Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{7}{4} e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{7}{4} e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{4} e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{7}{6} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x + 4} + \frac{2}{3} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x + 4} + \frac{2}{3} x^{2}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3) + \frac{4}{3} x$

= $- 6 e^{- 3 x + 4} + \frac{4}{3} x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{3} + e^{2 x} \cdot 3 x^{2}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{3} + 3 \cdot e^{2 x} x^{2}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 7)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 7)$

$f'(x) =$ $18 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 7) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 7} \cdot (2 x + 0)$

= $18 x^{2} \ln (x^{2} - 7) + 6 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 7} \cdot (2 x)$

= $18 x^{2} \ln (x^{2} - 7) + 6 x^{3} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 7}$

= $18 x^{2} \ln (x^{2} - 7) + 12 \frac{x^{3} \cdot x}{x^{2} - 7}$

= $18 x^{2} \ln (x^{2} - 7) + 12 \frac{x^{4}}{x^{2} - 7}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3 x + 5}$

= $- 2 {(3 x + 5)}^{- 1}$

=> f'(x) = $2 {(3 x + 5)}^{- 2} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{{(3 x + 5)}^{2}} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{2}{{(3 x + 5)}^{2}} \cdot (3)$

= $\frac{6}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,157625 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,157625 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,21550625 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${1,05}^{76} \cdot e^{1,05 x}$

= $40,774320219943 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,2 x + 3)$

= $(- 0,2 x + 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten