$\text{f(x)}=$ $2e^x$

$\text{f'(x)}=$ $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{2}\cdot \cos \left(x\right)-3e^{-3x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{2}\cdot \sin \left(x\right)-3e^{-3x+2}·\left(-3\right)$

= $-\frac{5}{2}\cdot \sin \left(x\right)+9e^{-3x+2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^4+4x\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(8x^3+4\right)·e^{-3x}+\left(2x^4+4x\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\left(8x^3+4\right)·e^{-3x}+\left(2x^4+4x\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\left(8x^3+4\right)·e^{-3x}-3\left(2x^4+4x\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·(8x^3+4+\left(-6x^4-12x\right))$

= $e^{-3x}·\left(-6x^4+8x^3-12x+4\right)$

= $\left(-6x^4+8x^3-12x+4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{7x}·7$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·\sin \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(x^2\right)+\left(x-2\right)·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $\sin \left(x^2\right)+\left(x-2\right)·2\cos \left(x^2\right)x$

= $\sin \left(x^2\right)+2\left(x-2\right)\cos \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-2e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{1,8}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,8}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{1,62}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,62}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{1,458}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,458}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{1,3122}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{46}·\left(-2e^{\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-\mathrm{0,015710334422558}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-6$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-6$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{2,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-6$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}-6-\mathrm{2,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$