$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $\frac{4}{9}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x-3}-\frac{7}{3x^2}+\frac{3}{4}{x}^3$

= $3e^{-3x-3}-\frac{7}{3}{x}^{-2}+\frac{3}{4}{x}^3$

=> f'(x) = $3e^{-3x-3}·\left(-3\right)+\frac{14}{3}{x}^{-3}+\frac{9}{4}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x-3}·\left(-3\right)+\frac{14}{3x^3}+\frac{9}{4}{x}^2$

= $-9e^{-3x-3}+\frac{14}{3x^3}+\frac{9}{4}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5x-2}{e^{2x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{\left(5+0\right)·e^{2x}-\left(5x-2\right)·e^{2x}·2}{{\left(e^{2x}\right)}^2}$

= $\frac{5e^{2x}-\left(5x-2\right)·2e^{2x}}{{\left(e^{2x}\right)}^2}$

= $\frac{5e^{2x}-2\left(5x-2\right)·e^{2x}}{{\left(e^{2x}\right)}^2}$

= $\frac{5e^{2x}-2\left(5x-2\right)·e^{2x}}{e^{4x}}$

= $\frac{e^{2x-4x}·\left(-10x+9\right)}{1}$

= $\frac{e^{-2x}·\left(-10x+9\right)}{1}$

= $\frac{\left(-10x+9\right)·e^{-2x}}{1}$

= $\left(-10x+9\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-3x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-3x+4}·\left(-3+0\right)$

= $\frac{1}{-3x+4}·\left(-3\right)$

= $-\frac{3}{-3x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+3\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-2x}+\left(2x+3\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2e^{-2x}+\left(2x+3\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2e^{-2x}-2\left(2x+3\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-4x-4\right)$

= $\left(-4x-4\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+9$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}-\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,3}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{1,6}\right)$

= $\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$