$\text{f(x)}=$ $2x^5-\frac{1}{6}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $10x^4-\frac{1}{2}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $0$) = $-\frac{1}{3}\cdot \cos \left(0\right)$ = $-\frac{1}{3}\cdot 1$ = $-\frac{1}{3}$ ≈ -0.33

$\text{f(x)}=$ $-5x^4-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-20x^3+0$

= $-20x^3$

f'(0) = $-20\cdot 0^3$ = $-20\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^3}$

= $x^{-3}$

=> f'(x) = $-3x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $2x^2-\frac{8}{3}\sqrt{x}$

= $2x^2-\frac{8}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $4x-\frac{4}{3}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $4x-\frac{4}{3\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(x\right)+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(x\right)+2t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{1}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-4\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+2t$
= $-4\cdot 0+2t$
= $2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $6$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x^3-2x$

f'(-2) = $2\cdot {\left(-2\right)}^3-2\cdot \left(-2\right)$ = $2\cdot \left(-8\right)+4$ = $-16+4$ = $-12$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-12$)) ≈ -85.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-9x+8$ ab:

f'(x) = $x-9$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 71.57 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(71.57°) ≈ 3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^4+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-12x^3+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-12\cdot 0^3+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 9 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2x-3$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2\cdot 1-3$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-3$ = $-5$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 71.6° - ( - 78.7 )° ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^4-\frac{3}{2}{x}^3-7$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3-\frac{9}{2}{x}^2+0$

f'(-1) = $-4\cdot {\left(-1\right)}^3-\frac{9}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $-4\cdot \left(-1\right)-\frac{9}{2}\cdot 1$ = $4-\frac{9}{2}$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+2x+3$ ab:

f'(x) = $x^3+2$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.