$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{6}{7}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{6}{7}{e}^{3x}·3$

= $\frac{18}{7}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x-3}-\frac{5}{x^4}-5\sqrt{x}$

= $e^{-2x-3}-5x^{-4}-5x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $e^{-2x-3}·\left(-2\right)+20x^{-5}-\frac{5}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x-3}·\left(-2\right)+\frac{20}{x^5}-\frac{5}{2\sqrt{x}}$

= $-2e^{-2x-3}+\frac{20}{x^5}-\frac{5}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-3x}+x^2·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+x^2·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3x^2·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\ln \left(x\right)+x^2·\frac{1}{x}·1$

= $2x\ln \left(x\right)+x^2·\frac{1}{x}$

= $2x\ln \left(x\right)+x$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(2x+2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-6{\left(2x+2\right)}^2·\left(2+0\right)$

= $-6{\left(2x+2\right)}^2·\left(2\right)$

= $-12{\left(2x+2\right)}^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+90\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,4}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,4}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$