Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{4}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{4}{3} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{4}{3} x} \cdot \frac{4}{3}$

= $4 e^{\frac{4}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 5) \cdot e^{x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 5) \cdot e^{x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} + 0) \cdot e^{x + 1} + (- 5 x^{5} + 5) \cdot e^{x + 1} \cdot 1$

= $- 25 x^{4} \cdot e^{x + 1} + (- 5 x^{5} + 5) \cdot e^{x + 1}$

= $e^{x + 1} \cdot (- 5 x^{5} - 25 x^{4} + 5)$

= $(- 5 x^{5} - 25 x^{4} + 5) \cdot e^{x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (3 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (3 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (3 x^{2} - 3 x) + e^{- x} \cdot (6 x - 3)$

= $- e^{- x} (3 x^{2} - 3 x) + e^{- x} (6 x - 3)$

= $e^{- x} \cdot (6 x - 3 + (- 3 x^{2} + 3 x))$

= $e^{- x} \cdot (- 3 x^{2} + 9 x - 3)$

= $(- 3 x^{2} + 9 x - 3) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $12 x^{2} \cdot \ln (x) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $12 x^{2} \ln (x) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $12 x^{2} \ln (x) + 4 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (3 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (3 x + 4)$

$f'(x) =$ $\cos (3 x + 4) \cdot (3 + 0)$

= $\cos (3 x + 4) \cdot (3)$

= $3 \cdot \cos (3 x + 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${(- 1,1)}^{58} \cdot e^{- 1,1 x}$

= $251,63771862927 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 5$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x - 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 5$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

= $5 e^{- 0,9 x} - 5 - 4,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten