$\text{f(x)}=$ $2+3e^x$

$\text{f'(x)}=$ $0+3e^x$

= $3e^x$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^4-1\right)·e^{5x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(12x^3+0\right)·e^{5x+3}+\left(3x^4-1\right)·e^{5x+3}·5$

= $12x^3·e^{5x+3}+\left(3x^4-1\right)·5e^{5x+3}$

= $12x^3·e^{5x+3}+5\left(3x^4-1\right)·e^{5x+3}$

= $e^{5x+3}·\left(15x^4+12x^3-5\right)$

= $\left(15x^4+12x^3-5\right)·e^{5x+3}$

$\text{f(x)}=$ $2e^{-2x^3+2}$

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-2x^3+2}·\left(-6x^2\right)$

= $-12·e^{-2x^3+2}{x}^2$

= $-12x^2{e}^{-2x^3+2}$

$\text{f(x)}=$ $-\ln \left(6x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-1}{6x}·6$

= $-\frac{1}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[3]{x}·e^{4x-5}$

= $x^{\frac{1}{3}}·e^{4x-5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}·e^{4x-5}+x^{\frac{1}{3}}·e^{4x-5}·4$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}·e^{4x-5}+\sqrt[3]{x}·e^{4x-5}·4$

= $\frac{1}{3}\frac{e^{4x-5}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+\sqrt[3]{x}·4e^{4x-5}$

= $\frac{1}{3}\frac{e^{4x-5}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+4\sqrt[3]{x}·e^{4x-5}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-x}$

f'(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f'''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}-\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}\right)+7$

= $-e^{-\mathrm{0,8}x}-\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{0,8}x}\right)+7$

= $-e^{-\mathrm{0,8}x}+\mathrm{0,8}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}+7$

= $-e^{-\mathrm{0,8}x}+7+\mathrm{0,8}\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,8}x}$