$\text{f(x)}=$ $e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2$

= $2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^5-x^4\right)·e^{5x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(15x^4-4x^3\right)·e^{5x-4}+\left(3x^5-x^4\right)·e^{5x-4}·5$

= $\left(15x^4-4x^3\right)·e^{5x-4}+\left(3x^5-x^4\right)·5e^{5x-4}$

= $\left(15x^4-4x^3\right)·e^{5x-4}+5\left(3x^5-x^4\right)·e^{5x-4}$

= $e^{5x-4}·(15x^5-5x^4+\left(15x^4-4x^3\right))$

= $e^{5x-4}·\left(15x^5+10x^4-4x^3\right)$

= $\left(15x^5+10x^4-4x^3\right)·e^{5x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-2x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2x^3+2}·\left(-6x^2\right)$

= $18·e^{-2x^3+2}{x}^2$

= $18x^2{e}^{-2x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $-3\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-3}{7x}·7$

= $-\frac{3}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\sin \left(-2x\right)+x^4·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $4x^3·\sin \left(-2x\right)+x^4·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $4x^3·\sin \left(-2x\right)-2x^4·\cos \left(-2x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^x·\left(x+77\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-3$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}+3\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-3$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,8}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3$

= $3e^{-\mathrm{0,6}x}-3-\mathrm{1,8}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$