$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{9}{x}^3-4x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}{x}^2-4$

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $0$) = $-5\cdot \sin \left(0\right)$ = $-5\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-2x^5-4x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-10x^4-12x^2$

f'(0) = $-10\cdot 0^4-12\cdot 0^2$ = $-10\cdot 0-12\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{2}{x}^2-\frac{1}{x^2}$

= $\frac{7}{2}{x}^2-x^{-2}$

=> f'(x) = $7x+2x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $7x+\frac{2}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{3}\sqrt{x}$

= $-\frac{7}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{7}{6}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{6\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+5tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+5t$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2\cdot \cos \left(0\right)+5t$
= $2\cdot 1+5t$
= $2+5t$

Dieser Wert soll ja den Wert $7$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+\frac{3}{2}{x}^3+7$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+\frac{9}{2}{x}^2+0$

f'(0) = $-4\cdot 0^3+\frac{9}{2}\cdot 0^2$ = $-4\cdot 0+\frac{9}{2}\cdot 0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+15x-7$ ab:

f'(x) = $2x+15$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -82.87 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-82.87°) ≈ -7.994

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^3+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $6\cdot 0^2+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -7.994 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -8 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2x-1$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2\cdot 1-1$ = $5$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-1$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-1$ = $-3$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $5$) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 78.7° - ( - 71.6 )° ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\frac{3}{2}{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x$

f'(3) = $3\cdot 3^2-3\cdot 3$ = $3\cdot 9-9$ = $27-9$ = $18$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $18$)) ≈ 86.8°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-11x-8$ ab:

f'(x) = $2x-11$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.