$\text{f(x)}=$ $x^4-4x$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3-4$

$\text{f(x)}=$ $x^4$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3$

f'(-1) = $4\cdot {\left(-1\right)}^3$ = $4\cdot \left(-1\right)$ = $-4$

$\text{f(x)}=$ $2x^4-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $8x^3+0$

= $8x^3$

f'(3) = $8\cdot 3^3$ = $8\cdot 27$ = $216$

$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{2x^3}$

= $\frac{9}{2}{x}^{-3}$

=> f'(x) = $-\frac{27}{2}{x}^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{27}{2x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-3x^5+\frac{3}{2}\sqrt[3]{x}$

= $-3x^5+\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $-15x^4+\frac{1}{2}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $-15x^4+\frac{1}{2{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $t{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2+6x$

= $t{x}^{\frac{2}{3}}+6x$

=> f'(x)= $\frac{2}{3}t{x}^{-\frac{1}{3}}+6$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2t}{3\sqrt[3]{x}}+6$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{2t}{3\cdot \sqrt[3]{1}}+6$
= $\frac{2t}{3}+6$
= $\frac{2}{3}t+6$

Dieser Wert soll ja den Wert $10$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x-2$

f'(-2) = $-3\cdot \left(-2\right)-2$ = $6-2$ = $4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $4$)) ≈ 76°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-18x-6$ ab:

f'(x) = $3x-18$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 82.87 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(82.87°) ≈ 7.994

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^3+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2+t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3\cdot 0^2+t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 7.994 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 8 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+2x-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-8\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2$ = $4$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-4$ = $-8$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $4$) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-8$) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 76° - ( - 82.9 )° ≈ 158.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 158.9° = 21.1° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2+x-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x+1+0$

f'(1) = $-1+1$ = $-1+1$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{10}{x}^4-51x+7$ ab:

f'(x) = $-\frac{2}{5}{x}^3-51$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.