Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 3 e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 3 e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{15}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} + x) \cdot e^{x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} + x) \cdot e^{x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 1) \cdot e^{x - 2} + (- 3 x^{2} + x) \cdot e^{x - 2} \cdot 1$

= $(- 6 x + 1) \cdot e^{x - 2} + (- 3 x^{2} + x) \cdot e^{x - 2}$

= $e^{x - 2} \cdot (- 6 x + 1 + (- 3 x^{2} + x))$

= $e^{x - 2} \cdot (- 3 x^{2} - 5 x + 1)$

= $(- 3 x^{2} - 5 x + 1) \cdot e^{x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

= $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $8 x \cdot \ln (x) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $8 x \ln (x) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $8 x \ln (x) + 4 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{5 x + 2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{5 x + 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{5 x + 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{5 x + 2} \cdot 5$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{5 x + 2} + \sqrt{x} \cdot e^{5 x + 2} \cdot 5$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{5 x + 2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 5 e^{5 x + 2}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{5 x + 2}}{\sqrt{x}} + 5 \sqrt{x} \cdot e^{5 x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 37-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,520875 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,520875 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,74900625 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${1,15}^{37} \cdot e^{1,15 x}$

= $176,12462972611 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 9$

= $e^{- 0,1 x} + (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 9$

= $e^{- 0,1 x} - 0,1 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 9$

= $e^{- 0,1 x} + 9 - 0,1 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten