$\text{f(x)}=$ $-2+e^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{3}{4}x}·\frac{3}{4}$

= $\frac{3}{4}{e}^{\frac{3}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}\left(x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(x+1\right)+e^{-2x}·\left(1+0\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(x+1\right)+e^{-2x}·\left(1\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(x+1\right)+e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x-1\right)$

= $\left(-2x-1\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^3+e^{-2x}·3x^2$

= $-2·e^{-2x}{x}^3+3·e^{-2x}{x}^2$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $4x^2·\ln \left(x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $8x·\ln \left(x-4\right)+4x^2·\frac{1}{x-4}·\left(1+0\right)$

= $8x\ln \left(x-4\right)+4x^2·\frac{1}{x-4}·\left(1\right)$

= $8x\ln \left(x-4\right)+4x^2·\frac{1}{x-4}$

= $8x\ln \left(x-4\right)+4\frac{x^2}{x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+1\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{2x}+\left(2x+1\right)·e^{2x}·2$

= $2e^{2x}+\left(2x+1\right)·2e^{2x}$

= $2e^{2x}+2\left(2x+1\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(4x+4\right)$

= $\left(4x+4\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,614125}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,614125}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,52200625}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{44}·e^{\mathrm{0,85}x}$

= $\mathrm{0,00078421064182614}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-4$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-4$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,8}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}-4-\mathrm{1,8}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$