Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 3 e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 3 e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $- \frac{3}{2} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} - x) \cdot e^{4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} - x) \cdot e^{4 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 8 x - 1) \cdot e^{4 x + 4} + (- 4 x^{2} - x) \cdot e^{4 x + 4} \cdot 4$

= $(- 8 x - 1) \cdot e^{4 x + 4} + (- 4 x^{2} - x) \cdot 4 e^{4 x + 4}$

= $(- 8 x - 1) \cdot e^{4 x + 4} + 4 (- 4 x^{2} - x) \cdot e^{4 x + 4}$

= $e^{4 x + 4} \cdot (- 8 x - 1 + (- 16 x^{2} - 4 x))$

= $e^{4 x + 4} \cdot (- 16 x^{2} - 12 x - 1)$

= $(- 16 x^{2} - 12 x - 1) \cdot e^{4 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x^{2} + 2} \cdot 6 x$

= $12 \cdot e^{3 x^{2} + 2} x$

= $12 x e^{3 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $15 x^{2} \cdot \ln (x) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $15 x^{2} \ln (x) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $15 x^{2} \ln (x) + 5 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{2 x} + 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{2 x} + 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 {(e^{2 x} + 2)}^{3} \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $- 12 {(e^{2 x} + 2)}^{3} \cdot (2 e^{2 x})$

= $- 24 {(e^{2 x} + 2)}^{3} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x - 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,9 x - 9,3)$

= $(0,9 x - 9,3) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten