1,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten