$\text{f(x)}=$ $-\cos \left(\frac{2}{3}x+5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\sin \left(\frac{2}{3}x+5\right)·\left(\frac{2}{3}+0\right)$

= $\sin \left(\frac{2}{3}x+5\right)·\left(\frac{2}{3}\right)$

= $\frac{2}{3}\cdot \sin \left(\frac{2}{3}x+5\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(2x-4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(2x-4\right)·\left(2+0\right)$

= $-2\cdot \sin \left(2x-4\right)·\left(2\right)$

= $-4\cdot \sin \left(2x-4\right)$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{x-3}$

= $3{\left(x-3\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-3{\left(x-3\right)}^{-2}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(x-3\right)}^2}·\left(1+0\right)$

= $-\frac{3}{{\left(x-3\right)}^2}·\left(1\right)$

= $-\frac{3}{{\left(x-3\right)}^2}$

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -2 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(-2) = -1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(3)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(3|3) und Q₂(-1|3), also bei
x₁ = 3 und x₂ = -1

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($0$) = $-\frac{3}{2}$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(1) = $2$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(1)) = F($2$).

F($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(1)) = F($2$) = $\frac{5}{2}$.

$\text{f(x)}=$ $\left(-4x^5-3x^2\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-20x^4-6x\right)·\cos \left(x\right)+\left(-4x^5-3x^2\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $\left(-20x^4-6x\right)·\cos \left(x\right)-\left(-4x^5-3x^2\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(3x-7\right)·\sqrt{5x-4}$

= $\left(3x-7\right)·{\left(5x-4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\left(3+0\right)·{\left(5x-4\right)}^{\frac{1}{2}}+\left(3x-7\right)·\frac{1}{2}{\left(5x-4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(5+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·\sqrt{5x-4}+\left(3x-7\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{5x-4}}·\left(5+0\right)$

= $3\sqrt{5x-4}+\left(3x-7\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{5x-4}}·\left(5\right)$

= $3\sqrt{5x-4}+\left(3x-7\right)·\frac{5}{2\cdot \sqrt{5x-4}}$

= $3\sqrt{5x-4}+\frac{5}{2}\frac{3x-7}{\sqrt{5x-4}}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+9\right)·\cos \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\cos \left(x^3\right)+\left(2x+9\right)·(-\sin \left(x^3\right)·3x^2)$

= $2\cdot \cos \left(x^3\right)+\left(2x+9\right)·\left(-3\sin \left(x^3\right)x^2\right)$

= $2\cdot \cos \left(x^3\right)-3\left(2x+9\right)\sin \left(x^3\right)x^2$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x-24$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -4, bei x = 4 und bei x = 0.
(also gilt g(-4) = g(-4) = g(-4) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-2x-24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-24\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{100}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{100}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -4, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-4) = f'(-4)⋅g(-4) + f(-4)⋅g'(-4) = f'(-4)⋅0 + 0⋅g'(-4) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -4 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wieviel Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen eine Geraden y = 3, dass dies gerade 2 Schnittstellen sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittstellen alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x+1$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-2x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·1}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4-4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-2x+1$ gilt: f'(x)= $2x-2$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(1) = f'(1) = 0, somit gilt h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = 0⋅g(1) + 0⋅g'(1) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =1 eine waagrechte Tangente.