$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)+e^{-2x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)+e^{-2x+5}·\left(-2\right)$

= $3\cdot \cos \left(x\right)-2e^{-2x+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-2x}+x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3x^2·e^{-2x}+x^3·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3x^2·e^{-2x}-2x^3·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $4x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·\ln \left(x\right)+4x·\frac{1}{x}·1$

= $4\ln \left(x\right)+4x·\frac{1}{x}$

= $4\ln \left(x\right)+4$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-3\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{2x}+\left(x^2-3\right)·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+\left(x^2-3\right)·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2\left(x^2-3\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x-6\right)$

= $\left(2x^2+2x-6\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $5e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{4,75}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,75}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{4,5125}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{4,5125}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{4,286875}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{4,286875}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{4,07253125}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{61}·5e^{\mathrm{0,95}x}$

= $\mathrm{0,21883154518802}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}x-1\right)$

= $\left(-\mathrm{0,5}x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$