$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{15}{x}^5-\frac{1}{4}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^4-x^3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $0$) = $\frac{5}{2}\cdot \sin \left(0\right)$ = $\frac{5}{2}\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-4x^2-3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-8x-3$

f'(4) = $-8\cdot 4-3$ = $-32-3$ = $-35$

$\text{f(x)}=$ $6x^3+\frac{7}{4x^4}$

= $6x^3+\frac{7}{4}{x}^{-4}$

=> f'(x) = $18x^2-7x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $18x^2-\frac{7}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $7\sqrt{x}$

= $7x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{7}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $3t\cdot \cos \left(x\right)+7x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3t\cdot \sin \left(x\right)+7$

Jetzt setzen wir x = $-\frac{3}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-3t\cdot \sin \left(\left(-\frac{3}{2}\pi \right)\right)+7$
= $-3t\cdot 1+7$
= $-3t+7$

Dieser Wert soll ja den Wert $22$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\frac{3}{2}x+7$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\frac{3}{2}+0$

f'(-2) = $3\cdot {\left(-2\right)}^2-\frac{3}{2}$ = $3\cdot 4-\frac{3}{2}$ = $12-\frac{3}{2}$ = $\frac{21}{2}$ ≈ 10.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $\frac{21}{2}$)) ≈ 84.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-x-2$ ab:

f'(x) = $x-1$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -82.87 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-82.87°) ≈ -7.994

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-6\cdot 0^2+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -7.994 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -8 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2x+2$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2\cdot 1+2$ = $8$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+2$ = 0

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $8$) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 82.9° - 0° ≈ 82.9°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+x^2+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3+2x+0$

f'(-1) = $-{\left(-1\right)}^3+2\cdot \left(-1\right)$ = $-\left(-1\right)-2$ = $1-2$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+7x+7$ ab:

f'(x) = $2x+7$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.