Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{x}$ = $- 6$

$- \sqrt{x}$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{x}$	=	$6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$6^{2}$

x

=

36

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $36$

Linke Seite:

x = $36$ in $- \sqrt{x}$

$=$ $- \sqrt{36}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $36$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $36$ ist somit eine Lösung !

L={ $36$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 12} - x$ = $4$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 12} - x$	=	$4$	\| $+ x$
$\sqrt{12 x + 12}$	=	$x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 12$	=	${(x + 4)}^{2}$

12 x + 12

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} + 4 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{12 x + 12} - x$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 2 + 12} - 2$

= $\sqrt{24 + 12} - 2$

= $\sqrt{36} - 2$

= $6 - 2$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 58}$ = $2 \sqrt{2 x + 16}$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 58}$	=	$2 \sqrt{2 x + 16}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 58$	=	${(2 \sqrt{2 x + 16})}^{2}$

$7 x + 58$	=	$4 (2 x + 16)$
$7 x + 58$	=	$8 x + 64$	\| $- 58$
$7 x$	=	$8 x + 6$	\| $- 8 x$
$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{7 x + 58}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 6) + 58}$

= $\sqrt{- 42 + 58}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $2 \sqrt{2 x + 16}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 6) + 16}$

= $2 \sqrt{- 12 + 16}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 24}$ = $\sqrt{3 x + 13} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 24}$	=	$\sqrt{3 x + 13} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 24$	=	${(\sqrt{3 x + 13} + 1)}^{2}$

$5 x + 24$	=	$2 \sqrt{3 x + 13} + 3 x + 14$	\| $- 5 x$ $- 24$ $- 2 \sqrt{3 x + 13}$
$- 2 \sqrt{3 x + 13}$	=	$- 2 x - 10$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 13}$	=	$x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 13$	=	${(x + 5)}^{2}$

3 x + 13

=

x^{2} + 10 x + 25

|

- x^{2}

- 10 x

- 25

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $5 x + 24$

$=$ $5 \cdot (- 4) + 24$

= $- 20 + 24$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2 \sqrt{3 x + 13} + 3 x + 14$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot (- 4) + 13} + 3 \cdot (- 4) + 14$

= $2 \sqrt{- 12 + 13} - 12 + 14$

= $2 \sqrt{1} - 12 + 14$

= $2 \cdot 1 - 12 + 14$

= $2 - 12 + 14$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $5 x + 24$

$=$ $5 \cdot (- 3) + 24$

= $- 15 + 24$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 \sqrt{3 x + 13} + 3 x + 14$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot (- 3) + 13} + 3 \cdot (- 3) + 14$

= $2 \sqrt{- 9 + 13} - 9 + 14$

= $2 \sqrt{4} - 9 + 14$

= $2 \cdot 2 - 9 + 14$

= $4 - 9 + 14$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{5 x + 24}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 4) + 24}$

= $\sqrt{- 20 + 24}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{3 x + 13} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 4) + 13} + 1$

= $\sqrt{- 12 + 13} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{5 x + 24}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 3) + 24}$

= $\sqrt{- 15 + 24}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{3 x + 13} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 3) + 13} + 1$

= $\sqrt{- 9 + 13} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 36

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Probe für x = $36$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$