Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{8}{9} e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{8}{9} e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{32}{45} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{5 x - 3} + x^{2} \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $2 x \cdot e^{5 x - 3} + x^{2} \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $2 x \cdot e^{5 x - 3} + 5 x^{2} \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$

= $(5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x^{3} - 5} \cdot 6 x^{2}$

= $12 \cdot e^{2 x^{3} - 5} x^{2}$

= $12 x^{2} e^{2 x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $12 x \cdot \ln (x) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $12 x \ln (x) + 6 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $12 x \ln (x) + 6 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x + 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x + 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x + 7)$

= $(2 x + 7) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,614125 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,614125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,52200625 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${0,85}^{32} \cdot e^{0,85 x}$

= $0,0055132238072354 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 4$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x - 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 4$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 4 + (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten