Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x - 2) \cdot e^{5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x - 2) \cdot e^{5 x + 2}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{5 x + 2} + (4 x - 2) \cdot e^{5 x + 2} \cdot 5$

= $4 e^{5 x + 2} + (4 x - 2) \cdot 5 e^{5 x + 2}$

= $4 e^{5 x + 2} + 5 (4 x - 2) \cdot e^{5 x + 2}$

= $e^{5 x + 2} \cdot (20 x - 6)$

= $(20 x - 6) \cdot e^{5 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (2 x^{4} + 5 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (2 x^{4} + 5 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (2 x^{4} + 5 x^{3}) + e^{- 3 x} \cdot (8 x^{3} + 15 x^{2})$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (2 x^{4} + 5 x^{3}) + e^{- 3 x} (8 x^{3} + 15 x^{2})$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{4} - 15 x^{3} + (8 x^{3} + 15 x^{2}))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{4} - 7 x^{3} + 15 x^{2})$

= $(- 6 x^{4} - 7 x^{3} + 15 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $10 x \cdot \ln (x) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $10 x \ln (x) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $10 x \ln (x) + 5 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 5) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 5) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} - 5) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 6$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 6$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

= $3 e^{- 0,1 x} + 6 - 0,3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten