$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x+1}+x^2·e^{-2x+1}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x+1}+x^2·\left(-2e^{-2x+1}\right)$

= $2x·e^{-2x+1}-2x^2·e^{-2x+1}$

= $e^{-2x+1}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{x^3-3}·3x^2$

= $-6·e^{x^3-3}{x}^2$

= $-6x^2{e}^{x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $2x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2·\ln \left(x\right)+2x·\frac{1}{x}·1$

= $2\ln \left(x\right)+2x·\frac{1}{x}$

= $2\ln \left(x\right)+2$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(\cos \left(x\right)-3\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2\left(\cos \left(x\right)-3\right)·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $-2\left(\cos \left(x\right)-3\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $2\left(\cos \left(x\right)-3\right)·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $3e^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{3,15}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,15}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{3,3075}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,3075}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{3,472875}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{3,472875}{e}^{\mathrm{1,05}x}·\mathrm{1,05}$ = $\mathrm{3,64651875}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,05}}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${\mathrm{1,05}}^{66}·3e^{\mathrm{1,05}x}$

= $\mathrm{75,095686761415}{e}^{\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+1$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x-7\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+1$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{3,2}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+1$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}+1-\mathrm{3,2}\left(x-7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$