$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{2x-1}-6x^5$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x-1}·2-30x^4$

= $-2e^{2x-1}-30x^4$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x^3+2}·\left(-3x^2\right)$

= $-3·e^{-x^3+2}{x}^2$

= $-3x^2{e}^{-x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $-5\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-5}{6x}·6$

= $-\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{x-2}$

= $2{\left(x-2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${\left(x-2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x-2}}·\left(1+0\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{x-2}}·\left(1\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{x-2}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $e^x·\left(x+88\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,4}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{5,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{5,2}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$