$\text{f(x)}=$ $3x^4-x$

$\text{f'(x)}=$ $12x^3-1$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-\frac{3}{2}\cdot 1$ = $-\frac{3}{2}$ ≈ -1.5

$\text{f(x)}=$ $x-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $1+0$

= $1$

f'(0) = $1$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{x^2}-\frac{3}{2}{x}^2$

= $-5x^{-2}-\frac{3}{2}{x}^2$

=> f'(x) = $10x^{-3}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{10}{x^3}-3x$

$\text{f(x)}=$ $-x^5$

$\text{f'(x)}=$ $-5x^4$

$\text{f(x)}=$ $-4x^3+3tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-12x^2+3t$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-12\cdot 1^2+3t$
= $-12+3t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-21$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $x^3-x+0$

f'(0) = $0^3-0$ = $0+0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-7x-6$ ab:

f'(x) = $x-7$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -83.66 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-83.66°) ≈ -9

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^3+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $6\cdot 0^2+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -9 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -9 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+4$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+4$ = $8$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+4$ = $2$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $8$) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $2$) ≈ 63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 82.9° - 63.4° ≈ 19.5°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+2$

f'(2) = $-4\cdot 2^3+2$ = $-4\cdot 8+2$ = $-32+2$ = $-30$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-30$)) ≈ -88.1°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-3x-7$ ab:

f'(x) = $x^3-3$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.