$\text{f(x)}=$ $3-2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{2x}·2$

= $-4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{4x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{4x-2}+x^4·e^{4x-2}·4$

= $4x^3·e^{4x-2}+x^4·4e^{4x-2}$

= $4x^3·e^{4x-2}+4x^4·e^{4x-2}$

= $e^{4x-2}·\left(4x^4+4x^3\right)$

= $\left(4x^4+4x^3\right)·e^{4x-2}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x^2-4}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x^2-4}·\left(-4x\right)$

= $-8·e^{-2x^2-4}x$

= $-8x{e}^{-2x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $3x^2·\ln \left(x^2+6\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6x·\ln \left(x^2+6\right)+3x^2·\frac{1}{x^2+6}·\left(2x+0\right)$

= $6x\ln \left(x^2+6\right)+3x^2·\frac{1}{x^2+6}·\left(2x\right)$

= $6x\ln \left(x^2+6\right)+3x^2·2\frac{x}{x^2+6}$

= $6x\ln \left(x^2+6\right)+6\frac{x^2·x}{x^2+6}$

= $6x\ln \left(x^2+6\right)+6\frac{x^3}{x^2+6}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(e^{-x}-2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $6{\left(e^{-x}-2\right)}^2·(e^{-x}·\left(-1\right)+0)$

= $6{\left(e^{-x}-2\right)}^2·\left(-e^{-x}\right)$

= $-6{\left(e^{-x}-2\right)}^2·e^{-x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+3\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,9}x}+3\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{2,7}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$

= $e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{2,7}x+\mathrm{8,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,7}x+\mathrm{8,4}\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$