Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 33 x + 54$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 33 x + 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 54}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 - 864}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{225}}{8}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 33+15}{8}$ = $\frac{- 18}{8}$ = $- 2,25$

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 33-15}{8}$ = $\frac{- 48}{8}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $- 2,25$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$24 x + 9$ = $- 16 x^{2}$

Lösung einblenden

24 x + 9

=

- 16 x^{2}

|

+ 16 x^{2}

$16 x^{2} + 24 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 576}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 24}{32}$ = $- \frac{3}{4}$

L={ $- \frac{3}{4}$ }

$- \frac{3}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{13}{4} x + \frac{9}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{13}{4} x + \frac{9}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{13}{4} x + \frac{9}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 13 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{8}$ = $\frac{- 13+5}{8}$ = $\frac{- 8}{8}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{8}$ = $\frac{- 13-5}{8}$ = $\frac{- 18}{8}$ = $- 2,25$

L={ $- 2,25$ ; $- 1$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 4 x + 8$ = $(3 x + 3) (x - 6) + 18 x + 16$

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 4 x + 8$	=	$(3 x + 3) (x - 6) + 18 x + 16$
$4 x^{2} - 4 x + 8$	=	$3 x^{2} - 15 x - 18 + 18 x + 16$
$4 x^{2} - 4 x + 8$	=	$3 x^{2} + 3 x - 2$	\| $- 3 x^{2}$ $- 3 x$ $+ 2$

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} - 18 x + 24$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

3 x^{2} - 18 x + 24

= 0 |:3

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $4$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $2$ |0) und N₂( $4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 x^{2} - 5 x + 2$
und
$g(x) =$ $3 x^{2} - 3 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

4 x^{2} - 5 x + 2

=

3 x^{2} - 3 x + 1

|

- 3 x^{2}

+ 3 x

- 1

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $3 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1 + 1$ = $3 \cdot 1 - 3 + 1$ = $3 - 3 + 1$ = $1$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $1$ | $1$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x + 2$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -1 und x₂ = 1.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 1) \cdot (x - 1)$ = $x^{2} - 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} - 1

=

- 2 x + 2

|

+ 2 x

- 2

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 2 \cdot (- 3) + 2$ = $6 + 2$ = $8$

g( $1$ ) = $- 2 \cdot 1 + 2$ = $- 2 + 2$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $8$ ) und S₂( $1$ |0).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)