$\text{f(x)}=$ $2x^4+x^2$

$\text{f'(x)}=$ $8x^3+2x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{7}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $0$) = $\frac{7}{2}\cdot \cos \left(0\right)$ = $\frac{7}{2}\cdot 1$ = $\frac{7}{2}$ ≈ 3.5

$\text{f(x)}=$ $2x^2+x$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x+1$

f'(3) = $4\cdot 3+1$ = $12+1$ = $13$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{x^4}-\sin \left(x\right)$

= $2x^{-4}-\sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $-8x^{-5}-\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{8}{x^5}-\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2x^3-\frac{4}{3}\sqrt{x}$

= $-2x^3-\frac{4}{3}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-6x^2-\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-6x^2-\frac{2}{3\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{6}{x^3}+2t{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{18}{x^4}+4tx$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{18}{2^4}+4t\cdot 2$
= $\frac{9}{8}+8t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{201}{8}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^4-2x^2-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^3-4x+0$

f'(0) = $6\cdot 0^3-4\cdot 0$ = $6\cdot 0+0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4+7$ ab:

f'(x) = $3x^3$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -33.69 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-33.69°) ≈ -0.667

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^2+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-2\cdot 0+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -0.667 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -2 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-3$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-2$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-2$ = $4$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-2$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-2$ = $-8$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $4$) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-8$) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 76° - ( - 82.9 )° ≈ 158.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 158.9° = 21.1° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3+x^2+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+2x+0$

f'(1) = $-\frac{3}{2}\cdot 1^2+2\cdot 1$ = $-\frac{3}{2}\cdot 1+2$ = $-\frac{3}{2}+2$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $\frac{1}{2}$)) ≈ 26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+53x-9$ ab:

f'(x) = $2x^3+53$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.