$\text{f(x)}=$ $-5+3e^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{1}{2}x}·\frac{1}{2}$

= $\frac{3}{2}{e}^{\frac{1}{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^4-2x\right)·e^{-2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-8x^3-2\right)·e^{-2x+4}+\left(-2x^4-2x\right)·e^{-2x+4}·\left(-2\right)$

= $\left(-8x^3-2\right)·e^{-2x+4}+\left(-2x^4-2x\right)·\left(-2e^{-2x+4}\right)$

= $\left(-8x^3-2\right)·e^{-2x+4}-2\left(-2x^4-2x\right)·e^{-2x+4}$

= $e^{-2x+4}·(-8x^3-2+\left(4x^4+4x\right))$

= $e^{-2x+4}·\left(4x^4-8x^3+4x-2\right)$

= $\left(4x^4-8x^3+4x-2\right)·e^{-2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{x^5}{e^{-x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5x^4·e^{-x}-x^5·e^{-x}·\left(-1\right)}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{5x^4·e^{-x}-x^5·\left(-e^{-x}\right)}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{5x^4·e^{-x}+x^5·e^{-x}}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{x^5·e^{-x}+5x^4·e^{-x}}{e^{-2x}}$

= $\frac{e^{-x+2x}·\left(x^5+5x^4\right)}{1}$

= $\frac{e^x·\left(x^5+5x^4\right)}{1}$

= $\frac{\left(x^5+5x^4\right)·e^x}{1}$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-8\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-8}{7x}·7$

= $-\frac{8}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-9\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-2x}+\left(2x-9\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}+\left(2x-9\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2e^{-2x}-2\left(2x-9\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-4x+20\right)$

= $\left(-4x+20\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-5e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{4,5}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,5}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{4,05}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{4,05}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{3,645}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{3,645}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $-\mathrm{3,2805}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{64}·\left(-5e^{\mathrm{0,9}x}\right)$

= $-\mathrm{0,0058950922888693}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{2,8}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{2,8}x-\mathrm{12,4}\right)$

= $\left(\mathrm{2,8}x-\mathrm{12,4}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$