Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $3 x$

0	=	$3 x$
0	=	$3 x$	\| $- 3 x$
$- 3 x$	=	0	\|:( $- 3$ )
$x$	=	0

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$11 - \frac{6}{x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$11 - \frac{6}{x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $x$ )
$11 \cdot x - \frac{6}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 4 \cdot x$
$11 x - 6$	=	$x \cdot x + 4 x$

11 x - 6

=

x^{2} + 4 x

|

- x^{2}

- 4 x

$- x^{2} + 7 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 7+5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 7-5}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2 x}{3 x + 4} + x - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ }

- \frac{2 x}{3 x + 4} + x - 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$- \frac{2 x}{3 x + 4} + x - 1$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$- \frac{2 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + x \cdot (3 x + 4) - 1 \cdot (3 x + 4)$	=
$- 2 x + x (3 x + 4) - 3 x - 4$	=
$- 2 x + (3 x^{2} + 4 x) - 3 x - 4$	=
$3 x^{2} - x - 4$	=

$3 x^{2} - x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{1+7}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{1-7}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{4}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{4}{x} - \frac{12}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{4}{x} - \frac{12}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{4}{x} \cdot x^{2} - \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} - 4 x - 12$	=

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{x}{3 x + 3} - \frac{- 10}{2 x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

x

=

- \frac{x}{3 x + 3} + \frac{10}{2 x + 2}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 3$ weg!

$x$	=	$- \frac{x}{3 x + 3} + \frac{10}{2 x + 2}$	\|⋅( $3 x + 3$ )
$x \cdot (3 x + 3)$	=	$- \frac{x}{3 x + 3} \cdot (3 x + 3) + \frac{10}{2 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$
$x (3 x + 3)$	=	$- x + 15$
$x \cdot 3 x + x \cdot 3$	=	$- x + 15$
$3 x \cdot x + 3 x$	=	$- x + 15$
$3 x^{2} + 3 x$	=	$- x + 15$

3 x^{2} + 3 x

=

- x + 15

|

+ x

- 15

$3 x^{2} + 4 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{- 4+14}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{- 4-14}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{5}{3}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{24}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{24}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{24}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{24}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 24$	=	$- a x$
$x^{2} + 24 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 12$ = 24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 12)$ = $- 14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 14 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14+10}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14-10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $12$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter