Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $- \frac{3}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 4}$

$f'(x) =$ $(15 x^{4} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 4} + (3 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $(15 x^{4} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 4} + (3 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 4})$

= $(15 x^{4} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 4} - 3 (3 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 4}$

= $e^{- 3 x - 4} \cdot (- 9 x^{5} - 9 x^{3} + (15 x^{4} + 9 x^{2}))$

= $e^{- 3 x - 4} \cdot (- 9 x^{5} + 15 x^{4} - 9 x^{3} + 9 x^{2})$

= $(- 9 x^{5} + 15 x^{4} - 9 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot (- e^{- x})$

= $2 x \cdot e^{- x} - x^{2} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x + 5} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x + 5} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (3 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (3 x - 4)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (3 x - 4)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (3 x - 4) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (3 x - 4) \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (3 x - 4) + \sqrt{x} \cdot \cos (3 x - 4) \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (3 x - 4)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (3 x - 4) \cdot (3)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (3 x - 4)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 \cdot \cos (3 x - 4)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (3 x - 4)}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot \cos (3 x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{1,15 x}$

f'(x) = $3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,45 e^{1,15 x}$

f''(x) = $3,45 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,9675 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $3,9675 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $4,562625 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,562625 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,24701875 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${1,15}^{34} \cdot 3 e^{1,15 x}$

= $347,41440892798 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 2$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x + 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 2$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 2$

= $3 e^{- 0,4 x} + 2 - 1,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten