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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{4} \cdot \sin (x) + 2 e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{4} \cdot \sin (x) + 2 e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{4} \cdot \cos (x) + 2 e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $\frac{5}{4} \cdot \cos (x) - 6 e^{- 3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (5 x^{3} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (5 x^{3} - 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (5 x^{3} - 5 x) + e^{x} \cdot (15 x^{2} - 5)$

= $e^{x} \cdot (15 x^{2} - 5 + (5 x^{3} - 5 x))$

= $e^{x} \cdot (5 x^{3} + 15 x^{2} - 5 x - 5)$

= $(5 x^{3} + 15 x^{2} - 5 x - 5) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $4 x \cdot \ln (x) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $4 x \ln (x) + 2 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $4 x \ln (x) + 2 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- 3 x^{3} - 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(- 3 x^{3} - 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (- 3 x^{3} - 2) \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $- 6 (- 3 x^{3} - 2) \cdot (- 9 x^{2})$

= $54 (- 3 x^{3} - 2) x^{2}$

= $54 x^{2} (- 3 x^{3} - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 89)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 3 (x - 7) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 3 e^{- 0,2 x} + 0,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,6 x - 7,2)$

= $(0,6 x - 7,2) \cdot e^{- 0,2 x}$