$\text{f(x)}=$ $-3x^4+\frac{4}{9}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-12x^3+\frac{4}{3}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $-\sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-1$

$\text{f(x)}=$ $-4x^4-2x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-16x^3-6x^2$

f'(2) = $-16\cdot 2^3-6\cdot 2^2$ = $-16\cdot 8-6\cdot 4$ = $-128-24$ = $-152$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)+\frac{2}{3x^2}$

= $\cos \left(x\right)+\frac{2}{3}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $-\sin \left(x\right)-\frac{4}{3}{x}^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)-\frac{4}{3x^3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}\sqrt{x}$

= $\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $3x^3+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $9x^2+t$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $9\cdot 2^2+t$
= $36+t$

Dieser Wert soll ja den Wert $34$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}x+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+0$

f'(1) = $\frac{1}{2}\cdot 1-\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+13x-5$ ab:

f'(x) = $2x+13$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 68.2 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(68.2°) ≈ 2.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^3+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $6\cdot 0^2+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 5 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3-4$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3-4$ = 0

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-4$ = $-6$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-6$) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 0° - ( - 80.5 )° ≈ 80.5°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-x+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $x^3-1+0$

f'(1) = $1^3-1$ = $1-1$ = $1-1$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-15x-3$ ab:

f'(x) = $2x-15$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.