Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{9} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{16}{9} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{3} \sqrt{x} + 2 e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{3} \sqrt{x} + 2 e^{- 3 x - 4}$

= $- \frac{7}{3} x^{\frac{1}{2}} + 2 e^{- 3 x - 4}$

=> f'(x) = $- \frac{7}{6} x^{- \frac{1}{2}} + 2 e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $- \frac{7}{6 \sqrt{x}} + 2 e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $- \frac{7}{6 \sqrt{x}} - 6 e^{- 3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 5 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 5 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{2} - 5) \cdot e^{3 x} + (- 5 x^{3} - 5 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 15 x^{2} - 5) \cdot e^{3 x} + (- 5 x^{3} - 5 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 15 x^{2} - 5) \cdot e^{3 x} + 3 (- 5 x^{3} - 5 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{2} - 5 + (- 15 x^{3} - 15 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{3} - 15 x^{2} - 15 x - 5)$

= $(- 15 x^{3} - 15 x^{2} - 15 x - 5) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (x^{2}) + x^{3} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $3 x^{2} \cdot \sin (x^{2}) + x^{3} \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $3 x^{2} \cdot \sin (x^{2}) + 2 x^{3} \cos (x^{2}) x$

= $3 x^{2} \cdot \sin (x^{2}) + 2 x^{4} \cdot \cos (x^{2})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{1,05 x}$

f'(x) = $2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,1 e^{1,05 x}$

f''(x) = $2,1 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,205 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $2,205 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,31525 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,31525 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,4310125 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${1,05}^{75} \cdot 2 e^{1,05 x}$

= $77,665371847511 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2,4 x + 7,8)$

= $(- 2,4 x + 7,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten