$\text{f(x)}=$ $-1+e^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{7}{8}x}·\frac{7}{8}$

= $\frac{7}{8}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-3x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-3x-2}+x^2·e^{-3x-2}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x-2}+x^2·\left(-3e^{-3x-2}\right)$

= $2x·e^{-3x-2}-3x^2·e^{-3x-2}$

= $e^{-3x-2}·\left(-3x^2+2x\right)$

= $\left(-3x^2+2x\right)·e^{-3x-2}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^x+x^2·e^x$

= $2x·e^x+x^2·e^x$

= $e^x·\left(x^2+2x\right)$

= $\left(x^2+2x\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x+2}·\left(-5+0\right)$

= $\frac{1}{-5x+2}·\left(-5\right)$

= $-\frac{5}{-5x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{-x^2-4}$

= $2{\left(-x^2-4\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-2{\left(-x^2-4\right)}^{-2}·\left(-2x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(-x^2-4\right)}^2}·\left(-2x+0\right)$

= $-\frac{2}{{\left(-x^2-4\right)}^2}·\left(-2x\right)$

= $4\frac{x}{{\left(-x^2-4\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+93\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+2\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+9$

= $2e^{-\mathrm{0,8}x}+2\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+9$

= $2e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{1,6}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+9$

= $2e^{-\mathrm{0,8}x}+9-\mathrm{1,6}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$