$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-x$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $0$) = $-\frac{1}{4}\cdot \cos \left(0\right)$ = $-\frac{1}{4}\cdot 1$ = $-\frac{1}{4}$ ≈ -0.25

$\text{f(x)}=$ $-3x^3+4x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+4$

f'(1) = $-9\cdot 1^2+4$ = $-9\cdot 1+4$ = $-9+4$ = $-5$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{x^3}$

= $-4x^{-3}$

=> f'(x) = $12x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{12}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\sqrt{x}$

= $\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $5x^3+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $15x^2+t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $15\cdot {\left(-2\right)}^2+t$
= $60+t$

Dieser Wert soll ja den Wert $63$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^2+\frac{3}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x+\frac{3}{2}$

f'(-1) = $2\cdot \left(-1\right)+\frac{3}{2}$ = $-2+\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-5x+5$ ab:

f'(x) = $3x^3-5$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 63.43 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(63.43°) ≈ 2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^4+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4\cdot 0^3+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3-4$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3-4$ = 0

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-4$ = $-6$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-6$) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 0° - ( - 80.5 )° ≈ 80.5°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+3x+6$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x+3+0$

f'(-2) = $3\cdot \left(-2\right)+3$ = $-6+3$ = $-3$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-3$)) ≈ -71.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-27x-5$ ab:

f'(x) = $3x^3-27$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.