Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{7}{3} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{4}{x^{2}} + 2 e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{4}{x^{2}} + 2 e^{- 2 x + 4}$

= $- 4 x^{- 2} + 2 e^{- 2 x + 4}$

=> f'(x) = $8 x^{- 3} + 2 e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{x^{3}} + 2 e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $\frac{8}{x^{3}} - 4 e^{- 2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{x^{5}}{e^{x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{x^{5}}{e^{x}}$

$f'(x) =$ $\frac{5 x^{4} \cdot e^{x} - x^{5} \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}}$

= $\frac{5 x^{4} \cdot e^{x} - x^{5} \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}}$

= $\frac{- x^{5} \cdot e^{x} + 5 x^{4} \cdot e^{x}}{e^{2 x}}$

= $\frac{e^{x - 2 x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})}{1}$

= $\frac{e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})}{1}$

= $\frac{(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}}{1}$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (2 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (2 x - 4)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (2 x - 4)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (2 x - 4) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (2 x - 4) \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (2 x - 4) + \sqrt{x} \cdot \cos (2 x - 4) \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (2 x - 4)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (2 x - 4) \cdot (2)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (2 x - 4)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 \cdot \cos (2 x - 4)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (2 x - 4)}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot \cos (2 x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 6$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x + 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 6$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 6$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 6 + 0,9 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten