Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{6}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{6}{5} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{6}{5} x} \cdot \frac{6}{5}$

= $- \frac{12}{5} e^{\frac{6}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} + x) \cdot e^{- 4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} + x) \cdot e^{- 4 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} + 1) \cdot e^{- 4 x - 5} + (- 3 x^{3} + x) \cdot e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $(- 9 x^{2} + 1) \cdot e^{- 4 x - 5} + (- 3 x^{3} + x) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 5})$

= $(- 9 x^{2} + 1) \cdot e^{- 4 x - 5} - 4 (- 3 x^{3} + x) \cdot e^{- 4 x - 5}$

= $e^{- 4 x - 5} \cdot (- 9 x^{2} + 1 + (12 x^{3} - 4 x))$

= $e^{- 4 x - 5} \cdot (12 x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 1)$

= $(12 x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 1) \cdot e^{- 4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x} + (5 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(15 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x} + (5 x^{3} + x^{2}) \cdot (- e^{- x})$

= $(15 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x} - (5 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{3} - x^{2} + (15 x^{2} + 2 x))$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{3} + 14 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{3} + 14 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $1 \cdot \ln (x) + x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $\ln (x) + x \cdot \frac{1}{x}$

= $\ln (x) + 1$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(3 x^{2} - 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(3 x^{2} - 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $12 {(3 x^{2} - 4)}^{3} \cdot (6 x + 0)$

= $12 {(3 x^{2} - 4)}^{3} \cdot (6 x)$

= $72 {(3 x^{2} - 4)}^{3} x$

= $72 x {(3 x^{2} - 4)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,15 x}$

f'(x) = $4 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $4,6 e^{1,15 x}$

f''(x) = $4,6 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,29 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $5,29 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,0835 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,0835 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,996025 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${1,15}^{43} \cdot 4 e^{1,15 x}$

= $1 629,5478835188 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 4$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- e^{- 0,2 x} - (x + 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- e^{- 0,2 x} + 0,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,2 x + 0,2)$

= $(0,2 x + 0,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten