$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{3x+5}+x^3·e^{3x+5}·3$

= $3x^2·e^{3x+5}+x^3·3e^{3x+5}$

= $3x^2·e^{3x+5}+3x^3·e^{3x+5}$

= $e^{3x+5}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{2x^3-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x^3-4}·6x^2$

= $-6·e^{2x^3-4}{x}^2$

= $-6x^2{e}^{2x^3-4}$

$\text{f(x)}=$ $7\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{x}·1$

= $\frac{7}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x}+x^4·e^{3x}·3$

= $4x^3·e^{3x}+x^4·3e^{3x}$

= $4x^3·e^{3x}+3x^4·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+93\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{2,5}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{2,5}x+\mathrm{17,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,5}x+\mathrm{17,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$