Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x - 4} - 2 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x - 4} - 2 \sqrt{x}$

= $e^{3 x - 4} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $e^{3 x - 4} \cdot 3 - x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $e^{3 x - 4} \cdot 3 - \frac{1}{\sqrt{x}}$

= $3 e^{3 x - 4} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \ln (x - 8)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \ln (x - 8)$

$f'(x) =$ $4 x \cdot \ln (x - 8) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 8} \cdot (1 + 0)$

= $4 x \ln (x - 8) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 8} \cdot (1)$

= $4 x \ln (x - 8) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 8}$

= $4 x \ln (x - 8) + 2 \frac{x^{2}}{x - 8}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 5) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 5) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x + 5) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 5 e^{- 0,4 x} - 5 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 5 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 x + 5)$

= $(2 x + 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten