Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $- \frac{6}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 1) \cdot e^{- 4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 1) \cdot e^{- 4 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 0) \cdot e^{- 4 x - 2} + (- 4 x^{3} - 1) \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $- 12 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2} + (- 4 x^{3} - 1) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 2})$

= $- 12 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2} - 4 (- 4 x^{3} - 1) \cdot e^{- 4 x - 2}$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (16 x^{3} - 12 x^{2} + 4)$

= $(16 x^{3} - 12 x^{2} + 4) \cdot e^{- 4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{e^{x}}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{e^{x}}{x^{4}}$

$f'(x) =$ $\frac{e^{x} \cdot x^{4} - e^{x} \cdot 4 x^{3}}{{(x^{4})}^{2}}$

= $\frac{e^{x} x^{4} - 4 \cdot e^{x} x^{3}}{{(x^{4})}^{2}}$

= $\frac{x^{4} \cdot e^{x} - 4 x^{3} \cdot e^{x}}{x^{8}}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x \cdot \ln (x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x \cdot \ln (x + 1)$

$f'(x) =$ $7 \cdot \ln (x + 1) + 7 x \cdot \frac{1}{x + 1} \cdot (1 + 0)$

= $7 \ln (x + 1) + 7 x \cdot \frac{1}{x + 1} \cdot (1)$

= $7 \ln (x + 1) + 7 x \cdot \frac{1}{x + 1}$

= $7 \ln (x + 1) + 7 \frac{x}{x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 5 x + 4}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 5 x + 4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 5 x + 4} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 5 x + 4} \cdot (- 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 5 x + 4} + \sqrt{x} \cdot e^{- 5 x + 4} \cdot (- 5)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 5 x + 4}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 4})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 5 x + 4}}{\sqrt{x}} - 5 \sqrt{x} \cdot e^{- 5 x + 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,614125 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,614125 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,52200625 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${(- 0,85)}^{45} \cdot e^{- 0,85 x}$

= $- 0,00066657904555222 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 6$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 6$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$

= $3 e^{- 0,4 x} + 6 - 1,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten