$\text{f(x)}=$ $-2x^4+\frac{2}{3}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-8x^3+\frac{4}{3}x$

$\text{f(x)}=$ $-\sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(x\right)$

f'( $0$) = $-\cos \left(0\right)$ = $-1$

$\text{f(x)}=$ $-5x-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-5+0$

= $-5$

f'(0) = $-5$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{x^3}-\frac{5}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

= $-3x^{-3}-\frac{5}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $9x^{-4}-\frac{5}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{x^4}-\frac{5}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $7\sqrt{x}-3x^2$

= $7x^{\frac{1}{2}}-3x^2$

=> f'(x) = $\frac{7}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}-6x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{2\sqrt{x}}-6x$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt{x}-5x$

= $t{x}^{\frac{1}{2}}-5x$

=> f'(x)= $\frac{1}{2}t{x}^{-\frac{1}{2}}-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{2\sqrt{x}}-5$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2}-5$
= $\frac{t}{2}-5$
= $\frac{1}{2}t-5$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{3}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^2-x-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}x-1+0$

f'(0) = $\frac{1}{2}\cdot 0-1$ = $0-1$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+10x+1$ ab:

f'(x) = $x+10$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 85.24 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(85.24°) ≈ 12.009

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^2+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-6\cdot 0+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 12.009 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 12 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-8$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-8$ = $-2$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-4$ = $-10$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $-2$) ≈ -63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-10$) ≈ -84.3°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = -63.4° - ( - 84.3 )° ≈ 20.9°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^3-3x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2}{x}^2-6x$

f'(2) = $\frac{9}{2}\cdot 2^2-6\cdot 2$ = $\frac{9}{2}\cdot 4-12$ = $18-12$ = $6$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $6$)) ≈ 80.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{20}{x}^4-23x+4$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{5}{x}^3-23$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.