Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 x 4 +2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 4 +2

f'(x)= 20 x 3 +0

= 20 x 3

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 x 4 +4 x 3 und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

f(x)= -2 x 4 +4 x 3

=>f'(x)= -8 x 3 +12 x 2

f'(1) = -8 1 3 +12 1 2 = -81 +121 = -8 +12 = 4

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3 x 3 -4 x 2 und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

f(x)= -3 x 3 -4 x 2

=>f'(x)= -9 x 2 -8x

f'(2) = -9 2 2 -82 = -94 -16 = -36 -16 = -52

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - cos( x ) - 3 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - cos( x ) - 3 x 3

= - cos( x ) -3 x -3

=> f'(x) = sin( x ) +9 x -4

f'(x)= sin( x ) + 9 x 4

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 4 3 x -4 x 4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 4 3 x -4 x 4

= - 4 3 x 1 2 -4 x 4

=> f'(x) = - 2 3 x - 1 2 -16 x 3

f'(x)= - 2 3 x -16 x 3

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= - 10 x 2 +3 t x im Punkt (-2|ft(-2)) den Wert 13 2 ?

Lösung einblenden

f(x)= - 10 x 2 +3 t x

=>f'(x)= 20 x 3 +3 t

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 20 ( -2 ) 3 +3 t
= - 5 2 +3 t

Dieser Wert soll ja den Wert 13 2 besitzen, also gilt:

3t - 5 2 = 13 2 |⋅ 2
2( 3t - 5 2 ) = 13
6t -5 = 13 | +5
6t = 18 |:6
t = 3

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 1 4 x 2 - 1 2 x im Punkt P(1|f(1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 1 4 x 2 - 1 2 x

=>f'(x)= 1 2 x - 1 2

f'(1) = 1 2 1 - 1 2 = 1 2 - 1 2 = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ .

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an die den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 4 x 4 -11x +8 angelegt.

Bestimme x0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 4 x 4 -11x +8 ab:

f'(x) = x 3 -11

Es muss gelten:

x 3 -11 = -3 | +11
x 3 = 8 | 3
x = 8 3 = 2

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 2.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= x 4 + 1 2 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 80.54 ° ?

Lösung einblenden

ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 80.54 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(80.54°) ≈ 6.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= x 4 + 1 2 t x

=>f'(x)= 4 x 3 + 1 2 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 4 0 3 + 1 2 t
= 1 2 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 6.001 betragen, also gilt:

1 2 t = 6,001 |⋅ 2
t = 12,002

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 12 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 +4x -19 und g(x)= - x 2 +2x +5 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 +4x -19 = - x 2 +2x +5 | + x 2 -2x -5
2 x 2 +2x -24 = 0 |:2

x 2 + x -12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -12 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +48 2

x1,2 = -1 ± 49 2

x1 = -1 + 49 2 = -1 +7 2 = 6 2 = 3

x2 = -1 - 49 2 = -1 -7 2 = -8 2 = -4

L={ -4 ; 3 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x +4 , also gilt mf = f'( 3 )= 23 +4 = 10

g'(x)= -2x +2 , also gilt mg = g'( 3 )= -23 +2 = -4

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 ): α = arctan( 10 ) ≈ 84.3°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 ) gilt: β = arctan( -4 ) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 84.3° - ( - 76 )° ≈ 160.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 160.3° = 19.7° .

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 3 2 x 3 -2 x 2 im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 3 2 x 3 -2 x 2

=>f'(x)= - 9 2 x 2 -4x

f'(-2) = - 9 2 ( -2 ) 2 -4( -2 ) = - 9 2 4 +8 = -18 +8 = -10

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( -10 )) ≈ -84.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an die den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 10 x 4 -48x +9 angelegt.

Bestimme x0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 10 x 4 -48x +9 ab:

f'(x) = 2 5 x 3 -48

Es muss gelten:

2 5 x 3 -48 = 2 | +48
2 5 x 3 = 50 |⋅ 5 2
x 3 = 125 | 3
x = 125 3 = 5

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 5.