$\text{f(x)}=$ $-3x^3+\frac{2}{3}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+\frac{4}{3}x$

$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $0$) = $-2\cdot \cos \left(0\right)$ = $-2\cdot 1$ = $-2$

$\text{f(x)}=$ $-4x+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4+0$

= $-4$

f'(1) = $-4$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2x^3}$

= $\frac{3}{2}{x}^{-3}$

=> f'(x) = $-\frac{9}{2}{x}^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2x^4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{2}\sqrt{x}-2x^3$

= $\frac{5}{2}{x}^{\frac{1}{2}}-2x^3$

=> f'(x) = $\frac{5}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}-6x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{4\sqrt{x}}-6x^2$

$\text{f(x)}=$ $t{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2+2x$

= $t{x}^{\frac{2}{3}}+2x$

=> f'(x)= $\frac{2}{3}t{x}^{-\frac{1}{3}}+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2t}{3\sqrt[3]{x}}+2$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{2t}{3\cdot \sqrt[3]{1}}+2$
= $\frac{2t}{3}+2$
= $\frac{2}{3}t+2$

Dieser Wert soll ja den Wert $6$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^4-\frac{3}{2}{x}^3+7$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x^3-\frac{9}{2}{x}^2+0$

f'(-1) = $-2\cdot {\left(-1\right)}^3-\frac{9}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $-2\cdot \left(-1\right)-\frac{9}{2}\cdot 1$ = $2-\frac{9}{2}$ = $-\frac{5}{2}$ ≈ -2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-\frac{5}{2}$)) ≈ -68.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-x+3$ ab:

f'(x) = $3x^3-1$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 59.04 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(59.04°) ≈ 1.667

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^3+\frac{1}{3}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2+\frac{1}{3}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3\cdot 0^2+\frac{1}{3}t$
= $\frac{1}{3}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.667 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 5 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2+3x-4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·1·\left(-4\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+10$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1+10$ = $12$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1+4$ = $2$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $12$) ≈ 85.2°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $2$) ≈ 63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 85.2° - 63.4° ≈ 21.8°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^4-3x^3+2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^3-9x^2+0$

f'(-1) = $-6\cdot {\left(-1\right)}^3-9\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $-6\cdot \left(-1\right)-9\cdot 1$ = $6-9$ = $-3$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-3$)) ≈ -71.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-3x+7$ ab:

f'(x) = $x-3$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.