$\text{f(x)}=$ $3e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-3e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2-1\right)·e^{-5x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·e^{-5x+1}+\left(3x^2-1\right)·e^{-5x+1}·\left(-5\right)$

= $6x·e^{-5x+1}+\left(3x^2-1\right)·\left(-5e^{-5x+1}\right)$

= $6x·e^{-5x+1}-5\left(3x^2-1\right)·e^{-5x+1}$

= $e^{-5x+1}·\left(-15x^2+6x+5\right)$

= $\left(-15x^2+6x+5\right)·e^{-5x+1}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{x^2+5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{x^2+5}·2x$

= $6·e^{x^2+5}x$

= $6x{e}^{x^2+5}$

$\text{f(x)}=$ $2x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2·\ln \left(x\right)+2x·\frac{1}{x}·1$

= $2\ln \left(x\right)+2x·\frac{1}{x}$

= $2\ln \left(x\right)+2$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-2\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{2x}+\left(x^2-2\right)·e^{2x}·2$

= $2x·e^{2x}+\left(x^2-2\right)·2e^{2x}$

= $2x·e^{2x}+2\left(x^2-2\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^2+2x-4\right)$

= $\left(2x^2+2x-4\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+93\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}-3\left(x+5\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,6}\left(x+5\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(\mathrm{0,6}x+0\right)$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,6}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,6}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,6}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,6}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,6}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,6}x$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\mathrm{0,6}x$

= $\mathrm{0,6}x·e^{-\mathrm{0,2}x}$