$\text{f(x)}=$ $-2x^5+\frac{1}{3}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-10x^4+x^2$

$\text{f(x)}=$ $3x^4+2x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $12x^3+6x^2$

f'(-1) = $12\cdot {\left(-1\right)}^3+6\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $12\cdot \left(-1\right)+6\cdot 1$ = $-12+6$ = $-6$

$\text{f(x)}=$ $3x^4-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $12x^3-2$

f'(1) = $12\cdot 1^3-2$ = $12\cdot 1-2$ = $12-2$ = $10$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2x^2}$

= $\frac{1}{2}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $-x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}\sqrt[4]{x}$

= $-\frac{3}{4}{x}^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{16}{x}^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{16{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $-\sin \left(x\right)+4tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(x\right)+4t$

Jetzt setzen wir x = $-\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\cos \left((-\pi )\right)+4t$
= $-\left(-1\right)+4t$
= $1+4t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-19$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+x^3-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $x^3+3x^2+0$

f'(-2) = ${\left(-2\right)}^3+3\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $\left(-8\right)+3\cdot 4$ = $-8+12$ = $4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $4$)) ≈ 76°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-4x+1$ ab:

f'(x) = $3x^3-4$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -56.31 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-56.31°) ≈ -1.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^4+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-12x^3+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-12\cdot 0^3+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-2$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+1$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+1$ = $5$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+1$ = $-3$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $5$) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 78.7° - ( - 71.6 )° ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+2x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+6x^2$

f'(1) = $-4\cdot 1^3+6\cdot 1^2$ = $-4\cdot 1+6\cdot 1$ = $-4+6$ = $2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $2$)) ≈ 63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-1$ ab:

f'(x) = $x$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.