Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} + x) \cdot e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} + x) \cdot e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 8 x + 1) \cdot e^{- x + 1} + (- 4 x^{2} + x) \cdot e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $(- 8 x + 1) \cdot e^{- x + 1} + (- 4 x^{2} + x) \cdot (- e^{- x + 1})$

= $(- 8 x + 1) \cdot e^{- x + 1} - (- 4 x^{2} + x) \cdot e^{- x + 1}$

= $e^{- x + 1} \cdot (- 8 x + 1 + (4 x^{2} - x))$

= $e^{- x + 1} \cdot (4 x^{2} - 9 x + 1)$

= $(4 x^{2} - 9 x + 1) \cdot e^{- x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4 x - 1}{e^{x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4 x - 1}{e^{x}}$

$f'(x) =$ $\frac{(4 + 0) \cdot e^{x} - (4 x - 1) \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}}$

= $\frac{4 e^{x} - (4 x - 1) \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}}$

= $\frac{4 e^{x} - (4 x - 1) \cdot e^{x}}{e^{2 x}}$

= $\frac{e^{x - 2 x} \cdot (- 4 x + 5)}{1}$

= $\frac{e^{- x} \cdot (- 4 x + 5)}{1}$

= $\frac{(- 4 x + 5) \cdot e^{- x}}{1}$

= $(- 4 x + 5) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \ln (x) + x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $2 x \ln (x) + x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $2 x \ln (x) + x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 7) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 7) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \sin (3 x) + (3 x^{2} + 7) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $6 x \cdot \sin (3 x) + (3 x^{2} + 7) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $6 x \cdot \sin (3 x) + 3 (3 x^{2} + 7) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,157625 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,157625 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,21550625 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${1,05}^{62} \cdot e^{1,05 x}$

= $20,593802448271 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 3$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x + 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 3$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 3 + 0,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten