$\text{f(x)}=$ $-3x^5-x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-15x^4-2x$

$\text{f(x)}=$ $6x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $12x$

f'(0) = $12\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-x^3-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+0$

= $-3x^2$

f'(0) = $-3\cdot 0^2$ = $-3\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{4x}$

= $-\frac{5}{4}{x}^{-1}$

=> f'(x) = $\frac{5}{4}{x}^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{4x^2}$

$\text{f(x)}=$ $-x^5+5\sqrt{x}$

= $-x^5+5x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-5x^4+\frac{5}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-5x^4+\frac{5}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $6\sqrt[3]{x}+tx$

= $6x^{\frac{1}{3}}+tx$

=> f'(x)= $2x^{-\frac{2}{3}}+t$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+t$

Jetzt setzen wir x = 8 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{2}{{\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2}+t$
= $\frac{2}{2^2}+t$
= $\frac{2}{4}+t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{9}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^4+3x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^3+6x$

f'(1) = $-6\cdot 1^3+6\cdot 1$ = $-6\cdot 1+6$ = $-6+6$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{20}{x}^4-23x+2$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{5}{x}^3-23$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 38.66 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(38.66°) ≈ 0.8

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^3+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3\cdot 0^2+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 0.8 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+5$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+5$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+3$ = $1$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $1$) ≈ 45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 81.9° - 45° ≈ 36.9°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2-x$

f'(-3) = $-\frac{3}{4}\cdot {\left(-3\right)}^2-\left(-3\right)$ = $-\frac{3}{4}\cdot 9+3$ = $-\frac{27}{4}+3$ = $-\frac{15}{4}$ ≈ -3.75

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-\frac{15}{4}$)) ≈ -75.1°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{20}{x}^4-28x+8$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{5}{x}^3-28$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.