$\text{f(x)}=$ $-x^3-5x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2-10x$

$\text{f(x)}=$ $-2x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x$

f'(0) = $-4\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $x^4-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+0$

= $4x^3$

f'(-1) = $4\cdot {\left(-1\right)}^3$ = $4\cdot \left(-1\right)$ = $-4$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2x}$

= $\frac{3}{2}{x}^{-1}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{x}^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2x^2}$

$\text{f(x)}=$ $-{\left(\sqrt{x}\right)}^3+x^3$

= $-x^{\frac{3}{2}}+x^3$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}+3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}\sqrt{x}+3x^2$

$\text{f(x)}=$ $-5x^2+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-10x+2t$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-10\cdot 2+2t$
= $-20+2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-28$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3+3x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}{x}^2+6x$

f'(1) = $-\frac{9}{2}\cdot 1^2+6\cdot 1$ = $-\frac{9}{2}\cdot 1+6$ = $-\frac{9}{2}+6$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $\frac{3}{2}$)) ≈ 56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-8$ ab:

f'(x) = $x$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -56.31 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-56.31°) ≈ -1.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^2+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4\cdot 0+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-7$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-7$ = $-1$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-3$ = $-9$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $-1$) ≈ -45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-9$) ≈ -83.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = -45° - ( - 83.7 )° ≈ 38.7°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^3-\frac{3}{2}{x}^2-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2-3x+0$

f'(-3) = $-3\cdot {\left(-3\right)}^2-3\cdot \left(-3\right)$ = $-3\cdot 9+9$ = $-27+9$ = $-18$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-18$)) ≈ -86.8°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{16}{x}^4-45x-7$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{4}{x}^3-45$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.