$\text{f(x)}=$ $-2-2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{3x}·3$

= $-6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x+1}-\frac{4}{x^4}-4\cdot \cos \left(x\right)$

= $-e^{-3x+1}-4x^{-4}-4\cdot \cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $-e^{-3x+1}·\left(-3\right)+16x^{-5}+4\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x+1}·\left(-3\right)+\frac{16}{x^5}+4\cdot \sin \left(x\right)$

= $3e^{-3x+1}+\frac{16}{x^5}+4\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $e^{x^2-5}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{x^2-5}·2x$

= $2·e^{x^2-5}x$

= $2x{e}^{x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{2x}·2$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-4\right)·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\cos \left(-3x\right)+\left(2x-4\right)·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $2\cdot \cos \left(-3x\right)+\left(2x-4\right)·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $2\cdot \cos \left(-3x\right)+3\left(2x-4\right)·\sin \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{5,25}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{5,25}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{5,5125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{5,5125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{5,788125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{5,788125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{6,07753125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{63}·\left(-5e^{-\mathrm{1,05}x}\right)$

= $\mathrm{108,11746285342}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+4$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+4$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{2,4}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}+4+\mathrm{2,4}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$