Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

$\frac{x^5}{x^7}$

= $x^{5-7}$

= $x^{-2}$

= $\frac{1}{x^2}$

${\left(-10\right)}^6$⋅ ${\left(-10\right)}^{-9}$

Herkömmlicher Weg:

${\left(-10\right)}^6·\left(\frac{1}{{\left(-10\right)}^9}\right)$

= $\frac{\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)}{\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)·\left($ -10$\right)}$

= $\frac{1}{\mathrm{<mrow><mo>(</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>10</mn></mrow></math><mo>)</mo><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mo>(</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>10</mn></mrow></math><mo>)</mo><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mo>(</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>10</mn></mrow></math><mo>)</mo></mrow>}}$

= $-\frac{1}{1000}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${\left(-10\right)}^6$⋅ ${\left(-10\right)}^{-9}$

= ${\left(-10\right)}^{6-9}$

= ${\left(-10\right)}^{-3}$

= $\frac{1}{{\left(-10\right)}^3}$

= $-\frac{1}{1000}$

$\frac{8x^7}{4x^9}$ = $\frac{8·x^7}{4·x^9}$ = $2\frac{x^7}{x^9}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{7-9}$

= $2x^{-2}$

= $\frac{2}{x^2}$

$\frac{3x^2}{2x^{-5}}$ = $\frac{3·x^2}{2·x^{-5}}$ = $\frac{3}{2}\frac{x^2}{x^{-5}}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $\frac{3}{2}$ $x^{2-\left(-5\right)}$

= $\frac{3}{2}{x}^7$

$-2x^2+x^2·\left(x^2+1\right)$

= $-2x^2+(x^2·x^2+x^2·1)$

= $-2x^2+x^4+x^2$

= $x^4-x^2$

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${\left(3x\right)}^2$

= $3^2·x^2$

= $9x^2$

= $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>7</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>5</mn></mrow>\; <mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{2^7}{\frac{1}{5^7}}$

= $2^7·5^7$

= 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 ⋅ 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

= 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5

= ${(2·5)}^7$

= ${10}^7$

= $10000000$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(x^3\right)}^4$

= $x^{3·4}$

= $x^{12}$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(2\cdot 3^x\right)}^4$

= $2^4·{\left(3^x\right)}^4$

= $2^4·3^{x·4}$

= $16\cdot 3^{4x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $16\cdot {\left(3^4\right)}^x$

= $16\cdot {81}^x$

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $2$ ⋅ $5$ gerade gleich der Basis des Nenners ($10$) ist.
Wenn man nun die $5^7$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 4 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$\frac{2^4}{{10}^4}·5^7$

= $\frac{2^4·5^7}{{10}^4}$

= $\frac{2^4·5^{4+3}}{{10}^4}$

= $\frac{2^4·5^4·5^3}{{10}^4}$

= $\frac{{\left(2\cdot 5\right)}^4}{{10}^4}·5^3$

= $\frac{{10}^4}{{10}^4}·5^3$

= $125$

Hier sollte man erkennen, dass man die 28 als 4 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^6·28+7^7·2}{7^7}$

= $\frac{7^6·4\cdot 7+7^7·2}{7^7}$

= $\frac{7^7·4+7^7·2}{7^7}$

= $\frac{7^7·\left(4+2\right)}{7^7}$

= $4+2$

= $6$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{\left(4x^2-4x+1\right)}^5}{{\left(2x-1\right)}^7}$

= $\frac{{\left({\left(2x-1\right)}^2\right)}^5}{{\left(2x-1\right)}^7}$

= $\frac{{\left(2x-1\right)}^{10}}{{\left(2x-1\right)}^7}$

= $\frac{{\left(2x-1\right)}^3}{1}$

= ${\left(2x-1\right)}^3$