$\text{f(x)}=$ $3{\left(-x+2\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $6\left(-x+2\right)·\left(-1+0\right)$

= $6\left(-x+2\right)·\left(-1\right)$

= $-6\left(-x+2\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(-2x+5\right)}^2}$

= $-2{\left(-2x+5\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $4{\left(-2x+5\right)}^{-3}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{{\left(-2x+5\right)}^3}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{4}{{\left(-2x+5\right)}^3}·\left(-2\right)$

= $-\frac{8}{{\left(-2x+5\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{-2x^3+4}$

= $2{\left(-2x^3+4\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-2{\left(-2x^3+4\right)}^{-2}·\left(-6x^2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(-2x^3+4\right)}^2}·\left(-6x^2+0\right)$

= $-\frac{2}{{\left(-2x^3+4\right)}^2}·\left(-6x^2\right)$

= $12\frac{x^2}{{\left(-2x^3+4\right)}^2}$

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = -3 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(-3)

g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(-3) = 2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(2)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|2) und Q₂(-2|2), also bei
x₁ = 2 und x₂ = -2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $-2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($-2$).

f($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($-2$) = 0.

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = 0 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(0) = -2.

$\text{f(x)}=$ $x^3·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·\sin \left(x\right)+x^3·\cos \left(x\right)$

= $3x^2·\sin \left(x\right)+x^3·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)·\sqrt{-5x+4}$

= $\sin \left(x\right)·{\left(-5x+4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\cos \left(x\right)·{\left(-5x+4\right)}^{\frac{1}{2}}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2}{\left(-5x+4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-5+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\sqrt{-5x+4}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2\sqrt{-5x+4}}·\left(-5+0\right)$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{-5x+4}+\sin \left(x\right)·\frac{1}{2\sqrt{-5x+4}}·\left(-5\right)$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{-5x+4}+\sin \left(x\right)·\left(-\frac{5}{2\sqrt{-5x+4}}\right)$

= $\cos \left(x\right)\sqrt{-5x+4}-\frac{5}{2}\frac{\sin \left(x\right)}{\sqrt{-5x+4}}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·\cos \left(x^3\right)$

= $x^{\frac{1}{2}}·\cos \left(x^3\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·\cos \left(x^3\right)+x^{\frac{1}{2}}·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·\cos \left(x^3\right)+\sqrt{x}·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}-3\sqrt{x}\sin \left(x^3\right)x^2$

= $\frac{1}{2}\frac{\cos \left(x^3\right)}{\sqrt{x}}-3{\left(\sqrt{x}\right)}^5·\sin \left(x^3\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+2$)⋅g(x) + ( $x^2+2x-3$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -1 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-1) = g'(-1) = 0.

Somit ist bei x = -1 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-1) = f'(-1)⋅g(-1) + f(-1)⋅g'(-1) = f'(-1)⋅0 + f(-1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wieviel Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen eine Geraden y = 2, dass dies gerade 3 Schnittstellen sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittstellen alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = 0 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 2, (also gilt g '(2) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 2 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(2) = f'(g(2))⋅g'(2) = f'(g(2))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.