$\text{f(x)}=$ $e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{2x}·2$

= $2e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·e^{-2x+4}$

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^{-2x+4}+x^2·e^{-2x+4}·\left(-2\right)$

= $2x·e^{-2x+4}+x^2·\left(-2e^{-2x+4}\right)$

= $2x·e^{-2x+4}-2x^2·e^{-2x+4}$

= $e^{-2x+4}·\left(-2x^2+2x\right)$

= $\left(-2x^2+2x\right)·e^{-2x+4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{x^5}{e^{3x}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5x^4·e^{3x}-x^5·e^{3x}·3}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{5x^4·e^{3x}-x^5·3e^{3x}}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{5x^4·e^{3x}-3x^5·e^{3x}}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$

= $\frac{-3x^5·e^{3x}+5x^4·e^{3x}}{e^{6x}}$

= $\frac{e^{3x-6x}·\left(-3x^5+5x^4\right)}{1}$

= $\frac{e^{-3x}·\left(-3x^5+5x^4\right)}{1}$

= $\frac{\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}}{1}$

= $\left(-3x^5+5x^4\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $3x^3·\ln \left(x+7\right)$

$\text{f'(x)}=$ $9x^2·\ln \left(x+7\right)+3x^3·\frac{1}{x+7}·\left(1+0\right)$

= $9x^2\ln \left(x+7\right)+3x^3·\frac{1}{x+7}·\left(1\right)$

= $9x^2\ln \left(x+7\right)+3x^3·\frac{1}{x+7}$

= $9x^2\ln \left(x+7\right)+3\frac{x^3}{x+7}$

$\text{f(x)}=$ $2{\left(x+1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $8{\left(x+1\right)}^3·\left(1+0\right)$

= $8{\left(x+1\right)}^3·\left(1\right)$

= $8{\left(x+1\right)}^3$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-5e^x$

f'(x) = $-5e^x$

f''(x) = $-5e^x$

f'''(x) = $-5e^x$

f⁽⁴⁾(x) = $-5e^x$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $-5e^x$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}·\left(-\mathrm{0,7}\right)-8$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}-4\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,7}{e}^{-\mathrm{0,7}x}\right)-8$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}+\mathrm{2,8}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}-8$

= $-4e^{-\mathrm{0,7}x}-8+\mathrm{2,8}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,7}x}$