$\text{f(x)}=$ $-3x^5-x$

$\text{f'(x)}=$ $-15x^4-1$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{x^3}$

= $-5x^{-3}$

=> f'(x) = $15x^{-4}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{15}{x^4}$

f'(1) = $\frac{15}{1^4}$ = $15\cdot 1$ = $15$

$\text{f(x)}=$ $-2x^5+x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-10x^4+2x$

f'(-1) = $-10\cdot {\left(-1\right)}^4+2\cdot \left(-1\right)$ = $-10\cdot 1-2$ = $-10-2$ = $-12$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(x\right)+\frac{9}{2x^3}$

= $-4\cdot \cos \left(x\right)+\frac{9}{2}{x}^{-3}$

=> f'(x) = $4\cdot \sin \left(x\right)-\frac{27}{2}{x}^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)-\frac{27}{2x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-4\sqrt{x}$

= $-4x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-2x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \sin \left(x\right)+3tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \cos \left(x\right)+3t$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5\cdot \cos \left(0\right)+3t$
= $5\cdot 1+3t$
= $5+3t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-10$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+2x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+4x$

f'(3) = $-3\cdot 3^2+4\cdot 3$ = $-3\cdot 9+12$ = $-27+12$ = $-15$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $-15$)) ≈ -86.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+x-8$ ab:

f'(x) = $x+1$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -73.3 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-73.3°) ≈ -3.333

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^2+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-6\cdot 0+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.333 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+2$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+2$ = $4$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+2$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+2$ = 0

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $4$) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 76° - 0° ≈ 76°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3+2x^2-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}{x}^2+4x+0$

f'(1) = $-\frac{9}{2}\cdot 1^2+4\cdot 1$ = $-\frac{9}{2}\cdot 1+4$ = $-\frac{9}{2}+4$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-23x-6$ ab:

f'(x) = $3x-23$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.