$4x^2-24x+37$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+24\pm \sqrt{{\left(-24\right)}^2-4·4·37}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+24\pm \sqrt{576-592}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+24\pm \sqrt{\left(-16\right)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

$x^2-18x+82$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+18\pm \sqrt{{\left(-18\right)}^2-4·1·82}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+18\pm \sqrt{324-328}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+18\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

$-x^2+20x-101$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-20\pm \sqrt{{20}^2-4·\left(-1\right)·\left(-101\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-20\pm \sqrt{400-404}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-20\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{-2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

L={ $-4$; $4$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$16x^2-56x+49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+56\pm \sqrt{{\left(-56\right)}^2-4·16·49}}{2\cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+56\pm \sqrt{3136-3136}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+56\pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{56}{32}$ = $\frac{7}{4}$

L={ $\frac{7}{4}$}

$\frac{7}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $\frac{7}{4}$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2+7x+10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4·1·10}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{49-40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{-7+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

x₂ = $\frac{-7-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $-2$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-5$) = $-4\cdot {\left(-5\right)}^2+3\cdot \left(-5\right)+3$ = $-4\cdot 25-15+3$ = $-100-15+3$ = $-112$

g( $-2$) = $-4\cdot {\left(-2\right)}^2+3\cdot \left(-2\right)+3$ = $-4\cdot 4-6+3$ = $-16-6+3$ = $-19$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-5$| $-112$) und S₂( $-2$| $-19$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $\text{f(x)}=$ $a·\left(x+0\right)·\left(x-2\right)$.

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$\text{f(x)}=$ $-\left(x+0\right)·\left(x-2\right)$ = $-x^2+2x$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2+7x+12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4·1·12}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{49-48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{-7+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

x₂ = $\frac{-7-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $-3$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-4$) = $-2\cdot {\left(-4\right)}^2-5\cdot \left(-4\right)-12$ = $-2\cdot 16+20-12$ = $-32+20-12$ = $-24$

g( $-3$) = $-2\cdot {\left(-3\right)}^2-5\cdot \left(-3\right)-12$ = $-2\cdot 9+15-12$ = $-18+15-12$ = $-15$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-4$| $-24$) und S₂( $-3$| $-15$).