$\text{f(x)}=$ $-2-2e^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{5}{7}x}·\frac{5}{7}$

= $-\frac{10}{7}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x+5}-\frac{3}{x^2}$

= $-2e^{3x+5}-3x^{-2}$

=> f'(x) = $-2e^{3x+5}·3+6x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x+5}·3+\frac{6}{x^3}$

= $-6e^{3x+5}+\frac{6}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·\left(-2x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·\left(-2x-2\right)+e^{3x}·\left(-2+0\right)$

= $3·e^{3x}\left(-2x-2\right)+e^{3x}·\left(-2\right)$

= $3·e^{3x}\left(-2x-2\right)-2e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(-6x-8\right)$

= $\left(-6x-8\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $7x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $14x·\ln \left(x\right)+7x^2·\frac{1}{x}·1$

= $14x\ln \left(x\right)+7x^2·\frac{1}{x}$

= $14x\ln \left(x\right)+7x$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2-4\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(3x^2-4\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $6x·\sin \left(x^3\right)+\left(3x^2-4\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $6x·\sin \left(x^3\right)+3\left(3x^2-4\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+79\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-x-3\right)$

= $\left(-x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$