$\text{f(x)}=$ $-4+e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-x}·\left(-1\right)$

= $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{5x-2}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{5x-2}+x^3·e^{5x-2}·5$

= $3x^2·e^{5x-2}+x^3·5e^{5x-2}$

= $3x^2·e^{5x-2}+5x^3·e^{5x-2}$

= $e^{5x-2}·\left(5x^3+3x^2\right)$

= $\left(5x^3+3x^2\right)·e^{5x-2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{e^{-3x}}{-4x^5-2x^3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{e^{-3x}·\left(-3\right)·\left(-4x^5-2x^3\right)-e^{-3x}·\left(-20x^4-6x^2\right)}{{\left(-4x^5-2x^3\right)}^2}$

= $\frac{-3·e^{-3x}\left(-4x^5-2x^3\right)-e^{-3x}\left(-20x^4-6x^2\right)}{{\left(-4x^5-2x^3\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\ln \left(x^2+6\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\ln \left(x^2+6\right)+x^2·\frac{1}{x^2+6}·\left(2x+0\right)$

= $2x\ln \left(x^2+6\right)+x^2·\frac{1}{x^2+6}·\left(2x\right)$

= $2x\ln \left(x^2+6\right)+x^2·2\frac{x}{x^2+6}$

= $2x\ln \left(x^2+6\right)+2\frac{x^2·x}{x^2+6}$

= $2x\ln \left(x^2+6\right)+2\frac{x^3}{x^2+6}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\cos \left(x^2\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(x^2\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\cos \left(x^2\right)+x^{\frac{1}{2}}·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\cos \left(x^2\right)+\sqrt{x}·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x^2\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x^2\right)}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}\sin \left(x^2\right)x$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x^2\right)}{\sqrt{x}}-2{\left(\sqrt{x}\right)}^3·\sin \left(x^2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-x}$

f'(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

f'''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $-e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}+4$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}-5\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,4}\right)+0$

= $-5e^{-\mathrm{0,4}x}-5\left(x-5\right)·\left(-\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{0,4}x}\right)$

= $-5e^{-\mathrm{0,4}x}+2\left(x-5\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$

= $e^{-\mathrm{0,4}x}·\left(2x-15\right)$

= $\left(2x-15\right)·e^{-\mathrm{0,4}x}$