$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{3}{5}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{5}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{3}{5}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^4-4x^2\right)·e^{-x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x^3-8x\right)·e^{-x+4}+\left(-2x^4-4x^2\right)·e^{-x+4}·\left(-1\right)$

= $\left(-8x^3-8x\right)·e^{-x+4}+\left(-2x^4-4x^2\right)·\left(-e^{-x+4}\right)$

= $\left(-8x^3-8x\right)·e^{-x+4}-\left(-2x^4-4x^2\right)·e^{-x+4}$

= $e^{-x+4}·(2x^4+4x^2+\left(-8x^3-8x\right))$

= $e^{-x+4}·\left(2x^4-8x^3+4x^2-8x\right)$

= $\left(2x^4-8x^3+4x^2-8x\right)·e^{-x+4}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{x-3}·1$

= $-2e^{x-3}$

$\text{f(x)}=$ $3x^3·\ln \left(x+9\right)$

$\text{f'(x)}=$ $9x^2·\ln \left(x+9\right)+3x^3·\frac{1}{x+9}·\left(1+0\right)$

= $9x^2\ln \left(x+9\right)+3x^3·\frac{1}{x+9}·\left(1\right)$

= $9x^2\ln \left(x+9\right)+3x^3·\frac{1}{x+9}$

= $9x^2\ln \left(x+9\right)+3\frac{x^3}{x+9}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-2x}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-2x}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-2x}+\sqrt{x}·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x}}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+79\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}-2\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-2e^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(x-3\right)$

= $\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$