Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x}$

$f'(x) =$ $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} (- 3 x^{2} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} (- 3 x^{2} + x)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 3 x^{2} + x) + e^{x} \cdot (- 6 x + 1)$

= $e^{x} \cdot (- 6 x + 1 + (- 3 x^{2} + x))$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{2} - 5 x + 1)$

= $(- 3 x^{2} - 5 x + 1) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{3} - 3} \cdot (- 9 x^{2})$

= $27 \cdot e^{- 3 x^{3} - 3} x^{2}$

= $27 x^{2} e^{- 3 x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} + 3 x} \cdot (2 x + 3)$

= $\frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (- x^{2} - 3) \cdot (- 2 x + 0)$

= $2 \cdot \sin (- x^{2} - 3) \cdot (- 2 x)$

= $- 4 \sin (- x^{2} - 3) x$

= $- 4 x \cdot \sin (- x^{2} - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,520875 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,520875 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,74900625 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${(- 1,15)}^{34} \cdot (- e^{- 1,15 x})$

= $- 115,80480297599 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 8$

= $5 e^{- 0,6 x} + 5 (x - 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 8$

= $5 e^{- 0,6 x} - 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 8$

= $5 e^{- 0,6 x} + 8 - 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x}$