Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $- \frac{5}{3} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x + 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1} + x^{3} \cdot e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 1})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 1} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 1}$

= $e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- e^{x^{2} + 3} \cdot 2 x$

= $- 2 \cdot e^{x^{2} + 3} x$

= $- 2 x e^{x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} - 4 x} \cdot (12 x^{2} - 4)$

= $\frac{12 x^{2} - 4}{4 x^{3} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \cos (x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \cos (x + 1)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \cos (x + 1) + x^{3} \cdot (- \sin (x + 1))$

= $3 x^{2} \cdot \cos (x + 1) - x^{3} \cdot \sin (x + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $5,75 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $5,75 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 6,6125 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 6,6125 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $7,604375 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $7,604375 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 8,74503125 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${(- 1,15)}^{45} \cdot (- 5 e^{- 1,15 x})$

= $2 693,846344942 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 4$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x + 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 4$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 - 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten