Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{3}{5} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{3}{5} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{5} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{9}{5} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (x) - e^{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (x) - e^{3 x - 1}$

$f'(x) =$ $\sin (x) - e^{3 x - 1} \cdot 3$

= $\sin (x) - 3 e^{3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x + 9)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x + 9)$

$f'(x) =$ $6 x \cdot \ln (x + 9) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 9} \cdot (1 + 0)$

= $6 x \ln (x + 9) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 9} \cdot (1)$

= $6 x \ln (x + 9) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 9}$

= $6 x \ln (x + 9) + 3 \frac{x^{2}}{x + 9}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(- x^{2} - 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(- x^{2} - 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(- x^{2} - 1)}^{2} \cdot (- 2 x + 0)$

= $- 3 {(- x^{2} - 1)}^{2} \cdot (- 2 x)$

= $6 {(- x^{2} - 1)}^{2} x$

= $6 x {(- x^{2} - 1)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${0,9}^{45} \cdot e^{0,9 x}$

= $0,0087279635680877 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 9$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 9$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$

= $4 e^{- 0,8 x} - 9 - 3,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten