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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 2 e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 2 e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{10}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x + 3} + x^{3} \cdot e^{x + 3} \cdot 1$

= $3 x^{2} \cdot e^{x + 3} + x^{3} \cdot e^{x + 3}$

= $e^{x + 3} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (2 x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (2 x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (2 x^{2} - 2 x) + e^{- x} \cdot (4 x - 2)$

= $- e^{- x} (2 x^{2} - 2 x) + e^{- x} (4 x - 2)$

= $e^{- x} \cdot (4 x - 2 + (- 2 x^{2} + 2 x))$

= $e^{- x} \cdot (- 2 x^{2} + 6 x - 2)$

= $(- 2 x^{2} + 6 x - 2) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \ln (x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \ln (x - 2)$

$f'(x) =$ $8 x \cdot \ln (x - 2) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 2} \cdot (1 + 0)$

= $8 x \ln (x - 2) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 2} \cdot (1)$

= $8 x \ln (x - 2) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 2}$

= $8 x \ln (x - 2) + 4 \frac{x^{2}}{x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(x - 1)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(x - 1)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 5 {(x - 1)}^{4} \cdot (1 + 0)$

= $- 5 {(x - 1)}^{4} \cdot (1)$

= $- 5 {(x - 1)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 3 (x - 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 3 e^{- 0,9 x} + 2,7 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2,7 x - 5,7)$

= $(2,7 x - 5,7) \cdot e^{- 0,9 x}$