Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{2 x + 5} + (- 5 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $(- 20 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{2 x + 5} + (- 5 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot 2 e^{2 x + 5}$

= $(- 20 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{2 x + 5} + 2 (- 5 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 5}$

= $e^{2 x + 5} \cdot (- 10 x^{4} - 8 x^{3} + (- 20 x^{3} - 12 x^{2}))$

= $e^{2 x + 5} \cdot (- 10 x^{4} - 28 x^{3} - 12 x^{2})$

= $(- 10 x^{4} - 28 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x + 1}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $12 x \cdot \ln (x) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $12 x \ln (x) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $12 x \ln (x) + 6 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (2 x - 8) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + (2 x - 8) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (2 x - 8) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,520875 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,520875 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,74900625 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${(- 1,15)}^{38} \cdot e^{- 1,15 x}$

= $202,54332418503 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 4$

= $e^{- 0,4 x} + (x + 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 4$

= $e^{- 0,4 x} - 0,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 4$

= $e^{- 0,4 x} - 4 - 0,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten