$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{5}{x}^5+3x$

$\text{f'(x)}=$ $x^4+3$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $0$) = $4\cdot \sin \left(0\right)$ = $4\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $5x^4+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $20x^3+0$

= $20x^3$

f'(3) = $20\cdot 3^3$ = $20\cdot 27$ = $540$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{9}{x^3}-3\cdot \cos \left(x\right)$

= $-9x^{-3}-3\cdot \cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $27x^{-4}+3\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{27}{x^4}+3\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}-\frac{1}{3}{x}^5$

= $x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}{x}^5$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}-\frac{5}{3}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{5}{3}{x}^4$

$\text{f(x)}=$ $\frac{6}{x}+2t{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6}{x^2}+4tx$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{6}{{\left(-2\right)}^2}+4t\cdot \left(-2\right)$
= $-\frac{3}{2}-8t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{109}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^3-2x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2-4x$

f'(-2) = $-3\cdot {\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)$ = $-3\cdot 4+8$ = $-12+8$ = $-4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-4$)) ≈ -76°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-79x-8$ ab:

f'(x) = $3x^3-79$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -78.69 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-78.69°) ≈ -5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^4+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4\cdot 0^3+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-2$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+1$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+1$ = $5$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+1$ = $-3$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $5$) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 78.7° - ( - 71.6 )° ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4+x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3+3x^2$

f'(1) = $-2\cdot 1^3+3\cdot 1^2$ = $-2\cdot 1+3\cdot 1$ = $-2+3$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{10}{x}^4-49x-8$ ab:

f'(x) = $\frac{2}{5}{x}^3-49$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.