$\text{f(x)}=$ $-3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{2x-1}-\frac{3}{2}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x-1}·2-\frac{9}{2}{x}^2$

= $4e^{2x-1}-\frac{9}{2}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^4+e^{-x}·4x^3$

= $-e^{-x}{x}^4+4·e^{-x}{x}^3$

= $e^{-x}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $2x^3·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6x^2·\ln \left(x\right)+2x^3·\frac{1}{x}·1$

= $6x^2\ln \left(x\right)+2x^3·\frac{1}{x}$

= $6x^2\ln \left(x\right)+2x^2$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+3\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(2x+3\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(2x+3\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(2x+3\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-x}$

f'(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f'''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $-5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-8$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-8$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-8$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-8+\mathrm{0,8}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$