Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{5}{2} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x - 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 5} + x^{5} \cdot e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 5} + x^{5} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 5})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 5} - 4 x^{5} \cdot e^{- 4 x - 5}$

= $e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} - x^{2}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} - x^{2}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} - 2 x) \cdot e^{2 x} + (- x^{3} - x^{2}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 3 x^{2} - 2 x) \cdot e^{2 x} + (- x^{3} - x^{2}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 3 x^{2} - 2 x) \cdot e^{2 x} + 2 (- x^{3} - x^{2}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{3} - 2 x^{2} + (- 3 x^{2} - 2 x))$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x)$

= $(- 2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $12 x^{2} \cdot \ln (x) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $12 x^{2} \ln (x) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $12 x^{2} \ln (x) + 4 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x - 2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x - 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x - 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 3 x - 2} + \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x - 2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 2})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x - 2}}{\sqrt{x}} - 3 \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x - 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 91)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x + 9)$

= $(- 1,4 x + 9) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten