$\text{f(x)}=$ $3+\frac{5}{7}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{7}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{5}{7}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x-5}+x^2·e^{-2x-5}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x-5}+x^2·\left(-2e^{-2x-5}\right)$

= $2x·e^{-2x-5}-2x^2·e^{-2x-5}$

= $e^{-2x-5}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^5-3x\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(25x^4-3\right)·e^{2x}+\left(5x^5-3x\right)·e^{2x}·2$

= $\left(25x^4-3\right)·e^{2x}+\left(5x^5-3x\right)·2e^{2x}$

= $\left(25x^4-3\right)·e^{2x}+2\left(5x^5-3x\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·(25x^4-3+\left(10x^5-6x\right))$

= $e^{2x}·\left(10x^5+25x^4-6x-3\right)$

= $\left(10x^5+25x^4-6x-3\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $6x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6·\ln \left(x\right)+6x·\frac{1}{x}·1$

= $6\ln \left(x\right)+6x·\frac{1}{x}$

= $6\ln \left(x\right)+6$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-2\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2-2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2-2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2-2\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x+4\right)$

= $\left(-2x^2+2x+4\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,81}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,729}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{0,6561}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{47}·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $-\mathrm{0,0070696504901511}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+6$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}-4\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+6$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,2}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+6$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}+6+\mathrm{1,2}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$