$\text{f(x)}=$ $-2+\frac{4}{5}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{4}{5}{e}^{\frac{3}{5}x}·\frac{3}{5}$

= $\frac{12}{25}{e}^{\frac{3}{5}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^5-4\right)·e^{-4x+3}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-10x^4+0\right)·e^{-4x+3}+\left(-2x^5-4\right)·e^{-4x+3}·\left(-4\right)$

= $-10x^4·e^{-4x+3}+\left(-2x^5-4\right)·\left(-4e^{-4x+3}\right)$

= $-10x^4·e^{-4x+3}-4\left(-2x^5-4\right)·e^{-4x+3}$

= $e^{-4x+3}·\left(8x^5-10x^4+16\right)$

= $\left(8x^5-10x^4+16\right)·e^{-4x+3}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-3x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-3x}·\left(-3\right)·x^3+e^{-3x}·3x^2$

= $-3·e^{-3x}{x}^3+3·e^{-3x}{x}^2$

= $e^{-3x}·\left(-3x^3+3x^2\right)$

= $\left(-3x^3+3x^2\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $3x^3·\ln \left(x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $9x^2·\ln \left(x+5\right)+3x^3·\frac{1}{x+5}·\left(1+0\right)$

= $9x^2\ln \left(x+5\right)+3x^3·\frac{1}{x+5}·\left(1\right)$

= $9x^2\ln \left(x+5\right)+3x^3·\frac{1}{x+5}$

= $9x^2\ln \left(x+5\right)+3\frac{x^3}{x+5}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3x^2-3}$

= $-2{\left(3x^2-3\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $2{\left(3x^2-3\right)}^{-2}·\left(6x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{{\left(3x^2-3\right)}^2}·\left(6x+0\right)$

= $\frac{2}{{\left(3x^2-3\right)}^2}·\left(6x\right)$

= $12\frac{x}{{\left(3x^2-3\right)}^2}$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-4e^{-x}$

f'(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f''(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

f'''(x) = $-4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $4e^{-x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4e^{-x}·\left(-1\right)$ = $-4e^{-x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $-4e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $5·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+6$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}+5\left(x-4\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+6$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}-3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+6$

= $5e^{-\mathrm{0,6}x}+6-3\left(x-4\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$