$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{5}{x}^5+x$

$\text{f'(x)}=$ $2x^4+1$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $0$) = $-\frac{7}{3}\cdot \cos \left(0\right)$ = $-\frac{7}{3}\cdot 1$ = $-\frac{7}{3}$ ≈ -2.33

$\text{f(x)}=$ $3x-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $3+0$

= $3$

f'(4) = $3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{x^3}$

= $-3x^{-3}$

=> f'(x) = $9x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-\sqrt{x}-\frac{9}{2}{x}^2$

= $-x^{\frac{1}{2}}-\frac{9}{2}{x}^2$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}-9x$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2\sqrt{x}}-9x$

$\text{f(x)}=$ $5t\cdot \sin \left(x\right)+3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $5t\cdot \cos \left(x\right)+3$

Jetzt setzen wir x = $-\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5t\cdot \cos \left((-\pi )\right)+3$
= $5t\cdot \left(-1\right)+3$
= $-5t+3$

Dieser Wert soll ja den Wert $-22$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^2-x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}x-1$

f'(2) = $\frac{1}{2}\cdot 2-1$ = $1-1$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-22x-2$ ab:

f'(x) = $3x^3-22$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 45 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(45°) ≈ 1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^3+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $9x^2+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $9\cdot 0^2+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-2$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+3$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+3$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+3$ = $-1$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-1$) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 81.9° - ( - 45 )° ≈ 126.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 126.9° = 53.1° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-3x+0$

f'(0) = $\frac{3}{2}\cdot 0^2-3\cdot 0$ = $\frac{3}{2}\cdot 0+0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{20}{x}^4-72x+7$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{5}{x}^3-72$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.