$x^{-3}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^3}$.

Also ist $-x^{-3}$ das gleiche wie $-1·\frac{1}{x^3}$ = $-\frac{1}{x^3}$.

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{1}{3}}$ = x^{1⋅$\frac{1}{3}$} = ${\left(x\right)}^{\frac{1}{3}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

${\left(x\right)}^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{x}$

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{-\frac{6}{5}}$ = $x^{-6·\frac{1}{5}}$ = ${\left(x^6\right)}^{-\frac{1}{5}}$ = $\frac{1}{{\left(x^6\right)}^{\frac{1}{5}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{5}$} immer das gleiche ist wie die 5-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{\left(x^6\right)}^{\frac{1}{5}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[5]{x^6}}$

$8^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2$

= $2^2$

= 4

${\left(\frac{27}{8}\right)}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$

= $\frac{3}{2}$

${0.09}^{\frac{3}{2}}$

= ${\left(\sqrt{0.09}\right)}^3$

= ${0.3}^3$

= $\mathrm{0,027}$

${\left({\left(\frac{19}{3}\right)}^{-\frac{1}{7}}\right)}^{-14}$

= ${\left(\frac{19}{3}\right)}^{-\frac{1}{7}·\left(-14\right)}$

= ${\left(\frac{19}{3}\right)}^2$

= $\frac{361}{9}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[6]{x^4}·\sqrt[9]{x^{15}})}^9$

= ${(x^{\frac{4}{6}}\cdot x^{\frac{15}{9}})}^9$

= ${(x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{5}{3}})}^9$

= ${\left(x^{\frac{2}{3}+\frac{5}{3}}\right)}^9$

= ${\left(x^{\frac{7}{3}}\right)}^9$

= $x^{\frac{7}{3}·9}$

= $x^{21}$

$\frac{\frac{9}{c^4}}{9c^{-3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{c^4}}{\frac{9}{c^3}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{c^4}·\frac{c^3}{9}$

= $\frac{1}{c}$