Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $2 x$

0	=	$2 x$
0	=	$2 x$	\| $- 2 x$
$- 2 x$	=	0	\|:( $- 2$ )
$x$	=	0

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 11 x + 4}{4 x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 11 x + 4}{4 x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 11 x + 4}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 1 \cdot 4 x$
$- 11 x + 4$	=	$4 x \cdot x + 4 x$

- 11 x + 4

=

4 x^{2} + 4 x

|

- 4 x^{2}

- 4 x

$- 4 x^{2} - 15 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 4}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{289}}{- 8}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{15+17}{- 8}$ = $\frac{32}{- 8}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{15-17}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $0,25$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 81}{x + 5} + 2 x + 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

- \frac{81}{x + 5} + 2 x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{81}{x + 5} + 2 x + 1$	=	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{81}{x + 5} \cdot (x + 5) + 2 x \cdot (x + 5) + 1 \cdot (x + 5)$	=
$- 81 + 2 x (x + 5) + x + 5$	=
$- 81 + (2 x^{2} + 10 x) + x + 5$	=
$2 x^{2} + 11 x - 76$	=

$2 x^{2} + 11 x - 76$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 76)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 608}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{729}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{- 11+27}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{- 11-27}{4}$ = $\frac{- 38}{4}$ = $- 9,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9,5$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{48}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{48}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{48}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{14}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$48$	=	$- x^{2} + 14 x$

48

=

- x^{2} + 14 x

|

+ x^{2}

- 14 x

$x^{2} - 14 x + 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14+2}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14-2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ ; $8$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 20} + \frac{- 32,8}{x + 4} + x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

\frac{x}{5 x + 20} - \frac{32,8}{x + 4} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $5 x + 20$ weg!

$\frac{x}{5 x + 20} - \frac{32,8}{x + 4} + x$	=	\|⋅( $5 x + 20$ )
$\frac{x}{5 x + 20} \cdot (5 x + 20) + \frac{- 32,8}{x + 4} \cdot (5 (x + 4)) + x \cdot (5 x + 20)$	=
$x - 164 + x (5 x + 20)$	=
$x - 164 + (5 x^{2} + 20 x)$	=
$5 x^{2} + 21 x - 164$	=

$5 x^{2} + 21 x - 164$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 164)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 3 280}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{3 721}}{10}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{3 721}}{10}$ = $\frac{- 21+61}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{3 721}}{10}$ = $\frac{- 21-61}{10}$ = $\frac{- 82}{10}$ = $- 8,2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8,2$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{6}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{6}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{6}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{6}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$6$
$a x + x^{2} - 6$	=	0
$x^{2} + a x - 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 3)$ = -6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 3)$ = $1$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 1 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter