$\text{f(x)}=$ $-x^4-3x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-4x^3-9x^2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{9}{2x}$

= $-\frac{9}{2}{x}^{-1}$

=> f'(x) = $\frac{9}{2}{x}^{-2}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2x^2}$

f'(1) = $\frac{9}{2\cdot 1^2}$ = $\frac{9}{2}\cdot 1$ = $\frac{9}{2}$ ≈ 4.5

$\text{f(x)}=$ $4x^4-4$

=>$\text{f'(x)}=$ $16x^3+0$

= $16x^3$

f'(1) = $16\cdot 1^3$ = $16\cdot 1$ = $16$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}\cdot \cos \left(x\right)+\frac{1}{x^4}$

= $\frac{3}{4}\cdot \cos \left(x\right)+x^{-4}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{4}\cdot \sin \left(x\right)-4x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}\cdot \sin \left(x\right)-\frac{4}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $-5\sqrt{x}$

= $-5x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{5}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \sin \left(x\right)+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \cos \left(x\right)+2t$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5\cdot \cos \left(0\right)+2t$
= $5\cdot 1+2t$
= $5+2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-1$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $x-\frac{3}{2}$

f'(2) = $2-\frac{3}{2}$ = $2-\mathrm{1,5}$ = $\mathrm{0,5}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $\frac{1}{2}$)) ≈ 26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-5x-4$ ab:

f'(x) = $2x-5$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -82.87 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-82.87°) ≈ -7.994

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^4+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $12x^3+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $12\cdot 0^3+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -7.994 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -8 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+2x-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-8\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+5$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+5$ = $9$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+1$ = $-3$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $9$) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 83.7° - ( - 71.6 )° ≈ 155.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 155.3° = 24.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2-x+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x-1+0$

f'(-2) = $-\left(-2\right)-1$ = $2-1$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-11x-9$ ab:

f'(x) = $2x-11$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.