$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}x+2\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{\left(\frac{1}{2}x+2\right)}^2·\left(\frac{1}{2}+0\right)$

= $\frac{3}{2}{\left(\frac{1}{2}x+2\right)}^2·\left(\frac{1}{2}\right)$

= $\frac{3}{4}{\left(\frac{1}{2}x+2\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{3}{4}x+3}$

= $\frac{1}{2}{\left(-\frac{3}{4}x+3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{\left(-\frac{3}{4}x+3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-\frac{3}{4}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4\sqrt{-\frac{3}{4}x+3}}·\left(-\frac{3}{4}+0\right)$

= $\frac{1}{4\sqrt{-\frac{3}{4}x+3}}·\left(-\frac{3}{4}\right)$

= $-\frac{3}{16\sqrt{-\frac{3}{4}x+3}}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(\sin \left(x\right)+2\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $6\left(\sin \left(x\right)+2\right)·\left(\cos \left(x\right)+0\right)$

= $6\left(\sin \left(x\right)+2\right)·\left(\cos \left(x\right)\right)$

= $6\left(\sin \left(x\right)+2\right)·\cos \left(x\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = 1 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(1) = 2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(3)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|3) und Q₂(2|3), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($2$) = 0.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($2$) = $-1$.

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\left(-2x-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)·\left(-2x-2\right)+\cos \left(x\right)·\left(-2+0\right)$

= $-\sin \left(x\right)\left(-2x-2\right)+\cos \left(x\right)·\left(-2\right)$

= $-\sin \left(x\right)\left(-2x-2\right)-2\cdot \cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\sqrt{2x-2}$

= $\cos \left(x\right)·{\left(2x-2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\sin \left(x\right)·{\left(2x-2\right)}^{\frac{1}{2}}+\cos \left(x\right)·\frac{1}{2}{\left(2x-2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)·\sqrt{2x-2}+\cos \left(x\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{2x-2}}·\left(2+0\right)$

= $-\sin \left(x\right)\sqrt{2x-2}+\cos \left(x\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{2x-2}}·\left(2\right)$

= $-\sin \left(x\right)\sqrt{2x-2}+\cos \left(x\right)·\frac{1}{\sqrt{2x-2}}$

= $-\sin \left(x\right)\sqrt{2x-2}+\frac{\cos \left(x\right)}{\sqrt{2x-2}}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x-6\right)·\cos \left(x^2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\cos \left(x^2\right)+\left(2x-6\right)·(-\sin \left(x^2\right)·2x)$

= $2\cdot \cos \left(x^2\right)+\left(2x-6\right)·\left(-2\sin \left(x^2\right)x\right)$

= $2\cdot \cos \left(x^2\right)-2\left(2x-6\right)\sin \left(x^2\right)x$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 1 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = -1, (also gilt g '(-1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = -1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(-1) = f'(g(-1))⋅g'(-1) = f'(g(-1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -1 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wieviel Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen eine Geraden y = 4, dass dies gerade 2 Schnittstellen sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittstellen alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-1$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-1$ gilt: f'(x)= $2x$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 0, wodurch mit f'(0)=0 und g'(0)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0) = 0⋅g(0) + f(0)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.