Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{8} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{11}{4} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} + e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $6 x + e^{x + 3} \cdot 1$

= $6 x + e^{x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3} + e^{x} \cdot 3 x^{2}$

= $e^{x} x^{3} + 3 \cdot e^{x} x^{2}$

= $e^{x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x + 3} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 7) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 7) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 7) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 13)$

= $(2 x - 13) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 30-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $5 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 5,75 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 5,75 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $6,6125 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $6,6125 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 7,604375 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 7,604375 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $8,74503125 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${(- 1,15)}^{30} \cdot 5 e^{- 1,15 x}$

= $331,05885978393 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (x + 3)$

= $(x + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$