Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x + 2} + x^{2} \cdot e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x + 2} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 2})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x + 2} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 2}$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x^{3} - 3} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \cdot e^{- 3 x^{3} - 3} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{- 3 x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $6 x^{2} \ln (x) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $6 x^{2} \ln (x) + 2 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 18)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 18) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,520875 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,520875 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,74900625 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${1,15}^{42} \cdot e^{1,15 x}$

= $354,24953989539 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 4$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x - 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 4$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$

= $3 e^{- 0,6 x} + 4 - 1,8 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten