Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{4}{5} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{4}{5} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{5} e^{x}$

= $\frac{4}{5} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x + 2} - \frac{9}{4} x^{2} + \frac{3}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x + 2} - \frac{9}{4} x^{2} + \frac{3}{x^{2}}$

= $2 e^{- 2 x + 2} - \frac{9}{4} x^{2} + 3 x^{- 2}$

=> f'(x) = $2 e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2) - \frac{9}{2} x - 6 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2) - \frac{9}{2} x - \frac{6}{x^{3}}$

= $- 4 e^{- 2 x + 2} - \frac{9}{2} x - \frac{6}{x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 4 x) \cdot e^{- 5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 4 x) \cdot e^{- 5 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} - 4) \cdot e^{- 5 x + 2} + (- 5 x^{4} - 4 x) \cdot e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $(- 20 x^{3} - 4) \cdot e^{- 5 x + 2} + (- 5 x^{4} - 4 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 2})$

= $(- 20 x^{3} - 4) \cdot e^{- 5 x + 2} - 5 (- 5 x^{4} - 4 x) \cdot e^{- 5 x + 2}$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (- 20 x^{3} - 4 + (25 x^{4} + 20 x))$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (25 x^{4} - 20 x^{3} + 20 x - 4)$

= $(25 x^{4} - 20 x^{3} + 20 x - 4) \cdot e^{- 5 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x) + x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $3 x^{2} \ln (x) + x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $3 x^{2} \ln (x) + x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x - 5} + x^{2} \cdot e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x - 5} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 5})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x - 5} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 5}$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x - 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${(- 0,9)}^{45} \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 0,0087279635680877 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x - 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3,6 x - 7,6)$

= $(3,6 x - 7,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten