$\text{f(x)}=$ $1+\frac{7}{9}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{9}{e}^{\frac{4}{5}x}·\frac{4}{5}$

= $\frac{28}{45}{e}^{\frac{4}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)-3e^{-2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)-3e^{-2x-1}·\left(-2\right)$

= $-2\cdot \sin \left(x\right)+6e^{-2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x-4}·\left(-3\right)$

= $6e^{-3x-4}$

$\text{f(x)}=$ $3x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3·\ln \left(x\right)+3x·\frac{1}{x}·1$

= $3\ln \left(x\right)+3x·\frac{1}{x}$

= $3\ln \left(x\right)+3$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[3]{x}·e^{x+4}$

= $x^{\frac{1}{3}}·e^{x+4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}·e^{x+4}+x^{\frac{1}{3}}·e^{x+4}·1$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}·e^{x+4}+\sqrt[3]{x}·e^{x+4}·1$

= $\frac{1}{3}\frac{e^{x+4}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+\sqrt[3]{x}·e^{x+4}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{-x}$

f'(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f''(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

f'''(x) = $-5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $5e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-5e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $-5e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-3\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,1}x}-3\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,3}\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{4,5}\right)$

= $\left(\mathrm{0,3}x-\mathrm{4,5}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$