$\text{f(x)}=$ $-2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{5x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{5x+1}+x^4·e^{5x+1}·5$

= $4x^3·e^{5x+1}+x^4·5e^{5x+1}$

= $4x^3·e^{5x+1}+5x^4·e^{5x+1}$

= $e^{5x+1}·\left(5x^4+4x^3\right)$

= $\left(5x^4+4x^3\right)·e^{5x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{-4x^2+4}{e^{-x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{\left(-8x+0\right)·e^{-x}-\left(-4x^2+4\right)·e^{-x}·\left(-1\right)}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{-8x·e^{-x}-\left(-4x^2+4\right)·\left(-e^{-x}\right)}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{-8x·e^{-x}+\left(-4x^2+4\right)·e^{-x}}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{\left(-4x^2+4\right)·e^{-x}-8x·e^{-x}}{e^{-2x}}$

= $\frac{e^{-x+2x}·\left(-4x^2-8x+4\right)}{1}$

= $\frac{e^x·\left(-4x^2-8x+4\right)}{1}$

= $\frac{\left(-4x^2-8x+4\right)·e^x}{1}$

= $\left(-4x^2-8x+4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{4x}·4$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\cos \left(x\right)+5\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $5{\left(\cos \left(x\right)+5\right)}^4·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $5{\left(\cos \left(x\right)+5\right)}^4·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-5{\left(\cos \left(x\right)+5\right)}^4·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+78\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}+3\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,6}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$