$\frac{1}{x^9}$ kann man auch als $x^{-9}$ schreiben.

Also ist $\frac{4}{x^9}$ = $4·\frac{1}{x^9}$ das gleiche wie $4x^{-9}$.

Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[6]{x^5}$ = ${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{6}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{6}}$ = x^{5⋅$\frac{1}{6}$} = $x^{\frac{5}{6}}$

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{-\frac{5}{6}}$ = $x^{-5·\frac{1}{6}}$ = ${\left(x^5\right)}^{-\frac{1}{6}}$ = $\frac{1}{{\left(x^5\right)}^{\frac{1}{6}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{6}$} immer das gleiche ist wie die 6-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{\left(x^5\right)}^{\frac{1}{6}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[6]{x^5}}$

${27}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{27}\right)}^2$

= $3^2$

= 9

${121}^{-\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>121</mn></mrow>\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{1}{\sqrt{121}}$

= $\frac{1}{11}$

${0.09}^{\frac{3}{2}}$

= ${\left(\sqrt{0.09}\right)}^3$

= ${0.3}^3$

= $\mathrm{0,027}$

${\left({16}^{-3}\right)}^{\frac{1}{2}}$

= ${16}^{-3·\frac{1}{2}}$

= ${16}^{\frac{1}{2}·\left(-3\right)}$

= ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$

= $\frac{1}{{\left(\sqrt{16}\right)}^3}$

= $\frac{1}{4^3}$

= $\frac{1}{64}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x}·{\left(\sqrt[12]{x}\right)}^{15})}^6$

= ${(x^{\frac{1}{4}}\cdot x^{\frac{15}{12}})}^6$

= ${(x^{\frac{1}{4}}\cdot x^{\frac{5}{4}})}^6$

= ${\left(x^{\frac{1}{4}+\frac{5}{4}}\right)}^6$

= ${\left(x^{\frac{3}{2}}\right)}^6$

= $x^{\frac{3}{2}·6}$

= $x^9$

$\frac{5t^{-2}}{10t^{-3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{t^2}}{\frac{10}{t^3}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{t^2}·\frac{t^3}{10}$

= $\frac{1}{2}t$