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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{12}{7} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 1} + x^{4} \cdot e^{5 x + 1} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 1} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x + 1}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 1} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x + 1}$

= $e^{5 x + 1} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $4 e^{2 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{x} \cdot 1$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x - 6) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x - 6) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x - 6) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x - 10)$

= $(4 x - 10) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 73-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,85 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $2,85 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,7075 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $- 2,7075 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,572125 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,572125 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,44351875 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${(- 0,95)}^{73} \cdot (- 3 e^{- 0,95 x})$

= $0,07094869976469 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 3$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 3$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 3$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 3 + 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x}$