$\text{f(x)}=$ $1+\frac{8}{7}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{8}{7}{e}^{3x}·3$

= $\frac{24}{7}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{3x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{3x-3}+x^3·e^{3x-3}·3$

= $3x^2·e^{3x-3}+x^3·3e^{3x-3}$

= $3x^2·e^{3x-3}+3x^3·e^{3x-3}$

= $e^{3x-3}·\left(3x^3+3x^2\right)$

= $\left(3x^3+3x^2\right)·e^{3x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x+4\right)·e^{4x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-1+0\right)·e^{4x-2}+\left(-x+4\right)·e^{4x-2}·4$

= $-e^{4x-2}+\left(-x+4\right)·4e^{4x-2}$

= $-e^{4x-2}+4\left(-x+4\right)·e^{4x-2}$

= $e^{4x-2}·\left(-4x+15\right)$

= $\left(-4x+15\right)·e^{4x-2}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{4x}·4$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x+3}+x^5·e^{-x+3}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x+3}+x^5·\left(-e^{-x+3}\right)$

= $5x^4·e^{-x+3}-x^5·e^{-x+3}$

= $e^{-x+3}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x+3}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,157625}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,157625}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,21550625}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{78}·e^{-\mathrm{1,05}x}$

= $\mathrm{44,953688042488}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-9$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-9$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-9$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}-9+\mathrm{0,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$