Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{10 x}{x + 2}$ = $- 2 x$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{10 x}{x + 2}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{10 x}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 2 x \cdot (x + 2)$
$- 10 x$	=	$- 2 x (x + 2)$
$- 10 x$	=	$- 2 x^{2} - 4 x$

$- 10 x$	=	$- 2 x^{2} - 4 x$	\| $- (- 2 x^{2} - 4 x)$
$2 x^{2} - 10 x + 4 x$	=	0
$2 x^{2} - 6 x$	=	0
$2 x (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 38 x - 14}{x - 2}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 38 x - 14}{x - 2}$	=	$4 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 38 x - 14}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$4 x \cdot (x - 2)$
$- 38 x - 14$	=	$4 x (x - 2)$
$- 38 x - 14$	=	$4 x^{2} - 8 x$

- 38 x - 14

=

4 x^{2} - 8 x

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

- 4 x^{2} - 30 x - 14

= 0 |:2

$- 2 x^{2} - 15 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 56}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{15+13}{- 4}$ = $\frac{28}{- 4}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{15-13}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{8 x}{x + 3} - 3 x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

=	$- \frac{8 x}{x + 3} - 3 x + 5$	\|⋅( $x + 3$ )
=	$- \frac{8 x}{x + 3} \cdot (x + 3) - 3 x \cdot (x + 3) + 5 \cdot (x + 3)$
=	$- 8 x - 3 x (x + 3) + 5 x + 15$
=	$- 3 x^{2} - 12 x + 15$

0

=

- 3 x^{2} - 12 x + 15

|

+ 3 x^{2}

+ 12 x

- 15

3 x^{2} + 12 x - 15

= 0 |:3

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{2}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{2}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{3}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$2$	=	$- x^{2} + 3 x$

2

=

- x^{2} + 3 x

|

+ x^{2}

- 3 x

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{72,75}{x - 3}$ = $- \frac{x}{4 x - 12} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{72,75}{x - 3}$	=	$- \frac{x}{4 x - 12} + 4 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{72,75}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$- \frac{x}{4 (x - 3)} \cdot (x - 3) + 4 x \cdot (x - 3)$
$72,75$	=	$- \frac{1}{4} x + 4 x (x - 3)$
$72,75$	=	$4 x^{2} - \frac{49}{4} x$

$72,75$	=	$4 x^{2} - \frac{49}{4} x$	\|⋅ 4
$291$	=	$4 (4 x^{2} - \frac{49}{4} x)$
$291$	=	$16 x^{2} - 49 x$	\| $- 16 x^{2}$ $+ 49 x$

$- 16 x^{2} + 49 x + 291$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{49^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot 291}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{2 401 + 18 624}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{21 025}}{- 32}$

x₁ = $\frac{- 49 + \sqrt{21 025}}{- 32}$ = $\frac{- 49+145}{- 32}$ = $\frac{96}{- 32}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 49 - \sqrt{21 025}}{- 32}$ = $\frac{- 49-145}{- 32}$ = $\frac{- 194}{- 32}$ = $\frac{97}{16}$ ≈ 6.06

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{97}{16}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{18}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{18}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$18$
$x^{2} + a x - 18$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter