Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 3 e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 3 e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{8}{3} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 9)$

= $(2 x - 9) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x^{3} - 3} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 9 \cdot e^{- x^{3} - 3} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{- x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x - 7)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x - 7)$

$f'(x) =$ $6 x \cdot \ln (x - 7) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 7} \cdot (1 + 0)$

= $6 x \ln (x - 7) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 7} \cdot (1)$

= $6 x \ln (x - 7) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 7}$

= $6 x \ln (x - 7) + 3 \frac{x^{2}}{x - 7}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (- 3 x) + x^{4} \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- 3 x) + x^{4} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- 3 x) - 3 x^{4} \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{0,9 x}$

f'(x) = $5 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $4,5 e^{0,9 x}$

f''(x) = $4,5 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $4,05 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $4,05 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,645 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,645 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,2805 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${0,9}^{53} \cdot 5 e^{0,9 x}$

= $0,018785510630682 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 4$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 4$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 4$

= $2 e^{- 0,7 x} + 4 - 1,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten