$\text{f(x)}=$ $-\cos \left(-3x+2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\sin \left(-3x+2\right)·\left(-3+0\right)$

= $\sin \left(-3x+2\right)·\left(-3\right)$

= $-3\cdot \sin \left(-3x+2\right)$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4\left(3x-1\right)}$

= $\frac{3}{4}{\left(3x-1\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{4}{\left(3x-1\right)}^{-2}·\left(3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4{\left(3x-1\right)}^2}·\left(3+0\right)$

= $-\frac{3}{4{\left(3x-1\right)}^2}·\left(3\right)$

= $-\frac{9}{4{\left(3x-1\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $3{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^3$

$\text{f'(x)}=$ $9{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^2·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $9{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^2·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $-9{\left(\cos \left(x\right)-5\right)}^2·\sin \left(x\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(3) = 0 entnehmen.

Also gilt h(3) = g(f(3)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = g(f(3)) = g(0) = 1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(1)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|1) und Q₂(2|1), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $-2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f($-2$).

f($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f($-2$) = $-1$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(-1)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-1) und Q₂(0|-1), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{x^3}·\sin \left(x\right)$

= $x^{-3}·\sin \left(x\right)$

=> f'(x) = $-3x^{-4}·\sin \left(x\right)+x^{-3}·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{x^4}·\sin \left(x\right)+\frac{1}{x^3}·\cos \left(x\right)$

= $-3\frac{\sin \left(x\right)}{x^4}+\frac{\cos \left(x\right)}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·{\left(2x+4\right)}^2$

= $x^{\frac{1}{2}}·{\left(2x+4\right)}^2$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·{\left(2x+4\right)}^2+x^{\frac{1}{2}}·(2\left(2x+4\right)·\left(2+0\right))$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·{\left(2x+4\right)}^2+\sqrt{x}·(2\left(2x+4\right)·\left(2+0\right))$

= $\frac{1}{2}\frac{{\left(2x+4\right)}^2}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·(2\left(2x+4\right)·\left(2\right))$

= $\frac{1}{2}\frac{{\left(2x+4\right)}^2}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(4\left(2x+4\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{{\left(2x+4\right)}^2}{\sqrt{x}}+4\sqrt{x}\left(2x+4\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sin \left(2x\right)+\left(x-1\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $\sin \left(2x\right)+\left(x-1\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $\sin \left(2x\right)+2\left(x-1\right)·\cos \left(2x\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-8$)⋅g(x) + ( $x^2-8x+16$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-8x+16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·1·16}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-8x+16$ gilt: f'(x)= $2x-8$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(4) = f'(4) = 0, somit gilt h'(4) = f'(4)⋅g(4) + f(4)⋅g'(4) = 0⋅g(4) + 0⋅g'(4) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =4 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(0)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 0 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 0) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wieviel Lösungen die Gleichung g(x) = 0 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen eine Geraden y = 0, dass dies gerade 3 Schnittstellen sind.

Das heißt, dass diese 3 x-Werte dieser Schnittstellen alle Lösungen von f(g(x)) = f( 0) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wieviel Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen eine Geraden y = -1, dass dies gerade 2 Schnittstellen sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittstellen alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.