$\text{f(x)}=$ $-4x^3+4x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2+8x$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $0$) = $2\cdot \sin \left(0\right)$ = $2\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $4x^5+5x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $20x^4+10x$

f'(0) = $20\cdot 0^4+10\cdot 0$ = $20\cdot 0+0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-4x^4+\frac{5}{x^4}$

= $-4x^4+5x^{-4}$

=> f'(x) = $-16x^3-20x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-16x^3-\frac{20}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{2}\sqrt{x}-3x^5$

= $-\frac{7}{2}{x}^{\frac{1}{2}}-3x^5$

=> f'(x) = $-\frac{7}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}-15x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{4\sqrt{x}}-15x^4$

$\text{f(x)}=$ $3t\cdot \sin \left(x\right)-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $3t\cdot \cos \left(x\right)-2$

Jetzt setzen wir x = $-\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3t\cdot \cos \left((-\pi )\right)-2$
= $3t\cdot \left(-1\right)-2$
= $-3t-2$

Dieser Wert soll ja den Wert $-11$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-x-6$

=>$\text{f'(x)}=$ $x-1+0$

f'(2) = $2-1$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-35x+1$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^3-35$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 45 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(45°) ≈ 1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^3+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $6\cdot 0^2+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+1$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+1$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-3$ = $-5$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 71.6° - ( - 78.7 )° ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-x^3-4$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x^3-3x^2+0$

f'(0) = $2\cdot 0^3-3\cdot 0^2$ = $2\cdot 0-3\cdot 0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+10x+4$ ab:

f'(x) = $3x+10$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.