$\text{f(x)}=$ $x^4-4x^3$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3-12x^2$

$\text{f(x)}=$ $x^5$

=>$\text{f'(x)}=$ $5x^4$

f'(0) = $5\cdot 0^4$ = $5\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-3x^3+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+0$

= $-9x^2$

f'(1) = $-9\cdot 1^2$ = $-9\cdot 1$ = $-9$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{x}$

= $-4x^{-1}$

=> f'(x) = $4x^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{4}\sqrt[3]{x}-4x^4$

= $\frac{9}{4}{x}^{\frac{1}{3}}-4x^4$

=> f'(x) = $\frac{3}{4}{x}^{-\frac{2}{3}}-16x^3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}-16x^3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2t}{x}-x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2t}{x^2}-2x$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{2t}{{\left(-1\right)}^2}-2\cdot \left(-1\right)$
= $-2t+2$

Dieser Wert soll ja den Wert $14$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^3-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3+\frac{3}{2}{x}^2+0$

f'(2) = $-2^3+\frac{3}{2}\cdot 2^2$ = $-8+\frac{3}{2}\cdot 4$ = $-8+6$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{28}{x}^4-150x+8$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{7}{x}^3-150$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -53.13 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-53.13°) ≈ -1.333

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^3+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $9x^2+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $9\cdot 0^2+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.333 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-6$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-6$ = 0

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-4$ = $-10$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-10$) ≈ -84.3°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 0° - ( - 84.3 )° ≈ 84.3°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4-x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3-3x^2$

f'(-1) = $-{\left(-1\right)}^3-3\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $-\left(-1\right)-3\cdot 1$ = $1-3$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+10x+5$ ab:

f'(x) = $x^3+10$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.