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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{2} + e^{2 x} \cdot 2 x$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{2 x} x$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} - 2} \cdot (- 6 x)$

= $12 \cdot e^{- 3 x^{2} - 2} x$

= $12 x e^{- 3 x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 7)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 7)$

$f'(x) =$ $8 x \cdot \ln (x^{2} - 7) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 7} \cdot (2 x + 0)$

= $8 x \ln (x^{2} - 7) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 7} \cdot (2 x)$

= $8 x \ln (x^{2} - 7) + 4 x^{2} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 7}$

= $8 x \ln (x^{2} - 7) + 8 \frac{x^{2} \cdot x}{x^{2} - 7}$

= $8 x \ln (x^{2} - 7) + 8 \frac{x^{3}}{x^{2} - 7}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 5) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 5) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{2} - 5) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 x \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{2} - 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $6 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (3 x^{2} - 5) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 6 x + 15)$

= $(- 9 x^{2} + 6 x + 15) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 2$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 2$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 2 + 0,3 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x}$