Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 2 e^{\frac{3}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 2 e^{\frac{3}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{3}{2} x} \cdot \frac{3}{2}$

= $3 e^{\frac{3}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} (- 5 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} (- 5 x + 4)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- 5 x + 4) + e^{- x} \cdot (- 5 + 0)$

= $- e^{- x} (- 5 x + 4) + e^{- x} \cdot (- 5)$

= $- e^{- x} (- 5 x + 4) - 5 e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (5 x - 9)$

= $(5 x - 9) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} + 3 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} + 3 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x} + (5 x^{3} + 3 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(15 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x} + (5 x^{3} + 3 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(15 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x} + 3 (5 x^{3} + 3 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{2} + 3 + (15 x^{3} + 9 x))$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{3} + 15 x^{2} + 9 x + 3)$

= $(15 x^{3} + 15 x^{2} + 9 x + 3) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x \cdot \ln (x^{2} - 7)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x \cdot \ln (x^{2} - 7)$

$f'(x) =$ $1 \cdot \ln (x^{2} - 7) + x \cdot \frac{1}{x^{2} - 7} \cdot (2 x + 0)$

= $\ln (x^{2} - 7) + x \cdot \frac{1}{x^{2} - 7} \cdot (2 x)$

= $\ln (x^{2} - 7) + x \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 7}$

= $\ln (x^{2} - 7) + 2 \frac{x \cdot x}{x^{2} - 7}$

= $\ln (x^{2} - 7) + 2 \frac{x^{2}}{x^{2} - 7}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{2 x} + \sqrt{x} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 e^{2 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 36-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,614125 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,614125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,52200625 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${0,85}^{36} \cdot e^{0,85 x}$

= $0,0028779372850257 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 4$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 4$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 4$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 4 + 3,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten