$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-x^2+x$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{3x^3}$

= $-\frac{5}{3}{x}^{-3}$

=> f'(x) = $5x^{-4}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{x^4}$

f'(1) = $\frac{5}{1^4}$ = $5\cdot 1$ = $5$

$\text{f(x)}=$ $-5x^2+5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-10x+0$

= $-10x$

f'(1) = $-10\cdot 1$ = $-10$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2x^3}-5\cdot \sin \left(x\right)$

= $-\frac{1}{2}{x}^{-3}-5\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{-4}-5\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2x^4}-5\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\sqrt[4]{x}$

= $-4x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $-x^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $4t\cdot \sin \left(x\right)+5x$

=>$\text{f'(x)}=$ $4t\cdot \cos \left(x\right)+5$

Jetzt setzen wir x = $\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4t\cdot \cos \left(\pi \right)+5$
= $4t\cdot \left(-1\right)+5$
= $-4t+5$

Dieser Wert soll ja den Wert $-7$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^3-2x-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2}{x}^2-2+0$

f'(-2) = $\frac{9}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-2$ = $\frac{9}{2}\cdot 4-2$ = $18-2$ = $16$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $16$)) ≈ 86.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+8x-7$ ab:

f'(x) = $3x+8$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -73.3 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-73.3°) ≈ -3.333

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^2+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $6\cdot 0+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.333 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-12\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+3$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3+3$ = $9$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+1$ = $-5$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $9$) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 83.7° - ( - 78.7 )° ≈ 162.4°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 162.4° = 17.6° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2-3x+0$

f'(-1) = $-\frac{3}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2-3\cdot \left(-1\right)$ = $-\frac{3}{2}\cdot 1+3$ = $-\frac{3}{2}+3$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $\frac{3}{2}$)) ≈ 56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-5x+1$ ab:

f'(x) = $2x-5$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.