$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{3}x-4\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{\left(\frac{1}{3}x-4\right)}^2·\left(\frac{1}{3}+0\right)$

= $\frac{3}{2}{\left(\frac{1}{3}x-4\right)}^2·\left(\frac{1}{3}\right)$

= $\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{3}x-4\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2{\left(x+1\right)}^2}$

= $-\frac{1}{2}{\left(x+1\right)}^{-2}$

=> f'(x) = ${\left(x+1\right)}^{-3}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{{\left(x+1\right)}^3}·\left(1+0\right)$

= $\frac{1}{{\left(x+1\right)}^3}·\left(1\right)$

= $\frac{1}{{\left(x+1\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{2x+5}$

= $-2{\left(2x+5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-{\left(2x+5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{2x+5}}·\left(2+0\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{2x+5}}·\left(2\right)$

= $-\frac{2}{\sqrt{2x+5}}$

Wir können der Zeichnung rechts f(3) = 2 entnehmen.

Also gilt h(3) = g(f(3)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = g(f(3)) = g(2) = 3.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(0)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|0) und Q₂(1|0), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 1

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $-2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($-2$).

f($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($-2$) = $\frac{7}{2}$.

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(0) = 3.

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\cos \left(x\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\cos \left(x\right)+x^{\frac{1}{2}}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\cos \left(x\right)+\sqrt{x}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x\right)}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\sqrt{3x+2}$

= $x^2·{\left(3x+2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2x·{\left(3x+2\right)}^{\frac{1}{2}}+x^2·\frac{1}{2}{\left(3x+2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\sqrt{3x+2}+x^2·\frac{1}{2\cdot \sqrt{3x+2}}·\left(3+0\right)$

= $2x\sqrt{3x+2}+x^2·\frac{1}{2\cdot \sqrt{3x+2}}·\left(3\right)$

= $2x\sqrt{3x+2}+x^2·\frac{3}{2\cdot \sqrt{3x+2}}$

= $2x\sqrt{3x+2}+\frac{3}{2}\frac{x^2}{\sqrt{3x+2}}$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x^2+9\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(6x+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(3x^2+9\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $6x·\cos \left(x^2\right)+\left(3x^2+9\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $6x·\cos \left(x^2\right)-2\left(3x^2+9\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-1$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-1$ gilt: f'(x)= $2x$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wieviel Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen eine Geraden y = 1, dass dies gerade 2 Schnittstellen sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittstellen alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x-8$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-2x-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-8\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-2x-8$ gilt: f'(x)= $2x-2$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 1, wodurch mit f'(1)=0 und g'(1)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = 0⋅g(1) + f(1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.