Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{1}{3} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{1}{3} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{3} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{3} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{2} - 5) \cdot e^{- 4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{2} - 5) \cdot e^{- 4 x + 3}$

$f'(x) =$ $(10 x + 0) \cdot e^{- 4 x + 3} + (5 x^{2} - 5) \cdot e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4)$

= $10 x \cdot e^{- 4 x + 3} + (5 x^{2} - 5) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 3})$

= $10 x \cdot e^{- 4 x + 3} - 4 (5 x^{2} - 5) \cdot e^{- 4 x + 3}$

= $e^{- 4 x + 3} \cdot (- 20 x^{2} + 10 x + 20)$

= $(- 20 x^{2} + 10 x + 20) \cdot e^{- 4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot (- e^{- x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} - x^{5} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $5 \cdot \ln (x) + 5 x \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $5 \ln (x) + 5 x \cdot \frac{1}{x}$

= $5 \ln (x) + 5$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3 x - 1}$

= $- 2 {(3 x - 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $2 {(3 x - 1)}^{- 2} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{{(3 x - 1)}^{2}} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{2}{{(3 x - 1)}^{2}} \cdot (3)$

= $\frac{6}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,520875 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,520875 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,74900625 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${1,15}^{42} \cdot e^{1,15 x}$

= $354,24953989539 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $e^{- 0,7 x} + (x - 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7 x + 3,1)$

= $(- 0,7 x + 3,1) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten