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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 14}$ = $- 3$

\sqrt{x + 14}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, das eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{20 x + 21} + 2 x$ = $- 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{20 x + 21} + 2 x$	=	$- 1$	\| $- 2 x$
$\sqrt{20 x + 21}$	=	$- 2 x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$20 x + 21$	=	${(- 2 x - 1)}^{2}$

20 x + 21

=

4 x^{2} + 4 x + 1

|

- 4 x^{2}

- 4 x

- 1

- 4 x^{2} + 16 x + 20

= 0 |:4

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{20 x + 21} + 2 x$

$=$ $\sqrt{20 \cdot (- 1) + 21} + 2 \cdot (- 1)$

= $\sqrt{- 20 + 21} - 2$

= $\sqrt{1} - 2$

= $1 - 2$

= $- 1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also -1 = -1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{20 x + 21} + 2 x$

$=$ $\sqrt{20 \cdot 5 + 21} + 2 \cdot 5$

= $\sqrt{100 + 21} + 10$

= $\sqrt{121} + 10$

= $11 + 10$

= $21$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also 21 ≠ -1

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{47 x + 34}$ = $3 \sqrt{5 x + 4}$

Lösung einblenden

$\sqrt{47 x + 34}$	=	$3 \sqrt{5 x + 4}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$47 x + 34$	=	${(3 \sqrt{5 x + 4})}^{2}$

$47 x + 34$	=	$9 (5 x + 4)$
$47 x + 34$	=	$45 x + 36$	\| $- 34$
$47 x$	=	$45 x + 2$	\| $- 45 x$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{47 x + 34}$

$=$ $\sqrt{47 \cdot 1 + 34}$

= $\sqrt{47 + 34}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $1$ in $3 \sqrt{5 x + 4}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot 1 + 4}$

= $3 \sqrt{5 + 4}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 34}$ = $\sqrt{5 x + 14} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 34}$	=	$\sqrt{5 x + 14} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 34$	=	${(\sqrt{5 x + 14} + 2)}^{2}$

$9 x + 34$	=	$4 \sqrt{5 x + 14} + 5 x + 18$	\| $- 9 x$ $- 34$ $- 4 \sqrt{5 x + 14}$
$- 4 \sqrt{5 x + 14}$	=	$- 4 x - 16$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 14}$	=	$x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 14$	=	${(x + 4)}^{2}$

5 x + 14

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3+1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3-1}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $9 x + 34$

$=$ $9 \cdot (- 2) + 34$

= $- 18 + 34$

= $16$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $4 \sqrt{5 x + 14} + 5 x + 18$

$=$ $4 \sqrt{5 \cdot (- 2) + 14} + 5 \cdot (- 2) + 18$

= $4 \sqrt{- 10 + 14} - 10 + 18$

= $4 \sqrt{4} - 10 + 18$

= $4 \cdot 2 - 10 + 18$

= $8 - 10 + 18$

= $16$

Also 16 = 16

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $9 x + 34$

$=$ $9 \cdot (- 1) + 34$

= $- 9 + 34$

= $25$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $4 \sqrt{5 x + 14} + 5 x + 18$

$=$ $4 \sqrt{5 \cdot (- 1) + 14} + 5 \cdot (- 1) + 18$

= $4 \sqrt{- 5 + 14} - 5 + 18$

= $4 \sqrt{9} - 5 + 18$

= $4 \cdot 3 - 5 + 18$

= $12 - 5 + 18$

= $25$

Also 25 = 25

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{9 x + 34}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 2) + 34}$

= $\sqrt{- 18 + 34}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{5 x + 14} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 2) + 14} + 2$

= $\sqrt{- 10 + 14} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{9 x + 34}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 1) + 34}$

= $\sqrt{- 9 + 34}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{5 x + 14} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 1) + 14} + 2$

= $\sqrt{- 5 + 14} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -1

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -2

Probe für x = -1

Probe für x = -2

Probe für x = -1

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $5$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$