Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 2) \cdot e^{2 x + 4} + (- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $(- 10 x + 2) \cdot e^{2 x + 4} + (- 5 x^{2} + 2 x) \cdot 2 e^{2 x + 4}$

= $(- 10 x + 2) \cdot e^{2 x + 4} + 2 (- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 4}$

= $e^{2 x + 4} \cdot (- 10 x + 2 + (- 10 x^{2} + 4 x))$

= $e^{2 x + 4} \cdot (- 10 x^{2} - 6 x + 2)$

= $(- 10 x^{2} - 6 x + 2) \cdot e^{2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4} + e^{x} \cdot 4 x^{3}$

= $e^{x} x^{4} + 4 \cdot e^{x} x^{3}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \ln (x) + 2 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $2 \ln (x) + 2 x \cdot \frac{1}{x}$

= $2 \ln (x) + 2$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot \cos (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot \cos (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (3 x) + (x^{2} - 1) \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $2 x \cdot \cos (3 x) + (x^{2} - 1) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $2 x \cdot \cos (3 x) - 3 (x^{2} - 1) \cdot \sin (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 8$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x + 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2,4 x - 0,8)$

= $(- 2,4 x - 0,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten