Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 2 e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 2 e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{7}{4} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x - 5) \cdot e^{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x - 5) \cdot e^{- 2 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{- 2 x - 1} + (- 2 x - 5) \cdot e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x - 1} + (- 2 x - 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 1})$

= $- 2 e^{- 2 x - 1} - 2 (- 2 x - 5) \cdot e^{- 2 x - 1}$

= $e^{- 2 x - 1} \cdot (4 x + 8)$

= $(4 x + 8) \cdot e^{- 2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{5} + e^{3 x} \cdot 5 x^{4}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{5} + 5 \cdot e^{3 x} x^{4}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $1 \cdot \ln (x) + x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $\ln (x) + x \cdot \frac{1}{x}$

= $\ln (x) + 1$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 8) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 8) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (x + 8) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $\sin (- 2 x) + (x + 8) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $\sin (- 2 x) - 2 (x + 8) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 2$

= $3 e^{- 0,9 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 2$

= $3 e^{- 0,9 x} - 2,7 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

= $3 e^{- 0,9 x} + 2 - 2,7 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten