$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3+4$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+0$

= $\frac{3}{2}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $6x^5$

=>$\text{f'(x)}=$ $30x^4$

f'(1) = $30\cdot 1^4$ = $30\cdot 1$ = $30$

$\text{f(x)}=$ $-3x^3+x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+2x$

f'(0) = $-9\cdot 0^2+2\cdot 0$ = $-9\cdot 0+0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{x^2}$

= $-5x^{-2}$

=> f'(x) = $10x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{10}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-3x^3+\frac{1}{4}\sqrt[4]{x}$

= $-3x^3+\frac{1}{4}{x}^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $-9x^2+\frac{1}{16}{x}^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+\frac{1}{16{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt{x}+2x^2$

= $t{x}^{\frac{1}{2}}+2x^2$

=> f'(x)= $\frac{1}{2}t{x}^{-\frac{1}{2}}+4x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{2\sqrt{x}}+4x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2}+4\cdot 1$
= $\frac{t}{2}+4\cdot 1$
= $\frac{1}{2}t+4$

Dieser Wert soll ja den Wert $2$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^2-2x-4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x-2+0$

f'(-3) = $-2\cdot \left(-3\right)-2$ = $6-2$ = $4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $4$)) ≈ 76°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{20}{x}^4-72x-9$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{5}{x}^3-72$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 68.2 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(68.2°) ≈ 2.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^2+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-6\cdot 0+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 5 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-3$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-4$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-4$ = $2$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-4$ = $-10$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $2$) ≈ 63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-10$) ≈ -84.3°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 63.4° - ( - 84.3 )° ≈ 147.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 147.7° = 32.3° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}x-7$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-\frac{3}{2}+0$

f'(-2) = $\frac{3}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}\cdot 4-\frac{3}{2}$ = $6-\frac{3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ ≈ 4.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $\frac{9}{2}$)) ≈ 77.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+51x-3$ ab:

f'(x) = $2x^3+51$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.