Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 2 e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 2 e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $- \frac{12}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x + 1} - \frac{3}{4} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x + 1} - \frac{3}{4} x^{2}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x + 1} \cdot 3 - \frac{3}{2} x$

= $9 e^{3 x + 1} - \frac{3}{2} x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 0) \cdot e^{2 x} + (- 2 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 x \cdot e^{2 x} + (- 2 x^{2} + 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 4 x \cdot e^{2 x} + 2 (- 2 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{2} - 4 x + 8)$

= $(- 4 x^{2} - 4 x + 8) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x \cdot \ln (x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x \cdot \ln (x + 5)$

$f'(x) =$ $1 \cdot \ln (x + 5) + x \cdot \frac{1}{x + 5} \cdot (1 + 0)$

= $\ln (x + 5) + x \cdot \frac{1}{x + 5} \cdot (1)$

= $\ln (x + 5) + x \cdot \frac{1}{x + 5}$

= $\ln (x + 5) + \frac{x}{x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 3)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 3) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 8$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x + 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 8$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 8$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 8 + 0,9 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten