Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x - 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x - 2} + x^{3} \cdot e^{x - 2} \cdot 1$

= $3 x^{2} \cdot e^{x - 2} + x^{3} \cdot e^{x - 2}$

= $e^{x - 2} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{5} + e^{- 2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{- 2 x} x^{4}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x - 9)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x - 9)$

$f'(x) =$ $10 x \cdot \ln (x - 9) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 9} \cdot (1 + 0)$

= $10 x \ln (x - 9) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 9} \cdot (1)$

= $10 x \ln (x - 9) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 9}$

= $10 x \ln (x - 9) + 5 \frac{x^{2}}{x - 9}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(e^{x} + 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(e^{x} + 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $10 {(e^{x} + 2)}^{4} \cdot (e^{x} + 0)$

= $10 {(e^{x} + 2)}^{4} \cdot (e^{x})$

= $10 {(e^{x} + 2)}^{4} \cdot e^{x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{1,1 x}$

f'(x) = $- 5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 5,5 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 5,5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 6,05 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 6,05 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 6,655 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 6,655 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 7,3205 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${1,1}^{54} \cdot (- 5 e^{1,1 x})$

= $- 859,35973850581 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 3$

= $5 e^{- 0,1 x} + 5 (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 3$

= $5 e^{- 0,1 x} - 0,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$

= $5 e^{- 0,1 x} - 3 - 0,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten