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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x) + 2 e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x) + 2 e^{- 3 x - 2}$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (x) + 2 e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $3 \cdot \sin (x) - 6 e^{- 3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (4 x^{3} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (4 x^{3} - x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (4 x^{3} - x) + e^{3 x} \cdot (12 x^{2} - 1)$

= $3 \cdot e^{3 x} (4 x^{3} - x) + e^{3 x} (12 x^{2} - 1)$

= $e^{3 x} \cdot (12 x^{2} - 1 + (12 x^{3} - 3 x))$

= $e^{3 x} \cdot (12 x^{3} + 12 x^{2} - 3 x - 1)$

= $(12 x^{3} + 12 x^{2} - 3 x - 1) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $15 x^{2} \cdot \ln (x) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $15 x^{2} \ln (x) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $15 x^{2} \ln (x) + 5 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{x}$

f'(x) = $- 5 e^{x}$

f''(x) = $- 5 e^{x}$

f'''(x) = $- 5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $- 5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $3 e^{- 0,9 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $3 e^{- 0,9 x} - 2,7 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2,7 x - 13,2)$

= $(- 2,7 x - 13,2) \cdot e^{- 0,9 x}$