$\text{f(x)}=$ $-4+\frac{5}{6}{e}^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{6}{e}^{2x}·2$

= $\frac{5}{3}{e}^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{2}\sqrt[4]{x}+3e^{-3x-5}-x^3$

= $-\frac{7}{2}{x}^{\frac{1}{4}}+3e^{-3x-5}-x^3$

=> f'(x) = $-\frac{7}{8}{x}^{-\frac{3}{4}}+3e^{-3x-5}·\left(-3\right)-3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{8{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+3e^{-3x-5}·\left(-3\right)-3x^2$

= $-\frac{7}{8{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-9e^{-3x-5}-3x^2$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^5+3x^4\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(5x^4+12x^3\right)·e^{3x}+\left(x^5+3x^4\right)·e^{3x}·3$

= $\left(5x^4+12x^3\right)·e^{3x}+\left(x^5+3x^4\right)·3e^{3x}$

= $\left(5x^4+12x^3\right)·e^{3x}+3\left(x^5+3x^4\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·(3x^5+9x^4+\left(5x^4+12x^3\right))$

= $e^{3x}·\left(3x^5+14x^4+12x^3\right)$

= $\left(3x^5+14x^4+12x^3\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^2-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^2-1}·\left(-4x+0\right)$

= $\frac{1}{-2x^2-1}·\left(-4x\right)$

= $-4\frac{x}{-2x^2-1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-7\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-3x}+\left(2x-7\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2e^{-3x}+\left(2x-7\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2e^{-3x}-3\left(2x-7\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-6x+23\right)$

= $\left(-6x+23\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+94\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+4$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}+2\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)+4$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,6}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+4$

= $2e^{-\mathrm{0,3}x}+4-\mathrm{0,6}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$