$\text{f(x)}=$ $3-e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-e^{-x}·\left(-1\right)$

= $e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+2\right)·e^{-x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{-x-2}+\left(2x+2\right)·e^{-x-2}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x-2}+\left(2x+2\right)·\left(-e^{-x-2}\right)$

= $2e^{-x-2}-\left(2x+2\right)·e^{-x-2}$

= $e^{-x-2}·\left(-2x+0\right)$

= $e^{-x-2}·\left(-2x\right)$

= $x·\left(-2e^{-x-2}\right)$

$\text{f(x)}=$ $\frac{x^3}{e^{3x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3x^2·e^{3x}-x^3·e^{3x}·3}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{3x^2·e^{3x}-x^3·3e^{3x}}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{3x^2·e^{3x}-3x^3·e^{3x}}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{-3x^3·e^{3x}+3x^2·e^{3x}}{e^{6x}}$

= $\frac{3·e^{3x-6x}·\left(-x^3+x^2\right)}{1}$

= $\frac{3·e^{-3x}·\left(-x^3+x^2\right)}{1}$

= $\frac{3\left(-x^3+x^2\right)·e^{-3x}}{1}$

= $3\left(-x^3+x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-4x^2+2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-4x^2+2x}·\left(-8x+2\right)$

= $\frac{-8x+2}{-4x^2+2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+9\right)·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(-3x\right)+\left(x+9\right)·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $\cos \left(-3x\right)+\left(x+9\right)·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $\cos \left(-3x\right)+3\left(x+9\right)·\sin \left(-3x\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-5e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{4,75}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{4,75}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{4,5125}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{4,5125}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{4,286875}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{4,286875}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $-\mathrm{4,07253125}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{74}·\left(-5e^{\mathrm{0,95}x}\right)$

= $-\mathrm{0,11233544129409}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)-5$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}+\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)-5$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,4}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}-5-\mathrm{0,4}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$