$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{7}{8}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^2-3\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x+0\right)·e^{-3x}+\left(-5x^2-3\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-10x·e^{-3x}+\left(-5x^2-3\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-10x·e^{-3x}-3\left(-5x^2-3\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(15x^2-10x+9\right)$

= $\left(15x^2-10x+9\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5x^3-3x}{e^{-3x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{\left(15x^2-3\right)·e^{-3x}-\left(5x^3-3x\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)}{{\left(e^{-3x}\right)}^2}$

= $\frac{\left(15x^2-3\right)·e^{-3x}-\left(5x^3-3x\right)·\left(-3e^{-3x}\right)}{{\left(e^{-3x}\right)}^2}$

= $\frac{\left(15x^2-3\right)·e^{-3x}+3\left(5x^3-3x\right)·e^{-3x}}{{\left(e^{-3x}\right)}^2}$

= $\frac{3\left(5x^3-3x\right)·e^{-3x}+\left(15x^2-3\right)·e^{-3x}}{e^{-6x}}$

= $\frac{e^{-3x+6x}·\left(15x^2-3+3x\left(5x^2-3\right)\right)}{1}$

= $\frac{e^{3x}·\left(15x^2-3+3x\left(5x^2-3\right)\right)}{1}$

= $\frac{\left(15x^2-3+3x\left(5x^2-3\right)\right)·e^{3x}}{1}$

= $(15x^2-3+3x·\left(5x^2-3\right))·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x·\ln \left(x-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $1·\ln \left(x-5\right)+x·\frac{1}{x-5}·\left(1+0\right)$

= $\ln \left(x-5\right)+x·\frac{1}{x-5}·\left(1\right)$

= $\ln \left(x-5\right)+x·\frac{1}{x-5}$

= $\ln \left(x-5\right)+\frac{x}{x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{-2x+1}$

= $-3{\left(-2x+1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{\left(-2x+1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\sqrt{-2x+1}}·\left(-2+0\right)$

= $-\frac{3}{2\sqrt{-2x+1}}·\left(-2\right)$

= $\frac{3}{\sqrt{-2x+1}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,857375}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,857375}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,81450625}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{75}·\left(-e^{-\mathrm{0,95}x}\right)$

= $\mathrm{0,021343733845878}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,2}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{1,2}x-\mathrm{4,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x-\mathrm{4,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$