$\text{f(x)}=$ $5+3e^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^{\frac{8}{9}x}·\frac{8}{9}$

= $\frac{8}{3}{e}^{\frac{8}{9}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-x^2+4x\right)·e^{-x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2x+4\right)·e^{-x-2}+\left(-x^2+4x\right)·e^{-x-2}·\left(-1\right)$

= $\left(-2x+4\right)·e^{-x-2}+\left(-x^2+4x\right)·\left(-e^{-x-2}\right)$

= $\left(-2x+4\right)·e^{-x-2}-\left(-x^2+4x\right)·e^{-x-2}$

= $e^{-x-2}·(-2x+4+\left(x^2-4x\right))$

= $e^{-x-2}·\left(x^2-6x+4\right)$

= $\left(x^2-6x+4\right)·e^{-x-2}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x}·\left(2x^2-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x}·\left(-2\right)·\left(2x^2-3x\right)+e^{-2x}·\left(4x-3\right)$

= $-2·e^{-2x}\left(2x^2-3x\right)+e^{-2x}\left(4x-3\right)$

= $e^{-2x}·(4x-3+\left(-4x^2+6x\right))$

= $e^{-2x}·\left(-4x^2+10x-3\right)$

= $\left(-4x^2+10x-3\right)·e^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $-9\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-9}{4x}·4$

= $-\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·\sin \left(x^2\right)$

= $x^{\frac{1}{4}}·\sin \left(x^2\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·\sin \left(x^2\right)+x^{\frac{1}{4}}·\cos \left(x^2\right)·2x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·\sin \left(x^2\right)+\sqrt[4]{x}·\cos \left(x^2\right)·2x$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(x^2\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+\sqrt[4]{x}·2\cos \left(x^2\right)x$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(x^2\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+2\sqrt[4]{x}\cos \left(x^2\right)x$

= $\frac{1}{4}\frac{\sin \left(x^2\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+2{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^5·\cos \left(x^2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,9025}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,857375}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,857375}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{0,81450625}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{79}·e^{\mathrm{0,95}x}$

= $\mathrm{0,017384604615804}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-1$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}+2\left(x+4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-1$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,2}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-1$

= $2e^{-\mathrm{0,6}x}-1-\mathrm{1,2}\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$