$\text{f(x)}=$ $-x^5-4$

$\text{f'(x)}=$ $-5x^4+0$

= $-5x^4$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $\frac{5}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $\frac{5}{2}\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $5x^4+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $20x^3+0$

= $20x^3$

f'(2) = $20\cdot 2^3$ = $20\cdot 8$ = $160$

$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{4x^3}$

= $\frac{9}{4}{x}^{-3}$

=> f'(x) = $-\frac{27}{4}{x}^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{27}{4x^4}$

$\text{f(x)}=$ $5\sqrt[3]{x}$

= $5x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $\frac{5}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $t{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2-4x^2$

= $t{x}^{\frac{2}{3}}-4x^2$

=> f'(x)= $\frac{2}{3}t{x}^{-\frac{1}{3}}-8x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2t}{3\sqrt[3]{x}}-8x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{2t}{3\cdot \sqrt[3]{1}}-8\cdot 1$
= $\frac{2t}{3}-8\cdot 1$
= $\frac{2}{3}t-8$

Dieser Wert soll ja den Wert $-10$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^3+x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2+1$

f'(2) = $-\frac{3}{4}\cdot 2^2+1$ = $-\frac{3}{4}\cdot 4+1$ = $-3+1$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4+2x-9$ ab:

f'(x) = $3x^3+2$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 78.69 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(78.69°) ≈ 5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^3+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $9x^2+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $9\cdot 0^2+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2$ = $6$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+2$ = 0

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $6$) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 80.5° - 0° ≈ 80.5°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^4-2x^3-6$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3-6x^2+0$

f'(-1) = $-4\cdot {\left(-1\right)}^3-6\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $-4\cdot \left(-1\right)-6\cdot 1$ = $4-6$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-6x-2$ ab:

f'(x) = $2x-6$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.