Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} (- 3 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} (- 3 x - 2)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 3 x - 2) + e^{- 3 x} \cdot (- 3 + 0)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (- 3 x - 2) + e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (- 3 x - 2) - 3 e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x + 3)$

= $(9 x + 3) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{x} + x^{5} \cdot e^{x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{x} + x^{5} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $15 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 1) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \cdot (2 x + 0)$

= $15 x^{2} \ln (x^{2} - 1) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \cdot (2 x)$

= $15 x^{2} \ln (x^{2} - 1) + 5 x^{3} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 1}$

= $15 x^{2} \ln (x^{2} - 1) + 10 \frac{x^{3} \cdot x}{x^{2} - 1}$

= $15 x^{2} \ln (x^{2} - 1) + 10 \frac{x^{4}}{x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x - 4}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x - 4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x - 4} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x - 4} + \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x - 4}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 4})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x - 4}}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x - 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 87)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 2$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 2$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

= $5 e^{- 0,9 x} + 2 - 4,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten