Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{1}{3} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{1}{3} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{3} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \cdot \cos (x) - \sin (x) - 3 e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \cdot \cos (x) - \sin (x) - 3 e^{3 x + 3}$

$f'(x) =$ $7 \cdot \sin (x) - \cos (x) - 3 e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $7 \cdot \sin (x) - \cos (x) - 9 e^{3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 4 x)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 2 x^{2} + 4 x) + e^{- 2 x} \cdot (- 4 x + 4)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- 2 x^{2} + 4 x) + e^{- 2 x} (- 4 x + 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x + 4 + (4 x^{2} - 8 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{2} - 12 x + 4)$

= $(4 x^{2} - 12 x + 4) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $6 x \cdot \ln (x^{2} - 1) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \cdot (2 x + 0)$

= $6 x \ln (x^{2} - 1) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \cdot (2 x)$

= $6 x \ln (x^{2} - 1) + 3 x^{2} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 1}$

= $6 x \ln (x^{2} - 1) + 6 \frac{x^{2} \cdot x}{x^{2} - 1}$

= $6 x \ln (x^{2} - 1) + 6 \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x - 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x - 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x + 9)$

= $(- 6 x + 9) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 70-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,157625 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,157625 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,21550625 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${1,05}^{70} \cdot e^{1,05 x}$

= $30,426425535514 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 6$

= $e^{- 0,8 x} + (x + 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 6$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$

= $e^{- 0,8 x} + 6 - 0,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten