$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{5}{x}^5-5x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2x^4-10x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^2}$

= $x^{-2}$

=> f'(x) = $-2x^{-3}$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}$

f'(1) = $-\frac{2}{1^3}$ = $-2\cdot 1$ = $-2$

$\text{f(x)}=$ $2x^5+2x^4$

=>$\text{f'(x)}=$ $10x^4+8x^3$

f'(0) = $10\cdot 0^4+8\cdot 0^3$ = $10\cdot 0+8\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-\frac{6}{x^2}$

= $-6x^{-2}$

=> f'(x) = $12x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{12}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $3x^2+\frac{7}{3}\sqrt[3]{x}$

= $3x^2+\frac{7}{3}{x}^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $6x+\frac{7}{9}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $6x+\frac{7}{9{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+2t$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2\cdot \cos \left(0\right)+2t$
= $2\cdot 1+2t$
= $2+2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $8$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^2+x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}x+1$

f'(-3) = $\frac{1}{2}\cdot \left(-3\right)+1$ = $-\frac{3}{2}+1$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{14}{x}^4-99x-1$ ab:

f'(x) = $-\frac{2}{7}{x}^3-99$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -80.54 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-80.54°) ≈ -6.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^3+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $6\cdot 0^2+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -6.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -12 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+3$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+3$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+3$ = $1$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $1$) ≈ 45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 81.9° - 45° ≈ 36.9°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^2-2x-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x-2+0$

f'(0) = $2\cdot 0-2$ = $0-2$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{20}{x}^4-28x-3$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{5}{x}^3-28$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.