$\text{f(x)}=$ $4x^5+2x$

$\text{f'(x)}=$ $20x^4+2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{4}\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $-\frac{7}{4}\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-\frac{7}{4}\cdot 1$ = $-\frac{7}{4}$ ≈ -1.75

$\text{f(x)}=$ $-4x^4+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-16x^3+2$

f'(0) = $-16\cdot 0^3+2$ = $-16\cdot 0+2$ = $2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4x^3}$

= $\frac{1}{4}{x}^{-3}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{4}{x}^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}\sqrt{x}+\frac{4}{3}{x}^5$

= $-\frac{1}{4}{x}^{\frac{1}{2}}+\frac{4}{3}{x}^5$

=> f'(x) = $-\frac{1}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}+\frac{20}{3}{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{8\sqrt{x}}+\frac{20}{3}{x}^4$

$\text{f(x)}=$ $4t\cdot \cos \left(x\right)+3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4t\cdot \sin \left(x\right)+3$

Jetzt setzen wir x = $\frac{3}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-4t\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)+3$
= $-4t\cdot \left(-1\right)+3$
= $4t+3$

Dieser Wert soll ja den Wert $19$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x+6$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x+\frac{3}{2}+0$

f'(2) = $-2+\frac{3}{2}$ = $-2+\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-110x+8$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^3-110$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 71.57 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(71.57°) ≈ 3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^2+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-4\cdot 0+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 9 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+2$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+2$ = $4$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+2$ = 0

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $4$) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 76° - 0° ≈ 76°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^2-2x+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x-2+0$

f'(2) = $2\cdot 2-2$ = $4-2$ = $2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $2$)) ≈ 63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-26x+2$ ab:

f'(x) = $3x^3-26$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.