$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^4+2x$

$\text{f'(x)}=$ $-3x^3+2$

$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(x\right)$

=>$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(x\right)$

f'( $\frac{1}{2}\pi$) = $-5\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-5\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $2x^4+x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $8x^3+3x^2$

f'(2) = $8\cdot 2^3+3\cdot 2^2$ = $8\cdot 8+3\cdot 4$ = $64+12$ = $76$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{4x^3}$

= $-\frac{7}{4}{x}^{-3}$

=> f'(x) = $\frac{21}{4}{x}^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{21}{4x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\sqrt{x}-2x^4$

= $-\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}}-2x^4$

=> f'(x) = $-\frac{1}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}-8x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{4\sqrt{x}}-8x^3$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{x}+tx$

= $-2x^{\frac{1}{2}}+tx$

=> f'(x)= $-x^{-\frac{1}{2}}+t$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{x}}+t$

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{1}{\sqrt{4}}+t$
= $-\frac{1}{2}+t$
= $t-\frac{1}{2}$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{1}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^2-\frac{3}{2}x-6$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x-\frac{3}{2}+0$

f'(1) = $2\cdot 1-\frac{3}{2}$ = $2-\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $\frac{1}{2}$)) ≈ 26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{8}{x}^4-34x+7$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^3-34$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 68.2 ° beträgt, muss fü die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(68.2°) ≈ 2.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigikeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^3+\frac{1}{4}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2+\frac{1}{4}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3\cdot 0^2+\frac{1}{4}t$
= $\frac{1}{4}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2.5 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-3$, also gilt m_f = f'( $1$)= $2\cdot 1-3$ = $-1$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-3$ = $-5$

Mit den Tangentsteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$): α = arctan( $-1$) ≈ -45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als die Differenz des größeren (und damit oberen) Steigungswinkel minus den kleineren (unteren) berechnen kann.

γ = α - β = -45° - ( - 78.7 )° ≈ 33.7°

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3-x^2+5$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-2x+0$

f'(2) = $\frac{3}{2}\cdot 2^2-2\cdot 2$ = $\frac{3}{2}\cdot 4-4$ = $6-4$ = $2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $2$)) ≈ 63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4-5x+4$ ab:

f'(x) = $3x^3-5$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.