$\text{f(x)}=$ $-4x^3-2x$

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2-2$

$\text{f(x)}=$ $3x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $9x^2$

f'(-1) = $9\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $9\cdot 1$ = $9$

$\text{f(x)}=$ $2x^4+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $8x^3+0$

= $8x^3$

f'(1) = $8\cdot 1^3$ = $8\cdot 1$ = $8$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{x^2}$

= $2x^{-2}$

=> f'(x) = $-4x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-\sqrt{x}+\frac{1}{3}{x}^4$

= $-x^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{3}{x}^4$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+\frac{4}{3}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{4}{3}{x}^3$

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \sin \left(x\right)+5tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \cos \left(x\right)+5t$

Jetzt setzen wir x = $\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5\cdot \cos \left(\pi \right)+5t$
= $5\cdot \left(-1\right)+5t$
= $-5+5t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-40$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^4-\frac{3}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3-\frac{3}{2}$

f'(-1) = $4\cdot {\left(-1\right)}^3-\frac{3}{2}$ = $4\cdot \left(-1\right)-\frac{3}{2}$ = $-4-\frac{3}{2}$ = $-\frac{11}{2}$ ≈ -5.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-\frac{11}{2}$)) ≈ -79.7°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{14}{x}^4-95x+1$ ab:

f'(x) = $-\frac{2}{7}{x}^3-95$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -51.34 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-51.34°) ≈ -1.25

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^3+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $6\cdot 0^2+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.25 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -5 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-1$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1-1$ = $1$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-1$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-1$ = $-3$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $1$) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 45° - ( - 71.6 )° ≈ 116.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 116.6° = 63.4° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^3+x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^2+2x$

f'(-3) = $\frac{3}{4}\cdot {\left(-3\right)}^2+2\cdot \left(-3\right)$ = $\frac{3}{4}\cdot 9-6$ = $\frac{27}{4}-6$ = $\frac{3}{4}$ ≈ 0.75

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $\frac{3}{4}$)) ≈ 36.9°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-17x-3$ ab:

f'(x) = $2x-17$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.