$\text{f(x)}=$ $3e^{3x}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{3x}·3$

= $9e^{3x}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}\cdot \cos \left(x\right)+3e^{2x+4}-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)+3e^{2x+4}·2-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

= $-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)+6e^{2x+4}-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $3e^{-x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-x^3+5}·\left(-3x^2\right)$

= $-9·e^{-x^3+5}{x}^2$

= $-9x^2{e}^{-x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{6x}·6$

= $\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-5\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(3x-5\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $3\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(3x-5\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $3\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(3x-5\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^{-x}$

f'(x) = $1·e^{-x}+x·e^{-x}·\left(-1\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+1\right)$

f''(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+1\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+2\right)$

f'''(x) = $-e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+2\right)-e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $e^{-x}·\left(-x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{-x}·\left(-1\right)·\left(-x+3\right)+e^{-x}·\left(-1+0\right)$ = $-e^{-x}·\left(-x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $-e^{-x}·\left(-x+78\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $3·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)-8$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}+3\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,5}{e}^{-\mathrm{0,5}x}\right)-8$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{1,5}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}-8$

= $3e^{-\mathrm{0,5}x}-8-\mathrm{1,5}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$