Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 5 x + 5}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 5 x + 5} + (x + 4) \cdot e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5)$

= $e^{- 5 x + 5} + (x + 4) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 5})$

= $e^{- 5 x + 5} - 5 (x + 4) \cdot e^{- 5 x + 5}$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5 x - 19)$

= $(- 5 x - 19) \cdot e^{- 5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{2} + e^{2 x} \cdot 2 x$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{2 x} x$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x - 5)$

$f'(x) =$ $6 x \cdot \ln (x - 5) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 5} \cdot (1 + 0)$

= $6 x \ln (x - 5) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 5} \cdot (1)$

= $6 x \ln (x - 5) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 5}$

= $6 x \ln (x - 5) + 3 \frac{x^{2}}{x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(e^{- 3 x} - 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(e^{- 3 x} - 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $4 {(e^{- 3 x} - 5)}^{3} \cdot (e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0)$

= $4 {(e^{- 3 x} - 5)}^{3} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 12 {(e^{- 3 x} - 5)}^{3} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,157625 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,157625 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,21550625 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${(- 1,05)}^{63} \cdot e^{- 1,05 x}$

= $- 21,623492570684 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 7$

= $5 e^{- 0,6 x} + 5 (x - 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 7$

= $5 e^{- 0,6 x} - 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 7$

= $5 e^{- 0,6 x} + 7 - 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten