$\text{f(x)}=$ $-4x^4+\frac{4}{9}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-16x^3+\frac{4}{3}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{x^3}$

= $-4x^{-3}$

=> f'(x) = $12x^{-4}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{12}{x^4}$

f'(2) = $\frac{12}{2^4}$ = $12\cdot \left(\frac{1}{16}\right)$ = $\frac{3}{4}$ ≈ 0.75

$\text{f(x)}=$ $-5x^4-3x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-20x^3-6x$

f'(0) = $-20\cdot 0^3-6\cdot 0$ = $-20\cdot 0+0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{4x^2}$

= $\frac{7}{4}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $-\frac{7}{2}{x}^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{2x^3}$

$\text{f(x)}=$ $4\sqrt{x}$

= $4x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $3t{x}^3+5x$

=>$\text{f'(x)}=$ $9t{x}^2+5$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $9t\cdot 2^2+5$
= $36t+5$

Dieser Wert soll ja den Wert $185$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-3x+0$

f'(0) = $\frac{3}{2}\cdot 0^2-3\cdot 0$ = $\frac{3}{2}\cdot 0+0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{16}{x}^4-46x-6$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{4}{x}^3-46$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -45 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-45°) ≈ -1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^4+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $12x^3+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $12\cdot 0^3+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -3 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-4$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-4$ = $2$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-2$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-2$ = $-8$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $2$) ≈ 63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-8$) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 63.4° - ( - 82.9 )° ≈ 146.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 146.3° = 33.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+3x-3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x+3+0$

f'(2) = $-3\cdot 2+3$ = $-6+3$ = $-3$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-3$)) ≈ -71.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+14x+6$ ab:

f'(x) = $2x^3+14$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.