Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{18}{x}$ = $2 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{18}{x}$	=	$2 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{18}{x} \cdot x$	=	$2 x \cdot x$
$18$	=	$2 x \cdot x$
$18$	=	$2 x^{2}$

$18$	=	$2 x^{2}$	\| $- 18$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 18$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x + 3}{2 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{9 x + 3}{2 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{9 x + 3}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x$
$9 x + 3$	=	$2 x \cdot x + 4 x$

9 x + 3

=

2 x^{2} + 4 x

|

- 2 x^{2}

- 4 x

$- 2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 3}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 5+7}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 5-7}{- 4}$ = $\frac{- 12}{- 4}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 7}{3 x - 5}$ = $- x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$- \frac{7}{3 x - 5}$	=	$- x - 5$	\|⋅( $3 x - 5$ )
$- \frac{7}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$	=	$- x \cdot (3 x - 5) - 5 \cdot (3 x - 5)$
$- 7$	=	$- x (3 x - 5) - 15 x + 25$
$- 7$	=	$- 3 x^{2} - 10 x + 25$

- 7

=

- 3 x^{2} - 10 x + 25

|

+ 3 x^{2}

+ 10 x

- 25

$3 x^{2} + 10 x - 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 384}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 10+22}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 10-22}{6}$ = $\frac{- 32}{6}$ = $- \frac{16}{3}$ ≈ -5.33

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{16}{3}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{13}{x^{2}}$ = $- \frac{42}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{13}{x^{2}}$	=	$- \frac{42}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{13}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{42}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2} - 13 x$	=	$- 42$

x^{2} - 13 x

=

- 42

|

+ 42

$x^{2} - 13 x + 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ ; $7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{3 x + 12} - \frac{59}{3 x + 12} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

0

=

- \frac{x}{3 x + 12} - \frac{59}{3 x + 12} + 4 x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 12$ weg!

=	$- \frac{x}{3 x + 12} - \frac{59}{3 x + 12} + 4 x$	\|⋅( $3 x + 12$ )
=	$- \frac{x}{3 x + 12} \cdot (3 x + 12) - \frac{59}{3 x + 12} \cdot (3 x + 12) + 4 x \cdot (3 x + 12)$
=	$- x - 59 + 4 x (3 x + 12)$
=	$12 x^{2} + 47 x - 59$

0

=

12 x^{2} + 47 x - 59

|

- 12 x^{2}

- 47 x

+ 59

$- 12 x^{2} - 47 x + 59$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 59}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 + 2 832}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{5 041}}{- 24}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{5 041}}{- 24}$ = $\frac{47+71}{- 24}$ = $\frac{118}{- 24}$ = $- \frac{59}{12}$ ≈ -4.92

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{5 041}}{- 24}$ = $\frac{47-71}{- 24}$ = $\frac{- 24}{- 24}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{59}{12}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 8$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 8$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 8$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 8 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 8 x$	=	$- a$
$x^{2} - 8 x + a$	=	0
$x^{2} - 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $- (2 + 6)$ = -8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 6$ = $12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter