Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x}$

$f'(x) =$ $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 1} + x^{5} \cdot e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 1} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 1})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 1} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x + 1}$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (x^{5} - x^{4})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (x^{5} - x^{4})$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (x^{5} - x^{4}) + e^{x} \cdot (5 x^{4} - 4 x^{3})$

= $e^{x} \cdot (x^{5} - x^{4} + (5 x^{4} - 4 x^{3}))$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{3})$

= $(x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x + 5} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x + 5} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (2 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (2 x + 2)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (2 x + 2) + x^{3} \cdot \cos (2 x + 2) \cdot (2 + 0)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (2 x + 2) + x^{3} \cdot \cos (2 x + 2) \cdot (2)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (2 x + 2) + x^{3} \cdot 2 \cdot \cos (2 x + 2)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (2 x + 2) + 2 x^{3} \cdot \cos (2 x + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,55 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $2,55 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,1675 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 2,1675 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,842375 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,842375 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,56601875 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${(- 0,85)}^{38} \cdot (- 3 e^{- 0,85 x})$

= $- 0,0062379290652932 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 7$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x + 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,8 x + 4,4)$

= $(2,8 x + 4,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten