$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{8}{5}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{3x-1}+\sqrt{x}$

= $-e^{3x-1}+x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-e^{3x-1}·3+\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x-1}·3+\frac{1}{2\sqrt{x}}$

= $-3e^{3x-1}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{2x^3+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x^3+4}·6x^2$

= $12·e^{2x^3+4}{x}^2$

= $12x^2{e}^{2x^3+4}$

$\text{f(x)}=$ $2x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2·\ln \left(x\right)+2x·\frac{1}{x}·1$

= $2\ln \left(x\right)+2x·\frac{1}{x}$

= $2\ln \left(x\right)+2$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-3\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{3x}+\left(x-3\right)·e^{3x}·3$

= $e^{3x}+\left(x-3\right)·3e^{3x}$

= $e^{3x}+3\left(x-3\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x-8\right)$

= $\left(3x-8\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+93\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+7$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+7$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{2,5}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+7$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}+7-\mathrm{2,5}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$