$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{3}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{10}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^3+1\right)·e^{5x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-9x^2+0\right)·e^{5x-1}+\left(-3x^3+1\right)·e^{5x-1}·5$

= $-9x^2·e^{5x-1}+\left(-3x^3+1\right)·5e^{5x-1}$

= $-9x^2·e^{5x-1}+5\left(-3x^3+1\right)·e^{5x-1}$

= $e^{5x-1}·\left(-15x^3-9x^2+5\right)$

= $\left(-15x^3-9x^2+5\right)·e^{5x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^4+4\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(16x^3+0\right)·e^{3x}+\left(4x^4+4\right)·e^{3x}·3$

= $16x^3·e^{3x}+\left(4x^4+4\right)·3e^{3x}$

= $16x^3·e^{3x}+3\left(4x^4+4\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(12x^4+16x^3+12\right)$

= $\left(12x^4+16x^3+12\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $6x^3·\ln \left(x^2-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $18x^2·\ln \left(x^2-4\right)+6x^3·\frac{1}{x^2-4}·\left(2x+0\right)$

= $18x^2\ln \left(x^2-4\right)+6x^3·\frac{1}{x^2-4}·\left(2x\right)$

= $18x^2\ln \left(x^2-4\right)+6x^3·2\frac{x}{x^2-4}$

= $18x^2\ln \left(x^2-4\right)+12\frac{x^3·x}{x^2-4}$

= $18x^2\ln \left(x^2-4\right)+12\frac{x^4}{x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{-x^2-5}$

= $2{\left(-x^2-5\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-2{\left(-x^2-5\right)}^{-2}·\left(-2x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(-x^2-5\right)}^2}·\left(-2x+0\right)$

= $-\frac{2}{{\left(-x^2-5\right)}^2}·\left(-2x\right)$

= $4\frac{x}{{\left(-x^2-5\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+89\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+7$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+7$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+7$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}+7-2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$