Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{7} \cdot x^{8}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{7} \cdot x^{8}$

= $x^{7 + 8}$

= $x^{15}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{4^{2}}{4^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{4^{2}}{4^{2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{4^{2}}{4^{2}}$

= $\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

= $1$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{4^{2}}{4^{2}}$

= $4^{2 - 2}$

= $1$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 6 x^{4}}{2 x^{7}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 6 x^{4}}{2 x^{7}}$ = $\frac{- 6 \cdot x^{4}}{2 \cdot x^{7}}$ = $- 3 \frac{x^{4}}{x^{7}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 3$ $x^{4 - 7}$

= $- 3 x^{- 3}$

= $- \frac{3}{x^{3}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{7 x^{- 8}}{2 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{7 x^{- 8}}{2 x^{4}}$ = $\frac{7 \cdot x^{- 8}}{2 \cdot x^{4}}$ = $\frac{7}{2} \frac{x^{- 8}}{x^{4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{7}{2}$ $x^{- 8 - 4}$

= $\frac{7}{2} x^{- 12}$

= $\frac{7}{2 x^{12}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{4} + x^{2}}{x} - 4 x^{3}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{4} + x^{2}}{x} - 4 x^{3}$

= $\frac{x^{4}}{x} + \frac{x^{2}}{x} - 4 x^{3}$

= $x^{3} + x - 4 x^{3}$

= $- 3 x^{3} + x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(4 x)}^{2}$

= $4^{2} \cdot x^{2}$

= $16 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{14^{4}}{7^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{14^{4}}{7^{4}}$

= $\frac{14 \cdot 14 \cdot 14 \cdot 14}{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}$

= 14 7 · 14 7 · 14 7 · 14 7

= ${(\frac{14}{7})}^{4}$

= $2^{4}$

= $16$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{2})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{2})}^{5}$

= $x^{2 \cdot 5}$

= $x^{10}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $5^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $5^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $25 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $25 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $25 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{6}}{26^{6}} \cdot 13^{8}$

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Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $2$ ⋅ $13$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $26$ ) ist.
Wenn man nun die $13^{8}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 6 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$\frac{2^{6}}{26^{6}} \cdot 13^{8}$

= $\frac{2^{6} \cdot 13^{8}}{26^{6}}$

= $\frac{2^{6} \cdot 13^{6 + 2}}{26^{6}}$

= $\frac{2^{6} \cdot 13^{6} \cdot 13^{2}}{26^{6}}$

= $\frac{{(2 \cdot 13)}^{6}}{26^{6}} \cdot 13^{2}$

= $\frac{26^{6}}{26^{6}} \cdot 13^{2}$

= $169$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{7^{7} \cdot 4^{4} + 7^{7} \cdot 4^{7}}{28^{7}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (28 = 4 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^{7} \cdot 4^{4} + 7^{7} \cdot 4^{7}}{28^{7}}$

= $\frac{7^{7} \cdot (4^{4} + 4^{7})}{{(7 \cdot 4)}^{7}}$

= $\frac{7^{7} \cdot (4^{4} + 4^{7})}{7^{7} \cdot 4^{7}}$

= $\frac{4^{4} + 4^{7}}{4^{7}}$

= $\frac{4^{4} \cdot (1 + 4^{3})}{4^{7}}$

= $\frac{1 + 64}{4^{3}}$

= $\frac{65}{64}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{2}}{{(2 x + 3)}^{2}}$

= $\frac{{((2 x + 3) \cdot (2 x - 3))}^{2}}{{(2 x + 3)}^{2}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{2} \cdot {(2 x - 3)}^{2}}{{(2 x + 3)}^{2}}$

= $\frac{1 \cdot {(2 x - 3)}^{2}}{1}$

= ${(2 x - 3)}^{2}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln