$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{7}{e}^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{7}{e}^{3x}·3$

= $\frac{15}{7}{e}^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-3x+1}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-3x+1}+x^3·e^{-3x+1}·\left(-3\right)$

= $3x^2·e^{-3x+1}+x^3·\left(-3e^{-3x+1}\right)$

= $3x^2·e^{-3x+1}-3x^3·e^{-3x+1}$

= $e^{-3x+1}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x+1}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-3x}+x^5·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $5x^4·e^{-3x}+x^5·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $5x^4·e^{-3x}-3x^5·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $5\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{4x}·4$

= $\frac{5}{x}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(e^x+1\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $6{\left(e^x+1\right)}^2·\left(e^x+0\right)$

= $6{\left(e^x+1\right)}^2·\left(e^x\right)$

= $6{\left(e^x+1\right)}^2·e^x$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{-x}·\left(-x+93\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+6$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-6\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+6$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+6-\mathrm{0,6}\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$