$\text{f(x)}=$ $5x^4+5$

$\text{f'(x)}=$ $20x^3+0$

= $20x^3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{x^3}$

= $8x^{-3}$

=> f'(x) = $-24x^{-4}$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{24}{x^4}$

f'(2) = $-\frac{24}{2^4}$ = $-24\cdot \left(\frac{1}{16}\right)$ = $-\frac{3}{2}$ ≈ -1.5

$\text{f(x)}=$ $3x^2-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x+0$

= $6x$

f'(2) = $6\cdot 2$ = $12$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{x^2}$

= $2x^{-2}$

=> f'(x) = $-4x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt[4]{x}$

= $2x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $t{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2-3x^2$

= $t{x}^{\frac{2}{3}}-3x^2$

=> f'(x)= $\frac{2}{3}t{x}^{-\frac{1}{3}}-6x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2t}{3\sqrt[3]{x}}-6x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{2t}{3\cdot \sqrt[3]{1}}-6\cdot 1$
= $\frac{2t}{3}-6\cdot 1$
= $\frac{2}{3}t-6$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{14}{3}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+2x+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x+2+0$

f'(-1) = $3\cdot \left(-1\right)+2$ = $-3+2$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-6x+6$ ab:

f'(x) = $x-6$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -63.43 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-63.43°) ≈ -2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^3+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-9\cdot 0^2+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2x-3$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2\cdot 1-3$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-3$ = $-5$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 71.6° - ( - 78.7 )° ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-3x+0$

f'(0) = $\frac{3}{2}\cdot 0^2-3\cdot 0$ = $\frac{3}{2}\cdot 0+0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{20}{x}^4-77x+5$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{5}{x}^3-77$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.