Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-\left(x+3\right)\left(x-2\right)$ = 0 ist.

$-\left(x+3\right)\left(x-2\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-\left(x+3\right)\left(x-2\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-\left(x+3\right)\left(x-2\right)$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-\left(x+3\right)\left(x-2\right)$ < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $-\left(-4+3\right)·\left(-4-2\right)$ = $-6$ < 0
Für -3 < x < 2: f(0) = $-\left(0+3\right)·\left(0-2\right)$ = $6$ > 0
Für x > 2: f(3) = $-\left(3+3\right)·\left(3-2\right)$ = $-6$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-\left(x+3\right)\left(x-2\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $-\left(x+3\right)\left(x-2\right)$ < 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=2 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < -3 oder x > 2.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-x^2+8x-17$ = 0 ist.

$-x^2+8x-17$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·\left(-1\right)·\left(-17\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-68}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{-2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-x^2+8x-17$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-x^2+8x-17$ = 0 (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der x-Achse oder alle unter der x-Achse liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der x-Achse liegen.
Die Ungleichung $-x^2+8x-17$ ≤ 0 gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $-x^2+8x-17$ immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $-0^2+8\cdot 0-17$ = $-17$ < 0
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $-x^2+8x-17$ ≤ 0 gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2x^2+5x+7$ = $x+3$ ist.

$2x^2+5x+7$

=

$x+3$

| $-x$ $-3$

$2x^2+4x+4$ = 0 |:2

$x^2+2x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·2}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $2x^2+5x+7$ und $\text{g(x)}=$ $x+3$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2x^2+5x+7$ = $x+3$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $x+3$, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $x+3$ oder alle unter der Geraden y= $x+3$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $x+3$ liegen.
Die Ungleichung $2x^2+5x+7$ < $x+3$ gilt somit für kein x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $x+3$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $2x^2+5x+7$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $2\cdot 0^2+5\cdot 0+7$ = $7$ > $3$ = $0+3$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $2x^2+5x+7$ < $x+3$ gilt für kein x.

Die Lösung ist also: {} (kein x erfüllt die Ungleichung)