Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x + 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 5} + x^{4} \cdot e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 5} + x^{4} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 5})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 5} - 5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 5}$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \ln (x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \ln (x + 3)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x + 3) + x^{3} \cdot \frac{1}{x + 3} \cdot (1 + 0)$

= $3 x^{2} \ln (x + 3) + x^{3} \cdot \frac{1}{x + 3} \cdot (1)$

= $3 x^{2} \ln (x + 3) + x^{3} \cdot \frac{1}{x + 3}$

= $3 x^{2} \ln (x + 3) + \frac{x^{3}}{x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} - 7) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} - 7) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (x^{2} - 7) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{1,15 x}$

f'(x) = $3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,45 e^{1,15 x}$

f''(x) = $3,45 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,9675 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $3,9675 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $4,562625 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,562625 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,24701875 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${1,15}^{49} \cdot 3 e^{1,15 x}$

= $2 826,932456306 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x + 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2,5 x + 7,5)$

= $(2,5 x + 7,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten