$\text{f(x)}=$ $-5+e^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{5}{7}x}·\frac{5}{7}$

= $\frac{5}{7}{e}^{\frac{5}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^5+3\right)·e^{-5x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-5x^4+0\right)·e^{-5x+4}+\left(-x^5+3\right)·e^{-5x+4}·\left(-5\right)$

= $-5x^4·e^{-5x+4}+\left(-x^5+3\right)·\left(-5e^{-5x+4}\right)$

= $-5x^4·e^{-5x+4}-5\left(-x^5+3\right)·e^{-5x+4}$

= $e^{-5x+4}·\left(5x^5-5x^4-15\right)$

= $\left(5x^5-5x^4-15\right)·e^{-5x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^4+5x\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x^3+5\right)·e^{-2x}+\left(2x^4+5x\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\left(8x^3+5\right)·e^{-2x}+\left(2x^4+5x\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\left(8x^3+5\right)·e^{-2x}-2\left(2x^4+5x\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·(8x^3+5+\left(-4x^4-10x\right))$

= $e^{-2x}·\left(-4x^4+8x^3-10x+5\right)$

= $\left(-4x^4+8x^3-10x+5\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $2x^2·\ln \left(x^2-6\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x·\ln \left(x^2-6\right)+2x^2·\frac{1}{x^2-6}·\left(2x+0\right)$

= $4x\ln \left(x^2-6\right)+2x^2·\frac{1}{x^2-6}·\left(2x\right)$

= $4x\ln \left(x^2-6\right)+2x^2·2\frac{x}{x^2-6}$

= $4x\ln \left(x^2-6\right)+4\frac{x^2·x}{x^2-6}$

= $4x\ln \left(x^2-6\right)+4\frac{x^3}{x^2-6}$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(-2x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(-2x-4\right)·\left(-2+0\right)$

= $\cos \left(-2x-4\right)·\left(-2\right)$

= $-2\cdot \cos \left(-2x-4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+88\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}-5\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{2,5}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{2,5}x-15\right)$

= $\left(\mathrm{2,5}x-15\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$