$\text{f(x)}=$ $1+\frac{7}{9}{e}^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{9}{e}^x$

= $\frac{7}{9}{e}^x$

$\text{f(x)}=$ $-4x^5-3e^{-3x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $-20x^4-3e^{-3x+3}·\left(-3\right)$

= $-20x^4+9e^{-3x+3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·x^4$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^4+e^{-2x}·4x^3$

= $-2·e^{-2x}{x}^4+4·e^{-2x}{x}^3$

= $e^{-2x}·\left(-2x^4+4x^3\right)$

= $\left(-2x^4+4x^3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $1·\ln \left(x\right)+x·\frac{1}{x}·1$

= $\ln \left(x\right)+x·\frac{1}{x}$

= $\ln \left(x\right)+1$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{-2x-2}$

= $2{\left(-2x-2\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-2{\left(-2x-2\right)}^{-2}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(-2x-2\right)}^2}·\left(-2+0\right)$

= $-\frac{2}{{\left(-2x-2\right)}^2}·\left(-2\right)$

= $\frac{4}{{\left(-2x-2\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,857375}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,857375}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,81450625}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{75}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

= $-\mathrm{0,021343733845878}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-6$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}+\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,1}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,6}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,6}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$