Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{3} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{3} - 3 x$

$f'(x) =$ $- 12 x^{2} - 3$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2 x^{2}}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2 x^{2}}$

= $- \frac{1}{2} x^{- 2}$

=> f'(x) = $x^{- 3}$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3}}$

f'(2) = $\frac{1}{2^{3}}$ = $\frac{1}{8}$ ≈ 0.13

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 5 x^{2}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} - 5 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} - 10 x$

f'(1) = $6 \cdot 1^{2} - 10 \cdot 1$ = $6 \cdot 1 - 10$ = $6 - 10$ = $- 4$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{x^{3}} - \frac{3}{2} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{x^{3}} - \frac{3}{2} x^{5}$

= $- 3 x^{- 3} - \frac{3}{2} x^{5}$

=> f'(x) = $9 x^{- 4} - \frac{15}{2} x^{4}$

$f'(x) =$ $\frac{9}{x^{4}} - \frac{15}{2} x^{4}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{5} + \frac{8}{3} \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{5} + \frac{8}{3} \sqrt{x}$

= $4 x^{5} + \frac{8}{3} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $20 x^{4} + \frac{4}{3} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $20 x^{4} + \frac{4}{3 \sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $4 x^{2} + t x$ im Punkt (-2|f_t(-2)) den Wert $- 21$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{2} + t x$

=> $f'(x) =$ $8 x + t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $8 \cdot (- 2) + t$
= $- 16 + t$

Dieser Wert soll ja den Wert $- 21$ besitzen, also gilt:

$t - 16$	=	$- 21$	\| $+ 16$
$t$	=	$- 5$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{4} x^{2} + x$

f'(2) = $- \frac{3}{4} \cdot 2^{2} + 2$ = $- \frac{3}{4} \cdot 4 + 2$ = $- 3 + 2$ = $- 1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $- 1$ )) ≈ -45°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} - 6 x - 9$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} - 6 x - 9$ ab:

f'(x) = $3 x^{3} - 6$

Es muss gelten:

$3 x^{3} - 6$	=	$- 3$	\| $+ 6$
$3 x^{3}$	=	$3$	\|: $3$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{3} + \frac{1}{3} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 69.44 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 69.44 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(69.44°) ≈ 2.666

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 3 x^{3} + \frac{1}{3} t x$

=> $f'(x) =$ $- 9 x^{2} + \frac{1}{3} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 9 \cdot 0^{2} + \frac{1}{3} t$
= $\frac{1}{3} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2.666 betragen, also gilt:

$\frac{1}{3} t$	=	$2,666$	\|⋅ 3
$t$	=	$7,998$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 8 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{2} + 2 x - 2$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 2 x + 1$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + x^{2} + 2 x - 2

=

- x^{2} + 2 x + 1

|

- (- x^{2} + 2 x + 1)

x^{4} + 2 x^{2} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 2 x + 2$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $4 \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 + 2$ = $8$

$g'(x) =$ $- 2 x + 2$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 + 2$ = 0

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ ): α = arctan( $8$ ) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ ) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 82.9° - 0° ≈ 82.9°

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 1$ im Punkt P(-3|f(-3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 1$

=> $f'(x) =$ $2 x + 2 + 0$

f'(-3) = $2 \cdot (- 3) + 2$ = $- 6 + 2$ = $- 4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $- 4$ )) ≈ -76°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} + 13 x + 8$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} + 13 x + 8$ ab:

f'(x) = $2 x^{3} + 13$

Es muss gelten:

$2 x^{3} + 13$	=	$- 3$	\| $- 13$
$2 x^{3}$	=	$- 16$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts