$\text{f(x)}=$ $-4-3e^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-3e^{\frac{2}{3}x}·\frac{2}{3}$

= $-2e^{\frac{2}{3}x}$

$\text{f(x)}=$ $2x^4-2e^{3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $8x^3-2e^{3x-5}·3$

= $8x^3-6e^{3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-3x^2-5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-3x^2-5}·\left(-6x\right)$

= $-18·e^{-3x^2-5}x$

= $-18x{e}^{-3x^2-5}$

$\text{f(x)}=$ $2x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x·\ln \left(x\right)+2x^2·\frac{1}{x}·1$

= $4x\ln \left(x\right)+2x^2·\frac{1}{x}$

= $4x\ln \left(x\right)+2x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3x^3+2}$

= ${\left(3x^3+2\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-{\left(3x^3+2\right)}^{-2}·\left(9x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(3x^3+2\right)}^2}·\left(9x^2+0\right)$

= $-\frac{1}{{\left(3x^3+2\right)}^2}·\left(9x^2\right)$

= $-9\frac{x^2}{{\left(3x^3+2\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+1$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+2\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+0$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}+2\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,2}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$

= $e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,2}x+\mathrm{2,2}\right)$

= $\left(-\mathrm{0,2}x+\mathrm{2,2}\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$