$\text{f(x)}=$ $-4+2e^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{\frac{3}{4}x}·\frac{3}{4}$

= $\frac{3}{2}{e}^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{2x+4}-7x^5$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x+4}·2-35x^4$

= $-2e^{2x+4}-35x^4$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{-x}}{x^4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{-x}·\left(-1\right)·x^4-e^{-x}·4x^3}{{\left(x^4\right)}^2}$

= $\frac{-e^{-x}{x}^4-4·e^{-x}{x}^3}{{\left(x^4\right)}^2}$

= $\frac{-x^4·e^{-x}-4x^3·e^{-x}}{x^8}$

$\text{f(x)}=$ $6\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{3x}·3$

= $\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(-3x^3-1\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-9{\left(-3x^3-1\right)}^2·\left(-9x^2+0\right)$

= $-9{\left(-3x^3-1\right)}^2·\left(-9x^2\right)$

= $81{\left(-3x^3-1\right)}^2{x}^2$

= $81{\left(\left(-3x^3-1\right)x\right)}^2$

= $81{\left(x\left(-3x^3-1\right)\right)}^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-9$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}+3\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-9$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,2}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-9$

= $3e^{-\mathrm{0,4}x}-9-\mathrm{1,2}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$