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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x} - x^{4} - 3 e^{x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{x} - x^{4} - 3 e^{x + 4}$

= $3 x^{\frac{1}{2}} - x^{4} - 3 e^{x + 4}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{3} - 3 e^{x + 4} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{x}} - 4 x^{3} - 3 e^{x + 4} \cdot 1$

= $\frac{3}{2 \sqrt{x}} - 4 x^{3} - 3 e^{x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{e^{3 x}}{- x^{5} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{e^{3 x}}{- x^{5} + 1}$

$f'(x) =$ $\frac{e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- x^{5} + 1) - e^{3 x} \cdot (- 5 x^{4} + 0)}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

= $\frac{3 \cdot e^{3 x} (- x^{5} + 1) - e^{3 x} \cdot (- 5 x^{4})}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

= $\frac{3 \cdot e^{3 x} (- x^{5} + 1) + 5 \cdot e^{3 x} x^{4}}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $15 x^{2} \cdot \ln (x) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $15 x^{2} \ln (x) + 5 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $15 x^{2} \ln (x) + 5 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (3 x - 7) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $3 \cdot \sin (- 2 x) + (3 x - 7) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $3 \cdot \sin (- 2 x) - 2 (3 x - 7) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{x}$

f'(x) = $4 e^{x}$

f''(x) = $4 e^{x}$

f'''(x) = $4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 3$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x - 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 3$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 3 + 0,9 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x}$