$\text{f(x)}=$ $-2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x-5}+x^5·e^{-2x-5}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x-5}+x^5·\left(-2e^{-2x-5}\right)$

= $5x^4·e^{-2x-5}-2x^5·e^{-2x-5}$

= $e^{-2x-5}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x-5}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x^3-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x^3-1}·\left(-9x^2\right)$

= $18·e^{-3x^3-1}{x}^2$

= $18x^2{e}^{-3x^3-1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x^3+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x^3+5}·\left(-15x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-5x^3+5}·\left(-15x^2\right)$

= $-15\frac{x^2}{-5x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{-x+4}$

= ${\left(-x+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{\left(-x+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{-x+4}}·\left(-1+0\right)$

= $\frac{1}{2\sqrt{-x+4}}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{2\sqrt{-x+4}}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-2e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{2,1}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{2,1}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{2,205}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{2,205}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{2,31525}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,31525}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{2,4310125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 77-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 77 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{77}$

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{77}·\left(-2e^{-\mathrm{1,05}x}\right)$

= $\mathrm{85,626072461881}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-1$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}-2\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,6}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,6}x-5\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}x-5\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$