Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{12}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x + 1} + x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 1} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 1} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1}$

= $e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 5 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 5 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 5 x^{2} - 3 x) + e^{2 x} \cdot (- 10 x - 3)$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 5 x^{2} - 3 x) + e^{2 x} (- 10 x - 3)$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x - 3 + (- 10 x^{2} - 6 x))$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{2} - 16 x - 3)$

= $(- 10 x^{2} - 16 x - 3) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $6 x^{2} \ln (x) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $6 x^{2} \ln (x) + 2 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} + 5) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} + 5) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) - 2 (x^{2} + 5) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 2$

= $2 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 2$

= $2 e^{- 0,5 x} - (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 2$

= $2 e^{- 0,5 x} + 2 - (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten