$\text{f(x)}=$ $-4x^4-\frac{1}{2}x$

$\text{f'(x)}=$ $-16x^3-\frac{1}{2}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{x^3}$

= $-5x^{-3}$

=> f'(x) = $15x^{-4}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{15}{x^4}$

f'(1) = $\frac{15}{1^4}$ = $15\cdot 1$ = $15$

$\text{f(x)}=$ $5x^4+3x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $20x^3+6x$

f'(0) = $20\cdot 0^3+6\cdot 0$ = $20\cdot 0+0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{2}{x^4}$

= $\frac{4}{3}\cdot \sin \left(x\right)+2x^{-4}$

=> f'(x) = $\frac{4}{3}\cdot \cos \left(x\right)-8x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3}\cdot \cos \left(x\right)-\frac{8}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{x}$

= $2x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+5tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+5t$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4\cdot \cos \left(0\right)+5t$
= $4\cdot 1+5t$
= $4+5t$

Dieser Wert soll ja den Wert $34$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $x+\frac{3}{2}$

f'(-2) = $-2+\frac{3}{2}$ = $-2+\mathrm{1,5}$ = $-\mathrm{0,5}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{16}{x}^4-13x+8$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{4}{x}^3-13$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 68.2 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(68.2°) ≈ 2.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^2+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $6\cdot 0+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-3$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+1$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3+1$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+1$ = $-5$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 81.9° - ( - 78.7 )° ≈ 160.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 160.6° = 19.4° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3-x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-2x$

f'(3) = $\frac{3}{2}\cdot 3^2-2\cdot 3$ = $\frac{3}{2}\cdot 9-6$ = $\frac{27}{2}-6$ = $\frac{15}{2}$ ≈ 7.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $\frac{15}{2}$)) ≈ 82.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+10x+2$ ab:

f'(x) = $x^3+10$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.