$\text{f(x)}=$ $-2e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x}·2$

= $-4e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{4x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{4x+3}+x^3·e^{4x+3}·4$

= $3x^2·e^{4x+3}+x^3·4e^{4x+3}$

= $3x^2·e^{4x+3}+4x^3·e^{4x+3}$

= $e^{4x+3}·\left(4x^3+3x^2\right)$

= $\left(4x^3+3x^2\right)·e^{4x+3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x^3+2}·\left(-6x^2\right)$

= $-6·e^{-2x^3+2}{x}^2$

= $-6x^2{e}^{-2x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $7x·\ln \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $7·\ln \left(x\right)+7x·\frac{1}{x}·1$

= $7\ln \left(x\right)+7x·\frac{1}{x}$

= $7\ln \left(x\right)+7$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+5\right)·e^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{-2x}+\left(x^2+5\right)·e^{-2x}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x}+\left(x^2+5\right)·\left(-2e^{-2x}\right)$

= $2x·e^{-2x}-2\left(x^2+5\right)·e^{-2x}$

= $e^{-2x}·\left(-2x^2+2x-10\right)$

= $\left(-2x^2+2x-10\right)·e^{-2x}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2e^{-x}$

f'(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f''(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

f'''(x) = $2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-2e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-2e^{-x}·\left(-1\right)$ = $2e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $-2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+2\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,1}\right)+3$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}+2\left(x-3\right)·\left(-\mathrm{0,1}{e}^{-\mathrm{0,1}x}\right)+3$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,2}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}+3$

= $2e^{-\mathrm{0,1}x}+3-\mathrm{0,2}\left(x-3\right)·e^{-\mathrm{0,1}x}$