$\text{f(x)}=$ $e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2$

= $2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x+1\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{-x}+\left(3x+1\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $3e^{-x}+\left(3x+1\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $3e^{-x}-\left(3x+1\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(-3x+2\right)$

= $\left(-3x+2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^2+4\right)·e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-4x+0\right)·e^{-x}+\left(-2x^2+4\right)·e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-4x·e^{-x}+\left(-2x^2+4\right)·\left(-e^{-x}\right)$

= $-4x·e^{-x}-\left(-2x^2+4\right)·e^{-x}$

= $e^{-x}·\left(2x^2-4x-4\right)$

= $\left(2x^2-4x-4\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(7x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{7x}·7$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+6\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-3x}+\left(x^2+6\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $2x·e^{-3x}+\left(x^2+6\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $2x·e^{-3x}-3\left(x^2+6\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^2+2x-18\right)$

= $\left(-3x^2+2x-18\right)·e^{-3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,857375}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,857375}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,81450625}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{65}·e^{-\mathrm{0,95}x}$

= $-\mathrm{0,03564793225056}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $-3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2x$

$\text{f'(x)}=$ $-3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-3\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-2$

= $-3e^{-\mathrm{0,5}x}-3\left(x+6\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-2$

= $-3e^{-\mathrm{0,5}x}+\mathrm{1,5}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-2$

= $-3e^{-\mathrm{0,5}x}-2+\mathrm{1,5}\left(x+6\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$