Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{x - 5}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} + 10 x) \cdot e^{x - 5} + (5 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{x - 5} \cdot 1$

= $(15 x^{2} + 10 x) \cdot e^{x - 5} + (5 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{x - 5}$

= $e^{x - 5} \cdot (5 x^{3} + 5 x^{2} + (15 x^{2} + 10 x))$

= $e^{x - 5} \cdot (5 x^{3} + 20 x^{2} + 10 x)$

= $(5 x^{3} + 20 x^{2} + 10 x) \cdot e^{x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 3 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 3 x - 3)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 3 x - 3) + e^{2 x} \cdot (- 3 + 0)$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 3 x - 3) + e^{2 x} \cdot (- 3)$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 3 x - 3) - 3 e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x - 9)$

= $(- 6 x - 9) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - 4 x} \cdot (6 x^{2} - 4)$

= $\frac{6 x^{2} - 4}{2 x^{3} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) - 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) - 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 6 {(\cos (x) - 1)}^{2} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 6 {(\cos (x) - 1)}^{2} \cdot (- \sin (x))$

= $6 {(\cos (x) - 1)}^{2} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 6$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 6$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 6$

= $3 e^{- 0,5 x} - 6 - 1,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten