Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{5 x - 4} + x^{2} \cdot e^{5 x - 4} \cdot 5$

= $2 x \cdot e^{5 x - 4} + x^{2} \cdot 5 e^{5 x - 4}$

= $2 x \cdot e^{5 x - 4} + 5 x^{2} \cdot e^{5 x - 4}$

= $e^{5 x - 4} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$

= $(5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $7 \cdot \ln (x) + 7 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $7 \ln (x) + 7 x \cdot \frac{1}{x}$

= $7 \ln (x) + 7$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(\cos (x) + 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(\cos (x) + 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $4 (\cos (x) + 3) \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $4 (\cos (x) + 3) \cdot (- \sin (x))$

= $- 4 (\cos (x) + 3) \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${1,1}^{58} \cdot e^{1,1 x}$

= $251,63771862927 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 9$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 9$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$

= $5 e^{- 0,8 x} - 9 - 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten