$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{15}{x}^5+\frac{1}{2}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3}{x}^4+x$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $4\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $4\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-5x-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-5+0$

= $-5$

f'(4) = $-5$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{2x^2}$

= $-\frac{5}{2}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $5x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-5\sqrt[4]{x}-3x^4$

= $-5x^{\frac{1}{4}}-3x^4$

=> f'(x) = $-\frac{5}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}-12x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-12x^3$

$\text{f(x)}=$ $3x^5+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $15x^4+t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $15\cdot {\left(-2\right)}^4+t$
= $240+t$

Dieser Wert soll ja den Wert $244$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+\frac{3}{2}{x}^3-3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+\frac{9}{2}{x}^2+0$

f'(0) = $-4\cdot 0^3+\frac{9}{2}\cdot 0^2$ = $-4\cdot 0+\frac{9}{2}\cdot 0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+17x-2$ ab:

f'(x) = $2x^3+17$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 33.69 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(33.69°) ≈ 0.667

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^3+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $9x^2+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $9\cdot 0^2+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 0.667 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 2 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3$ = $6$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+4$ = $-2$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $6$) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-2$) ≈ -63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 80.5° - ( - 63.4 )° ≈ 143.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 143.9° = 36.1° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^4-3x^2+6$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^3-6x+0$

f'(-1) = $6\cdot {\left(-1\right)}^3-6\cdot \left(-1\right)$ = $6\cdot \left(-1\right)+6$ = $-6+6$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{20}{x}^4-28x+3$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{5}{x}^3-28$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.