$\text{f(x)}=$ $2x^3-3$

$\text{f'(x)}=$ $6x^2+0$

= $6x^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{2}\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{2}\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $0$) = $\frac{9}{2}\cdot \cos \left(0\right)$ = $\frac{9}{2}\cdot 1$ = $\frac{9}{2}$ ≈ 4.5

$\text{f(x)}=$ $-2x^3-3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2-3$

f'(2) = $-6\cdot 2^2-3$ = $-6\cdot 4-3$ = $-24-3$ = $-27$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{x^4}+3x^2$

= $-5x^{-4}+3x^2$

=> f'(x) = $20x^{-5}+6x$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{20}{x^5}+6x$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}$

= $x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $2x^2+2tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x+2t$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4\cdot \left(-2\right)+2t$
= $-8+2t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-12$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^4+3x^3-6$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^3+9x^2+0$

f'(-2) = $6\cdot {\left(-2\right)}^3+9\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $6\cdot \left(-8\right)+9\cdot 4$ = $-48+36$ = $-12$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-12$)) ≈ -85.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-4x+2$ ab:

f'(x) = $2x^3-4$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 51.34 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(51.34°) ≈ 1.25

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^4+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-12x^3+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-12\cdot 0^3+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.25 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 5 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-2$; $2$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$|f( $2$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-3$, also gilt m_f = f'( $2$)= $2\cdot 2-3$ = $1$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $2$)= $-2\cdot 2-3$ = $-7$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$|f( $2$): α = arctan( $1$) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$|g( $2$) gilt: β = arctan( $-7$) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = 45° - ( - 81.9 )° ≈ 126.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 126.9° = 53.1° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^4-\frac{3}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x^3-\frac{3}{2}$

f'(2) = $4\cdot 2^3-\frac{3}{2}$ = $4\cdot 8-\frac{3}{2}$ = $32-\frac{3}{2}$ = $\frac{61}{2}$ ≈ 30.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $\frac{61}{2}$)) ≈ 88.1°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4+51x+9$ ab:

f'(x) = $2x^3+51$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.