$\text{f(x)}=$ $3-e^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{\frac{7}{9}x}·\frac{7}{9}$

= $-\frac{7}{9}{e}^{\frac{7}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x+4}+\cos \left(x\right)+\frac{3}{2x^3}$

= $-2e^{3x+4}+\cos \left(x\right)+\frac{3}{2}{x}^{-3}$

=> f'(x) = $-2e^{3x+4}·3-\sin \left(x\right)-\frac{9}{2}{x}^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x+4}·3-\sin \left(x\right)-\frac{9}{2x^4}$

= $-6e^{3x+4}-\sin \left(x\right)-\frac{9}{2x^4}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{2x}+x^5·e^{2x}·2$

= $5x^4·e^{2x}+x^5·2e^{2x}$

= $5x^4·e^{2x}+2x^5·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-5x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-5x+1}·\left(-5+0\right)$

= $\frac{1}{-5x+1}·\left(-5\right)$

= $-\frac{5}{-5x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-2\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2-2\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+\left(x^2-2\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2x·\sin \left(x^3\right)+3\left(x^2-2\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+93\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+3$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,8}x}+2\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{1,6}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{1,6}x+\mathrm{6,8}\right)$

= $\left(-\mathrm{1,6}x+\mathrm{6,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$