$\text{f(x)}=$ $2+e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{3x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{3x+3}+x^3·e^{3x+3}·3$

= $3x^2·e^{3x+3}+x^3·3e^{3x+3}$

= $3x^2·e^{3x+3}+3x^3·e^{3x+3}$

= $e^{3x+3}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{3x^3+1}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x^3+1}·9x^2$

= $18·e^{3x^3+1}{x}^2$

= $18x^2{e}^{3x^3+1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x^3+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x^3+3}·\left(12x^2+0\right)$

= $\frac{1}{4x^3+3}·\left(12x^2\right)$

= $12\frac{x^2}{4x^3+3}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(\sin \left(x\right)+3\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $8{\left(\sin \left(x\right)+3\right)}^3·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $8{\left(\sin \left(x\right)+3\right)}^3·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $8{\left(\sin \left(x\right)+3\right)}^3·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $5e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{5,75}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $-\mathrm{5,75}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{6,6125}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{6,6125}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{7,604375}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{7,604375}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{8,74503125}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{38}·5e^{-\mathrm{1,15}x}$

= $1\mathrm{012,7166209252}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-5$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}-3\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-5$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,9}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5$

= $-3e^{-\mathrm{0,3}x}-5+\mathrm{0,9}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$