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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x - 4} + x^{2} \cdot e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x - 4} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x - 4}$

= $2 x \cdot e^{2 x - 4} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x - 4}$

= $e^{2 x - 4} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \ln (x) + 3 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $3 \ln (x) + 3 x \cdot \frac{1}{x}$

= $3 \ln (x) + 3$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{2 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{2 x^{2} + 5}$

= $- 2 {(2 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- {(2 x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 5}} \cdot (4 x + 0)$

= $- \frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 5}} \cdot (4 x)$

= $- 4 \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 5}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 6$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x - 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 6$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

= $3 e^{- 0,1 x} + 6 - 0,3 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x}$