$\text{f(x)}=$ $e^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{\frac{3}{5}x}·\frac{3}{5}$

= $\frac{3}{5}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x+3}+x^4·e^{3x+3}·3$

= $4x^3·e^{3x+3}+x^4·3e^{3x+3}$

= $4x^3·e^{3x+3}+3x^4·e^{3x+3}$

= $e^{3x+3}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x}+x^2·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+x^2·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2x^2·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $4x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $8x·\ln \left(x\right)+4x^2·\frac{1}{x}·1$

= $8x\ln \left(x\right)+4x^2·\frac{1}{x}$

= $8x\ln \left(x\right)+4x$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(\sin \left(x\right)-4\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-3{\left(\sin \left(x\right)-4\right)}^2·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $-3{\left(\sin \left(x\right)-4\right)}^2·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $-3{\left(\sin \left(x\right)-4\right)}^2·\cos \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,520875}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,520875}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,74900625}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{42}·e^{\mathrm{1,15}x}$

= $\mathrm{354,24953989539}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,4}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{2,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{2,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$