$\text{f(x)}=$ $-4-3e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{2x-5}-\frac{4}{x^2}$

= $-3e^{2x-5}-4x^{-2}$

=> f'(x) = $-3e^{2x-5}·2+8x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{2x-5}·2+\frac{8}{x^3}$

= $-6e^{2x-5}+\frac{8}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^5-4\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(25x^4+0\right)·e^{-3x}+\left(5x^5-4\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $25x^4·e^{-3x}+\left(5x^5-4\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $25x^4·e^{-3x}-3\left(5x^5-4\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-15x^5+25x^4+12\right)$

= $\left(-15x^5+25x^4+12\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $2x^3·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6x^2·\ln \left(x\right)+2x^3·\frac{1}{x}·1$

= $6x^2\ln \left(x\right)+2x^3·\frac{1}{x}$

= $6x^2\ln \left(x\right)+2x^2$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $15{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^4·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $15{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^4·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-15{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^4·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,21}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,331}{e}^{-\mathrm{1,1}x}·\left(-\mathrm{1,1}\right)$ = $\mathrm{1,4641}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $-\mathrm{1,1}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{61}·e^{-\mathrm{1,1}x}$

= $-\mathrm{334,92980349556}{e}^{-\mathrm{1,1}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-7$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}+5\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{2,5}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{2,5}x+\mathrm{7,5}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,5}x+\mathrm{7,5}\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$