Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x - 5) \cdot e^{4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x - 5) \cdot e^{4 x - 5}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{4 x - 5} + (5 x - 5) \cdot e^{4 x - 5} \cdot 4$

= $5 e^{4 x - 5} + (5 x - 5) \cdot 4 e^{4 x - 5}$

= $5 e^{4 x - 5} + 4 (5 x - 5) \cdot e^{4 x - 5}$

= $e^{4 x - 5} \cdot (20 x - 15)$

= $(20 x - 15) \cdot e^{4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $2 e^{2 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $7 \cdot \ln (x) + 7 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $7 \ln (x) + 7 x \cdot \frac{1}{x}$

= $7 \ln (x) + 7$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (3 x) + (x^{2} + 4) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + (x^{2} + 4) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + 3 (x^{2} + 4) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 5$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 5$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$

= $4 e^{- 0,8 x} - 5 - 3,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten