$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{8}{x}^4-4x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^3-4$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3x}$

= $\frac{2}{3}{x}^{-1}$

=> f'(x) = $-\frac{2}{3}{x}^{-2}$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{3x^2}$

f'(2) = $-\frac{2}{3\cdot 2^2}$ = $-\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)$ = $-\frac{1}{6}$ ≈ -0.17

$\text{f(x)}=$ $4x^4-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $16x^3+0$

= $16x^3$

f'(0) = $16\cdot 0^3$ = $16\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{x^3}$

= $-5x^{-3}$

=> f'(x) = $15x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{15}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{2}\sqrt{x}$

= $-\frac{7}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{7}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{4\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt{x}+x$

= $t{x}^{\frac{1}{2}}+x$

=> f'(x)= $\frac{1}{2}t{x}^{-\frac{1}{2}}+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{2\sqrt{x}}+1$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2}+1$
= $\frac{t}{2}+1$
= $\frac{1}{2}t+1$

Dieser Wert soll ja den Wert $2$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}x+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{3}{2}+0$

f'(-2) = $-\frac{3}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2+\frac{3}{2}$ = $-\frac{3}{2}\cdot 4+\frac{3}{2}$ = $-6+\frac{3}{2}$ = $-\frac{9}{2}$ ≈ -4.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-\frac{9}{2}$)) ≈ -77.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-3x+8$ ab:

f'(x) = $x-3$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -85.24 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-85.24°) ≈ -12.009

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^4+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-8x^3+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-8\cdot 0^3+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -12.009 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -12 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+2x-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-8\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+3$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+3$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-1$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-1$ = $-5$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 81.9° - ( - 78.7 )° ≈ 160.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 160.6° = 19.4° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3+x+7$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+1+0$

f'(3) = $-\frac{3}{2}\cdot 3^2+1$ = $-\frac{3}{2}\cdot 9+1$ = $-\frac{27}{2}+1$ = $-\frac{25}{2}$ ≈ -12.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $-\frac{25}{2}$)) ≈ -85.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+5x-6$ ab:

f'(x) = $x+5$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.