$\text{f(x)}=$ $3+2e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+2e^{3x}·3$

= $6e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x-3\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4+0\right)·e^x+\left(-4x-3\right)·e^x$

= $-4e^x+\left(-4x-3\right)·e^x$

= $e^x·\left(-4x-7\right)$

= $\left(-4x-7\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{x^2-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{x^2-2}·2x$

= $-4·e^{x^2-2}x$

= $-4x{e}^{x^2-2}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{x}·1$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(3x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(3x+2\right)·\left(3+0\right)$

= $-2\cdot \sin \left(3x+2\right)·\left(3\right)$

= $-6\cdot \sin \left(3x+2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,857375}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,857375}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,81450625}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{69}·e^{\mathrm{0,95}x}$

= $\mathrm{0,029035463617658}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+8x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+8$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}-5\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+8$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{3,5}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+8$

= $-5e^{-\mathrm{0,7}x}+8+\mathrm{3,5}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$