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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{3}{2} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 3} + \frac{1}{4} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 3} + \frac{1}{4} x^{5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3) + \frac{5}{4} x^{4}$

= $9 e^{- 3 x + 3} + \frac{5}{4} x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $2 e^{2 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $14 x \cdot \ln (x) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $14 x \ln (x) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $14 x \ln (x) + 7 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (2 x) + (3 x - 1) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $3 \cdot \sin (2 x) + (3 x - 1) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $3 \cdot \sin (2 x) + 2 (3 x - 1) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${0,9}^{54} \cdot e^{0,9 x}$

= $0,0033813919135227 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 7$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- e^{- 0,7 x} - (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (0,7 x - 5,9)$

= $(0,7 x - 5,9) \cdot e^{- 0,7 x}$