Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{3 x + 31}$ = $12$

$3 \sqrt{3 x + 31}$	=	$12$	\|: $3$
$\sqrt{3 x + 31}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 31$	=	$4^{2}$

$3 x + 31$	=	$16$	\| $- 31$
$3 x$	=	$- 15$	\|: $3$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $3 \sqrt{3 x + 31}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot (- 5) + 31}$

= $3 \sqrt{- 15 + 31}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $12$

$=$ $12$

Also 12 = 12

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 12 x + 64}$ = $- 2 x + 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 12 x + 64}$	=	$- 2 x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 12 x + 64$	=	${(- 2 x + 4)}^{2}$

- 12 x + 64

=

4 x^{2} - 16 x + 16

|

- 4 x^{2}

+ 16 x

- 16

- 4 x^{2} + 4 x + 48

= 0 |:4

$- x^{2} + x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1+7}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1-7}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 12 x + 64}$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot (- 3) + 64}$

= $\sqrt{36 + 64}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 2 x + 4$

$=$ $- 2 \cdot (- 3) + 4$

= $6 + 4$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{- 12 x + 64}$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot 4 + 64}$

= $\sqrt{- 48 + 64}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 2 x + 4$

$=$ $- 2 \cdot 4 + 4$

= $- 8 + 4$

= $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{15 x + 61}$ = $2 \sqrt{4 x + 16}$

Lösung einblenden

$\sqrt{15 x + 61}$	=	$2 \sqrt{4 x + 16}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$15 x + 61$	=	${(2 \sqrt{4 x + 16})}^{2}$

$15 x + 61$	=	$4 (4 x + 16)$
$15 x + 61$	=	$16 x + 64$	\| $- 61$
$15 x$	=	$16 x + 3$	\| $- 16 x$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{15 x + 61}$

$=$ $\sqrt{15 \cdot (- 3) + 61}$

= $\sqrt{- 45 + 61}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 \sqrt{4 x + 16}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot (- 3) + 16}$

= $2 \sqrt{- 12 + 16}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 61}$ = $\sqrt{4 x + 40} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 61}$	=	$\sqrt{4 x + 40} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 61$	=	${(\sqrt{4 x + 40} + 1)}^{2}$

$6 x + 61$	=	$2 \sqrt{4 x + 40} + 4 x + 41$	\| $- 6 x$ $- 61$ $- 2 \sqrt{4 x + 40}$
$- 2 \sqrt{4 x + 40}$	=	$- 2 x - 20$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 40}$	=	$x + 10$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 40$	=	${(x + 10)}^{2}$

4 x + 40

=

x^{2} + 20 x + 100

|

- x^{2}

- 20 x

- 100

$- x^{2} - 16 x - 60$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{16+4}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{16-4}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 10$

Linke Seite:

x = $- 10$ in $6 x + 61$

$=$ $6 \cdot (- 10) + 61$

= $- 60 + 61$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 10$ in $2 \sqrt{4 x + 40} + 4 x + 41$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot (- 10) + 40} + 4 \cdot (- 10) + 41$

= $2 \sqrt{- 40 + 40} - 40 + 41$

= $2 \sqrt{0} - 40 + 41$

= $2 \cdot 0 - 40 + 41$

= $0 - 40 + 41$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 10$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $6 x + 61$

$=$ $6 \cdot (- 6) + 61$

= $- 36 + 61$

= $25$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $2 \sqrt{4 x + 40} + 4 x + 41$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot (- 6) + 40} + 4 \cdot (- 6) + 41$

= $2 \sqrt{- 24 + 40} - 24 + 41$

= $2 \sqrt{16} - 24 + 41$

= $2 \cdot 4 - 24 + 41$

= $8 - 24 + 41$

= $25$

Also 25 = 25

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 10$

Linke Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{6 x + 61}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 10) + 61}$

= $\sqrt{- 60 + 61}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{4 x + 40} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 10) + 40} + 1$

= $\sqrt{- 40 + 40} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 10$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{6 x + 61}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 6) + 61}$

= $\sqrt{- 36 + 61}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{4 x + 40} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 6) + 40} + 1$

= $\sqrt{- 24 + 40} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 10$ ; $- 6$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -3

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -10

Probe für x = -6

Probe für x = -10

Probe für x = -6

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 10$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 10$

Probe für x = $- 6$