Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{5} - \frac{2}{9} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{5} - \frac{2}{9} x^{3}$

$f'(x) =$ $- 15 x^{4} - \frac{2}{3} x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{5}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{5}$

=> $f'(x) =$ $15 x^{4}$

f'(1) = $15 \cdot 1^{4}$ = $15 \cdot 1$ = $15$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} - 3$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} - 3$

=> $f'(x) =$ $10 x + 0$

= $10 x$

f'(1) = $10 \cdot 1$ = $10$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)$

= $- x^{- 2} - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)$

=> f'(x) = $2 x^{- 3} + \frac{4}{3} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{x^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \sin (x)$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{\sqrt{x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{\sqrt{x}}$

= $2 x^{- \frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- x^{- \frac{3}{2}}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(\sqrt{x})}^{3}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{t}{x^{2}} + 3 x^{2}$ im Punkt (-1|f_t(-1)) den Wert $- 4$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{t}{x^{2}} + 3 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{2 t}{x^{3}} + 6 x$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{2 t}{{(- 1)}^{3}} + 6 \cdot (- 1)$
= $2 t - 6$

Dieser Wert soll ja den Wert $- 4$ besitzen, also gilt:

$2 t - 6$	=	$- 4$	\| $+ 6$
$2 t$	=	$2$	\|: $2$
$t$	=	$1$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 6$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 6$

=> $f'(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 3 x + 0$

f'(-2) = $\frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2)$ = $\frac{3}{2} \cdot 4 - 6$ = $6 - 6$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{16} x^{4} - 45 x + 8$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{16} x^{4} - 45 x + 8$ ab:

f'(x) = $- \frac{3}{4} x^{3} - 45$

Es muss gelten:

$- \frac{3}{4} x^{3} - 45$	=	$3$	\| $+ 45$
$- \frac{3}{4} x^{3}$	=	$48$	\|⋅ $(- \frac{4}{3})$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 2 x^{3} + t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -85.24 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -85.24 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-85.24°) ≈ -12.009

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 2 x^{3} + t x$

=> $f'(x) =$ $- 6 x^{2} + t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 6 \cdot 0^{2} + t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -12.009 betragen, also gilt:

t

=

- 12,009

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -12 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 2 x - 1$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 2 x + 1$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + 2 x - 1

=

- x^{2} + 2 x + 1

|

- (- x^{2} + 2 x + 1)

x^{4} + x^{2} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 2$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $4 \cdot 1^{3} + 2$ = $6$

$g'(x) =$ $- 2 x + 2$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 + 2$ = 0

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ ): α = arctan( $6$ ) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ ) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 80.5° - 0° ≈ 80.5°

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{4} + 2 x + 5$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- x^{4} + 2 x + 5$

=> $f'(x) =$ $- 4 x^{3} + 2 + 0$

f'(-2) = $- 4 \cdot {(- 2)}^{3} + 2$ = $- 4 \cdot (- 8) + 2$ = $32 + 2$ = $34$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $34$ )) ≈ 88.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 9 x + 5$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 9 x + 5$ ab:

f'(x) = $3 x - 9$

Es muss gelten:

$3 x - 9$	=	$3$	\| $+ 9$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts