$\text{f(x)}=$ $-4x^5-2$

$\text{f'(x)}=$ $-20x^4+0$

= $-20x^4$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{x}$

= $-3x^{-1}$

=> f'(x) = $3x^{-2}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{x^2}$

f'(1) = $\frac{3}{1^2}$ = $3\cdot 1$ = $3$

$\text{f(x)}=$ $-5x-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-5+0$

= $-5$

f'(1) = $-5$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{x^3}$

= $4x^{-3}$

=> f'(x) = $-12x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{12}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $5\sqrt{x}$

= $5x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{5}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $4t\cdot \sin \left(x\right)+6x$

=>$\text{f'(x)}=$ $4t\cdot \cos \left(x\right)+6$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4t\cdot \cos \left(0\right)+6$
= $4t\cdot 1+6$
= $4t+6$

Dieser Wert soll ja den Wert $-14$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x-2$

f'(2) = $3\cdot 2-2$ = $6-2$ = $4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $4$)) ≈ 76°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-14x+1$ ab:

f'(x) = $2x-14$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -68.2 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-68.2°) ≈ -2.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^4+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-12x^3+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-12\cdot 0^3+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -5 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2x-3$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2\cdot 1-3$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-3$ = $-5$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 71.6° - ( - 78.7 )° ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^3-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2}{x}^2-2$

f'(-2) = $\frac{9}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-2$ = $\frac{9}{2}\cdot 4-2$ = $18-2$ = $16$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $16$)) ≈ 86.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-84x-2$ ab:

f'(x) = $3x^3-84$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.