$2\sqrt{-3x+1}$

=

$-4$

|:$2$

$\sqrt{-3x+1}$ = $-2$

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, das eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

$\sqrt{4x+13}-1$	=	$-2x$	| $+1$
$\sqrt{4x+13}$	=	$-2x+1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4x+13$	=	${\left(-2x+1\right)}^2$

$4x+13$

=

$4x^2-4x+1$

| $-4x^2$ $+4x$ $-1$

$-4x^2+8x+12$ = 0 |:4

$-x^2+2x+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·\left(-1\right)·3}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{-2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-1$

Linke Seite: x = $-1$ in $\sqrt{4x+13}-1$ $=$ $\sqrt{4\cdot \left(-1\right)+13}-1$ = $\sqrt{-4+13}-1$ = $\sqrt{9}-1$ = $3-1$ = $2$

Rechte Seite: x = $-1$ in $-2x$ $=$ $-2\cdot \left(-1\right)$ = $2$

Also 2 = 2

x = $-1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite: x = $3$ in $\sqrt{4x+13}-1$ $=$ $\sqrt{4\cdot 3+13}-1$ = $\sqrt{12+13}-1$ = $\sqrt{25}-1$ = $5-1$ = $4$

Rechte Seite: x = $3$ in $-2x$ $=$ $-2\cdot 3$ = $-6$

Also 4 ≠ -6

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={ $-1$}

$\sqrt{10x-41}$	=	$3\sqrt{x-4}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$10x-41$	=	${\left(3\sqrt{x-4}\right)}^2$

$10x-41$	=	$9\left(x-4\right)$
$10x-41$	=	$9x-36$	| $+41$
$10x$	=	$9x+5$	| $-9x$
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite: x = $5$ in $\sqrt{10x-41}$ $=$ $\sqrt{10\cdot 5-41}$ = $\sqrt{50-41}$ = $\sqrt{9}$ = $3$

Rechte Seite: x = $5$ in $3\sqrt{x-4}$ $=$ $3\sqrt{5-4}$ = $3\sqrt{1}$ = $3$

Also 3 = 3

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$}

$\sqrt{3x-14}$	=	$\sqrt{x-5}+1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3x-14$	=	${\left(\sqrt{x-5}+1\right)}^2$

$3x-14$	=	$2\sqrt{x-5}+x-4$	| $-3x$ $+14$ $-2\sqrt{x-5}$
$-2\sqrt{x-5}$	=	$-2x+10$	|:($-2$)
$\sqrt{x-5}$	=	$x-5$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x-5$	=	${\left(x-5\right)}^2$

$x-5$

=

$x^2-10x+25$

| $-x^2$ $+10x$ $-25$

$-x^2+11x-30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-11\pm \sqrt{{11}^2-4·\left(-1\right)·\left(-30\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-11\pm \sqrt{121-120}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-11\pm \sqrt{1}}{-2}$

x₁ = $\frac{-11+\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>11</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{-2}$ = $5$

x₂ = $\frac{-11-\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>11</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-12}{-2}$ = $6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite: x = $5$ in $3x-14$ $=$ $3\cdot 5-14$ = $15-14$ = $1$

Rechte Seite: x = $5$ in $2\sqrt{x-5}+x-4$ $=$ $2\sqrt{5-5}+5-4$ = $2\sqrt{0}+5-4$ = $2\cdot 0+5-4$ = $0+5-4$ = $1$

Also 1 = 1

x = $5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite: x = $6$ in $3x-14$ $=$ $3\cdot 6-14$ = $18-14$ = $4$

Rechte Seite: x = $6$ in $2\sqrt{x-5}+x-4$ $=$ $2\sqrt{6-5}+6-4$ = $2\sqrt{1}+6-4$ = $2\cdot 1+6-4$ = $2+6-4$ = $4$

Also 4 = 4

x = $6$ ist somit eine Lösung !

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite: x = $5$ in $\sqrt{3x-14}$ $=$ $\sqrt{3\cdot 5-14}$ = $\sqrt{15-14}$ = $\sqrt{1}$ = $1$

Rechte Seite: x = $5$ in $\sqrt{x-5}+1$ $=$ $\sqrt{5-5}+1$ = $\sqrt{0}+1$ = $0+1$ = $1$

Also 1 = 1

x = $5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite: x = $6$ in $\sqrt{3x-14}$ $=$ $\sqrt{3\cdot 6-14}$ = $\sqrt{18-14}$ = $\sqrt{4}$ = $2$

Rechte Seite: x = $6$ in $\sqrt{x-5}+1$ $=$ $\sqrt{6-5}+1$ = $\sqrt{1}+1$ = $1+1$ = $2$

Also 2 = 2

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$; $6$}