$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-x^3$

$\text{f'(x)}=$ $2x^3-3x^2$

$\text{f(x)}=$ $2x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2$

f'(-1) = $6\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $6\cdot 1$ = $6$

$\text{f(x)}=$ $x^5+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $5x^4+0$

= $5x^4$

f'(2) = $5\cdot 2^4$ = $5\cdot 16$ = $80$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)-\frac{2}{3x^4}$

= $-\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)-\frac{2}{3}{x}^{-4}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)+\frac{8}{3}{x}^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)+\frac{8}{3x^5}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{x}$

= $3x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)+2t$

Jetzt setzen wir x = $-\frac{3}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-2\cdot \cos \left(\left(-\frac{3}{2}\pi \right)\right)+2t$
= $-2\cdot 0+2t$
= $2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-12$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4+x+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3+1+0$

f'(-1) = $-2\cdot {\left(-1\right)}^3+1$ = $-2\cdot \left(-1\right)+1$ = $2+1$ = $3$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $3$)) ≈ 71.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-51x-6$ ab:

f'(x) = $2x^3-51$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -63.43 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-63.43°) ≈ -2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^4+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $8x^3+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $8\cdot 0^3+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+1$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+1$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-3$ = $-5$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 71.6° - ( - 78.7 )° ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2+x+5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x+1+0$

f'(3) = $-3+1$ = $-3+1$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-20x-1$ ab:

f'(x) = $3x-20$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.