$3\sqrt{-2x+15}$	=	$9$	|:$3$
$\sqrt{-2x+15}$	=	$3$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-2x+15$	=	$3^2$

$-2x+15$	=	$9$	| $-15$
$-2x$	=	$-6$	|:($-2$)
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite: x = $3$ in $3\sqrt{-2x+15}$ $=$ $3\sqrt{-2\cdot 3+15}$ = $3\sqrt{-6+15}$ = $3\sqrt{9}$ = $9$

Rechte Seite: x = $3$ in $9$ $=$ $9$

Also 9 = 9

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$}

$\sqrt{-x+8}$	=	$x-2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-x+8$	=	${\left(x-2\right)}^2$

$-x+8$

=

$x^2-4x+4$

| $-x^2$ $+4x$ $-4$

$-x^2+3x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·\left(-1\right)·4}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{25}}{-2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{25}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{25}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{-2}$ = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-1$

Linke Seite: x = $-1$ in $\sqrt{-x+8}$ $=$ $\sqrt{-\left(-1\right)+8}$ = $\sqrt{1+8}$ = $\sqrt{9}$ = $3$

Rechte Seite: x = $-1$ in $x-2$ $=$ $-1-2$ = $-3$

Also 3 ≠ -3

x = $-1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite: x = $4$ in $\sqrt{-x+8}$ $=$ $\sqrt{-4+8}$ = $\sqrt{4}$ = $2$

Rechte Seite: x = $4$ in $x-2$ $=$ $4-2$ = $2$

Also 2 = 2

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$}

$\sqrt{23x+169}$	=	$2\sqrt{5x+40}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$23x+169$	=	${\left(2\sqrt{5x+40}\right)}^2$

$23x+169$	=	$4\left(5x+40\right)$
$23x+169$	=	$20x+160$	| $-169$
$23x$	=	$20x-9$	| $-20x$
$3x$	=	$-9$	|:$3$
$x$	=	$-3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-3$

Linke Seite: x = $-3$ in $\sqrt{23x+169}$ $=$ $\sqrt{23\cdot \left(-3\right)+169}$ = $\sqrt{-69+169}$ = $\sqrt{100}$ = $10$

Rechte Seite: x = $-3$ in $2\sqrt{5x+40}$ $=$ $2\sqrt{5\cdot \left(-3\right)+40}$ = $2\sqrt{-15+40}$ = $2\sqrt{25}$ = $10$

Also 10 = 10

x = $-3$ ist somit eine Lösung !

L={ $-3$}

$\sqrt{5x+55}$	=	$\sqrt{x+15}+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5x+55$	=	${\left(\sqrt{x+15}+2\right)}^2$

$5x+55$	=	$4\sqrt{x+15}+x+19$	| $-5x$ $-55$ $-4\sqrt{x+15}$
$-4\sqrt{x+15}$	=	$-4x-36$	|:($-4$)
$\sqrt{x+15}$	=	$x+9$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x+15$	=	${\left(x+9\right)}^2$

$x+15$

=

$x^2+18x+81$

| $-x^2$ $-18x$ $-81$

$-x^2-17x-66$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{{\left(-17\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-66\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{289-264}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{25}}{-2}$

x₁ = $\frac{17+\sqrt{25}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{22}{-2}$ = $-11$

x₂ = $\frac{17-\sqrt{25}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{12}{-2}$ = $-6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-11$

Linke Seite: x = $-11$ in $5x+55$ $=$ $5\cdot \left(-11\right)+55$ = $-55+55$ = 0

Rechte Seite: x = $-11$ in $4\sqrt{x+15}+x+19$ $=$ $4\sqrt{-11+15}-11+19$ = $4\sqrt{4}-11+19$ = $4\cdot 2-11+19$ = $8-11+19$ = $16$

Also 0 ≠ 16

x = $-11$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $-6$

Linke Seite: x = $-6$ in $5x+55$ $=$ $5\cdot \left(-6\right)+55$ = $-30+55$ = $25$

Rechte Seite: x = $-6$ in $4\sqrt{x+15}+x+19$ $=$ $4\sqrt{-6+15}-6+19$ = $4\sqrt{9}-6+19$ = $4\cdot 3-6+19$ = $12-6+19$ = $25$

Also 25 = 25

x = $-6$ ist somit eine Lösung !

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-6$

Linke Seite: x = $-6$ in $\sqrt{5x+55}$ $=$ $\sqrt{5\cdot \left(-6\right)+55}$ = $\sqrt{-30+55}$ = $\sqrt{25}$ = $5$

Rechte Seite: x = $-6$ in $\sqrt{x+15}+2$ $=$ $\sqrt{-6+15}+2$ = $\sqrt{9}+2$ = $3+2$ = $5$

Also 5 = 5

x = $-6$ ist somit eine Lösung !

L={ $-6$}