$\text{f(x)}=$ $5x^5+x$

$\text{f'(x)}=$ $25x^4+1$

$\text{f(x)}=$ $-x^4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3$

f'(1) = $-4\cdot 1^3$ = $-4\cdot 1$ = $-4$

$\text{f(x)}=$ $-3x^4-4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-12x^3+0$

= $-12x^3$

f'(1) = $-12\cdot 1^3$ = $-12\cdot 1$ = $-12$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{x^3}$

= $2x^{-3}$

=> f'(x) = $-6x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-x^4+9\sqrt{x}$

= $-x^4+9x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-4x^3+\frac{9}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+\frac{9}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+2t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{3}{2}\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)+2t$
= $4\cdot 0+2t$
= $2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $8$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^3-3x-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2}{x}^2-3+0$

f'(-3) = $\frac{9}{2}\cdot {\left(-3\right)}^2-3$ = $\frac{9}{2}\cdot 9-3$ = $\frac{81}{2}-3$ = $\frac{75}{2}$ ≈ 37.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $\frac{75}{2}$)) ≈ 88.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-29x-7$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^3-29$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -36.87 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-36.87°) ≈ -0.75

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^3+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-9\cdot 0^2+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -0.75 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -3 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-3$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+4$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3+4$ = $10$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+4$ = $-2$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$): α = arctan( $10$) ≈ 84.3°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$) gilt: β = arctan( $-2$) ≈ -63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 84.3° - ( - 63.4 )° ≈ 147.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 147.7° = 32.3° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-3x+0$

f'(0) = $\frac{3}{2}\cdot 0^2-3\cdot 0$ = $\frac{3}{2}\cdot 0+0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{20}{x}^4-23x+4$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{5}{x}^3-23$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.