$\text{f(x)}=$ $-5-e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{2x}·2$

= $-2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-\sqrt{x}-e^{3x-3}$

= $-x^{\frac{1}{2}}-e^{3x-3}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}-e^{3x-3}·3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2\sqrt{x}}-e^{3x-3}·3$

= $-\frac{1}{2\sqrt{x}}-3e^{3x-3}$

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-x^2-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-x^2-4}·\left(-2x\right)$

= $6·e^{-x^2-4}x$

= $6x{e}^{-x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $7x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $14x·\ln \left(x\right)+7x^2·\frac{1}{x}·1$

= $14x\ln \left(x\right)+7x^2·\frac{1}{x}$

= $14x\ln \left(x\right)+7x$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(e^{-3x}+3\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-5{\left(e^{-3x}+3\right)}^4·(e^{-3x}·\left(-3\right)+0)$

= $-5{\left(e^{-3x}+3\right)}^4·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $15{\left(e^{-3x}+3\right)}^4·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $3e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{2,55}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{2,55}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{2,1675}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{2,1675}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{1,842375}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,842375}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{1,56601875}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{45}·3e^{-\mathrm{0,85}x}$

= $-\mathrm{0,0019997371366567}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,8}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,8}x-\mathrm{1,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,8}x-\mathrm{1,2}\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$