$\text{f(x)}=$ $-4x^4+4x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-16x^3+8x$

$\text{f(x)}=$ $5x^5+3x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $25x^4+6x$

f'(0) = $25\cdot 0^4+6\cdot 0$ = $25\cdot 0+0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $4x^4+x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $16x^3+2x$

f'(1) = $16\cdot 1^3+2\cdot 1$ = $16\cdot 1+2$ = $16+2$ = $18$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^3}$

= $x^{-3}$

=> f'(x) = $-3x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $4x^2-\frac{9}{4}{\left(\sqrt{x}\right)}^3$

= $4x^2-\frac{9}{4}{x}^{\frac{3}{2}}$

=> f'(x) = $8x-\frac{27}{8}{x}^{\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $8x-\frac{27}{8}\sqrt{x}$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt{x}+7x^2$

= $t{x}^{\frac{1}{2}}+7x^2$

=> f'(x)= $\frac{1}{2}t{x}^{-\frac{1}{2}}+14x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{2\sqrt{x}}+14x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2}+14\cdot 1$
= $\frac{t}{2}+14\cdot 1$
= $\frac{1}{2}t+14$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{33}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-2x-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x-2+0$

f'(0) = $3\cdot 0-2$ = $0-2$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{8}{x}^4-31x+7$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^3-31$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -82.41 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-82.41°) ≈ -7.505

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^2+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $6\cdot 0+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -7.505 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -15 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-2$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-3$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2-3$ = $1$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-3$ = $-7$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $1$) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-7$) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 45° - ( - 81.9 )° ≈ 126.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 126.9° = 53.1° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^2+x$

f'(-1) = $\frac{3}{4}\cdot {\left(-1\right)}^2-1$ = $\frac{3}{4}\cdot 1-1$ = $\frac{3}{4}-1$ = $-\frac{1}{4}$ ≈ -0.25

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-\frac{1}{4}$)) ≈ -14°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{14}{x}^4-97x-7$ ab:

f'(x) = $-\frac{2}{7}{x}^3-97$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.