$\text{f(x)}=$ $5+\frac{7}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{9}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{14}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+2e^{-3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+2e^{-3x+5}·\left(-3\right)$

= $2\cdot \cos \left(x\right)-6e^{-3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{x^5}{e^{-2x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5x^4·e^{-2x}-x^5·e^{-2x}·\left(-2\right)}{{\left(e^{-2x}\right)}^2}$

= $\frac{5x^4·e^{-2x}-x^5·\left(-2e^{-2x}\right)}{{\left(e^{-2x}\right)}^2}$

= $\frac{5x^4·e^{-2x}+2x^5·e^{-2x}}{{\left(e^{-2x}\right)}^2}$

= $\frac{2x^5·e^{-2x}+5x^4·e^{-2x}}{e^{-4x}}$

= $\frac{e^{-2x+4x}·\left(2x^5+5x^4\right)}{1}$

= $\frac{e^{2x}·\left(2x^5+5x^4\right)}{1}$

= $\frac{\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x}}{1}$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^3+3x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^3+3x^2}·\left(9x^2+6x\right)$

= $\frac{9x^2+6x}{3x^3+3x^2}$

= $\frac{3·1·\left(3x+2\right)}{3x·\left(x+1\right)}$

= $\frac{3\left(3x+2\right)}{3x·\left(x+1\right)}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-7\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(3x-7\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $3\cdot \cos \left(x^2\right)+\left(3x-7\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $3\cdot \cos \left(x^2\right)-2\left(3x-7\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{4,5}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,5}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{4,05}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{4,05}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $\mathrm{3,645}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{3,645}{e}^{-\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{0,9}\right)$ = $-\mathrm{3,2805}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $-\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^{53}·\left(-5e^{-\mathrm{0,9}x}\right)$

= $\mathrm{0,018785510630682}{e}^{-\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+4\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $4e^{-\mathrm{0,2}x}+4\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $4e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,8}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,8}x+\mathrm{6,4}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,8}x+\mathrm{6,4}\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$