$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{6}{x}^3+2x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{x}$

= $-x^{-1}$

=> f'(x) = $x^{-2}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^2}$

f'(1) = $\frac{1}{1^2}$ = $1$

$\text{f(x)}=$ $2x-4$

=>$\text{f'(x)}=$ $2+0$

= $2$

f'(1) = $2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^2}$

= $-2x^{-2}$

=> f'(x) = $4x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $4\sqrt{x}+\frac{5}{4}{x}^2$

= $4x^{\frac{1}{2}}+\frac{5}{4}{x}^2$

=> f'(x) = $2x^{-\frac{1}{2}}+\frac{5}{2}x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{5}{2}x$

$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(x\right)+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \sin \left(x\right)+2t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{3}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)+2t$
= $5\cdot \left(-1\right)+2t$
= $-5+2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $5$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^2+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3+3x+0$

f'(2) = $-2\cdot 2^3+3\cdot 2$ = $-2\cdot 8+6$ = $-16+6$ = $-10$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-10$)) ≈ -84.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-3x-5$ ab:

f'(x) = $x-3$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -68.2 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-68.2°) ≈ -2.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^4+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-8x^3+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-8\cdot 0^3+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-2$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-2$ = $4$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+2$ = $-4$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $4$) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-4$) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 76° - ( - 76 )° ≈ 152°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 152° = 28° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^3-\frac{1}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^2-\frac{1}{2}$

f'(-2) = $\frac{3}{4}\cdot {\left(-2\right)}^2-\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{4}\cdot 4-\frac{1}{2}$ = $3-\frac{1}{2}$ = $\frac{5}{2}$ ≈ 2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $\frac{5}{2}$)) ≈ 68.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-11x-6$ ab:

f'(x) = $x^3-11$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.