$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^3+x$

$\text{f'(x)}=$ $-x^2+1$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{2}{x}^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{15}{2}{x}^2$

f'(-1) = $\frac{15}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $\frac{15}{2}\cdot 1$ = $\frac{15}{2}$ ≈ 7.5

$\text{f(x)}=$ $-3x+5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3+0$

= $-3$

f'(2) = $-3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{8}{x^4}-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

= $-8x^{-4}-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $32x^{-5}+\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{32}{x^5}+\frac{1}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $4x^2+3\sqrt{x}$

= $4x^2+3x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $8x+\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $8x+\frac{3}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-6\sqrt[3]{x}+tx$

= $-6x^{\frac{1}{3}}+tx$

=> f'(x)= $-2x^{-\frac{2}{3}}+t$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+t$

Jetzt setzen wir x = 8 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{2}{{\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2}+t$
= $-\frac{2}{2^2}+t$
= $-\frac{2}{4}+t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{9}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^2+6$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3+3x+0$

f'(2) = $-2\cdot 2^3+3\cdot 2$ = $-2\cdot 8+6$ = $-16+6$ = $-10$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-10$)) ≈ -84.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+5x+8$ ab:

f'(x) = $3x+5$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -63.43 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-63.43°) ≈ -2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-4\cdot 0^3+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2x-1$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2\cdot 1-1$ = $5$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-1$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-1$ = $-3$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $5$) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 78.7° - ( - 71.6 )° ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+\frac{3}{2}x+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\frac{3}{2}+0$

f'(2) = $-3\cdot 2^2+\frac{3}{2}$ = $-3\cdot 4+\frac{3}{2}$ = $-12+\frac{3}{2}$ = $-\frac{21}{2}$ ≈ -10.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-\frac{21}{2}$)) ≈ -84.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{24}{x}^4-38x-7$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{6}{x}^3-38$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.