Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 2} + x^{3} \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 2} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 2} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} - x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{4} - x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{4} - x^{3}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(12 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{4} - x^{3}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(12 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{4} - x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{4} + 2 x^{3} + (12 x^{3} - 3 x^{2}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{4} + 14 x^{3} - 3 x^{2})$

= $(- 6 x^{4} + 14 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $6 x \cdot \ln (x^{2} + 5) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 5} \cdot (2 x + 0)$

= $6 x \ln (x^{2} + 5) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 5} \cdot (2 x)$

= $6 x \ln (x^{2} + 5) + 3 x^{2} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 5}$

= $6 x \ln (x^{2} + 5) + 6 \frac{x^{2} \cdot x}{x^{2} + 5}$

= $6 x \ln (x^{2} + 5) + 6 \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{{(- 3 x - 2)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{{(- 3 x - 2)}^{3}}$

= ${(- 3 x - 2)}^{- 3}$

=> f'(x) = $- 3 {(- 3 x - 2)}^{- 4} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{{(- 3 x - 2)}^{4}} \cdot (- 3 + 0)$

= $- \frac{3}{{(- 3 x - 2)}^{4}} \cdot (- 3)$

= $\frac{9}{{(- 3 x - 2)}^{4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 0,9)}^{50} \cdot e^{- 0,9 x}$

= $0,0051537752073201 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 3$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 3$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 3 + 0,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten