$\text{f(x)}=$ $-3e^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $-\frac{3}{4}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-5x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-5x+4}+x^5·e^{-5x+4}·\left(-5\right)$

= $5x^4·e^{-5x+4}+x^5·\left(-5e^{-5x+4}\right)$

= $5x^4·e^{-5x+4}-5x^5·e^{-5x+4}$

= $e^{-5x+4}·\left(-5x^5+5x^4\right)$

= $\left(-5x^5+5x^4\right)·e^{-5x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^4+5x^3\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x^3+15x^2\right)·e^{-x}+\left(x^4+5x^3\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $\left(4x^3+15x^2\right)·e^{-x}+\left(x^4+5x^3\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $\left(4x^3+15x^2\right)·e^{-x}-\left(x^4+5x^3\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·(-x^4-5x^3+\left(4x^3+15x^2\right))$

= $e^{-x}·\left(-x^4-x^3+15x^2\right)$

= $\left(-x^4-x^3+15x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $4x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $8x·\ln \left(x\right)+4x^2·\frac{1}{x}·1$

= $8x\ln \left(x\right)+4x^2·\frac{1}{x}$

= $8x\ln \left(x\right)+4x$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\sin \left(x^3\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\sin \left(x^3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\sin \left(x^3\right)+x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\sin \left(x^3\right)+\sqrt{x}·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+3\sqrt{x}\cos \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\sin \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+3{\left(\sqrt{x}\right)}^5·\cos \left(x^3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-x}$

f'(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f'''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $-5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+3$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+3$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{0,7}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+3$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}+3-\mathrm{0,7}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$