$\text{f(x)}=$ $-3e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $9e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{-3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{-3x-5}+x^4·e^{-3x-5}·\left(-3\right)$

= $4x^3·e^{-3x-5}+x^4·\left(-3e^{-3x-5}\right)$

= $4x^3·e^{-3x-5}-3x^4·e^{-3x-5}$

= $e^{-3x-5}·\left(-3x^4+4x^3\right)$

= $\left(-3x^4+4x^3\right)·e^{-3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{2x+2}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{2x+2}·2$

= $4e^{2x+2}$

$\text{f(x)}=$ $5x^2·\ln \left(x-9\right)$

$\text{f'(x)}=$ $10x·\ln \left(x-9\right)+5x^2·\frac{1}{x-9}·\left(1+0\right)$

= $10x\ln \left(x-9\right)+5x^2·\frac{1}{x-9}·\left(1\right)$

= $10x\ln \left(x-9\right)+5x^2·\frac{1}{x-9}$

= $10x\ln \left(x-9\right)+5\frac{x^2}{x-9}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{x+1}+x^5·e^{x+1}·1$

= $5x^4·e^{x+1}+x^5·e^{x+1}$

= $e^{x+1}·\left(x^5+5x^4\right)$

= $\left(x^5+5x^4\right)·e^{x+1}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5e^x$

f'(x) = $5e^x$

f''(x) = $5e^x$

f'''(x) = $5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $5e^x$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+1$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+1$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{0,5}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+1$

= $-e^{-\mathrm{0,5}x}+1+\mathrm{0,5}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$