$\text{f(x)}=$ $e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2$

= $2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^x{x}^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^x·x^5+e^x·5x^4$

= $e^x{x}^5+5·e^x{x}^4$

= $e^x·\left(x^5+5x^4\right)$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x}+x^5·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x}+x^5·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $5x^4·e^{-2x}-2x^5·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $4x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·\ln \left(x\right)+4x·\frac{1}{x}·1$

= $4\ln \left(x\right)+4x·\frac{1}{x}$

= $4\ln \left(x\right)+4$

$\text{f(x)}=$ $x^5·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\sin \left(-3x\right)+x^5·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $5x^4·\sin \left(-3x\right)+x^5·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $5x^4·\sin \left(-3x\right)-3x^5·\cos \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,520875}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,520875}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,74900625}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{32}·e^{\mathrm{1,15}x}$

= $\mathrm{87,565068412849}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,8}x+0\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $\mathrm{0,8}x·e^{-\mathrm{0,2}x}$