$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{5}{x}^5+x$

$\text{f'(x)}=$ $-x^4+1$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{3}{x}^4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{16}{3}{x}^3$

f'(-1) = $-\frac{16}{3}\cdot {\left(-1\right)}^3$ = $-\frac{16}{3}\cdot \left(-1\right)$ = $\frac{16}{3}$ ≈ 5.33

$\text{f(x)}=$ $5x^5+5x$

=>$\text{f'(x)}=$ $25x^4+5$

f'(2) = $25\cdot 2^4+5$ = $25\cdot 16+5$ = $400+5$ = $405$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2x^3}$

= $\frac{3}{2}{x}^{-3}$

=> f'(x) = $-\frac{9}{2}{x}^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}\sqrt{x}+9x^5$

= $-\frac{1}{4}{x}^{\frac{1}{2}}+9x^5$

=> f'(x) = $-\frac{1}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}+45x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{8\sqrt{x}}+45x^4$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+5tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+5t$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2\cdot \cos \left(0\right)+5t$
= $2\cdot 1+5t$
= $2+5t$

Dieser Wert soll ja den Wert $22$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+x$

=>$\text{f'(x)}=$ $x+1$

f'(-3) = $-3+1$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-3x-4$ ab:

f'(x) = $2x-3$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -53.13 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-53.13°) ≈ -1.333

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^4+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $12x^3+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $12\cdot 0^3+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.333 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2$ = $6$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+2$ = 0

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $6$) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 80.5° - 0° ≈ 80.5°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+2x^3+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+6x^2+0$

f'(2) = $-4\cdot 2^3+6\cdot 2^2$ = $-4\cdot 8+6\cdot 4$ = $-32+24$ = $-8$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-8$)) ≈ -82.9°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+3x-9$ ab:

f'(x) = $x^3+3$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.