Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{3}{4} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x - 5} + x^{2} \cdot e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 5} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 5})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 5} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 5}$

= $e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 3 x^{2} + 5} x$

= $- 12 x e^{- 3 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 3} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} - 3} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (5 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (5 x - 3)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (5 x - 3)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (5 x - 3) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (5 x - 3) \cdot (5 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (5 x - 3) + \sqrt{x} \cdot \cos (5 x - 3) \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (5 x - 3)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (5 x - 3) \cdot (5)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (5 x - 3)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 5 \cdot \cos (5 x - 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (5 x - 3)}{\sqrt{x}} + 5 \sqrt{x} \cdot \cos (5 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 5$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x + 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 5$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 5$

= $4 e^{- 0,3 x} + 5 - 1,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten