$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{\left(-\frac{3}{4}x-1\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3}{\left(-\frac{3}{4}x-1\right)}^3·\left(-\frac{3}{4}+0\right)$

= $-\frac{4}{3}{\left(-\frac{3}{4}x-1\right)}^3·\left(-\frac{3}{4}\right)$

= ${\left(-\frac{3}{4}x-1\right)}^3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4{\left(\frac{1}{2}x+4\right)}^3}$

= $-\frac{1}{4}{\left(\frac{1}{2}x+4\right)}^{-3}$

=> f'(x) = $\frac{3}{4}{\left(\frac{1}{2}x+4\right)}^{-4}·\left(\frac{1}{2}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4{\left(\frac{1}{2}x+4\right)}^4}·\left(\frac{1}{2}+0\right)$

= $\frac{3}{4{\left(\frac{1}{2}x+4\right)}^4}·\left(\frac{1}{2}\right)$

= $\frac{3}{8{\left(\frac{1}{2}x+4\right)}^4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{{\left(-3x-2\right)}^3}$

= $2{\left(-3x-2\right)}^{-3}$

=> f'(x) = $-6{\left(-3x-2\right)}^{-4}·\left(-3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6}{{\left(-3x-2\right)}^4}·\left(-3+0\right)$

= $-\frac{6}{{\left(-3x-2\right)}^4}·\left(-3\right)$

= $\frac{18}{{\left(-3x-2\right)}^4}$

Wir können der Zeichnung rechts f(-3) = 0 entnehmen.

Also gilt h(-3) = g(f(-3)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = g(f(-3)) = g(0) = -2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(-1)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-1) und Q₂(2|-1), also bei
x₁ = 0 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $-2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f($-2$).

f($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f($-2$) = $-3$.

Wir können der Zeichnung rechts f(3) = 0 entnehmen.

Also gilt h(3) = g(f(3)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = g(f(3)) = g(0) = 2.

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)·\frac{1}{x}$

= $\sin \left(x\right)·x^{-1}$

=> f'(x) = $\cos \left(x\right)·x^{-1}+\sin \left(x\right)·\left(-x^{-2}\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\frac{1}{x}+\sin \left(x\right)·\left(-\frac{1}{x^2}\right)$

= $\frac{\cos \left(x\right)}{x}-\frac{\sin \left(x\right)}{x^2}$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\sqrt{-5x+3}$

= $x^2·{\left(-5x+3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2x·{\left(-5x+3\right)}^{\frac{1}{2}}+x^2·\frac{1}{2}{\left(-5x+3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-5+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\sqrt{-5x+3}+x^2·\frac{1}{2\sqrt{-5x+3}}·\left(-5+0\right)$

= $2x\sqrt{-5x+3}+x^2·\frac{1}{2\sqrt{-5x+3}}·\left(-5\right)$

= $2x\sqrt{-5x+3}+x^2·\left(-\frac{5}{2\sqrt{-5x+3}}\right)$

= $2x\sqrt{-5x+3}-\frac{5}{2}\frac{x^2}{\sqrt{-5x+3}}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(2x\right)+\left(x+2\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $\sin \left(2x\right)+\left(x+2\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $\sin \left(2x\right)+2\left(x+2\right)·\cos \left(2x\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+4$)⋅g(x) + ( $x^2+4x-5$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -4 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-4) = g'(-4) = 0.

Somit ist bei x = -4 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-4) = f'(-4)⋅g(-4) + f(-4)⋅g'(-4) = f'(-4)⋅0 + f(-4)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -4 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wieviel Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen eine Geraden y = -1, dass dies gerade 2 Schnittstellen sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittstellen alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+2$)⋅g(x) + ( $x^2+2x-8$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -2 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-2) = g'(-2) = 0.

Somit ist bei x = -2 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = f'(-2)⋅0 + f(-2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.