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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} - 8 x + 1$ = 0

Lösung einblenden

$16 x^{2} - 8 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{32}$ = $\frac{1}{4}$

L={ $\frac{1}{4}$ }

$\frac{1}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 + x^{2} - 6 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 6 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 18 x - 40$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} - 18 x - 40

= 0 |:2

$- x^{2} - 9 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{9+1}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{9-1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 9 x - 6$ = $(x + 5) (x - 1) - 16 x + 9$

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 9 x - 6$	=	$(x + 5) (x - 1) - 16 x + 9$
$2 x^{2} - 9 x - 6$	=	$x^{2} + 4 x - 5 - 16 x + 9$
$2 x^{2} - 9 x - 6$	=	$x^{2} - 12 x + 4$	\| $- x^{2}$ $+ 12 x$ $- 4$

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{12}{5} x + \frac{61}{25}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{12}{5} x + \frac{61}{25}$	=	0	\|⋅ 25
$25 (x^{2} + \frac{12}{5} x + \frac{61}{25})$	=	0

$25 x^{2} + 60 x + 61$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 60 \pm \sqrt{60^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 61}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{- 60 \pm \sqrt{3 600 - 6 100}}{50}$

x_1,2 = $\frac{- 60 \pm \sqrt{(- 2 500)}}{50}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} - 10 x + 20$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} - 2 x + 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} - 10 x + 20

=

- 3 x^{2} - 2 x + 4

|

+ 3 x^{2}

+ 2 x

- 4

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $- 3 \cdot 4^{2} - 2 \cdot 4 + 4$ = $- 3 \cdot 16 - 8 + 4$ = $- 48 - 8 + 4$ = $- 52$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $4$ | $- 52$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} - 3 x - 3$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -1 und x₂ = 3.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 1) \cdot (x - 3)$ = $- x^{2} + 2 x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 2 x + 3

=

- 2 x^{2} - 3 x - 3

|

+ 2 x^{2}

+ 3 x

+ 3

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 2 \cdot {(- 3)}^{2} - 3 \cdot (- 3) - 3$ = $- 2 \cdot 9 + 9 - 3$ = $- 18 + 9 - 3$ = $- 12$

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2) - 3$ = $- 2 \cdot 4 + 6 - 3$ = $- 8 + 6 - 3$ = $- 5$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- 12$ ) und S₂( $- 2$ | $- 5$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)