$\text{f(x)}=$ $-e^{\frac{10}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{\frac{10}{9}x}·\frac{10}{9}$

= $-\frac{10}{9}{e}^{\frac{10}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x+4}-\frac{9}{2}\cdot \cos \left(x\right)-3x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x+4}·\left(-1\right)+\frac{9}{2}\cdot \sin \left(x\right)-12x^3$

= $3e^{-x+4}+\frac{9}{2}\cdot \sin \left(x\right)-12x^3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{-x^4-5x^3}{e^{-3x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{\left(-4x^3-15x^2\right)·e^{-3x}-\left(-x^4-5x^3\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)}{{\left(e^{-3x}\right)}^2}$

= $\frac{\left(-4x^3-15x^2\right)·e^{-3x}-\left(-x^4-5x^3\right)·\left(-3e^{-3x}\right)}{{\left(e^{-3x}\right)}^2}$

= $\frac{\left(-4x^3-15x^2\right)·e^{-3x}+3\left(-x^4-5x^3\right)·e^{-3x}}{{\left(e^{-3x}\right)}^2}$

= $\frac{3\left(-x^4-5x^3\right)·e^{-3x}+\left(-4x^3-15x^2\right)·e^{-3x}}{e^{-6x}}$

= $\frac{e^{-3x+6x}·(-3x^3\left(x+5\right)-x^2\left(4x+15\right))}{1}$

= $\frac{e^{3x}·(-3x^3\left(x+5\right)-x^2\left(4x+15\right))}{1}$

= $\frac{(-3x^3\left(x+5\right)-x^2\left(4x+15\right))·e^{3x}}{1}$

= $(-3x^3·\left(x+5\right)-x^2·\left(4x+15\right))·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{7x}·7$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+5\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-3x}+\left(3x+5\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}+\left(3x+5\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3e^{-3x}-3\left(3x+5\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-9x-12\right)$

= $\left(-9x-12\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+94\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+3$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}-4\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+3$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,4}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3$

= $-4e^{-\mathrm{0,1}x}+3+\mathrm{0,4}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$