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Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ = $1$

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$	=	$1$	\|⋅ $2$
$2^{x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (2)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (2)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $2^{x}$ = 2 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10^{x}$ = $4$

Lösung einblenden

$10^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$x$	=	$\lg (4)$	≈ 0.6021
$x$	=	$2 \lg (2)$

L={ $2 \lg (2)$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \cdot 2^{x} + 32 \cdot 2^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $32 \cdot 2^{2 x}$ in $32 \cdot 2^{2 x}$ = $32 \cdot 2^{x + x}$ = $32 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x}$ auf::

$32 \cdot 2^{2 x} - 2 \cdot 2^{x}$ = 0

$32 \cdot 2^{x + x} - 2 \cdot 2^{x}$ = 0

$32 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x} - 2 \cdot 2^{x}$ = 0

$2^{x} (32 \cdot 2^{x} - 2)$	=	0
$(32 \cdot 2^{x} - 2) \cdot 2^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$32 \cdot 2^{x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$32 \cdot 2^{x}$	=	$2$	\|: $32$
$2^{x}$	=	$\frac{1}{16}$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{16})$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (\frac{1}{16})$	\|: $\lg (2)$
x₁	=	$\frac{\lg (\frac{1}{16})}{\lg (2)}$

x₁

- 4

2. Fall:

2^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $119 \cdot {0,9}^{t}$ darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 98 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 98, also $119 \cdot {0.9}^{t}$ = 98.

$119 \cdot {0.9}^{t}$	=	$98$	\|: $119$
${0.9}^{t}$	=	$\frac{14}{17}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0.9}^{t})$	=	$\lg (\frac{14}{17})$
$t \cdot \lg (0.9)$	=	$\lg (\frac{14}{17})$	\|: $\lg (0.9)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{14}{17})}{\lg (0.9)}$

t

1,8428

Zum Zeitpunkt t ≈ $1,8428$ Jahre ist der Bestand 98 Millionen.