Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{7}{4} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{7}{4} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{4} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{2} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (4 x - 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x} + (4 x - 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 e^{- 2 x} - 2 (4 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x + 14)$

= $(- 8 x + 14) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 4 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 4 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 4 x^{2} - 3) + e^{3 x} \cdot (- 8 x + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 4 x^{2} - 3) + e^{3 x} \cdot (- 8 x)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 4 x^{2} - 3) - 8 \cdot e^{3 x} x$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{2} - 8 x - 9)$

= $(- 12 x^{2} - 8 x - 9) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (5 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (5 x - 5)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (5 x - 5)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (5 x - 5) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (5 x - 5) \cdot (5 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (5 x - 5) + \sqrt{x} \cdot \cos (5 x - 5) \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (5 x - 5)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (5 x - 5) \cdot (5)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (5 x - 5)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 5 \cdot \cos (5 x - 5)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (5 x - 5)}{\sqrt{x}} + 5 \sqrt{x} \cdot \cos (5 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x + 9,2)$

= $(1,6 x + 9,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten