$\text{f(x)}=$ $4+\frac{11}{8}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{11}{8}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-\frac{33}{8}{e}^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-2e^{x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $2x^3-2e^{x-3}·1$

= $2x^3-2e^{x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x-1}·\left(-1\right)$

= $3e^{-x-1}$

$\text{f(x)}=$ $7x^3·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $21x^2·\ln \left(x\right)+7x^3·\frac{1}{x}·1$

= $21x^2\ln \left(x\right)+7x^3·\frac{1}{x}$

= $21x^2\ln \left(x\right)+7x^2$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(-3x\right)+\left(x-1\right)·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $\sin \left(-3x\right)+\left(x-1\right)·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $\sin \left(-3x\right)-3\left(x-1\right)·\cos \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-x}$

f'(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f'''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,8}x}-3\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{2,4}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{2,4}x-\mathrm{0,6}\right)$

= $\left(\mathrm{2,4}x-\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$