$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{15}{x}^5+\frac{1}{3}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^4+x^2$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $0$) = $2\cdot \sin \left(0\right)$ = $2\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $2x^5-3x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $10x^4-6x$

f'(3) = $10\cdot 3^4-6\cdot 3$ = $10\cdot 81-18$ = $810-18$ = $792$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{x^4}+5\cdot \sin \left(x\right)$

= $4x^{-4}+5\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $-16x^{-5}+5\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{16}{x^5}+5\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt[4]{x}-\frac{9}{4}{x}^2$

= $3x^{\frac{1}{4}}-\frac{9}{4}{x}^2$

=> f'(x) = $\frac{3}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}-\frac{9}{2}x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-\frac{9}{2}x$

$\text{f(x)}=$ $-5x^5+2t{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-25x^4+4tx$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-25\cdot {\left(-1\right)}^4+4t\cdot \left(-1\right)$
= $-25-4t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-17$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-3x+0$

f'(0) = $\frac{3}{2}\cdot 0^2-3\cdot 0$ = $\frac{3}{2}\cdot 0+0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-9x-4$ ab:

f'(x) = $x-9$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 80.54 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(80.54°) ≈ 6.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-3\cdot 0^2+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 6.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+1$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+1$ = $5$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+1$ = $-1$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $5$) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-1$) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 78.7° - ( - 45 )° ≈ 123.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 123.7° = 56.3° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^2+x$

f'(-2) = $\frac{3}{4}\cdot {\left(-2\right)}^2-2$ = $\frac{3}{4}\cdot 4-2$ = $3-2$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-12x-3$ ab:

f'(x) = $2x-12$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.