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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x - 5) \cdot e^{- 5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x - 5) \cdot e^{- 5 x + 1}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{- 5 x + 1} + (4 x - 5) \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $4 e^{- 5 x + 1} + (4 x - 5) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 1})$

= $4 e^{- 5 x + 1} - 5 (4 x - 5) \cdot e^{- 5 x + 1}$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (- 20 x + 29)$

= $(- 20 x + 29) \cdot e^{- 5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} - 4} \cdot (- 6 x^{2})$

= $18 \cdot e^{- 2 x^{3} - 4} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} + 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} + 5 x^{2}} \cdot (- 6 x^{2} + 10 x)$

= $\frac{- 6 x^{2} + 10 x}{- 2 x^{3} + 5 x^{2}}$

= $\frac{2 \cdot 1 \cdot (- 3 x + 5)}{x \cdot (- 2 x + 5)}$

= $\frac{2 (- 3 x + 5)}{x \cdot (- 2 x + 5)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (- 2 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (- 2 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\cos (- 2 x^{2} - 5) \cdot (- 4 x + 0)$

= $\cos (- 2 x^{2} - 5) \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \cos (- 2 x^{2} - 5) x$

= $- 4 x \cdot \cos (- 2 x^{2} - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 7$

= $e^{- 0,5 x} + (x - 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 7$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 7$

= $e^{- 0,5 x} - 7 - 0,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$