Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 4 x^{2}$ und vereinfache:

$f(x) =$ $2 x^{3} + 4 x^{2}$

$f'(x) =$ $6 x^{2} + 8 x$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $\frac{1}{2} π$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$

f'( $\frac{1}{2} π$ ) = $- \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} π)$ = $- \frac{3}{2} \cdot 0$ = 0

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} + x^{2}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} + x^{2}$

=> $f'(x) =$ $5 x^{4} + 2 x$

f'(1) = $5 \cdot 1^{4} + 2 \cdot 1$ = $5 \cdot 1 + 2$ = $5 + 2$ = $7$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{4 x^{2}} - \frac{3}{2} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{4 x^{2}} - \frac{3}{2} x^{4}$

= $\frac{9}{4} x^{- 2} - \frac{3}{2} x^{4}$

=> f'(x) = $- \frac{9}{2} x^{- 3} - 6 x^{3}$

$f'(x) =$ $- \frac{9}{2 x^{3}} - 6 x^{3}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \sqrt{x}$

= $4 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2 x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{\sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $t \sqrt{x} - 3 x^{2}$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $- 7$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t \sqrt{x} - 3 x^{2}$

= $t x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2}$

=> f'(x)= $\frac{1}{2} t x^{- \frac{1}{2}} - 6 x$

=> $f'(x) =$ $\frac{t}{2 \sqrt{x}} - 6 x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2} - 6 \cdot 1$
= $\frac{t}{2} - 6 \cdot 1$
= $\frac{1}{2} t - 6$

Dieser Wert soll ja den Wert $- 7$ besitzen, also gilt:

$\frac{1}{2} t - 6$	=	$- 7$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} t - 6)$	=	$- 14$
$t - 12$	=	$- 14$	\| $+ 12$
$t$	=	$- 2$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{3}{2} x - 5$ im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $x^{2} - \frac{3}{2} x - 5$

=> $f'(x) =$ $2 x - \frac{3}{2} + 0$

f'(0) = $2 \cdot 0 - \frac{3}{2}$ = $0 - \frac{3}{2}$ = $- \frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $- \frac{3}{2}$ )) ≈ -56.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{28} x^{4} - 148 x + 5$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{28} x^{4} - 148 x + 5$ ab:

f'(x) = $- \frac{3}{7} x^{3} - 148$

Es muss gelten:

$- \frac{3}{7} x^{3} - 148$	=	$- 1$	\| $+ 148$
$- \frac{3}{7} x^{3}$	=	$147$	\|⋅ $(- \frac{7}{3})$
$x^{3}$	=	$- 343$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{343}$	= $- 7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 x^{2} + t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -75.96 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -75.96 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-75.96°) ≈ -3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $3 x^{2} + t x$

=> $f'(x) =$ $6 x + t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $6 \cdot 0 + t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.999 betragen, also gilt:

t

=

- 3,999

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 8 x - 6$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 2 x + 2$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 8 x - 6

=

- x^{2} + 2 x + 2

|

+ x^{2}

- 2 x

- 2

2 x^{2} + 6 x - 8

= 0 |:2

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 8$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 + 8$ = $10$

$g'(x) =$ $- 2 x + 2$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 + 2$ = 0

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ ): α = arctan( $10$ ) ≈ 84.3°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ ) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 84.3° - 0° ≈ 84.3°

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{4} + 2 x$ im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- x^{4} + 2 x$

=> $f'(x) =$ $- 4 x^{3} + 2$

f'(-1) = $- 4 \cdot {(- 1)}^{3} + 2$ = $- 4 \cdot (- 1) + 2$ = $4 + 2$ = $6$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $6$ )) ≈ 80.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 55 x + 7$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 55 x + 7$ ab:

f'(x) = $2 x^{3} - 55$

Es muss gelten:

$2 x^{3} - 55$	=	$- 1$	\| $+ 55$
$2 x^{3}$	=	$54$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts