$\text{f(x)}=$ $-3x^3-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2-4$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $0$) = $-3\cdot \cos \left(0\right)$ = $-3\cdot 1$ = $-3$

$\text{f(x)}=$ $x^4-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3-2$

f'(-1) = $4\cdot {\left(-1\right)}^3-2$ = $4\cdot \left(-1\right)-2$ = $-4-2$ = $-6$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^2}-2x^3$

= $x^{-2}-2x^3$

=> f'(x) = $-2x^{-3}-6x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}-6x^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}\sqrt[3]{x}$

= $\frac{1}{3}{x}^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{9}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{9{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $-5{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2+tx$

= $-5x^{\frac{2}{3}}+tx$

=> f'(x)= $-\frac{10}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}+t$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{10}{3\sqrt[3]{x}}+t$

Jetzt setzen wir x = 8 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{10}{3\cdot \sqrt[3]{8}}+t$
= $-\frac{10}{3\cdot 2}+t$
= $-\frac{5}{3}+t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{8}{3}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+2$

f'(-1) = $-3\cdot {\left(-1\right)}^2+2$ = $-3\cdot 1+2$ = $-3+2$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-22x-6$ ab:

f'(x) = $3x-22$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -21.8 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-21.8°) ≈ -0.4

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^2+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2\cdot 0+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -0.4 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -2 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3-4$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3-4$ = 0

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-4$ = $-6$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-6$) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 0° - ( - 80.5 )° ≈ 80.5°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2+x-4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x+1+0$

f'(1) = $-\frac{1}{2}\cdot 1+1$ = $-\frac{1}{2}+1$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $\frac{1}{2}$)) ≈ 26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-9x+4$ ab:

f'(x) = $2x-9$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.