$\text{f(x)}=$ $x^5+\frac{1}{2}x$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4+\frac{1}{2}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{3}{x}^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^2$

f'(-1) = $-4\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $-4\cdot 1$ = $-4$

$\text{f(x)}=$ $x^3+5x$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2+5$

f'(2) = $3\cdot 2^2+5$ = $3\cdot 4+5$ = $12+5$ = $17$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^4}-\frac{1}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

= $-2x^{-4}-\frac{1}{3}\cdot \cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $8x^{-5}+\frac{1}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{x^5}+\frac{1}{3}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-7\sqrt{x}$

= $-7x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{7}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3t}{x^3}+3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9t}{x^4}+3$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{9t}{1^4}+3$
= $-9t+3$

Dieser Wert soll ja den Wert $-33$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3+2x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}{x}^2+4x$

f'(2) = $-\frac{9}{2}\cdot 2^2+4\cdot 2$ = $-\frac{9}{2}\cdot 4+8$ = $-18+8$ = $-10$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-10$)) ≈ -84.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-20x-2$ ab:

f'(x) = $3x-20$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 50.19 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(50.19°) ≈ 1.2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^4+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $12x^3+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $12\cdot 0^3+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-3$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-2$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-2$ = $4$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-2$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-2$ = $-8$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $4$) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-8$) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 76° - ( - 82.9 )° ≈ 158.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 158.9° = 21.1° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x+7$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+0$

f'(-1) = $\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)+\frac{1}{2}$ = $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+12x-5$ ab:

f'(x) = $3x+12$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.