Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{6}{7} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{6}{7} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{6}{7} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x - 5} + \frac{4}{3} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x - 5} + \frac{4}{3} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2) - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)$

= $2 e^{- 2 x - 5} - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x - 1) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x - 1) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (4 x - 1) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x} + (4 x - 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 e^{- 2 x} - 2 (4 x - 1) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x + 6)$

= $(- 8 x + 6) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $1 \cdot \ln (x) + x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $\ln (x) + x \cdot \frac{1}{x}$

= $\ln (x) + 1$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x + 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x + 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x + 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x + 20)$

= $(6 x + 20) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 59-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${1,1}^{59} \cdot e^{1,1 x}$

= $276,8014904922 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x + 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,8 x - 2,4)$

= $(- 1,8 x - 2,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten