$\text{f(x)}=$ $-1+\frac{3}{5}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{5}{e}^{3x}·3$

= $\frac{9}{5}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(4x+1\right)·e^{-2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(4+0\right)·e^{-2x+4}+\left(4x+1\right)·e^{-2x+4}·\left(-2\right)$

= $4e^{-2x+4}+\left(4x+1\right)·\left(-2e^{-2x+4}\right)$

= $4e^{-2x+4}-2\left(4x+1\right)·e^{-2x+4}$

= $e^{-2x+4}·\left(-8x+2\right)$

= $\left(-8x+2\right)·e^{-2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{x^2-3}{e^{-x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{\left(2x+0\right)·e^{-x}-\left(x^2-3\right)·e^{-x}·\left(-1\right)}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{2x·e^{-x}-\left(x^2-3\right)·\left(-e^{-x}\right)}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{2x·e^{-x}+\left(x^2-3\right)·e^{-x}}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{\left(x^2-3\right)·e^{-x}+2x·e^{-x}}{e^{-2x}}$

= $\frac{e^{-x+2x}·\left(x^2+2x-3\right)}{1}$

= $\frac{e^x·\left(x^2+2x-3\right)}{1}$

= $\frac{\left(x^2+2x-3\right)·e^x}{1}$

= $\left(x^2+2x-3\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $2x^2·\ln \left(x^2-9\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x·\ln \left(x^2-9\right)+2x^2·\frac{1}{x^2-9}·\left(2x+0\right)$

= $4x\ln \left(x^2-9\right)+2x^2·\frac{1}{x^2-9}·\left(2x\right)$

= $4x\ln \left(x^2-9\right)+2x^2·2\frac{x}{x^2-9}$

= $4x\ln \left(x^2-9\right)+4\frac{x^2·x}{x^2-9}$

= $4x\ln \left(x^2-9\right)+4\frac{x^3}{x^2-9}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(-2x^3-4\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-4\left(-2x^3-4\right)·\left(-6x^2+0\right)$

= $-4\left(-2x^3-4\right)·\left(-6x^2\right)$

= $24\left(-2x^3-4\right)x^2$

= $24x^2\left(-2x^3-4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-x}$

f'(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f''(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f'''(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $-3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-4$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,4}x}-5\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(2x+3\right)$

= $\left(2x+3\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$