$\text{f(x)}=$ $3-3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)+2e^{-2x+3}-3\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)+2e^{-2x+3}·\left(-2\right)+3\cdot \sin \left(x\right)$

= $3\cdot \cos \left(x\right)-4e^{-2x+3}+3\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\frac{x^2}{e^{-2x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2x·e^{-2x}-x^2·e^{-2x}·\left(-2\right)}{{\left(e^{-2x}\right)}^2}$

= $\frac{2x·e^{-2x}-x^2·\left(-2e^{-2x}\right)}{{\left(e^{-2x}\right)}^2}$

= $\frac{2x·e^{-2x}+2x^2·e^{-2x}}{{\left(e^{-2x}\right)}^2}$

= $\frac{2x^2·e^{-2x}+2x·e^{-2x}}{e^{-4x}}$

= $\frac{2·e^{-2x+4x}·\left(x^2+x\right)}{1}$

= $\frac{2·e^{2x}·\left(x^2+x\right)}{1}$

= $\frac{2\left(x^2+x\right)·e^{2x}}{1}$

= $2\left(x^2+x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $6x·\ln \left(x-6\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6·\ln \left(x-6\right)+6x·\frac{1}{x-6}·\left(1+0\right)$

= $6\ln \left(x-6\right)+6x·\frac{1}{x-6}·\left(1\right)$

= $6\ln \left(x-6\right)+6x·\frac{1}{x-6}$

= $6\ln \left(x-6\right)+6\frac{x}{x-6}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+7\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-3x}+\left(x+7\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $e^{-3x}+\left(x+7\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $e^{-3x}-3\left(x+7\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x-20\right)$

= $\left(-3x-20\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+91\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}-\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,4}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{3,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,4}x-\mathrm{3,4}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$