$\text{f(x)}=$ $-2+\frac{7}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{7}{9}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{14}{9}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^3-2\right)·e^x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-15x^2+0\right)·e^x+\left(-5x^3-2\right)·e^x$

= $\left(-5x^3-2\right)·e^x-15x^2·e^x$

= $e^x·\left(-5x^3-15x^2-2\right)$

= $\left(-5x^3-15x^2-2\right)·e^x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{-x}}{-x^2+5}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x^2+5\right)-e^{-x}·\left(-2x+0\right)}{{\left(-x^2+5\right)}^2}$

= $\frac{-e^{-x}\left(-x^2+5\right)-e^{-x}·\left(-2x\right)}{{\left(-x^2+5\right)}^2}$

= $\frac{-e^{-x}\left(-x^2+5\right)+2·e^{-x}x}{{\left(-x^2+5\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $7x^2·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $14x·\ln \left(x\right)+7x^2·\frac{1}{x}·1$

= $14x\ln \left(x\right)+7x^2·\frac{1}{x}$

= $14x\ln \left(x\right)+7x$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\sqrt{x}\right)}^3·e^{2x}$

= $x^{\frac{3}{2}}·e^{2x}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}·e^{2x}+x^{\frac{3}{2}}·e^{2x}·2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}\sqrt{x}·e^{2x}+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·e^{2x}·2$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·e^{2x}+{\left(\sqrt{x}\right)}^3·2e^{2x}$

= $\frac{3}{2}\sqrt{x}·e^{2x}+2{\left(\sqrt{x}\right)}^3·e^{2x}$

= $e^{2x}·\left(2{\left(\sqrt{x}\right)}^3+\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)$

= $\left(2{\left(\sqrt{x}\right)}^3+\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)·e^{2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}$

f'(x) = $e^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f''(x) = $\mathrm{1,15}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f'''(x) = $\mathrm{1,3225}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,520875}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{1,520875}{e}^{\mathrm{1,15}x}·\mathrm{1,15}$ = $\mathrm{1,74900625}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{1,15}}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${\mathrm{1,15}}^{38}·e^{\mathrm{1,15}x}$

= $\mathrm{202,54332418503}{e}^{\mathrm{1,15}x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-3$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+5\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)+0$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}+5\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)$

= $5e^{-\mathrm{0,2}x}-\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$

= $e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-x+7\right)$

= $\left(-x+7\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$