$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{8}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{8}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·x^4+e^{2x}·4x^3$

= $2·e^{2x}{x}^4+4·e^{2x}{x}^3$

= $e^{2x}·\left(2x^4+4x^3\right)$

= $\left(2x^4+4x^3\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $3x^3·\ln \left(x+6\right)$

$\text{f'(x)}=$ $9x^2·\ln \left(x+6\right)+3x^3·\frac{1}{x+6}·\left(1+0\right)$

= $9x^2\ln \left(x+6\right)+3x^3·\frac{1}{x+6}·\left(1\right)$

= $9x^2\ln \left(x+6\right)+3x^3·\frac{1}{x+6}$

= $9x^2\ln \left(x+6\right)+3\frac{x^3}{x+6}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·\sin \left(5x-4\right)$

= $x^{\frac{1}{4}}·\sin \left(5x-4\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·\sin \left(5x-4\right)+x^{\frac{1}{4}}·\cos \left(5x-4\right)·\left(5+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·\sin \left(5x-4\right)+\sqrt[4]{x}·\cos \left(5x-4\right)·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(5x-4\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·\cos \left(5x-4\right)·\left(5\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(5x-4\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·5\cdot \cos \left(5x-4\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(5x-4\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+5\sqrt[4]{x}·\cos \left(5x-4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{1,1}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,1}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{1,21}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,21}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{1,331}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,331}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $\mathrm{1,4641}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,1}}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${\mathrm{1,1}}^{50}·e^{\mathrm{1,1}x}$

= $\mathrm{117,3908528797}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{1,5}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{1,5}x-6\right)$

= $\left(-\mathrm{1,5}x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$