Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4}{x}$ = $x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$4$	=	$x \cdot x$
$4$	=	$x^{2}$

$4$	=	$x^{2}$	\| $- 4$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 12}{2 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x - 12}{2 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x - 12}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 3 \cdot 2 x$
$5 x - 12$	=	$2 x \cdot x - 6 x$

5 x - 12

=

2 x^{2} - 6 x

|

- 2 x^{2}

+ 6 x

$- 2 x^{2} + 11 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 11+5}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 11-5}{- 4}$ = $\frac{- 16}{- 4}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 6 x}{x + 2} + 1$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{6 x}{x + 2} + 1

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{6 x}{x + 2} + 1$	=	$- x$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{6 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 1 \cdot (x + 2)$	=	$- x \cdot (x + 2)$
$- 6 x + x + 2$	=	$- x (x + 2)$
$- 5 x + 2$	=	$- x^{2} - 2 x$

- 5 x + 2

=

- x^{2} - 2 x

|

+ x^{2}

+ 2 x

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{3}{x^{2}} - \frac{70}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{3}{x^{2}} - \frac{70}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{3}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{70}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 3 x - 70$	=	$- x^{2}$

- 3 x - 70

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 3 x - 70$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 70)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{3+17}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{3-17}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 292}{3 x + 6} + 4 x$ = $- \frac{x}{3 x + 6}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{292}{3 x + 6} + 4 x

=

- \frac{x}{3 x + 6}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 6$ weg!

$- \frac{292}{3 x + 6} + 4 x$	=	$- \frac{x}{3 x + 6}$	\|⋅( $3 x + 6$ )
$- \frac{292}{3 x + 6} \cdot (3 x + 6) + 4 x \cdot (3 x + 6)$	=	$- \frac{x}{3 x + 6} \cdot (3 x + 6)$
$- 292 + 4 x (3 x + 6)$	=	$- x$
$- 292 + (12 x^{2} + 24 x)$	=	$- x$
$12 x^{2} + 24 x - 292$	=	$- x$

12 x^{2} + 24 x - 292

=

- x

|

+ x

$12 x^{2} + 25 x - 292$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 292)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 14 016}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{14 641}}{24}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{14 641}}{24}$ = $\frac{- 25+121}{24}$ = $\frac{96}{24}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{14 641}}{24}$ = $\frac{- 25-121}{24}$ = $\frac{- 146}{24}$ = $- \frac{73}{12}$ ≈ -6.08

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{73}{12}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{20}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{20}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{20}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{20}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$20 + a x$	=	$- x^{2}$
$20 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter