Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

$x^7·x^6$

= $x^{7+6}$

= $x^{13}$

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>6</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{\left(-5\right)}^6}{{\left(-5\right)}^4}$

= $\frac{\left($ -5$\right)·\left($ -5$\right)·\left($ -5$\right)·\left($ -5$\right)·\left($ -5$\right)·\left($ -5$\right)}{\left($ -5$\right)·\left($ -5$\right)·\left($ -5$\right)·\left($ -5$\right)}$

= ($-5$) · ($-5$)

= $25$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>6</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

= ${\left(-5\right)}^{6-4}$

= ${\left(-5\right)}^2$

= $25$

$\frac{-3x^6}{2x^2}$ = $\frac{-3·x^6}{2·x^2}$ = $-\frac{3}{2}\frac{x^6}{x^2}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $-\frac{3}{2}$ $x^{6-2}$

= $-\frac{3}{2}{x}^4$

$-7x^5·4x^4$ = $-7·x^5·4·x^4$ = $-28x^5·x^4$

Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

= $-28$ $x^{5+4}$

= $-28x^9$

$\frac{x^5+x^4}{x^2}-5x^2$

= $\frac{x^5}{x^2}+\frac{x^4}{x^2}-5x^2$

= $x^3+x^2-5x^2$

= $x^3-4x^2$

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{8^x}{2^x}$

= ${\left(\frac{8}{2}\right)}^x$

= $4^x$

= $2^2·7^2$

= 2 · 2 ⋅ 7 · 7

= 2 · 7 · 2 · 7

= ${(2·7)}^2$

= ${14}^2$

= $196$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(x^3\right)}^3$

= $x^{3·3}$

= $x^9$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(7\cdot 3^x\right)}^2$

= $7^2·{\left(3^x\right)}^2$

= $7^2·3^{x·2}$

= $49\cdot 3^{2x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $49\cdot {\left(3^2\right)}^x$

= $49\cdot 9^x$

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $2$ ⋅ $16$ gerade gleich der Basis des Nenners ($32$) ist.
Wenn man nun die ${16}^8$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 6 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$2^6·\frac{{16}^8}{{32}^6}$

= $\frac{2^6·{16}^8}{{32}^6}$

= $\frac{2^6·{16}^{6+2}}{{32}^6}$

= $\frac{2^6·{16}^6·{16}^2}{{32}^6}$

= $\frac{{\left(2\cdot 16\right)}^6}{{32}^6}·{16}^2$

= $\frac{{32}^6}{{32}^6}·{16}^2$

= $256$

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (12 = 2 ⋅ 6)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^7·2^5+6^7·2^7}{{12}^7}$

= $\frac{6^7·\left(2^5+2^7\right)}{{\left(6\cdot 2\right)}^7}$

= $\frac{6^7·\left(2^5+2^7\right)}{6^7·2^7}$

= $\frac{2^5+2^7}{2^7}$

= $\frac{2^5·\left(1+2^2\right)}{2^7}$

= $\frac{1+4}{2^2}$

= $\frac{5}{4}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{\left(2x+3\right)}^3}{{\left(4x^2+12x+9\right)}^2}$

= $\frac{{\left(2x+3\right)}^3}{{\left({\left(2x+3\right)}^2\right)}^2}$

= $\frac{{\left(2x+3\right)}^3}{{\left(2x+3\right)}^4}$

= $\frac{1}{2x+3}$