$\text{f(x)}=$ $3+\frac{2}{3}{e}^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{2}{3}{e}^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-2e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{x-4}+\frac{3}{2}\cdot \cos \left(x\right)+\frac{2}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{x-4}·1-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{2}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

= $e^{x-4}-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{2}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^x+x^4·e^x$

= $4x^3·e^x+x^4·e^x$

= $e^x·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $6x^3·\ln \left(x^2+9\right)$

$\text{f'(x)}=$ $18x^2·\ln \left(x^2+9\right)+6x^3·\frac{1}{x^2+9}·\left(2x+0\right)$

= $18x^2\ln \left(x^2+9\right)+6x^3·\frac{1}{x^2+9}·\left(2x\right)$

= $18x^2\ln \left(x^2+9\right)+6x^3·2\frac{x}{x^2+9}$

= $18x^2\ln \left(x^2+9\right)+12\frac{x^3·x}{x^2+9}$

= $18x^2\ln \left(x^2+9\right)+12\frac{x^4}{x^2+9}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-2x}+\left(3x-5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3e^{-2x}+\left(3x-5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3e^{-2x}-2\left(3x-5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-6x+13\right)$

= $\left(-6x+13\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^x$

f'(x) = $2e^x$

f''(x) = $2e^x$

f'''(x) = $2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)-3$

= $3e^{-\mathrm{0,9}x}+3\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)-3$

= $3e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{2,7}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-3$

= $3e^{-\mathrm{0,9}x}-3-\mathrm{2,7}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$