$\text{f(x)}=$ $-2+2e^{\frac{9}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{\frac{9}{7}x}·\frac{9}{7}$

= $\frac{18}{7}{e}^{\frac{9}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\sqrt{x}+2e^{3x+3}$

= $-x^{\frac{1}{2}}+2e^{3x+3}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+2e^{3x+3}·3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2\sqrt{x}}+2e^{3x+3}·3$

= $-\frac{1}{2\sqrt{x}}+6e^{3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{x^3}{e^{3x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3x^2·e^{3x}-x^3·e^{3x}·3}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{3x^2·e^{3x}-x^3·3e^{3x}}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{3x^2·e^{3x}-3x^3·e^{3x}}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{-3x^3·e^{3x}+3x^2·e^{3x}}{e^{6x}}$

= $\frac{3·e^{3x-6x}·\left(-x^3+x^2\right)}{1}$

= $\frac{3·e^{-3x}·\left(-x^3+x^2\right)}{1}$

= $\frac{3\left(-x^3+x^2\right)·e^{-3x}}{1}$

= $3\left(-x^3+x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{2x}·2$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{-3x-3}$

= $2{\left(-3x-3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${\left(-3x-3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{-3x-3}}·\left(-3+0\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{-3x-3}}·\left(-3\right)$

= $-\frac{3}{\sqrt{-3x-3}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+85\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-7$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-7$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{2,5}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-7$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}-7-\mathrm{2,5}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$