Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x} \cdot 2$

= $4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x + 3} - \frac{1}{3 x^{3}} + 6 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x + 3} - \frac{1}{3 x^{3}} + 6 x^{5}$

= $- 3 e^{2 x + 3} - \frac{1}{3} x^{- 3} + 6 x^{5}$

=> f'(x) = $- 3 e^{2 x + 3} \cdot 2 + x^{- 4} + 30 x^{4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x + 3} \cdot 2 + \frac{1}{x^{4}} + 30 x^{4}$

= $- 6 e^{2 x + 3} + \frac{1}{x^{4}} + 30 x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(8 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{3 x} + (2 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(8 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{3 x} + (2 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(8 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{3 x} + 3 (2 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{4} - 6 x^{3} + (8 x^{3} - 6 x^{2}))$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2})$

= $(6 x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $18 x^{2} \cdot \ln (x) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $18 x^{2} \ln (x) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $18 x^{2} \ln (x) + 6 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (2 x) + (x^{2} - 4) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + (x^{2} - 4) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + 2 (x^{2} - 4) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${(- 0,9)}^{54} \cdot e^{- 0,9 x}$

= $0,0033813919135227 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 8$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 8$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 8$

= $2 e^{- 0,8 x} + 8 - 1,6 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten