$4x^2+20x+25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-20\pm \sqrt{{20}^2-4·4·25}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{-20\pm \sqrt{400-400}}{8}$

x_1,2 = $\frac{-20\pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-20}{8}$ = $-\frac{5}{2}$

L={ $-\frac{5}{2}$}

$-\frac{5}{2}$ ist 2-fache Lösung!

$5x^2-12x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+12\pm \sqrt{{\left(-12\right)}^2-4·5·4}}{2\cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+12\pm \sqrt{144-80}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+12\pm \sqrt{64}}{10}$

x₁ = $\frac{12+\sqrt{64}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>12</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{20}{10}$ = $2$

x₂ = $\frac{12-\sqrt{64}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>12</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{10}$ = $\mathrm{0,4}$

L={ $\mathrm{0,4}$; $2$}

$x^2-2x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·1}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4-4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$}

$1$ ist 2-fache Lösung!

$x^2-5x+6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·1·6}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25-24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$; $3$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2+4x-45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·\left(-45\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16+180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{-4+\sqrt{196}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{-4-\sqrt{196}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-18}{2}$ = $-9$

L={ $-9$; $5$}

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $-9$|0) und N₂( $5$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2+7x+12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4·1·12}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{49-48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{-7+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

x₂ = $\frac{-7-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $-3$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-4$) = $-5\cdot {\left(-4\right)}^2+4\cdot \left(-4\right)-5$ = $-5\cdot 16-16-5$ = $-80-16-5$ = $-101$

g( $-3$) = $-5\cdot {\left(-3\right)}^2+4\cdot \left(-3\right)-5$ = $-5\cdot 9-12-5$ = $-45-12-5$ = $-62$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-4$| $-101$) und S₂( $-3$| $-62$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -1 und x₂ = 1.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $\text{f(x)}=$ $a·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)$.

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\left(x-1\right)$ = $x^2-1$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2+6x+5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·1·5}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{-6+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-6-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $-1$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-5$) = $-6\cdot \left(-5\right)-6$ = $30-6$ = $24$

g( $-1$) = $-6\cdot \left(-1\right)-6$ = $6-6$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-5$| $24$) und S₂( $-1$|0).