Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{7} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{7} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{7} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{16}{7} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x + 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 1} + x^{3} \cdot e^{5 x + 1} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 1} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x + 1}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 1} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x + 1}$

= $e^{5 x + 1} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $9 x^{2} \cdot \ln (x) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $9 x^{2} \ln (x) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $9 x^{2} \ln (x) + 3 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x + 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x + 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x - 9)$

= $(- 2 x - 9) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${0,9}^{61} \cdot e^{0,9 x}$

= $0,001617309269923 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 5$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x - 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 5$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 5 + 0,3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten