$\text{f(x)}=$ $-3+3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^3+e^{3x}·3x^2$

= $3·e^{3x}{x}^3+3·e^{3x}{x}^2$

= $e^{3x}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^x+x^4·e^x$

= $4x^3·e^x+x^4·e^x$

= $e^x·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $3x^2·\ln \left(x^2+6\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6x·\ln \left(x^2+6\right)+3x^2·\frac{1}{x^2+6}·\left(2x+0\right)$

= $6x\ln \left(x^2+6\right)+3x^2·\frac{1}{x^2+6}·\left(2x\right)$

= $6x\ln \left(x^2+6\right)+3x^2·2\frac{x}{x^2+6}$

= $6x\ln \left(x^2+6\right)+6\frac{x^2·x}{x^2+6}$

= $6x\ln \left(x^2+6\right)+6\frac{x^3}{x^2+6}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\sqrt{x}\right)}^3·\sin \left(x-1\right)$

= $x^{\frac{3}{2}}·\sin \left(x-1\right)$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}·\sin \left(x-1\right)+x^{\frac{3}{2}}·\cos \left(x-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}\sqrt{x}·\sin \left(x-1\right)+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·\cos \left(x-1\right)$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·\sin \left(x-1\right)+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·\cos \left(x-1\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $4e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{4,4}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,4}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{4,84}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{4,84}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{5,324}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{5,324}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{5,8564}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{45}·4e^{-\mathrm{1,1}x}$

= $-\mathrm{291,56193474041}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+8$

= $-5e^{-\mathrm{0,4}x}-5\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+8$

= $-5e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+8$

= $-5e^{-\mathrm{0,4}x}+8+2\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$