$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{15}{x}^5-x^4$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3}{x}^4-4x^3$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $0$) = $-4\cdot \cos \left(0\right)$ = $-4\cdot 1$ = $-4$

$\text{f(x)}=$ $2x^3-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2+0$

= $6x^2$

f'(2) = $6\cdot 2^2$ = $6\cdot 4$ = $24$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{x^2}$

= $-x^{-2}$

=> f'(x) = $2x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-5\sqrt[4]{x}-x^4$

= $-5x^{\frac{1}{4}}-x^4$

=> f'(x) = $-\frac{5}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}-4x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-4x^3$

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \cos \left(x\right)+3tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(x\right)+3t$

Jetzt setzen wir x = $-\frac{1}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-5\cdot \sin \left(\left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)+3t$
= $-5\cdot \left(-1\right)+3t$
= $5+3t$

Dieser Wert soll ja den Wert $20$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2+x-6$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x+1+0$

f'(3) = $-\frac{1}{2}\cdot 3+1$ = $-\frac{3}{2}+1$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-3x+3$ ab:

f'(x) = $x-3$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -66.04 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-66.04°) ≈ -2.25

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^4+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4\cdot 0^3+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2.25 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -9 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-2$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1-2$ = 0

$\text{g'(x)}=$ $-2x-2$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-2$ = $-4$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-4$) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 0° - ( - 76 )° ≈ 76°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^4-2x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3-6x^2$

f'(-2) = $-4\cdot {\left(-2\right)}^3-6\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $-4\cdot \left(-8\right)-6\cdot 4$ = $32-24$ = $8$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $8$)) ≈ 82.9°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{28}{x}^4-149x-9$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{7}{x}^3-149$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.