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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (x) + 2 e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (x) + 2 e^{- 3 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (x) + 2 e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $2 \cdot \cos (x) - 6 e^{- 3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 2} \cdot (- 6 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 3 x^{2} - 2} x$

= $- 12 x e^{- 3 x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $15 x^{2} \cdot \ln (x) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $15 x^{2} \ln (x) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $15 x^{2} \ln (x) + 5 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{- 2 x - 4}$

= $- {(- 2 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(- 2 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x - 4}} \cdot (- 2 + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x - 4}} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{\sqrt{- 2 x - 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 31-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{1,15 x}$

f'(x) = $- 4 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 4,6 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 4,6 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 5,29 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 5,29 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 6,0835 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 6,0835 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 6,996025 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${1,15}^{31} \cdot (- 4 e^{1,15 x})$

= $- 304,57415100122 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3,2 x - 16,8)$

= $(3,2 x - 16,8) \cdot e^{- 0,8 x}$