Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{4} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{4} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{4} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{7}{4} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (x) - 3 e^{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot \cos (x) - 3 e^{x - 3}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - 3 e^{x - 3} \cdot 1$

= $- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - 3 e^{x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $14 x \cdot \ln (x) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $14 x \ln (x) + 7 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $14 x \ln (x) + 7 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (3 x) + (2 x + 8) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 \cdot \sin (3 x) + (2 x + 8) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 \cdot \sin (3 x) + 3 (2 x + 8) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,614125 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,614125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,52200625 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${0,85}^{33} \cdot e^{0,85 x}$

= $0,0046862402361501 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 1$

= $3 e^{- 0,2 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 1$

= $3 e^{- 0,2 x} - 0,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$

= $3 e^{- 0,2 x} + 1 - 0,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x}$