$\text{f(x)}=$ $5x^4+2$

$\text{f'(x)}=$ $20x^3+0$

= $20x^3$

$\text{f(x)}=$ $-2x^4+4x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-8x^3+12x^2$

f'(1) = $-8\cdot 1^3+12\cdot 1^2$ = $-8\cdot 1+12\cdot 1$ = $-8+12$ = $4$

$\text{f(x)}=$ $-3x^3-4x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-9x^2-8x$

f'(2) = $-9\cdot 2^2-8\cdot 2$ = $-9\cdot 4-16$ = $-36-16$ = $-52$

$\text{f(x)}=$ $-\cos \left(x\right)-\frac{3}{x^3}$

= $-\cos \left(x\right)-3x^{-3}$

=> f'(x) = $\sin \left(x\right)+9x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\sin \left(x\right)+\frac{9}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{3}\sqrt{x}-4x^4$

= $-\frac{4}{3}{x}^{\frac{1}{2}}-4x^4$

=> f'(x) = $-\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{2}}-16x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{3\sqrt{x}}-16x^3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{10}{x^2}+3tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{20}{x^3}+3t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{20}{{\left(-2\right)}^3}+3t$
= $-\frac{5}{2}+3t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{13}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

f'(1) = $\frac{1}{2}\cdot 1-\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-11x+8$ ab:

f'(x) = $x^3-11$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 80.54 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(80.54°) ≈ 6.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^4+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4\cdot 0^3+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 6.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 12 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-12\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+4$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3+4$ = $10$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+2$ = $-4$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $10$) ≈ 84.3°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-4$) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 84.3° - ( - 76 )° ≈ 160.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 160.3° = 19.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3-2x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}{x}^2-4x$

f'(-2) = $-\frac{9}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)$ = $-\frac{9}{2}\cdot 4+8$ = $-18+8$ = $-10$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-10$)) ≈ -84.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{10}{x}^4-48x+9$ ab:

f'(x) = $\frac{2}{5}{x}^3-48$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.