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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{7}{5} e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{7}{5} e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{5} e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{6}{5} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x + 2} \cdot 1$

= $- 3 e^{x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $4 \cdot \ln (x) + 4 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $4 \ln (x) + 4 x \cdot \frac{1}{x}$

= $4 \ln (x) + 4$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (2 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (2 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (2 x^{2} - 1) \cdot (4 x + 0)$

= $2 \cdot \sin (2 x^{2} - 1) \cdot (4 x)$

= $8 \sin (2 x^{2} - 1) x$

= $8 x \cdot \sin (2 x^{2} - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{0,9 x}$

f'(x) = $- 3 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,7 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 2,7 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,43 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 2,43 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,187 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,187 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 1,9683 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${0,9}^{46} \cdot (- 3 e^{0,9 x})$

= $- 0,023565501633837 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 3 (x - 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 3 e^{- 0,9 x} + 2,7 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2,7 x - 5,7)$

= $(2,7 x - 5,7) \cdot e^{- 0,9 x}$