$\text{f(x)}=$ $-4-3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{3x}·3$

= $-9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{3x-5}+4\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x-5}·3-4\cdot \sin \left(x\right)$

= $9e^{3x-5}-4\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3-2}·\left(-3x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-x^3-2}·\left(-3x^2\right)$

= $-3\frac{x^2}{-x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\sin \left(3x\right)+x^5·\cos \left(3x\right)·3$

= $5x^4·\sin \left(3x\right)+x^5·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $5x^4·\sin \left(3x\right)+3x^5·\cos \left(3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-3e^{-\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $-3e^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{3,45}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,45}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{3,9675}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{3,9675}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $\mathrm{4,562625}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{4,562625}{e}^{-\mathrm{1,15}x}·\left(-\mathrm{1,15}\right)$ = $-\mathrm{5,24701875}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $-\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,15}\right)}^{40}·\left(-3e^{-\mathrm{1,15}x}\right)$

= $-\mathrm{803,59063870411}{e}^{-\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}-4\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,2}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$