$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{4}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{4}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{5}{4}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-4x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-4x-4}+x^4·e^{-4x-4}·\left(-4\right)$

= $4x^3·e^{-4x-4}+x^4·\left(-4e^{-4x-4}\right)$

= $4x^3·e^{-4x-4}-4x^4·e^{-4x-4}$

= $e^{-4x-4}·\left(-4x^4+4x^3\right)$

= $\left(-4x^4+4x^3\right)·e^{-4x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+2\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^x+\left(2x+2\right)·e^x$

= $2e^x+\left(2x+2\right)·e^x$

= $e^x·\left(2x+4\right)$

= $\left(2x+4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $x^3·\ln \left(x^2-6\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\ln \left(x^2-6\right)+x^3·\frac{1}{x^2-6}·\left(2x+0\right)$

= $3x^2\ln \left(x^2-6\right)+x^3·\frac{1}{x^2-6}·\left(2x\right)$

= $3x^2\ln \left(x^2-6\right)+x^3·2\frac{x}{x^2-6}$

= $3x^2\ln \left(x^2-6\right)+2\frac{x^3·x}{x^2-6}$

= $3x^2\ln \left(x^2-6\right)+2\frac{x^4}{x^2-6}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[3]{x}·\sin \left(x+1\right)$

= $x^{\frac{1}{3}}·\sin \left(x+1\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}·\sin \left(x+1\right)+x^{\frac{1}{3}}·\cos \left(x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}·\sin \left(x+1\right)+\sqrt[3]{x}·\cos \left(x+1\right)$

= $\frac{1}{3}\frac{\sin \left(x+1\right)}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+\sqrt[3]{x}·\cos \left(x+1\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-x}$

f'(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f'''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-8$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}-5\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,5}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{1,5}x+\mathrm{5,5}\right)$

= $\left(\mathrm{1,5}x+\mathrm{5,5}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$