$\text{f(x)}=$ $-2x^5+3$

$\text{f'(x)}=$ $-10x^4+0$

= $-10x^4$

$\text{f(x)}=$ $5x^4-2x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $20x^3-4x$

f'(-1) = $20\cdot {\left(-1\right)}^3-4\cdot \left(-1\right)$ = $20\cdot \left(-1\right)+4$ = $-20+4$ = $-16$

$\text{f(x)}=$ $-2x^4+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-8x^3+0$

= $-8x^3$

f'(4) = $-8\cdot 4^3$ = $-8\cdot 64$ = $-512$

$\text{f(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x\right)-\frac{3}{x^3}$

= $-3\cdot \cos \left(x\right)-3x^{-3}$

=> f'(x) = $3\cdot \sin \left(x\right)+9x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)+\frac{9}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{2}\sqrt{x}$

= $-\frac{5}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{5}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{4\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt[3]{x}+t{x}^2$

= $-2x^{\frac{1}{3}}+t{x}^2$

=> f'(x)= $-\frac{2}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}+2tx$

Jetzt setzen wir x = 8 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{2}{3{\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2}+2t\cdot 8$
= $-\frac{2}{3\cdot 2^2}+2t\cdot 8$
= $-\frac{2}{12}+16t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{479}{6}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^4+2x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3+6x^2$

f'(-1) = $4\cdot {\left(-1\right)}^3+6\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $4\cdot \left(-1\right)+6\cdot 1$ = $-4+6$ = $2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $2$)) ≈ 63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{28}{x}^4-150x+2$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{7}{x}^3-150$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 75.96 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(75.96°) ≈ 3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-3\cdot 0^2+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.999 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 12 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+3$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+3$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+1$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+1$ = $-3$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 81.9° - ( - 71.6 )° ≈ 153.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 153.5° = 26.5° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x^3+3x^2$

f'(-2) = $2\cdot {\left(-2\right)}^3+3\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $2\cdot \left(-8\right)+3\cdot 4$ = $-16+12$ = $-4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-4$)) ≈ -76°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-29x-8$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^3-29$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.