D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$-\frac{12}{x}$	=	$-3x$	|⋅( $x$)
$-\frac{12}{x}·x$	=	$-3x·x$
$-12$	=	$-3x·x$
$-12$	=	$-3x^2$

$-12$	=	$-3x^2$	| $+12$ $+3x^2$
$3x^2$	=	$12$	|:$3$
$x^2$	=	$4$	|
x1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
x2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-2$; $2$}

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3x$ weg!

$\frac{-22x+14}{3x}$	=	$x-1$	|⋅( $3x$)
$\frac{-22x+14}{3x}·3x$	=	$x·3x-1·3x$
$-22x+14$	=	$3x·x-3x$

$-22x+14$

=

$3x^2-3x$

| $-3x^2$ $+3x$

$-3x^2-19x+14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+19\pm \sqrt{{\left(-19\right)}^2-4·\left(-3\right)·14}}{2\cdot \left(-3\right)}$

x_1,2 = $\frac{+19\pm \sqrt{361+168}}{-6}$

x_1,2 = $\frac{+19\pm \sqrt{529}}{-6}$

x₁ = $\frac{19+\sqrt{529}}{-6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>23</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{42}{-6}$ = $-7$

x₂ = $\frac{19-\sqrt{529}}{-6}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>23</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-7$; $\frac{2}{3}$}

D=R\{ $1$}

$2$

=

$\frac{20}{2x-2}-x$

Wir multiplizieren den Nenner $2x-2$ weg!

$2$	=	$\frac{20}{2x-2}-x$	|⋅( $2x-2$)
$2·\left(2x-2\right)$	=	$\frac{20}{2x-2}·\left(2x-2\right)-x·\left(2x-2\right)$
$2\left(2x-2\right)$	=	$20-x\left(2x-2\right)$
$4x-4$	=	$20-x\left(2x-2\right)$
$4x-4$	=	$-2x^2+2x+20$

$4x-4$

=

$-2x^2+2x+20$

| $+2x^2$ $-2x$ $-20$

$2x^2+2x-24$ = 0 |:2

$x^2+x-12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-12\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-4$; $3$}

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^2$ weg!

$1-\frac{14}{x}$	=	$-\frac{48}{x^2}$	|⋅( $x^2$)
$1·x^2-\frac{14}{x}·x^2$	=	$-\frac{48}{x^2}·x^2$
$x^2-14x$	=	$-48$

$x^2-14x$

=

$-48$

| $+48$

$x^2-14x+48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{{\left(-14\right)}^2-4·1·48}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{196-192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{14+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{14-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$; $8$}

D=R\{ $-4$}

$3x$

=

$-\frac{x}{3x+12}+\frac{92}{6x+24}$

Wir multiplizieren den Nenner $3x+12$ weg!

$3x$	=	$-\frac{x}{3x+12}+\frac{92}{6x+24}$	|⋅( $3x+12$)
$3x·\left(3x+12\right)$	=	$-\frac{x}{3x+12}·\left(3x+12\right)+\frac{92}{6\left(x+4\right)}·\left(3\left(x+4\right)\right)$
$3x\left(3x+12\right)$	=	$-x+46$
$3x·3x+3x·12$	=	$-x+46$
$9x·x+36x$	=	$-x+46$
$9x^2+36x$	=	$-x+46$

$9x^2+36x$

=

$-x+46$

| $+x$ $-46$

$9x^2+37x-46$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-37\pm \sqrt{{37}^2-4·9·\left(-46\right)}}{2\cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{-37\pm \sqrt{1369+1656}}{18}$

x_1,2 = $\frac{-37\pm \sqrt{3025}}{18}$

x₁ = $\frac{-37+\sqrt{3025}}{18}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>37</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>55</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>18</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{18}{18}$ = $1$

x₂ = $\frac{-37-\sqrt{3025}}{18}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>37</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>55</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>18</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-92}{18}$ = $-\frac{46}{9}$ ≈ -5.11

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-\frac{46}{9}$; $1$}

D=R\{0}

$\frac{24}{x}+x$ = $-a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{24}{x}+x$	=	$-a$	|⋅x
$\frac{24}{x}·x+x·x$	=	$-a·x$
$24+x^2$	=	$-ax$
$24+x^2+ax$	=	0
$x^2+ax+24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^2+ax+24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 12 würde es funktionieren, denn $2·12$ = 24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $-\left(2+12\right)$ = $-14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^2-14x+24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{{\left(-14\right)}^2-4·1·24}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{196-96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{14+\sqrt{100}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{14-\sqrt{100}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$; $12$}