$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{6}{x}^3+3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+6x$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x}$

= $-2x^{-1}$

=> f'(x) = $2x^{-2}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{x^2}$

f'(1) = $\frac{2}{1^2}$ = $2\cdot 1$ = $2$

$\text{f(x)}=$ $3x^5-x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $15x^4-2x$

f'(1) = $15\cdot 1^4-2\cdot 1$ = $15\cdot 1-2$ = $15-2$ = $13$

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+\frac{3}{x^4}$

= $-2x^3+3x^{-4}$

=> f'(x) = $-6x^2-12x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-6x^2-\frac{12}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\sqrt{x}$

= $-\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{4\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3t}{x^2}-x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6t}{x^3}-2x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{6t}{1^3}-2\cdot 1$
= $-6t-2$

Dieser Wert soll ja den Wert $-26$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3-x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2-2x$

f'(-2) = $-\frac{3}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)$ = $-\frac{3}{2}\cdot 4+4$ = $-6+4$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{10}{x}^4-47x+6$ ab:

f'(x) = $-\frac{2}{5}{x}^3-47$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 63.43 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(63.43°) ≈ 2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^4+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-8x^3+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-8\cdot 0^3+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-6$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2-6$ = $-2$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-4$ = $-8$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $-2$) ≈ -63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-8$) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = -63.4° - ( - 82.9 )° ≈ 19.5°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+\frac{3}{2}{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+3x$

f'(-1) = $-4\cdot {\left(-1\right)}^3+3\cdot \left(-1\right)$ = $-4\cdot \left(-1\right)-3$ = $4-3$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+15x-9$ ab:

f'(x) = $2x^3+15$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.