$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{4}{5}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x+1}+x^5·e^{-2x+1}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x+1}+x^5·\left(-2e^{-2x+1}\right)$

= $5x^4·e^{-2x+1}-2x^5·e^{-2x+1}$

= $e^{-2x+1}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x^4+5x^3\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(16x^3+15x^2\right)·e^{2x}+\left(4x^4+5x^3\right)·e^{2x}·2$

= $\left(16x^3+15x^2\right)·e^{2x}+\left(4x^4+5x^3\right)·2e^{2x}$

= $\left(16x^3+15x^2\right)·e^{2x}+2\left(4x^4+5x^3\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·(8x^4+10x^3+\left(16x^3+15x^2\right))$

= $e^{2x}·\left(8x^4+26x^3+15x^2\right)$

= $\left(8x^4+26x^3+15x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-6\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-6}{7x}·7$

= $-\frac{6}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{3x}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{3x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{3x}+x^{\frac{1}{2}}·e^{3x}·3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{3x}+\sqrt{x}·e^{3x}·3$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{3x}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·3e^{3x}$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{3x}}{\sqrt{x}}+3\sqrt{x}·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^x$

f'(x) = $5e^x$

f''(x) = $5e^x$

f'''(x) = $5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $5e^x$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,5}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{1,5}x-\mathrm{3,5}\right)$

= $\left(\mathrm{1,5}x-\mathrm{3,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$