Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{x + 3} + (3 x + 1) \cdot e^{x + 3} \cdot 1$

= $3 e^{x + 3} + (3 x + 1) \cdot e^{x + 3}$

= $e^{x + 3} \cdot (3 x + 4)$

= $(3 x + 4) \cdot e^{x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x \cdot \ln (x^{2} + 9)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x \cdot \ln (x^{2} + 9)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \ln (x^{2} + 9) + 2 x \cdot \frac{1}{x^{2} + 9} \cdot (2 x + 0)$

= $2 \ln (x^{2} + 9) + 2 x \cdot \frac{1}{x^{2} + 9} \cdot (2 x)$

= $2 \ln (x^{2} + 9) + 2 x \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 9}$

= $2 \ln (x^{2} + 9) + 4 \frac{x \cdot x}{x^{2} + 9}$

= $2 \ln (x^{2} + 9) + 4 \frac{x^{2}}{x^{2} + 9}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(- 3 x - 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(- 3 x - 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $15 {(- 3 x - 4)}^{4} \cdot (- 3 + 0)$

= $15 {(- 3 x - 4)}^{4} \cdot (- 3)$

= $- 45 {(- 3 x - 4)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${(- 1,1)}^{63} \cdot e^{- 1,1 x}$

= $- 405,26506222963 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x + 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,2 x + 0,8)$

= $(- 0,2 x + 0,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten