$\text{f(x)}=$ $2e^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{\frac{4}{3}x}·\frac{4}{3}$

= $\frac{8}{3}{e}^{\frac{4}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-x+3}+\frac{6}{x^2}+x^4$

= $-2e^{-x+3}+6x^{-2}+x^4$

=> f'(x) = $-2e^{-x+3}·\left(-1\right)-12x^{-3}+4x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x+3}·\left(-1\right)-\frac{12}{x^3}+4x^3$

= $2e^{-x+3}-\frac{12}{x^3}+4x^3$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x-4\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-3+0\right)·e^{-3x}+\left(-3x-4\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x}+\left(-3x-4\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $-3e^{-3x}-3\left(-3x-4\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(9x+9\right)$

= $\left(9x+9\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $2\ln \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3x}·3$

= $\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·\cos \left(-2x-3\right)$

= $x^{\frac{1}{4}}·\cos \left(-2x-3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·\cos \left(-2x-3\right)+x^{\frac{1}{4}}·(-\sin \left(-2x-3\right)·\left(-2+0\right))$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·\cos \left(-2x-3\right)+\sqrt[4]{x}·(-\sin \left(-2x-3\right)·\left(-2+0\right))$

= $\frac{1}{4}\frac{\cos \left(-2x-3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·(-\sin \left(-2x-3\right)·\left(-2\right))$

= $\frac{1}{4}\frac{\cos \left(-2x-3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·2\cdot \sin \left(-2x-3\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{\cos \left(-2x-3\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+2\sqrt[4]{x}·\sin \left(-2x-3\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-5e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{5,25}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{5,25}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{5,5125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{5,5125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{5,788125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{5,788125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{6,07753125}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{64}·\left(-5e^{-\mathrm{1,05}x}\right)$

= $-\mathrm{113,52333599609}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+0$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x+7\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{0,7}\left(x+7\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{0,7}x+\mathrm{3,9}\right)$

= $\left(\mathrm{0,7}x+\mathrm{3,9}\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$