Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{5}{3} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 4 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} + 5) \cdot e^{- 4 x - 5} + (- 3 x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $(- 12 x^{3} + 5) \cdot e^{- 4 x - 5} + (- 3 x^{4} + 5 x) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 5})$

= $(- 12 x^{3} + 5) \cdot e^{- 4 x - 5} - 4 (- 3 x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 4 x - 5}$

= $e^{- 4 x - 5} \cdot (- 12 x^{3} + 5 + (12 x^{4} - 20 x))$

= $e^{- 4 x - 5} \cdot (12 x^{4} - 12 x^{3} - 20 x + 5)$

= $(12 x^{4} - 12 x^{3} - 20 x + 5) \cdot e^{- 4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot (- e^{- x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} - x^{3} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x - 2)$

$f'(x) =$ $9 x^{2} \cdot \ln (x - 2) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 2} \cdot (1 + 0)$

= $9 x^{2} \ln (x - 2) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 2} \cdot (1)$

= $9 x^{2} \ln (x - 2) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 2}$

= $9 x^{2} \ln (x - 2) + 3 \frac{x^{3}}{x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (- x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (- x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $- \sin (- x^{2} + 4) \cdot (- 2 x + 0)$

= $- \sin (- x^{2} + 4) \cdot (- 2 x)$

= $2 \sin (- x^{2} + 4) x$

= $2 x \cdot \sin (- x^{2} + 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 67-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{0,95 x}$

f'(x) = $3 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,85 e^{0,95 x}$

f''(x) = $2,85 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,7075 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $2,7075 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,572125 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,572125 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,44351875 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 67-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 67 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{67}$

Somit gilt für die 67-te Ableitung:

f⁽⁶⁷⁾(x) = ${0,95}^{67} \cdot 3 e^{0,95 x}$

= $0,096516776568392 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x - 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,2 x + 2,2)$

= $(- 0,2 x + 2,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten