Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{3 x^{4}} - e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{3 x^{4}} - e^{2 x - 3}$

= $\frac{7}{3} x^{- 4} - e^{2 x - 3}$

=> f'(x) = $- \frac{28}{3} x^{- 5} - e^{2 x - 3} \cdot 2$

$f'(x) =$ $- \frac{28}{3 x^{5}} - e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $- \frac{28}{3 x^{5}} - 2 e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x - 4) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 8 x - 4) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{2} - 4 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 8 x - 4) \cdot e^{3 x} + 3 (- 4 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 8 x - 4 + (- 12 x^{2} - 12 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{2} - 20 x - 4)$

= $(- 12 x^{2} - 20 x - 4) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x \cdot \ln (x - 7)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x \cdot \ln (x - 7)$

$f'(x) =$ $7 \cdot \ln (x - 7) + 7 x \cdot \frac{1}{x - 7} \cdot (1 + 0)$

= $7 \ln (x - 7) + 7 x \cdot \frac{1}{x - 7} \cdot (1)$

= $7 \ln (x - 7) + 7 x \cdot \frac{1}{x - 7}$

= $7 \ln (x - 7) + 7 \frac{x}{x - 7}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{x + 2}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{x + 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{x + 2} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{x + 2} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{x + 2}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 44-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,520875 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,520875 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,74900625 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${1,15}^{44} \cdot e^{1,15 x}$

= $468,49501651166 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 6$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- x + 0)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- x)$

= $x \cdot (- e^{- 0,2 x})$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten