Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 16 x^{3} - 10 x) \cdot e^{3 x - 4} + (- 4 x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $(- 16 x^{3} - 10 x) \cdot e^{3 x - 4} + (- 4 x^{4} - 5 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x - 4}$

= $(- 16 x^{3} - 10 x) \cdot e^{3 x - 4} + 3 (- 4 x^{4} - 5 x^{2}) \cdot e^{3 x - 4}$

= $e^{3 x - 4} \cdot (- 12 x^{4} - 15 x^{2} + (- 16 x^{3} - 10 x))$

= $e^{3 x - 4} \cdot (- 12 x^{4} - 16 x^{3} - 15 x^{2} - 10 x)$

= $(- 12 x^{4} - 16 x^{3} - 15 x^{2} - 10 x) \cdot e^{3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 4 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 4 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} + 4) \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{4} + 4 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 12 x^{3} + 4) \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{4} + 4 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 12 x^{3} + 4) \cdot e^{3 x} + 3 (- 3 x^{4} + 4 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{3} + 4 + (- 9 x^{4} + 12 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{4} - 12 x^{3} + 12 x + 4)$

= $(- 9 x^{4} - 12 x^{3} + 12 x + 4) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $18 x^{2} \cdot \ln (x) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $18 x^{2} \ln (x) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $18 x^{2} \ln (x) + 6 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- x + 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(- x + 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 9 {(- x + 3)}^{2} \cdot (- 1 + 0)$

= $- 9 {(- x + 3)}^{2} \cdot (- 1)$

= $9 {(- x + 3)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 9$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 9$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$

= $3 e^{- 0,8 x} - 9 - 2,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten