Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{3} e^{\frac{7}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{3} e^{\frac{7}{4} x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3} e^{\frac{7}{4} x} \cdot \frac{7}{4}$

= $\frac{7}{3} e^{\frac{7}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 3} + x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3} \cdot (- 4)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 3} + x^{3} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 3})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 3} - 4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3}$

= $e^{- 4 x - 3} \cdot (- 4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x - 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{x - 1} \cdot 1$

= $2 e^{x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \ln (x) + x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $2 x \ln (x) + x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $2 x \ln (x) + x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 3 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 3 x - 4)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x - 4) + x^{5} \cdot \cos (- 3 x - 4) \cdot (- 3 + 0)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x - 4) + x^{5} \cdot \cos (- 3 x - 4) \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x - 4) + x^{5} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x - 4))$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x - 4) - 3 x^{5} \cdot \cos (- 3 x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{1,15 x}$

f'(x) = $- 3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 3,45 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 3,45 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 3,9675 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 3,9675 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 4,562625 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,562625 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 5,24701875 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${1,15}^{34} \cdot (- 3 e^{1,15 x})$

= $- 347,41440892798 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 9$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x + 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 9$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$

= $2 e^{- 0,7 x} + 9 - 1,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten