$\text{f(x)}=$ $4+e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{3x}·3$

= $3e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}\left(2x^5+x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(2x^5+x^2\right)+e^{-x}·\left(10x^4+2x\right)$

= $-e^{-x}\left(2x^5+x^2\right)+e^{-x}\left(10x^4+2x\right)$

= $e^{-x}·(-2x^5-x^2+\left(10x^4+2x\right))$

= $e^{-x}·\left(-2x^5+10x^4-x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^5+10x^4-x^2+2x\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-2x^3-2}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-2x^3-2}·\left(-6x^2\right)$

= $-18·e^{-2x^3-2}{x}^2$

= $-18x^2{e}^{-2x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $6x^3·\ln \left(x-9\right)$

$\text{f'(x)}=$ $18x^2·\ln \left(x-9\right)+6x^3·\frac{1}{x-9}·\left(1+0\right)$

= $18x^2\ln \left(x-9\right)+6x^3·\frac{1}{x-9}·\left(1\right)$

= $18x^2\ln \left(x-9\right)+6x^3·\frac{1}{x-9}$

= $18x^2\ln \left(x-9\right)+6\frac{x^3}{x-9}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-9\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-3x}+\left(3x-9\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $3e^{-3x}+\left(3x-9\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $3e^{-3x}-3\left(3x-9\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-9x+30\right)$

= $\left(-9x+30\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^x$

f'(x) = $-4e^x$

f''(x) = $-4e^x$

f'''(x) = $-4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $-4e^x$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+5$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}+3\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $3e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{2,4}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{2,4}x+\mathrm{0,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{2,4}x+\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$