$\text{f(x)}=$ $2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2x-2}+x^2·e^{2x-2}·2$

= $2x·e^{2x-2}+x^2·2e^{2x-2}$

= $2x·e^{2x-2}+2x^2·e^{2x-2}$

= $e^{2x-2}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^5+e^{-2x}·5x^4$

= $-2·e^{-2x}{x}^5+5·e^{-2x}{x}^4$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^3+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^3+4}·\left(15x^2+0\right)$

= $\frac{1}{5x^3+4}·\left(15x^2\right)$

= $15\frac{x^2}{5x^3+4}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(-2x^2+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(-2x^2+4\right)·\left(-4x+0\right)$

= $-2\cdot \cos \left(-2x^2+4\right)·\left(-4x\right)$

= $8\cos \left(-2x^2+4\right)x$

= $8x·\cos \left(-2x^2+4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^x$

f'(x) = $-5e^x$

f''(x) = $-5e^x$

f'''(x) = $-5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $-5e^x$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+5$

= $3e^{-\mathrm{0,1}x}+3\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+5$

= $3e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,3}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+5$

= $3e^{-\mathrm{0,1}x}+5-\mathrm{0,3}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$