Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{5} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{5} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 5 x^{4} - 4$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x^{2}}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{x^{2}}$

= $- 2 x^{- 2}$

=> f'(x) = $4 x^{- 3}$

=> $f'(x) =$ $\frac{4}{x^{3}}$

f'(1) = $\frac{4}{1^{3}}$ = $4 \cdot 1$ = $4$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x - 3$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=3 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x - 3$

=> $f'(x) =$ $- 1 + 0$

= $- 1$

f'(3) = $- 1$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{5}{x^{3}}$

= $- 5 x^{- 3}$

=> f'(x) = $15 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $\frac{15}{x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} - 7 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} - 7 x^{3}$

= $x^{- \frac{1}{2}} - 7 x^{3}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} - 21 x^{2}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} - 21 x^{2}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $- \frac{2}{x^{2}} + 3 t x^{2}$ im Punkt (2|f_t(2)) den Wert $\frac{25}{2}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{x^{2}} + 3 t x^{2}$

=> $f'(x) =$ $\frac{4}{x^{3}} + 6 t x$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{4}{2^{3}} + 6 t \cdot 2$
= $\frac{1}{2} + 12 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{25}{2}$ besitzen, also gilt:

$12 t + \frac{1}{2}$	=	$\frac{25}{2}$	\|⋅ 2
$2 (12 t + \frac{1}{2})$	=	$25$
$24 t + 1$	=	$25$	\| $- 1$
$24 t$	=	$24$	\|: $24$
$t$	=	$1$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{2} - x$ im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{2} - x$

=> $f'(x) =$ $- \frac{1}{2} x - 1$

f'(-1) = $- \frac{1}{2} \cdot (- 1) - 1$ = $\frac{1}{2} - 1$ = $- \frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $- \frac{1}{2}$ )) ≈ -26.6°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 9 x - 3$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 9 x - 3$ ab:

f'(x) = $x - 9$

Es muss gelten:

$x - 9$	=	$- 2$	\| $+ 9$
$x$	=	$7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{4} + \frac{1}{4} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -75.07 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -75.07 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-75.07°) ≈ -3.75

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $2 x^{4} + \frac{1}{4} t x$

=> $f'(x) =$ $8 x^{3} + \frac{1}{4} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $8 \cdot 0^{3} + \frac{1}{4} t$
= $\frac{1}{4} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.75 betragen, also gilt:

$\frac{1}{4} t$	=	$- 3,75$	\|⋅ 4
$t$	=	$- 15$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -15 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 2 x - 1$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 2 x + 1$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + 2 x - 1

=

- x^{2} + 2 x + 1

|

- (- x^{2} + 2 x + 1)

x^{4} + x^{2} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 2$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $4 \cdot 1^{3} + 2$ = $6$

$g'(x) =$ $- 2 x + 2$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 + 2$ = 0

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ ): α = arctan( $6$ ) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ ) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 80.5° - 0° ≈ 80.5°

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{2} + 3 x$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{2} + 3 x$

=> $f'(x) =$ $- 3 x + 3$

f'(2) = $- 3 \cdot 2 + 3$ = $- 6 + 3$ = $- 3$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $- 3$ )) ≈ -71.6°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} + 53 x + 4$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} + 53 x + 4$ ab:

f'(x) = $2 x^{3} + 53$

Es muss gelten:

$2 x^{3} + 53$	=	$- 1$	\| $- 53$
$2 x^{3}$	=	$- 54$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts