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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{5} + e^{2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{2 x} x^{4}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $4 e^{2 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - 4 x} \cdot (6 x - 4)$

= $\frac{6 x - 4}{3 x^{2} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- 5 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- 5 x - 5)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (- 5 x - 5) + x^{3} \cdot \cos (- 5 x - 5) \cdot (- 5 + 0)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 5 x - 5) + x^{3} \cdot \cos (- 5 x - 5) \cdot (- 5)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 5 x - 5) + x^{3} \cdot (- 5 \cdot \cos (- 5 x - 5))$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 5 x - 5) - 5 x^{3} \cdot \cos (- 5 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 30-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,520875 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,520875 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,74900625 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${(- 1,15)}^{30} \cdot e^{- 1,15 x}$

= $66,211771956786 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 5$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 x + 18)$

= $(- 2 x + 18) \cdot e^{- 0,5 x}$