$\frac{1}{x^6}$ kann man auch als $x^{-6}$ schreiben.

Also ist $\frac{3}{x^6}$ = $3·\frac{1}{x^6}$ das gleiche wie $3x^{-6}$.

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{1}{3}}$ = x^{1⋅$\frac{1}{3}$} = ${\left(x\right)}^{\frac{1}{3}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{3}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

${\left(x\right)}^{\frac{1}{3}}$ = $\sqrt[3]{x}$

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[8]{x^7}}$ = $\frac{1}{{\left(x^7\right)}^{-\frac{1}{8}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^7\right)}^{-\frac{1}{8}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{8}·7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{7}{8}}}$ = $x^{-\frac{7}{8}}$

${81}^{\frac{3}{4}}$

= ${\left(\sqrt[4]{81}\right)}^3$

= $3^3$

= 27

${\left(\frac{27}{8}\right)}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$

= $\frac{3}{2}$

${0.001}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{0.001}\right)}^2$

= ${0.1}^2$

= $\mathrm{0,01}$

${\left(5^{-\frac{1}{3}}\right)}^{-6}$

= $5^{-\frac{1}{3}·\left(-6\right)}$

= $5^2$

= $25$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x^4}·\sqrt[5]{x^6})}^{15}$

= ${(x^{\frac{4}{10}}\cdot x^{\frac{6}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{2}{5}}\cdot x^{\frac{6}{5}})}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{2}{5}+\frac{6}{5}}\right)}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{8}{5}}\right)}^{15}$

= $x^{\frac{8}{5}·15}$

= $x^{24}$

$\frac{7v^{-4}}{\frac{5}{v^2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{7}{v^4}}{\frac{5}{v^2}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{7}{v^4}·\frac{v^2}{5}$

= $\frac{7}{5v^2}$