Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x - 2}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{3 x - 2} + (3 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x - 2} \cdot 3$

= $6 x \cdot e^{3 x - 2} + (3 x^{2} + 2) \cdot 3 e^{3 x - 2}$

= $6 x \cdot e^{3 x - 2} + 3 (3 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x - 2}$

= $e^{3 x - 2} \cdot (9 x^{2} + 6 x + 6)$

= $(9 x^{2} + 6 x + 6) \cdot e^{3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x - 1) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x - 1) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (- 5 x - 1) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 5 e^{- 2 x} + (- 5 x - 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 5 e^{- 2 x} - 2 (- 5 x - 1) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x - 3)$

= $(10 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} + 3 x} \cdot (- 10 x + 3)$

= $\frac{- 10 x + 3}{- 5 x^{2} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 7) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 7) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x + 7) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $5 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 4,25 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 4,25 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $3,6125 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $3,6125 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 3,070625 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,070625 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,61003125 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${(- 0,85)}^{45} \cdot 5 e^{- 0,85 x}$

= $- 0,0033328952277611 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 3$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x + 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 3$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 3$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 + 0,9 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten