Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{6} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{6} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{6} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{7}{6} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{3} + 10 x) \cdot e^{3 x} + (3 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(12 x^{3} + 10 x) \cdot e^{3 x} + (3 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(12 x^{3} + 10 x) \cdot e^{3 x} + 3 (3 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{4} + 15 x^{2} + (12 x^{3} + 10 x))$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{4} + 12 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x)$

= $(9 x^{4} + 12 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x - 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x - 5} \cdot 1$

= $- 2 e^{x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $21 x^{2} \cdot \ln (x) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $21 x^{2} \ln (x) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $21 x^{2} \ln (x) + 7 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot \cos (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (- 3 x) + (x^{2} - 3) \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $2 x \cdot \cos (- 3 x) + (x^{2} - 3) \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $2 x \cdot \cos (- 3 x) + 3 (x^{2} - 3) \cdot \sin (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x + 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3,5 x + 9)$

= $(3,5 x + 9) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten