Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} + 15 x^{2}) \cdot e^{2 x - 5} + (- x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $(- 5 x^{4} + 15 x^{2}) \cdot e^{2 x - 5} + (- x^{5} + 5 x^{3}) \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $(- 5 x^{4} + 15 x^{2}) \cdot e^{2 x - 5} + 2 (- x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (- 2 x^{5} + 10 x^{3} + (- 5 x^{4} + 15 x^{2}))$

= $e^{2 x - 5} \cdot (- 2 x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} + 15 x^{2})$

= $(- 2 x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} + 15 x^{2}) \cdot e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3} + e^{x} \cdot 3 x^{2}$

= $e^{x} x^{3} + 3 \cdot e^{x} x^{2}$

= $e^{x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \ln (x - 7)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \ln (x - 7)$

$f'(x) =$ $8 x \cdot \ln (x - 7) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 7} \cdot (1 + 0)$

= $8 x \ln (x - 7) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 7} \cdot (1)$

= $8 x \ln (x - 7) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 7}$

= $8 x \ln (x - 7) + 4 \frac{x^{2}}{x - 7}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} + 1) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} + 1) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} + 1) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{0,95 x}$

f'(x) = $- e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $- 0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 0,857375 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,857375 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 0,81450625 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${0,95}^{79} \cdot (- e^{0,95 x})$

= $- 0,017384604615804 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- e^{- 0,1 x} - (x + 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,1 x - 0,4)$

= $(0,1 x - 0,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten