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Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{1}{2} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{1}{2} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 2} + x^{4} \cdot e^{3 x - 2} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 2} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x - 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 2} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x - 2}$

= $e^{3 x - 2} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 1} \cdot (- 2 x)$

= $- 4 \cdot e^{- x^{2} - 1} x$

= $- 4 x e^{- x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $10 x \cdot \ln (x) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $10 x \ln (x) + 5 x^{2} \cdot \frac{1}{x}$

= $10 x \ln (x) + 5 x$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(- x - 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(- x - 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $8 {(- x - 2)}^{3} \cdot (- 1 + 0)$

= $8 {(- x - 2)}^{3} \cdot (- 1)$

= $- 8 {(- x - 2)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 44-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,520875 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,520875 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,74900625 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${1,15}^{44} \cdot e^{1,15 x}$

= $468,49501651166 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 5$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $5 e^{- 0,5 x} + 5 (x + 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $5 e^{- 0,5 x} - 2,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2,5 x - 2,5)$

= $(- 2,5 x - 2,5) \cdot e^{- 0,5 x}$