$\sqrt{2x+2}$	=	$2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2x+2$	=	$2^2$

$2x+2$	=	$4$	| $-2$
$2x$	=	$2$	|:$2$
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite: x = $1$ in $\sqrt{2x+2}$ $=$ $\sqrt{2\cdot 1+2}$ = $\sqrt{2+2}$ = $\sqrt{4}$ = $2$

Rechte Seite: x = $1$ in $2$ $=$ $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$}

$\sqrt{6x-2}$	=	$-x-1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6x-2$	=	${\left(-x-1\right)}^2$

$6x-2$

=

$x^2+2x+1$

| $-x^2$ $-2x$ $-1$

$-x^2+4x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·\left(-1\right)·\left(-3\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-12}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4}}{-2}$

x₁ = $\frac{-4+\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-4-\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite: x = $1$ in $\sqrt{6x-2}$ $=$ $\sqrt{6\cdot 1-2}$ = $\sqrt{6-2}$ = $\sqrt{4}$ = $2$

Rechte Seite: x = $1$ in $-x-1$ $=$ $-1-1$ = $-2$

Also 2 ≠ -2

x = $1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite: x = $3$ in $\sqrt{6x-2}$ $=$ $\sqrt{6\cdot 3-2}$ = $\sqrt{18-2}$ = $\sqrt{16}$ = $4$

Rechte Seite: x = $3$ in $-x-1$ $=$ $-3-1$ = $-4$

Also 4 ≠ -4

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={}

$\sqrt{19x+5}$	=	$2\sqrt{4x+5}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$19x+5$	=	${\left(2\sqrt{4x+5}\right)}^2$

$19x+5$	=	$4\left(4x+5\right)$
$19x+5$	=	$16x+20$	| $-5$
$19x$	=	$16x+15$	| $-16x$
$3x$	=	$15$	|:$3$
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite: x = $5$ in $\sqrt{19x+5}$ $=$ $\sqrt{19\cdot 5+5}$ = $\sqrt{95+5}$ = $\sqrt{100}$ = $10$

Rechte Seite: x = $5$ in $2\sqrt{4x+5}$ $=$ $2\sqrt{4\cdot 5+5}$ = $2\sqrt{20+5}$ = $2\sqrt{25}$ = $10$

Also 10 = 10

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$}

$\sqrt{4x+28}$	=	$\sqrt{2x+15}+1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4x+28$	=	${\left(\sqrt{2x+15}+1\right)}^2$

$4x+28$	=	$2\sqrt{2x+15}+2x+16$	| $-4x$ $-28$ $-2\sqrt{2x+15}$
$-2\sqrt{2x+15}$	=	$-2x-12$	|:($-2$)
$\sqrt{2x+15}$	=	$x+6$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2x+15$	=	${\left(x+6\right)}^2$

$2x+15$

=

$x^2+12x+36$

| $-x^2$ $-12x$ $-36$

$-x^2-10x-21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{{\left(-10\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-21\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{100-84}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{16}}{-2}$

x₁ = $\frac{10+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{14}{-2}$ = $-7$

x₂ = $\frac{10-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-7$

Linke Seite: x = $-7$ in $4x+28$ $=$ $4\cdot \left(-7\right)+28$ = $-28+28$ = 0

Rechte Seite: x = $-7$ in $2\sqrt{2x+15}+2x+16$ $=$ $2\sqrt{2\cdot \left(-7\right)+15}+2\cdot \left(-7\right)+16$ = $2\sqrt{-14+15}-14+16$ = $2\sqrt{1}-14+16$ = $2\cdot 1-14+16$ = $2-14+16$ = $4$

Also 0 ≠ 4

x = $-7$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $-3$

Linke Seite: x = $-3$ in $4x+28$ $=$ $4\cdot \left(-3\right)+28$ = $-12+28$ = $16$

Rechte Seite: x = $-3$ in $2\sqrt{2x+15}+2x+16$ $=$ $2\sqrt{2\cdot \left(-3\right)+15}+2\cdot \left(-3\right)+16$ = $2\sqrt{-6+15}-6+16$ = $2\sqrt{9}-6+16$ = $2\cdot 3-6+16$ = $6-6+16$ = $16$

Also 16 = 16

x = $-3$ ist somit eine Lösung !

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-3$

Linke Seite: x = $-3$ in $\sqrt{4x+28}$ $=$ $\sqrt{4\cdot \left(-3\right)+28}$ = $\sqrt{-12+28}$ = $\sqrt{16}$ = $4$

Rechte Seite: x = $-3$ in $\sqrt{2x+15}+1$ $=$ $\sqrt{2\cdot \left(-3\right)+15}+1$ = $\sqrt{-6+15}+1$ = $\sqrt{9}+1$ = $3+1$ = $4$

Also 4 = 4

x = $-3$ ist somit eine Lösung !

L={ $-3$}