Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{3 x - 2}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} - 8 x) \cdot e^{3 x - 2} + (2 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{3 x - 2} \cdot 3$

= $(6 x^{2} - 8 x) \cdot e^{3 x - 2} + (2 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x - 2}$

= $(6 x^{2} - 8 x) \cdot e^{3 x - 2} + 3 (2 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{3 x - 2}$

= $e^{3 x - 2} \cdot (6 x^{3} - 12 x^{2} + (6 x^{2} - 8 x))$

= $e^{3 x - 2} \cdot (6 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x)$

= $(6 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x) \cdot e^{3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $15 x^{2} \cdot \ln (x) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $15 x^{2} \ln (x) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $15 x^{2} \ln (x) + 5 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\sin (x) - 5)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\sin (x) - 5)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(\sin (x) - 5)}^{4} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $- 10 {(\sin (x) - 5)}^{4} \cdot (\cos (x))$

= $- 10 {(\sin (x) - 5)}^{4} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,614125 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,614125 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,52200625 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${(- 0,85)}^{33} \cdot e^{- 0,85 x}$

= $- 0,0046862402361501 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 1$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 3 (x - 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 1$

= $- 3 e^{- 0,9 x} + 2,7 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 1 + 2,7 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten