$\text{f(x)}=$ $-1+2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{3x}·3$

= $6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-x-2}+\frac{5}{4x^4}$

= $2e^{-x-2}+\frac{5}{4}{x}^{-4}$

=> f'(x) = $2e^{-x-2}·\left(-1\right)-5x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-x-2}·\left(-1\right)-\frac{5}{x^5}$

= $-2e^{-x-2}-\frac{5}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x}+x^4·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x}+x^4·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $4x^3·e^{-3x}-3x^4·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $4x^2·\ln \left(x^2+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $8x·\ln \left(x^2+2\right)+4x^2·\frac{1}{x^2+2}·\left(2x+0\right)$

= $8x\ln \left(x^2+2\right)+4x^2·\frac{1}{x^2+2}·\left(2x\right)$

= $8x\ln \left(x^2+2\right)+4x^2·2\frac{x}{x^2+2}$

= $8x\ln \left(x^2+2\right)+8\frac{x^2·x}{x^2+2}$

= $8x\ln \left(x^2+2\right)+8\frac{x^3}{x^2+2}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2+7\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·e^{2x}+\left(3x^2+7\right)·e^{2x}·2$

= $6x·e^{2x}+\left(3x^2+7\right)·2e^{2x}$

= $6x·e^{2x}+2\left(3x^2+7\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(6x^2+6x+14\right)$

= $\left(6x^2+6x+14\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^x$

f'(x) = $-5e^x$

f''(x) = $-5e^x$

f'''(x) = $-5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $-5e^x$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+6$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+6$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{2,5}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+6$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}+6-\mathrm{2,5}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$