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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 2$ = 0

$2 x^{2} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 x^{2}$	=	$2$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 15 + 5 x^{2}$ = $- 22 x$

Lösung einblenden

5 x^{2} - 15

=

- 22 x

|

+ 22 x

$5 x^{2} + 22 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 300}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{784}}{10}$

x₁ = $\frac{- 22 + \sqrt{784}}{10}$ = $\frac{- 22+28}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = $0,6$

x₂ = $\frac{- 22 - \sqrt{784}}{10}$ = $\frac{- 22-28}{10}$ = $\frac{- 50}{10}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $0,6$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 18 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} - 18 x + 36

= 0 |:2

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} - x + 9$ = $(8 x - 7) (x + 5) - 39 x + 40$

Lösung einblenden

$9 x^{2} - x + 9$	=	$(8 x - 7) (x + 5) - 39 x + 40$
$9 x^{2} - x + 9$	=	$8 x^{2} + 33 x - 35 - 39 x + 40$
$9 x^{2} - x + 9$	=	$8 x^{2} - 6 x + 5$	\| $- 8 x^{2}$ $+ 6 x$ $- 5$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{81}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{81}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{81}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 9 x - 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 81)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 648}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{729}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{- 9+27}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{- 9-27}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $4,5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 9$ |0) und N₂( $4,5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 x^{2} - 4 x + 9$
und
$g(x) =$ $- 4 x^{2} + 2 x + 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 3 x^{2} - 4 x + 9

=

- 4 x^{2} + 2 x + 4

|

+ 4 x^{2}

- 2 x

- 4

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 4 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 + 4$ = $- 4 \cdot 1 + 2 + 4$ = $- 4 + 2 + 4$ = $2$

g( $5$ ) = $- 4 \cdot 5^{2} + 2 \cdot 5 + 4$ = $- 4 \cdot 25 + 10 + 4$ = $- 100 + 10 + 4$ = $- 86$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $2$ ) und S₂( $5$ | $- 86$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $6 x - 3$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -2 und x₂ = 0.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x + 0)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 2) \cdot (x + 0)$ = $x^{2} + 2 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} + 2 x

=

6 x - 3

|

- 6 x

+ 3

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $6 \cdot 1 - 3$ = $6 - 3$ = $3$

g( $3$ ) = $6 \cdot 3 - 3$ = $18 - 3$ = $15$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $3$ ) und S₂( $3$ | $15$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)