$\text{f(x)}=$ $-2x^3+1$

$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+0$

= $-6x^2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $-\frac{3}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-\frac{3}{2}\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $-2x^2+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x+0$

= $-4x$

f'(2) = $-4\cdot 2$ = $-8$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{x^2}$

= $-2x^{-2}$

=> f'(x) = $4x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $3\sqrt[4]{x}-6x^3$

= $3x^{\frac{1}{4}}-6x^3$

=> f'(x) = $\frac{3}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}-18x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-18x^2$

$\text{f(x)}=$ $4\sqrt{x}+t{x}^2$

= $4x^{\frac{1}{2}}+t{x}^2$

=> f'(x)= $2x^{-\frac{1}{2}}+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{\sqrt{x}}+2tx$

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{2}{\sqrt{4}}+2t\cdot 4$
= $\frac{2}{2}+2t\cdot 4$
= $1+8t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-55$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^4-2x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^3-4x$

f'(-2) = $6\cdot {\left(-2\right)}^3-4\cdot \left(-2\right)$ = $6\cdot \left(-8\right)+8$ = $-48+8$ = $-40$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-40$)) ≈ -88.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{28}{x}^4-48x-1$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{7}{x}^3-48$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -63.43 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-63.43°) ≈ -2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^2+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-6\cdot 0+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+3x-4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·1·\left(-4\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+4$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+4$ = $6$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-2$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-2$ = $-4$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $6$) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-4$) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 80.5° - ( - 76 )° ≈ 156.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 156.5° = 23.5° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3+x+0$

f'(1) = $-1^3+1$ = $-1+1$ = $-1+1$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-22x+1$ ab:

f'(x) = $3x-22$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.