$\text{f(x)}=$ $-x^5-x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-5x^4-4x^3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3}{x}^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^2$

f'(0) = $4\cdot 0^2$ = $4\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-2x^2-4x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x-4$

f'(1) = $-4\cdot 1-4$ = $-4-4$ = $-8$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}\cdot \cos \left(x\right)+\frac{5}{x^4}$

= $\frac{3}{2}\cdot \cos \left(x\right)+5x^{-4}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)-20x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)-\frac{20}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{4}\sqrt{x}$

= $-\frac{5}{4}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{5}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{8\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $3t{x}^3+5x$

=>$\text{f'(x)}=$ $9t{x}^2+5$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $9t\cdot 2^2+5$
= $36t+5$

Dieser Wert soll ja den Wert $41$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^2-\frac{3}{2}x-3$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x-\frac{3}{2}+0$

f'(3) = $2\cdot 3-\frac{3}{2}$ = $6-\frac{3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ ≈ 4.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $\frac{9}{2}$)) ≈ 77.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+7x-7$ ab:

f'(x) = $x^3+7$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 66.04 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(66.04°) ≈ 2.25

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^2+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-4\cdot 0+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2.25 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 9 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-1$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2-1$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-3$ = $-7$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-7$) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 71.6° - ( - 81.9 )° ≈ 153.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 153.5° = 26.5° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+\frac{3}{2}{x}^3-3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+\frac{9}{2}{x}^2+0$

f'(2) = $-4\cdot 2^3+\frac{9}{2}\cdot 2^2$ = $-4\cdot 8+\frac{9}{2}\cdot 4$ = $-32+18$ = $-14$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-14$)) ≈ -85.9°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{12}{x}^4-73x-9$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{3}{x}^3-73$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.