Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}$ und vereinfache:

$f(x) =$ $- 3 x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}$

$f'(x) =$ $- 12 x^{3} + x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $\frac{1}{2} π$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x)$

=> $f'(x) =$ $- 4 \cdot \cos (x)$

f'( $\frac{1}{2} π$ ) = $- 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π)$ = $- 4 \cdot 0$ = 0

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} - 4 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} - 4 x$

=> $f'(x) =$ $12 x^{2} - 4$

f'(2) = $12 \cdot 2^{2} - 4$ = $12 \cdot 4 - 4$ = $48 - 4$ = $44$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{4} + \frac{4}{3 x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{4} + \frac{4}{3 x^{4}}$

= $3 x^{4} + \frac{4}{3} x^{- 4}$

=> f'(x) = $12 x^{3} - \frac{16}{3} x^{- 5}$

$f'(x) =$ $12 x^{3} - \frac{16}{3 x^{5}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \sqrt[3]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \sqrt[3]{x}$

= $7 x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $\frac{7}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $- x^{2} + t x$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $1$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{2} + t x$

=> $f'(x) =$ $- 2 x + t$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 2 \cdot 1 + t$
= $- 2 + t$

Dieser Wert soll ja den Wert $1$ besitzen, also gilt:

$t - 2$	=	$1$	\| $+ 2$
$t$	=	$3$

Steigungswinkel

Beispiel:

Gegeben ist die Geradenschar g_a durch g_a: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -2 \\ -5 \\ -4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ a \\ -2 \end{matrix})$ .

Für welches a>0 hat die Gerade g_a den Steigungswinkel α=17.5°?

Lösung einblenden

Als Steigungswinkel wird der Winkel zwischen der Geraden und der horizontalen Grundebene, also der x₁x₂-Ebene bezeichnet. Der Normalenvektor, x₁x₂-Ebene steht natürlich senkrecht nach oben, hat also die Koordinaten $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

Nach der Formel für den Winkel zwischen einer Geraden mit dem Richtungsvektor $(\begin{matrix} 6 \\ a \\ -2 \end{matrix})$ und einer Ebene mit dem Normalenvektor $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ muss also gelten:

sin(17.5°)= $\frac{| 6 \cdot 0 + a \cdot 0 + (-2) \cdot 1 |}{\sqrt{6^{2} + a^{2} + {(-2)}^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}}$

sinus ausgerechnet (Vorsicht: Gradmaß, nicht Bogenmaß) und rechts vereinfacht:

0.3007 = $\frac{2}{\sqrt{a^{2} + 40}⋅ 1}$

Wir multiplizieren mit der Wurzel im Nenner durch:

$0,3007 \sqrt{a^{2} + 40}$ = 2

Jetzt wird auf beiden Seiten quadriert:

(Vorsicht: Hier wird zwar auf beiden Seiten quadriert. Es könnte also eine Scheinlösung der Gleichung $0,3007 \sqrt{a^{2} + 40}$ = -2 hinzukommen. Diese kann aber keine Lösung haben, da die linke Seite immer positiv und die rechte immer negativ ist. Es kann also keine falsche Lösung hinzukommen, somit ist eine Probe nicht erforderlich)

$0,0904 (a^{2} + 40)$ = $4$

$0,0904 a^{2} + 3,616$ = $4$

$0,0904 a^{2} + 3,616$	=	$4$	\| $- 3,616$
$0,0904 a^{2}$	=	$0,384$	\|: $0,0904$
$a^{2}$	=	$4,24779$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{4,24779}$	≈ $- 2,061$
a₂	=	$\sqrt{4,24779}$	≈ $2,061$

Für a= $2,061$ ≈ 2.1 ist der Steigungswinkel also 17.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{14} x^{4} - 96 x - 5$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{14} x^{4} - 96 x - 5$ ab:

f'(x) = $- \frac{2}{7} x^{3} - 96$

Es muss gelten:

