$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^{\frac{9}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{5}{e}^{\frac{9}{8}x}·\frac{9}{8}$

= $\frac{9}{10}{e}^{\frac{9}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^3-4x\right)·e^{2x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^2-4\right)·e^{2x+1}+\left(-5x^3-4x\right)·e^{2x+1}·2$

= $\left(-15x^2-4\right)·e^{2x+1}+\left(-5x^3-4x\right)·2e^{2x+1}$

= $\left(-15x^2-4\right)·e^{2x+1}+2\left(-5x^3-4x\right)·e^{2x+1}$

= $e^{2x+1}·(-15x^2-4+\left(-10x^3-8x\right))$

= $e^{2x+1}·\left(-10x^3-15x^2-8x-4\right)$

= $\left(-10x^3-15x^2-8x-4\right)·e^{2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x-1}·\left(-2\right)$

= $-4e^{-2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $7x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $7·\ln \left(x\right)+7x·\frac{1}{x}·1$

= $7\ln \left(x\right)+7x·\frac{1}{x}$

= $7\ln \left(x\right)+7$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(2x-2\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-4\left(2x-2\right)·\left(2+0\right)$

= $-4\left(2x-2\right)·\left(2\right)$

= $-8\left(2x-2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+86\right)$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-3$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}+5\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-3$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}-\mathrm{1,5}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-3$

= $5e^{-\mathrm{0,3}x}-3-\mathrm{1,5}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$