$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-1$

$\text{f'(x)}=$ $x^3+0$

= $x^3$

$\text{f(x)}=$ $x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2$

f'(-1) = $3\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $3\cdot 1$ = $3$

$\text{f(x)}=$ $-5x^3+3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-15x^2+3$

f'(-1) = $-15\cdot {\left(-1\right)}^2+3$ = $-15\cdot 1+3$ = $-15+3$ = $-12$

$\text{f(x)}=$0

=0

=> f'(x) = 0

$\text{f'(x)}=$0

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^2-\frac{3}{\sqrt{x}}$

= $\frac{1}{4}{x}^2-3x^{-\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}x+\frac{3}{2{\left(\sqrt{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{x}+t{x}^2$

= $3x^{\frac{1}{2}}+t{x}^2$

=> f'(x)= $\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{x}}+2tx$

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{3}{2\cdot \sqrt{4}}+2t\cdot 4$
= $\frac{3}{2\cdot 2}+2t\cdot 4$
= $\frac{3}{4}+8t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{131}{4}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^3+\frac{1}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{1}{2}$

f'(-3) = $-\frac{3}{4}\cdot {\left(-3\right)}^2+\frac{1}{2}$ = $-\frac{3}{4}\cdot 9+\frac{1}{2}$ = $-\frac{27}{4}+\frac{1}{2}$ = $-\frac{25}{4}$ ≈ -6.25

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-\frac{25}{4}$)) ≈ -80.9°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-6x-7$ ab:

f'(x) = $x^3-6$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 21.8 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(21.8°) ≈ 0.4

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^2+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4\cdot 0+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 0.4 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 2 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-2$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+4$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+4$ = $8$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+4$ = 0

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $8$) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 82.9° - 0° ≈ 82.9°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^2-\frac{3}{2}x+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x-\frac{3}{2}+0$

f'(3) = $2\cdot 3-\frac{3}{2}$ = $6-\frac{3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ ≈ 4.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $\frac{9}{2}$)) ≈ 77.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-111x+5$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^3-111$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.