$\text{f(x)}=$ $-3e^{\frac{9}{7}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{\frac{9}{7}x}·\frac{9}{7}$

= $-\frac{27}{7}{e}^{\frac{9}{7}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^2-x\right)·e^{x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2x-1\right)·e^{x-4}+\left(-x^2-x\right)·e^{x-4}·1$

= $\left(-2x-1\right)·e^{x-4}+\left(-x^2-x\right)·e^{x-4}$

= $e^{x-4}·(-2x-1+\left(-x^2-x\right))$

= $e^{x-4}·\left(-x^2-3x-1\right)$

= $\left(-x^2-3x-1\right)·e^{x-4}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-2x^2-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-2x^2-4}·\left(-4x\right)$

= $8·e^{-2x^2-4}x$

= $8x{e}^{-2x^2-4}$

$\text{f(x)}=$ $2x^3·\ln \left(x^2+8\right)$

$\text{f'(x)}=$ $6x^2·\ln \left(x^2+8\right)+2x^3·\frac{1}{x^2+8}·\left(2x+0\right)$

= $6x^2\ln \left(x^2+8\right)+2x^3·\frac{1}{x^2+8}·\left(2x\right)$

= $6x^2\ln \left(x^2+8\right)+2x^3·2\frac{x}{x^2+8}$

= $6x^2\ln \left(x^2+8\right)+4\frac{x^3·x}{x^2+8}$

= $6x^2\ln \left(x^2+8\right)+4\frac{x^4}{x^2+8}$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x^3+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x^3+3\right)·\left(3x^2+0\right)$

= $3\cdot \cos \left(x^3+3\right)·\left(3x^2\right)$

= $9\cos \left(x^3+3\right)x^2$

= $9x^2·\cos \left(x^3+3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+86\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-2\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-5$

= $-2e^{-\mathrm{0,8}x}-2\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-5$

= $-2e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{1,6}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5$

= $-2e^{-\mathrm{0,8}x}-5+\mathrm{1,6}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$