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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{6}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x + 2} + \frac{4}{3 x^{4}} + \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x + 2} + \frac{4}{3 x^{4}} + \sin (x)$

= $3 e^{2 x + 2} + \frac{4}{3} x^{- 4} + \sin (x)$

=> f'(x) = $3 e^{2 x + 2} \cdot 2 - \frac{16}{3} x^{- 5} + \cos (x)$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x + 2} \cdot 2 - \frac{16}{3 x^{5}} + \cos (x)$

= $6 e^{2 x + 2} - \frac{16}{3 x^{5}} + \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x - 1)$

$f'(x) =$ $14 x \cdot \ln (x - 1) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 1} \cdot (1 + 0)$

= $14 x \ln (x - 1) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 1} \cdot (1)$

= $14 x \ln (x - 1) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

= $14 x \ln (x - 1) + 7 \frac{x^{2}}{x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\cos (x) - 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\cos (x) - 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $12 {(\cos (x) - 5)}^{3} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $12 {(\cos (x) - 5)}^{3} \cdot (- \sin (x))$

= $- 12 {(\cos (x) - 5)}^{3} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,3 x - 4,5)$

= $(0,3 x - 4,5) \cdot e^{- 0,1 x}$