Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3 x 3 + 3 4 x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -3 x 3 + 3 4 x 2

f'(x)= -9 x 2 + 3 2 x

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)=0 und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

f(x)=0

=>f'(x)=0

f'(0) = 0 = 0 = 0

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -x -5 und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

f(x)= -x -5

=>f'(x)= -1 +0

= -1

f'(1) = -1

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 1 x

= x -1

=> f'(x) = - x -2

f'(x)= - 1 x 2

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - x 3

= - x 1 3

=> f'(x) = - 1 3 x - 2 3

f'(x)= - 1 3 ( x 3 ) 2

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= t x +7 x 2 im Punkt (1|ft(1)) den Wert 11 ?

Lösung einblenden

f(x)= t x +7 x 2

= t x 1 2 +7 x 2

=> f'(x)= 1 2 t x - 1 2 +14x

=>f'(x)= t 2 x +14x

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= t 2 +141
= t 2 +141
= 1 2 t +14

Dieser Wert soll ja den Wert 11 besitzen, also gilt:

1 2 t +14 = 11 |⋅ 2
2( 1 2 t +14 ) = 22
t +28 = 22 | -28
t = -6

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= x 2 - 3 2 x im Punkt P(3|f(3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= x 2 - 3 2 x

=>f'(x)= 2x - 3 2

f'(3) = 23 - 3 2 = 6 - 3 2 = 9 2 ≈ 4.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( 9 2 )) ≈ 77.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an die den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 4 x 4 -2x -9 angelegt.

Bestimme x0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 4 x 4 -2x -9 ab:

f'(x) = x 3 -2

Es muss gelten:

x 3 -2 = -1 | +2
x 3 = 1 | 3
x = 1 3 = 1

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 1.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= 2 x 4 + 1 2 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr -75.96 ° ?

Lösung einblenden

ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -75.96 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-75.96°) ≈ -3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= 2 x 4 + 1 2 t x

=>f'(x)= 8 x 3 + 1 2 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 8 0 3 + 1 2 t
= 1 2 t

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.999 betragen, also gilt:

1 2 t = -3,999 |⋅ 2
t = -7,998

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -8 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -7 und g(x)= - x 2 +4x -1 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -7 = - x 2 +4x -1 | + x 2 -4x +1
2 x 2 -4x -6 = 0 |:2

x 2 -2x -3 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -3 ) 21

x1,2 = +2 ± 4 +12 2

x1,2 = +2 ± 16 2

x1 = 2 + 16 2 = 2 +4 2 = 6 2 = 3

x2 = 2 - 16 2 = 2 -4 2 = -2 2 = -1

L={ -1 ; 3 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x , also gilt mf = f'( 3 )= 23 = 6

g'(x)= -2x +4 , also gilt mg = g'( 3 )= -23 +4 = -2

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 ): α = arctan( 6 ) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 ) gilt: β = arctan( -2 ) ≈ -63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 80.5° - ( - 63.4 )° ≈ 143.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 143.9° = 36.1° .

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 3 2 x 4 +2x -7 im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 3 2 x 4 +2x -7

=>f'(x)= -6 x 3 +2 +0

f'(2) = -6 2 3 +2 = -68 +2 = -48 +2 = -46

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( -46 )) ≈ -88.8°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an die den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 -8x -9 angelegt.

Bestimme x0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 2 x 2 -8x -9 ab:

f'(x) = x -8

Es muss gelten:

x -8 = -2 | +8
x = 6

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 6.