$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{15}{x}^5-3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^4+0$

= $-\frac{2}{3}{x}^4$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{2}{x}^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{15}{2}{x}^2$

f'(1) = $-\frac{15}{2}\cdot 1^2$ = $-\frac{15}{2}\cdot 1$ = $-\frac{15}{2}$ ≈ -7.5

$\text{f(x)}=$ $4x^4-5x$

=>$\text{f'(x)}=$ $16x^3-5$

f'(0) = $16\cdot 0^3-5$ = $16\cdot 0-5$ = $-5$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{8}{3x}$

= $-\frac{8}{3}{x}^{-1}$

=> f'(x) = $\frac{8}{3}{x}^{-2}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{8}{3x^2}$

$\text{f(x)}=$ $x^2+\frac{3}{2}\sqrt{x}$

= $x^2+\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2x+\frac{3}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $2x+\frac{3}{4\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-6{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2+t{x}^2$

= $-6x^{\frac{2}{3}}+t{x}^2$

=> f'(x)= $-4x^{-\frac{1}{3}}+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{\sqrt[3]{x}}+2tx$

Jetzt setzen wir x = 8 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{4}{\sqrt[3]{8}}+2t\cdot 8$
= $-\frac{4}{2}+2t\cdot 8$
= $-2+16t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-50$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-x^3-3$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x^3-3x^2+0$

f'(0) = $2\cdot 0^3-3\cdot 0^2$ = $2\cdot 0-3\cdot 0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{20}{x}^4-23x-3$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{5}{x}^3-23$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -50.19 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-50.19°) ≈ -1.2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-2x^2+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-4\cdot 0+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -6 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-7$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-7$ = $-1$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-3$ = $-9$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $-1$) ≈ -45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-9$) ≈ -83.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = -45° - ( - 83.7 )° ≈ 38.7°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3+2x-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}{x}^2+2+0$

f'(3) = $-\frac{9}{2}\cdot 3^2+2$ = $-\frac{9}{2}\cdot 9+2$ = $-\frac{81}{2}+2$ = $-\frac{77}{2}$ ≈ -38.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $-\frac{77}{2}$)) ≈ -88.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+2x+7$ ab:

f'(x) = $x+2$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.