Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{2} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 2} + x^{5} \cdot e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 2} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 2})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 2} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x + 2}$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{e^{- 3 x}}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{e^{- 3 x}}{x^{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{2} - e^{- 3 x} \cdot 2 x}{{(x^{2})}^{2}}$

= $\frac{- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2} - 2 \cdot e^{- 3 x} x}{{(x^{2})}^{2}}$

= $\frac{- 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} - 2 x \cdot e^{- 3 x}}{x^{4}}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $18 x^{2} \cdot \ln (x) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $18 x^{2} \ln (x) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $18 x^{2} \ln (x) + 6 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{- 5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{- 5 x + 1}$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{- 5 x + 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot e^{- 5 x + 1} + \sqrt[4]{x} \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{- 5 x + 1}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 1})$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{- 5 x + 1}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} - 5 \sqrt[4]{x} \cdot e^{- 5 x + 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 70-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,857375 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,857375 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,81450625 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${0,95}^{70} \cdot e^{0,95 x}$

= $0,027583690436775 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 6$

= $3 e^{- 0,2 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 6$

= $3 e^{- 0,2 x} - 0,6 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 6$

= $3 e^{- 0,2 x} + 6 - 0,6 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten