$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^4+2x\right)·e^{-2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-16x^3+2\right)·e^{-2x-5}+\left(-4x^4+2x\right)·e^{-2x-5}·\left(-2\right)$

= $\left(-16x^3+2\right)·e^{-2x-5}+\left(-4x^4+2x\right)·\left(-2e^{-2x-5}\right)$

= $\left(-16x^3+2\right)·e^{-2x-5}-2\left(-4x^4+2x\right)·e^{-2x-5}$

= $e^{-2x-5}·(-16x^3+2+\left(8x^4-4x\right))$

= $e^{-2x-5}·\left(8x^4-16x^3-4x+2\right)$

= $\left(8x^4-16x^3-4x+2\right)·e^{-2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{-5x^5-x^4}{e^{-x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{\left(-25x^4-4x^3\right)·e^{-x}-\left(-5x^5-x^4\right)·e^{-x}·\left(-1\right)}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{\left(-25x^4-4x^3\right)·e^{-x}-\left(-5x^5-x^4\right)·\left(-e^{-x}\right)}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{\left(-25x^4-4x^3\right)·e^{-x}+\left(-5x^5-x^4\right)·e^{-x}}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{\left(-5x^5-x^4\right)·e^{-x}+\left(-25x^4-4x^3\right)·e^{-x}}{e^{-2x}}$

= $\frac{e^{-x+2x}·(-x^4\left(5x+1\right)-x^3\left(25x+4\right))}{1}$

= $\frac{e^x·(-x^4\left(5x+1\right)-x^3\left(25x+4\right))}{1}$

= $\frac{(-x^4\left(5x+1\right)-x^3\left(25x+4\right))·e^x}{1}$

= $(-x^4·\left(5x+1\right)-x^3·\left(25x+4\right))·e^x$

$\text{f(x)}=$ $7x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $14x·\ln \left(x\right)+7x^2·\frac{1}{x}·1$

= $14x\ln \left(x\right)+7x^2·\frac{1}{x}$

= $14x\ln \left(x\right)+7x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+9\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{3x}+\left(x+9\right)·e^{3x}·3$

= $e^{3x}+\left(x+9\right)·3e^{3x}$

= $e^{3x}+3\left(x+9\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x+28\right)$

= $\left(3x+28\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+93\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{2,4}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{2,4}x+15\right)$

= $\left(-\mathrm{2,4}x+15\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$