$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{3}{4}{e}^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^2+3\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-6x+0\right)·e^{-x}+\left(-3x^2+3\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-6x·e^{-x}+\left(-3x^2+3\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $-6x·e^{-x}-\left(-3x^2+3\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(3x^2-6x-3\right)$

= $\left(3x^2-6x-3\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^4+5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-20x^3+0\right)·e^{-2x}+\left(-5x^4+5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-20x^3·e^{-2x}+\left(-5x^4+5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $-20x^3·e^{-2x}-2\left(-5x^4+5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(10x^4-20x^3-10\right)$

= $\left(10x^4-20x^3-10\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $4x^2·\ln \left(x+9\right)$

$\text{f'(x)}=$ $8x·\ln \left(x+9\right)+4x^2·\frac{1}{x+9}·\left(1+0\right)$

= $8x\ln \left(x+9\right)+4x^2·\frac{1}{x+9}·\left(1\right)$

= $8x\ln \left(x+9\right)+4x^2·\frac{1}{x+9}$

= $8x\ln \left(x+9\right)+4\frac{x^2}{x+9}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{3x-5}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{3x-5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{3x-5}+x^{\frac{1}{2}}·e^{3x-5}·3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{3x-5}+\sqrt{x}·e^{3x-5}·3$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{3x-5}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·3e^{3x-5}$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{3x-5}}{\sqrt{x}}+3\sqrt{x}·e^{3x-5}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+79\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+1$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}-4\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+1$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}+\mathrm{2,4}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+1$

= $-4e^{-\mathrm{0,6}x}+1+\mathrm{2,4}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$