$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{5}{x}^5+5x$

$\text{f'(x)}=$ $-2x^4+5$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{9}{x^3}$

= $-9x^{-3}$

=> f'(x) = $27x^{-4}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{27}{x^4}$

f'(2) = $\frac{27}{2^4}$ = $27\cdot \left(\frac{1}{16}\right)$ = $\frac{27}{16}$ ≈ 1.69

$\text{f(x)}=$ $-x^2+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x+0$

= $-2x$

f'(3) = $-2\cdot 3$ = $-6$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^4}-\sin \left(x\right)$

= $-2x^{-4}-\sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $8x^{-5}-\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{x^5}-\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[3]{x}$

= $x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $t{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2+2x$

= $t{x}^{\frac{2}{3}}+2x$

=> f'(x)= $\frac{2}{3}t{x}^{-\frac{1}{3}}+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2t}{3\sqrt[3]{x}}+2$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{2t}{3\cdot \sqrt[3]{1}}+2$
= $\frac{2t}{3}+2$
= $\frac{2}{3}t+2$

Dieser Wert soll ja den Wert $0$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3+x^2-7$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+2x+0$

f'(2) = $-\frac{3}{2}\cdot 2^2+2\cdot 2$ = $-\frac{3}{2}\cdot 4+4$ = $-6+4$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+5x-9$ ab:

f'(x) = $2x+5$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -85.24 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-85.24°) ≈ -12.009

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^4+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $8x^3+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $8\cdot 0^3+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -12.009 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -12 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2$ = $6$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+2$ = 0

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $6$) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 80.5° - 0° ≈ 80.5°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-x+7$

=>$\text{f'(x)}=$ $x-1+0$

f'(2) = $2-1$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+4x+6$ ab:

f'(x) = $x+4$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.