Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{6}{5} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x + 2} - x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x + 2} - x^{5}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x + 2} \cdot 3 - 5 x^{4}$

= $6 e^{3 x + 2} - 5 x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x^{3} + 2} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 6 \cdot e^{- x^{3} + 2} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{- x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 7)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 7)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \ln (x^{2} + 7) + x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 7} \cdot (2 x + 0)$

= $2 x \ln (x^{2} + 7) + x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 7} \cdot (2 x)$

= $2 x \ln (x^{2} + 7) + x^{2} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 7}$

= $2 x \ln (x^{2} + 7) + 2 \frac{x^{2} \cdot x}{x^{2} + 7}$

= $2 x \ln (x^{2} + 7) + 2 \frac{x^{3}}{x^{2} + 7}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (3 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (3 x - 2)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (3 x - 2) + x^{5} \cdot \cos (3 x - 2) \cdot (3 + 0)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (3 x - 2) + x^{5} \cdot \cos (3 x - 2) \cdot (3)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (3 x - 2) + x^{5} \cdot 3 \cdot \cos (3 x - 2)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (3 x - 2) + 3 x^{5} \cdot \cos (3 x - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,157625 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,157625 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,21550625 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${(- 1,05)}^{62} \cdot e^{- 1,05 x}$

= $20,593802448271 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x + 3,4)$

= $(- 1,4 x + 3,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten