Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $\frac{27}{7} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{4} + e^{2 x} \cdot 4 x^{3}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{4} + 4 \cdot e^{2 x} x^{3}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{e^{x}}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{e^{x}}{x^{4}}$

$f'(x) =$ $\frac{e^{x} \cdot x^{4} - e^{x} \cdot 4 x^{3}}{{(x^{4})}^{2}}$

= $\frac{e^{x} x^{4} - 4 \cdot e^{x} x^{3}}{{(x^{4})}^{2}}$

= $\frac{x^{4} \cdot e^{x} - 4 x^{3} \cdot e^{x}}{x^{8}}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x + 5} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x + 5} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{- 2 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{- 2 x^{2} + 2}$

= $2 {(- 2 x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(- 2 x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 4 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{- 2 x^{2} + 2}} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{- 2 x^{2} + 2}} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{\sqrt{- 2 x^{2} + 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{1,1 x}$

f'(x) = $- 3 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 3,3 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 3,3 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 3,63 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 3,63 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 3,993 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,993 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 4,3923 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${1,1}^{62} \cdot (- 3 e^{1,1 x})$

= $- 1 105,2683515354 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 8$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 8$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 8$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 8 + 3,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten