$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{9}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{9}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{7}{3}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{2}\cdot \sin \left(x\right)+4\cdot \cos \left(x\right)+e^{-x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{2}\cdot \cos \left(x\right)-4\cdot \sin \left(x\right)+e^{-x+2}·\left(-1\right)$

= $-\frac{5}{2}\cdot \cos \left(x\right)-4\cdot \sin \left(x\right)-e^{-x+2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^2+e^{-x}·2x$

= $-e^{-x}{x}^2+2·e^{-x}x$

= $e^{-x}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $5x^2·\ln \left(x-8\right)$

$\text{f'(x)}=$ $10x·\ln \left(x-8\right)+5x^2·\frac{1}{x-8}·\left(1+0\right)$

= $10x\ln \left(x-8\right)+5x^2·\frac{1}{x-8}·\left(1\right)$

= $10x\ln \left(x-8\right)+5x^2·\frac{1}{x-8}$

= $10x\ln \left(x-8\right)+5\frac{x^2}{x-8}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}·\sin \left(x^3\right)$

= $x^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(x^3\right)$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}·\sin \left(x^3\right)+x^{-\frac{1}{2}}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2{\left(\sqrt{x}\right)}^3}·\sin \left(x^3\right)+\frac{1}{\sqrt{x}}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $-\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+\frac{1}{\sqrt{x}}·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $-\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}+3\cos \left(x^3\right){\left(\sqrt{x}\right)}^3$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,857375}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,857375}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,81450625}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{71}·e^{\mathrm{0,95}x}$

= $\mathrm{0,026204505914936}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-3$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}+5\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-3$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}-3-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$