Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 9 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 9 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{9+3}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{9-3}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

L={ $1,5$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 12 + 5 x^{2} - 28 x$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 28 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{784 + 240}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{1 024}}{10}$

x₁ = $\frac{28 + \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{28+32}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = $6$

x₂ = $\frac{28 - \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{28-32}{10}$ = $\frac{- 4}{10}$ = $- 0,4$

L={ $- 0,4$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{5}{2} x - \frac{63}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{5}{2} x - \frac{63}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{5}{2} x - \frac{63}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 5 x - 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 504}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{5+23}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{5-23}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

L={ $- 4,5$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 4 x - 6$ = $(x + 5) (x + 4) - 9 x - 21$

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 4 x - 6$	=	$(x + 5) (x + 4) - 9 x - 21$
$2 x^{2} + 4 x - 6$	=	$x^{2} + 9 x + 20 - 9 x - 21$
$2 x^{2} + 4 x - 6$	=	$x^{2} - 1$	\| $- x^{2}$ $+ 1$

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 2 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$- x^{2} + 2 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

L={ $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $1$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 x^{2} - 8 x + 3$
und
$g(x) =$ $x^{2} - 3 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x^{2} - 8 x + 3

=

x^{2} - 3 x - 1

|

- x^{2}

+ 3 x

+ 1

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $1^{2} - 3 \cdot 1 - 1$ = $1 - 3 - 1$ = $- 3$

g( $4$ ) = $4^{2} - 3 \cdot 4 - 1$ = $16 - 12 - 1$ = $3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $- 3$ ) und S₂( $4$ | $3$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + 6 x$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -1 und x₂ = 3.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 1) \cdot (x - 3)$ = $- x^{2} + 2 x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 2 x + 3

=

- 2 x^{2} + 6 x

|

+ 2 x^{2}

- 6 x

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 2 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1$ = $- 2 \cdot 1 + 6$ = $- 2 + 6$ = $4$

g( $3$ ) = $- 2 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3$ = $- 2 \cdot 9 + 18$ = $- 18 + 18$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $4$ ) und S₂( $3$ |0).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)