Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} + 8 x) \cdot e^{x} + (- 3 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{2} + (- 12 x^{3} + 8 x))$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{4} - 12 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x)$

= $(- 3 x^{4} - 12 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{e^{2 x}}{- x^{5} + 4 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{e^{2 x}}{- x^{5} + 4 x^{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- x^{5} + 4 x^{2}) - e^{2 x} \cdot (- 5 x^{4} + 8 x)}{{(- x^{5} + 4 x^{2})}^{2}}$

= $\frac{2 \cdot e^{2 x} (- x^{5} + 4 x^{2}) - e^{2 x} (- 5 x^{4} + 8 x)}{{(- x^{5} + 4 x^{2})}^{2}}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $18 x^{2} \cdot \ln (x) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $18 x^{2} \ln (x) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $18 x^{2} \ln (x) + 6 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $6 x \cdot e^{3 x} + (3 x^{2} + 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $6 x \cdot e^{3 x} + 3 (3 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{2} + 6 x + 9)$

= $(9 x^{2} + 6 x + 9) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 59-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${(- 0,9)}^{59} \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 0,001996678111016 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 2 e^{- 0,4 x} - 2 (x - 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 2 e^{- 0,4 x} + 0,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (0,8 x - 3,6)$

= $(0,8 x - 3,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten