$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{-x-1}+2\sqrt[4]{x}$

= $-e^{-x-1}+2x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $-e^{-x-1}·\left(-1\right)+\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x-1}·\left(-1\right)+\frac{1}{2{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

= $e^{-x-1}+\frac{1}{2{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x}+x^5·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x}+x^5·\left(-e^{-x}\right)$

= $5x^4·e^{-x}-x^5·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $6x·\ln \left(x^2-7\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6·\ln \left(x^2-7\right)+6x·\frac{1}{x^2-7}·\left(2x+0\right)$

= $6\ln \left(x^2-7\right)+6x·\frac{1}{x^2-7}·\left(2x\right)$

= $6\ln \left(x^2-7\right)+6x·2\frac{x}{x^2-7}$

= $6\ln \left(x^2-7\right)+12\frac{x·x}{x^2-7}$

= $6\ln \left(x^2-7\right)+12\frac{x^2}{x^2-7}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(-x-4\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(-x-4\right)·\left(-1+0\right)$

= $2\left(-x-4\right)·\left(-1\right)$

= $-2\left(-x-4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^x·\left(x+82\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+6$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(x-8\right)$

= $\left(x-8\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$