$- \frac{2}{7} x^{3} - 96$	=	$2$	\| $+ 96$
$- \frac{2}{7} x^{3}$	=	$98$	\|⋅ $(- \frac{7}{2})$
$x^{3}$	=	$- 343$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{343}$	= $- 7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{2} + \frac{1}{4} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 63.43 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 63.43 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(63.43°) ≈ 2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 3 x^{2} + \frac{1}{4} t x$

=> $f'(x) =$ $- 6 x + \frac{1}{4} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 6 \cdot 0 + \frac{1}{4} t$
= $\frac{1}{4} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2 betragen, also gilt:

$\frac{1}{4} t$	=	$2$	\|⋅ 4
$t$	=	$8$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 8 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - x - 5$ und $g(x) =$ $- x^{2} + x + 7$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - x - 5

=

- x^{2} + x + 7

|

+ x^{2}

- x

- 7

2 x^{2} - 2 x - 12

= 0 |:2

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $3$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$ |f( $3$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 1$ , also gilt m_f = f'( $3$ )= $2 \cdot 3 - 1$ = $5$

$g'(x) =$ $- 2 x + 1$ , also gilt m_g = g'( $3$ )= $- 2 \cdot 3 + 1$ = $- 5$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$ |f( $3$ ): α = arctan( $5$ ) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$ |g( $3$ ) gilt: β = arctan( $- 5$ ) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 78.7° - ( - 78.7 )° ≈ 157.4°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 157.4° = 22.6° .

Steigungswinkel

Beispiel:

Gegeben ist die Geradenschar g_a durch g_a: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -4 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} a \\ -6 \\ -3 \end{matrix})$ .

Für welches a>0 hat die Gerade g_a den Steigungswinkel α=25.4°?

Lösung einblenden

Als Steigungswinkel wird der Winkel zwischen der Geraden und der horizontalen Grundebene, also der x₁x₂-Ebene bezeichnet. Der Normalenvektor, x₁x₂-Ebene steht natürlich senkrecht nach oben, hat also die Koordinaten $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

Nach der Formel für den Winkel zwischen einer Geraden mit dem Richtungsvektor $(\begin{matrix} a \\ -6 \\ -3 \end{matrix})$ und einer Ebene mit dem Normalenvektor $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ muss also gelten:

sin(25.4°)= $\frac{| a \cdot 0 + (-6) \cdot 0 + (-3) \cdot 1 |}{\sqrt{a^{2} + {(-6)}^{2} + {(-3)}^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}}$

sinus ausgerechnet (Vorsicht: Gradmaß, nicht Bogenmaß) und rechts vereinfacht:

0.4289 = $\frac{3}{\sqrt{a^{2} + 45}⋅ 1}$

Wir multiplizieren mit der Wurzel im Nenner durch:

$0,4289 \sqrt{a^{2} + 45}$ = 3

Jetzt wird auf beiden Seiten quadriert:

(Vorsicht: Hier wird zwar auf beiden Seiten quadriert. Es könnte also eine Scheinlösung der Gleichung $0,4289 \sqrt{a^{2} + 45}$ = -3 hinzukommen. Diese kann aber keine Lösung haben, da die linke Seite immer positiv und die rechte immer negativ ist. Es kann also keine falsche Lösung hinzukommen, somit ist eine Probe nicht erforderlich)

$0,184 (a^{2} + 45)$ = $9$

$0,184 a^{2} + 8,28$ = $9$

$0,184 a^{2} + 8,28$	=	$9$	\| $- 8,28$
$0,184 a^{2}$	=	$0,72$	\|: $0,184$
$a^{2}$	=	$3,91304$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{3,91304}$	≈ $- 1,978$
a₂	=	$\sqrt{3,91304}$	≈ $1,978$

Für a= $1,978$ ≈ 2 ist der Steigungswinkel also 25.4°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 11 x - 1$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $x^{2} + 11 x - 1$ ab:

f'(x) = $2 x + 11$

Es muss gelten:

$2 x + 11$	=	$- 1$	\| $- 11$
$2 x$	=	$- 12$	\|: $2$
$x$	=	$- 6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts