$\text{f(x)}=$ $2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x}·2$

= $4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x-5}-\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x-5}·\left(-3\right)+\sin \left(x\right)$

= $-9e^{-3x-5}+\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^3-3x\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-3x^2-3\right)·e^{-x}+\left(-x^3-3x\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $\left(-3x^2-3\right)·e^{-x}+\left(-x^3-3x\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $\left(-3x^2-3\right)·e^{-x}-\left(-x^3-3x\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·(-3x^2-3+\left(x^3+3x\right))$

= $e^{-x}·\left(x^3-3x^2+3x-3\right)$

= $\left(x^3-3x^2+3x-3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $4x·\ln \left(x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·\ln \left(x-1\right)+4x·\frac{1}{x-1}·\left(1+0\right)$

= $4\ln \left(x-1\right)+4x·\frac{1}{x-1}·\left(1\right)$

= $4\ln \left(x-1\right)+4x·\frac{1}{x-1}$

= $4\ln \left(x-1\right)+4\frac{x}{x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+9\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{3x}+\left(x^2+9\right)·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+\left(x^2+9\right)·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3\left(x^2+9\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x+27\right)$

= $\left(3x^2+2x+27\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-2e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{1,9}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,9}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{1,805}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,805}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{1,71475}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,71475}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{1,6290125}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{66}·\left(-2e^{-\mathrm{0,95}x}\right)$

= $-\mathrm{0,067731071276064}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}-2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{1,8}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{1,8}x+\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(\mathrm{1,8}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$