$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^4+\frac{1}{2}x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3}{x}^3+\frac{1}{2}$

$\text{f(x)}=$ $-3x-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3+0$

= $-3$

f'(-1) = $-3$

$\text{f(x)}=$ $-5x^5-3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-25x^4+0$

= $-25x^4$

f'(0) = $-25\cdot 0^4$ = $-25\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{x^3}$

= $-3x^{-3}$

=> f'(x) = $9x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}$

= $x^{-\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2{\left(\sqrt{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $3t\cdot \sin \left(x\right)-3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $3t\cdot \cos \left(x\right)-3$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3t\cdot \cos \left(0\right)-3$
= $3t\cdot 1-3$
= $3t-3$

Dieser Wert soll ja den Wert $-6$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^3-2x^2-4$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2-4x+0$

f'(0) = $3\cdot 0^2-4\cdot 0$ = $3\cdot 0+0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4+5x-4$ ab:

f'(x) = $3x^3+5$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -75.07 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-75.07°) ≈ -3.75

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^4+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $8x^3+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $8\cdot 0^3+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.75 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -15 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+4$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+4$ = $6$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+2$ = 0

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $6$) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 80.5° - 0° ≈ 80.5°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-\frac{3}{2}{x}^3+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x^3-\frac{9}{2}{x}^2+0$

f'(0) = $2\cdot 0^3-\frac{9}{2}\cdot 0^2$ = $2\cdot 0-\frac{9}{2}\cdot 0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-7x-4$ ab:

f'(x) = $x^3-7$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.