$\text{f(x)}=$ $3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x}·3$

= $9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^2+e^{-2x}·2x$

= $-2·e^{-2x}{x}^2+2·e^{-2x}x$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{3x}·x^2$

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x}·3·x^2+e^{3x}·2x$

= $3·e^{3x}{x}^2+2·e^{3x}x$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $2x^3·\ln \left(x+9\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6x^2·\ln \left(x+9\right)+2x^3·\frac{1}{x+9}·\left(1+0\right)$

= $6x^2\ln \left(x+9\right)+2x^3·\frac{1}{x+9}·\left(1\right)$

= $6x^2\ln \left(x+9\right)+2x^3·\frac{1}{x+9}$

= $6x^2\ln \left(x+9\right)+2\frac{x^3}{x+9}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(-3x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(-3x-4\right)·\left(-3+0\right)$

= $-2\cdot \sin \left(-3x-4\right)·\left(-3\right)$

= $6\cdot \sin \left(-3x-4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $-4e^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{4,4}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,4}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{4,84}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{4,84}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{5,324}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{5,324}{e}^{\mathrm{1,1}x}·\mathrm{1,1}$ = $-\mathrm{5,8564}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,1}}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${\mathrm{1,1}}^{62}·\left(-4e^{\mathrm{1,1}x}\right)$

= $-1\mathrm{473,6911353805}{e}^{\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$