Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{5}{3} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 2} + x^{5} \cdot e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 2} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x + 2}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 2} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x + 2}$

= $e^{3 x + 2} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{x^{2} - 5}{e^{- 2 x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{x^{2} - 5}{e^{- 2 x}}$

$f'(x) =$ $\frac{(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} - (x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)}{{(e^{- 2 x})}^{2}}$

= $\frac{2 x \cdot e^{- 2 x} - (x^{2} - 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})}{{(e^{- 2 x})}^{2}}$

= $\frac{2 x \cdot e^{- 2 x} + 2 (x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x}}{{(e^{- 2 x})}^{2}}$

= $\frac{2 (x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x} + 2 x \cdot e^{- 2 x}}{e^{- 4 x}}$

= $\frac{2 \cdot e^{- 2 x + 4 x} \cdot (x^{2} + x - 5)}{1}$

= $\frac{2 \cdot e^{2 x} \cdot (x^{2} + x - 5)}{1}$

= $\frac{2 (x^{2} + x - 5) \cdot e^{2 x}}{1}$

= $2 (x^{2} + x - 5) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (x^{2} + 3) \cdot (2 x + 0)$

= $2 \cdot \sin (x^{2} + 3) \cdot (2 x)$

= $4 \sin (x^{2} + 3) x$

= $4 x \cdot \sin (x^{2} + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 79)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 8$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 8$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 8$

= $4 e^{- 0,8 x} + 8 - 3,2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten