$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{6}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^3-x^2$

$\text{f(x)}=$ $-2x^2+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x+2$

f'(1) = $-4\cdot 1+2$ = $-4+2$ = $-2$

$\text{f(x)}=$ $-4x^5-4x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-20x^4-4$

f'(0) = $-20\cdot 0^4-4$ = $-20\cdot 0-4$ = $-4$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^5-\frac{3}{x^2}$

= $-\frac{1}{2}{x}^5-3x^{-2}$

=> f'(x) = $-\frac{5}{2}{x}^4+6x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{6}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-4\sqrt{x}$

= $-4x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-2x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)+3tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x\right)+3t$

Jetzt setzen wir x = $-\frac{3}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-3\cdot \cos \left(\left(-\frac{3}{2}\pi \right)\right)+3t$
= $-3\cdot 0+3t$
= $3t$

Dieser Wert soll ja den Wert $3$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2-x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x-1$

f'(-2) = $-\left(-2\right)-1$ = $2-1$ = $1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $1$)) ≈ 45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-55x+6$ ab:

f'(x) = $2x^3-55$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -85.24 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-85.24°) ≈ -12.009

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^2+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-4\cdot 0+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -12.009 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -12 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-3$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+4$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3+4$ = $10$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+4$ = $-2$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $10$) ≈ 84.3°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-2$) ≈ -63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 84.3° - ( - 63.4 )° ≈ 147.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 147.7° = 32.3° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^4-x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $x^3-2x$

f'(2) = $2^3-2\cdot 2$ = $8-4$ = $8-4$ = $4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $4$)) ≈ 76°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+13x-3$ ab:

f'(x) = $2x^3+13$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.