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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 12 x + 10$ = 0

4 x^{2} + 12 x + 10

= 0 |:2

$2 x^{2} + 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{(- 4)}}{4}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + 2 x$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

2 x + 1

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - 3 x + \frac{9}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 12 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{8}$ = $\frac{3}{2}$

L={ $\frac{3}{2}$ }

$\frac{3}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 x^{2} + 8 x + 5$ = $(- 7 x + 8) (x - 6) - 44 x + 53$

Lösung einblenden

$- 6 x^{2} + 8 x + 5$	=	$(- 7 x + 8) (x - 6) - 44 x + 53$
$- 6 x^{2} + 8 x + 5$	=	$- 7 x^{2} + 50 x - 48 - 44 x + 53$
$- 6 x^{2} + 8 x + 5$	=	$- 7 x^{2} + 6 x + 5$	\| $- 5$
$- 6 x^{2} + 8 x$	=	$- 7 x^{2} + 6 x$	\| $- (- 7 x^{2} + 6 x)$
$- 6 x^{2} + 7 x^{2} + 8 x - 6 x$	=	0
$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{25}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{25}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{25}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 5 x - 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 25)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 5+15}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 5-15}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $2,5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 5$ |0) und N₂( $2,5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 x^{2} - 16$
und
$g(x) =$ $- 5 x^{2} + x - 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 4 x^{2} - 16

=

- 5 x^{2} + x - 4

|

+ 5 x^{2}

- x

+ 4

$x^{2} - x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 5 \cdot {(- 3)}^{2} - 3 - 4$ = $- 5 \cdot 9 - 3 - 4$ = $- 45 - 3 - 4$ = $- 52$

g( $4$ ) = $- 5 \cdot 4^{2} + 4 - 4$ = $- 5 \cdot 16 + 4 - 4$ = $- 80 + 4 - 4$ = $- 80$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- 52$ ) und S₂( $4$ | $- 80$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + 4 x - 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -2 und x₂ = 0.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x + 0)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot (x + 0)$ = $- x^{2} - 2 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} - 2 x

=

- 2 x^{2} + 4 x - 5

|

+ 2 x^{2}

- 4 x

+ 5

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 2 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 5$ = $- 2 \cdot 1 + 4 - 5$ = $- 2 + 4 - 5$ = $- 3$

g( $5$ ) = $- 2 \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5 - 5$ = $- 2 \cdot 25 + 20 - 5$ = $- 50 + 20 - 5$ = $- 35$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $- 3$ ) und S₂( $5$ | $- 35$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)