Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 2 e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 2 e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{1}{2} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 5 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} + 5) \cdot e^{- 5 x - 2} + (- x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 5 x - 2} \cdot (- 5)$

= $(- 4 x^{3} + 5) \cdot e^{- 5 x - 2} + (- x^{4} + 5 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 2})$

= $(- 4 x^{3} + 5) \cdot e^{- 5 x - 2} - 5 (- x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 5 x - 2}$

= $e^{- 5 x - 2} \cdot (- 4 x^{3} + 5 + (5 x^{4} - 25 x))$

= $e^{- 5 x - 2} \cdot (5 x^{4} - 4 x^{3} - 25 x + 5)$

= $(5 x^{4} - 4 x^{3} - 25 x + 5) \cdot e^{- 5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 5 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 5 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 5) \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{2} + 5 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 6 x + 5) \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{2} + 5 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 6 x + 5) \cdot e^{3 x} + 3 (- 3 x^{2} + 5 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x + 5 + (- 9 x^{2} + 15 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 9 x + 5)$

= $(- 9 x^{2} + 9 x + 5) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $10 x \cdot \ln (x) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $10 x \ln (x) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $10 x \ln (x) + 5 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- 3 x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- 3 x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (- 3 x^{2} - 4) \cdot (- 6 x + 0)$

= $2 \cdot \sin (- 3 x^{2} - 4) \cdot (- 6 x)$

= $- 12 \sin (- 3 x^{2} - 4) x$

= $- 12 x \cdot \sin (- 3 x^{2} - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{x}$

f'(x) = $- 5 e^{x}$

f''(x) = $- 5 e^{x}$

f'''(x) = $- 5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $- 5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} - 5$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x + 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,2 x - 5,2)$

= $(- 1,2 x - 5,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten