Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{4} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x + 2) \cdot e^{- 4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x + 2) \cdot e^{- 4 x - 2}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{- 4 x - 2} + (5 x + 2) \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $5 e^{- 4 x - 2} + (5 x + 2) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 2})$

= $5 e^{- 4 x - 2} - 4 (5 x + 2) \cdot e^{- 4 x - 2}$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (- 20 x - 3)$

= $(- 20 x - 3) \cdot e^{- 4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} + 4 x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} + 4 x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{3} + 4 x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(6 x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{3} + 4 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(6 x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x} - 3 (2 x^{3} + 4 x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{2} + 4 + (- 6 x^{3} - 12 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{3} + 6 x^{2} - 12 x + 4)$

= $(- 6 x^{3} + 6 x^{2} - 12 x + 4) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x - 8)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x - 8)$

$f'(x) =$ $12 x^{2} \cdot \ln (x - 8) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 8} \cdot (1 + 0)$

= $12 x^{2} \ln (x - 8) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 8} \cdot (1)$

= $12 x^{2} \ln (x - 8) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 8}$

= $12 x^{2} \ln (x - 8) + 4 \frac{x^{3}}{x - 8}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (3 x) + (x - 1) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\sin (3 x) + (x - 1) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\sin (3 x) + 3 (x - 1) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 90)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x - 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,2 x - 3,2)$

= $(0,2 x - 3,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten