$\text{f(x)}=$ $5x^4+\frac{2}{3}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $20x^3+\frac{4}{3}x$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $0$) = $\frac{7}{2}\cdot \sin \left(0\right)$ = $\frac{7}{2}\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-2x-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2+0$

= $-2$

f'(3) = $-2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}$

= $-2x^{-3}$

=> f'(x) = $6x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{x}+x^2$

= $-3x^{\frac{1}{2}}+x^2$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\sqrt{x}}+2x$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{x}+tx$

= $-2x^{\frac{1}{2}}+tx$

=> f'(x)= $-x^{-\frac{1}{2}}+t$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{x}}+t$

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{1}{\sqrt{4}}+t$
= $-\frac{1}{2}+t$
= $t-\frac{1}{2}$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{9}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^4-2x^3+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^3-6x^2+0$

f'(0) = $6\cdot 0^3-6\cdot 0^2$ = $6\cdot 0-6\cdot 0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+17x+9$ ab:

f'(x) = $2x^3+17$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -45 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-45°) ≈ -1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^3+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3\cdot 0^2+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -3 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-12\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-1$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-1$ = $5$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-3$ = $-9$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $5$) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-9$) ≈ -83.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 78.7° - ( - 83.7 )° ≈ 162.4°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 162.4° = 17.6° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^3-\frac{3}{2}{x}^2+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2-3x+0$

f'(-3) = $-3\cdot {\left(-3\right)}^2-3\cdot \left(-3\right)$ = $-3\cdot 9+9$ = $-27+9$ = $-18$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-18$)) ≈ -86.8°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-110x+4$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^3-110$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.