$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{5}{x}^5+2x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-2x^4+8x^3$

$\text{f(x)}=$ $-5x^4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-20x^3$

f'(-1) = $-20\cdot {\left(-1\right)}^3$ = $-20\cdot \left(-1\right)$ = $20$

$\text{f(x)}=$ $-x^5+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-5x^4+0$

= $-5x^4$

f'(1) = $-5\cdot 1^4$ = $-5\cdot 1$ = $-5$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)+\frac{1}{x^3}$

= $-2\cdot \cos \left(x\right)+x^{-3}$

=> f'(x) = $2\cdot \sin \left(x\right)-3x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)-\frac{3}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}\sqrt[4]{x}$

= $\frac{2}{3}{x}^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{6}{x}^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{6{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $3t\cdot \sin \left(x\right)-3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $3t\cdot \cos \left(x\right)-3$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3t\cdot \cos \left(0\right)-3$
= $3t\cdot 1-3$
= $3t-3$

Dieser Wert soll ja den Wert $-9$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^3-x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2-2x$

f'(-2) = $-\frac{3}{4}\cdot {\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)$ = $-\frac{3}{4}\cdot 4+4$ = $-3+4$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-10x+9$ ab:

f'(x) = $2x-10$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -33.69 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-33.69°) ≈ -0.667

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^4+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-8x^3+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-8\cdot 0^3+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -0.667 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -2 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3-2$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3-2$ = $2$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-2$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-2$ = $-4$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $2$) ≈ 63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-4$) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 63.4° - ( - 76 )° ≈ 139.4°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 139.4° = 40.6° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^2+5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3+3x+0$

f'(0) = $-2\cdot 0^3+3\cdot 0$ = $-2\cdot 0+0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+8x+4$ ab:

f'(x) = $3x+8$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.