$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{3}{4}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{4}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{3}{2}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)-\frac{1}{4x^3}-2e^{-2x+2}$

= $\cos \left(x\right)-\frac{1}{4}{x}^{-3}-2e^{-2x+2}$

=> f'(x) = $-\sin \left(x\right)+\frac{3}{4}{x}^{-4}-2e^{-2x+2}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)+\frac{3}{4x^4}-2e^{-2x+2}·\left(-2\right)$

= $-\sin \left(x\right)+\frac{3}{4x^4}+4e^{-2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{3x}}{x^2-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{3x}·3·\left(x^2-2\right)-e^{3x}·\left(2x+0\right)}{{\left(x^2-2\right)}^2}$

= $\frac{3·e^{3x}\left(x^2-2\right)-e^{3x}·\left(2x\right)}{{\left(x^2-2\right)}^2}$

= $\frac{3·e^{3x}\left(x^2-2\right)-2·e^{3x}x}{{\left(x^2-2\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $7x·\ln \left(x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $7·\ln \left(x+3\right)+7x·\frac{1}{x+3}·\left(1+0\right)$

= $7\ln \left(x+3\right)+7x·\frac{1}{x+3}·\left(1\right)$

= $7\ln \left(x+3\right)+7x·\frac{1}{x+3}$

= $7\ln \left(x+3\right)+7\frac{x}{x+3}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{2x-2}+x^5·e^{2x-2}·2$

= $5x^4·e^{2x-2}+x^5·2e^{2x-2}$

= $5x^4·e^{2x-2}+2x^5·e^{2x-2}$

= $e^{2x-2}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x-2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $e^x·\left(x+78\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+4$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+4$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{1,8}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4$

= $-3e^{-\mathrm{0,6}x}+4+\mathrm{1,8}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$