Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{8} x^{4} - \frac{1}{3} x^{2}$ und vereinfache:

$f(x) =$ $- \frac{3}{8} x^{4} - \frac{1}{3} x^{2}$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{3} - \frac{2}{3} x$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \cdot \sin (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $\frac{1}{2} π$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \cdot \sin (x)$

=> $f'(x) =$ $5 \cdot \cos (x)$

f'( $\frac{1}{2} π$ ) = $5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π)$ = $5 \cdot 0$ = 0

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} - 5 x^{3}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{4} - 5 x^{3}$

=> $f'(x) =$ $- 12 x^{3} - 15 x^{2}$

f'(-1) = $- 12 \cdot {(- 1)}^{3} - 15 \cdot {(- 1)}^{2}$ = $- 12 \cdot (- 1) - 15 \cdot 1$ = $12 - 15$ = $- 3$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \cdot \cos (x) - \frac{3}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \cdot \cos (x) - \frac{3}{x^{2}}$

= $- 5 \cdot \cos (x) - 3 x^{- 2}$

=> f'(x) = $5 \cdot \sin (x) + 6 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $5 \cdot \sin (x) + \frac{6}{x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \sqrt{x} - 6 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} \sqrt{x} - 6 x^{4}$

= $- \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} - 6 x^{4}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{2}} - 24 x^{3}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{4 \sqrt{x}} - 24 x^{3}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $t \sqrt{x} - 3 x^{2}$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $- \frac{9}{2}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t \sqrt{x} - 3 x^{2}$

= $t x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2}$

=> f'(x)= $\frac{1}{2} t x^{- \frac{1}{2}} - 6 x$

=> $f'(x) =$ $\frac{t}{2 \sqrt{x}} - 6 x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2} - 6 \cdot 1$
= $\frac{t}{2} - 6 \cdot 1$
= $\frac{1}{2} t - 6$

Dieser Wert soll ja den Wert $- \frac{9}{2}$ besitzen, also gilt:

$\frac{1}{2} t - 6$	=	$- \frac{9}{2}$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} t - 6)$	=	$- 9$
$t - 12$	=	$- 9$	\| $+ 12$
$t$	=	$3$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{3} + 3 x^{2} + 5$ im Punkt P(3|f(3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{3} + 3 x^{2} + 5$

=> $f'(x) =$ $- \frac{9}{2} x^{2} + 6 x + 0$

f'(3) = $- \frac{9}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3$ = $- \frac{9}{2} \cdot 9 + 18$ = $- \frac{81}{2} + 18$ = $- \frac{45}{2}$ ≈ -22.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $- \frac{45}{2}$ )) ≈ -87.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - 10 x - 4$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - 10 x - 4$ ab:

f'(x) = $x^{3} - 10$

Es muss gelten:

$x^{3} - 10$	=	$- 2$	\| $+ 10$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- x^{2} + \frac{1}{5} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 57.99 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 57.99 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(57.99°) ≈ 1.6

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- x^{2} + \frac{1}{5} t x$

=> $f'(x) =$ $- 2 x + \frac{1}{5} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 2 \cdot 0 + \frac{1}{5} t$
= $\frac{1}{5} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.6 betragen, also gilt:

$\frac{1}{5} t$	=	$1,6$	\|⋅ 5
$t$	=	$8$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 8 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 3 x - 2$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 3 x$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + 3 x - 2

=

- x^{2} + 3 x

|

- (- x^{2} + 3 x)

x^{4} + x^{2} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 3$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $4 \cdot 1^{3} + 3$ = $7$

$g'(x) =$ $- 2 x + 3$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 + 3$ = $1$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ ): α = arctan( $7$ ) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ ) gilt: β = arctan( $1$ ) ≈ 45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 81.9° - 45° ≈ 36.9°

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x$

=> $f'(x) =$ $- \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$

f'(-2) = $- \frac{1}{2} \cdot (- 2) - \frac{1}{2}$ = $1 - \frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $\frac{1}{2}$ )) ≈ 26.6°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 8$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 8$ ab:

f'(x) = $x$

Es muss gelten:

x

=

2

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts