$\text{f(x)}=$ $-3x^5-\frac{1}{6}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-15x^4-\frac{1}{3}x$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{x^3}$

= $-5x^{-3}$

=> f'(x) = $15x^{-4}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{15}{x^4}$

f'(1) = $\frac{15}{1^4}$ = $15\cdot 1$ = $15$

$\text{f(x)}=$ $3x^2+5$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x+0$

= $6x$

f'(0) = $6\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)+\frac{4}{x^3}$

= $\cos \left(x\right)+4x^{-3}$

=> f'(x) = $-\sin \left(x\right)-12x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)-\frac{12}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{2}\sqrt{x}$

= $\frac{5}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{5}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{4\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $5t\cdot \sin \left(x\right)-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $5t\cdot \cos \left(x\right)-2$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5t\cdot \cos \left(0\right)-2$
= $5t\cdot 1-2$
= $5t-2$

Dieser Wert soll ja den Wert $-17$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^2-\frac{3}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x-\frac{3}{2}$

f'(-2) = $-2\cdot \left(-2\right)-\frac{3}{2}$ = $4-\frac{3}{2}$ = $\frac{5}{2}$ ≈ 2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $\frac{5}{2}$)) ≈ 68.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-21x-5$ ab:

f'(x) = $3x-21$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 45 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(45°) ≈ 1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^3+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-9\cdot 0^2+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-12\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+6$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3+6$ = $12$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+4$ = $-2$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $12$) ≈ 85.2°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-2$) ≈ -63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 85.2° - ( - 63.4 )° ≈ 148.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 148.6° = 31.4° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+3x-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x+3+0$

f'(-3) = $3\cdot \left(-3\right)+3$ = $-9+3$ = $-6$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-6$)) ≈ -80.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{28}{x}^4-146x+8$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{7}{x}^3-146$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.