$\text{f(x)}=$ $-2+3e^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{7}{8}x}·\frac{7}{8}$

= $\frac{21}{8}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{5x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{5x-4}+x^3·e^{5x-4}·5$

= $3x^2·e^{5x-4}+x^3·5e^{5x-4}$

= $3x^2·e^{5x-4}+5x^3·e^{5x-4}$

= $e^{5x-4}·\left(5x^3+3x^2\right)$

= $\left(5x^3+3x^2\right)·e^{5x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{x^3}{e^{-2x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3x^2·e^{-2x}-x^3·e^{-2x}·\left(-2\right)}{{\left(e^{-2x}\right)}^2}$

= $\frac{3x^2·e^{-2x}-x^3·\left(-2e^{-2x}\right)}{{\left(e^{-2x}\right)}^2}$

= $\frac{3x^2·e^{-2x}+2x^3·e^{-2x}}{{\left(e^{-2x}\right)}^2}$

= $\frac{2x^3·e^{-2x}+3x^2·e^{-2x}}{e^{-4x}}$

= $\frac{e^{-2x+4x}·\left(2x^3+3x^2\right)}{1}$

= $\frac{e^{2x}·\left(2x^3+3x^2\right)}{1}$

= $\frac{\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x}}{1}$

= $\left(2x^3+3x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{5x}·5$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(e^{2x}+5\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $6\left(e^{2x}+5\right)·(e^{2x}·2+0)$

= $6\left(e^{2x}+5\right)·\left(2e^{2x}\right)$

= $12\left(e^{2x}+5\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $-\mathrm{1,05}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,1025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{1,157625}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{1,157625}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{1,21550625}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{75}·e^{-\mathrm{1,05}x}$

= $-\mathrm{38,832685923756}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+2$

= $-5e^{-\mathrm{0,4}x}-5\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)+2$

= $-5e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+2$

= $-5e^{-\mathrm{0,4}x}+2+2\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$