Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{10}{x + 3}$ = $- x$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{10}{x + 3}$	=	$- x$	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{10}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$- x \cdot (x + 3)$
$- 10$	=	$- x (x + 3)$
$- 10$	=	$- x^{2} - 3 x$

- 10

=

- x^{2} - 3 x

|

+ x^{2}

+ 3 x

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{19}{2} - \frac{3}{x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{19}{2} - \frac{3}{x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$\frac{19}{2} \cdot x - \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$\frac{19}{2} x - 3$	=	$x \cdot x + 3 x$

$\frac{19}{2} x - 3$	=	$x^{2} + 3 x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{19}{2} x - 3)$	=	$2 (x^{2} + 3 x)$
$19 x - 6$	=	$2 x^{2} + 6 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 6 x$

$- 2 x^{2} + 13 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 13+11}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 13-11}{- 4}$ = $\frac{- 24}{- 4}$ = $6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 21}{x - 5} + 3$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

- \frac{21}{x - 5} + 3

=

- 3 x

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$- \frac{21}{x - 5} + 3$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$- \frac{21}{x - 5} \cdot (x - 5) + 3 \cdot (x - 5)$	=	$- 3 x \cdot (x - 5)$
$- 21 + 3 x - 15$	=	$- 3 x (x - 5)$
$3 x - 36$	=	$- 3 x^{2} + 15 x$

3 x - 36

=

- 3 x^{2} + 15 x

|

+ 3 x^{2}

- 15 x

3 x^{2} - 12 x - 36

= 0 |:3

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $6$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{9}{x^{2}}$ = $- \frac{8}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{9}{x^{2}}$	=	$- \frac{8}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{9}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{8}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 9$	=	$- 8 x$

x^{2} - 9

=

- 8 x

|

+ 8 x

$x^{2} + 8 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8+10}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8-10}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x - 16} - \frac{- 95}{x - 4} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

0

=

- \frac{x}{4 x - 16} + \frac{95}{x - 4} - 3 x

Wir multiplizieren den Nenner $4 x - 16$ weg!

=	$- \frac{x}{4 x - 16} + \frac{95}{x - 4} - 3 x$	\|⋅( $4 x - 16$ )
=	$- \frac{x}{4 x - 16} \cdot (4 x - 16) + \frac{95}{x - 4} \cdot (4 (x - 4)) - 3 x \cdot (4 x - 16)$
=	$- x + 380 - 3 x (4 x - 16)$
=	$- 12 x^{2} + 47 x + 380$

0

=

- 12 x^{2} + 47 x + 380

|

+ 12 x^{2}

- 47 x

- 380

$12 x^{2} - 47 x - 380$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 380)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 + 18 240}}{24}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{20 449}}{24}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{20 449}}{24}$ = $\frac{47+143}{24}$ = $\frac{190}{24}$ = $\frac{95}{12}$ ≈ 7.92

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{20 449}}{24}$ = $\frac{47-143}{24}$ = $\frac{- 96}{24}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{95}{12}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{15}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{15}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{15}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{15}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$15 + x^{2}$	=	$- a x$
$15 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter