$\text{f(x)}=$ $3x^5-3x^4$

$\text{f'(x)}=$ $15x^4-12x^3$

$\text{f(x)}=$ $3x+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $3+0$

= $3$

f'(0) = $3$

$\text{f(x)}=$ $2x^2-x$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x-1$

f'(0) = $4\cdot 0-1$ = $0-1$ = $-1$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{x^4}+\sin \left(x\right)$

= $-5x^{-4}+\sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $20x^{-5}+\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{20}{x^5}+\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-9\sqrt{x}$

= $-9x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{9}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $3x^4+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $12x^3+2t$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $12\cdot 1^3+2t$
= $12+2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $16$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-x^3-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x^3-3x^2+0$

f'(2) = $2\cdot 2^3-3\cdot 2^2$ = $2\cdot 8-3\cdot 4$ = $16-12$ = $4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $4$)) ≈ 76°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-8$ ab:

f'(x) = $x^3$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 78.69 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(78.69°) ≈ 5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^2+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-4\cdot 0+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 5 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+4$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+4$ = $6$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+4$ = $2$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $6$) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $2$) ≈ 63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 80.5° - 63.4° ≈ 17.1°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$

f'(1) = $-\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}$ = $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+13x+2$ ab:

f'(x) = $2x^3+13$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.