$2\sqrt{-3x+18}$	=	$6$	|:$2$
$\sqrt{-3x+18}$	=	$3$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-3x+18$	=	$3^2$

$-3x+18$	=	$9$	| $-18$
$-3x$	=	$-9$	|:($-3$)
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite: x = $3$ in $2\sqrt{-3x+18}$ $=$ $2\sqrt{-3\cdot 3+18}$ = $2\sqrt{-9+18}$ = $2\sqrt{9}$ = $6$

Rechte Seite: x = $3$ in $6$ $=$ $6$

Also 6 = 6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$}

$\sqrt{-84x-224}+1$	=	$-3x$	| $-1$
$\sqrt{-84x-224}$	=	$-3x-1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-84x-224$	=	${\left(-3x-1\right)}^2$

$-84x-224$

=

$9x^2+6x+1$

| $-9x^2$ $-6x$ $-1$

$-9x^2-90x-225$ = 0 |:9

$-x^2-10x-25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{{\left(-10\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-25\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{100-100}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{0}}{-2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{-2}$ = $-5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-5$

Linke Seite: x = $-5$ in $\sqrt{-84x-224}+1$ $=$ $\sqrt{-84\cdot \left(-5\right)-224}+1$ = $\sqrt{420-224}+1$ = $\sqrt{196}+1$ = $14+1$ = $15$

Rechte Seite: x = $-5$ in $-3x$ $=$ $-3\cdot \left(-5\right)$ = $15$

Also 15 = 15

x = $-5$ ist somit eine Lösung !

L={ $-5$}

$\sqrt{13x-53}$	=	$2\sqrt{3x-11}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$13x-53$	=	${\left(2\sqrt{3x-11}\right)}^2$

$13x-53$	=	$4\left(3x-11\right)$
$13x-53$	=	$12x-44$	| $+53$
$13x$	=	$12x+9$	| $-12x$
$x$	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite: x = $9$ in $\sqrt{13x-53}$ $=$ $\sqrt{13\cdot 9-53}$ = $\sqrt{117-53}$ = $\sqrt{64}$ = $8$

Rechte Seite: x = $9$ in $2\sqrt{3x-11}$ $=$ $2\sqrt{3\cdot 9-11}$ = $2\sqrt{27-11}$ = $2\sqrt{16}$ = $8$

Also 8 = 8

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$}

$\sqrt{3x+33}$	=	$\sqrt{x+12}+1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3x+33$	=	${\left(\sqrt{x+12}+1\right)}^2$

$3x+33$	=	$2\sqrt{x+12}+x+13$	| $-3x$ $-33$ $-2\sqrt{x+12}$
$-2\sqrt{x+12}$	=	$-2x-20$	|:($-2$)
$\sqrt{x+12}$	=	$x+10$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x+12$	=	${\left(x+10\right)}^2$

$x+12$

=

$x^2+20x+100$

| $-x^2$ $-20x$ $-100$

$-x^2-19x-88$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+19\pm \sqrt{{\left(-19\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-88\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+19\pm \sqrt{361-352}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+19\pm \sqrt{9}}{-2}$

x₁ = $\frac{19+\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{22}{-2}$ = $-11$

x₂ = $\frac{19-\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{16}{-2}$ = $-8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-11$

Linke Seite: x = $-11$ in $3x+33$ $=$ $3\cdot \left(-11\right)+33$ = $-33+33$ = 0

Rechte Seite: x = $-11$ in $2\sqrt{x+12}+x+13$ $=$ $2\sqrt{-11+12}-11+13$ = $2\sqrt{1}-11+13$ = $2\cdot 1-11+13$ = $2-11+13$ = $4$

Also 0 ≠ 4

x = $-11$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $-8$

Linke Seite: x = $-8$ in $3x+33$ $=$ $3\cdot \left(-8\right)+33$ = $-24+33$ = $9$

Rechte Seite: x = $-8$ in $2\sqrt{x+12}+x+13$ $=$ $2\sqrt{-8+12}-8+13$ = $2\sqrt{4}-8+13$ = $2\cdot 2-8+13$ = $4-8+13$ = $9$

Also 9 = 9

x = $-8$ ist somit eine Lösung !

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-8$

Linke Seite: x = $-8$ in $\sqrt{3x+33}$ $=$ $\sqrt{3\cdot \left(-8\right)+33}$ = $\sqrt{-24+33}$ = $\sqrt{9}$ = $3$

Rechte Seite: x = $-8$ in $\sqrt{x+12}+1$ $=$ $\sqrt{-8+12}+1$ = $\sqrt{4}+1$ = $2+1$ = $3$

Also 3 = 3

x = $-8$ ist somit eine Lösung !

L={ $-8$}