Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{10}{7} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} + 3) \cdot e^{4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} + 3) \cdot e^{4 x + 1}$

$f'(x) =$ $(8 x + 0) \cdot e^{4 x + 1} + (4 x^{2} + 3) \cdot e^{4 x + 1} \cdot 4$

= $8 x \cdot e^{4 x + 1} + (4 x^{2} + 3) \cdot 4 e^{4 x + 1}$

= $8 x \cdot e^{4 x + 1} + 4 (4 x^{2} + 3) \cdot e^{4 x + 1}$

= $e^{4 x + 1} \cdot (16 x^{2} + 8 x + 12)$

= $(16 x^{2} + 8 x + 12) \cdot e^{4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (x^{3} + 3 x) + e^{2 x} \cdot (3 x^{2} + 3)$

= $2 \cdot e^{2 x} (x^{3} + 3 x) + e^{2 x} (3 x^{2} + 3)$

= $e^{2 x} \cdot (3 x^{2} + 3 + (2 x^{3} + 6 x))$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 3)$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 3) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} + 5 x} \cdot (- 4 x + 5)$

= $\frac{- 4 x + 5}{- 2 x^{2} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{2 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{2 x^{3} - 1}$

= $- 2 {(2 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- {(2 x^{3} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{2 x^{3} - 1}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $- \frac{1}{\sqrt{2 x^{3} - 1}} \cdot (6 x^{2})$

= $- 6 \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x^{3} - 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,614125 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,614125 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,52200625 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${(- 0,85)}^{42} \cdot e^{- 0,85 x}$

= $0,0010854126530466 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 2$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 2$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 2 + 1,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten