$\text{f(x)}=$ $2x^5+4x^3$

$\text{f'(x)}=$ $10x^4+12x^2$

$\text{f(x)}=$ $-2x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2$

f'(-1) = $-6\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $-6\cdot 1$ = $-6$

$\text{f(x)}=$ $x^5-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $5x^4+0$

= $5x^4$

f'(1) = $5\cdot 1^4$ = $5\cdot 1$ = $5$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^5-\frac{7}{x^2}$

= $\frac{3}{2}{x}^5-7x^{-2}$

=> f'(x) = $\frac{15}{2}{x}^4+14x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{15}{2}{x}^4+\frac{14}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2\sqrt{x}}-5x^3$

= $\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}-5x^3$

=> f'(x) = $-\frac{3}{4}{x}^{-\frac{3}{2}}-15x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4{\left(\sqrt{x}\right)}^3}-15x^2$

$\text{f(x)}=$ $t{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2+5x^2$

= $t{x}^{\frac{2}{3}}+5x^2$

=> f'(x)= $\frac{2}{3}t{x}^{-\frac{1}{3}}+10x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2t}{3\sqrt[3]{x}}+10x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{2t}{3\cdot \sqrt[3]{1}}+10\cdot 1$
= $\frac{2t}{3}+10\cdot 1$
= $\frac{2}{3}t+10$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{16}{3}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^4-3x^2-4$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^3-6x+0$

f'(0) = $6\cdot 0^3-6\cdot 0$ = $6\cdot 0+0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{12}{x}^4-70x+7$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{3}{x}^3-70$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 63.43 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(63.43°) ≈ 2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^2+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-2\cdot 0+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-12\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+6$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3+6$ = $12$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+4$ = $-2$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $12$) ≈ 85.2°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-2$) ≈ -63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 85.2° - ( - 63.4 )° ≈ 148.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 148.6° = 31.4° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^2+\frac{3}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x+\frac{3}{2}$

f'(3) = $-2\cdot 3+\frac{3}{2}$ = $-6+\frac{3}{2}$ = $-\frac{9}{2}$ ≈ -4.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $-\frac{9}{2}$)) ≈ -77.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-6x+3$ ab:

f'(x) = $x-6$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.