$\text{f(x)}=$ $e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^4+4x^2\right)·e^{-2x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-16x^3+8x\right)·e^{-2x-2}+\left(-4x^4+4x^2\right)·e^{-2x-2}·\left(-2\right)$

= $\left(-16x^3+8x\right)·e^{-2x-2}+\left(-4x^4+4x^2\right)·\left(-2e^{-2x-2}\right)$

= $\left(-16x^3+8x\right)·e^{-2x-2}-2\left(-4x^4+4x^2\right)·e^{-2x-2}$

= $e^{-2x-2}·(8x^4-8x^2+\left(-16x^3+8x\right))$

= $e^{-2x-2}·\left(8x^4-16x^3-8x^2+8x\right)$

= $\left(8x^4-16x^3-8x^2+8x\right)·e^{-2x-2}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-3x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-3x+1}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x+1}$

$\text{f(x)}=$ $6x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6·\ln \left(x\right)+6x·\frac{1}{x}·1$

= $6\ln \left(x\right)+6x·\frac{1}{x}$

= $6\ln \left(x\right)+6$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-10\right)$

= $\left(-2x^2+2x-10\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^x$

f'(x) = $5e^x$

f''(x) = $5e^x$

f'''(x) = $5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $5e^x$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}+4\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,2}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{2,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}x+\mathrm{2,8}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$