Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{8} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{33}{8} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x + 1} + x^{2} \cdot e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x + 1} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x + 1}$

= $2 x \cdot e^{3 x + 1} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x + 1}$

= $e^{3 x + 1} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} - 1} \cdot (- 6 x^{2})$

= $12 \cdot e^{- 2 x^{3} - 1} x^{2}$

= $12 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $6 \cdot \ln (x) + 6 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $6 \ln (x) + 6 x \cdot \frac{1}{x}$

= $6 \ln (x) + 6$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(x^{3} - 1)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(x^{3} - 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $4 {(x^{3} - 1)}^{3} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $4 {(x^{3} - 1)}^{3} \cdot (3 x^{2})$

= $12 {(x^{3} - 1)}^{3} x^{2}$

= $12 x^{2} {(x^{3} - 1)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,7 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $2,7 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,43 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 2,43 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,187 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,187 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,9683 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 0,9)}^{60} \cdot (- 3 e^{- 0,9 x})$

= $- 0,0053910308997433 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 2$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 2$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 2$

= $4 e^{- 0,8 x} + 2 - 3,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten