Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{4}{5} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{4}{5} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{5} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{4}{5} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x + 1} + x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 1} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 1} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1}$

= $e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} + 0) \cdot e^{- 2 x} + (- 2 x^{4} + 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 8 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + (- 2 x^{4} + 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 8 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 2 x^{4} + 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{4} - 8 x^{3} - 10)$

= $(4 x^{4} - 8 x^{3} - 10) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $18 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 3) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} + 3} \cdot (2 x + 0)$

= $18 x^{2} \ln (x^{2} + 3) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} + 3} \cdot (2 x)$

= $18 x^{2} \ln (x^{2} + 3) + 6 x^{3} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 3}$

= $18 x^{2} \ln (x^{2} + 3) + 12 \frac{x^{3} \cdot x}{x^{2} + 3}$

= $18 x^{2} \ln (x^{2} + 3) + 12 \frac{x^{4}}{x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (2 x + 8) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 \cdot \cos (x^{2}) + (2 x + 8) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 \cdot \cos (x^{2}) - 2 (2 x + 8) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,857375 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,857375 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,81450625 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 0,95)}^{60} \cdot e^{- 0,95 x}$

= $0,046069798986952 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 1$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $5 e^{- 0,7 x} + 5 (x + 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $5 e^{- 0,7 x} - 3,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3,5 x - 9)$

= $(- 3,5 x - 9) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten