$\text{f(x)}=$ $2x^3+1$

$\text{f'(x)}=$ $6x^2+0$

= $6x^2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{x^2}$

= $-3x^{-2}$

=> f'(x) = $6x^{-3}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{x^3}$

f'(2) = $\frac{6}{2^3}$ = $6\cdot \left(\frac{1}{8}\right)$ = $\frac{3}{4}$ ≈ 0.75

$\text{f(x)}=$ $-3x^2-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x+0$

= $-6x$

f'(0) = $-6\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{4x^2}$

= $-\frac{5}{4}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $\frac{5}{2}{x}^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-5\sqrt{x}$

= $-5x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{5}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt[3]{x}+4x^2$

= $t{x}^{\frac{1}{3}}+4x^2$

=> f'(x)= $\frac{1}{3}t{x}^{-\frac{2}{3}}+8x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+8x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{3{\left(\sqrt[3]{1}\right)}^2}+8\cdot 1$
= $\frac{t}{3\cdot 1^2}+8\cdot 1$
= $\frac{1}{3}t+8$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{26}{3}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3-x^2-7$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2-2x+0$

f'(-2) = $-\frac{3}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)$ = $-\frac{3}{2}\cdot 4+4$ = $-6+4$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{16}{x}^4-18x-5$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^3-18$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -45 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-45°) ≈ -1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^3+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $9x^2+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $9\cdot 0^2+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -5 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-1$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1-1$ = $1$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-3$ = $-5$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $1$) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 45° - ( - 78.7 )° ≈ 123.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 123.7° = 56.3° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^3+\frac{1}{2}x+5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{1}{2}+0$

f'(-2) = $-\frac{3}{4}\cdot {\left(-2\right)}^2+\frac{1}{2}$ = $-\frac{3}{4}\cdot 4+\frac{1}{2}$ = $-3+\frac{1}{2}$ = $-\frac{5}{2}$ ≈ -2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-\frac{5}{2}$)) ≈ -68.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{14}{x}^4-101x+5$ ab:

f'(x) = $-\frac{2}{7}{x}^3-101$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.