Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{3} + 5 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{3} + 5 x^{2}$

$f'(x) =$ $- 9 x^{2} + 10 x$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{x^{3}}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{x^{3}}$

= $3 x^{- 3}$

=> f'(x) = $- 9 x^{- 4}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{9}{x^{4}}$

f'(1) = $- \frac{9}{1^{4}}$ = $- 9 \cdot 1$ = $- 9$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{5} + 2 x^{4}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{5} + 2 x^{4}$

=> $f'(x) =$ $- 10 x^{4} + 8 x^{3}$

f'(1) = $- 10 \cdot 1^{4} + 8 \cdot 1^{3}$ = $- 10 \cdot 1 + 8 \cdot 1$ = $- 10 + 8$ = $- 2$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{2 x^{3}} - 4 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{5}{2 x^{3}} - 4 x^{5}$

= $- \frac{5}{2} x^{- 3} - 4 x^{5}$

=> f'(x) = $\frac{15}{2} x^{- 4} - 20 x^{4}$

$f'(x) =$ $\frac{15}{2 x^{4}} - 20 x^{4}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{3} \sqrt{x} - \frac{9}{2} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{3} \sqrt{x} - \frac{9}{2} x^{2}$

= $- \frac{7}{3} x^{\frac{1}{2}} - \frac{9}{2} x^{2}$

=> f'(x) = $- \frac{7}{6} x^{- \frac{1}{2}} - 9 x$

$f'(x) =$ $- \frac{7}{6 \sqrt{x}} - 9 x$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 \cdot \sin (x) + 4 t x$ im Punkt ( $π$ |f_t( $π$ )) den Wert $6$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (x) + 4 t x$

=> $f'(x) =$ $2 \cdot \cos (x) + 4 t$

Jetzt setzen wir x = $π$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2 \cdot \cos (π) + 4 t$
= $2 \cdot (- 1) + 4 t$
= $- 2 + 4 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $6$ besitzen, also gilt:

$4 t - 2$	=	$6$	\| $+ 2$
$4 t$	=	$8$	\|: $4$
$t$	=	$2$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} + x^{2}$ im Punkt P(-3|f(-3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} + x^{2}$

=> $f'(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 2 x$

f'(-3) = $\frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3)$ = $\frac{3}{2} \cdot 9 - 6$ = $\frac{27}{2} - 6$ = $\frac{15}{2}$ ≈ 7.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $\frac{15}{2}$ )) ≈ 82.4°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{16} x^{4} - 50 x + 6$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{16} x^{4} - 50 x + 6$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{4} x^{3} - 50$

Es muss gelten:

$\frac{3}{4} x^{3} - 50$	=	$- 2$	\| $+ 50$
$\frac{3}{4} x^{3}$	=	$48$	\|⋅ $\frac{4}{3}$
$x^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{4} + t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -83.66 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -83.66 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-83.66°) ≈ -9

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $2 x^{4} + t x$

=> $f'(x) =$ $8 x^{3} + t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $8 \cdot 0^{3} + t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -9 betragen, also gilt:

t

=

- 9

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -9 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - x + 2$ und $g(x) =$ $- x^{2} - x + 4$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} - x + 2$	=	$- x^{2} - x + 4$	\| $- 2$
$x^{2} - x$	=	$- x^{2} - x + 2$	\| $+ x^{2}$ $+ x$
$2 x^{2}$	=	$2$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 1$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 - 1$ = $1$

$g'(x) =$ $- 2 x - 1$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 - 1$ = $- 3$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ ): α = arctan( $1$ ) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ ) gilt: β = arctan( $- 3$ ) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 45° - ( - 71.6 )° ≈ 116.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 116.6° = 63.4° .

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{3} + 2 x^{2} + 5$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{3} + 2 x^{2} + 5$

=> $f'(x) =$ $\frac{9}{2} x^{2} + 4 x + 0$

f'(-2) = $\frac{9}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2)$ = $\frac{9}{2} \cdot 4 - 8$ = $18 - 8$ = $10$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $10$ )) ≈ 84.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an die den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{28} x^{4} - 145 x - 4$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{28} x^{4} - 145 x - 4$ ab:

f'(x) = $- \frac{3}{7} x^{3} - 145$

Es muss gelten:

$- \frac{3}{7} x^{3} - 145$	=	$2$	\| $+ 145$
$- \frac{3}{7} x^{3}$	=	$147$	\|⋅ $(- \frac{7}{3})$
$x^{3}$	=	$- 343$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{343}$	= $- 7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Aufgabenbeispiele von ganzrationale Fktn.

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts