Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 2) \cdot e^{- 5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 2) \cdot e^{- 5 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} + 0) \cdot e^{- 5 x - 3} + (- 2 x^{4} - 2) \cdot e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $- 8 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 3} + (- 2 x^{4} - 2) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 3})$

= $- 8 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 3} - 5 (- 2 x^{4} - 2) \cdot e^{- 5 x - 3}$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (10 x^{4} - 8 x^{3} + 10)$

= $(10 x^{4} - 8 x^{3} + 10) \cdot e^{- 5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} - 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} - 3} \cdot 6 x$

= $- 18 \cdot e^{3 x^{2} - 3} x$

= $- 18 x e^{3 x^{2} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x + 4} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x + 4} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x - 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x - 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x + 13)$

= $(- 6 x + 13) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 39-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,520875 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,520875 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,74900625 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 39-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 39 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{39}$

Somit gilt für die 39-te Ableitung:

f⁽³⁹⁾(x) = ${1,15}^{39} \cdot e^{1,15 x}$

= $232,92482281279 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x + 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 x - 2)$

= $(- 2 x - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten