$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{5}{x}^5+3x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-2x^4+9x^2$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $3\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $3\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $5x^3+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $15x^2+0$

= $15x^2$

f'(0) = $15\cdot 0^2$ = $15\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{x^3}$

= $5x^{-3}$

=> f'(x) = $-15x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{15}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{3}\sqrt[3]{x}-\frac{1}{4}{x}^2$

= $-\frac{7}{3}{x}^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{4}{x}^2$

=> f'(x) = $-\frac{7}{9}{x}^{-\frac{2}{3}}-\frac{1}{2}x$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{9{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}-\frac{1}{2}x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2t}{x}-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2t}{x^2}-2$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{2t}{{\left(-1\right)}^2}-2$
= $-2t-2$

Dieser Wert soll ja den Wert $8$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-3x-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x-3+0$

f'(1) = $3\cdot 1-3$ = $3-3$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-x-9$ ab:

f'(x) = $x-1$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 45 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(45°) ≈ 1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^4+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4\cdot 0^3+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+3$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+3$ = $5$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+3$ = $1$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $5$) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $1$) ≈ 45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 78.7° - 45° ≈ 33.7°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x+5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x+\frac{3}{2}+0$

f'(3) = $-3+\frac{3}{2}$ = $-3+\frac{3}{2}$ = $-\frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $-\frac{3}{2}$)) ≈ -56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+11x-7$ ab:

f'(x) = $2x+11$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.