$\text{f(x)}=$ $3+e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{2x}·2$

= $2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{x-5}+x^2·e^{x-5}·1$

= $2x·e^{x-5}+x^2·e^{x-5}$

= $e^{x-5}·\left(x^2+2x\right)$

= $\left(x^2+2x\right)·e^{x-5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^4+2\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-12x^3+0\right)·e^{-x}+\left(-3x^4+2\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-12x^3·e^{-x}+\left(-3x^4+2\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $-12x^3·e^{-x}-\left(-3x^4+2\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(3x^4-12x^3-2\right)$

= $\left(3x^4-12x^3-2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\ln \left(x\right)+x^3·\frac{1}{x}·1$

= $3x^2\ln \left(x\right)+x^3·\frac{1}{x}$

= $3x^2\ln \left(x\right)+x^2$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-1\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-2x}+\left(3x-1\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3e^{-2x}+\left(3x-1\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $3e^{-2x}-2\left(3x-1\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-6x+5\right)$

= $\left(-6x+5\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $2e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{2,1}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,1}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{2,205}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,205}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{2,31525}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{2,31525}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{2,4310125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{72}·2e^{-\mathrm{1,05}x}$

= $\mathrm{67,090268305808}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}-4\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2x+8\right)$

= $\left(2x+8\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$