$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{7}{4}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x+4}+x^3·e^{-x+4}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x+4}+x^3·\left(-e^{-x+4}\right)$

= $3x^2·e^{-x+4}-x^3·e^{-x+4}$

= $e^{-x+4}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x+4}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x}+x^3·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x}+x^3·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3x^2·e^{-3x}-3x^3·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{5x}·5$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{3x}+\left(x+1\right)·e^{3x}·3$

= $e^{3x}+\left(x+1\right)·3e^{3x}$

= $e^{3x}+3\left(x+1\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x+4\right)$

= $\left(3x+4\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $e^x·\left(x+86\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,8}x}-\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{0,8}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{2,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,8}x-\mathrm{2,6}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$