$\text{f(x)}=$ $2e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-6e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $-2e^{3x-1}+\frac{7}{2}{x}^2+\frac{9}{x^2}$

= $-2e^{3x-1}+\frac{7}{2}{x}^2+9x^{-2}$

=> f'(x) = $-2e^{3x-1}·3+7x-18x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{3x-1}·3+7x-\frac{18}{x^3}$

= $-6e^{3x-1}+7x-\frac{18}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{2x^3-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x^3-2}·6x^2$

= $-6·e^{2x^3-2}{x}^2$

= $-6x^2{e}^{2x^3-2}$

$\text{f(x)}=$ $-4\ln \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-4}{5x}·5$

= $-\frac{4}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·e^{3x}+x^4·e^{3x}·3$

= $4x^3·e^{3x}+x^4·3e^{3x}$

= $4x^3·e^{3x}+3x^4·e^{3x}$

= $e^{3x}·\left(3x^4+4x^3\right)$

= $\left(3x^4+4x^3\right)·e^{3x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^x·\left(x+82\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+9x$

$\text{f'(x)}=$ $-5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+9$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}-5\left(x-1\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+9$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,5}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+9$

= $-5e^{-\mathrm{0,1}x}+9+\mathrm{0,5}\left(x-1\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$