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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7} e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{36}{49} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{2} + e^{- x} \cdot 2 x$

= $- e^{- x} x^{2} + 2 \cdot e^{- x} x$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $- e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $e^{- x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $12 x^{2} \cdot \ln (x) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $12 x^{2} \ln (x) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $12 x^{2} \ln (x) + 4 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{1,05 x}$

f'(x) = $- 2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 2,1 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 2,1 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 2,205 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 2,205 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 2,31525 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,31525 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 2,4310125 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${1,05}^{65} \cdot (- 2 e^{1,05 x})$

= $- 47,679801118359 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} - x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 1$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x - 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 1$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$

= $4 e^{- 0,9 x} - 1 - 3,6 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x}$