Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $- \frac{7}{8} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 5} + x^{5} \cdot e^{4 x + 5} \cdot 4$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 5} + x^{5} \cdot 4 e^{4 x + 5}$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 5} + 4 x^{5} \cdot e^{4 x + 5}$

= $e^{4 x + 5} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x + 4}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - 2} \cdot (- 8 x + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{2} - 2} \cdot (- 8 x)$

= $- 8 \frac{x}{- 4 x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (2 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (2 x + 1)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \cos (2 x + 1) + x^{5} \cdot (- \sin (2 x + 1) \cdot (2 + 0))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (2 x + 1) + x^{5} \cdot (- \sin (2 x + 1) \cdot (2))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (2 x + 1) + x^{5} \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x + 1))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (2 x + 1) - 2 x^{5} \cdot \sin (2 x + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 36-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{1,15 x}$

f'(x) = $- 5 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 5,75 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 5,75 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 6,6125 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 6,6125 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 7,604375 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 7,604375 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 8,74503125 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${1,15}^{36} \cdot (- 5 e^{1,15 x})$

= $- 765,75925967875 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $3 e^{- 0,9 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $3 e^{- 0,9 x} - 2,7 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2,7 x - 13,2)$

= $(- 2,7 x - 13,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten