$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{7}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{7}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{15}{7}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{4x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{4x-5}+x^5·e^{4x-5}·4$

= $5x^4·e^{4x-5}+x^5·4e^{4x-5}$

= $5x^4·e^{4x-5}+4x^5·e^{4x-5}$

= $e^{4x-5}·\left(4x^5+5x^4\right)$

= $\left(4x^5+5x^4\right)·e^{4x-5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·\left(3x^4-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(3x^4-3\right)+e^{-2x}·\left(12x^3+0\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(3x^4-3\right)+e^{-2x}·\left(12x^3\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(3x^4-3\right)+12·e^{-2x}{x}^3$

= $e^{-2x}·\left(-6x^4+12x^3+6\right)$

= $\left(-6x^4+12x^3+6\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x^2+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x^2+4}·\left(-6x+0\right)$

= $\frac{1}{-3x^2+4}·\left(-6x\right)$

= $-6\frac{x}{-3x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+2\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-2x}+\left(3x+2\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3e^{-2x}+\left(3x+2\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3e^{-2x}-2\left(3x+2\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-6x-1\right)$

= $\left(-6x-1\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^x$

f'(x) = $e^x$

f''(x) = $e^x$

f'''(x) = $e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-6$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-6$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,2}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-6$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}-6+\mathrm{0,2}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$