Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{6}{5} e^{\frac{5}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{6}{5} e^{\frac{5}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{5} e^{\frac{5}{4} x} \cdot \frac{5}{4}$

= $\frac{3}{2} e^{\frac{5}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x - 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 4} + x^{4} \cdot e^{- 4 x - 4} \cdot (- 4)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 4} + x^{4} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 4})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 4} - 4 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 4}$

= $e^{- 4 x - 4} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- x^{4} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- x^{4} - 4)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- x^{4} - 4) + e^{3 x} \cdot (- 4 x^{3} + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- x^{4} - 4) + e^{3 x} \cdot (- 4 x^{3})$

= $3 \cdot e^{3 x} (- x^{4} - 4) - 4 \cdot e^{3 x} x^{3}$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12)$

= $(- 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $12 x^{2} \cdot \ln (x) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $12 x^{2} \ln (x) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $12 x^{2} \ln (x) + 4 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x + 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x + 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x + 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x + 5)$

= $(2 x + 5) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,520875 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,520875 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,74900625 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${(- 1,15)}^{38} \cdot e^{- 1,15 x}$

= $202,54332418503 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 2$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 2$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 2$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 - 1,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten