$\text{f(x)}=$ $-x^5+\frac{1}{4}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-5x^4+x^3$

$\text{f(x)}=$ $-2x^2+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x+0$

= $-4x$

f'(0) = $-4\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $x^2-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x+0$

= $2x$

f'(4) = $2\cdot 4$ = $8$

$\text{f(x)}=$0

=0

=> f'(x) = 0

$\text{f'(x)}=$0

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{x}$

= $2x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $4t\cdot \sin \left(x\right)+x$

=>$\text{f'(x)}=$ $4t\cdot \cos \left(x\right)+1$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4t\cdot \cos \left(0\right)+1$
= $4t\cdot 1+1$
= $4t+1$

Dieser Wert soll ja den Wert $-11$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3+3x-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}{x}^2+3+0$

f'(-1) = $-\frac{9}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2+3$ = $-\frac{9}{2}\cdot 1+3$ = $-\frac{9}{2}+3$ = $-\frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-\frac{3}{2}$)) ≈ -56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{10}{x}^4-49x-3$ ab:

f'(x) = $\frac{2}{5}{x}^3-49$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 33.69 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(33.69°) ≈ 0.667

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^2+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2\cdot 0+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 0.667 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 2 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-1$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2-1$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+1$ = $-3$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 71.6° - ( - 71.6 )° ≈ 143.2°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 143.2° = 36.8° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $x^3-x+0$

f'(-2) = ${\left(-2\right)}^3-\left(-2\right)$ = $\left(-8\right)+2$ = $-8+2$ = $-6$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-6$)) ≈ -80.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4+79x+6$ ab:

f'(x) = $3x^3+79$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.