$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{8}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{7}{4}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x-2}+x^5·e^{-x-2}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x-2}+x^5·\left(-e^{-x-2}\right)$

= $5x^4·e^{-x-2}-x^5·e^{-x-2}$

= $e^{-x-2}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x-2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{2x-3}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x-3}·2$

= $2e^{2x-3}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^3-3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^3-3}·\left(-3x^2+0\right)$

= $\frac{1}{-x^3-3}·\left(-3x^2\right)$

= $-3\frac{x^2}{-x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-4{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^3·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $-4{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^3·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $4{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^3·\sin \left(x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-\mathrm{1,05}x}$

f'(x) = $-4e^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{4,2}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f''(x) = $\mathrm{4,2}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{4,41}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{4,41}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $\mathrm{4,6305}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{4,6305}{e}^{-\mathrm{1,05}x}·\left(-\mathrm{1,05}\right)$ = $-\mathrm{4,862025}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $-\mathrm{1,05}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${\left(-\mathrm{1,05}\right)}^{69}·\left(-4e^{-\mathrm{1,05}x}\right)$

= $\mathrm{115,91019251624}{e}^{-\mathrm{1,05}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$

= $-3e^{-\mathrm{0,5}x}-3\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)$

= $-3e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{1,5}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{1,5}x+0\right)$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\mathrm{1,5}x$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\mathrm{1,5}x$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\mathrm{1,5}x$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\mathrm{1,5}x$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\mathrm{1,5}x$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\mathrm{1,5}x$

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\mathrm{1,5}x$

= $\mathrm{1,5}x·e^{-\mathrm{0,5}x}$