$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^4+4x$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3}{x}^3+4$

$\text{f(x)}=$ $-\cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $\sin \left(x\right)$

f'( $0$) = $\sin \left(0\right)$ = 0

$\text{f(x)}=$ $4x+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $4+0$

= $4$

f'(2) = $4$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}$

= $-2x^{-3}$

=> f'(x) = $6x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $2x^5+\frac{1}{4}\sqrt{x}$

= $2x^5+\frac{1}{4}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $10x^4+\frac{1}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $10x^4+\frac{1}{8\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2t}{x}-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2t}{x^2}-2$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{2t}{1^2}-2$
= $-2t-2$

Dieser Wert soll ja den Wert $-6$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2-3x$

f'(-2) = $-\frac{3}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-3\cdot \left(-2\right)$ = $-\frac{3}{2}\cdot 4+6$ = $-6+6$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+4x-1$ ab:

f'(x) = $x^3+4$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 63.43 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(63.43°) ≈ 2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^3+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-9\cdot 0^2+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+6$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+6$ = $8$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+4$ = $2$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $8$) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $2$) ≈ 63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 82.9° - 63.4° ≈ 19.5°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^3+\frac{1}{2}x-6$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{1}{2}+0$

f'(-3) = $-\frac{3}{4}\cdot {\left(-3\right)}^2+\frac{1}{2}$ = $-\frac{3}{4}\cdot 9+\frac{1}{2}$ = $-\frac{27}{4}+\frac{1}{2}$ = $-\frac{25}{4}$ ≈ -6.25

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-\frac{25}{4}$)) ≈ -80.9°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+5x-7$ ab:

f'(x) = $x+5$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.