Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x - 1} - 4 x^{4} - 2 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x - 1} - 4 x^{4} - 2 \sqrt{x}$

= $- 2 e^{2 x - 1} - 4 x^{4} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- 2 e^{2 x - 1} \cdot 2 - 16 x^{3} - x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x - 1} \cdot 2 - 16 x^{3} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

= $- 4 e^{2 x - 1} - 16 x^{3} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x + 2) \cdot e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x + 2) \cdot e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{- 3 x - 1} + (- x + 2) \cdot e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $- e^{- 3 x - 1} + (- x + 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 1})$

= $- e^{- 3 x - 1} - 3 (- x + 2) \cdot e^{- 3 x - 1}$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (3 x - 7)$

= $(3 x - 7) \cdot e^{- 3 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} + 5} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{3} + 5} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \frac{x^{2}}{- 3 x^{3} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x - 2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x - 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x - 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 3 x - 2} + \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x - 2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 2})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x - 2}}{\sqrt{x}} - 3 \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x - 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 66-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{0,95 x}$

f'(x) = $3 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,85 e^{0,95 x}$

f''(x) = $2,85 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,7075 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $2,7075 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,572125 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,572125 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,44351875 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${0,95}^{66} \cdot 3 e^{0,95 x}$

= $0,1015966069141 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 9$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 3 (x + 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 9$

= $- 3 e^{- 0,2 x} + 0,6 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 9$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 9 + 0,6 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten