Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x + 2} + x^{2} \cdot e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x + 2} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 2})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x + 2} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 2}$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{e^{- 2 x}}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{e^{- 2 x}}{x^{4}}$

$f'(x) =$ $\frac{e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{4} - e^{- 2 x} \cdot 4 x^{3}}{{(x^{4})}^{2}}$

= $\frac{- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{4} - 4 \cdot e^{- 2 x} x^{3}}{{(x^{4})}^{2}}$

= $\frac{- 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 4 x^{3} \cdot e^{- 2 x}}{x^{8}}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x - 3)$

$f'(x) =$ $6 x \cdot \ln (x - 3) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 3} \cdot (1 + 0)$

= $6 x \ln (x - 3) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 3} \cdot (1)$

= $6 x \ln (x - 3) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 3}$

= $6 x \ln (x - 3) + 3 \frac{x^{2}}{x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x - 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x - 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x - 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x - 6)$

= $(4 x - 6) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 9$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- e^{- 0,9 x} - (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (0,9 x + 3,5)$

= $(0,9 x + 3,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten