Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} - 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} - 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x^{3} - 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $6 x^{2} \cdot e^{2 x} + (2 x^{3} - 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $6 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 (2 x^{3} - 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{3} + 6 x^{2} - 6)$

= $(4 x^{3} + 6 x^{2} - 6) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{2} - 4} \cdot 2 x$

= $6 \cdot e^{x^{2} - 4} x$

= $6 x e^{x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $9 x^{2} \cdot \ln (x) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $9 x^{2} \ln (x) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $9 x^{2} \ln (x) + 3 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(- x^{3} - 1)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(- x^{3} - 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $8 {(- x^{3} - 1)}^{3} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $8 {(- x^{3} - 1)}^{3} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 24 {(- x^{3} - 1)}^{3} x^{2}$

= $- 24 x^{2} {(- x^{3} - 1)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 71-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $4,2 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $4,2 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 4,41 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 4,41 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $4,6305 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,6305 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 4,862025 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${(- 1,05)}^{71} \cdot (- 4 e^{- 1,05 x})$

= $127,79098724916 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 8$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,2 x + 5,4)$

= $(1,2 x + 5,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten