Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x + 2} - 5 x^{5} - 9 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x + 2} - 5 x^{5} - 9 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $e^{- x + 2} \cdot (- 1) - 25 x^{4} - 9 \cdot \cos (x)$

= $- e^{- x + 2} - 25 x^{4} - 9 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{5} + e^{2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{2 x} x^{4}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $14 x \cdot \ln (x^{2} - 3) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 3} \cdot (2 x + 0)$

= $14 x \ln (x^{2} - 3) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 3} \cdot (2 x)$

= $14 x \ln (x^{2} - 3) + 7 x^{2} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 3}$

= $14 x \ln (x^{2} - 3) + 14 \frac{x^{2} \cdot x}{x^{2} - 3}$

= $14 x \ln (x^{2} - 3) + 14 \frac{x^{3}}{x^{2} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2 x^{2} + 5}$

= $3 {(2 x^{2} + 5)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 3 {(2 x^{2} + 5)}^{- 2} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{{(2 x^{2} + 5)}^{2}} \cdot (4 x + 0)$

= $- \frac{3}{{(2 x^{2} + 5)}^{2}} \cdot (4 x)$

= $- 12 \frac{x}{{(2 x^{2} + 5)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 90)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 6$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- e^{- 0,4 x} - (x + 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (0,4 x - 0,2)$

= $(0,4 x - 0,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten