$\text{f(x)}=$ $2+\frac{1}{3}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{3}{e}^{\frac{6}{7}x}·\frac{6}{7}$

= $\frac{2}{7}{e}^{\frac{6}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^3+e^{-2x}·3x^2$

= $-2·e^{-2x}{x}^3+3·e^{-2x}{x}^2$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·\left(-2x^5-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-2x^5-4x\right)+e^{-x}·\left(-10x^4-4\right)$

= $-e^{-x}\left(-2x^5-4x\right)+e^{-x}\left(-10x^4-4\right)$

= $e^{-x}·(-10x^4-4+\left(2x^5+4x\right))$

= $e^{-x}·\left(2x^5-10x^4+4x-4\right)$

= $\left(2x^5-10x^4+4x-4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^2+3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^2+3x}·\left(-4x+3\right)$

= $\frac{-4x+3}{-2x^2+3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+3\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-3x}+\left(x^2+3\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+\left(x^2+3\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3\left(x^2+3\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x-9\right)$

= $\left(-3x^2+2x-9\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,52200625}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{50}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

= $\mathrm{0,0002957646637127}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}-4\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{1,6}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{1,6}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $\left(\mathrm{1,6}x-\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$