Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{x^{2}}{e^{2 x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{x^{2}}{e^{2 x}}$

$f'(x) =$ $\frac{2 x \cdot e^{2 x} - x^{2} \cdot e^{2 x} \cdot 2}{{(e^{2 x})}^{2}}$

= $\frac{2 x \cdot e^{2 x} - x^{2} \cdot 2 e^{2 x}}{{(e^{2 x})}^{2}}$

= $\frac{2 x \cdot e^{2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{2 x}}{{(e^{2 x})}^{2}}$

= $\frac{- 2 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}}{e^{4 x}}$

= $\frac{2 \cdot e^{2 x - 4 x} \cdot (- x^{2} + x)}{1}$

= $\frac{2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- x^{2} + x)}{1}$

= $\frac{2 (- x^{2} + x) \cdot e^{- 2 x}}{1}$

= $2 (- x^{2} + x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x - 2} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x - 2} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x + 2}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 2 x + 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{- 2 x + 2} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{- 2 x + 2} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 2 x + 2}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 2})$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 2 x + 2}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 5$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 5$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$

= $2 e^{- 0,7 x} - 5 - 1,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten