Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{8}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{8}{7} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{8}{7} x} \cdot \frac{8}{7}$

= $\frac{8}{7} e^{\frac{8}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x - 5} + x^{2} \cdot e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x - 5} + x^{2} \cdot (- e^{- x - 5})$

= $2 x \cdot e^{- x - 5} - x^{2} \cdot e^{- x - 5}$

= $e^{- x - 5} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (3 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (3 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (3 x^{2} - 5) + e^{- x} \cdot (6 x + 0)$

= $- e^{- x} (3 x^{2} - 5) + e^{- x} \cdot (6 x)$

= $- e^{- x} (3 x^{2} - 5) + 6 \cdot e^{- x} x$

= $e^{- x} \cdot (- 3 x^{2} + 6 x + 5)$

= $(- 3 x^{2} + 6 x + 5) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(e^{3 x} - 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(e^{3 x} - 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(e^{3 x} - 3)}^{2} \cdot (e^{3 x} \cdot 3 + 0)$

= $9 {(e^{3 x} - 3)}^{2} \cdot (3 e^{3 x})$

= $27 {(e^{3 x} - 3)}^{2} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 35-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,520875 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,520875 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,74900625 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${1,15}^{35} \cdot e^{1,15 x}$

= $133,17552342239 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x + 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x - 6,4)$

= $(- 1,4 x - 6,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten