Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{6}{7} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{6}{7} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{18}{7} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (x) - 3 e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (x) - 3 e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - 3 e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) + 3 e^{- x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x^{3} + 5 x^{2}) + e^{- x} \cdot (- 3 x^{2} + 10 x)$

= $- e^{- x} (- x^{3} + 5 x^{2}) + e^{- x} (- 3 x^{2} + 10 x)$

= $e^{- x} \cdot (x^{3} - 5 x^{2} + (- 3 x^{2} + 10 x))$

= $e^{- x} \cdot (x^{3} - 8 x^{2} + 10 x)$

= $(x^{3} - 8 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} + 1} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} + 1} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x - 3}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x - 3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x - 3} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x - 3} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x - 3} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x - 3}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x - 3}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x - 3}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x - 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 93)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x - 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2,5 x - 10)$

= $(2,5 x - 10) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten