$\text{f(x)}=$ $-2+\frac{7}{5}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{5}{e}^{\frac{3}{5}x}·\frac{3}{5}$

= $\frac{21}{25}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x+4}+x^3·e^{-3x+4}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x+4}+x^3·\left(-3e^{-3x+4}\right)$

= $3x^2·e^{-3x+4}-3x^3·e^{-3x+4}$

= $e^{-3x+4}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{x^2}{e^{-2x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2x·e^{-2x}-x^2·e^{-2x}·\left(-2\right)}{{\left(e^{-2x}\right)}^2}$

= $\frac{2x·e^{-2x}-x^2·\left(-2e^{-2x}\right)}{{\left(e^{-2x}\right)}^2}$

= $\frac{2x·e^{-2x}+2x^2·e^{-2x}}{{\left(e^{-2x}\right)}^2}$

= $\frac{2x^2·e^{-2x}+2x·e^{-2x}}{e^{-4x}}$

= $\frac{2·e^{-2x+4x}·\left(x^2+x\right)}{1}$

= $\frac{2·e^{2x}·\left(x^2+x\right)}{1}$

= $\frac{2\left(x^2+x\right)·e^{2x}}{1}$

= $2\left(x^2+x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $2x·\ln \left(x^2+8\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2·\ln \left(x^2+8\right)+2x·\frac{1}{x^2+8}·\left(2x+0\right)$

= $2\ln \left(x^2+8\right)+2x·\frac{1}{x^2+8}·\left(2x\right)$

= $2\ln \left(x^2+8\right)+2x·2\frac{x}{x^2+8}$

= $2\ln \left(x^2+8\right)+4\frac{x·x}{x^2+8}$

= $2\ln \left(x^2+8\right)+4\frac{x^2}{x^2+8}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-3\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{3x}+\left(3x-3\right)·e^{3x}·3$

= $3e^{3x}+\left(3x-3\right)·3e^{3x}$

= $3e^{3x}+3\left(3x-3\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(9x-6\right)$

= $\left(9x-6\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{-x}$

f'(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f'''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $-4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(x-6\right)$

= $\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$