$\text{f(x)}=$ $-x^5+\frac{1}{2}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-5x^4+x$

$\text{f(x)}=$ $x^5-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $5x^4+0$

= $5x^4$

f'(1) = $5\cdot 1^4$ = $5\cdot 1$ = $5$

$\text{f(x)}=$ $2x^2+3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x+3$

f'(3) = $4\cdot 3+3$ = $12+3$ = $15$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{x^3}$

= $-x^{-3}$

=> f'(x) = $3x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{x}$

= $-2x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)+4tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+4t$

Jetzt setzen wir x = $-\frac{3}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2\cdot \sin \left(\left(-\frac{3}{2}\pi \right)\right)+4t$
= $2\cdot 1+4t$
= $2+4t$

Dieser Wert soll ja den Wert $10$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^3+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x^3+\frac{9}{2}{x}^2+0$

f'(-1) = $2\cdot {\left(-1\right)}^3+\frac{9}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $2\cdot \left(-1\right)+\frac{9}{2}\cdot 1$ = $-2+\frac{9}{2}$ = $\frac{5}{2}$ ≈ 2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $\frac{5}{2}$)) ≈ 68.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-6x+7$ ab:

f'(x) = $x-6$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 75.96 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(75.96°) ≈ 3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-3\cdot 0^2+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.999 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-4$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1-4$ = $-2$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-4$ = $-6$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $-2$) ≈ -63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-6$) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = -63.4° - ( - 80.5 )° ≈ 17.1°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3-3x^2+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}{x}^2-6x+0$

f'(-3) = $-\frac{9}{2}\cdot {\left(-3\right)}^2-6\cdot \left(-3\right)$ = $-\frac{9}{2}\cdot 9+18$ = $-\frac{81}{2}+18$ = $-\frac{45}{2}$ ≈ -22.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-\frac{45}{2}$)) ≈ -87.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-84x-6$ ab:

f'(x) = $3x^3-84$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.