Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{5} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{14}{5} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2 x^{3} - 4 x^{2}}{e^{3 x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2 x^{3} - 4 x^{2}}{e^{3 x}}$

$f'(x) =$ $\frac{(6 x^{2} - 8 x) \cdot e^{3 x} - (2 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3}{{(e^{3 x})}^{2}}$

= $\frac{(6 x^{2} - 8 x) \cdot e^{3 x} - (2 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}}{{(e^{3 x})}^{2}}$

= $\frac{(6 x^{2} - 8 x) \cdot e^{3 x} - 3 (2 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{3 x}}{{(e^{3 x})}^{2}}$

= $\frac{- 3 (2 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{3 x} + (6 x^{2} - 8 x) \cdot e^{3 x}}{e^{6 x}}$

= $\frac{e^{3 x - 6 x} \cdot (- 6 x^{2} (x - 2) + 2 x (3 x - 4))}{1}$

= $\frac{e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{2} (x - 2) + 2 x (3 x - 4))}{1}$

= $\frac{(- 6 x^{2} (x - 2) + 2 x (3 x - 4)) \cdot e^{- 3 x}}{1}$

= $(- 6 x^{2} \cdot (x - 2) + 2 x \cdot (3 x - 4)) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x \cdot \ln (x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x \cdot \ln (x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \ln (x^{2} + 1) + 3 x \cdot \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + 0)$

= $3 \ln (x^{2} + 1) + 3 x \cdot \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x)$

= $3 \ln (x^{2} + 1) + 3 x \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 1}$

= $3 \ln (x^{2} + 1) + 6 \frac{x \cdot x}{x^{2} + 1}$

= $3 \ln (x^{2} + 1) + 6 \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (2 x + 4) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $2 \cdot \sin (- 3 x) + (2 x + 4) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $2 \cdot \sin (- 3 x) - 3 (2 x + 4) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 90)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 6$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 6$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

= $4 e^{- 0,8 x} - 6 - 3,2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten