$-3\sqrt{3x+1}$

=

$6$

|:($-3$)

$\sqrt{3x+1}$ = $-2$

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, das eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

$\sqrt{-33x-50}$	=	$-3x-2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-33x-50$	=	${\left(-3x-2\right)}^2$

$-33x-50$

=

$9x^2+12x+4$

| $-9x^2$ $-12x$ $-4$

$-9x^2-45x-54$ = 0 |:9

$-x^2-5x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-6\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25-24}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{1}}{-2}$

x₁ = $\frac{5+\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

x₂ = $\frac{5-\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{-2}$ = $-2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-3$

Linke Seite: x = $-3$ in $\sqrt{-33x-50}$ $=$ $\sqrt{-33\cdot \left(-3\right)-50}$ = $\sqrt{99-50}$ = $\sqrt{49}$ = $7$

Rechte Seite: x = $-3$ in $-3x-2$ $=$ $-3\cdot \left(-3\right)-2$ = $9-2$ = $7$

Also 7 = 7

x = $-3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $-2$

Linke Seite: x = $-2$ in $\sqrt{-33x-50}$ $=$ $\sqrt{-33\cdot \left(-2\right)-50}$ = $\sqrt{66-50}$ = $\sqrt{16}$ = $4$

Rechte Seite: x = $-2$ in $-3x-2$ $=$ $-3\cdot \left(-2\right)-2$ = $6-2$ = $4$

Also 4 = 4

x = $-2$ ist somit eine Lösung !

L={ $-3$; $-2$}

$\sqrt{47x+606}$	=	$3\sqrt{5x+66}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$47x+606$	=	${\left(3\sqrt{5x+66}\right)}^2$

$47x+606$	=	$9\left(5x+66\right)$
$47x+606$	=	$45x+594$	| $-606$
$47x$	=	$45x-12$	| $-45x$
$2x$	=	$-12$	|:$2$
$x$	=	$-6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-6$

Linke Seite: x = $-6$ in $\sqrt{47x+606}$ $=$ $\sqrt{47\cdot \left(-6\right)+606}$ = $\sqrt{-282+606}$ = $\sqrt{324}$ = $18$

Rechte Seite: x = $-6$ in $3\sqrt{5x+66}$ $=$ $3\sqrt{5\cdot \left(-6\right)+66}$ = $3\sqrt{-30+66}$ = $3\sqrt{36}$ = $18$

Also 18 = 18

x = $-6$ ist somit eine Lösung !

L={ $-6$}

$\sqrt{8x+9}$	=	$\sqrt{4x+13}+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8x+9$	=	${\left(\sqrt{4x+13}+2\right)}^2$

$8x+9$	=	$4\sqrt{4x+13}+4x+17$	| $-8x$ $-9$ $-4\sqrt{4x+13}$
$-4\sqrt{4x+13}$	=	$-4x+8$	|:($-4$)
$\sqrt{4x+13}$	=	$x-2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4x+13$	=	${\left(x-2\right)}^2$

$4x+13$

=

$x^2-4x+4$

| $-x^2$ $+4x$ $-4$

$-x^2+8x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·\left(-1\right)·9}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64+36}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{100}}{-2}$

x₁ = $\frac{-8+\sqrt{100}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-8-\sqrt{100}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-18}{-2}$ = $9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-1$

Linke Seite: x = $-1$ in $8x+9$ $=$ $8\cdot \left(-1\right)+9$ = $-8+9$ = $1$

Rechte Seite: x = $-1$ in $4\sqrt{4x+13}+4x+17$ $=$ $4\sqrt{4\cdot \left(-1\right)+13}+4\cdot \left(-1\right)+17$ = $4\sqrt{-4+13}-4+17$ = $4\sqrt{9}-4+17$ = $4\cdot 3-4+17$ = $12-4+17$ = $25$

Also 1 ≠ 25

x = $-1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite: x = $9$ in $8x+9$ $=$ $8\cdot 9+9$ = $72+9$ = $81$

Rechte Seite: x = $9$ in $4\sqrt{4x+13}+4x+17$ $=$ $4\sqrt{4\cdot 9+13}+4\cdot 9+17$ = $4\sqrt{36+13}+36+17$ = $4\sqrt{49}+36+17$ = $4\cdot 7+36+17$ = $28+36+17$ = $81$

Also 81 = 81

x = $9$ ist somit eine Lösung !

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite: x = $9$ in $\sqrt{8x+9}$ $=$ $\sqrt{8\cdot 9+9}$ = $\sqrt{72+9}$ = $\sqrt{81}$ = $9$

Rechte Seite: x = $9$ in $\sqrt{4x+13}+2$ $=$ $\sqrt{4\cdot 9+13}+2$ = $\sqrt{36+13}+2$ = $\sqrt{49}+2$ = $7+2$ = $9$

Also 9 = 9

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$}