$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3}{x}^2-3\cdot \cos \left(x\right)-e^{-3x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{3}x+3\cdot \sin \left(x\right)-e^{-3x-3}·\left(-3\right)$

= $\frac{8}{3}x+3\cdot \sin \left(x\right)+3e^{-3x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x+3\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(5+0\right)·e^{3x}+\left(5x+3\right)·e^{3x}·3$

= $5e^{3x}+\left(5x+3\right)·3e^{3x}$

= $5e^{3x}+3\left(5x+3\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(15x+14\right)$

= $\left(15x+14\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $1·\ln \left(x\right)+x·\frac{1}{x}·1$

= $\ln \left(x\right)+x·\frac{1}{x}$

= $\ln \left(x\right)+1$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(\sin \left(x\right)+2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $6{\left(\sin \left(x\right)+2\right)}^2·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $6{\left(\sin \left(x\right)+2\right)}^2·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $6{\left(\sin \left(x\right)+2\right)}^2·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+88\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+9$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,9}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,9}x+\mathrm{2,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,9}x+\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$