$\text{f(x)}=$ $-1+2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-x+5}+x^2·e^{-x+5}·\left(-1\right)$

= $2x·e^{-x+5}+x^2·\left(-e^{-x+5}\right)$

= $2x·e^{-x+5}-x^2·e^{-x+5}$

= $e^{-x+5}·\left(-x^2+2x\right)$

= $\left(-x^2+2x\right)·e^{-x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{-2x^4-x}{e^{-x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{\left(-8x^3-1\right)·e^{-x}-\left(-2x^4-x\right)·e^{-x}·\left(-1\right)}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{\left(-8x^3-1\right)·e^{-x}-\left(-2x^4-x\right)·\left(-e^{-x}\right)}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{\left(-8x^3-1\right)·e^{-x}+\left(-2x^4-x\right)·e^{-x}}{{\left(e^{-x}\right)}^2}$

= $\frac{\left(-2x^4-x\right)·e^{-x}+\left(-8x^3-1\right)·e^{-x}}{e^{-2x}}$

= $\frac{e^{-x+2x}·(-8x^3-1-x\left(2x^3+1\right))}{1}$

= $\frac{e^x·(-8x^3-1-x\left(2x^3+1\right))}{1}$

= $\frac{(-8x^3-1-x\left(2x^3+1\right))·e^x}{1}$

= $(-8x^3-1-x·\left(2x^3+1\right))·e^x$

$\text{f(x)}=$ $7x^3·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $21x^2·\ln \left(x\right)+7x^3·\frac{1}{x}·1$

= $21x^2\ln \left(x\right)+7x^3·\frac{1}{x}$

= $21x^2\ln \left(x\right)+7x^2$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(-x+3\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-15{\left(-x+3\right)}^4·\left(-1+0\right)$

= $-15{\left(-x+3\right)}^4·\left(-1\right)$

= $15{\left(-x+3\right)}^4$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-x}$

f'(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f''(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

f'''(x) = $3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-3e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-3e^{-x}·\left(-1\right)$ = $3e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $-3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+9$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{2,8}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{2,8}x+\mathrm{15,6}\right)$

= $\left(\mathrm{2,8}x+\mathrm{15,6}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$