$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{10}{x}^5-\frac{1}{6}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $5x^2+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $10x+0$

= $10x$

f'(-1) = $10\cdot \left(-1\right)$ = $-10$

$\text{f(x)}=$ $3x+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $3+0$

= $3$

f'(1) = $3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{3x}$

= $\frac{8}{3}{x}^{-1}$

=> f'(x) = $-\frac{8}{3}{x}^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{8}{3x^2}$

$\text{f(x)}=$ $-5x^4-\frac{4}{3}\sqrt{x}$

= $-5x^4-\frac{4}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-20x^3-\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-20x^3-\frac{2}{3\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $4t\cdot \cos \left(x\right)-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4t\cdot \sin \left(x\right)-2$

Jetzt setzen wir x = $\frac{3}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-4t\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)-2$
= $-4t\cdot \left(-1\right)-2$
= $4t-2$

Dieser Wert soll ja den Wert $6$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+x-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3+1+0$

f'(-2) = $-{\left(-2\right)}^3+1$ = $-\left(-8\right)+1$ = $8+1$ = $9$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $9$)) ≈ 83.7°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4+22x-2$ ab:

f'(x) = $3x^3+22$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 69.44 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(69.44°) ≈ 2.666

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^3+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3\cdot 0^2+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2.666 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 8 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+2x-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-8\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+1$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+1$ = $5$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-3$ = $-7$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $5$) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-7$) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 78.7° - ( - 81.9 )° ≈ 160.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 160.6° = 19.4° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^4-2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3-2$

f'(-1) = $4\cdot {\left(-1\right)}^3-2$ = $4\cdot \left(-1\right)-2$ = $-4-2$ = $-6$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-6$)) ≈ -80.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{24}{x}^4-34x+2$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{6}{x}^3-34$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.