Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{5} + 3 \cdot \sin (x) - 3 e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{5} + 3 \cdot \sin (x) - 3 e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $- 10 x^{4} + 3 \cdot \cos (x) - 3 e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $- 10 x^{4} + 3 \cdot \cos (x) + 9 e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5 x^{2} + 3 x}{e^{2 x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5 x^{2} + 3 x}{e^{2 x}}$

$f'(x) =$ $\frac{(10 x + 3) \cdot e^{2 x} - (5 x^{2} + 3 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2}{{(e^{2 x})}^{2}}$

= $\frac{(10 x + 3) \cdot e^{2 x} - (5 x^{2} + 3 x) \cdot 2 e^{2 x}}{{(e^{2 x})}^{2}}$

= $\frac{(10 x + 3) \cdot e^{2 x} - 2 (5 x^{2} + 3 x) \cdot e^{2 x}}{{(e^{2 x})}^{2}}$

= $\frac{- 2 (5 x^{2} + 3 x) \cdot e^{2 x} + (10 x + 3) \cdot e^{2 x}}{e^{4 x}}$

= $\frac{e^{2 x - 4 x} \cdot (10 x + 3 - 2 x (5 x + 3))}{1}$

= $\frac{e^{- 2 x} \cdot (10 x + 3 - 2 x (5 x + 3))}{1}$

= $\frac{(10 x + 3 - 2 x (5 x + 3)) \cdot e^{- 2 x}}{1}$

= $(10 x + 3 - 2 x \cdot (5 x + 3)) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $9 x^{2} \cdot \ln (x) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $9 x^{2} \ln (x) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $9 x^{2} \ln (x) + 3 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x + 4) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $\sin (- 3 x) + (x + 4) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $\sin (- 3 x) - 3 (x + 4) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 8$

= $- e^{- 0,9 x} - (x - 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 8$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 8$

= $- e^{- 0,9 x} + 8 + 0,9 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten