Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $- \frac{10}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 2 x + 1} + (- 4 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $(- 12 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 2 x + 1} + (- 4 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 1})$

= $(- 12 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 2 x + 1} - 2 (- 4 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 1}$

= $e^{- 2 x + 1} \cdot (8 x^{3} + 10 x^{2} + (- 12 x^{2} - 10 x))$

= $e^{- 2 x + 1} \cdot (8 x^{3} - 2 x^{2} - 10 x)$

= $(8 x^{3} - 2 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} - 4} \cdot 6 x$

= $- 18 \cdot e^{3 x^{2} - 4} x$

= $- 18 x e^{3 x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} - 3 x} \cdot (- 2 x - 3)$

= $\frac{- 2 x - 3}{- x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(e^{- x} - 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(e^{- x} - 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $2 (e^{- x} - 2) \cdot (e^{- x} \cdot (- 1) + 0)$

= $2 (e^{- x} - 2) \cdot (- e^{- x})$

= $- 2 (e^{- x} - 2) \cdot e^{- x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 37-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $3,45 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $3,45 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 3,9675 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 3,9675 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $4,562625 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,562625 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 5,24701875 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${(- 1,15)}^{37} \cdot (- 3 e^{- 1,15 x})$

= $528,37388917834 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 3$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x - 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 3$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 3$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 3 + 2,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten