Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{6}{7} e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{6}{7} e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{3}{7} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} + 6 x) \cdot e^{3 x - 3} + (2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $(6 x^{2} + 6 x) \cdot e^{3 x - 3} + (2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x - 3}$

= $(6 x^{2} + 6 x) \cdot e^{3 x - 3} + 3 (2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x - 3}$

= $e^{3 x - 3} \cdot (6 x^{3} + 9 x^{2} + (6 x^{2} + 6 x))$

= $e^{3 x - 3} \cdot (6 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x)$

= $(6 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x) \cdot e^{3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x^{2} - 1} \cdot 6 x$

= $18 \cdot e^{3 x^{2} - 1} x$

= $18 x e^{3 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x \cdot \ln (x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x \cdot \ln (x - 4)$

$f'(x) =$ $6 \cdot \ln (x - 4) + 6 x \cdot \frac{1}{x - 4} \cdot (1 + 0)$

= $6 \ln (x - 4) + 6 x \cdot \frac{1}{x - 4} \cdot (1)$

= $6 \ln (x - 4) + 6 x \cdot \frac{1}{x - 4}$

= $6 \ln (x - 4) + 6 \frac{x}{x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (- 4 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (- 4 x - 3)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sin (- 4 x - 3) + x^{2} \cdot \cos (- 4 x - 3) \cdot (- 4 + 0)$

= $2 x \cdot \sin (- 4 x - 3) + x^{2} \cdot \cos (- 4 x - 3) \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot \sin (- 4 x - 3) + x^{2} \cdot (- 4 \cdot \cos (- 4 x - 3))$

= $2 x \cdot \sin (- 4 x - 3) - 4 x^{2} \cdot \cos (- 4 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 87)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 2$

= $- e^{- 0,1 x} - (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 2$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 2$

= $- e^{- 0,1 x} - 2 + 0,1 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten