Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{7}{4} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{7}{4} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{4} e^{x}$

= $\frac{7}{4} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} + 3) \cdot e^{- 5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} + 3) \cdot e^{- 5 x + 4}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} + 0) \cdot e^{- 5 x + 4} + (2 x^{3} + 3) \cdot e^{- 5 x + 4} \cdot (- 5)$

= $6 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 4} + (2 x^{3} + 3) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 4})$

= $6 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 4} - 5 (2 x^{3} + 3) \cdot e^{- 5 x + 4}$

= $e^{- 5 x + 4} \cdot (- 10 x^{3} + 6 x^{2} - 15)$

= $(- 10 x^{3} + 6 x^{2} - 15) \cdot e^{- 5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} - 3} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 12 \cdot e^{- 2 x^{3} - 3} x^{2}$

= $- 12 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (3 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{3 x^{2} + 4 x}{x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (3 x + 4)}{x \cdot (x + 2)}$

= $\frac{3 x + 4}{x \cdot (x + 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{x^{2} - 3}$

= $2 {(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(x^{2} - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 3}} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 3}} \cdot (2 x)$

= $2 \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 59-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{59} \cdot e^{- 1,1 x}$

= $- 276,8014904922 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 3$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x - 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 3$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 3$

= $5 e^{- 0,9 x} - 3 - 4,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten