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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 20 x + 18$ = 0

2 x^{2} - 20 x + 18

= 0 |:2

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 + 4 x^{2}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} - 6

=

- 2 x

|

+ 2 x

4 x^{2} + 2 x - 6

= 0 |:2

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

L={ $- 1,5$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{39}{5} x - \frac{54}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{39}{5} x - \frac{54}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{39}{5} x - \frac{54}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 39 x - 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{{(- 39)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1 521 + 1 080}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{2 601}}{10}$

x₁ = $\frac{39 + \sqrt{2 601}}{10}$ = $\frac{39+51}{10}$ = $\frac{90}{10}$ = $9$

x₂ = $\frac{39 - \sqrt{2 601}}{10}$ = $\frac{39-51}{10}$ = $\frac{- 12}{10}$ = $- 1,2$

L={ $- 1,2$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} + 5 x + 6$ = $(- 9 x + 6) (x - 5) - 44 x + 39$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} + 5 x + 6$	=	$(- 9 x + 6) (x - 5) - 44 x + 39$
$- 8 x^{2} + 5 x + 6$	=	$- 9 x^{2} + 51 x - 30 - 44 x + 39$
$- 8 x^{2} + 5 x + 6$	=	$- 9 x^{2} + 7 x + 9$	\| $+ 9 x^{2}$ $- 7 x$ $- 9$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} - 6 x - 240$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

3 x^{2} - 6 x - 240

= 0 |:3

$x^{2} - 2 x - 80$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 80)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{324}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{2+18}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{2-18}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $10$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 8$ |0) und N₂( $10$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} - 3 x - 17$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} - 5 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} - 3 x - 17

=

5 x^{2} - 5 x - 2

|

- 5 x^{2}

+ 5 x

+ 2

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $5 \cdot {(- 5)}^{2} - 5 \cdot (- 5) - 2$ = $5 \cdot 25 + 25 - 2$ = $125 + 25 - 2$ = $148$

g( $3$ ) = $5 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 - 2$ = $5 \cdot 9 - 15 - 2$ = $45 - 15 - 2$ = $28$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $148$ ) und S₂( $3$ | $28$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x - 2$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -1 und x₂ = 3.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 1) \cdot (x - 3)$ = $x^{2} - 2 x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^{2} - 2 x - 3$	=	$- 2 x - 2$	\| $+ 3$
$x^{2} - 2 x$	=	$- 2 x + 1$	\| $+ 2 x$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- 2 \cdot (- 1) - 2$ = $2 - 2$ = 0

g( $1$ ) = $- 2 \cdot 1 - 2$ = $- 2 - 2$ = $- 4$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ |0) und S₂( $1$ | $- 4$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)