$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{3}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{x^3}-e^{3x+4}$

= $-5x^{-3}-e^{3x+4}$

=> f'(x) = $15x^{-4}-e^{3x+4}·3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{15}{x^4}-e^{3x+4}·3$

= $\frac{15}{x^4}-3e^{3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{-3x}}{2x^3-4x^2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(2x^3-4x^2\right)-e^{-3x}·\left(6x^2-8x\right)}{{\left(2x^3-4x^2\right)}^2}$

= $\frac{-3·e^{-3x}\left(2x^3-4x^2\right)-e^{-3x}\left(6x^2-8x\right)}{{\left(2x^3-4x^2\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $4x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·\ln \left(x\right)+4x·\frac{1}{x}·1$

= $4\ln \left(x\right)+4x·\frac{1}{x}$

= $4\ln \left(x\right)+4$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-2x}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-2x}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-2x}+\sqrt{x}·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x}}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-2e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{1,8}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,8}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{1,62}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,62}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{1,458}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,458}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{1,3122}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{45}·\left(-2e^{\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-\mathrm{0,017455927136175}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+5$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+5$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,8}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5$

= $-2e^{-\mathrm{0,4}x}+5+\mathrm{0,8}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$