Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{7}{9} e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{7}{9} e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{9} e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{7}{27} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{5} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 1})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1} - 5 x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1}$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (4 x^{5} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (4 x^{5} + 4)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (4 x^{5} + 4) + e^{- x} \cdot (20 x^{4} + 0)$

= $- e^{- x} (4 x^{5} + 4) + e^{- x} \cdot (20 x^{4})$

= $- e^{- x} (4 x^{5} + 4) + 20 \cdot e^{- x} x^{4}$

= $e^{- x} \cdot (- 4 x^{5} + 20 x^{4} - 4)$

= $(- 4 x^{5} + 20 x^{4} - 4) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x + 4)$

$f'(x) =$ $15 x^{2} \cdot \ln (x + 4) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 4} \cdot (1 + 0)$

= $15 x^{2} \ln (x + 4) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 4} \cdot (1)$

= $15 x^{2} \ln (x + 4) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 4}$

= $15 x^{2} \ln (x + 4) + 5 \frac{x^{3}}{x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{- 2 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{- 2 x^{3} + 1}$

= $- 3 {(- 2 x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(- 2 x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{- 2 x^{3} + 1}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $- \frac{3}{2 \sqrt{- 2 x^{3} + 1}} \cdot (- 6 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{\sqrt{- 2 x^{3} + 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 6$

= $- e^{- 0,7 x} - (x + 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 6$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$

= $- e^{- 0,7 x} + 6 + 0,7 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten