$\text{f(x)}=$ $-3e^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $-\frac{18}{7}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-3x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-3x+2}+x^2·e^{-3x+2}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x+2}+x^2·\left(-3e^{-3x+2}\right)$

= $2x·e^{-3x+2}-3x^2·e^{-3x+2}$

= $e^{-3x+2}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x+2}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x-2}+x^5·e^{-2x-2}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x-2}+x^5·\left(-2e^{-2x-2}\right)$

= $5x^4·e^{-2x-2}-2x^5·e^{-2x-2}$

= $e^{-2x-2}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $3x·\ln \left(x^2-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3·\ln \left(x^2-1\right)+3x·\frac{1}{x^2-1}·\left(2x+0\right)$

= $3\ln \left(x^2-1\right)+3x·\frac{1}{x^2-1}·\left(2x\right)$

= $3\ln \left(x^2-1\right)+3x·2\frac{x}{x^2-1}$

= $3\ln \left(x^2-1\right)+6\frac{x·x}{x^2-1}$

= $3\ln \left(x^2-1\right)+6\frac{x^2}{x^2-1}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\sin \left(-x-4\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\sin \left(-x-4\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(-x-4\right)+x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(-x-4\right)·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\sin \left(-x-4\right)+\sqrt{x}·\cos \left(-x-4\right)·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(-x-4\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\cos \left(-x-4\right)·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(-x-4\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-\cos \left(-x-4\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(-x-4\right)}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}·\cos \left(-x-4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+83\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+1$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+1$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{0,5}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}+1+\mathrm{0,5}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$