$\text{f(x)}=$ $-e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x}·\left(-1\right)$

= $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2x^2-3e^{3x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-4x-3e^{3x+2}·3$

= $-4x-9e^{3x+2}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x}+x^3·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x}+x^3·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3x^2·e^{-3x}-3x^3·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x^3-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x^3-4}·\left(6x^2+0\right)$

= $\frac{1}{2x^3-4}·\left(6x^2\right)$

= $6\frac{x^2}{2x^3-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+9\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+9\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+9\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+9\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-18\right)$

= $\left(-2x^2+2x-18\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,4641}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{50}·e^{-\mathrm{1,1}x}$

= $\mathrm{117,3908528797}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+6$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+6$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{3,2}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+6$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}+6-\mathrm{3,2}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$