Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6}{x + 1}$ = $x$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6}{x + 1}$	=	$x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$x \cdot (x + 1)$
$6$	=	$x (x + 1)$
$6$	=	$x^{2} + x$

6

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} - x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1+5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1-5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 - \frac{15}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 7 - \frac{15}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$- 7 \cdot x - \frac{15}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$- 7 x - 15$	=	$x \cdot x + x$

- 7 x - 15

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8+2}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8-2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 65}{3 x - 4} - 2$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

- \frac{65}{3 x - 4} - 2

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$- \frac{65}{3 x - 4} - 2$	=	$- x$	\|⋅( $3 x - 4$ )
$- \frac{65}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) - 2 \cdot (3 x - 4)$	=	$- x \cdot (3 x - 4)$
$- 65 - 6 x + 8$	=	$- x (3 x - 4)$
$- 6 x - 57$	=	$- 3 x^{2} + 4 x$

- 6 x - 57

=

- 3 x^{2} + 4 x

|

+ 3 x^{2}

- 4 x

$3 x^{2} - 10 x - 57$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 57)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 + 684}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{784}}{6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{784}}{6}$ = $\frac{10+28}{6}$ = $\frac{38}{6}$ = $\frac{19}{3}$ ≈ 6.33

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{784}}{6}$ = $\frac{10-28}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{19}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}}$	=	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{8}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=
$x^{2} + 2 x - 8$	=

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x$ = $- \frac{x}{3 x - 9} - \frac{- 52}{6 x - 18}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

- 4 x

=

- \frac{x}{3 x - 9} + \frac{52}{6 x - 18}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 9$ weg!

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{3 x - 9} + \frac{52}{6 x - 18}$	\|⋅( $3 x - 9$ )
$- 4 x \cdot (3 x - 9)$	=	$- \frac{x}{3 x - 9} \cdot (3 x - 9) + \frac{52}{6 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3))$
$- 4 x (3 x - 9)$	=	$- x + 26$
$- 4 x \cdot 3 x - 4 x \cdot (- 9)$	=	$- x + 26$
$- 12 x \cdot x + 36 x$	=	$- x + 26$
$- 12 x^{2} + 36 x$	=	$- x + 26$

- 12 x^{2} + 36 x

=

- x + 26

|

+ x

- 26

$- 12 x^{2} + 37 x - 26$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot (- 26)}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 - 1 248}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{121}}{- 24}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{121}}{- 24}$ = $\frac{- 37+11}{- 24}$ = $\frac{- 26}{- 24}$ = $\frac{13}{12}$ ≈ 1.08

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{121}}{- 24}$ = $\frac{- 37-11}{- 24}$ = $\frac{- 48}{- 24}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{13}{12}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{24}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{24}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{24}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{24}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 24$	=	$- a x$
$x^{2} + 24 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 12$ = 24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 12)$ = $- 14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 14 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14+10}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14-10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $12$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter