Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-\left(x+2\right)\left(x-3\right)$ = 0 ist.

$-\left(x+2\right)\left(x-3\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)\left(x-3\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-\left(x+2\right)\left(x-3\right)$ = 0 (x₁ = -2 und x₂ = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-\left(x+2\right)\left(x-3\right)$ < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -2: f(-3) = $-\left(-3+2\right)·\left(-3-3\right)$ = $-6$ < 0
Für -2 < x < 3: f(0) = $-\left(0+2\right)·\left(0-3\right)$ = $6$ > 0
Für x > 3: f(4) = $-\left(4+2\right)·\left(4-3\right)$ = $-6$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-\left(x+2\right)\left(x-3\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $-\left(x+2\right)\left(x-3\right)$ < 0 gehört, ist x₁=-2 und x₂=3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < -2 oder x > 3.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-x^2+5x-4$ = 0 ist.

$-x^2+5x-4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·\left(-1\right)·\left(-4\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{25-16}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{9}}{-2}$

x₁ = $\frac{-5+\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-5-\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{-2}$ = $4$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-x^2+5x-4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-x^2+5x-4$ = 0 (x₁ = 1 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-x^2+5x-4$ > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 1: f(0) = $-0^2+5\cdot 0-4$ = $-4$ < 0
Für 1 < x < 4: f(3) = $-3^2+5\cdot 3-4$ = $2$ > 0
Für x > 4: f(5) = $-5^2+5\cdot 5-4$ = $-4$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-x^2+5x-4$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $-x^2+5x-4$ > 0 gehört, ist x₁=1 und x₂=4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > 1 und x < 4.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2x^2-11x+13$ = $-3x+3$ ist.

$2x^2-11x+13$

=

$-3x+3$

| $+3x$ $-3$

$2x^2-8x+10$ = 0 |:2

$x^2-4x+5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·5}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16-20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $2x^2-11x+13$ und $\text{g(x)}=$ $-3x+3$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2x^2-11x+13$ = $-3x+3$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $-3x+3$, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $-3x+3$ oder alle unter der Geraden y= $-3x+3$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $-3x+3$ liegen.
Die Ungleichung $2x^2-11x+13$ < $-3x+3$ gilt somit für kein x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $-3x+3$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $2x^2-11x+13$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $2\cdot 0^2-11\cdot 0+13$ = $13$ > $3$ = $-3\cdot 0+3$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $2x^2-11x+13$ < $-3x+3$ gilt für kein x.

Die Lösung ist also: {} (kein x erfüllt die Ungleichung)