$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{7}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{7}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x-5}+x^2·e^{-2x-5}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x-5}+x^2·\left(-2e^{-2x-5}\right)$

= $2x·e^{-2x-5}-2x^2·e^{-2x-5}$

= $e^{-2x-5}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{3x^3-4}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x^3-4}·9x^2$

= $27·e^{3x^3-4}{x}^2$

= $27x^2{e}^{3x^3-4}$

$\text{f(x)}=$ $5x^2·\ln \left(x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $10x·\ln \left(x-2\right)+5x^2·\frac{1}{x-2}·\left(1+0\right)$

= $10x\ln \left(x-2\right)+5x^2·\frac{1}{x-2}·\left(1\right)$

= $10x\ln \left(x-2\right)+5x^2·\frac{1}{x-2}$

= $10x\ln \left(x-2\right)+5\frac{x^2}{x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·e^{-3x}$

= $x^{\frac{1}{4}}·e^{-3x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·e^{-3x}+x^{\frac{1}{4}}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·e^{-3x}+\sqrt[4]{x}·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{e^{-3x}}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{e^{-3x}}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-3\sqrt[4]{x}·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^x·\left(x+90\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+8$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,4}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$