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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 2} - 4 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 2} - 4 x^{2}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3) - 8 x$

= $- 9 e^{- 3 x + 2} - 8 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x^{3} - 3} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \cdot e^{- 3 x^{3} - 3} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{- 3 x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x - 2)$

$f'(x) =$ $12 x^{2} \cdot \ln (x - 2) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 2} \cdot (1 + 0)$

= $12 x^{2} \ln (x - 2) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 2} \cdot (1)$

= $12 x^{2} \ln (x - 2) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 2}$

= $12 x^{2} \ln (x - 2) + 4 \frac{x^{3}}{x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (3 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (3 x - 3)$

$f'(x) =$ $\sin (3 x - 3) \cdot (3 + 0)$

= $\sin (3 x - 3) \cdot (3)$

= $3 \cdot \sin (3 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{1,1 x}$

f'(x) = $- 5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 5,5 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 5,5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 6,05 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 6,05 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 6,655 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 6,655 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 7,3205 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${1,1}^{49} \cdot (- 5 e^{1,1 x})$

= $- 533,5947858168 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 8$

= $- 4 e^{- 0,2 x} - 4 (x - 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 8$

= $- 4 e^{- 0,2 x} + 0,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 8$

= $- 4 e^{- 0,2 x} + 8 + 0,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x}$