$\text{f(x)}=$ $-2+e^{\frac{11}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{\frac{11}{8}x}·\frac{11}{8}$

= $\frac{11}{8}{e}^{\frac{11}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{x+3}+\frac{3}{2}\sqrt{x}$

= $e^{x+3}+\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $e^{x+3}·1+\frac{3}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{x+3}·1+\frac{3}{4\sqrt{x}}$

= $e^{x+3}+\frac{3}{4\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{x^3+5}·3x^2$

= $6·e^{x^3+5}{x}^2$

= $6x^2{e}^{x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{5x}·5$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(e^{-x}+1\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $6{\left(e^{-x}+1\right)}^2·(e^{-x}·\left(-1\right)+0)$

= $6{\left(e^{-x}+1\right)}^2·\left(-e^{-x}\right)$

= $-6{\left(e^{-x}+1\right)}^2·e^{-x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3e^x$

f'(x) = $3e^x$

f''(x) = $3e^x$

f'''(x) = $3e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $3e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-1$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}+\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-1$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}-\mathrm{0,7}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-1$

= $e^{-\mathrm{0,7}x}-1-\mathrm{0,7}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$