$\text{f(x)}=$ $2+2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-4x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-4x-4}+x^5·e^{-4x-4}·\left(-4\right)$

= $5x^4·e^{-4x-4}+x^5·\left(-4e^{-4x-4}\right)$

= $5x^4·e^{-4x-4}-4x^5·e^{-4x-4}$

= $e^{-4x-4}·\left(-4x^5+5x^4\right)$

= $\left(-4x^5+5x^4\right)·e^{-4x-4}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x+4}·\left(-1\right)$

= $-2e^{-x+4}$

$\text{f(x)}=$ $5x^3·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $15x^2·\ln \left(x\right)+5x^3·\frac{1}{x}·1$

= $15x^2\ln \left(x\right)+5x^3·\frac{1}{x}$

= $15x^2\ln \left(x\right)+5x^2$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\sin \left(-x-5\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\sin \left(-x-5\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(-x-5\right)+x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(-x-5\right)·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\sin \left(-x-5\right)+\sqrt{x}·\cos \left(-x-5\right)·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(-x-5\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\cos \left(-x-5\right)·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(-x-5\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-\cos \left(-x-5\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(-x-5\right)}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}·\cos \left(-x-5\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $3e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{2,7}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,7}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{2,43}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,43}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{2,187}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,187}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{1,9683}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{65}·3e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $-\mathrm{0,0031833498359894}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,9}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{5,7}\right)$

= $\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{5,7}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$