$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{5}{x}^5-\frac{1}{2}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-x^4-x$

$\text{f(x)}=$ $x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2$

f'(1) = $3\cdot 1^2$ = $3\cdot 1$ = $3$

$\text{f(x)}=$ $x^4-2x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3-4x$

f'(-1) = $4\cdot {\left(-1\right)}^3-4\cdot \left(-1\right)$ = $4\cdot \left(-1\right)+4$ = $-4+4$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4x^4}-\frac{3}{2}{x}^4$

= $-\frac{1}{4}{x}^{-4}-\frac{3}{2}{x}^4$

=> f'(x) = $x^{-5}-6x^3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{x^5}-6x^3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{\sqrt{x}}$

= $-2x^{-\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $x^{-\frac{3}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $t{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2-5x$

= $t{x}^{\frac{2}{3}}-5x$

=> f'(x)= $\frac{2}{3}t{x}^{-\frac{1}{3}}-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2t}{3\sqrt[3]{x}}-5$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{2t}{3\cdot \sqrt[3]{1}}-5$
= $\frac{2t}{3}-5$
= $\frac{2}{3}t-5$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{11}{3}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x-2$

f'(3) = $3\cdot 3-2$ = $9-2$ = $7$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $7$)) ≈ 81.9°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-9x+5$ ab:

f'(x) = $x^3-9$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 80.54 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(80.54°) ≈ 6.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^4+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-8x^3+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-8\cdot 0^3+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 6.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-2$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+2$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+2$ = $6$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+2$ = $-2$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $6$) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-2$) ≈ -63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 80.5° - ( - 63.4 )° ≈ 143.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 143.9° = 36.1° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}x+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+0$

f'(2) = $\frac{1}{2}\cdot 2-\frac{1}{2}$ = $1-\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $\frac{1}{2}$)) ≈ 26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+6x+9$ ab:

f'(x) = $x+6$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.