$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{5}{x}^5-x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-x^4-2x$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $-4\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-4\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-3x^2-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x-2$

f'(1) = $-6\cdot 1-2$ = $-6-2$ = $-8$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{x}^4-\frac{5}{x^2}$

= $\frac{2}{3}{x}^4-5x^{-2}$

=> f'(x) = $\frac{8}{3}{x}^3+10x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{3}{x}^3+\frac{10}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{\sqrt{x}}$

= $-2x^{-\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $x^{-\frac{3}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2+t{x}^2$

= $-x^{\frac{2}{3}}+t{x}^2$

=> f'(x)= $-\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}+2tx$

Jetzt setzen wir x = 8 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{2}{3\cdot \sqrt[3]{8}}+2t\cdot 8$
= $-\frac{2}{3\cdot 2}+2t\cdot 8$
= $-\frac{1}{3}+16t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{97}{3}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^4-2x+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^3-2+0$

f'(0) = $6\cdot 0^3-2$ = $6\cdot 0-2$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+26x-8$ ab:

f'(x) = $x^3+26$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 45 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(45°) ≈ 1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^2+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2\cdot 0+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2x-4$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2\cdot 1-4$ = $2$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-4$ = $-6$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $2$) ≈ 63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-6$) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 63.4° - ( - 80.5 )° ≈ 143.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 143.9° = 36.1° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-x-4$

=>$\text{f'(x)}=$ $x-1+0$

f'(3) = $3-1$ = $2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $2$)) ≈ 63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+16x+5$ ab:

f'(x) = $2x+16$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.