Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} - 2 x$ und vereinfache:

$f(x) =$ $x^{3} - 2 x$

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 2$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{9}{2} \cdot \cos (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $\frac{1}{2} π$ an:

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$f(x) =$ $- \frac{9}{2} \cdot \cos (x)$

=> $f'(x) =$ $\frac{9}{2} \cdot \sin (x)$

f'( $\frac{1}{2} π$ ) = $\frac{9}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$ = $\frac{9}{2} \cdot 1$ = $\frac{9}{2}$ ≈ 4.5

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{4} - 5$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=3 an:

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$f(x) =$ $- x^{4} - 5$

=> $f'(x) =$ $- 4 x^{3} + 0$

= $- 4 x^{3}$

f'(3) = $- 4 \cdot 3^{3}$ = $- 4 \cdot 27$ = $- 108$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3 x^{2}}$

= $\frac{2}{3} x^{- 2}$

=> f'(x) = $- \frac{4}{3} x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{3 x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3} \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3} \sqrt{x}$

= $- \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{3 \sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $t \sqrt{x} + 4 x^{2}$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $\frac{15}{2}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t \sqrt{x} + 4 x^{2}$

= $t x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{2}$

=> f'(x)= $\frac{1}{2} t x^{- \frac{1}{2}} + 8 x$

=> $f'(x) =$ $\frac{t}{2 \sqrt{x}} + 8 x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2} + 8 \cdot 1$
= $\frac{t}{2} + 8 \cdot 1$
= $\frac{1}{2} t + 8$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{15}{2}$ besitzen, also gilt:

$\frac{1}{2} t + 8$	=	$\frac{15}{2}$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} t + 8)$	=	$15$
$t + 16$	=	$15$	\| $- 16$
$t$	=	$- 1$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{2} - 2 x$ im Punkt P(-3|f(-3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{2} - 2 x$

=> $f'(x) =$ $- 3 x - 2$

f'(-3) = $- 3 \cdot (- 3) - 2$ = $9 - 2$ = $7$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $7$ )) ≈ 81.9°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{20} x^{4} - 26 x + 5$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{20} x^{4} - 26 x + 5$ ab:

f'(x) = $- \frac{1}{5} x^{3} - 26$

Es muss gelten:

$- \frac{1}{5} x^{3} - 26$	=	$- 1$	\| $+ 26$
$- \frac{1}{5} x^{3}$	=	$25$	\|⋅ $(- 5)$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{4} + \frac{1}{3} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -75.96 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -75.96 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-75.96°) ≈ -3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 3 x^{4} + \frac{1}{3} t x$

=> $f'(x) =$ $- 12 x^{3} + \frac{1}{3} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 12 \cdot 0^{3} + \frac{1}{3} t$
= $\frac{1}{3} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.999 betragen, also gilt:

$\frac{1}{3} t$	=	$- 3,999$	\|⋅ 3
$t$	=	$- 11,997$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -12 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{2} + 3 x - 3$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 3 x$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + x^{2} + 3 x - 3

=

- x^{2} + 3 x

|

- (- x^{2} + 3 x)

x^{4} + 2 x^{2} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 2 x + 3$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $4 \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 + 3$ = $9$

$g'(x) =$ $- 2 x + 3$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 + 3$ = $1$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ ): α = arctan( $9$ ) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ ) gilt: β = arctan( $1$ ) ≈ 45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 83.7° - 45° ≈ 38.7°

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{2} - 3 x$

f'(-1) = $- 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1)$ = $- 3 \cdot 1 + 3$ = $- 3 + 3$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{16} x^{4} - 50 x - 6$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{16} x^{4} - 50 x - 6$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{4} x^{3} - 50$

Es muss gelten:

$\frac{3}{4} x^{3} - 50$	=	$- 2$	\| $+ 50$
$\frac{3}{4} x^{3}$	=	$48$	\|⋅ $\frac{4}{3}$
$x^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts