$\text{f(x)}=$ $2+e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{x^3}-e^{-x+2}$

= $5x^{-3}-e^{-x+2}$

=> f'(x) = $-15x^{-4}-e^{-x+2}·\left(-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{15}{x^4}-e^{-x+2}·\left(-1\right)$

= $-\frac{15}{x^4}+e^{-x+2}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{3x^2+1}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x^2+1}·6x$

= $18·e^{3x^2+1}x$

= $18x{e}^{3x^2+1}$

$\text{f(x)}=$ $2x^3·\ln \left(x-8\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6x^2·\ln \left(x-8\right)+2x^3·\frac{1}{x-8}·\left(1+0\right)$

= $6x^2\ln \left(x-8\right)+2x^3·\frac{1}{x-8}·\left(1\right)$

= $6x^2\ln \left(x-8\right)+2x^3·\frac{1}{x-8}$

= $6x^2\ln \left(x-8\right)+2\frac{x^3}{x-8}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-5x-5}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-5x-5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-5x-5}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-5x-5}·\left(-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-5x-5}+\sqrt{x}·e^{-5x-5}·\left(-5\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-5x-5}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-5e^{-5x-5}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-5x-5}}{\sqrt{x}}-5\sqrt{x}·e^{-5x-5}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $2e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{1,9}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,9}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{1,805}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,805}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{1,71475}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,71475}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{1,6290125}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{71}·2e^{-\mathrm{0,95}x}$

= $-\mathrm{0,052409011829872}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-x+0\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-x\right)$

= $x·\left(-e^{-\mathrm{0,5}x}\right)$