$\text{f(x)}=$ $5+e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-3x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-3x^2+6x\right)·e^{-3x-1}+\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-3x-1}·\left(-3\right)$

= $\left(-3x^2+6x\right)·e^{-3x-1}+\left(-x^3+3x^2\right)·\left(-3e^{-3x-1}\right)$

= $\left(-3x^2+6x\right)·e^{-3x-1}-3\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-3x-1}$

= $e^{-3x-1}·(3x^3-9x^2+\left(-3x^2+6x\right))$

= $e^{-3x-1}·\left(3x^3-12x^2+6x\right)$

= $\left(3x^3-12x^2+6x\right)·e^{-3x-1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^3+e^{3x}·3x^2$

= $3·e^{3x}{x}^3+3·e^{3x}{x}^2$

= $e^{3x}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4x}·4$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(-2x^3+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(-2x^3+3\right)·\left(-6x^2+0\right)$

= $-3\cdot \cos \left(-2x^3+3\right)·\left(-6x^2\right)$

= $18\cos \left(-2x^3+3\right)x^2$

= $18x^2·\cos \left(-2x^3+3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+86\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{2,5}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{2,5}x-\mathrm{7,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,5}x-\mathrm{7,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$