Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{x^{3}} - 3 e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{x^{3}} - 3 e^{- 3 x - 3}$

= $3 x^{- 3} - 3 e^{- 3 x - 3}$

=> f'(x) = $- 9 x^{- 4} - 3 e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $- \frac{9}{x^{4}} - 3 e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $- \frac{9}{x^{4}} + 9 e^{- 3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x + 3}$

$f'(x) =$ $e^{2 x + 3} \cdot 2$

= $2 e^{2 x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $12 x \cdot \ln (x^{2} + 1) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + 0)$

= $12 x \ln (x^{2} + 1) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x)$

= $12 x \ln (x^{2} + 1) + 6 x^{2} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 1}$

= $12 x \ln (x^{2} + 1) + 12 \frac{x^{2} \cdot x}{x^{2} + 1}$

= $12 x \ln (x^{2} + 1) + 12 \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 3) \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 3) \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (2 x) + (2 x + 3) \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $2 \cdot \cos (2 x) + (2 x + 3) \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $2 \cdot \cos (2 x) - 2 (2 x + 3) \cdot \sin (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 4$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 4$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 4 + 0,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten