Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{10}{x - 4}$ = $2 x$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{10}{x - 4}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{10}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$2 x \cdot (x - 4)$
$10$	=	$2 x (x - 4)$
$10$	=	$2 x^{2} - 8 x$

10

=

2 x^{2} - 8 x

|

- 2 x^{2}

+ 8 x

- 2 x^{2} + 8 x + 10

= 0 |:2

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 + \frac{24}{x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$3 + \frac{24}{x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $x$ )
$3 \cdot x + \frac{24}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 2 \cdot x$
$3 x + 24$	=	$x \cdot x - 2 x$

3 x + 24

=

x^{2} - 2 x

|

- x^{2}

+ 2 x

$- x^{2} + 5 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 24}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{- 5+11}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{- 5-11}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x + 4} + 5$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{1}{x + 4} + 5$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{1}{x + 4} \cdot (x + 4) + 5 \cdot (x + 4)$	=	$- 2 x \cdot (x + 4)$
$1 + 5 x + 20$	=	$- 2 x (x + 4)$
$5 x + 21$	=	$- 2 x^{2} - 8 x$

5 x + 21

=

- 2 x^{2} - 8 x

|

+ 2 x^{2}

+ 8 x

$2 x^{2} + 13 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 21}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 13+1}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 13-1}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,5$ ; $- 3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{3}{x} + \frac{70}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{3}{x} + \frac{70}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{3}{x} \cdot x^{2} + \frac{70}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$3 x + 70$

x^{2}

=

3 x + 70

|

- 3 x

- 70

$x^{2} - 3 x - 70$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 70)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{3+17}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{3-17}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{3 x + 6} - \frac{- 19}{3 x + 6} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

0

=

- \frac{x}{3 x + 6} + \frac{19}{3 x + 6} - 2 x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 6$ weg!

=	$- \frac{x}{3 x + 6} + \frac{19}{3 x + 6} - 2 x$	\|⋅( $3 x + 6$ )
=	$- \frac{x}{3 x + 6} \cdot (3 x + 6) + \frac{19}{3 x + 6} \cdot (3 x + 6) - 2 x \cdot (3 x + 6)$
=	$- x + 19 - 2 x (3 x + 6)$
=	$- 6 x^{2} - 13 x + 19$

0

=

- 6 x^{2} - 13 x + 19

|

+ 6 x^{2}

+ 13 x

- 19

$6 x^{2} + 13 x - 19$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 19)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 456}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{625}}{12}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{625}}{12}$ = $\frac{- 13+25}{12}$ = $\frac{12}{12}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{625}}{12}$ = $\frac{- 13-25}{12}$ = $\frac{- 38}{12}$ = $- \frac{19}{6}$ ≈ -3.17

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{19}{6}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 6$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 6$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 6$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 6 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 6 x$	=	$- a$
$x^{2} + 6 x + a$	=	0
$x^{2} + 6 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 6 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -8 würde es funktionieren, denn $- (2 - 8)$ = 6

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 8)$ = $- 16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter