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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{x}$ = $1$

- \sqrt{x}

=

1

|:(

- 1

)

\sqrt{x}

=

- 1

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, das eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{32 x + 36} + 2 x$ = $- 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{32 x + 36} + 2 x$	=	$- 4$	\| $- 2 x$
$\sqrt{32 x + 36}$	=	$- 2 x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$32 x + 36$	=	${(- 2 x - 4)}^{2}$

32 x + 36

=

4 x^{2} + 16 x + 16

|

- 4 x^{2}

- 16 x

- 16

- 4 x^{2} + 16 x + 20

= 0 |:4

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{32 x + 36} + 2 x$

$=$ $\sqrt{32 \cdot (- 1) + 36} + 2 \cdot (- 1)$

= $\sqrt{- 32 + 36} - 2$

= $\sqrt{4} - 2$

= $2 - 2$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also 0 ≠ -4

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{32 x + 36} + 2 x$

$=$ $\sqrt{32 \cdot 5 + 36} + 2 \cdot 5$

= $\sqrt{160 + 36} + 10$

= $\sqrt{196} + 10$

= $14 + 10$

= $24$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also 24 ≠ -4

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{19 x + 427}$ = $2 \sqrt{5 x + 109}$

Lösung einblenden

$\sqrt{19 x + 427}$	=	$2 \sqrt{5 x + 109}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$19 x + 427$	=	${(2 \sqrt{5 x + 109})}^{2}$

$19 x + 427$	=	$4 (5 x + 109)$
$19 x + 427$	=	$20 x + 436$	\| $- 427$
$19 x$	=	$20 x + 9$	\| $- 20 x$
$- x$	=	$9$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{19 x + 427}$

$=$ $\sqrt{19 \cdot (- 9) + 427}$

= $\sqrt{- 171 + 427}$

= $\sqrt{256}$

= $16$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $2 \sqrt{5 x + 109}$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot (- 9) + 109}$

= $2 \sqrt{- 45 + 109}$

= $2 \sqrt{64}$

= $16$

Also 16 = 16

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 41}$ = $\sqrt{3 x + 24} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 41}$	=	$\sqrt{3 x + 24} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 41$	=	${(\sqrt{3 x + 24} + 1)}^{2}$

$5 x + 41$	=	$2 \sqrt{3 x + 24} + 3 x + 25$	\| $- 5 x$ $- 41$ $- 2 \sqrt{3 x + 24}$
$- 2 \sqrt{3 x + 24}$	=	$- 2 x - 16$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 24}$	=	$x + 8$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 24$	=	${(x + 8)}^{2}$

3 x + 24

=

x^{2} + 16 x + 64

|

- x^{2}

- 16 x

- 64

$- x^{2} - 13 x - 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{13+3}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{13-3}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $5 x + 41$

$=$ $5 \cdot (- 8) + 41$

= $- 40 + 41$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $2 \sqrt{3 x + 24} + 3 x + 25$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot (- 8) + 24} + 3 \cdot (- 8) + 25$

= $2 \sqrt{- 24 + 24} - 24 + 25$

= $2 \sqrt{0} - 24 + 25$

= $2 \cdot 0 - 24 + 25$

= $0 - 24 + 25$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $5 x + 41$

$=$ $5 \cdot (- 5) + 41$

= $- 25 + 41$

= $16$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 \sqrt{3 x + 24} + 3 x + 25$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot (- 5) + 24} + 3 \cdot (- 5) + 25$

= $2 \sqrt{- 15 + 24} - 15 + 25$

= $2 \sqrt{9} - 15 + 25$

= $2 \cdot 3 - 15 + 25$

= $6 - 15 + 25$

= $16$

Also 16 = 16

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 41}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 41}$

= $\sqrt{- 40 + 41}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{3 x + 24} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 8) + 24} + 1$

= $\sqrt{- 24 + 24} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 41}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 41}$

= $\sqrt{- 25 + 41}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{3 x + 24} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 5) + 24} + 1$

= $\sqrt{- 15 + 24} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ ; $- 5$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -1

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -8

Probe für x = -5

Probe für x = -8

Probe für x = -5

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $- 5$