Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{5}{12} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 3}$

$f'(x) =$ $(12 x^{3} + 10 x) \cdot e^{- 5 x - 3} + (3 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $(12 x^{3} + 10 x) \cdot e^{- 5 x - 3} + (3 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 3})$

= $(12 x^{3} + 10 x) \cdot e^{- 5 x - 3} - 5 (3 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 3}$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (- 15 x^{4} - 25 x^{2} + (12 x^{3} + 10 x))$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (- 15 x^{4} + 12 x^{3} - 25 x^{2} + 10 x)$

= $(- 15 x^{4} + 12 x^{3} - 25 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{e^{- 3 x}}{3 x^{4} - 4 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{e^{- 3 x}}{3 x^{4} - 4 x}$

$f'(x) =$ $\frac{e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (3 x^{4} - 4 x) - e^{- 3 x} \cdot (12 x^{3} - 4)}{{(3 x^{4} - 4 x)}^{2}}$

= $\frac{- 3 \cdot e^{- 3 x} (3 x^{4} - 4 x) - e^{- 3 x} (12 x^{3} - 4)}{{(3 x^{4} - 4 x)}^{2}}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \ln (x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \ln (x + 1)$

$f'(x) =$ $4 x \cdot \ln (x + 1) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 1} \cdot (1 + 0)$

= $4 x \ln (x + 1) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 1} \cdot (1)$

= $4 x \ln (x + 1) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 1}$

= $4 x \ln (x + 1) + 2 \frac{x^{2}}{x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{- 3 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{- 3 x^{2} - 2}$

= $2 {(- 3 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(- 3 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 6 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{- 3 x^{2} - 2}} \cdot (- 6 x + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{- 3 x^{2} - 2}} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \frac{x}{\sqrt{- 3 x^{2} - 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 5$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 5$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$

= $5 e^{- 0,8 x} - 5 - 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten