Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{7} \cdot x^{5}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{7} \cdot x^{5}$

= $x^{7 + 5}$

= $x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $4^{2}$ ⋅ $4^{- 2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$4^{2}$ ⋅ $4^{- 2}$

Herkömmlicher Weg:

$4^{2} \cdot \frac{1}{4^{2}}$

= $\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

= $1$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$4^{2}$ ⋅ $4^{- 2}$

= $4^{2 - 2}$

= $1$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 6 x^{9}}{2 x^{6}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 6 x^{9}}{2 x^{6}}$ = $\frac{- 6 \cdot x^{9}}{2 \cdot x^{6}}$ = $- 3 \frac{x^{9}}{x^{6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 3$ $x^{9 - 6}$

= $- 3 x^{3}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $6 x^{4} \cdot 8 x^{5}$

Lösung einblenden

$6 x^{4} \cdot 8 x^{5}$ = $6 \cdot x^{4} \cdot 8 \cdot x^{5}$ = $48 x^{4} \cdot x^{5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $48$ $x^{4 + 5}$

= $48 x^{9}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5} - 5 x^{5}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{5} - 5 x^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5} - 5 x^{5}$

= $32 x^{5} - 5 x^{5}$

= $27 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{20^{x}}{5^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{20^{x}}{5^{x}}$

= ${(\frac{20}{5})}^{x}$

= $4^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{28^{2}}{7^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{28^{2}}{7^{2}}$

= $\frac{28 \cdot 28}{7 \cdot 7}$

= 28 7 · 28 7

= ${(\frac{28}{7})}^{2}$

= $4^{2}$

= $16$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{6}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{6}$

= $x^{4 \cdot 6}$

= $x^{24}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 3^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 3^{x})}^{3}$

= $3^{3} \cdot {(3^{x})}^{3}$

= $3^{3} \cdot 3^{x \cdot 3}$

= $27 \cdot 3^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $27 \cdot {(3^{3})}^{x}$

= $27 \cdot 27^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{7} \cdot \frac{2^{10}}{8^{7}}$

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $4$ ⋅ $2$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $8$ ) ist.
Wenn man nun die $2^{10}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 7 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$4^{7} \cdot \frac{2^{10}}{8^{7}}$

= $\frac{4^{7} \cdot 2^{10}}{8^{7}}$

= $\frac{4^{7} \cdot 2^{7 + 3}}{8^{7}}$

= $\frac{4^{7} \cdot 2^{7} \cdot 2^{3}}{8^{7}}$

= $\frac{{(4 \cdot 2)}^{7}}{8^{7}} \cdot 2^{3}$

= $\frac{8^{7}}{8^{7}} \cdot 2^{3}$

= $8$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{7} \cdot 4^{6} + 8^{7} \cdot 4^{8}}{32^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (32 = 4 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{7} \cdot 4^{6} + 8^{7} \cdot 4^{8}}{32^{7}}$

= $\frac{8^{7} \cdot (4^{6} + 4^{8})}{{(8 \cdot 4)}^{7}}$

= $\frac{8^{7} \cdot (4^{6} + 4^{8})}{8^{7} \cdot 4^{7}}$

= $\frac{4^{6} + 4^{8}}{4^{7}}$

= $\frac{4^{6} \cdot (1 + 4^{2})}{4^{7}}$

= $\frac{1 + 16}{4}$

= $\frac{17}{4}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 8 x + 4)}^{3}}{16 {(x - 1)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 8 x + 4)}^{3}}{16 {(x - 1)}^{4}}$

= $\frac{4^{3} \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}{16 {(x - 1)}^{4}}$

= $\frac{{(2^{2})}^{3} \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}{2^{4} \cdot {(x - 1)}^{4}}$

= $\frac{2^{6} \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}{2^{4} \cdot {(x - 1)}^{4}}$

= $\frac{2^{2} \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{4}}$

= $\frac{4 {({(x - 1)}^{2})}^{3}}{{(x - 1)}^{4}}$

= $\frac{4 {(x - 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{4}}$

= $\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{1}$

= $4 {(x - 1)}^{2}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln