$\text{f(x)}=$ $-2e^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{\frac{7}{8}x}·\frac{7}{8}$

= $-\frac{7}{4}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{3x^2}+\cos \left(x\right)-3e^{2x-3}$

= $\frac{5}{3}{x}^{-2}+\cos \left(x\right)-3e^{2x-3}$

=> f'(x) = $-\frac{10}{3}{x}^{-3}-\sin \left(x\right)-3e^{2x-3}·2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{10}{3x^3}-\sin \left(x\right)-3e^{2x-3}·2$

= $-\frac{10}{3x^3}-\sin \left(x\right)-6e^{2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{2x}+x^5·e^{2x}·2$

= $5x^4·e^{2x}+x^5·2e^{2x}$

= $5x^4·e^{2x}+2x^5·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $2x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2·\ln \left(x\right)+2x·\frac{1}{x}·1$

= $2\ln \left(x\right)+2x·\frac{1}{x}$

= $2\ln \left(x\right)+2$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{3x}+\left(x-2\right)·e^{3x}·3$

= $e^{3x}+\left(x-2\right)·3e^{3x}$

= $e^{3x}+3\left(x-2\right)·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x-5\right)$

= $\left(3x-5\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-2e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $-2e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{1,7}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,7}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{1,445}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{1,445}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{1,22825}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,22825}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{1,0440125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{46}·\left(-2e^{-\mathrm{0,85}x}\right)$

= $-\mathrm{0,0011331843774388}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-4x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)-4$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}+2\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)-4$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,2}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-4$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}-4-\mathrm{0,2}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$