$\text{f(x)}=$ $e^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{\frac{5}{8}x}·\frac{5}{8}$

= $\frac{5}{8}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^2+3\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4x+0\right)·e^{-3x}+\left(-2x^2+3\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-4x·e^{-3x}+\left(-2x^2+3\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-4x·e^{-3x}-3\left(-2x^2+3\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(6x^2-4x-9\right)$

= $\left(6x^2-4x-9\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{2x}}{5x^5+x^2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{2x}·2·\left(5x^5+x^2\right)-e^{2x}·\left(25x^4+2x\right)}{{\left(5x^5+x^2\right)}^2}$

= $\frac{2·e^{2x}\left(5x^5+x^2\right)-e^{2x}\left(25x^4+2x\right)}{{\left(5x^5+x^2\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^2+5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^2+5x}·\left(6x+5\right)$

= $\frac{6x+5}{3x^2+5x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-9\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2-9\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2-9\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2-9\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x+18\right)$

= $\left(-2x^2+2x+18\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+95\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+3$

= $-3e^{-\mathrm{0,8}x}-3\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+3$

= $-3e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{2,4}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3$

= $-3e^{-\mathrm{0,8}x}+3+\mathrm{2,4}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$