$\text{f(x)}=$ $-e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x}·\left(-1\right)$

= $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x+2}+\frac{3}{2x^2}$

= $e^{-2x+2}+\frac{3}{2}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $e^{-2x+2}·\left(-2\right)-3x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x+2}·\left(-2\right)-\frac{3}{x^3}$

= $-2e^{-2x+2}-\frac{3}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^3+2\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(15x^2+0\right)·e^{2x}+\left(5x^3+2\right)·e^{2x}·2$

= $15x^2·e^{2x}+\left(5x^3+2\right)·2e^{2x}$

= $15x^2·e^{2x}+2\left(5x^3+2\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(10x^3+15x^2+4\right)$

= $\left(10x^3+15x^2+4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $6x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6·\ln \left(x\right)+6x·\frac{1}{x}·1$

= $6\ln \left(x\right)+6x·\frac{1}{x}$

= $6\ln \left(x\right)+6$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(e^{-2x}+4\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-4{\left(e^{-2x}+4\right)}^3·(e^{-2x}·\left(-2\right)+0)$

= $-4{\left(e^{-2x}+4\right)}^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $8{\left(e^{-2x}+4\right)}^3·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $3e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{2,7}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,7}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{2,43}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,43}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{2,187}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,187}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{1,9683}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{60}·3e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $\mathrm{0,0053910308997433}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-9$

= $4e^{-\mathrm{0,1}x}+4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-9$

= $4e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,4}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-9$

= $4e^{-\mathrm{0,1}x}-9-\mathrm{0,4}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$