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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{9} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} (x^{5} - 3 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} (x^{5} - 3 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (x^{5} - 3 x^{3}) + e^{3 x} \cdot (5 x^{4} - 9 x^{2})$

= $3 \cdot e^{3 x} (x^{5} - 3 x^{3}) + e^{3 x} (5 x^{4} - 9 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} - 9 x^{3} + (5 x^{4} - 9 x^{2}))$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4} - 9 x^{3} - 9 x^{2})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4} - 9 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} + 1} \cdot 6 x$

= $- 12 \cdot e^{3 x^{2} + 1} x$

= $- 12 x e^{3 x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x \cdot \ln (x - 9)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x \cdot \ln (x - 9)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \ln (x - 9) + 2 x \cdot \frac{1}{x - 9} \cdot (1 + 0)$

= $2 \ln (x - 9) + 2 x \cdot \frac{1}{x - 9} \cdot (1)$

= $2 \ln (x - 9) + 2 x \cdot \frac{1}{x - 9}$

= $2 \ln (x - 9) + 2 \frac{x}{x - 9}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(3 x - 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(3 x - 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $4 {(3 x - 2)}^{3} \cdot (3 + 0)$

= $4 {(3 x - 2)}^{3} \cdot (3)$

= $12 {(3 x - 2)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{x}$

f'(x) = $2 e^{x}$

f''(x) = $2 e^{x}$

f'''(x) = $2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} + x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 1$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 1$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$

= $2 e^{- 0,2 x} + 1 - 0,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x}$