Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 2 e^{\frac{4}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 2 e^{\frac{4}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{4}{3} x} \cdot \frac{4}{3}$

= $- \frac{8}{3} e^{\frac{4}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x + 2} + 5 x^{2} - \frac{4}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x + 2} + 5 x^{2} - \frac{4}{x^{2}}$

= $- e^{- 3 x + 2} + 5 x^{2} - 4 x^{- 2}$

=> f'(x) = $- e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3) + 10 x + 8 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3) + 10 x + \frac{8}{x^{3}}$

= $3 e^{- 3 x + 2} + 10 x + \frac{8}{x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 15 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (5 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(25 x^{4} + 15 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (5 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(25 x^{4} + 15 x^{2}) \cdot e^{2 x} + 2 (5 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{5} + 10 x^{3} + (25 x^{4} + 15 x^{2}))$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{3} + 15 x^{2})$

= $(10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{3} + 15 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 9) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 9) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 9) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 27)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 27) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,3 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $3,3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 3,63 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 3,63 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,993 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,993 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 4,3923 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${(- 1,1)}^{54} \cdot (- 3 e^{- 1,1 x})$

= $- 515,61584310349 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 9$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x - 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 9$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 9$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 9 + 3,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten