Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{3}{5} e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{3}{5} e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{5} e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{1}{2} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{9}{2} \sqrt[3]{x} - 3 e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{9}{2} \sqrt[3]{x} - 3 e^{3 x + 4}$

= $- \frac{9}{2} x^{\frac{1}{3}} - 3 e^{3 x + 4}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} x^{- \frac{2}{3}} - 3 e^{3 x + 4} \cdot 3$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 3 e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $- \frac{3}{2 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 9 e^{3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x^{3} + 5} \cdot (- 9 x^{2})$

= $9 \cdot e^{- 3 x^{3} + 5} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} \cdot \ln (x)$

$f'(x) =$ $6 x^{2} \cdot \ln (x) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1$

= $6 x^{2} \ln (x) + 2 x^{3} \cdot \frac{1}{x}$

= $6 x^{2} \ln (x) + 2 x^{2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{1,1 x}$

f'(x) = $- 3 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 3,3 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 3,3 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 3,63 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 3,63 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 3,993 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,993 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 4,3923 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${1,1}^{65} \cdot (- 3 e^{1,1 x})$

= $- 1 471,1121758936 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $5 e^{- 0,5 x} + 5 (x + 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $5 e^{- 0,5 x} - 2,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2,5 x - 5)$

= $(- 2,5 x - 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten