Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 5} + x^{4} \cdot e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 5} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 5})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 5} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 5}$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x + 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x + 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{2 x} + (- 4 x + 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x} + (- 4 x + 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 4 e^{2 x} + 2 (- 4 x + 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x + 2)$

= $(- 8 x + 2) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - 4} \cdot (- 8 x + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{2} - 4} \cdot (- 8 x)$

= $- 8 \frac{x}{- 4 x^{2} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (2 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (2 x + 3)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (2 x + 3) + x^{5} \cdot \cos (2 x + 3) \cdot (2 + 0)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (2 x + 3) + x^{5} \cdot \cos (2 x + 3) \cdot (2)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (2 x + 3) + x^{5} \cdot 2 \cdot \cos (2 x + 3)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (2 x + 3) + 2 x^{5} \cdot \cos (2 x + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,1 x}$

f'(x) = $4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $4,4 e^{1,1 x}$

f''(x) = $4,4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $4,84 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $4,84 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,324 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,324 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,8564 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${1,1}^{49} \cdot 4 e^{1,1 x}$

= $426,87582865344 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 9$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x + 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 9$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 9$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 9 + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten