$\text{f(x)}=$ $2e^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{\frac{7}{8}x}·\frac{7}{8}$

= $\frac{7}{4}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^2}-x^2+e^{-2x+1}$

= $-2x^{-2}-x^2+e^{-2x+1}$

=> f'(x) = $4x^{-3}-2x+e^{-2x+1}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{x^3}-2x+e^{-2x+1}·\left(-2\right)$

= $\frac{4}{x^3}-2x-2e^{-2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x+1}·\left(-1\right)$

= $3e^{-x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x+5}·\left(-4+0\right)$

= $\frac{1}{-4x+5}·\left(-4\right)$

= $-\frac{4}{-4x+5}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(2x^3-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(2x^3-2\right)·\left(6x^2+0\right)$

= $2\cdot \cos \left(2x^3-2\right)·\left(6x^2\right)$

= $12\cos \left(2x^3-2\right)x^2$

= $12x^2·\cos \left(2x^3-2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-1$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}+5\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-1$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-1$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}-1-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$