$\text{f(x)}=$ $-4-2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{3x}·3$

= $-6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{3x+1}-x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{3x+1}·3-3x^2$

= $-3e^{3x+1}-3x^2$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^3-2x^2\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(15x^2-4x\right)·e^{3x}+\left(5x^3-2x^2\right)·e^{3x}·3$

= $\left(15x^2-4x\right)·e^{3x}+\left(5x^3-2x^2\right)·3e^{3x}$

= $\left(15x^2-4x\right)·e^{3x}+3\left(5x^3-2x^2\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·(15x^3-6x^2+\left(15x^2-4x\right))$

= $e^{3x}·\left(15x^3+9x^2-4x\right)$

= $\left(15x^3+9x^2-4x\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $3x^3·\ln \left(x-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $9x^2·\ln \left(x-3\right)+3x^3·\frac{1}{x-3}·\left(1+0\right)$

= $9x^2\ln \left(x-3\right)+3x^3·\frac{1}{x-3}·\left(1\right)$

= $9x^2\ln \left(x-3\right)+3x^3·\frac{1}{x-3}$

= $9x^2\ln \left(x-3\right)+3\frac{x^3}{x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)·\cos \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(2x\right)+\left(x+4\right)·(-\sin \left(2x\right)·2)$

= $\cos \left(2x\right)+\left(x+4\right)·\left(-2\cdot \sin \left(2x\right)\right)$

= $\cos \left(2x\right)-2\left(x+4\right)·\sin \left(2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+75\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+9$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)+9$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,2}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+9$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}+9-\mathrm{0,2}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$