$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{3}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{3}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{5}{3}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x-5}-\frac{7}{3x^2}+4\sqrt[3]{x}$

= $2e^{-2x-5}-\frac{7}{3}{x}^{-2}+4x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $2e^{-2x-5}·\left(-2\right)+\frac{14}{3}{x}^{-3}+\frac{4}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x-5}·\left(-2\right)+\frac{14}{3x^3}+\frac{4}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

= $-4e^{-2x-5}+\frac{14}{3x^3}+\frac{4}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{-3x}}{5x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(5x-3\right)-e^{-3x}·\left(5+0\right)}{{\left(5x-3\right)}^2}$

= $\frac{-3·e^{-3x}\left(5x-3\right)-e^{-3x}·\left(5\right)}{{\left(5x-3\right)}^2}$

= $\frac{-3·e^{-3x}\left(5x-3\right)-5e^{-3x}}{{\left(5x-3\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $2x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2·\ln \left(x\right)+2x·\frac{1}{x}·1$

= $2\ln \left(x\right)+2x·\frac{1}{x}$

= $2\ln \left(x\right)+2$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{2x-1}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{2x-1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{2x-1}+x^{\frac{1}{2}}·e^{2x-1}·2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{2x-1}+\sqrt{x}·e^{2x-1}·2$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{2x-1}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·2e^{2x-1}$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{2x-1}}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}·e^{2x-1}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,857375}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,857375}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,81450625}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{61}·e^{\mathrm{0,95}x}$

= $\mathrm{0,043766309037604}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+5$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+5$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,4}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+5$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}+5+\mathrm{0,4}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$