Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $- \frac{7}{4} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + 5) \cdot e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} + 5) \cdot e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 0) \cdot e^{2 x - 1} + (- x^{3} + 5) \cdot e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{2 x - 1} + (- x^{3} + 5) \cdot 2 e^{2 x - 1}$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{2 x - 1} + 2 (- x^{3} + 5) \cdot e^{2 x - 1}$

= $e^{2 x - 1} \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 10)$

= $(- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 10) \cdot e^{2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{- x^{5} + x^{2}}{e^{x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{- x^{5} + x^{2}}{e^{x}}$

$f'(x) =$ $\frac{(- 5 x^{4} + 2 x) \cdot e^{x} - (- x^{5} + x^{2}) \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}}$

= $\frac{- (- x^{5} + x^{2}) \cdot e^{x} + (- 5 x^{4} + 2 x) \cdot e^{x}}{e^{2 x}}$

= $\frac{e^{x - 2 x} \cdot (- x^{2} (- x^{3} + 1) + x (- 5 x^{3} + 2))}{1}$

= $\frac{e^{- x} \cdot (- x^{2} (- x^{3} + 1) + x (- 5 x^{3} + 2))}{1}$

= $\frac{(- x^{2} (- x^{3} + 1) + x (- 5 x^{3} + 2)) \cdot e^{- x}}{1}$

= $(- x^{2} \cdot (- x^{3} + 1) + x \cdot (- 5 x^{3} + 2)) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x^{2} + 4)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $7 x^{3} \cdot \ln (x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $21 x^{2} \cdot \ln (x^{2} + 4) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4} \cdot (2 x + 0)$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} + 4) + 7 x^{3} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4} \cdot (2 x)$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} + 4) + 7 x^{3} \cdot 2 \frac{x}{x^{2} + 4}$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} + 4) + 14 \frac{x^{3} \cdot x}{x^{2} + 4}$

= $21 x^{2} \ln (x^{2} + 4) + 14 \frac{x^{4}}{x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(e^{- 2 x} + 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(e^{- 2 x} + 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(e^{- 2 x} + 3)}^{2} \cdot (e^{- 2 x} \cdot (- 2) + 0)$

= $- 3 {(e^{- 2 x} + 3)}^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $6 {(e^{- 2 x} + 3)}^{2} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${(- 1,1)}^{54} \cdot e^{- 1,1 x}$

= $171,87194770116 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 8 x$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 8$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 8$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 8$

= $2 e^{- 0,4 x} + 8 - 0,8 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten