Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x + 2} - 3 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x + 2} - 3 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $e^{- x + 2} \cdot (- 1) - 3 \cdot \cos (x)$

= $- e^{- x + 2} - 3 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (x - 3)$

= $x^{\frac{3}{2}} \cdot \cos (x - 3)$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x - 3) + x^{\frac{3}{2}} \cdot (- \sin (x - 3))$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \cos (x - 3) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot (- \sin (x - 3))$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \cos (x - 3) - {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 89)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 6$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 6$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

= $3 e^{- 0,1 x} + 6 - 0,3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten