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Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: x 4 x 6

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: a n a m = an-m gilt:

x 4 x 6

= x 4-6

= x -2

= 1 x 2

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: 10 3 10 -1

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

10 3 10 -1

Herkömmlicher Weg:

10 3 10 -1

= 10 · 10 · 10·10

= 10000

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

10 3 10 -1

= 10 3 +1

= 10 4

= 10000

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: 2 x 4 · 8 x 3

Lösung einblenden

2 x 4 · 8 x 3 = 2 · x 4 · 8 · x 3 = 16 x 4 · x 3

Nach dem Potenzgesetz: a n ⋅ a m = an+m gilt:

= 16 x 4+3

= 16 x 7

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: -5 x -2 · 8 x 8

Lösung einblenden

-5 x -2 · 8 x 8 = -5 · x -2 · 8 · x 8 = -40 x -2 · x 8

Nach dem Potenzgesetz: a n ⋅ a m = an+m gilt:

= -40 x -2 + 8

= -40 x 6

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: x 6 + x 7 x 3 -4 x 3

Lösung einblenden

x 6 + x 7 x 3 -4 x 3

= x 6 x 3 + x 7 x 3 -4 x 3

= x 3 + x 4 -4 x 3

= x 4 -3 x 3

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: 4 x · 5 x

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: an⋅bn= (a⋅b)n gilt:

4 x · 5 x

= ( 4 · 5 ) x

= 20 x

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): 2 4 ⋅ 5 4

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= 2 4 · 5 4

= 2 · 2 · 2 · 2 ⋅ 5 · 5 · 5 · 5

= 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5

= ( 2 · 5 ) 4

= 10 4

= 10000

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ( 5 x ) 2

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31x oder x19.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (an)m= an⋅m gilt:

( 5 x ) 2

= 5 x · 2

= 5 2x

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (an)m= an⋅m rückwärts an:

= ( 5 2 ) x

= 25 x

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ( 2 x 3 ) 4

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (an)m= an⋅m gilt:

( 2 x 3 ) 4

= 2 4 · ( x 3 ) 4

= 2 4 · x 3 · 4

= 16 x 12

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: 2 -4 5 4

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

2 -4 5 4

= 1 2 4 · 1 5 4

= 1 ( 2⋅5 ) 4

= 1 10 4

= 1 10000

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: 6 4 · 18 - 6 5 · 4 6 5

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 18 als 3 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

6 4 · 18 - 6 5 · 4 6 5

= 6 4 · 3⋅6 - 6 5 · 4 6 5

= 6 5 · 3 - 6 5 · 4 6 5

= 6 5 · ( 3 - 4 ) 6 5

= 3 - 4

= -1

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ( x 2 +8x +16 ) 3 ( x 2 -16 ) 3

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

( x 2 +8x +16 ) 3 ( x 2 -16 ) 3

= ( ( x +4 ) 2 ) 3 ( ( x +4 ) · ( x -4 ) ) 3

= ( x +4 ) 6 ( x +4 ) 3 · ( x -4 ) 3

= ( x +4 ) 3 1 · ( x -4 ) 3

= ( x +4 ) 3 ( x -4 ) 3

= ( x +4 x -4 ) 3