Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{5} - 1$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 4 x^{5} - 1$

$f'(x) =$ $- 20 x^{4} + 0$

= $- 20 x^{4}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{5} + 4 x^{4}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

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$f(x) =$ $- 5 x^{5} + 4 x^{4}$

=> $f'(x) =$ $- 25 x^{4} + 16 x^{3}$

f'(0) = $- 25 \cdot 0^{4} + 16 \cdot 0^{3}$ = $- 25 \cdot 0 + 16 \cdot 0$ = 0

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x + 3$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

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$f(x) =$ $4 x + 3$

=> $f'(x) =$ $4 + 0$

= $4$

f'(1) = $4$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}}$

= $- 2 x^{- 3}$

=> f'(x) = $6 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \sqrt[4]{x} - 4 x^{3}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 4 \sqrt[4]{x} - 4 x^{3}$

= $- 4 x^{\frac{1}{4}} - 4 x^{3}$

=> f'(x) = $- x^{- \frac{3}{4}} - 12 x^{2}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} - 12 x^{2}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{8}{x^{3}} + 2 t x^{2}$ im Punkt (2|f_t(2)) den Wert $\frac{109}{2}$ ?

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$f(x) =$ $\frac{8}{x^{3}} + 2 t x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{24}{x^{4}} + 4 t x$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{24}{2^{4}} + 4 t \cdot 2$
= $- \frac{3}{2} + 8 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{109}{2}$ besitzen, also gilt:

$8 t - \frac{3}{2}$	=	$\frac{109}{2}$	\|⋅ 2
$2 (8 t - \frac{3}{2})$	=	$109$
$16 t - 3$	=	$109$	\| $+ 3$
$16 t$	=	$112$	\|: $16$
$t$	=	$7$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 3$ im Punkt P(1|f(1)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 3$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{2} + 3 x + 0$

f'(1) = $- \frac{3}{2} \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1$ = $- \frac{3}{2} \cdot 1 + 3$ = $- \frac{3}{2} + 3$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $\frac{3}{2}$ )) ≈ 56.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{28} x^{4} - 51 x - 8$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{28} x^{4} - 51 x - 8$ ab:

f'(x) = $- \frac{1}{7} x^{3} - 51$

Es muss gelten:

$- \frac{1}{7} x^{3} - 51$	=	$- 2$	\| $+ 51$
$- \frac{1}{7} x^{3}$	=	$49$	\|⋅ $(- 7)$
$x^{3}$	=	$- 343$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{343}$	= $- 7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- x^{3} + \frac{1}{5} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 67.38 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 67.38 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(67.38°) ≈ 2.4

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- x^{3} + \frac{1}{5} t x$

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{2} + \frac{1}{5} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 3 \cdot 0^{2} + \frac{1}{5} t$
= $\frac{1}{5} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2.4 betragen, also gilt:

$\frac{1}{5} t$	=	$2,4$	\|⋅ 5
$t$	=	$12$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 12 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 2 x + 4$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 2 x + 6$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} - 2 x + 4

=

- x^{2} - 2 x + 6

|

- (- x^{2} - 2 x + 6)

x^{4} + x^{2} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $4 x^{3} - 2$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $4 \cdot 1^{3} - 2$ = $2$

$g'(x) =$ $- 2 x - 2$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 - 2$ = $- 4$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ ): α = arctan( $2$ ) ≈ 63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ ) gilt: β = arctan( $- 4$ ) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 63.4° - ( - 76 )° ≈ 139.4°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 139.4° = 40.6° .

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ im Punkt P(-2|f(-2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{2} - 3 x$

f'(-2) = $- 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2)$ = $- 3 \cdot 4 + 6$ = $- 12 + 6$ = $- 6$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $- 6$ )) ≈ -80.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} - 2 x - 2$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} - 2 x - 2$ ab:

f'(x) = $3 x^{3} - 2$

Es muss gelten:

$3 x^{3} - 2$	=	$1$	\| $+ 2$
$3 x^{3}$	=	$3$	\|: $3$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts