Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{5 x - 2} + (- 2 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $(- 10 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{5 x - 2} + (- 2 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $(- 10 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{5 x - 2} + 5 (- 2 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (- 10 x^{5} + 10 x^{4} + (- 10 x^{4} + 8 x^{3}))$

= $e^{5 x - 2} \cdot (- 10 x^{5} + 0 + 8 x^{3})$

= $e^{5 x - 2} \cdot (- 10 x^{5} + 8 x^{3})$

= $(- 10 x^{5} + 8 x^{3}) \cdot e^{5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 16 x^{3} - 4 x) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 16 x^{3} - 4 x) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 16 x^{3} - 4 x) \cdot e^{3 x} + 3 (- 4 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{4} - 6 x^{2} + (- 16 x^{3} - 4 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{4} - 16 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x)$

= $(- 12 x^{4} - 16 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x \cdot \ln (x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x \cdot \ln (x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $5 \cdot \ln (x^{2} + 1) + 5 x \cdot \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + 0)$

= $5 \ln (x^{2} + 1) + 5 x \cdot \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x)$

= $5 \ln (x^{2} + 1) + 5 x \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 1}$

= $5 \ln (x^{2} + 1) + 10 \frac{x \cdot x}{x^{2} + 1}$

= $5 \ln (x^{2} + 1) + 10 \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (3 x) + (x^{2} - 3) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + (x^{2} - 3) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + 3 (x^{2} - 3) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,157625 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,157625 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,21550625 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 1,05)}^{60} \cdot e^{- 1,05 x}$

= $18,679185894123 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 2$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x - 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 2$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 2$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2 + 2,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten