$\text{f(x)}=$ $\frac{6}{7}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{7}{e}^{\frac{5}{7}x}·\frac{5}{7}$

= $\frac{30}{49}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^2+4\right)·e^{4x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x+0\right)·e^{4x-1}+\left(-4x^2+4\right)·e^{4x-1}·4$

= $-8x·e^{4x-1}+\left(-4x^2+4\right)·4e^{4x-1}$

= $-8x·e^{4x-1}+4\left(-4x^2+4\right)·e^{4x-1}$

= $e^{4x-1}·\left(-16x^2-8x+16\right)$

= $\left(-16x^2-8x+16\right)·e^{4x-1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^3+e^{3x}·3x^2$

= $3·e^{3x}{x}^3+3·e^{3x}{x}^2$

= $e^{3x}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $2x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2·\ln \left(x\right)+2x·\frac{1}{x}·1$

= $2\ln \left(x\right)+2x·\frac{1}{x}$

= $2\ln \left(x\right)+2$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-6\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(x^2-6\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $2x·\cos \left(x^3\right)+\left(x^2-6\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $2x·\cos \left(x^3\right)-3\left(x^2-6\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+79\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,8}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{1,8}x-\mathrm{4,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,8}x-\mathrm{4,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$