Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{8}}{x^{5}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{8}}{x^{5}}$

= $x^{8 - 5}$

= $x^{3}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $18^{3}$ ⋅ $18^{- 1}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$18^{3}$ ⋅ $18^{- 1}$

Herkömmlicher Weg:

$18^{3} \cdot \frac{1}{18}$

= $\frac{18 \cdot 18 \cdot 18}{18}$

= 18 · 18

= $324$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$18^{3}$ ⋅ $18^{- 1}$

= $18^{3 - 1}$

= $18^{2}$

= $324$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 x^{3} \cdot 4 x^{6}$

Lösung einblenden

$- 2 x^{3} \cdot 4 x^{6}$ = $- 2 \cdot x^{3} \cdot 4 \cdot x^{6}$ = $- 8 x^{3} \cdot x^{6}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 8$ $x^{3 + 6}$

= $- 8 x^{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- x^{6}}{2 x^{- 9}}$

Lösung einblenden

$\frac{- x^{6}}{2 x^{- 9}}$ = $\frac{- 1 \cdot x^{6}}{2 \cdot x^{- 9}}$ = $- \frac{1}{2} \frac{x^{6}}{x^{- 9}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{1}{2}$ $x^{6 - (- 9)}$

= $- \frac{1}{2} x^{15}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x^{6} + x^{5} \cdot (x + x^{7})$

Lösung einblenden

$- 5 x^{6} + x^{5} \cdot (x + x^{7})$

= $- 5 x^{6} + (x^{5} \cdot x + x^{5} \cdot x^{7})$

= $- 5 x^{6} + x^{6} + x^{12}$

= $x^{12} - 4 x^{6}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $7^{x} \cdot 6^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$7^{x} \cdot 6^{x}$

= ${(7 \cdot 6)}^{x}$

= $42^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{6^{4}}{2^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{6^{4}}{2^{4}}$

= $\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

= 6 2 · 6 2 · 6 2 · 6 2

= ${(\frac{6}{2})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{3}$

= $x^{4 \cdot 3}$

= $x^{12}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{4})}^{6}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{4})}^{6}$

= $2^{6} \cdot {(x^{4})}^{6}$

= $2^{6} \cdot x^{4 \cdot 6}$

= $64 x^{24}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{- 4} \cdot 2^{4}$

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$4^{- 4} \cdot 2^{4}$

= $\frac{2^{4}}{4^{4}}$

= ${(\frac{2}{4})}^{4}$

= ${(\frac{1}{2})}^{4}$

= $\frac{1}{16}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6^{5} \cdot 12 - 6^{6} \cdot 5}{6^{6}}$

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Hier sollte man erkennen, dass man die 12 als 2 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^{5} \cdot 12 - 6^{6} \cdot 5}{6^{6}}$

= $\frac{6^{5} \cdot 2 \cdot 6 - 6^{6} \cdot 5}{6^{6}}$

= $\frac{6^{6} \cdot 2 - 6^{6} \cdot 5}{6^{6}}$

= $\frac{6^{6} \cdot (2 - 5)}{6^{6}}$

= $2 - 5$

= $- 3$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} + 16 x + 16)}^{5}}{64 {(x + 2)}^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} + 16 x + 16)}^{5}}{64 {(x + 2)}^{6}}$

= $\frac{4^{5} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}{64 {(x + 2)}^{6}}$

= $\frac{{(2^{2})}^{5} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}{2^{6} \cdot {(x + 2)}^{6}}$

= $\frac{2^{10} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}{2^{6} \cdot {(x + 2)}^{6}}$

= $\frac{2^{4} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}{{(x + 2)}^{6}}$

= $\frac{16 {({(x + 2)}^{2})}^{5}}{{(x + 2)}^{6}}$

= $\frac{16 {(x + 2)}^{10}}{{(x + 2)}^{6}}$

= $\frac{16 {(x + 2)}^{4}}{1}$

= $16 {(x + 2)}^{4}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln