$\text{f(x)}=$ $x^5+4$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4+0$

= $5x^4$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $0$) = $-4\cdot \cos \left(0\right)$ = $-4\cdot 1$ = $-4$

$\text{f(x)}=$ $-2x^5+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-10x^4+0$

= $-10x^4$

f'(0) = $-10\cdot 0^4$ = $-10\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{x^3}$

= $-x^{-3}$

=> f'(x) = $3x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^5-\sqrt{x}$

= $\frac{3}{2}{x}^5-x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{15}{2}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{15}{2}{x}^4-\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $t\sqrt{x}+x^2$

= $t{x}^{\frac{1}{2}}+x^2$

=> f'(x)= $\frac{1}{2}t{x}^{-\frac{1}{2}}+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{t}{2\sqrt{x}}+2x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2}+2\cdot 1$
= $\frac{t}{2}+2\cdot 1$
= $\frac{1}{2}t+2$

Dieser Wert soll ja den Wert $1$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2-x$

f'(-3) = $-\frac{3}{4}\cdot {\left(-3\right)}^2-\left(-3\right)$ = $-\frac{3}{4}\cdot 9+3$ = $-\frac{27}{4}+3$ = $-\frac{15}{4}$ ≈ -3.75

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-\frac{15}{4}$)) ≈ -75.1°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+21x-9$ ab:

f'(x) = $3x+21$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -71.57 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-71.57°) ≈ -3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-3\cdot 0^2+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-2$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1-2$ = 0

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-4$ = $-6$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-6$) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 0° - ( - 80.5 )° ≈ 80.5°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+x^3+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x^3+3x^2+0$

f'(-1) = $2\cdot {\left(-1\right)}^3+3\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $2\cdot \left(-1\right)+3\cdot 1$ = $-2+3$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-9x-8$ ab:

f'(x) = $x-9$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.