Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{9}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x - 3) \cdot e^{- 5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x - 3) \cdot e^{- 5 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{- 5 x - 2} + (- 3 x - 3) \cdot e^{- 5 x - 2} \cdot (- 5)$

= $- 3 e^{- 5 x - 2} + (- 3 x - 3) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 2})$

= $- 3 e^{- 5 x - 2} - 5 (- 3 x - 3) \cdot e^{- 5 x - 2}$

= $e^{- 5 x - 2} \cdot (15 x + 12)$

= $(15 x + 12) \cdot e^{- 5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $2 e^{2 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + x} \cdot (6 x^{2} + 1)$

= $\frac{6 x^{2} + 1}{2 x^{3} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (2 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (2 x + 3)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (2 x + 3)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (2 x + 3) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (2 x + 3) \cdot (2 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (2 x + 3) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (2 x + 3) \cdot (2 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (2 x + 3)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- \sin (2 x + 3) \cdot (2))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (2 x + 3)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x + 3))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (2 x + 3)}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot \sin (2 x + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{1,05 x}$

f'(x) = $- 4 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 4,2 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 4,2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 4,41 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 4,41 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 4,6305 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,6305 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 4,862025 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${1,05}^{62} \cdot (- 4 e^{1,05 x})$

= $- 82,375209793082 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 7$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $e^{- 0,2 x} + (x + 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $e^{- 0,2 x} - 0,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2 x + 0,8)$

= $(- 0,2 x + 0,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten