Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 3}$

$f'(x) =$ $(4 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 3} + (x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $(4 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 3} + (x^{4} - 4 x^{3}) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 3})$

= $(4 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 3} - 3 (x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 3}$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3 x^{4} + 12 x^{3} + (4 x^{3} - 12 x^{2}))$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3 x^{4} + 16 x^{3} - 12 x^{2})$

= $(- 3 x^{4} + 16 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{2} - 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{2} - 3} \cdot 2 x$

= $6 \cdot e^{x^{2} - 3} x$

= $6 x e^{x^{2} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $12 x^{2} \cdot \ln (x) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $12 x^{2} \ln (x) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $12 x^{2} \ln (x) + 4 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x - 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x - 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x - 2)$

= $(3 x - 2) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $2 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,8 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 1,8 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,62 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $1,62 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,458 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,458 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,3122 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${(- 0,9)}^{65} \cdot 2 e^{- 0,9 x}$

= $- 0,0021222332239930 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x + 9)$

= $(- 1,4 x + 9) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten