$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{9}{e}^{3x}·3$

= $\frac{8}{3}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^3-2\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(15x^2+0\right)·e^{2x}+\left(5x^3-2\right)·e^{2x}·2$

= $15x^2·e^{2x}+\left(5x^3-2\right)·2e^{2x}$

= $15x^2·e^{2x}+2\left(5x^3-2\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(10x^3+15x^2-4\right)$

= $\left(10x^3+15x^2-4\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{-3x^3-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-3x^3-3}·\left(-9x^2\right)$

= $18·e^{-3x^3-3}{x}^2$

= $18x^2{e}^{-3x^3-3}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{6x}·6$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·e^{2x+5}$

= $x^{\frac{1}{2}}·e^{2x+5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·e^{2x+5}+x^{\frac{1}{2}}·e^{2x+5}·2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·e^{2x+5}+\sqrt{x}·e^{2x+5}·2$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{2x+5}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·2e^{2x+5}$

= $\frac{1}{2}\frac{e^{2x+5}}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}·e^{2x+5}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^x$

f'(x) = $4e^x$

f''(x) = $4e^x$

f'''(x) = $4e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $4e^x$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)+1$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}+2\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)+1$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{1,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+1$

= $2e^{-\mathrm{0,7}x}+1-\mathrm{1,4}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$