Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{3}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 6 x^{2} + 10 x) \cdot e^{3 x - 1} + (- 2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x - 1} \cdot 3$

= $(- 6 x^{2} + 10 x) \cdot e^{3 x - 1} + (- 2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x - 1}$

= $(- 6 x^{2} + 10 x) \cdot e^{3 x - 1} + 3 (- 2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x - 1}$

= $e^{3 x - 1} \cdot (- 6 x^{3} + 15 x^{2} + (- 6 x^{2} + 10 x))$

= $e^{3 x - 1} \cdot (- 6 x^{3} + 9 x^{2} + 10 x)$

= $(- 6 x^{3} + 9 x^{2} + 10 x) \cdot e^{3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x^{2} + 3} \cdot 4 x$

= $- 4 \cdot e^{2 x^{2} + 3} x$

= $- 4 x e^{2 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} - 1} \cdot (10 x + 0)$

= $\frac{1}{5 x^{2} - 1} \cdot (10 x)$

= $10 \frac{x}{5 x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 9$

= $5 e^{- 0,5 x} + 5 (x + 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 9$

= $5 e^{- 0,5 x} - 2,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$

= $5 e^{- 0,5 x} - 9 - 2,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten