Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{7}{9} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $- e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $e^{- x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x \cdot \ln (x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x \cdot \ln (x - 5)$

$f'(x) =$ $5 \cdot \ln (x - 5) + 5 x \cdot \frac{1}{x - 5} \cdot (1 + 0)$

= $5 \ln (x - 5) + 5 x \cdot \frac{1}{x - 5} \cdot (1)$

= $5 \ln (x - 5) + 5 x \cdot \frac{1}{x - 5}$

= $5 \ln (x - 5) + 5 \frac{x}{x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 9) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 9) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 9) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 27)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 27) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 69-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- 2 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $2,1 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $2,1 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 2,205 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 2,205 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $2,31525 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,31525 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 2,4310125 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${(- 1,05)}^{69} \cdot (- 2 e^{- 1,05 x})$

= $57,955096258122 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 5$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x + 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1,5 x - 7,5)$

= $(- 1,5 x - 7,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten