$\text{f(x)}=$ $-4x^3+\frac{1}{6}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2+\frac{1}{3}x$

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $-5\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-5\cdot 1$ = $-5$

$\text{f(x)}=$ $5x-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $5+0$

= $5$

f'(1) = $5$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(\sqrt{x}\right)}^3$

= $3x^{\frac{3}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{9}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2}\sqrt{x}$

$\text{f(x)}=$ $5t\cdot \sin \left(x\right)-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $5t\cdot \cos \left(x\right)-2$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5t\cdot \cos \left(0\right)-2$
= $5t\cdot 1-2$
= $5t-2$

Dieser Wert soll ja den Wert $13$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^4-\frac{3}{2}x+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3-\frac{3}{2}+0$

f'(1) = $4\cdot 1^3-\frac{3}{2}$ = $4\cdot 1-\frac{3}{2}$ = $4-\frac{3}{2}$ = $\frac{5}{2}$ ≈ 2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $\frac{5}{2}$)) ≈ 68.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4+7x-8$ ab:

f'(x) = $x^3+7$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -38.66 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-38.66°) ≈ -0.8

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^2+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4\cdot 0+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -0.8 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-3$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-3$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-3$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-3$ = $-9$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-9$) ≈ -83.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 71.6° - ( - 83.7 )° ≈ 155.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 155.3° = 24.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+0$

f'(0) = $-\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}$ = $0+\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $\frac{1}{2}$)) ≈ 26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+2x+2$ ab:

f'(x) = $x+2$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.