Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x + 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 4} + x^{3} \cdot e^{- 4 x + 4} \cdot (- 4)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 4} + x^{3} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 4})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 4} - 4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 4}$

= $e^{- 4 x + 4} \cdot (- 4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} + 5 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} + 5 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(8 x + 5) \cdot e^{2 x} + (4 x^{2} + 5 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(8 x + 5) \cdot e^{2 x} + (4 x^{2} + 5 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(8 x + 5) \cdot e^{2 x} + 2 (4 x^{2} + 5 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (8 x + 5 + (8 x^{2} + 10 x))$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{2} + 18 x + 5)$

= $(8 x^{2} + 18 x + 5) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (- x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (- x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (- x^{2} + 3) \cdot (- 2 x + 0)$

= $3 \cdot \cos (- x^{2} + 3) \cdot (- 2 x)$

= $- 6 \cos (- x^{2} + 3) x$

= $- 6 x \cdot \cos (- x^{2} + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,05 x}$

f'(x) = $4 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,2 e^{1,05 x}$

f''(x) = $4,2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,41 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $4,41 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,6305 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,6305 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,862025 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${1,05}^{74} \cdot 4 e^{1,05 x}$

= $147,93404161431 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x - 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,2 x - 9)$

= $(1,2 x - 9) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten