$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+1$

$\text{f'(x)}=$ $x^3+0$

= $x^3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{x^3}$

= $2x^{-3}$

=> f'(x) = $-6x^{-4}$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6}{x^4}$

f'(2) = $-\frac{6}{2^4}$ = $-6\cdot \left(\frac{1}{16}\right)$ = $-\frac{3}{8}$ ≈ -0.38

$\text{f(x)}=$ $5x^4+5x$

=>$\text{f'(x)}=$ $20x^3+5$

f'(-1) = $20\cdot {\left(-1\right)}^3+5$ = $20\cdot \left(-1\right)+5$ = $-20+5$ = $-15$

$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(x\right)+\frac{9}{4x^4}$

= $-5\cdot \cos \left(x\right)+\frac{9}{4}{x}^{-4}$

=> f'(x) = $5\cdot \sin \left(x\right)-9x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \sin \left(x\right)-\frac{9}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3}{x}^2+2\sqrt{x}$

= $\frac{4}{3}{x}^2+2x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{8}{3}x+x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{3}x+\frac{1}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $2t\cdot \sin \left(x\right)+7x$

=>$\text{f'(x)}=$ $2t\cdot \cos \left(x\right)+7$

Jetzt setzen wir x = $-\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2t\cdot \cos \left((-\pi )\right)+7$
= $2t\cdot \left(-1\right)+7$
= $-2t+7$

Dieser Wert soll ja den Wert $15$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4-x^3-6$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3-3x^2+0$

f'(-1) = $-{\left(-1\right)}^3-3\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $-\left(-1\right)-3\cdot 1$ = $1-3$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-57x+3$ ab:

f'(x) = $2x^3-57$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 73.3 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(73.3°) ≈ 3.333

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^2+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4\cdot 0+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.333 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2x+1$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2\cdot 1+1$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+1$ = $-1$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-1$) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 81.9° - ( - 45 )° ≈ 126.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 126.9° = 53.1° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^2-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3+3x+0$

f'(0) = $-2\cdot 0^3+3\cdot 0$ = $-2\cdot 0+0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-6x+9$ ab:

f'(x) = $x-6$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.