Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x - 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x} + (2 x - 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 e^{- 2 x} - 2 (2 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x + 12)$

= $(- 4 x + 12) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $e^{x + 5} \cdot 1$

= $e^{x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 3) + x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 3} \cdot (2 x + 0)$

= $3 x^{2} \ln (x^{2} - 3) + x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 3} \cdot (2 x)$

= $3 x^{2} \ln (x^{2} - 3) + x^{3} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 3}$

= $3 x^{2} \ln (x^{2} - 3) + 2 \frac{x^{3} \cdot x}{x^{2} - 3}$

= $3 x^{2} \ln (x^{2} - 3) + 2 \frac{x^{4}}{x^{2} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x^{3} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x^{3} - 5)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (x^{3} - 5) \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $2 \cdot \sin (x^{3} - 5) \cdot (3 x^{2})$

= $6 \sin (x^{3} - 5) x^{2}$

= $6 x^{2} \cdot \sin (x^{3} - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 4,4 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 4,4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $4,84 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $4,84 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 5,324 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,324 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $5,8564 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${(- 1,1)}^{46} \cdot 4 e^{- 1,1 x}$

= $320,71812821446 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 8$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (x - 5)$

= $(x - 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten