$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{\frac{7}{8}x}·\frac{7}{8}$

= $\frac{49}{64}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)+e^{x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x\right)+e^{x+1}·1$

= $-3\cdot \cos \left(x\right)+e^{x+1}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{2x^3-1}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x^3-1}·6x^2$

= $12·e^{2x^3-1}{x}^2$

= $12x^2{e}^{2x^3-1}$

$\text{f(x)}=$ $7x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $7·\ln \left(x\right)+7x·\frac{1}{x}·1$

= $7\ln \left(x\right)+7x·\frac{1}{x}$

= $7\ln \left(x\right)+7$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{x+2}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{x+2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{x+2}+x^{\frac{1}{2}}·e^{x+2}·1$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{x+2}+\sqrt{x}·e^{x+2}·1$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{x+2}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·e^{x+2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-x}$

f'(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f'''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+6$

= $-3e^{-\mathrm{0,9}x}-3\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)+6$

= $-3e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{2,7}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+6$

= $-3e^{-\mathrm{0,9}x}+6+\mathrm{2,7}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$