$\text{f(x)}=$ $-e^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{\frac{1}{4}x}·\frac{1}{4}$

= $-\frac{1}{4}{e}^{\frac{1}{4}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x+3\right)·e^{2x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2+0\right)·e^{2x-3}+\left(-2x+3\right)·e^{2x-3}·2$

= $-2e^{2x-3}+\left(-2x+3\right)·2e^{2x-3}$

= $-2e^{2x-3}+2\left(-2x+3\right)·e^{2x-3}$

= $e^{2x-3}·\left(-4x+4\right)$

= $\left(-4x+4\right)·e^{2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{x^5}{e^{-3x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5x^4·e^{-3x}-x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)}{{\left(e^{-3x}\right)}^2}$

= $\frac{5x^4·e^{-3x}-x^5·\left(-3e^{-3x}\right)}{{\left(e^{-3x}\right)}^2}$

= $\frac{5x^4·e^{-3x}+3x^5·e^{-3x}}{{\left(e^{-3x}\right)}^2}$

= $\frac{3x^5·e^{-3x}+5x^4·e^{-3x}}{e^{-6x}}$

= $\frac{e^{-3x+6x}·\left(3x^5+5x^4\right)}{1}$

= $\frac{e^{3x}·\left(3x^5+5x^4\right)}{1}$

= $\frac{\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x}}{1}$

= $\left(3x^5+5x^4\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $7x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $7·\ln \left(x\right)+7x·\frac{1}{x}·1$

= $7\ln \left(x\right)+7x·\frac{1}{x}$

= $7\ln \left(x\right)+7$

$\text{f(x)}=$ $-\cos \left(x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\sin \left(x+2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,52200625}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{34}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

= $\mathrm{0,0039833042007276}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-2$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}+3\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-2$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,9}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-2$

= $3e^{-\mathrm{0,3}x}-2-\mathrm{0,9}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$