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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 32 x + 65$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 32 x + 65$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 65}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 1 040}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{(- 16)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 63 - 25 x$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 25 x + 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 63}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 504}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{25+11}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{25-11}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

L={ $3,5$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{35}{4} x + 6$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{35}{4} x + 6$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{35}{4} x + 6)$	=	0

$4 x^{2} - 35 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{{(- 35)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 24}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{1 225 - 384}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{841}}{8}$

x₁ = $\frac{35 + \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{35+29}{8}$ = $\frac{64}{8}$ = $8$

x₂ = $\frac{35 - \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{35-29}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

L={ $0,75$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x^{2} + 7 x - 7$ = $(6 x + 4) (x - 2) + 13 x$

Lösung einblenden

$7 x^{2} + 7 x - 7$	=	$(6 x + 4) (x - 2) + 13 x$
$7 x^{2} + 7 x - 7$	=	$6 x^{2} - 8 x - 8 + 13 x$
$7 x^{2} + 7 x - 7$	=	$6 x^{2} + 5 x - 8$	\| $- 6 x^{2}$ $- 5 x$ $+ 8$

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 4 x + 70$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 2 x^{2} - 4 x + 70

= 0 |:2

$- x^{2} - 2 x + 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 35}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{2+12}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{2-12}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

L={ $- 7$ ; $5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 7$ |0) und N₂( $5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 x^{2} - 5 x - 8$
und
$g(x) =$ $x^{2} - 2 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x^{2} - 5 x - 8

=

x^{2} - 2 x + 2

|

- x^{2}

+ 2 x

- 2

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2) + 2$ = $4 + 4 + 2$ = $10$

g( $5$ ) = $5^{2} - 2 \cdot 5 + 2$ = $25 - 10 + 2$ = $17$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $10$ ) und S₂( $5$ | $17$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + x - 2$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 4.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 0) \cdot (x - 4)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 0) \cdot (x - 4)$ = $- x^{2} + 4 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 4 x

=

- 2 x^{2} + x - 2

|

+ 2 x^{2}

- x

+ 2

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 - 2$ = $- 2 \cdot 4 - 2 - 2$ = $- 8 - 2 - 2$ = $- 12$

g( $- 1$ ) = $- 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 1 - 2$ = $- 2 \cdot 1 - 1 - 2$ = $- 2 - 1 - 2$ = $- 5$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $- 12$ ) und S₂( $- 1$ | $- 5$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)