Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x + 4) \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x + 4) \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{- 5 x - 4} + (- x + 4) \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $- e^{- 5 x - 4} + (- x + 4) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $- e^{- 5 x - 4} - 5 (- x + 4) \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (5 x - 21)$

= $(5 x - 21) \cdot e^{- 5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2 x^{2} - 5 x}{e^{x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2 x^{2} - 5 x}{e^{x}}$

$f'(x) =$ $\frac{(4 x - 5) \cdot e^{x} - (2 x^{2} - 5 x) \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}}$

= $\frac{- (2 x^{2} - 5 x) \cdot e^{x} + (4 x - 5) \cdot e^{x}}{e^{2 x}}$

= $\frac{e^{x - 2 x} \cdot (4 x - 5 - x (2 x - 5))}{1}$

= $\frac{e^{- x} \cdot (4 x - 5 - x (2 x - 5))}{1}$

= $\frac{(4 x - 5 - x (2 x - 5)) \cdot e^{- x}}{1}$

= $(4 x - 5 - x \cdot (2 x - 5)) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 9) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 9) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 9) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 27)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 27) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- x}$

f'(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $- e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 1$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x - 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 1$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$

= $5 e^{- 0,9 x} - 1 - 4,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten