Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 3) \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 3) \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{2 x - 5} + (2 x^{2} - 3) \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $4 x \cdot e^{2 x - 5} + (2 x^{2} - 3) \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $4 x \cdot e^{2 x - 5} + 2 (2 x^{2} - 3) \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (4 x^{2} + 4 x - 6)$

= $(4 x^{2} + 4 x - 6) \cdot e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3 x + 2}{e^{3 x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3 x + 2}{e^{3 x}}$

$f'(x) =$ $\frac{(3 + 0) \cdot e^{3 x} - (3 x + 2) \cdot e^{3 x} \cdot 3}{{(e^{3 x})}^{2}}$

= $\frac{3 e^{3 x} - (3 x + 2) \cdot 3 e^{3 x}}{{(e^{3 x})}^{2}}$

= $\frac{3 e^{3 x} - 3 (3 x + 2) \cdot e^{3 x}}{{(e^{3 x})}^{2}}$

= $\frac{3 e^{3 x} - 3 (3 x + 2) \cdot e^{3 x}}{e^{6 x}}$

= $\frac{3 \cdot e^{3 x - 6 x} \cdot (- 3 x - 1)}{1}$

= $\frac{3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3 x - 1)}{1}$

= $\frac{3 (- 3 x - 1) \cdot e^{- 3 x}}{1}$

= $3 (- 3 x - 1) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $10 x \cdot \ln (x) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $10 x \ln (x) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $10 x \ln (x) + 5 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x + 2) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x + 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x - 3)$

= $(- 9 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${1,1}^{53} \cdot e^{1,1 x}$

= $156,24722518288 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 6$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 6$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 6 + 3,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten