Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} + 8 x + 1$ = 0

Lösung einblenden

$16 x^{2} + 8 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{32}$ = $- \frac{1}{4}$

L={ $- \frac{1}{4}$ }

$- \frac{1}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 + 4 x^{2} + 20 x$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 20 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 20}{8}$ = $- \frac{5}{2}$

L={ $- \frac{5}{2}$ }

$- \frac{5}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{19}{2} x + \frac{45}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{19}{2} x + \frac{45}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{19}{2} x + \frac{45}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 19 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 45}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 19+1}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 19-1}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4,5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 8 x + 5$ = $(3 x - 9) (x + 6) - 20 x + 59$

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 8 x + 5$	=	$(3 x - 9) (x + 6) - 20 x + 59$
$4 x^{2} - 8 x + 5$	=	$3 x^{2} + 9 x - 54 - 20 x + 59$
$4 x^{2} - 8 x + 5$	=	$3 x^{2} - 11 x + 5$	\| $- 5$
$4 x^{2} - 8 x$	=	$3 x^{2} - 11 x$	\| $- (3 x^{2} - 11 x)$
$4 x^{2} - 3 x^{2} - 8 x + 11 x$	=	0
$x^{2} + 3 x$	=	0
$x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; 0}

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{43}{4} x + \frac{63}{4}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{43}{4} x + \frac{63}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{43}{4} x + \frac{63}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 43 x + 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{43^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 63}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 849 - 1 008}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{841}}{8}$

x₁ = $\frac{- 43 + \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{- 43+29}{8}$ = $\frac{- 14}{8}$ = $- 1,75$

x₂ = $\frac{- 43 - \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{- 43-29}{8}$ = $\frac{- 72}{8}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $- 1,75$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 9$ |0) und N₂( $- 1,75$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} + x$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} - 3 x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} + x

=

5 x^{2} - 3 x - 5

|

- 5 x^{2}

+ 3 x

+ 5

$x^{2} + 4 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x - 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -3 und x₂ = -1.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 3) \cdot (x + 1)$ = $x^{2} + 4 x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} + 4 x + 3

=

- 2 x - 5

|

+ 2 x

+ 5

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 2 \cdot (- 4) - 5$ = $8 - 5$ = $3$

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot (- 2) - 5$ = $4 - 5$ = $- 1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $3$ ) und S₂( $- 2$ | $- 1$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)