$\text{f(x)}=$ $-3e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^3+e^{3x}·3x^2$

= $3·e^{3x}{x}^3+3·e^{3x}{x}^2$

= $e^{3x}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-5x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-5x-5}+x^3·e^{-5x-5}·\left(-5\right)$

= $3x^2·e^{-5x-5}+x^3·\left(-5e^{-5x-5}\right)$

= $3x^2·e^{-5x-5}-5x^3·e^{-5x-5}$

= $e^{-5x-5}·\left(-5x^3+3x^2\right)$

= $\left(-5x^3+3x^2\right)·e^{-5x-5}$

$\text{f(x)}=$ $3x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6x·\ln \left(x\right)+3x^2·\frac{1}{x}·1$

= $6x\ln \left(x\right)+3x^2·\frac{1}{x}$

= $6x\ln \left(x\right)+3x$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(e^{-2x}+1\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-3{\left(e^{-2x}+1\right)}^2·(e^{-2x}·\left(-2\right)+0)$

= $-3{\left(e^{-2x}+1\right)}^2·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $6{\left(e^{-2x}+1\right)}^2·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-x}$

f'(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+8$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+8$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,6}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+8$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}+8-\mathrm{1,6}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$