Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} + 2 x^{3}) \cdot e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} + 2 x^{3}) \cdot e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} + 6 x^{2}) \cdot e^{3 x - 4} + (2 x^{5} + 2 x^{3}) \cdot e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $(10 x^{4} + 6 x^{2}) \cdot e^{3 x - 4} + (2 x^{5} + 2 x^{3}) \cdot 3 e^{3 x - 4}$

= $(10 x^{4} + 6 x^{2}) \cdot e^{3 x - 4} + 3 (2 x^{5} + 2 x^{3}) \cdot e^{3 x - 4}$

= $e^{3 x - 4} \cdot (6 x^{5} + 6 x^{3} + (10 x^{4} + 6 x^{2}))$

= $e^{3 x - 4} \cdot (6 x^{5} + 10 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2})$

= $(6 x^{5} + 10 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(16 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x} + (4 x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(16 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x} + (4 x^{4} + 5 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(16 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x} - 3 (4 x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (16 x^{3} + 5 + (- 12 x^{4} - 15 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{4} + 16 x^{3} - 15 x + 5)$

= $(- 12 x^{4} + 16 x^{3} - 15 x + 5) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 12)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 12) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,857375 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,857375 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,81450625 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${0,95}^{62} \cdot e^{0,95 x}$

= $0,041577993585724 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 4$

= $2 e^{- 0,5 x} + 2 (x - 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 4$

= $2 e^{- 0,5 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

= $2 e^{- 0,5 x} + 4 - (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten