Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{1}{4} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{1}{4} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{x}$

= $\frac{1}{4} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3 x^{4}} - 3 e^{- 2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3 x^{4}} - 3 e^{- 2 x + 3}$

= $- \frac{2}{3} x^{- 4} - 3 e^{- 2 x + 3}$

=> f'(x) = $\frac{8}{3} x^{- 5} - 3 e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{3 x^{5}} - 3 e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

= $\frac{8}{3 x^{5}} + 6 e^{- 2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- x^{2} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- x^{2} - x)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- x^{2} - x) + e^{- 2 x} \cdot (- 2 x - 1)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- x^{2} - x) + e^{- 2 x} (- 2 x - 1)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x - 1 + (2 x^{2} + 2 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{2} + 0 - 1)$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{2} - 1)$

= $(2 x^{2} - 1) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $6 x \cdot \ln (x^{2} + 2) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 2} \cdot (2 x + 0)$

= $6 x \ln (x^{2} + 2) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 2} \cdot (2 x)$

= $6 x \ln (x^{2} + 2) + 3 x^{2} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 2}$

= $6 x \ln (x^{2} + 2) + 6 \frac{x^{2} \cdot x}{x^{2} + 2}$

= $6 x \ln (x^{2} + 2) + 6 \frac{x^{3}}{x^{2} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (3 x + 4) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + (3 x + 4) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (3 x + 4) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${0,9}^{57} \cdot e^{0,9 x}$

= $0,0024650347049581 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 2$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x - 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 2$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

= $4 e^{- 0,9 x} + 2 - 3,6 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten