$\text{f(x)}=$ $-4+\frac{4}{5}{e}^{\frac{9}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{4}{5}{e}^{\frac{9}{7}x}·\frac{9}{7}$

= $\frac{36}{35}{e}^{\frac{9}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+4\right)·e^{2x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{2x+3}+\left(2x+4\right)·e^{2x+3}·2$

= $2e^{2x+3}+\left(2x+4\right)·2e^{2x+3}$

= $2e^{2x+3}+2\left(2x+4\right)·e^{2x+3}$

= $e^{2x+3}·\left(4x+10\right)$

= $\left(4x+10\right)·e^{2x+3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-2\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^x+\left(3x-2\right)·e^x$

= $3e^x+\left(3x-2\right)·e^x$

= $e^x·\left(3x+1\right)$

= $\left(3x+1\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $7x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $7·\ln \left(x\right)+7x·\frac{1}{x}·1$

= $7\ln \left(x\right)+7x·\frac{1}{x}$

= $7\ln \left(x\right)+7$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-3x}+\left(x+2\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $e^{-3x}+\left(x+2\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $e^{-3x}-3\left(x+2\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x-5\right)$

= $\left(-3x-5\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,85}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,614125}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,614125}{e}^{\mathrm{0,85}x}·\mathrm{0,85}$ = $\mathrm{0,52200625}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,85}}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${\mathrm{0,85}}^{43}·e^{\mathrm{0,85}x}$

= $\mathrm{0,00092260075508958}{e}^{\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-3\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+3$

= $-3e^{-\mathrm{0,8}x}-3\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+3$

= $-3e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{2,4}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3$

= $-3e^{-\mathrm{0,8}x}+3+\mathrm{2,4}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$