$\text{f(x)}=$ $-4x^3-2x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2-4x$

$\text{f(x)}=$0

=>$\text{f'(x)}=$0

f'(1) = 0 = 0 = 0

$\text{f(x)}=$ $-5x^3-5x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-15x^2-5$

f'(0) = $-15\cdot 0^2-5$ = $-15\cdot 0-5$ = $-5$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{x^2}+\frac{7}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

= $2x^{-2}+\frac{7}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $-4x^{-3}+\frac{7}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{x^3}+\frac{7}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{4}\sqrt{x}$

= $-\frac{7}{4}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{7}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{8\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $3x^4+3tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $12x^3+3t$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $12\cdot 1^3+3t$
= $12+3t$

Dieser Wert soll ja den Wert $24$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^4+3x-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^3+3+0$

f'(2) = $-6\cdot 2^3+3$ = $-6\cdot 8+3$ = $-48+3$ = $-45$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-45$)) ≈ -88.7°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{10}{x}^4-52x-9$ ab:

f'(x) = $\frac{2}{5}{x}^3-52$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -56.31 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-56.31°) ≈ -1.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-3\cdot 0^2+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3-4$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3-4$ = 0

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-4$ = $-6$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-6$) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 0° - ( - 80.5 )° ≈ 80.5°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$

f'(-3) = $\frac{1}{2}\cdot \left(-3\right)+\frac{1}{2}$ = $-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+5x-7$ ab:

f'(x) = $x+5$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.