$\text{f(x)}=$ $5x^5-x^2$

$\text{f'(x)}=$ $25x^4-2x$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $-\frac{3}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-\frac{3}{2}\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-2x^5+5x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-10x^4+5$

f'(0) = $-10\cdot 0^4+5$ = $-10\cdot 0+5$ = $5$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{3}\cdot \cos \left(x\right)+\frac{5}{x^4}$

= $\frac{5}{3}\cdot \cos \left(x\right)+5x^{-4}$

=> f'(x) = $-\frac{5}{3}\cdot \sin \left(x\right)-20x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{3}\cdot \sin \left(x\right)-\frac{20}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\sqrt{x}+2x^3$

= $-\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}}+2x^3$

=> f'(x) = $-\frac{1}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}+6x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{4\sqrt{x}}+6x^2$

$\text{f(x)}=$ $4t\cdot \sin \left(x\right)-3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $4t\cdot \cos \left(x\right)-3$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4t\cdot \cos \left(0\right)-3$
= $4t\cdot 1-3$
= $4t-3$

Dieser Wert soll ja den Wert $9$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+3x-6$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x+3+0$

f'(3) = $-3\cdot 3+3$ = $-9+3$ = $-6$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $-6$)) ≈ -80.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{16}{x}^4-51x-5$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{4}{x}^3-51$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 75.96 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(75.96°) ≈ 3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^2+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2\cdot 0+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.999 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+2$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+2$ = $4$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+2$ = 0

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $4$) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 76° - 0° ≈ 76°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-\frac{3}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x^3-\frac{3}{2}$

f'(-2) = $2\cdot {\left(-2\right)}^3-\frac{3}{2}$ = $2\cdot \left(-8\right)-\frac{3}{2}$ = $-16-\frac{3}{2}$ = $-\frac{35}{2}$ ≈ -17.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-\frac{35}{2}$)) ≈ -86.7°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-5x+8$ ab:

f'(x) = $x-5$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.