$\text{f(x)}=$ $-2+3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{2x}·2$

= $6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^4-4\right)·e^{x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(16x^3+0\right)·e^{x-5}+\left(4x^4-4\right)·e^{x-5}·1$

= $16x^3·e^{x-5}+\left(4x^4-4\right)·e^{x-5}$

= $16x^3·e^{x-5}+\left(4x^4-4\right)·e^{x-5}$

= $e^{x-5}·\left(4x^4+16x^3-4\right)$

= $\left(4x^4+16x^3-4\right)·e^{x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{3x^3-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x^3-1}·9x^2$

= $-9·e^{3x^3-1}{x}^2$

= $-9x^2{e}^{3x^3-1}$

$\text{f(x)}=$ $2x·\ln \left(x^2-9\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2·\ln \left(x^2-9\right)+2x·\frac{1}{x^2-9}·\left(2x+0\right)$

= $2\ln \left(x^2-9\right)+2x·\frac{1}{x^2-9}·\left(2x\right)$

= $2\ln \left(x^2-9\right)+2x·2\frac{x}{x^2-9}$

= $2\ln \left(x^2-9\right)+4\frac{x·x}{x^2-9}$

= $2\ln \left(x^2-9\right)+4\frac{x^2}{x^2-9}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-5\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(3x-5\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $3\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(3x-5\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $3\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(3x-5\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,857375}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,857375}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,81450625}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{65}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

= $-\mathrm{0,03564793225056}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+6$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+6$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,9}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+6$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}+6-\mathrm{0,9}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$