$\text{f(x)}=$ $1-2e^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $-\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{x+2}+x^3·e^{x+2}·1$

= $3x^2·e^{x+2}+x^3·e^{x+2}$

= $e^{x+2}·\left(x^3+3x^2\right)$

= $\left(x^3+3x^2\right)·e^{x+2}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x}+x^4·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x}+x^4·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $4x^3·e^{-3x}-3x^4·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x-2}·\left(-5+0\right)$

= $\frac{1}{-5x-2}·\left(-5\right)$

= $-\frac{5}{-5x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+6\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+6\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+6\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+6\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-12\right)$

= $\left(-2x^2+2x-12\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^x$

f'(x) = $2e^x$

f''(x) = $2e^x$

f'''(x) = $2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,9}x}-\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{0,9}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{4,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,9}x-\mathrm{4,6}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$