Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 3 e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 3 e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $- \frac{5}{2} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 4} + \frac{5}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 4} + \frac{5}{x^{4}}$

= $- 3 e^{3 x + 4} + 5 x^{- 4}$

=> f'(x) = $- 3 e^{3 x + 4} \cdot 3 - 20 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x + 4} \cdot 3 - \frac{20}{x^{5}}$

= $- 9 e^{3 x + 4} - \frac{20}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $6 e^{3 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $14 x \cdot \ln (x^{2} - 5) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 5} \cdot (2 x + 0)$

= $14 x \ln (x^{2} - 5) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 5} \cdot (2 x)$

= $14 x \ln (x^{2} - 5) + 7 x^{2} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 5}$

= $14 x \ln (x^{2} - 5) + 14 \frac{x^{2} \cdot x}{x^{2} - 5}$

= $14 x \ln (x^{2} - 5) + 14 \frac{x^{3}}{x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (3 x) + (2 x - 5) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 \cdot \sin (3 x) + (2 x - 5) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 \cdot \sin (3 x) + 3 (2 x - 5) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,520875 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,520875 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,74900625 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${(- 1,15)}^{42} \cdot e^{- 1,15 x}$

= $354,24953989539 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 7$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x - 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 7$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 7$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + 7 + (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten