Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x + 4} + x^{5} \cdot e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 4} + x^{5} \cdot (- e^{- x + 4})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 4} - x^{5} \cdot e^{- x + 4}$

= $e^{- x + 4} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (3 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (3 x + 2)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (3 x + 2) + e^{- 2 x} \cdot (3 + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (3 x + 2) + e^{- 2 x} \cdot (3)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (3 x + 2) + 3 e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x - 1)$

= $(- 6 x - 1) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x \cdot \ln (x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x \cdot \ln (x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $1 \cdot \ln (x^{2} - 2) + x \cdot \frac{1}{x^{2} - 2} \cdot (2 x + 0)$

= $\ln (x^{2} - 2) + x \cdot \frac{1}{x^{2} - 2} \cdot (2 x)$

= $\ln (x^{2} - 2) + x \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 2}$

= $\ln (x^{2} - 2) + 2 \frac{x \cdot x}{x^{2} - 2}$

= $\ln (x^{2} - 2) + 2 \frac{x^{2}}{x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 40-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,614125 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,614125 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,52200625 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${(- 0,85)}^{40} \cdot e^{- 0,85 x}$

= $0,0015023012498914 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 2$

= $e^{- 0,5 x} + (x - 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 2$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 2$

= $e^{- 0,5 x} + 2 - 0,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten