$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{12}{x}^4-5$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^3+0$

= $-\frac{1}{3}{x}^3$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $4\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $4\cdot 1$ = $4$

$\text{f(x)}=$ $3x^2-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x-2$

f'(3) = $6\cdot 3-2$ = $18-2$ = $16$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2x^2}+5\cdot \cos \left(x\right)$

= $-\frac{1}{2}{x}^{-2}+5\cdot \cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $x^{-3}-5\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^3}-5\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{9}{2}\sqrt[4]{x}+9x^3$

= $-\frac{9}{2}{x}^{\frac{1}{4}}+9x^3$

=> f'(x) = $-\frac{9}{8}{x}^{-\frac{3}{4}}+27x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{8{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+27x^2$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)+3tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)+3t$

Jetzt setzen wir x = $-\frac{1}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-2\cdot \cos \left(\left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)+3t$
= $-2\cdot 0+3t$
= $3t$

Dieser Wert soll ja den Wert $18$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-x$

=>$\text{f'(x)}=$ $x^3-1$

f'(1) = $1^3-1$ = $1-1$ = $1-1$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-4x+5$ ab:

f'(x) = $x-4$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 78.69 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(78.69°) ≈ 5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^2+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $6\cdot 0+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 5 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-2$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-3$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2-3$ = $1$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-3$ = $-7$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $1$) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-7$) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 45° - ( - 81.9 )° ≈ 126.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 126.9° = 53.1° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3+x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+1$

f'(3) = $-\frac{3}{2}\cdot 3^2+1$ = $-\frac{3}{2}\cdot 9+1$ = $-\frac{27}{2}+1$ = $-\frac{25}{2}$ ≈ -12.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $-\frac{25}{2}$)) ≈ -85.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-19x+8$ ab:

f'(x) = $3x-19$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.