Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{11}{8} e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{11}{8} e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{11}{8} e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{33}{40} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} - 5) \cdot e^{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} - 5) \cdot e^{- 2 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 0) \cdot e^{- 2 x + 5} + (- x^{3} - 5) \cdot e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 5} + (- x^{3} - 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 5})$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 5} - 2 (- x^{3} - 5) \cdot e^{- 2 x + 5}$

= $e^{- 2 x + 5} \cdot (2 x^{3} - 3 x^{2} + 10)$

= $(2 x^{3} - 3 x^{2} + 10) \cdot e^{- 2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $6 x \cdot \ln (x) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $6 x \ln (x) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $6 x \ln (x) + 3 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{3 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{3 x^{2} - 5}$

= ${(3 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(3 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x^{2} - 5}} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x^{2} - 5}} \cdot (6 x)$

= $3 \frac{x}{\sqrt{3 x^{2} - 5}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 66-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,857375 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,857375 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,81450625 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${0,95}^{66} \cdot e^{0,95 x}$

= $0,033865535638032 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 9$

= $- e^{- 0,8 x} - (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 9$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 9$

= $- e^{- 0,8 x} + 9 + 0,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten