$\text{f(x)}=$ $-2-e^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $-\frac{1}{4}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-x-5}+x^4·e^{-x-5}·\left(-1\right)$

= $4x^3·e^{-x-5}+x^4·\left(-e^{-x-5}\right)$

= $4x^3·e^{-x-5}-x^4·e^{-x-5}$

= $e^{-x-5}·\left(-x^4+4x^3\right)$

= $\left(-x^4+4x^3\right)·e^{-x-5}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^3+e^{-2x}·3x^2$

= $-2·e^{-2x}{x}^3+3·e^{-2x}{x}^2$

= $e^{-2x}·\left(-2x^3+3x^2\right)$

= $\left(-2x^3+3x^2\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^2-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^2-5x}·\left(4x-5\right)$

= $\frac{4x-5}{2x^2-5x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(x-2\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $\sin \left(x^3\right)+\left(x-2\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\sin \left(x^3\right)+3\left(x-2\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-x}$

f'(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f'''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)-9$

= $-e^{-\mathrm{0,9}x}-\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)-9$

= $-e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{0,9}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-9$

= $-e^{-\mathrm{0,9}x}-9+\mathrm{0,9}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$