$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+2x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-x^3+4x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{x^2}$

= $3x^{-2}$

=> f'(x) = $-6x^{-3}$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6}{x^3}$

f'(1) = $-\frac{6}{1^3}$ = $-6\cdot 1$ = $-6$

$\text{f(x)}=$ $-4x^5-x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-20x^4-3x^2$

f'(0) = $-20\cdot 0^4-3\cdot 0^2$ = $-20\cdot 0-3\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{x^3}$

= $-5x^{-3}$

=> f'(x) = $15x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{15}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $6x^3+\frac{7}{4}\sqrt{x}$

= $6x^3+\frac{7}{4}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $18x^2+\frac{7}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $18x^2+\frac{7}{8\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt{x}-7x$

= $t{x}^{\frac{1}{2}}-7x$

=> f'(x)= $\frac{1}{2}t{x}^{-\frac{1}{2}}-7$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{2\sqrt{x}}-7$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2}-7$
= $\frac{t}{2}-7$
= $\frac{1}{2}t-7$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{9}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^2+x-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}x+1+0$

f'(-3) = $\frac{1}{2}\cdot \left(-3\right)+1$ = $-\frac{3}{2}+1$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{20}{x}^4-78x+2$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{5}{x}^3-78$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -57.99 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-57.99°) ≈ -1.6

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^4+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-12x^3+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-12\cdot 0^3+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.6 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -8 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2$ = $4$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-2$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-2$ = $-6$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $4$) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-6$) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 76° - ( - 80.5 )° ≈ 156.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 156.5° = 23.5° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^3-2x^2-7$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2}{x}^2-4x+0$

f'(1) = $\frac{9}{2}\cdot 1^2-4\cdot 1$ = $\frac{9}{2}\cdot 1-4$ = $\frac{9}{2}-4$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $\frac{1}{2}$)) ≈ 26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{20}{x}^4-72x+1$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{5}{x}^3-72$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.