$\text{f(x)}=$ $-2e^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{\frac{1}{2}x}·\frac{1}{2}$

= $-e^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x\right)-3e^{-2x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)-3e^{-2x+2}·\left(-2\right)$

= $3\cdot \sin \left(x\right)+6e^{-2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x^2+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x^2+4}·\left(-4x\right)$

= $-8·e^{-2x^2+4}x$

= $-8x{e}^{-2x^2+4}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\ln \left(x-9\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\ln \left(x-9\right)+x^2·\frac{1}{x-9}·\left(1+0\right)$

= $2x\ln \left(x-9\right)+x^2·\frac{1}{x-9}·\left(1\right)$

= $2x\ln \left(x-9\right)+x^2·\frac{1}{x-9}$

= $2x\ln \left(x-9\right)+\frac{x^2}{x-9}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+3\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-3x}+\left(x^2+3\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+\left(x^2+3\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3\left(x^2+3\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x-9\right)$

= $\left(-3x^2+2x-9\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)-7$

= $-e^{-\mathrm{0,9}x}-\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)-7$

= $-e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{0,9}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-7$

= $-e^{-\mathrm{0,9}x}-7+\mathrm{0,9}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$