Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x} \cdot 2$

= $6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{5} + e^{- 2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{- 2 x} x^{4}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (5 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(25 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (5 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(25 x^{4} - 9 x^{2}) \cdot e^{2 x} + 2 (5 x^{5} - 3 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{5} - 6 x^{3} + (25 x^{4} - 9 x^{2}))$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{5} + 25 x^{4} - 6 x^{3} - 9 x^{2})$

= $(10 x^{5} + 25 x^{4} - 6 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $1 \cdot \ln (x) + x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $\ln (x) + x \cdot \frac{1}{x}$

= $\ln (x) + 1$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 6) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 6) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x + 6) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x + 6) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x + 6) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x - 9)$

= $(- 6 x - 9) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,157625 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,157625 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,21550625 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${1,05}^{76} \cdot e^{1,05 x}$

= $40,774320219943 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1,5 x + 12)$

= $(- 1,5 x + 12) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten