$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{5}{x}^5-\frac{4}{9}{x}^3$

$\text{f'(x)}=$ $3x^4-\frac{4}{3}{x}^2$

$\text{f(x)}=$ $-2x^2+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x+0$

= $-4x$

f'(-1) = $-4\cdot \left(-1\right)$ = $4$

$\text{f(x)}=$ $5x^3+x$

=>$\text{f'(x)}=$ $15x^2+1$

f'(-1) = $15\cdot {\left(-1\right)}^2+1$ = $15\cdot 1+1$ = $15+1$ = $16$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{3}{2x^4}$

= $-\frac{1}{4}\cdot \sin \left(x\right)+\frac{3}{2}{x}^{-4}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{4}\cdot \cos \left(x\right)-6x^{-5}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot \cos \left(x\right)-\frac{6}{x^5}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}\sqrt{x}$

= $-\frac{3}{4}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{8\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $6\sqrt{x}+tx$

= $6x^{\frac{1}{2}}+tx$

=> f'(x)= $3x^{-\frac{1}{2}}+t$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{\sqrt{x}}+t$

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{3}{\sqrt{4}}+t$
= $\frac{3}{2}+t$
= $\frac{3}{2}+t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{7}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+2x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x+2$

f'(3) = $-3\cdot 3+2$ = $-9+2$ = $-7$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $-7$)) ≈ -81.9°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{8}{x}^4-31x-4$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^3-31$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -59.04 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-59.04°) ≈ -1.667

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^4+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $8x^3+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $8\cdot 0^3+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.667 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -5 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-2$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+3$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2+3$ = $7$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2+3$ = $-1$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $7$) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-1$) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 81.9° - ( - 45 )° ≈ 126.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 126.9° = 53.1° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2-3x$

f'(-3) = $-\frac{3}{2}\cdot {\left(-3\right)}^2-3\cdot \left(-3\right)$ = $-\frac{3}{2}\cdot 9+9$ = $-\frac{27}{2}+9$ = $-\frac{9}{2}$ ≈ -4.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $-\frac{9}{2}$)) ≈ -77.5°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{20}{x}^4-72x-7$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{5}{x}^3-72$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.