$\text{f(x)}=$ $-2x^5+3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-10x^4+6x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{x^3}$

= $4x^{-3}$

=> f'(x) = $-12x^{-4}$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{12}{x^4}$

f'(2) = $-\frac{12}{2^4}$ = $-12\cdot \left(\frac{1}{16}\right)$ = $-\frac{3}{4}$ ≈ -0.75

$\text{f(x)}=$ $-x^3-2x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2-4x$

f'(0) = $-3\cdot 0^2-4\cdot 0$ = $-3\cdot 0+0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^3}$

= $x^{-3}$

=> f'(x) = $-3x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{x}-\frac{5}{3}{x}^2$

= $3x^{\frac{1}{2}}-\frac{5}{3}{x}^2$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}-\frac{10}{3}x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{10}{3}x$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}+t{x}^2$

= $x^{\frac{1}{2}}+t{x}^2$

=> f'(x)= $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}+2tx$

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{1}{2\cdot \sqrt{4}}+2t\cdot 4$
= $\frac{1}{2\cdot 2}+2t\cdot 4$
= $\frac{1}{4}+8t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{127}{4}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-x^2-4$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x^3-2x+0$

f'(1) = $2\cdot 1^3-2\cdot 1$ = $2\cdot 1-2$ = $2-2$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+6x-5$ ab:

f'(x) = $x+6$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 56.31 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(56.31°) ≈ 1.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-4\cdot 0^3+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 3 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-12\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-2$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-2$ = $4$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-4$ = $-10$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $4$) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-10$) ≈ -84.3°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 76° - ( - 84.3 )° ≈ 160.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 160.3° = 19.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^4-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3-2$

f'(2) = $4\cdot 2^3-2$ = $4\cdot 8-2$ = $32-2$ = $30$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $30$)) ≈ 88.1°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{28}{x}^4-47x-8$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{7}{x}^3-47$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.