D=R\{ $1$}

Wir multiplizieren den Nenner $x-1$ weg!

$\frac{0}{x-1}$	=	$2x$	|⋅( $x-1$)
$\frac{0}{x-1}·\left(x-1\right)$	=	$2x·\left(x-1\right)$
0	=	$2x\left(x-1\right)$
0	=	$2x^2-2x$

0	=	$2x^2-2x$	| $-\left(2x^2-2x\right)$
$-2x^2+2x$	=	0
$2x\left(-x+1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Lösung x= $1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={0}

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$11-\frac{7}{x}$	=	$x+3$	|⋅( $x$)
$11·x-\frac{7}{x}·x$	=	$x·x+3·x$
$11x-7$	=	$x·x+3x$

$11x-7$

=

$x^2+3x$

| $-x^2$ $-3x$

$-x^2+8x-7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·\left(-1\right)·\left(-7\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-28}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{36}}{-2}$

x₁ = $\frac{-8+\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-8-\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-14}{-2}$ = $7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$; $7$}

D=R\{ $4$}

$2x$

=

$\frac{5x}{x-4}-3$

Wir multiplizieren den Nenner $x-4$ weg!

$2x$	=	$\frac{5x}{x-4}-3$	|⋅( $x-4$)
$2x·\left(x-4\right)$	=	$\frac{5x}{x-4}·\left(x-4\right)-3·\left(x-4\right)$
$2x\left(x-4\right)$	=	$5x-3x+12$
$2x·x+2x·\left(-4\right)$	=	$5x-3x+12$
$2x·x-8x$	=	$5x-3x+12$
$2x^2-8x$	=	$2x+12$

$2x^2-8x$

=

$2x+12$

| $-2x$ $-12$

$2x^2-10x-12$ = 0 |:2

$x^2-5x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-1$; $6$}

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^3$ weg!

$-\frac{1}{x}$	=	$\frac{x-90}{x^3}$	|⋅( $x^3$)
$-\frac{1}{x}·x^3$	=	$\frac{x-90}{x^3}·x^3$
$-x^2$	=	$x-90$

$-x^2$

=

$x-90$

| $-x$ $+90$

$-x^2-x+90$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·\left(-1\right)·90}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+360}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{361}}{-2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{361}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{20}{-2}$ = $-10$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{361}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-18}{-2}$ = $9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-10$; $9$}

D=R\{ $-3$}

$\frac{x}{5x+15}-\frac{\mathrm{11,2}}{x+3}$

=

$-3x$

Wir multiplizieren den Nenner $5x+15$ weg!

$\frac{x}{5x+15}-\frac{\mathrm{11,2}}{x+3}$	=	$-3x$	|⋅( $5x+15$)
$\frac{x}{5x+15}·\left(5x+15\right)+\frac{-\mathrm{11,2}}{x+3}·\left(5\left(x+3\right)\right)$	=	$-3x·\left(5x+15\right)$
$x-56$	=	$-3x\left(5x+15\right)$
$x-56$	=	$-15x^2-45x$

$x-56$

=

$-15x^2-45x$

| $+15x^2$ $+45x$

$15x^2+46x-56$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-46\pm \sqrt{{46}^2-4·15·\left(-56\right)}}{2\cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{-46\pm \sqrt{2116+3360}}{30}$

x_1,2 = $\frac{-46\pm \sqrt{5476}}{30}$

x₁ = $\frac{-46+\sqrt{5476}}{30}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>46</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>74</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>30</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{28}{30}$ = $\frac{14}{15}$ ≈ 0.93

x₂ = $\frac{-46-\sqrt{5476}}{30}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>46</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>74</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>30</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-120}{30}$ = $-4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-4$; $\frac{14}{15}$}

D=R\{0}

$-\frac{8}{x}+x$ = $-a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$-\frac{8}{x}+x$	=	$-a$	|⋅x
$-\frac{8}{x}·x+x·x$	=	$-a·x$
$-8+x^2$	=	$-ax$
$-8+x^2+ax$	=	0
$x^2+ax-8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^2+ax-8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -4 würde es funktionieren, denn $2·\left(-4\right)$ = -8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $-\left(2-4\right)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^2+2x-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-8\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $2$}