Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{7}{9} e^{\frac{5}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{7}{9} e^{\frac{5}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{9} e^{\frac{5}{3} x} \cdot \frac{5}{3}$

= $\frac{35}{27} e^{\frac{5}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 1} + x^{5} \cdot e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 1} + x^{5} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 1})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 1} - 4 x^{5} \cdot e^{- 4 x - 1}$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{x^{4}}{e^{x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{x^{4}}{e^{x}}$

$f'(x) =$ $\frac{4 x^{3} \cdot e^{x} - x^{4} \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}}$

= $\frac{4 x^{3} \cdot e^{x} - x^{4} \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}}$

= $\frac{- x^{4} \cdot e^{x} + 4 x^{3} \cdot e^{x}}{e^{2 x}}$

= $\frac{e^{x - 2 x} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})}{1}$

= $\frac{e^{- x} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})}{1}$

= $\frac{(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x}}{1}$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x - 3} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x - 3} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\cos (x) - 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\cos (x) - 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $6 (\cos (x) - 3) \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $6 (\cos (x) - 3) \cdot (- \sin (x))$

= $- 6 (\cos (x) - 3) \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 40-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,520875 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,520875 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,74900625 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${(- 1,15)}^{40} \cdot e^{- 1,15 x}$

= $267,8635462347 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 9$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 9$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$

= $e^{- 0,9 x} + 9 - 0,9 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten