$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4-3x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-x^3-9x^2$

$\text{f(x)}=$ $-x^5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-5x^4$

f'(-1) = $-5\cdot {\left(-1\right)}^4$ = $-5\cdot 1$ = $-5$

$\text{f(x)}=$ $-3x^5+5x^4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-15x^4+20x^3$

f'(1) = $-15\cdot 1^4+20\cdot 1^3$ = $-15\cdot 1+20\cdot 1$ = $-15+20$ = $5$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt[3]{x}$

= $-3x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $-x^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $-3x^3+3tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+3t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-9\cdot {\left(-2\right)}^2+3t$
= $-36+3t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-30$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+x^2+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3+2x+0$

f'(1) = $-1^3+2\cdot 1$ = $-1+2$ = $-1+2$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+14x-1$ ab:

f'(x) = $2x^3+14$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 56.31 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(56.31°) ≈ 1.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^3+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-9\cdot 0^2+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 3 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2x-4$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2\cdot 1-4$ = $2$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-4$ = $-6$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $2$) ≈ 63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-6$) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 63.4° - ( - 80.5 )° ≈ 143.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 143.9° = 36.1° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2-x+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x-1+0$

f'(-2) = $-\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)-1$ = $1-1$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-6x+1$ ab:

f'(x) = $x-6$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.