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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x + 1} + 3 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x + 1} + 3 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x + 1} \cdot 3 - 3 \cdot \sin (x)$

= $6 e^{3 x + 1} - 3 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x + 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x + 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x + 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x + 14)$

= $(6 x + 14) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x \cdot \ln (x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x \cdot \ln (x + 5)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \ln (x + 5) + 2 x \cdot \frac{1}{x + 5} \cdot (1 + 0)$

= $2 \ln (x + 5) + 2 x \cdot \frac{1}{x + 5} \cdot (1)$

= $2 \ln (x + 5) + 2 x \cdot \frac{1}{x + 5}$

= $2 \ln (x + 5) + 2 \frac{x}{x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{2 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{2 x^{3} + 2}$

= $2 {(2 x^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(2 x^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{2 x^{3} + 2}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{2 x^{3} + 2}} \cdot (6 x^{2})$

= $6 \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x^{3} + 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 3$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x + 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 3$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 3 + 0,9 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x}$