$\text{f(x)}=$ $x^5+x$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4+1$

$\text{f(x)}=$ $5\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $5\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $5\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $5\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $3x^2+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x+2$

f'(0) = $6\cdot 0+2$ = $0+2$ = $2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{x^2}$

= $3x^{-2}$

=> f'(x) = $-6x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{4}\sqrt{x}-\frac{3}{4}{x}^3$

= $-\frac{7}{4}{x}^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{4}{x}^3$

=> f'(x) = $-\frac{7}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}-\frac{9}{4}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{8\sqrt{x}}-\frac{9}{4}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{6}{x}+t{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{6}{x^2}+2tx$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{6}{{\left(-2\right)}^2}+2t\cdot \left(-2\right)$
= $\frac{3}{2}-4t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{27}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4+\frac{3}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3+\frac{3}{2}$

f'(-1) = $-2\cdot {\left(-1\right)}^3+\frac{3}{2}$ = $-2\cdot \left(-1\right)+\frac{3}{2}$ = $2+\frac{3}{2}$ = $\frac{7}{2}$ ≈ 3.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $\frac{7}{2}$)) ≈ 74.1°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-29x+2$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^3-29$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 57.99 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(57.99°) ≈ 1.6

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+\frac{1}{5}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+\frac{1}{5}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-4\cdot 0^3+\frac{1}{5}t$
= $\frac{1}{5}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.6 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 8 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-2$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+3$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+3$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+3$ = $-1$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-1$) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 81.9° - ( - 45 )° ≈ 126.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 126.9° = 53.1° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2-3x+0$

f'(-1) = $-\frac{3}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2-3\cdot \left(-1\right)$ = $-\frac{3}{2}\cdot 1+3$ = $-\frac{3}{2}+3$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $\frac{3}{2}$)) ≈ 56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+51x+4$ ab:

f'(x) = $2x^3+51$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.