Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x - 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{x - 5} + x^{5} \cdot e^{x - 5} \cdot 1$

= $5 x^{4} \cdot e^{x - 5} + x^{5} \cdot e^{x - 5}$

= $e^{x - 5} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{x + 3} \cdot 1$

= $3 e^{x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x + 6)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x + 6)$

$f'(x) =$ $10 x \cdot \ln (x + 6) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 6} \cdot (1 + 0)$

= $10 x \ln (x + 6) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 6} \cdot (1)$

= $10 x \ln (x + 6) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x + 6}$

= $10 x \ln (x + 6) + 5 \frac{x^{2}}{x + 6}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x - 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x - 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x - 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x + 26)$

= $(- 6 x + 26) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $5,75 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $5,75 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 6,6125 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 6,6125 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $7,604375 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $7,604375 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 8,74503125 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${(- 1,15)}^{32} \cdot (- 5 e^{- 1,15 x})$

= $- 437,82534206425 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} - 9$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x + 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,2 x - 1,8)$

= $(- 1,2 x - 1,8) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten