$\text{f(x)}=$ $3-3e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-x-2}+x^3·e^{-x-2}·\left(-1\right)$

= $3x^2·e^{-x-2}+x^3·\left(-e^{-x-2}\right)$

= $3x^2·e^{-x-2}-x^3·e^{-x-2}$

= $e^{-x-2}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{-2x}}{x^3-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(x^3-1\right)-e^{-2x}·\left(3x^2+0\right)}{{\left(x^3-1\right)}^2}$

= $\frac{-2·e^{-2x}\left(x^3-1\right)-e^{-2x}·\left(3x^2\right)}{{\left(x^3-1\right)}^2}$

= $\frac{-2·e^{-2x}\left(x^3-1\right)-3·e^{-2x}{x}^2}{{\left(x^3-1\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $3x^3·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $9x^2·\ln \left(x\right)+3x^3·\frac{1}{x}·1$

= $9x^2\ln \left(x\right)+3x^3·\frac{1}{x}$

= $9x^2\ln \left(x\right)+3x^2$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{-2x}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{-2x}+x^{\frac{1}{2}}·e^{-2x}·\left(-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{-2x}+\sqrt{x}·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{-2x}}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+90\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}+\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,1}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}x+\mathrm{1,1}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,1}x+\mathrm{1,1}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$