Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x - 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{5} \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{5} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 2})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 2} - 4 x^{5} \cdot e^{- 4 x - 2}$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x^{2} + 4} \cdot 2 x$

= $- 4 \cdot e^{x^{2} + 4} x$

= $- 4 x e^{x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2}} \cdot (- 3 x^{2} + 6 x)$

= $\frac{- 3 x^{2} + 6 x}{- x^{3} + 3 x^{2}}$

= $\frac{3 \cdot 1 \cdot (- x + 2)}{x \cdot (- x + 3)}$

= $\frac{3 (- x + 2)}{x \cdot (- x + 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x^{3} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x^{3} - 3)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (x^{3} - 3) \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $2 \cdot \sin (x^{3} - 3) \cdot (3 x^{2})$

= $6 \sin (x^{3} - 3) x^{2}$

= $6 x^{2} \cdot \sin (x^{3} - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${(- 0,9)}^{61} \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 0,001617309269923 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 3$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $5 e^{- 0,7 x} + 5 (x - 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $5 e^{- 0,7 x} - 3,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3,5 x + 15,5)$

= $(- 3,5 x + 15,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten