$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{5}{x}^5+\frac{1}{4}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $4x^4+\frac{1}{2}x$

$\text{f(x)}=$ $-\cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $\sin \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $\sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $1$

$\text{f(x)}=$ $x^2+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x+0$

= $2x$

f'(3) = $2\cdot 3$ = $6$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2x}$

= $\frac{3}{2}{x}^{-1}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{x}^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2x^2}$

$\text{f(x)}=$ $-7\sqrt[4]{x}+\frac{4}{3}{x}^3$

= $-7x^{\frac{1}{4}}+\frac{4}{3}{x}^3$

=> f'(x) = $-\frac{7}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}+4x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}+4x^2$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt{x}-4x^2$

= $t{x}^{\frac{1}{2}}-4x^2$

=> f'(x)= $\frac{1}{2}t{x}^{-\frac{1}{2}}-8x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{2\sqrt{x}}-8x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2}-8\cdot 1$
= $\frac{t}{2}-8\cdot 1$
= $\frac{1}{2}t-8$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{19}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+0$

f'(0) = $-\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}$ = $0+\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $\frac{1}{2}$)) ≈ 26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{28}{x}^4-144x+8$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{7}{x}^3-144$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 56.31 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(56.31°) ≈ 1.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^2+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-6\cdot 0+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 3 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-2$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+4$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+4$ = $8$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+4$ = 0

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $8$) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 82.9° - 0° ≈ 82.9°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3+2x^2+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}{x}^2+4x+0$

f'(2) = $-\frac{9}{2}\cdot 2^2+4\cdot 2$ = $-\frac{9}{2}\cdot 4+8$ = $-18+8$ = $-10$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-10$)) ≈ -84.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-111x+6$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^3-111$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.