$\text{f(x)}=$ $2x^4-\frac{1}{6}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $8x^3-\frac{1}{3}x$

$\text{f(x)}=$ $-7\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $7\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $0$) = $7\cdot \sin \left(0\right)$ = $7\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-3x^5-5x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-15x^4-10x$

f'(1) = $-15\cdot 1^4-10\cdot 1$ = $-15\cdot 1-10$ = $-15-10$ = $-25$

$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{3}\cdot \cos \left(x\right)-\frac{5}{2x^2}$

= $\frac{7}{3}\cdot \cos \left(x\right)-\frac{5}{2}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $-\frac{7}{3}\cdot \sin \left(x\right)+5x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{3}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{5}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{2}\sqrt{x}$

= $\frac{5}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{5}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{4\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{x^3}+2t{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{12}{x^4}+4tx$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{12}{2^4}+4t\cdot 2$
= $-\frac{3}{4}+8t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{99}{4}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+x^2+7$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3+2x+0$

f'(1) = $-1^3+2\cdot 1$ = $-1+2$ = $-1+2$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+14x-8$ ab:

f'(x) = $2x^3+14$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -51.34 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-51.34°) ≈ -1.25

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^4+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-8x^3+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-8\cdot 0^3+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.25 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -5 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+2x-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-8\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+8$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+8$ = $12$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+4$ = 0

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $12$) ≈ 85.2°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 85.2° - 0° ≈ 85.2°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^3-x^2-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^2-2x+0$

f'(1) = $\frac{3}{4}\cdot 1^2-2\cdot 1$ = $\frac{3}{4}\cdot 1-2$ = $\frac{3}{4}-2$ = $-\frac{5}{4}$ ≈ -1.25

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $-\frac{5}{4}$)) ≈ -51.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-28x-3$ ab:

f'(x) = $x^3-28$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.