$\text{f(x)}=$ $x^4+\frac{1}{3}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+x^2$

$\text{f(x)}=$0

=>$\text{f'(x)}=$0

f'( $0$) = 0 = 0 = 0

$\text{f(x)}=$ $-4x^4+5x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-16x^3+15x^2$

f'(-1) = $-16\cdot {\left(-1\right)}^3+15\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $-16\cdot \left(-1\right)+15\cdot 1$ = $16+15$ = $31$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{x^3}$

= $2x^{-3}$

=> f'(x) = $-6x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{3}\sqrt[4]{x}$

= $\frac{5}{3}{x}^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $\frac{5}{12}{x}^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{12{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^2}+3tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{x^3}+3t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{4}{{\left(-2\right)}^3}+3t$
= $-\frac{1}{2}+3t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{35}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $x+\frac{3}{2}$

f'(-2) = $-2+\frac{3}{2}$ = $-2+\mathrm{1,5}$ = $-\mathrm{0,5}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-11x-5$ ab:

f'(x) = $2x-11$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 59.04 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(59.04°) ≈ 1.667

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-6\cdot 0^2+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.667 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 5 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+1$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+1$ = $5$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-1$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-1$ = $-5$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $5$) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 78.7° - ( - 78.7 )° ≈ 157.4°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 157.4° = 22.6° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3+3x^2$

f'(2) = $-2^3+3\cdot 2^2$ = $-8+3\cdot 4$ = $-8+12$ = $4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $4$)) ≈ 76°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{16}{x}^4-19x-5$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{4}{x}^3-19$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.