Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{4} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{4} + 5$

$f'(x) =$ $- x^{3} + 0$

= $- x^{3}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{4} + 2$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

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$f(x) =$ $- 5 x^{4} + 2$

=> $f'(x) =$ $- 20 x^{3} + 0$

= $- 20 x^{3}$

f'(0) = $- 20 \cdot 0^{3}$ = $- 20 \cdot 0$ = 0

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{4} + 2 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

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$f(x) =$ $4 x^{4} + 2 x$

=> $f'(x) =$ $16 x^{3} + 2$

f'(2) = $16 \cdot 2^{3} + 2$ = $16 \cdot 8 + 2$ = $128 + 2$ = $130$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2 x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2 x^{3}}$

= $\frac{3}{2} x^{- 3}$

=> f'(x) = $- \frac{9}{2} x^{- 4}$

$f'(x) =$ $- \frac{9}{2 x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{x} - 5 x^{2}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 3 \sqrt{x} - 5 x^{2}$

= $- 3 x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{2}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 10 x$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{x}} - 10 x$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{2} + 2 t x$ im Punkt (2|f_t(2)) den Wert $18$ ?

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$f(x) =$ $2 x^{2} + 2 t x$

=> $f'(x) =$ $4 x + 2 t$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 \cdot 2 + 2 t$
= $8 + 2 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $18$ besitzen, also gilt:

$2 t + 8$	=	$18$	\| $- 8$
$2 t$	=	$10$	\|: $2$
$t$	=	$5$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$

=> $f'(x) =$ $x^{3} - x$

f'(2) = $2^{3} - 2$ = $8 - 2$ = $8 - 2$ = $6$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $6$ )) ≈ 80.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{20} x^{4} - 23 x - 4$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{20} x^{4} - 23 x - 4$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{5} x^{3} - 23$

Es muss gelten:

$\frac{1}{5} x^{3} - 23$	=	$2$	\| $+ 23$
$\frac{1}{5} x^{3}$	=	$25$	\|⋅ $5$
$x^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 2 x^{3} + \frac{1}{4} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -68.2 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -68.2 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-68.2°) ≈ -2.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 2 x^{3} + \frac{1}{4} t x$

=> $f'(x) =$ $- 6 x^{2} + \frac{1}{4} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 6 \cdot 0^{2} + \frac{1}{4} t$
= $\frac{1}{4} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2.5 betragen, also gilt:

$\frac{1}{4} t$	=	$- 2,5$	\|⋅ 4
$t$	=	$- 10$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -10 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 3 x + 4$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 3 x + 6$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} - 3 x + 4$	=	$- x^{2} - 3 x + 6$	\| $- 4$
$x^{2} - 3 x$	=	$- x^{2} - 3 x + 2$	\| $+ x^{2}$ $+ 3 x$
$2 x^{2}$	=	$2$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 3$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 - 3$ = $- 1$

$g'(x) =$ $- 2 x - 3$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 - 3$ = $- 5$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ ): α = arctan( $- 1$ ) ≈ -45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ ) gilt: β = arctan( $- 5$ ) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = -45° - ( - 78.7 )° ≈ 33.7°

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{3} + 2 x - 5$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{3} + 2 x - 5$

=> $f'(x) =$ $- \frac{9}{2} x^{2} + 2 + 0$

f'(2) = $- \frac{9}{2} \cdot 2^{2} + 2$ = $- \frac{9}{2} \cdot 4 + 2$ = $- 18 + 2$ = $- 16$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $- 16$ )) ≈ -86.4°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + 4 x - 5$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + 4 x - 5$ ab:

f'(x) = $3 x^{3} + 4$

Es muss gelten:

$3 x^{3} + 4$	=	$1$	\| $- 4$
$3 x^{3}$	=	$- 3$	\|: $3$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts