$\text{f(x)}=$ $-4+\frac{5}{4}{e}^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{4}{e}^{\frac{3}{4}x}·\frac{3}{4}$

= $\frac{15}{16}{e}^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-4x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-4x-5}+x^5·e^{-4x-5}·\left(-4\right)$

= $5x^4·e^{-4x-5}+x^5·\left(-4e^{-4x-5}\right)$

= $5x^4·e^{-4x-5}-4x^5·e^{-4x-5}$

= $e^{-4x-5}·\left(-4x^5+5x^4\right)$

= $\left(-4x^5+5x^4\right)·e^{-4x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{3x^2-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{3x^2-2}·6x$

= $-18·e^{3x^2-2}x$

= $-18x{e}^{3x^2-2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^2-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^2-5x}·\left(10x-5\right)$

= $\frac{10x-5}{5x^2-5x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-2x}+\left(x-5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $e^{-2x}+\left(x-5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $e^{-2x}-2\left(x-5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x+11\right)$

= $\left(-2x+11\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $e^x·\left(x+78\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,7}x}-3\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{2,1}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{2,1}x-\mathrm{15,6}\right)$

= $\left(\mathrm{2,1}x-\mathrm{15,6}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$