$\text{f(x)}=$ $-4+\frac{5}{8}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{8}{e}^{\frac{5}{8}x}·\frac{5}{8}$

= $\frac{25}{64}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{4x+5}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{4x+5}+x^5·e^{4x+5}·4$

= $5x^4·e^{4x+5}+x^5·4e^{4x+5}$

= $5x^4·e^{4x+5}+4x^5·e^{4x+5}$

= $e^{4x+5}·\left(4x^5+5x^4\right)$

= $\left(4x^5+5x^4\right)·e^{4x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x^3+5}·6x^2$

= $-12·e^{2x^3+5}{x}^2$

= $-12x^2{e}^{2x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{4x}·4$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{-x^3+3}$

= $3{\left(-x^3+3\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-3{\left(-x^3+3\right)}^{-2}·\left(-3x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(-x^3+3\right)}^2}·\left(-3x^2+0\right)$

= $-\frac{3}{{\left(-x^3+3\right)}^2}·\left(-3x^2\right)$

= $9\frac{x^2}{{\left(-x^3+3\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^x·\left(x+87\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-8$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}-\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-8$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{0,7}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-8$

= $-e^{-\mathrm{0,7}x}-8+\mathrm{0,7}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$