Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{x}$

= $- 2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x + 1} + x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 1} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 1} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1}$

= $e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} - x^{4})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} - x^{4})$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (3 x^{5} - x^{4}) + e^{3 x} \cdot (15 x^{4} - 4 x^{3})$

= $3 \cdot e^{3 x} (3 x^{5} - x^{4}) + e^{3 x} (15 x^{4} - 4 x^{3})$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{5} - 3 x^{4} + (15 x^{4} - 4 x^{3}))$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{5} + 12 x^{4} - 4 x^{3})$

= $(9 x^{5} + 12 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 4} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 4} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 9) \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 9) \cdot \cos (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \cos (- 3 x) + (2 x^{2} - 9) \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $4 x \cdot \cos (- 3 x) + (2 x^{2} - 9) \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $4 x \cdot \cos (- 3 x) + 3 (2 x^{2} - 9) \cdot \sin (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 40-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,520875 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,520875 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,74900625 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${1,15}^{40} \cdot e^{1,15 x}$

= $267,8635462347 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x - 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1,5 x + 6)$

= $(- 1,5 x + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten