$\text{f(x)}=$ $5x^3+2$

$\text{f'(x)}=$ $15x^2+0$

= $15x^2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3x^2}$

= $-\frac{1}{3}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $\frac{2}{3}{x}^{-3}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3x^3}$

f'(2) = $\frac{2}{3\cdot 2^3}$ = $\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)$ = $\frac{1}{12}$ ≈ 0.08

$\text{f(x)}=$ $-3x+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3+0$

= $-3$

f'(0) = $-3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{x^3}$

= $-4x^{-3}$

=> f'(x) = $12x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{12}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-4\sqrt[4]{x}$

= $-4x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $-x^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $-x^5+3tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-5x^4+3t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-5\cdot {\left(-2\right)}^4+3t$
= $-80+3t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-89$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^4+2x^3+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^3+6x^2+0$

f'(-1) = $6\cdot {\left(-1\right)}^3+6\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $6\cdot \left(-1\right)+6\cdot 1$ = $-6+6$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-2x-7$ ab:

f'(x) = $x-2$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 45 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(45°) ≈ 1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-6\cdot 0^2+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 3 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2$ = $4$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-2$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-2$ = $-6$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $4$) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-6$) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 76° - ( - 80.5 )° ≈ 156.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 156.5° = 23.5° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^2-\frac{3}{2}x+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x-\frac{3}{2}+0$

f'(0) = $2\cdot 0-\frac{3}{2}$ = $0-\frac{3}{2}$ = $-\frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $-\frac{3}{2}$)) ≈ -56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-15x+2$ ab:

f'(x) = $2x-15$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.