$\text{f(x)}=$ $-5+\frac{2}{3}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{2}{3}{e}^{\frac{5}{8}x}·\frac{5}{8}$

= $\frac{5}{12}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{x^4}+3e^{-x+4}$

= $-3x^{-4}+3e^{-x+4}$

=> f'(x) = $12x^{-5}+3e^{-x+4}·\left(-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{12}{x^5}+3e^{-x+4}·\left(-1\right)$

= $\frac{12}{x^5}-3e^{-x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x+3\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(5+0\right)·e^{3x}+\left(5x+3\right)·e^{3x}·3$

= $5e^{3x}+\left(5x+3\right)·3e^{3x}$

= $5e^{3x}+3\left(5x+3\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(15x+14\right)$

= $\left(15x+14\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^2+x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^2+x}·\left(-4x+1\right)$

= $\frac{-4x+1}{-2x^2+x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{2x}+x^4·e^{2x}·2$

= $4x^3·e^{2x}+x^4·2e^{2x}$

= $4x^3·e^{2x}+2x^4·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^4+4x^3\right)$

= $\left(2x^4+4x^3\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,8}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{1,8}x+12\right)$

= $\left(-\mathrm{1,8}x+12\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$