$\text{f(x)}=$ $-4+\frac{4}{5}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{4}{5}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{8}{5}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^3-1\right)·e^{5x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-12x^2+0\right)·e^{5x-2}+\left(-4x^3-1\right)·e^{5x-2}·5$

= $-12x^2·e^{5x-2}+\left(-4x^3-1\right)·5e^{5x-2}$

= $-12x^2·e^{5x-2}+5\left(-4x^3-1\right)·e^{5x-2}$

= $e^{5x-2}·\left(-20x^3-12x^2-5\right)$

= $\left(-20x^3-12x^2-5\right)·e^{5x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{3x}}{x^3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{3x}·3·x^3-e^{3x}·3x^2}{{\left(x^3\right)}^2}$

= $\frac{3·e^{3x}{x}^3-3·e^{3x}{x}^2}{{\left(x^3\right)}^2}$

= $\frac{3x^3·e^{3x}-3x^2·e^{3x}}{x^6}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x^2-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x^2-5}·\left(-4x+0\right)$

= $\frac{1}{-2x^2-5}·\left(-4x\right)$

= $-4\frac{x}{-2x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-9\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{2x}+\left(x-9\right)·e^{2x}·2$

= $e^{2x}+\left(x-9\right)·2e^{2x}$

= $e^{2x}+2\left(x-9\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x-17\right)$

= $\left(2x-17\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-x}$

f'(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f'''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+4$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}+5\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+4$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}-2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4$

= $5e^{-\mathrm{0,4}x}+4-2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$