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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{8}{9} e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{8}{9} e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{20}{27} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} (3 x^{4} + 4 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} (3 x^{4} + 4 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3}) + e^{- 2 x} \cdot (12 x^{3} + 12 x^{2})$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (3 x^{4} + 4 x^{3}) + e^{- 2 x} (12 x^{3} + 12 x^{2})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{4} - 8 x^{3} + (12 x^{3} + 12 x^{2}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2})$

= $(- 6 x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x^{2} - 2} \cdot 4 x$

= $- 4 \cdot e^{2 x^{2} - 2} x$

= $- 4 x e^{2 x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- x - 5)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (- x - 5) \cdot (- 1 + 0)$

= $3 \cdot \sin (- x - 5) \cdot (- 1)$

= $- 3 \cdot \sin (- x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${1,1}^{54} \cdot e^{1,1 x}$

= $171,87194770116 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 2$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 2$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 2$

= $5 e^{- 0,8 x} + 2 - 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x}$