Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{7}{8} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{7}{8} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{8} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{7}{8} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 3 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 4) \cdot e^{- 3 x - 4} + (- 5 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $(- 10 x + 4) \cdot e^{- 3 x - 4} + (- 5 x^{2} + 4 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 4})$

= $(- 10 x + 4) \cdot e^{- 3 x - 4} - 3 (- 5 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 3 x - 4}$

= $e^{- 3 x - 4} \cdot (- 10 x + 4 + (15 x^{2} - 12 x))$

= $e^{- 3 x - 4} \cdot (15 x^{2} - 22 x + 4)$

= $(15 x^{2} - 22 x + 4) \cdot e^{- 3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} + 1} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{3} + 1} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \frac{x^{2}}{- 3 x^{3} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(\sin (x) - 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(\sin (x) - 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $4 (\sin (x) - 5) \cdot (\cos (x) + 0)$

= $4 (\sin (x) - 5) \cdot (\cos (x))$

= $4 (\sin (x) - 5) \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 2$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 2$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 2$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 2 + 1,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten