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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 2 e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 2 e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $- \frac{16}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x - 4) \cdot e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x - 4) \cdot e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{2 x + 5} + (5 x - 4) \cdot e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $5 e^{2 x + 5} + (5 x - 4) \cdot 2 e^{2 x + 5}$

= $5 e^{2 x + 5} + 2 (5 x - 4) \cdot e^{2 x + 5}$

= $e^{2 x + 5} \cdot (10 x - 3)$

= $(10 x - 3) \cdot e^{2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $e^{2 x^{2} - 2} \cdot 4 x$

= $4 \cdot e^{2 x^{2} - 2} x$

= $4 x e^{2 x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x - 5} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (x - 2)$

$f'(x) =$ $\sin (x - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,614125 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,614125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,52200625 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${0,85}^{50} \cdot e^{0,85 x}$

= $0,0002957646637127 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 9$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 9$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 9$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 9 + 1,8 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x}$