$\sqrt{2x+15}$	=	$3$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2x+15$	=	$3^2$

$2x+15$	=	$9$	| $-15$
$2x$	=	$-6$	|:$2$
$x$	=	$-3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-3$

Linke Seite: x = $-3$ in $\sqrt{2x+15}$ $=$ $\sqrt{2\cdot \left(-3\right)+15}$ = $\sqrt{-6+15}$ = $\sqrt{9}$ = $3$

Rechte Seite: x = $-3$ in $3$ $=$ $3$

Also 3 = 3

x = $-3$ ist somit eine Lösung !

L={ $-3$}

$\sqrt{48x-23}+2$	=	$-3x$	| $-2$
$\sqrt{48x-23}$	=	$-3x-2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$48x-23$	=	${\left(-3x-2\right)}^2$

$48x-23$

=

$9x^2+12x+4$

| $-9x^2$ $-12x$ $-4$

$-9x^2+36x-27$ = 0 |:9

$-x^2+4x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·\left(-1\right)·\left(-3\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-12}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4}}{-2}$

x₁ = $\frac{-4+\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-4-\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite: x = $1$ in $\sqrt{48x-23}+2$ $=$ $\sqrt{48\cdot 1-23}+2$ = $\sqrt{48-23}+2$ = $\sqrt{25}+2$ = $5+2$ = $7$

Rechte Seite: x = $1$ in $-3x$ $=$ $-3\cdot 1$ = $-3$

Also 7 ≠ -3

x = $1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite: x = $3$ in $\sqrt{48x-23}+2$ $=$ $\sqrt{48\cdot 3-23}+2$ = $\sqrt{144-23}+2$ = $\sqrt{121}+2$ = $11+2$ = $13$

Rechte Seite: x = $3$ in $-3x$ $=$ $-3\cdot 3$ = $-9$

Also 13 ≠ -9

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={}

$\sqrt{31x-53}$	=	$3\sqrt{3x-5}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$31x-53$	=	${\left(3\sqrt{3x-5}\right)}^2$

$31x-53$	=	$9\left(3x-5\right)$
$31x-53$	=	$27x-45$	| $+53$
$31x$	=	$27x+8$	| $-27x$
$4x$	=	$8$	|:$4$
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite: x = $2$ in $\sqrt{31x-53}$ $=$ $\sqrt{31\cdot 2-53}$ = $\sqrt{62-53}$ = $\sqrt{9}$ = $3$

Rechte Seite: x = $2$ in $3\sqrt{3x-5}$ $=$ $3\sqrt{3\cdot 2-5}$ = $3\sqrt{6-5}$ = $3\sqrt{1}$ = $3$

Also 3 = 3

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$}

$\sqrt{5x+61}$	=	$\sqrt{3x+40}+1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5x+61$	=	${\left(\sqrt{3x+40}+1\right)}^2$

$5x+61$	=	$2\sqrt{3x+40}+3x+41$	| $-5x$ $-61$ $-2\sqrt{3x+40}$
$-2\sqrt{3x+40}$	=	$-2x-20$	|:($-2$)
$\sqrt{3x+40}$	=	$x+10$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3x+40$	=	${\left(x+10\right)}^2$

$3x+40$

=

$x^2+20x+100$

| $-x^2$ $-20x$ $-100$

$-x^2-17x-60$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{{\left(-17\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-60\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{289-240}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{49}}{-2}$

x₁ = $\frac{17+\sqrt{49}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{24}{-2}$ = $-12$

x₂ = $\frac{17-\sqrt{49}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{-2}$ = $-5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-12$

Linke Seite: x = $-12$ in $5x+61$ $=$ $5\cdot \left(-12\right)+61$ = $-60+61$ = $1$

Rechte Seite: x = $-12$ in $2\sqrt{3x+40}+3x+41$ $=$ $2\sqrt{3\cdot \left(-12\right)+40}+3\cdot \left(-12\right)+41$ = $2\sqrt{-36+40}-36+41$ = $2\sqrt{4}-36+41$ = $2\cdot 2-36+41$ = $4-36+41$ = $9$

Also 1 ≠ 9

x = $-12$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $-5$

Linke Seite: x = $-5$ in $5x+61$ $=$ $5\cdot \left(-5\right)+61$ = $-25+61$ = $36$

Rechte Seite: x = $-5$ in $2\sqrt{3x+40}+3x+41$ $=$ $2\sqrt{3\cdot \left(-5\right)+40}+3\cdot \left(-5\right)+41$ = $2\sqrt{-15+40}-15+41$ = $2\sqrt{25}-15+41$ = $2\cdot 5-15+41$ = $10-15+41$ = $36$

Also 36 = 36

x = $-5$ ist somit eine Lösung !

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-5$

Linke Seite: x = $-5$ in $\sqrt{5x+61}$ $=$ $\sqrt{5\cdot \left(-5\right)+61}$ = $\sqrt{-25+61}$ = $\sqrt{36}$ = $6$

Rechte Seite: x = $-5$ in $\sqrt{3x+40}+1$ $=$ $\sqrt{3\cdot \left(-5\right)+40}+1$ = $\sqrt{-15+40}+1$ = $\sqrt{25}+1$ = $5+1$ = $6$

Also 6 = 6

x = $-5$ ist somit eine Lösung !

L={ $-5$}