$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{10}{x}^5-2x$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^4-2$

$\text{f(x)}=$ $-2x-4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2+0$

= $-2$

f'(-1) = $-2$

$\text{f(x)}=$ $4x+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $4+0$

= $4$

f'(1) = $4$

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{x^2}+2\cdot \cos \left(x\right)$

= $4x^{-2}+2\cdot \cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $-8x^{-3}-2\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{8}{x^3}-2\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\sqrt{x}-5x^4$

= $-\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}}-5x^4$

=> f'(x) = $-\frac{1}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}-20x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{4\sqrt{x}}-20x^3$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt{x}+2x$

= $t{x}^{\frac{1}{2}}+2x$

=> f'(x)= $\frac{1}{2}t{x}^{-\frac{1}{2}}+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{2\sqrt{x}}+2$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2}+2$
= $\frac{t}{2}+2$
= $\frac{1}{2}t+2$

Dieser Wert soll ja den Wert $5$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^4+2x-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^3+2+0$

f'(1) = $-6\cdot 1^3+2$ = $-6\cdot 1+2$ = $-6+2$ = $-4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $-4$)) ≈ -76°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-x-2$ ab:

f'(x) = $2x^3-1$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 45 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(45°) ≈ 1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^2+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-4\cdot 0+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3-3$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3-3$ = $1$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-3$ = $-5$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $1$) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 45° - ( - 78.7 )° ≈ 123.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 123.7° = 56.3° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}x-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{3}{2}+0$

f'(0) = $-\frac{3}{2}\cdot 0^2+\frac{3}{2}$ = $-\frac{3}{2}\cdot 0+\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $\frac{3}{2}$)) ≈ 56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{8}{x}^4-33x+5$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^3-33$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.