Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x - 4) \cdot e^{x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x - 4) \cdot e^{x + 4}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{x + 4} + (4 x - 4) \cdot e^{x + 4} \cdot 1$

= $4 e^{x + 4} + (4 x - 4) \cdot e^{x + 4}$

= $e^{x + 4} \cdot (4 x + 0)$

= $e^{x + 4} \cdot 4 x$

= $x \cdot 4 e^{x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} - 2 x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 3 x^{5} - 2 x) + e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{4} - 2)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (- 3 x^{5} - 2 x) + e^{- 3 x} (- 15 x^{4} - 2)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{4} - 2 + (9 x^{5} + 6 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{5} - 15 x^{4} + 6 x - 2)$

= $(9 x^{5} - 15 x^{4} + 6 x - 2) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - x} \cdot (6 x - 1)$

= $\frac{6 x - 1}{3 x^{2} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 9) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 9) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} - 9) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 36-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,614125 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,614125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,52200625 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${0,85}^{36} \cdot e^{0,85 x}$

= $0,0028779372850257 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 5$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 5$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$

= $5 e^{- 0,8 x} - 5 - 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten