$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^4-\frac{2}{3}x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3}{x}^3-\frac{2}{3}$

$\text{f(x)}=$0

=>$\text{f'(x)}=$0

f'( $0$) = 0 = 0 = 0

$\text{f(x)}=$ $-3x^3+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+2$

f'(1) = $-9\cdot 1^2+2$ = $-9\cdot 1+2$ = $-9+2$ = $-7$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{x^4}+4\cdot \sin \left(x\right)$

= $-3x^{-4}+4\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $12x^{-5}+4\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{12}{x^5}+4\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-9x^4-\frac{3}{\sqrt{x}}$

= $-9x^4-3x^{-\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-36x^3+\frac{3}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-36x^3+\frac{3}{2{\left(\sqrt{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3t}{x^2}+x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6t}{x^3}+2x$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{6t}{{\left(-1\right)}^3}+2\cdot \left(-1\right)$
= $6t-2$

Dieser Wert soll ja den Wert $-38$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+x-3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3+1+0$

f'(0) = $-0^3+1$ = $-0+1$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-23x-9$ ab:

f'(x) = $3x^3-23$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 86.19 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(86.19°) ≈ 15.016

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^4+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-12x^3+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-12\cdot 0^3+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 15.016 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 15 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-5$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-5$ = $1$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-1$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-1$ = $-7$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $1$) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-7$) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 45° - ( - 81.9 )° ≈ 126.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 126.9° = 53.1° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}x-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3+\frac{1}{2}+0$

f'(-1) = $-{\left(-1\right)}^3+\frac{1}{2}$ = $-\left(-1\right)+\frac{1}{2}$ = $1+\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $\frac{3}{2}$)) ≈ 56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{28}{x}^4-146x-7$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{7}{x}^3-146$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.