$\text{f(x)}=$ $5x^5+5x^4$

$\text{f'(x)}=$ $25x^4+20x^3$

$\text{f(x)}=$0

=0

=> f'(x) = 0

=>$\text{f'(x)}=$0

f'(1) = 0 = 0 = 0

$\text{f(x)}=$ $3x^5+3x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $15x^4+6x$

f'(-1) = $15\cdot {\left(-1\right)}^4+6\cdot \left(-1\right)$ = $15\cdot 1-6$ = $15-6$ = $9$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{3x}$

= $-\frac{5}{3}{x}^{-1}$

=> f'(x) = $\frac{5}{3}{x}^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{3x^2}$

$\text{f(x)}=$ $-3x^2+\frac{5}{3}\sqrt{x}$

= $-3x^2+\frac{5}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-6x+\frac{5}{6}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-6x+\frac{5}{6\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(x\right)+3tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+3t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{1}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)+3t$
= $4\cdot 1+3t$
= $4+3t$

Dieser Wert soll ja den Wert $16$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^3+\frac{1}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{1}{2}$

f'(-2) = $-\frac{3}{4}\cdot {\left(-2\right)}^2+\frac{1}{2}$ = $-\frac{3}{4}\cdot 4+\frac{1}{2}$ = $-3+\frac{1}{2}$ = $-\frac{5}{2}$ ≈ -2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-\frac{5}{2}$)) ≈ -68.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-6x-6$ ab:

f'(x) = $x^3-6$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -78.69 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-78.69°) ≈ -5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^2+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4\cdot 0+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -15 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+4$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+4$ = $8$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+2$ = $-2$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $8$) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-2$) ≈ -63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 82.9° - ( - 63.4 )° ≈ 146.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 146.3° = 33.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^2-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x-2$

f'(-2) = $-2\cdot \left(-2\right)-2$ = $4-2$ = $2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $2$)) ≈ 63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+28x+9$ ab:

f'(x) = $x^3+28$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.