$\text{f(x)}=$ $1+\frac{3}{5}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{3}{5}{e}^{\frac{7}{8}x}·\frac{7}{8}$

= $\frac{21}{40}{e}^{\frac{7}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2-4\right)·e^{3x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·e^{3x+5}+\left(3x^2-4\right)·e^{3x+5}·3$

= $6x·e^{3x+5}+\left(3x^2-4\right)·3e^{3x+5}$

= $6x·e^{3x+5}+3\left(3x^2-4\right)·e^{3x+5}$

= $e^{3x+5}·\left(9x^2+6x-12\right)$

= $\left(9x^2+6x-12\right)·e^{3x+5}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-2x}+x^5·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $5x^4·e^{-2x}+x^5·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $5x^4·e^{-2x}-2x^5·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-2x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-2x+1}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{1}{-2x+1}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{-2x+1}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·e^{3x}$

= $x^{\frac{1}{4}}·e^{3x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·e^{3x}+x^{\frac{1}{4}}·e^{3x}·3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·e^{3x}+\sqrt[4]{x}·e^{3x}·3$

= $\frac{1}{4}\frac{e^{3x}}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·3e^{3x}$

= $\frac{1}{4}\frac{e^{3x}}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+3\sqrt[4]{x}·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+81\right)$

$\text{f(x)}=$ $4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)-5$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}+4\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)-5$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}-\mathrm{3,2}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-5$

= $4e^{-\mathrm{0,8}x}-5-\mathrm{3,2}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$