$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^4+5x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-3x^3+10x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{x}$

= $2x^{-1}$

=> f'(x) = $-2x^{-2}$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{x^2}$

f'(2) = $-\frac{2}{2^2}$ = $-2\cdot \left(\frac{1}{4}\right)$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

$\text{f(x)}=$ $x^4+5x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+15x^2$

f'(2) = $4\cdot 2^3+15\cdot 2^2$ = $4\cdot 8+15\cdot 4$ = $32+60$ = $92$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{3x^3}$

= $-\frac{7}{3}{x}^{-3}$

=> f'(x) = $7x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{x^4}$

$\text{f(x)}=$0

=0

=> f'(x) = 0

$\text{f'(x)}=$0

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt[3]{x}+6x^2$

= $t{x}^{\frac{1}{3}}+6x^2$

=> f'(x)= $\frac{1}{3}t{x}^{-\frac{2}{3}}+12x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+12x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{3{\left(\sqrt[3]{1}\right)}^2}+12\cdot 1$
= $\frac{t}{3\cdot 1^2}+12\cdot 1$
= $\frac{1}{3}t+12$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{34}{3}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-x^2+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x^3-2x+0$

f'(-1) = $2\cdot {\left(-1\right)}^3-2\cdot \left(-1\right)$ = $2\cdot \left(-1\right)+2$ = $-2+2$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{16}{x}^4-46x-3$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{4}{x}^3-46$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 75.96 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(75.96°) ≈ 3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^4+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4\cdot 0^3+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.999 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 8 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-2$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-4$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2-4$ = 0

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-4$ = $-8$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-8$) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 0° - ( - 82.9 )° ≈ 82.9°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+2x-6$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+2+0$

f'(1) = $-4\cdot 1^3+2$ = $-4\cdot 1+2$ = $-4+2$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4+27x+6$ ab:

f'(x) = $3x^3+27$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.