$\text{f(x)}=$ $3-2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^x$

= $-2e^x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3}{x}^4-2e^{-3x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{16}{3}{x}^3-2e^{-3x+3}·\left(-3\right)$

= $\frac{16}{3}{x}^3+6e^{-3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{3x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x^3+5}·9x^2$

= $-9·e^{3x^3+5}{x}^2$

= $-9x^2{e}^{3x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $4\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{5x}·5$

= $\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+4\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{2x}+\left(x^2+4\right)·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+\left(x^2+4\right)·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2\left(x^2+4\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x+8\right)$

= $\left(2x^2+2x+8\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,05}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,05}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,157625}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,157625}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{1,21550625}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{65}·e^{\mathrm{1,05}x}$

= $\mathrm{23,839900559179}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)-5$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}-5\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,9}{e}^{-\mathrm{0,9}x}\right)-5$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}+\mathrm{4,5}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}-5$

= $-5e^{-\mathrm{0,9}x}-5+\mathrm{4,5}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,9}x}$