$\text{f(x)}=$ $-3-2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{3x}·3$

= $-6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^2+x\right)·e^{3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x+1\right)·e^{3x-5}+\left(4x^2+x\right)·e^{3x-5}·3$

= $\left(8x+1\right)·e^{3x-5}+\left(4x^2+x\right)·3e^{3x-5}$

= $\left(8x+1\right)·e^{3x-5}+3\left(4x^2+x\right)·e^{3x-5}$

= $e^{3x-5}·(8x+1+\left(12x^2+3x\right))$

= $e^{3x-5}·\left(12x^2+11x+1\right)$

= $\left(12x^2+11x+1\right)·e^{3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{2x}+x^2·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+x^2·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2x^2·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x\right)$

= $\left(2x^2+2x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{2x}·2$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(e^{3x}+3\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-12{\left(e^{3x}+3\right)}^3·(e^{3x}·3+0)$

= $-12{\left(e^{3x}+3\right)}^3·\left(3e^{3x}\right)$

= $-36{\left(e^{3x}+3\right)}^3·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+8$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+8$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,2}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+8$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}+8+\mathrm{0,2}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$