Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{3} \cdot \sin (x) - e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{3} \cdot \sin (x) - e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{3} \cdot \cos (x) - e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $\frac{5}{3} \cdot \cos (x) - 2 e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x + 5} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x + 5} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \cos (x^{3})$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot \cos (x^{3})$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot \cos (x^{3}) + x^{\frac{1}{4}} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot \cos (x^{3}) + \sqrt[4]{x} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (x^{3})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (x^{3})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} - 3 \sqrt[4]{x} \sin (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (x^{3})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} - 3 {(\sqrt[4]{x})}^{9} \cdot \sin (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 4$

= $3 e^{- 0,9 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 4$

= $3 e^{- 0,9 x} - 2,7 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$

= $3 e^{- 0,9 x} - 4 - 2,7 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten