$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x}·3$

= $-6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+4\right)·e^{x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{x+5}+\left(2x+4\right)·e^{x+5}·1$

= $2e^{x+5}+\left(2x+4\right)·e^{x+5}$

= $e^{x+5}·\left(2x+6\right)$

= $\left(2x+6\right)·e^{x+5}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{x^3-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{x^3-5}·3x^2$

= $6·e^{x^3-5}{x}^2$

= $6x^2{e}^{x^3-5}$

$\text{f(x)}=$ $4x·\ln \left(x^2+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·\ln \left(x^2+2\right)+4x·\frac{1}{x^2+2}·\left(2x+0\right)$

= $4\ln \left(x^2+2\right)+4x·\frac{1}{x^2+2}·\left(2x\right)$

= $4\ln \left(x^2+2\right)+4x·2\frac{x}{x^2+2}$

= $4\ln \left(x^2+2\right)+8\frac{x·x}{x^2+2}$

= $4\ln \left(x^2+2\right)+8\frac{x^2}{x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(3x^2+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(3x^2+3\right)·\left(6x+0\right)$

= $3\cdot \cos \left(3x^2+3\right)·\left(6x\right)$

= $18\cos \left(3x^2+3\right)x$

= $18x·\cos \left(3x^2+3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+82\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+1$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+1$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{3,5}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+1$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}+1+\mathrm{3,5}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$