Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x + 3} + \frac{5}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x + 3} + \frac{5}{x^{2}}$

= $e^{2 x + 3} + 5 x^{- 2}$

=> f'(x) = $e^{2 x + 3} \cdot 2 - 10 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $e^{2 x + 3} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}}$

= $2 e^{2 x + 3} - \frac{10}{x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x^{3} + 3} \cdot 3 x^{2}$

= $- 9 \cdot e^{x^{3} + 3} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x - 7)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x - 7)$

$f'(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x - 7) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 7} \cdot (1 + 0)$

= $6 x^{2} \ln (x - 7) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 7} \cdot (1)$

= $6 x^{2} \ln (x - 7) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x - 7}$

= $6 x^{2} \ln (x - 7) + 2 \frac{x^{3}}{x - 7}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x + 9) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x + 9) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x + 9) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x + 20)$

= $(4 x + 20) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 51-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $5 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 5,5 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 5,5 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $6,05 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $6,05 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 6,655 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 6,655 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $7,3205 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{51} \cdot 5 e^{- 1,1 x}$

= $- 645,64969083833 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} + x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 1$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 1$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 1$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1 + 1,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten