Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{9}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 4 x^{4}) \cdot e^{5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 4 x^{4}) \cdot e^{5 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} - 16 x^{3}) \cdot e^{5 x - 1} + (- 4 x^{5} - 4 x^{4}) \cdot e^{5 x - 1} \cdot 5$

= $(- 20 x^{4} - 16 x^{3}) \cdot e^{5 x - 1} + (- 4 x^{5} - 4 x^{4}) \cdot 5 e^{5 x - 1}$

= $(- 20 x^{4} - 16 x^{3}) \cdot e^{5 x - 1} + 5 (- 4 x^{5} - 4 x^{4}) \cdot e^{5 x - 1}$

= $e^{5 x - 1} \cdot (- 20 x^{5} - 20 x^{4} + (- 20 x^{4} - 16 x^{3}))$

= $e^{5 x - 1} \cdot (- 20 x^{5} - 40 x^{4} - 16 x^{3})$

= $(- 20 x^{5} - 40 x^{4} - 16 x^{3}) \cdot e^{5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} - 2 x^{2}} \cdot (12 x^{2} - 4 x)$

= $\frac{12 x^{2} - 4 x}{4 x^{3} - 2 x^{2}}$

= $\frac{4 \cdot 1 \cdot (3 x - 1)}{2 x \cdot (2 x - 1)}$

= $\frac{4 (3 x - 1)}{2 x \cdot (2 x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x - 5}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x - 5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x - 5} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 3 x - 5} + \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x - 5}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 5})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x - 5}}{\sqrt{x}} - 3 \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x - 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $e^{- 0,8 x} + (x - 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8 x + 5,8)$

= $(- 0,8 x + 5,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten