Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $a·\left(x-1\right)·\left(x-3\right)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a=$-1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $-\left(x-1\right)\left(x-3\right)$.

Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $\text{f(x)}=$ $x\left(x-4\right)$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $a·\left(x+3\right)·\left(x-5\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|3).
Es gilt dann ja: f(-4)=3,
also f(-4)= $a·\left(-4+3\right)·\left(-4-5\right)$ = $9a$=3.

Hieraus ergibt sich a=$\frac{1}{3}$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}\left(x+3\right)\left(x-5\right)$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $a·\left(x+2\right)·x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: f(-1)=-2,
also f(-1)= $a·\left(-1+2\right)·\left(-1\right)$ = $-a$=-2.

Hieraus ergibt sich a=$2$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $2\left(x+2\right)x$.

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+2\right)x$

= $2(x·x+2·x)$

= $2(x·x+2x)$

= $2\left(x^2+2x\right)$

= $2x^2+4x$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit $\text{f(x)}=$ $2x^2+4x$

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullsten. Also berechnen wir diese als erstes.

$-x^2-6x-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-8\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-32}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{4}}{-2}$

x₁ = $\frac{6+\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{-2}$ = $-4$

x₂ = $\frac{6-\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{-2}$ = $-2$

Für jedes a hat also der Funktionterm $a·\left(x+4\right)·\left(x+2\right)$ genau die gleichen Nullstellen wie $\text{f(x)}=$ $-5x^2-30x-40$.

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$\text{f(x)}=$ $a·\left(x+4\right)·\left(x+2\right)$

= $a·(x·x+x·2+4·x+4·2)$

= $a·(x·x+2x+4x+8)$

= $a·\left(x^2+6x+8\right)$

Für a = -5 ergibt sich also tatsächlich:

$-5\left(x^2+6x+8\right)$ = $-5x^2-30x-40$ = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $\text{f(x)}=$ $-5\left(x+4\right)\left(x+2\right)$