$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{12}{x}^4+5$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+0$

= $\frac{1}{3}{x}^3$

$\text{f(x)}=$ $8\cdot \cos \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-8\cdot \sin \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $-8\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-8\cdot 1$ = $-8$

$\text{f(x)}=$ $-5x+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-5+0$

= $-5$

f'(-1) = $-5$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{x^3}$

= $-3x^{-3}$

=> f'(x) = $9x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}-8x^2$

= $x^{\frac{1}{2}}-8x^2$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}-16x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}-16x$

$\text{f(x)}=$ $2t\cdot \sin \left(x\right)-5x$

=>$\text{f'(x)}=$ $2t\cdot \cos \left(x\right)-5$

Jetzt setzen wir x = $\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2t\cdot \cos \left(\pi \right)-5$
= $2t\cdot \left(-1\right)-5$
= $-2t-5$

Dieser Wert soll ja den Wert $-15$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+3x-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x+3+0$

f'(2) = $-3\cdot 2+3$ = $-6+3$ = $-3$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-3$)) ≈ -71.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-2x+4$ ab:

f'(x) = $x^3-2$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 57.99 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(57.99°) ≈ 1.6

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^4+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $8x^3+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $8\cdot 0^3+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.6 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 8 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3$ = $6$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+2$ = $-4$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $6$) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-4$) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 80.5° - ( - 76 )° ≈ 156.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 156.5° = 23.5° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2-x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x-1$

f'(-3) = $-\frac{1}{2}\cdot \left(-3\right)-1$ = $\frac{3}{2}-1$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $\frac{1}{2}$)) ≈ 26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4+22x+5$ ab:

f'(x) = $3x^3+22$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.