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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 4 x - 9$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 4 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{196}}{10}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{196}}{10}$ = $\frac{- 4+14}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{196}}{10}$ = $\frac{- 4-14}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

L={ $- 1,8$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + x^{2} - 42$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + x - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1+13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1-13}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 22 x - 60$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} + 22 x - 60

= 0 |:2

$- x^{2} + 11 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 30)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 11+1}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 11-1}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

L={ $5$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{2} - 3 x - 1$ = $(- 8 x - 8) (x + 3) + 36 x + 11$

Lösung einblenden

$- 7 x^{2} - 3 x - 1$	=	$(- 8 x - 8) (x + 3) + 36 x + 11$
$- 7 x^{2} - 3 x - 1$	=	$- 8 x^{2} - 32 x - 24 + 36 x + 11$
$- 7 x^{2} - 3 x - 1$	=	$- 8 x^{2} + 4 x - 13$	\| $+ 8 x^{2}$ $- 4 x$ $+ 13$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 18 x + 28$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

2 x^{2} + 18 x + 28

= 0 |:2

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $- 2$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 7$ |0) und N₂( $- 2$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 x^{2} - x - 5$
und
$g(x) =$ $3 x^{2} - 2 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

4 x^{2} - x - 5

=

3 x^{2} - 2 x + 1

|

- 3 x^{2}

+ 2 x

- 1

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $3 \cdot {(- 3)}^{2} - 2 \cdot (- 3) + 1$ = $3 \cdot 9 + 6 + 1$ = $27 + 6 + 1$ = $34$

g( $2$ ) = $3 \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 + 1$ = $3 \cdot 4 - 4 + 1$ = $12 - 4 + 1$ = $9$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $34$ ) und S₂( $2$ | $9$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 5 x - 8$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -2 und x₂ = 2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 2) \cdot (x - 2)$ = $x^{2} - 4$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} - 4

=

- 5 x - 8

|

+ 5 x

+ 8

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 5 \cdot (- 4) - 8$ = $20 - 8$ = $12$

g( $- 1$ ) = $- 5 \cdot (- 1) - 8$ = $5 - 8$ = $- 3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $12$ ) und S₂( $- 1$ | $- 3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)