$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{5}{x}^5-\frac{1}{2}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-x^4-2x^3$

$\text{f(x)}=$ $4x^5-4$

=>$\text{f'(x)}=$ $20x^4+0$

= $20x^4$

f'(0) = $20\cdot 0^4$ = $20\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $4x^5-2x^4$

=>$\text{f'(x)}=$ $20x^4-8x^3$

f'(2) = $20\cdot 2^4-8\cdot 2^3$ = $20\cdot 16-8\cdot 8$ = $320-64$ = $256$

$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(x\right)-\frac{1}{x^2}$

= $-5\cdot \cos \left(x\right)-x^{-2}$

=> f'(x) = $5\cdot \sin \left(x\right)+2x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \sin \left(x\right)+\frac{2}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}\sqrt{x}-7x^4$

= $\frac{1}{3}{x}^{\frac{1}{2}}-7x^4$

=> f'(x) = $\frac{1}{6}{x}^{-\frac{1}{2}}-28x^3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{6\sqrt{x}}-28x^3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2t}{x}+3x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2t}{x^2}+6x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{2t}{1^2}+6\cdot 1$
= $-2t+6$

Dieser Wert soll ja den Wert $10$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^3-x^2+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^2-2x+0$

f'(0) = $\frac{3}{4}\cdot 0^2-2\cdot 0$ = $\frac{3}{4}\cdot 0+0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+5x-8$ ab:

f'(x) = $2x+5$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 67.38 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(67.38°) ≈ 2.4

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^2+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-4\cdot 0+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2.4 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 12 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-3$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-4$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-4$ = $2$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-4$ = $-10$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $2$) ≈ 63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-10$) ≈ -84.3°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 63.4° - ( - 84.3 )° ≈ 147.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 147.7° = 32.3° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2-x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x-1$

f'(-3) = $-\frac{1}{2}\cdot \left(-3\right)-1$ = $\frac{3}{2}-1$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $\frac{1}{2}$)) ≈ 26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{28}{x}^4-47x+1$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{7}{x}^3-47$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.