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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{5}{2} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x + 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x + 4} + x^{2} \cdot e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x + 4} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x + 4}$

= $2 x \cdot e^{3 x + 4} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x + 4}$

= $e^{3 x + 4} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x + 7)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x + 7)$

$f'(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x + 7) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot (1 + 0)$

= $6 x^{2} \ln (x + 7) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot (1)$

= $6 x^{2} \ln (x + 7) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 7}$

= $6 x^{2} \ln (x + 7) + 2 \frac{x^{3}}{x + 7}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x + 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x + 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x + 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x + 6)$

= $(4 x + 6) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 3$

= $e^{- 0,1 x} + (x - 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 3$

= $e^{- 0,1 x} - 0,1 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$

= $e^{- 0,1 x} + 3 - 0,1 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x}$