Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $a \cdot x \cdot (x - 4)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a= $- 1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $- x (x - 4)$ .

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 1$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullsten. Also berechnen wir diese als erstes.

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Der Funktionterm $(x + 1) (x - 1)$ hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie $f(x) =$ $x^{2} - 1$ und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist $f(x) =$ $(x + 1) (x - 1)$ bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(2|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $a \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|1).
Es gilt dann ja: f(1)=1,
also f(1)= $a \cdot (1 - 2) \cdot (1 - 3)$ = $2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $\frac{1}{2} (x - 2) (x - 3)$ .

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|2).
Es gilt dann ja: f(-3)=2,
also f(-3)= $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 1)$ = $- 2 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $- (x + 4) (x + 1)$ .

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$f(x) =$ $- (x + 4) (x + 1)$

= $- (x \cdot x + x \cdot 1 + 4 \cdot x + 4 \cdot 1)$

= $- (x \cdot x + x + 4 x + 4)$

= $- (x^{2} + 5 x + 4)$

= $- x^{2} - 5 x - 4$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit $f(x) =$ $- x^{2} - 5 x - 4$

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 9 x$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $f(x) =$ $- 3 x (x - 3)$ .

Aufgabenbeispiele von Linearfaktordarstellung

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Linearfakt. aus Term (a≠1)