$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^3+2$

$\text{f'(x)}=$ $-x^2+0$

= $-x^2$

$\text{f(x)}=$ $-2x+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2+0$

= $-2$

f'(0) = $-2$

$\text{f(x)}=$ $-4x^3-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-12x^2+0$

= $-12x^2$

f'(2) = $-12\cdot 2^2$ = $-12\cdot 4$ = $-48$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^3}+\frac{5}{4}\cdot \sin \left(x\right)$

= $-2x^{-3}+\frac{5}{4}\cdot \sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $6x^{-4}+\frac{5}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{x^4}+\frac{5}{4}\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\sqrt{x}$

= $-x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^2}+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{x^3}+t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{4}{{\left(-2\right)}^3}+t$
= $-\frac{1}{2}+t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{5}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^2-\frac{3}{2}x+7$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x-\frac{3}{2}+0$

f'(-2) = $-2\cdot \left(-2\right)-\frac{3}{2}$ = $4-\frac{3}{2}$ = $\frac{5}{2}$ ≈ 2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $\frac{5}{2}$)) ≈ 68.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-4x+3$ ab:

f'(x) = $x^3-4$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -71.57 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-71.57°) ≈ -3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-6\cdot 0^2+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.001 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -3 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-3$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+2$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3+2$ = $8$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+2$ = $-4$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $8$) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-4$) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 82.9° - ( - 76 )° ≈ 158.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 158.9° = 21.1° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}x-3$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+0$

f'(3) = $\frac{1}{2}\cdot 3-\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{2}-\frac{1}{2}$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{20}{x}^4-76x+6$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{5}{x}^3-76$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.