$\text{f(x)}=$ $4+e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-2e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x}{x}^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2·x^5+e^{2x}·5x^4$

= $2·e^{2x}{x}^5+5·e^{2x}{x}^4$

= $e^{2x}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·\left(3x^3-2x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(3x^3-2x^2\right)+e^{-3x}·\left(9x^2-4x\right)$

= $-3·e^{-3x}\left(3x^3-2x^2\right)+e^{-3x}\left(9x^2-4x\right)$

= $e^{-3x}·(-9x^3+6x^2+\left(9x^2-4x\right))$

= $e^{-3x}·\left(-9x^3+15x^2-4x\right)$

= $\left(-9x^3+15x^2-4x\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(3x^3-x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3x^3-x^2}·\left(9x^2-2x\right)$

= $\frac{9x^2-2x}{3x^3-x^2}$

= $\frac{1·\left(9x-2\right)}{x·\left(3x-1\right)}$

= $\frac{9x-2}{x·\left(3x-1\right)}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(-3x+4\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $5{\left(-3x+4\right)}^4·\left(-3+0\right)$

= $5{\left(-3x+4\right)}^4·\left(-3\right)$

= $-15{\left(-3x+4\right)}^4$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+88\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+0$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}-4\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)$

= $-4e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{3,2}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$

= $e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{3,2}x-\mathrm{16,8}\right)$

= $\left(\mathrm{3,2}x-\mathrm{16,8}\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$