Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $- \frac{7}{9} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + x) \cdot e^{- 4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + x) \cdot e^{- 4 x + 5}$

$f'(x) =$ $(2 x + 1) \cdot e^{- 4 x + 5} + (x^{2} + x) \cdot e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4)$

= $(2 x + 1) \cdot e^{- 4 x + 5} + (x^{2} + x) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 5})$

= $(2 x + 1) \cdot e^{- 4 x + 5} - 4 (x^{2} + x) \cdot e^{- 4 x + 5}$

= $e^{- 4 x + 5} \cdot (2 x + 1 + (- 4 x^{2} - 4 x))$

= $e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4 x^{2} - 2 x + 1)$

= $(- 4 x^{2} - 2 x + 1) \cdot e^{- 4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} \cdot \ln (x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $12 x^{2} \cdot \ln (x^{2} - 2) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 2} \cdot (2 x + 0)$

= $12 x^{2} \ln (x^{2} - 2) + 4 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} - 2} \cdot (2 x)$

= $12 x^{2} \ln (x^{2} - 2) + 4 x^{3} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} - 2}$

= $12 x^{2} \ln (x^{2} - 2) + 8 \frac{x^{3} \cdot x}{x^{2} - 2}$

= $12 x^{2} \ln (x^{2} - 2) + 8 \frac{x^{4}}{x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (3 x - 4) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $3 \cdot \cos (x^{3}) + (3 x - 4) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $3 \cdot \cos (x^{3}) - 3 (3 x - 4) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${(- 1,1)}^{45} \cdot e^{- 1,1 x}$

= $- 72,890483685103 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 7$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x - 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 7$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 7$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 7 + 2,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten