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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 13 x - 7$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 13 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{13+15}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{13-15}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

L={ $- 0,5$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x + 2 x^{2} - 72$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 7 x - 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 576}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{625}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{7+25}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{7-25}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

L={ $- 4,5$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 7 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 7 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 7+13}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 7-13}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} - 7 x - 6$ = $(- 6 x + 8) (x - 4) - 39 x + 35$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} - 7 x - 6$	=	$(- 6 x + 8) (x - 4) - 39 x + 35$
$- 5 x^{2} - 7 x - 6$	=	$- 6 x^{2} + 32 x - 32 - 39 x + 35$
$- 5 x^{2} - 7 x - 6$	=	$- 6 x^{2} - 7 x + 3$	\| $+ 6$
$- 5 x^{2} - 7 x$	=	$- 6 x^{2} - 7 x + 9$	\| $+ 6 x^{2}$ $+ 7 x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 4 x + 21$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$- x^{2} + 4 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 21}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 4+10}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 4-10}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

L={ $- 3$ ; $7$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 3$ |0) und N₂( $7$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 x^{2} - 4 x - 3$
und
$g(x) =$ $- 4 x^{2} - 4 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- 3 x^{2} - 4 x - 3$	=	$- 4 x^{2} - 4 x + 1$	\| $+ 3$
$- 3 x^{2} - 4 x$	=	$- 4 x^{2} - 4 x + 4$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ 4 x$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 1$ = $- 4 \cdot 4 + 8 + 1$ = $- 16 + 8 + 1$ = $- 7$

g( $2$ ) = $- 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 1$ = $- 4 \cdot 4 - 8 + 1$ = $- 16 - 8 + 1$ = $- 23$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $- 7$ ) und S₂( $2$ | $- 23$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} - 8 x - 25$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 0) \cdot (x - 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 0) \cdot (x - 2)$ = $- x^{2} + 2 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 2 x

=

- 2 x^{2} - 8 x - 25

|

+ 2 x^{2}

+ 8 x

+ 25

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 2 \cdot {(- 5)}^{2} - 8 \cdot (- 5) - 25$ = $- 2 \cdot 25 + 40 - 25$ = $- 50 + 40 - 25$ = $- 35$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 5$ | $- 35$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)