Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{12}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{4} x^{4} - 3 e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{5}{4} x^{4} - 3 e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $- 5 x^{3} - 3 e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $- 5 x^{3} - 6 e^{2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 12 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{3} + 2 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 12 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x} + 3 (- 4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{2} + 2 + (- 12 x^{3} + 6 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x + 2)$

= $(- 12 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x + 2) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \ln (x) + x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $2 x \ln (x) + x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $2 x \ln (x) + x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 2} + x^{3} \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 2} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 2} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 35-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- 2 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $2,3 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $2,3 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 2,645 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 2,645 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $3,04175 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,04175 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 3,4980125 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${(- 1,15)}^{35} \cdot (- 2 e^{- 1,15 x})$

= $266,35104684478 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- e^{- 0,7 x} - (x - 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (0,7 x - 5,2)$

= $(0,7 x - 5,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten