$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{7}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{7}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{5}{7}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x-2}+x^5·e^{-x-2}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x-2}+x^5·\left(-e^{-x-2}\right)$

= $5x^4·e^{-x-2}-x^5·e^{-x-2}$

= $e^{-x-2}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{-x}}{x^2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{-x}·\left(-1\right)·x^2-e^{-x}·2x}{{\left(x^2\right)}^2}$

= $\frac{-e^{-x}{x}^2-2·e^{-x}x}{{\left(x^2\right)}^2}$

= $\frac{-x^2·e^{-x}-2x·e^{-x}}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $4x^3·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $12x^2·\ln \left(x\right)+4x^3·\frac{1}{x}·1$

= $12x^2\ln \left(x\right)+4x^3·\frac{1}{x}$

= $12x^2\ln \left(x\right)+4x^2$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-2x}+x^4·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $4x^3·e^{-2x}+x^4·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $4x^3·e^{-2x}-2x^4·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^x$

f'(x) = $4e^x$

f''(x) = $4e^x$

f'''(x) = $4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $4e^x$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{0,5}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{0,5}x-4\right)$

= $\left(\mathrm{0,5}x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$