$\text{f(x)}=$ $-3e^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{\frac{5}{8}x}·\frac{5}{8}$

= $-\frac{15}{8}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-5x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-5x-5}+x^4·e^{-5x-5}·\left(-5\right)$

= $4x^3·e^{-5x-5}+x^4·\left(-5e^{-5x-5}\right)$

= $4x^3·e^{-5x-5}-5x^4·e^{-5x-5}$

= $e^{-5x-5}·\left(-5x^4+4x^3\right)$

= $\left(-5x^4+4x^3\right)·e^{-5x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{x^4}{e^{-3x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4x^3·e^{-3x}-x^4·e^{-3x}·\left(-3\right)}{{\left(e^{-3x}\right)}^2}$

= $\frac{4x^3·e^{-3x}-x^4·\left(-3e^{-3x}\right)}{{\left(e^{-3x}\right)}^2}$

= $\frac{4x^3·e^{-3x}+3x^4·e^{-3x}}{{\left(e^{-3x}\right)}^2}$

= $\frac{3x^4·e^{-3x}+4x^3·e^{-3x}}{e^{-6x}}$

= $\frac{e^{-3x+6x}·\left(3x^4+4x^3\right)}{1}$

= $\frac{e^{3x}·\left(3x^4+4x^3\right)}{1}$

= $\frac{\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}}{1}$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $2x^2·\ln \left(x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x·\ln \left(x+4\right)+2x^2·\frac{1}{x+4}·\left(1+0\right)$

= $4x\ln \left(x+4\right)+2x^2·\frac{1}{x+4}·\left(1\right)$

= $4x\ln \left(x+4\right)+2x^2·\frac{1}{x+4}$

= $4x\ln \left(x+4\right)+2\frac{x^2}{x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{3x}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{3x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{3x}+x^{\frac{1}{2}}·e^{3x}·3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{3x}+\sqrt{x}·e^{3x}·3$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{3x}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·3e^{3x}$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{3x}}{\sqrt{x}}+3\sqrt{x}·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-2\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+5$

= $-2e^{-\mathrm{0,8}x}-2\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+5$

= $-2e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{1,6}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+5$

= $-2e^{-\mathrm{0,8}x}+5+\mathrm{1,6}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$