Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 2) \cdot e^{- 5 x - 1} + (- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5)$

= $(- 4 x + 2) \cdot e^{- 5 x - 1} + (- 2 x^{2} + 2 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 1})$

= $(- 4 x + 2) \cdot e^{- 5 x - 1} - 5 (- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x - 1}$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (- 4 x + 2 + (10 x^{2} - 10 x))$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (10 x^{2} - 14 x + 2)$

= $(10 x^{2} - 14 x + 2) \cdot e^{- 5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(16 x^{3} + 2 x) \cdot e^{2 x} + (4 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(16 x^{3} + 2 x) \cdot e^{2 x} + (4 x^{4} + x^{2}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(16 x^{3} + 2 x) \cdot e^{2 x} + 2 (4 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{4} + 2 x^{2} + (16 x^{3} + 2 x))$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{4} + 16 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x)$

= $(8 x^{4} + 16 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} \cdot \ln (x + 3)$

$f'(x) =$ $9 x^{2} \cdot \ln (x + 3) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 3} \cdot (1 + 0)$

= $9 x^{2} \ln (x + 3) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 3} \cdot (1)$

= $9 x^{2} \ln (x + 3) + 3 x^{3} \cdot \frac{1}{x + 3}$

= $9 x^{2} \ln (x + 3) + 3 \frac{x^{3}}{x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x + 7) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x + 7) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x + 7) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x + 22)$

= $(3 x + 22) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 1$

= $e^{- 0,7 x} + (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 1$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 1$

= $e^{- 0,7 x} + 1 - 0,7 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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