$\text{f(x)}=$ $5x^5-\frac{1}{2}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $25x^4-2x^3$

$\text{f(x)}=$ $-9\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $9\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $9\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $9\cdot 1$ = $9$

$\text{f(x)}=$ $3x^2-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x-2$

f'(3) = $6\cdot 3-2$ = $18-2$ = $16$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{x^3}$

= $4x^{-3}$

=> f'(x) = $-12x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{12}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{x}$

= $2x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $5x^4+3t{x}^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $20x^3+9t{x}^2$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $20\cdot {\left(-2\right)}^3+9t\cdot {\left(-2\right)}^2$
= $-160+36t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-124$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3+2x-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}{x}^2+2+0$

f'(1) = $-\frac{9}{2}\cdot 1^2+2$ = $-\frac{9}{2}\cdot 1+2$ = $-\frac{9}{2}+2$ = $-\frac{5}{2}$ ≈ -2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $-\frac{5}{2}$)) ≈ -68.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4+78x-1$ ab:

f'(x) = $3x^3+78$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 84.29 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(84.29°) ≈ 10.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^2+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4\cdot 0+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 10.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3-1$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3-1$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-1$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-1$ = $-3$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 71.6° - ( - 71.6 )° ≈ 143.2°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 143.2° = 36.8° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-x+5$

=>$\text{f'(x)}=$ $x^3-1+0$

f'(-2) = ${\left(-2\right)}^3-1$ = $\left(-8\right)-1$ = $-8-1$ = $-9$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-9$)) ≈ -83.7°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-6x+6$ ab:

f'(x) = $2x-6$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.