$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-2x$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3-2$

$\text{f(x)}=$ $-4x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-12x^2$

f'(-1) = $-12\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $-12\cdot 1$ = $-12$

$\text{f(x)}=$ $2x^3+5x$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2+5$

f'(3) = $6\cdot 3^2+5$ = $6\cdot 9+5$ = $54+5$ = $59$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^2}$

= $-2x^{-2}$

=> f'(x) = $4x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-x^3-4\sqrt[3]{x}$

= $-x^3-4x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $-3x^2-\frac{4}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2-\frac{4}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt[3]{x}+t{x}^2$

= $-3x^{\frac{1}{3}}+t{x}^2$

=> f'(x)= $-x^{-\frac{2}{3}}+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+2tx$

Jetzt setzen wir x = 8 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2}+2t\cdot 8$
= $-\frac{1}{2^2}+2t\cdot 8$
= $-\frac{1}{4}+16t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{191}{4}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4-x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3-3x^2$

f'(-1) = $-2\cdot {\left(-1\right)}^3-3\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $-2\cdot \left(-1\right)-3\cdot 1$ = $2-3$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{20}{x}^4-23x+5$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{5}{x}^3-23$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -75.96 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-75.96°) ≈ -3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-4\cdot 0^3+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.999 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -12 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+5$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+5$ = $9$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+3$ = $-1$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $9$) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-1$) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 83.7° - ( - 45 )° ≈ 128.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 128.7° = 51.3° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^4-2x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3-4x$

f'(-2) = $4\cdot {\left(-2\right)}^3-4\cdot \left(-2\right)$ = $4\cdot \left(-8\right)+8$ = $-32+8$ = $-24$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-24$)) ≈ -87.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+8x-7$ ab:

f'(x) = $x+8$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.