Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{5} - 4 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{5} - 4 x^{3}$

$f'(x) =$ $- 25 x^{4} - 12 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{4}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{4}$

=> $f'(x) =$ $- 6 x^{3}$

f'(1) = $- 6 \cdot 1^{3}$ = $- 6 \cdot 1$ = $- 6$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} + 3 x^{3}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{4} + 3 x^{3}$

=> $f'(x) =$ $- 12 x^{3} + 9 x^{2}$

f'(2) = $- 12 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2}$ = $- 12 \cdot 8 + 9 \cdot 4$ = $- 96 + 36$ = $- 60$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \cos (x)$

= $- x^{- 2} + \frac{1}{4} \cdot \cos (x)$

=> f'(x) = $2 x^{- 3} - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4} \cdot \sin (x)$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{6}{\sqrt{x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{6}{\sqrt{x}}$

= $- 6 x^{- \frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $3 x^{- \frac{3}{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(\sqrt{x})}^{3}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{2}{x^{2}} + t x$ im Punkt (2|f_t(2)) den Wert $\frac{1}{2}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}} + t x$

=> $f'(x) =$ $- \frac{4}{x^{3}} + t$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{4}{2^{3}} + t$
= $- \frac{1}{2} + t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{1}{2}$ besitzen, also gilt:

$t - \frac{1}{2}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 2
$2 (t - \frac{1}{2})$	=	$1$
$2 t - 1$	=	$1$	\| $+ 1$
$2 t$	=	$2$	\|: $2$
$t$	=	$1$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

=> $f'(x) =$ $6 x^{3} + 6 x^{2}$

f'(-2) = $6 \cdot {(- 2)}^{3} + 6 \cdot {(- 2)}^{2}$ = $6 \cdot (- 8) + 6 \cdot 4$ = $- 48 + 24$ = $- 24$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $- 24$ )) ≈ -87.6°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{16} x^{4} - 51 x - 4$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{16} x^{4} - 51 x - 4$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{4} x^{3} - 51$

Es muss gelten:

$\frac{3}{4} x^{3} - 51$	=	$- 3$	\| $+ 51$
$\frac{3}{4} x^{3}$	=	$48$	\|⋅ $\frac{4}{3}$
$x^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{4} + \frac{1}{5} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -60.95 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -60.95 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-60.95°) ≈ -1.8

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 3 x^{4} + \frac{1}{5} t x$

=> $f'(x) =$ $- 12 x^{3} + \frac{1}{5} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 12 \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} t$
= $\frac{1}{5} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.8 betragen, also gilt:

$\frac{1}{5} t$	=	$- 1,8$	\|⋅ 5
$t$	=	$- 9$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -9 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{2} + 3 x - 2$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 3 x + 1$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + x^{2} + 3 x - 2

=

- x^{2} + 3 x + 1

|

- (- x^{2} + 3 x + 1)

x^{4} + 2 x^{2} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 2 x + 3$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $4 \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 + 3$ = $9$

$g'(x) =$ $- 2 x + 3$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 + 3$ = $1$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ ): α = arctan( $9$ ) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ ) gilt: β = arctan( $1$ ) ≈ 45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 83.7° - 45° ≈ 38.7°

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} - \frac{3}{2} x - 3$ im Punkt P(1|f(1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $x^{3} - \frac{3}{2} x - 3$

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} - \frac{3}{2} + 0$

f'(1) = $3 \cdot 1^{2} - \frac{3}{2}$ = $3 \cdot 1 - \frac{3}{2}$ = $3 - \frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $\frac{3}{2}$ )) ≈ 56.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 2 x + 2$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 2 x + 2$ ab:

f'(x) = $3 x - 2$

Es muss gelten:

$3 x - 2$	=	$1$	\| $+ 2$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts