Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{11}{8} e^{\frac{6}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{11}{8} e^{\frac{6}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{11}{8} e^{\frac{6}{5} x} \cdot \frac{6}{5}$

= $\frac{33}{20} e^{\frac{6}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x + 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 5} + x^{5} \cdot e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 5} + x^{5} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 5})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 5} - 5 x^{5} \cdot e^{- 5 x + 5}$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $10 x \cdot \ln (x) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $10 x \ln (x) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $10 x \ln (x) + 5 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 3)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 3) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,857375 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,857375 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,81450625 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 0,95)}^{60} \cdot e^{- 0,95 x}$

= $0,046069798986952 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $5 e^{- 0,4 x} + 5 (x - 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $5 e^{- 0,4 x} - 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 2 x + 15)$

= $(- 2 x + 15) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten