$\text{f(x)}=$ $-3e^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{\frac{5}{6}x}·\frac{5}{6}$

= $-\frac{5}{2}{e}^{\frac{5}{6}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{3x}+x^2·e^{3x}·3$

= $2x·e^{3x}+x^2·3e^{3x}$

= $2x·e^{3x}+3x^2·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^2+2x\right)$

= $\left(3x^2+2x\right)·e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{2x}}{2x^5+2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{2x}·2·\left(2x^5+2\right)-e^{2x}·\left(10x^4+0\right)}{{\left(2x^5+2\right)}^2}$

= $\frac{2·e^{2x}\left(2x^5+2\right)-e^{2x}·\left(10x^4\right)}{{\left(2x^5+2\right)}^2}$

= $\frac{2·e^{2x}\left(2x^5+2\right)-10·e^{2x}{x}^4}{{\left(2x^5+2\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{x}·1$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-5\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(2x-5\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(2x-5\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(2x-5\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^x$

f'(x) = $2e^x$

f''(x) = $2e^x$

f'''(x) = $2e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $2e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $2e^x$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-9$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{0,5}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{0,5}x+1\right)$

= $\left(\mathrm{0,5}x+1\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$