Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + e^{\frac{7}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + e^{\frac{7}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{7}{4} x} \cdot \frac{7}{4}$

= $\frac{7}{4} e^{\frac{7}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x + 3) \cdot e^{2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x + 3) \cdot e^{2 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{2 x + 3} + (- 3 x + 3) \cdot e^{2 x + 3} \cdot 2$

= $- 3 e^{2 x + 3} + (- 3 x + 3) \cdot 2 e^{2 x + 3}$

= $- 3 e^{2 x + 3} + 2 (- 3 x + 3) \cdot e^{2 x + 3}$

= $e^{2 x + 3} \cdot (- 6 x + 3)$

= $(- 6 x + 3) \cdot e^{2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x^{3} + 1} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 9 \cdot e^{- x^{3} + 1} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{- x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $6 x \cdot \ln (x^{2} - 3) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 3} \cdot (2 x + 0)$

= $6 x \ln (x^{2} - 3) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 3} \cdot (2 x)$

= $6 x \ln (x^{2} - 3) + 3 x^{2} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 3}$

= $6 x \ln (x^{2} - 3) + 6 \frac{x^{2} \cdot x}{x^{2} - 3}$

= $6 x \ln (x^{2} - 3) + 6 \frac{x^{3}}{x^{2} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{x^{2} - 1}$

= $- 2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} \cdot (2 x + 0)$

= $- \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} \cdot (2 x)$

= $- 2 \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- x}$

f'(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f'''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 5$

= $2 e^{- 0,3 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 5$

= $2 e^{- 0,3 x} - 0,6 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 5$

= $2 e^{- 0,3 x} - 5 - 0,6 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten