Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} - 10 x) \cdot e^{5 x - 2} + (3 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $(9 x^{2} - 10 x) \cdot e^{5 x - 2} + (3 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $(9 x^{2} - 10 x) \cdot e^{5 x - 2} + 5 (3 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (15 x^{3} - 25 x^{2} + (9 x^{2} - 10 x))$

= $e^{5 x - 2} \cdot (15 x^{3} - 16 x^{2} - 10 x)$

= $(15 x^{3} - 16 x^{2} - 10 x) \cdot e^{5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{- 4 x^{5} + 4 x^{4}}{e^{x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{- 4 x^{5} + 4 x^{4}}{e^{x}}$

$f'(x) =$ $\frac{(- 20 x^{4} + 16 x^{3}) \cdot e^{x} - (- 4 x^{5} + 4 x^{4}) \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}}$

= $\frac{- (- 4 x^{5} + 4 x^{4}) \cdot e^{x} + (- 20 x^{4} + 16 x^{3}) \cdot e^{x}}{e^{2 x}}$

= $\frac{e^{x - 2 x} \cdot (- 4 x^{4} (- x + 1) + 4 x^{3} (- 5 x + 4))}{1}$

= $\frac{e^{- x} \cdot (- 4 x^{4} (- x + 1) + 4 x^{3} (- 5 x + 4))}{1}$

= $\frac{(- 4 x^{4} (- x + 1) + 4 x^{3} (- 5 x + 4)) \cdot e^{- x}}{1}$

= $(- 4 x^{4} \cdot (- x + 1) + 4 x^{3} \cdot (- 5 x + 4)) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $6 x \cdot \ln (x) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $6 x \ln (x) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $6 x \ln (x) + 3 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x - 6) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x - 6) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x - 6) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x - 10)$

= $(4 x - 10) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 90)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 9$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x + 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 9$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 9 + 3,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten