$\text{f(x)}=$ $-{\left(2x-3\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-4{\left(2x-3\right)}^3·\left(2+0\right)$

= $-4{\left(2x-3\right)}^3·\left(2\right)$

= $-8{\left(2x-3\right)}^3$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{-x+2}$

= $-2{\left(-x+2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-{\left(-x+2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{-x+2}}·\left(-1+0\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{-x+2}}·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{-x+2}}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x-4\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(-1) = 3.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(1)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|1) und Q₂(2|1), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($2$) = 0.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(0)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|0) und Q₂(-2|0), also bei
x₁ = 0 und x₂ = -2

$\text{f(x)}=$ $x^5·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\cos \left(x\right)+x^5·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $5x^4·\cos \left(x\right)-x^5·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\sqrt{5x+2}$

= $\cos \left(x\right)·{\left(5x+2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\sin \left(x\right)·{\left(5x+2\right)}^{\frac{1}{2}}+\cos \left(x\right)·\frac{1}{2}{\left(5x+2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(5+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)·\sqrt{5x+2}+\cos \left(x\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{5x+2}}·\left(5+0\right)$

= $-\sin \left(x\right)\sqrt{5x+2}+\cos \left(x\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{5x+2}}·\left(5\right)$

= $-\sin \left(x\right)\sqrt{5x+2}+\cos \left(x\right)·\frac{5}{2\cdot \sqrt{5x+2}}$

= $-\sin \left(x\right)\sqrt{5x+2}+\frac{5}{2}\frac{\cos \left(x\right)}{\sqrt{5x+2}}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+3\right)·\sin \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(-3x\right)+\left(x^2+3\right)·\cos \left(-3x\right)·\left(-3\right)$

= $2x·\sin \left(-3x\right)+\left(x^2+3\right)·\left(-3\cdot \cos \left(-3x\right)\right)$

= $2x·\sin \left(-3x\right)-3\left(x^2+3\right)·\cos \left(-3x\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(0)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 0 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 0) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wieviel Lösungen die Gleichung g(x) = 0 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen eine Geraden y = 0, dass dies gerade 2 Schnittstellen sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittstellen alle Lösungen von f(g(x)) = f( 0) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+10$)⋅g(x) + ( $x^2+10x+25$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+10x+25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4·1·25}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{100-100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+10x+25$ gilt: f'(x)= $2x+10$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(-5) = f'(-5) = 0, somit gilt h'(-5) = f'(-5)⋅g(-5) + f(-5)⋅g'(-5) = 0⋅g(-5) + 0⋅g'(-5) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-5 eine waagrechte Tangente.