Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} - 2 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} - 2 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x - 2) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{2} - 2 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 8 x - 2) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{2} - 2 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 8 x - 2) \cdot e^{3 x} + 3 (- 4 x^{2} - 2 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 8 x - 2 + (- 12 x^{2} - 6 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{2} - 14 x - 2)$

= $(- 12 x^{2} - 14 x - 2) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \ln (x) + 3 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $3 \ln (x) + 3 x \cdot \frac{1}{x}$

= $3 \ln (x) + 3$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(- 2 x^{3} + 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(- 2 x^{3} + 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $3 {(- 2 x^{3} + 3)}^{2} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $3 {(- 2 x^{3} + 3)}^{2} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 18 {(- 2 x^{3} + 3)}^{2} x^{2}$

= $- 18 {((- 2 x^{3} + 3) x)}^{2}$

= $- 18 {(x (- 2 x^{3} + 3))}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 3$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x - 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 3$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 3$

= $4 e^{- 0,5 x} - 3 - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten