$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-5x^2$

$\text{f'(x)}=$ $2x^3-10x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^4$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^3$

f'(0) = $6\cdot 0^3$ = $6\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $5x^4+4x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $20x^3+8x$

f'(2) = $20\cdot 2^3+8\cdot 2$ = $20\cdot 8+16$ = $160+16$ = $176$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{3}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{1}{2x^4}$

= $-\frac{7}{3}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{1}{2}{x}^{-4}$

=> f'(x) = $-\frac{7}{3}\cdot \cos \left(x\right)-2x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{3}\cdot \cos \left(x\right)-\frac{2}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{4}\sqrt{x}+5x^4$

= $-\frac{7}{4}{x}^{\frac{1}{2}}+5x^4$

=> f'(x) = $-\frac{7}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}+20x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{8\sqrt{x}}+20x^3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3t}{x}-2x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3t}{x^2}-4x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{3t}{1^2}-4\cdot 1$
= $-3t-4$

Dieser Wert soll ja den Wert $11$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}x+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $x^3-\frac{1}{2}+0$

f'(0) = $0^3-\frac{1}{2}$ = $0-\frac{1}{2}$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{28}{x}^4-52x-7$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{7}{x}^3-52$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -77.47 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-77.47°) ≈ -4.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^4+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-12x^3+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-12\cdot 0^3+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -4.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -9 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-4$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-4$ = $2$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-2$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-2$ = $-8$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $2$) ≈ 63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-8$) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 63.4° - ( - 82.9 )° ≈ 146.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 146.3° = 33.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^4-2x^2-6$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^3-4x+0$

f'(-1) = $6\cdot {\left(-1\right)}^3-4\cdot \left(-1\right)$ = $6\cdot \left(-1\right)+4$ = $-6+4$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+19x-7$ ab:

f'(x) = $2x^3+19$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.