$\text{f(x)}=$ $3-3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-4x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-4x-3}+x^5·e^{-4x-3}·\left(-4\right)$

= $5x^4·e^{-4x-3}+x^5·\left(-4e^{-4x-3}\right)$

= $5x^4·e^{-4x-3}-4x^5·e^{-4x-3}$

= $e^{-4x-3}·\left(-4x^5+5x^4\right)$

= $\left(-4x^5+5x^4\right)·e^{-4x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{2x}}{x^5}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{2x}·2·x^5-e^{2x}·5x^4}{{\left(x^5\right)}^2}$

= $\frac{2·e^{2x}{x}^5-5·e^{2x}{x}^4}{{\left(x^5\right)}^2}$

= $\frac{2x^5·e^{2x}-5x^4·e^{2x}}{x^{10}}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x^3+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^3+2}·\left(3x^2+0\right)$

= $\frac{1}{x^3+2}·\left(3x^2\right)$

= $3\frac{x^2}{x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{-2x^3+4}$

= $3{\left(-2x^3+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{\left(-2x^3+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-6x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{-2x^3+4}}·\left(-6x^2+0\right)$

= $\frac{3}{2\sqrt{-2x^3+4}}·\left(-6x^2\right)$

= $-9\frac{x^2}{\sqrt{-2x^3+4}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^x$

f'(x) = $e^x$

f''(x) = $e^x$

f'''(x) = $e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+1$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+1$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+1+\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$