Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{x}$

= $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 1} + x^{4} \cdot e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 1} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 1})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 1} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 1}$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} + 4} \cdot (- 6 x)$

= $18 \cdot e^{- 3 x^{2} + 4} x$

= $18 x e^{- 3 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x) + x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $3 x^{2} \ln (x) + x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $3 x^{2} \ln (x) + x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x + 7) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x + 7) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x - 13)$

= $(- 2 x - 13) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,857375 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,857375 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,81450625 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 77-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 77 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{77}$

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = ${0,95}^{77} \cdot e^{0,95 x}$

= $0,019262719795905 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3,2 x - 8,8)$

= $(- 3,2 x - 8,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten