$\text{f(x)}=$ $-e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-e^x$

$\text{f(x)}=$ $-5x^4+2e^{-x-1}+\frac{1}{4}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-20x^3+2e^{-x-1}·\left(-1\right)+\frac{1}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

= $-20x^3-2e^{-x-1}+\frac{1}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{2x}}{x^3-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{2x}·2·\left(x^3-2\right)-e^{2x}·\left(3x^2+0\right)}{{\left(x^3-2\right)}^2}$

= $\frac{2·e^{2x}\left(x^3-2\right)-e^{2x}·\left(3x^2\right)}{{\left(x^3-2\right)}^2}$

= $\frac{2·e^{2x}\left(x^3-2\right)-3·e^{2x}{x}^2}{{\left(x^3-2\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{7x}·7$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(e^{2x}+4\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-12{\left(e^{2x}+4\right)}^3·(e^{2x}·2+0)$

= $-12{\left(e^{2x}+4\right)}^3·\left(2e^{2x}\right)$

= $-24{\left(e^{2x}+4\right)}^3·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+9$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+9$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,2}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+9$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}+9-\mathrm{1,2}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$