$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{5}{x}^5-x^3$

$\text{f'(x)}=$ $2x^4-3x^2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $\frac{1}{2}\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $\frac{1}{2}\cdot 1$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

$\text{f(x)}=$ $4x^5-5x^4$

=>$\text{f'(x)}=$ $20x^4-20x^3$

f'(1) = $20\cdot 1^4-20\cdot 1^3$ = $20\cdot 1-20\cdot 1$ = $20-20$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-\frac{9}{4}\cdot \sin \left(x\right)-\frac{2}{x^4}$

= $-\frac{9}{4}\cdot \sin \left(x\right)-2x^{-4}$

=> f'(x) = $-\frac{9}{4}\cdot \cos \left(x\right)+8x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{4}\cdot \cos \left(x\right)+\frac{8}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $-4\sqrt[4]{x}$

= $-4x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $-x^{-\frac{3}{4}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3t}{x^2}+2x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6t}{x^3}+4x$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{6t}{{\left(-1\right)}^3}+4\cdot \left(-1\right)$
= $6t-4$

Dieser Wert soll ja den Wert $-22$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $x^3-x$

f'(1) = $1^3-1$ = $1-1$ = $1-1$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{28}{x}^4-46x+5$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{7}{x}^3-46$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 75.96 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(75.96°) ≈ 3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^2+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $6\cdot 0+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.999 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+3x-4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·1·\left(-4\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+9$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+9$ = $11$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+3$ = $1$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $11$) ≈ 84.8°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $1$) ≈ 45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 84.8° - 45° ≈ 39.8°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^4-2x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3-4x$

f'(1) = $4\cdot 1^3-4\cdot 1$ = $4\cdot 1-4$ = $4-4$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{20}{x}^4-73x+3$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{5}{x}^3-73$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.