$\text{f(x)}=$ $-4+3e^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{2}{3}x}·\frac{2}{3}$

= $2e^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^4}+e^{2x-3}$

= $x^{-4}+e^{2x-3}$

=> f'(x) = $-4x^{-5}+e^{2x-3}·2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{x^5}+e^{2x-3}·2$

= $-\frac{4}{x^5}+2e^{2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-x^3+3}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x^3+3}·\left(-3x^2\right)$

= $-6·e^{-x^3+3}{x}^2$

= $-6x^2{e}^{-x^3+3}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\ln \left(x^2+6\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\ln \left(x^2+6\right)+x^3·\frac{1}{x^2+6}·\left(2x+0\right)$

= $3x^2\ln \left(x^2+6\right)+x^3·\frac{1}{x^2+6}·\left(2x\right)$

= $3x^2\ln \left(x^2+6\right)+x^3·2\frac{x}{x^2+6}$

= $3x^2\ln \left(x^2+6\right)+2\frac{x^3·x}{x^2+6}$

= $3x^2\ln \left(x^2+6\right)+2\frac{x^4}{x^2+6}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{-2x^2-3}$

= $-3{\left(-2x^2-3\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $3{\left(-2x^2-3\right)}^{-2}·\left(-4x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{{\left(-2x^2-3\right)}^2}·\left(-4x+0\right)$

= $\frac{3}{{\left(-2x^2-3\right)}^2}·\left(-4x\right)$

= $-12\frac{x}{{\left(-2x^2-3\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+78\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}-4\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,8}x+0\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,8}x$

= $\mathrm{0,8}x·e^{-\mathrm{0,2}x}$