$\text{f(x)}=$ $-2+2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{3x}·3$

= $6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{x-5}+x^4·e^{x-5}·1$

= $4x^3·e^{x-5}+x^4·e^{x-5}$

= $e^{x-5}·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^{x-5}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^x+x^4·e^x$

= $4x^3·e^x+x^4·e^x$

= $e^x·\left(x^4+4x^3\right)$

= $\left(x^4+4x^3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $6x·\ln \left(x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6·\ln \left(x+5\right)+6x·\frac{1}{x+5}·\left(1+0\right)$

= $6\ln \left(x+5\right)+6x·\frac{1}{x+5}·\left(1\right)$

= $6\ln \left(x+5\right)+6x·\frac{1}{x+5}$

= $6\ln \left(x+5\right)+6\frac{x}{x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+6\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-3x}+\left(x^2+6\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+\left(x^2+6\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3\left(x^2+6\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x-18\right)$

= $\left(-3x^2+2x-18\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{4,25}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,25}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{3,6125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{3,6125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{3,070625}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{3,070625}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{2,61003125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{48}·\left(-5e^{-\mathrm{0,85}x}\right)$

= $-\mathrm{0,0020468142817488}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}+4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{2,4}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{2,4}x+\mathrm{13,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,4}x+\mathrm{13,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$