Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{9} \cdot x^{4}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{9} \cdot x^{4}$

= $x^{9 + 4}$

= $x^{13}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 2)}^{4}}{{(- 2)}^{1}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 2)}^{4}}{{(- 2)}^{1}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 2)}^{4}}{(- 2)}$

= $\frac{(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)}{(- 2)}$

= ( $- 2$ ) · ( $- 2$ ) · ( $- 2$ )

= $- 8$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 2)}^{4}}{{(- 2)}^{1}}$

= ${(- 2)}^{4 - 1}$

= ${(- 2)}^{3}$

= $- 8$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 x^{6} \cdot 7 x^{9}$

Lösung einblenden

$- 2 x^{6} \cdot 7 x^{9}$ = $- 2 \cdot x^{6} \cdot 7 \cdot x^{9}$ = $- 14 x^{6} \cdot x^{9}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 14$ $x^{6 + 9}$

= $- 14 x^{15}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9 x^{- 2} \cdot 2 x^{8}$

Lösung einblenden

$9 x^{- 2} \cdot 2 x^{8}$ = $9 \cdot x^{- 2} \cdot 2 \cdot x^{8}$ = $18 x^{- 2} \cdot x^{8}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $18$ $x^{- 2 + 8}$

= $18 x^{6}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{5} + x^{4}}{x} + 3 x^{3}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{5} + x^{4}}{x} + 3 x^{3}$

= $\frac{x^{5}}{x} + \frac{x^{4}}{x} + 3 x^{3}$

= $x^{4} + x^{3} + 3 x^{3}$

= $x^{4} + 4 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(4 x)}^{3}$

= $4^{3} \cdot x^{3}$

= $64 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $8^{4}$ ⋅ $4^{- 4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $8^{4}$ ⋅ $4^{- 4}$

= $8^{4} \cdot \frac{1}{4^{4}}$

= $\frac{8^{4}}{4^{4}}$

= $\frac{8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= 8 4 · 8 4 · 8 4 · 8 4

= ${(\frac{8}{4})}^{4}$

= $2^{4}$

= $16$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{5})}^{4}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{5})}^{4}$

= $x^{5 \cdot 4}$

= $x^{20}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x^{6})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5 x^{6})}^{2}$

= $5^{2} \cdot {(x^{6})}^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{6 \cdot 2}$

= $25 x^{12}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $3^{- 2} \cdot 15^{2}$

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$3^{- 2} \cdot 15^{2}$

= $\frac{15^{2}}{3^{2}}$

= ${(\frac{15}{3})}^{2}$

= $5^{2}$

= $25$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{4^{2} \cdot 7^{4} + 4^{4} \cdot 7^{4}}{28^{4}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (28 = 4 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{4^{2} \cdot 7^{4} + 4^{4} \cdot 7^{4}}{28^{4}}$

= $\frac{(4^{2} + 4^{4}) \cdot 7^{4}}{{(4 \cdot 7)}^{4}}$

= $\frac{(4^{2} + 4^{4}) \cdot 7^{4}}{4^{4} \cdot 7^{4}}$

= $\frac{4^{2} + 4^{4}}{4^{4}}$

= $\frac{4^{2} \cdot (1 + 4^{2})}{4^{4}}$

= $\frac{1 + 16}{4^{2}}$

= $\frac{17}{16}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 1)}^{3}}{{(4 x^{2} + 4 x + 1)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 1)}^{3}}{{(4 x^{2} + 4 x + 1)}^{3}}$

= $\frac{{((2 x + 1) \cdot (2 x - 1))}^{3}}{{({(2 x + 1)}^{2})}^{3}}$

= $\frac{{(2 x + 1)}^{3} \cdot {(2 x - 1)}^{3}}{{(2 x + 1)}^{6}}$

= $\frac{1 \cdot {(2 x - 1)}^{3}}{{(2 x + 1)}^{3}}$

= $\frac{{(2 x - 1)}^{3}}{{(2 x + 1)}^{3}}$

= ${(\frac{2 x - 1}{2 x + 1})}^{3}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln