$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{\left(-\frac{1}{2}x+2\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-\left(-\frac{1}{2}x+2\right)·\left(-\frac{1}{2}+0\right)$

= $-\left(-\frac{1}{2}x+2\right)·\left(-\frac{1}{2}\right)$

= $\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}x+2\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{-2x+5}$

= ${\left(-2x+5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{\left(-2x+5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{-2x+5}}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{1}{2\sqrt{-2x+5}}·\left(-2\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{-2x+5}}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(x^3-2\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $6\left(x^3-2\right)·\left(3x^2+0\right)$

= $6\left(x^3-2\right)·\left(3x^2\right)$

= $18\left(x^3-2\right)x^2$

= $18x^2\left(x^3-2\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(0) = 3.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(0)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|0) und Q₂(3|0), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 3

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-3) = $-2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-3)) = f($-2$).

f($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-3)) = f($-2$) = $-\frac{5}{2}$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|-3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-3 = g(0)
Wegen -3 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|0) und Q₂(0|0), also bei
x₁ = 2 und x₂ = 0

$\text{f(x)}=$ $\sqrt[4]{x}·\cos \left(x\right)$

= $x^{\frac{1}{4}}·\cos \left(x\right)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}·\cos \left(x\right)+x^{\frac{1}{4}}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}·\cos \left(x\right)+\sqrt[4]{x}·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $\frac{1}{4}\frac{\cos \left(x\right)}{{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^3}-\sqrt[4]{x}·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)·{\left(-2x-3\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)·{\left(-2x-3\right)}^3+\cos \left(x\right)·3{\left(-2x-3\right)}^2·\left(-2+0\right)$

= $-\sin \left(x\right){\left(-2x-3\right)}^3+\cos \left(x\right)·3{\left(-2x-3\right)}^2·\left(-2\right)$

= $-\sin \left(x\right){\left(-2x-3\right)}^3+\cos \left(x\right)·\left(-6{\left(-2x-3\right)}^2\right)$

= $-\sin \left(x\right){\left(-2x-3\right)}^3-6\cos \left(x\right){\left(-2x-3\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-1\right)·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(-2x\right)+\left(x^2-1\right)·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $2x·\sin \left(-2x\right)+\left(x^2-1\right)·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $2x·\sin \left(-2x\right)-2\left(x^2-1\right)·\cos \left(-2x\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -3 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 0 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(0) = f'(g(0))⋅g'(0) = f'(g(0))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wieviel Lösungen die Gleichung g(x) = -3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen eine Geraden y = -3, dass dies gerade 0 Schnittstellen sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittstellen alle Lösungen von f(g(x)) = f( -3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wieviel Lösungen die Gleichung g(x) = 2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen eine Geraden y = 2, dass dies gerade 2 Schnittstellen sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittstellen alle Lösungen von f(g(x)) = f( 2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.