Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{4} e^{\frac{10}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{4} e^{\frac{10}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{4} e^{\frac{10}{9} x} \cdot \frac{10}{9}$

= $\frac{25}{18} e^{\frac{10}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 5} \cdot (- 2 x)$

= $4 \cdot e^{- x^{2} + 5} x$

= $4 x e^{- x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x - 4} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x - 4} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \cos (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (- 3 x) + (x^{2} - 5) \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $2 x \cdot \cos (- 3 x) + (x^{2} - 5) \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $2 x \cdot \cos (- 3 x) + 3 (x^{2} - 5) \cdot \sin (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 91)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 9$

= $e^{- 0,2 x} + (x - 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 9$

= $e^{- 0,2 x} - 0,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 9$

= $e^{- 0,2 x} + 9 - 0,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x}$