Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (x) + 2 e^{2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (x) + 2 e^{2 x + 3}$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (x) + 2 e^{2 x + 3} \cdot 2$

= $3 \cdot \cos (x) + 4 e^{2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x - 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x - 4} + x^{3} \cdot e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x - 4} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x - 4}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x - 4} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x - 4}$

= $e^{2 x - 4} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $18 x^{2} \cdot \ln (x) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $18 x^{2} \ln (x) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $18 x^{2} \ln (x) + 6 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 9) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 9) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x - 9) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x - 9) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x - 9) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x - 16)$

= $(4 x - 16) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 4,5 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 4,5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $4,05 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $4,05 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,645 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,645 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,2805 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${(- 0,9)}^{49} \cdot 5 e^{- 0,9 x}$

= $- 0,028632084485112 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 8$

= $- 2 e^{- 0,4 x} - 2 (x - 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 8$

= $- 2 e^{- 0,4 x} + 0,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 8$

= $- 2 e^{- 0,4 x} + 8 + 0,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten