Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

$x^2·x^9$

= $x^{2+9}$

= $x^{11}$

${\left(-3\right)}^7$⋅ ${\left(-3\right)}^{-9}$

Herkömmlicher Weg:

${\left(-3\right)}^7·\left(\frac{1}{{\left(-3\right)}^9}\right)$

= $\frac{\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)}{\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)}$

= $\frac{1}{\mathrm{<mrow><mo>(</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></math><mo>)</mo><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mo>(</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></math><mo>)</mo></mrow>}}$

= $\frac{1}{9}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${\left(-3\right)}^7$⋅ ${\left(-3\right)}^{-9}$

= ${\left(-3\right)}^{7-9}$

= ${\left(-3\right)}^{-2}$

= $\frac{1}{{\left(-3\right)}^2}$

= $\frac{1}{9}$

$\frac{4x^5}{2x^7}$ = $\frac{4·x^5}{2·x^7}$ = $2\frac{x^5}{x^7}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{5-7}$

= $2x^{-2}$

= $\frac{2}{x^2}$

$\frac{-x^8}{2x^{-6}}$ = $\frac{-1·x^8}{2·x^{-6}}$ = $-\frac{1}{2}\frac{x^8}{x^{-6}}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $-\frac{1}{2}$ $x^{8-\left(-6\right)}$

= $-\frac{1}{2}{x}^{14}$

$\frac{x^3+x^4}{x}+4x^2$

= $\frac{x^3}{x}+\frac{x^4}{x}+4x^2$

= $x^2+x^3+4x^2$

= $x^3+5x^2$

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$4^x·2^x$

= ${(4·2)}^x$

= $8^x$

= $5^7·2^7$

= 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 ⋅ 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

= 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2

= ${(5·2)}^7$

= ${10}^7$

= $10000000$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(4^x\right)}^2$

= $4^{x·2}$

= $4^{2x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${\left(4^2\right)}^x$

= ${16}^x$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(2\cdot 2^x\right)}^5$

= $2^5·{\left(2^x\right)}^5$

= $2^5·2^{x·5}$

= $32\cdot 2^{5x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $32\cdot {\left(2^5\right)}^x$

= $32\cdot {32}^x$

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$8^{-2}·2^4$

= $\frac{2^4}{8^2}$

= $\frac{2^4}{{\left(2^3\right)}^2}$

= $\frac{2^4}{2^6}$

= $2^{4-6}$

= $\frac{1}{2^2}$

= $\frac{1}{4}$

Hier sollte man erkennen, dass man die 21 als 3 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{21·7^6-4·7^7}{7^7}$

= $\frac{3\cdot 7·7^6-4·7^7}{7^7}$

= $\frac{3·7^7-4·7^7}{7^7}$

= $\frac{\left(3-4\right)·7^7}{7^7}$

= $3-4$

= $-1$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{\left(2x-5\right)}^6}{{\left(4x^2-20x+25\right)}^4}$

= $\frac{{\left(2x-5\right)}^6}{{\left({\left(2x-5\right)}^2\right)}^4}$

= $\frac{{\left(2x-5\right)}^6}{{\left(2x-5\right)}^8}$

= $\frac{1}{{\left(2x-5\right)}^2}$