$\text{f(x)}=$ $-1+3e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{2x}·2$

= $6e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x-4}+x^5·e^{-x-4}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x-4}+x^5·\left(-e^{-x-4}\right)$

= $5x^4·e^{-x-4}-x^5·e^{-x-4}$

= $e^{-x-4}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x-4}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x+5}·\left(-3\right)$

= $-9e^{-3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x+5}·\left(3+0\right)$

= $\frac{1}{3x+5}·\left(3\right)$

= $\frac{3}{3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-4\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2-4\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2-4\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2-4\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x+8\right)$

= $\left(-2x^2+2x+8\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $4e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{4,2}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,2}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{4,41}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{4,41}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{4,6305}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{4,6305}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{4,862025}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{73}·4e^{\mathrm{1,05}x}$

= $\mathrm{140,8895634422}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-2x+9\right)$

= $\left(-2x+9\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$