$\text{f(x)}=$ $2e^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{\frac{3}{5}x}·\frac{3}{5}$

= $\frac{6}{5}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}{x}^5$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·x^5+e^{-2x}·5x^4$

= $-2·e^{-2x}{x}^5+5·e^{-2x}{x}^4$

= $e^{-2x}·\left(-2x^5+5x^4\right)$

= $\left(-2x^5+5x^4\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{x+1}·1$

= $-2e^{x+1}$

$\text{f(x)}=$ $2x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2·\ln \left(x\right)+2x·\frac{1}{x}·1$

= $2\ln \left(x\right)+2x·\frac{1}{x}$

= $2\ln \left(x\right)+2$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x-2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{\mathrm{0,9}x}$

f'(x) = $4e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{3,6}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,6}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{3,24}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,24}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{2,916}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{2,916}{e}^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$ = $\mathrm{2,6244}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,9}}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${\mathrm{0,9}}^{46}·4e^{\mathrm{0,9}x}$

= $\mathrm{0,031420668845116}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $-2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+6$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}-2\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+6$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,2}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+6$

= $-2e^{-\mathrm{0,1}x}+6+\mathrm{0,2}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$