Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{6}{7} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{6}{7} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{18}{7} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} - 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} - 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{3} - 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $9 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{3} - 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $9 x^{2} \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{3} - 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{3} + 9 x^{2} + 6)$

= $(- 6 x^{3} + 9 x^{2} + 6) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 9)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 9)$

$f'(x) =$ $14 x \cdot \ln (x^{2} + 9) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 9} \cdot (2 x + 0)$

= $14 x \ln (x^{2} + 9) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 9} \cdot (2 x)$

= $14 x \ln (x^{2} + 9) + 7 x^{2} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 9}$

= $14 x \ln (x^{2} + 9) + 14 \frac{x^{2} \cdot x}{x^{2} + 9}$

= $14 x \ln (x^{2} + 9) + 14 \frac{x^{3}}{x^{2} + 9}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x + 2} + x^{3} \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

= $3 x^{2} \cdot e^{x + 2} + x^{3} \cdot e^{x + 2}$

= $e^{x + 2} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 3$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x - 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1,5 x + 13,5)$

= $(- 1,5 x + 13,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten