Aufgabenbeispiele von quadratisch
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einfache Bruchgl. (quadr.)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
D=R\{ }
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = | |||
| = |
| = | | | ||
| = | |||
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| x2 | = |
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={
;
Bruchgleichung (quadr.) 1
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
D=R\{ }
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = | |||
| = | |||
| = | |||
| = |
| = | | |
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 = = = =
x2 = = = =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={ ; }
Bruchgleichung (quadr.) 2
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
D=R\{ }
| = |
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = | |||
| = | |||
| = |
| = | | |
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 = = = =
x2 = = = =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={ ; }
Bruchgl. mit x-Potenzen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
D=R\{
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = |
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 = = = =
x2 = = = =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={ ; }
doppelte Bruchgl. (quadr.)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
D=R\{ }
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = | |||
| = | |||
| = |
| = | |⋅ 4 | ||
| = | |||
| = | | |
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 = = = =
x2 = = = = ≈ -6.08
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={ ; }
Bruchgleichung mit Parameter
Beispiel:
Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:
=
Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.
D=R\{0}
=
Wir multiplizieren den Nenner x weg:
| = | |⋅x | ||
| = | |||
| = | |||
| = | |||
| = |
Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:
(x-p)⋅(x-q)
Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.
= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq
Es muss somit gelten:
= x² - (p+q)x + pq
Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 4 ist, also z.B.:
Mit p = 3 und q = -7 würde es funktionieren, denn = 4
Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = =
Zur Probe können wir ja noch mit a = -21 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 = = = =
x2 = = = =
L={ ; }
