$\text{f(x)}=$ $3-e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{2x}·2$

= $-2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^5+5x^4\right)·e^{3x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(5x^4+20x^3\right)·e^{3x+2}+\left(x^5+5x^4\right)·e^{3x+2}·3$

= $\left(5x^4+20x^3\right)·e^{3x+2}+\left(x^5+5x^4\right)·3e^{3x+2}$

= $\left(5x^4+20x^3\right)·e^{3x+2}+3\left(x^5+5x^4\right)·e^{3x+2}$

= $e^{3x+2}·(3x^5+15x^4+\left(5x^4+20x^3\right))$

= $e^{3x+2}·\left(3x^5+20x^4+20x^3\right)$

= $\left(3x^5+20x^4+20x^3\right)·e^{3x+2}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x}+x^3·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x}+x^3·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3x^2·e^{-3x}-3x^3·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $4x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $8x·\ln \left(x\right)+4x^2·\frac{1}{x}·1$

= $8x\ln \left(x\right)+4x^2·\frac{1}{x}$

= $8x\ln \left(x\right)+4x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-8\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2-8\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2-8\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3\left(x^2-8\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^x$

f'(x) = $3e^x$

f''(x) = $3e^x$

f'''(x) = $3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-2$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-2$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,2}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}-2-\mathrm{1,2}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$