Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{5}{7} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{5}{7} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{15}{7} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} - 2 x) \cdot e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} - 2 x) \cdot e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} - 2) \cdot e^{- x + 1} + (- x^{5} - 2 x) \cdot e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $(- 5 x^{4} - 2) \cdot e^{- x + 1} + (- x^{5} - 2 x) \cdot (- e^{- x + 1})$

= $(- 5 x^{4} - 2) \cdot e^{- x + 1} - (- x^{5} - 2 x) \cdot e^{- x + 1}$

= $e^{- x + 1} \cdot (- 5 x^{4} - 2 + (x^{5} + 2 x))$

= $e^{- x + 1} \cdot (x^{5} - 5 x^{4} + 2 x - 2)$

= $(x^{5} - 5 x^{4} + 2 x - 2) \cdot e^{- x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} + 10 x) \cdot e^{- x} + (- 5 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(- 20 x^{3} + 10 x) \cdot e^{- x} + (- 5 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot (- e^{- x})$

= $(- 20 x^{3} + 10 x) \cdot e^{- x} - (- 5 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (5 x^{4} - 5 x^{2} + (- 20 x^{3} + 10 x))$

= $e^{- x} \cdot (5 x^{4} - 20 x^{3} - 5 x^{2} + 10 x)$

= $(5 x^{4} - 20 x^{3} - 5 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 2 x} \cdot (8 x - 2)$

= $\frac{8 x - 2}{4 x^{2} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 8) \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 8) \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (- 2 x) + (x - 8) \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $\cos (- 2 x) + (x - 8) \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $\cos (- 2 x) + 2 (x - 8) \cdot \sin (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- x}$

f'(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f'''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- e^{- 0,9 x} - (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (0,9 x + 3,5)$

= $(0,9 x + 3,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten