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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x - 5) \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x - 5) \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{2 x - 5} + (- 3 x - 5) \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $- 3 e^{2 x - 5} + (- 3 x - 5) \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $- 3 e^{2 x - 5} + 2 (- 3 x - 5) \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (- 6 x - 13)$

= $(- 6 x - 13) \cdot e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x^{3} - 1} \cdot 9 x^{2}$

= $- 18 \cdot e^{3 x^{3} - 1} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{3 x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $10 x \cdot \ln (x) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $10 x \ln (x) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $10 x \ln (x) + 5 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (x + 5)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 5$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $3 e^{- 0,9 x} + 3 (x - 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $3 e^{- 0,9 x} - 2,7 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2,7 x + 16,5)$

= $(- 2,7 x + 16,5) \cdot e^{- 0,9 x}$