$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+\frac{2}{3}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-x^3+2x^2$

$\text{f(x)}=$ $3x^2+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x+0$

= $6x$

f'(0) = $6\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+0$

= $-6x^2$

f'(0) = $-6\cdot 0^2$ = $-6\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^2}$

= $x^{-2}$

=> f'(x) = $-2x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt{x}-4x^3$

= $3x^{\frac{1}{2}}-4x^3$

=> f'(x) = $\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}-12x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{x}}-12x^2$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)+5tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)+5t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{1}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-3\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)+5t$
= $-3\cdot 1+5t$
= $-3+5t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-33$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^4-2x^3+5$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^3-6x^2+0$

f'(0) = $6\cdot 0^3-6\cdot 0^2$ = $6\cdot 0-6\cdot 0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+11x+5$ ab:

f'(x) = $2x+11$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -80.54 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-80.54°) ≈ -6.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^3+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-9\cdot 0^2+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -6.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -12 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2x-2$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2\cdot 1-2$ = $4$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-2$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-2$ = $-4$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $4$) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-4$) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 76° - ( - 76 )° ≈ 152°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 152° = 28° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3+x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+1$

f'(-1) = $-\frac{3}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2+1$ = $-\frac{3}{2}\cdot 1+1$ = $-\frac{3}{2}+1$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{8}{x}^4-33x+7$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^3-33$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.