$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+5$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+0$

= $x^2$

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $0$) = $-5\cdot \sin \left(0\right)$ = $-5\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $4x^5+x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $20x^4+3x^2$

f'(0) = $20\cdot 0^4+3\cdot 0^2$ = $20\cdot 0+3\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $\frac{6}{x^4}$

= $6x^{-4}$

=> f'(x) = $-24x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{24}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $-5x^3-\sqrt{x}$

= $-5x^3-x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-15x^2-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-15x^2-\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $6\sqrt{x}+tx$

= $6x^{\frac{1}{2}}+tx$

=> f'(x)= $3x^{-\frac{1}{2}}+t$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{\sqrt{x}}+t$

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{3}{\sqrt{4}}+t$
= $\frac{3}{2}+t$
= $\frac{3}{2}+t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{7}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2-x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x-1$

f'(-3) = $-\frac{1}{2}\cdot \left(-3\right)-1$ = $\frac{3}{2}-1$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $\frac{1}{2}$)) ≈ 26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+19x-5$ ab:

f'(x) = $3x+19$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 80.54 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(80.54°) ≈ 6.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^4+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $12x^3+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $12\cdot 0^3+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 6.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 12 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+2x-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-8\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+3$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+3$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-1$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-1$ = $-5$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 81.9° - ( - 78.7 )° ≈ 160.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 160.6° = 19.4° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-x^3-6$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x^3-3x^2+0$

f'(0) = $2\cdot 0^3-3\cdot 0^2$ = $2\cdot 0-3\cdot 0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{16}{x}^4-49x-8$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{4}{x}^3-49$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.