Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{4} - 3) \cdot e^{4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{4} - 3) \cdot e^{4 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 16 x^{3} + 0) \cdot e^{4 x + 5} + (- 4 x^{4} - 3) \cdot e^{4 x + 5} \cdot 4$

= $- 16 x^{3} \cdot e^{4 x + 5} + (- 4 x^{4} - 3) \cdot 4 e^{4 x + 5}$

= $- 16 x^{3} \cdot e^{4 x + 5} + 4 (- 4 x^{4} - 3) \cdot e^{4 x + 5}$

= $e^{4 x + 5} \cdot (- 16 x^{4} - 16 x^{3} - 12)$

= $(- 16 x^{4} - 16 x^{3} - 12) \cdot e^{4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x + 4) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x + 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x + 4) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x - 7)$

= $(- 2 x - 7) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x^{2} + 9)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x^{2} + 9)$

$f'(x) =$ $21 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 9) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} + 9} \cdot (2 x + 0)$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} + 9) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} + 9} \cdot (2 x)$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} + 9) + 7 x^{3} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 9}$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} + 9) + 14 \frac{x^{3} \cdot x}{x^{2} + 9}$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} + 9) + 14 \frac{x^{4}}{x^{2} + 9}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{x - 1}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{x - 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{x - 1} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{x - 1} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{x - 1} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{x - 1} \cdot 1$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{x - 1}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{x - 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $5 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 5,5 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 5,5 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $6,05 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $6,05 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 6,655 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 6,655 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $7,3205 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${(- 1,1)}^{46} \cdot 5 e^{- 1,1 x}$

= $400,89766026807 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 4 e^{- 0,3 x} - 4 (x - 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 1,2 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,2 x - 6,4)$

= $(1,2 x - 6,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten