$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{9}{x}^3+3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^2+6x$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $0$) = $-\frac{4}{3}\cdot \cos \left(0\right)$ = $-\frac{4}{3}\cdot 1$ = $-\frac{4}{3}$ ≈ -1.33

$\text{f(x)}=$ $-4x+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4+0$

= $-4$

f'(2) = $-4$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{x^4}-4\cdot \sin \left(x\right)$

= $5x^{-4}-4\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $-20x^{-5}-4\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{20}{x^5}-4\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{x}+x^2$

= $-3x^{\frac{1}{2}}+x^2$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+2x$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\sqrt{x}}+2x$

$\text{f(x)}=$ $3t\cdot \sin \left(x\right)-6x$

=>$\text{f'(x)}=$ $3t\cdot \cos \left(x\right)-6$

Jetzt setzen wir x = $-\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3t\cdot \cos \left((-\pi )\right)-6$
= $3t\cdot \left(-1\right)-6$
= $-3t-6$

Dieser Wert soll ja den Wert $6$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+2x+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x+2+0$

f'(-1) = $3\cdot \left(-1\right)+2$ = $-3+2$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+19x-9$ ab:

f'(x) = $2x^3+19$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 77.47 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(77.47°) ≈ 4.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-6\cdot 0^2+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 4.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 9 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-1$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1-1$ = $1$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-1$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-1$ = $-3$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $1$) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 45° - ( - 71.6 )° ≈ 116.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 116.6° = 63.4° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+2$

f'(-2) = $-4\cdot {\left(-2\right)}^3+2$ = $-4\cdot \left(-8\right)+2$ = $32+2$ = $34$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $34$)) ≈ 88.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{20}{x}^4-77x-2$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{5}{x}^3-77$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.