$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{\frac{4}{3}x}·\frac{4}{3}$

= $\frac{2}{3}{e}^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{x-3}+x^3·e^{x-3}·1$

= $3x^2·e^{x-3}+x^3·e^{x-3}$

= $e^{x-3}·\left(x^3+3x^2\right)$

= $\left(x^3+3x^2\right)·e^{x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^5-5\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^4+0\right)·e^{-3x}+\left(-3x^5-5\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-15x^4·e^{-3x}+\left(-3x^5-5\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-15x^4·e^{-3x}-3\left(-3x^5-5\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(9x^5-15x^4+15\right)$

= $\left(9x^5-15x^4+15\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(x^2+4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^2+4x}·\left(2x+4\right)$

= $\frac{2x+4}{x^2+4x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·\cos \left(x^2\right)$

= $x^{\frac{1}{4}}·\cos \left(x^2\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·\cos \left(x^2\right)+x^{\frac{1}{4}}·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·\cos \left(x^2\right)+\sqrt[4]{x}·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $\frac{1}{4}\frac{\cos \left(x^2\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{\cos \left(x^2\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-2\sqrt[4]{x}\sin \left(x^2\right)x$

= $\frac{1}{4}\frac{\cos \left(x^2\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-2{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^5·\sin \left(x^2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-x}$

f'(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f'''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-7x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-7$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}+4\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-7$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{1,6}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-7$

= $4e^{-\mathrm{0,4}x}-7-\mathrm{1,6}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$