Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{x}$

= $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x - 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x - 2} + x^{2} \cdot e^{x - 2} \cdot 1$

= $2 x \cdot e^{x - 2} + x^{2} \cdot e^{x - 2}$

= $e^{x - 2} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{x^{3}}{e^{3 x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{x^{3}}{e^{3 x}}$

$f'(x) =$ $\frac{3 x^{2} \cdot e^{3 x} - x^{3} \cdot e^{3 x} \cdot 3}{{(e^{3 x})}^{2}}$

= $\frac{3 x^{2} \cdot e^{3 x} - x^{3} \cdot 3 e^{3 x}}{{(e^{3 x})}^{2}}$

= $\frac{3 x^{2} \cdot e^{3 x} - 3 x^{3} \cdot e^{3 x}}{{(e^{3 x})}^{2}}$

= $\frac{- 3 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}}{e^{6 x}}$

= $\frac{3 \cdot e^{3 x - 6 x} \cdot (- x^{3} + x^{2})}{1}$

= $\frac{3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (- x^{3} + x^{2})}{1}$

= $\frac{3 (- x^{3} + x^{2}) \cdot e^{- 3 x}}{1}$

= $3 (- x^{3} + x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $12 x^{2} \cdot \ln (x) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $12 x^{2} \ln (x) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $12 x^{2} \ln (x) + 4 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} + 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x + 2)$

= $(2 x^{2} + 2 x + 2) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 92)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $5 e^{- 0,1 x} + 5 (x - 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $5 e^{- 0,1 x} - 0,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,5 x + 8)$

= $(- 0,5 x + 8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten