$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{2}{3}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{2}{3}{e}^{2x}·2$

= $\frac{4}{3}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-x^3-3e^{3x+2}-\frac{8}{3}\sqrt{x}$

= $-x^3-3e^{3x+2}-\frac{8}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-3x^2-3e^{3x+2}·3-\frac{4}{3}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2-3e^{3x+2}·3-\frac{4}{3\sqrt{x}}$

= $-3x^2-9e^{3x+2}-\frac{4}{3\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x}+x^2·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+x^2·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2x^2·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(5x^3+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5x^3+5}·\left(15x^2+0\right)$

= $\frac{1}{5x^3+5}·\left(15x^2\right)$

= $15\frac{x^2}{5x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(x-3\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-15{\left(x-3\right)}^4·\left(1+0\right)$

= $-15{\left(x-3\right)}^4·\left(1\right)$

= $-15{\left(x-3\right)}^4$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^x$

f'(x) = $2e^x$

f''(x) = $2e^x$

f'''(x) = $2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+4\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)+3$

= $4e^{-\mathrm{0,9}x}+4\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)+3$

= $4e^{-\mathrm{0,9}x}-\mathrm{3,6}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}+3$

= $4e^{-\mathrm{0,9}x}+3-\mathrm{3,6}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$