$\text{f(x)}=$ $-3x^4-5x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-12x^3-10x$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $3\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $3\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-x^3+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+0$

= $-3x^2$

f'(2) = $-3\cdot 2^2$ = $-3\cdot 4$ = $-12$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{2x}$

= $-\frac{7}{2}{x}^{-1}$

=> f'(x) = $\frac{7}{2}{x}^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{2x^2}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x$

$\text{f(x)}=$ $3t{x}^3+3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $9t{x}^2+3$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $9t\cdot {\left(-2\right)}^2+3$
= $36t+3$

Dieser Wert soll ja den Wert $183$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x+3$

f'(-3) = $3\cdot \left(-3\right)+3$ = $-9+3$ = $-6$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-6$)) ≈ -80.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-110x-5$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^3-110$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -83.66 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-83.66°) ≈ -9

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^4+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-8x^3+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-8\cdot 0^3+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -9 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -9 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+7$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+7$ = $9$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+3$ = $1$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $9$) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $1$) ≈ 45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 83.7° - 45° ≈ 38.7°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3+2x-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}{x}^2+2+0$

f'(0) = $-\frac{9}{2}\cdot 0^2+2$ = $-\frac{9}{2}\cdot 0+2$ = $2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $2$)) ≈ 63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-15x-5$ ab:

f'(x) = $2x-15$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.