Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 15 x - 27$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 15 x - 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 216}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{15+21}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{15-21}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

L={ $- 1,5$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 37 x + 40$ = $- 4 x^{2}$

Lösung einblenden

- 37 x + 40

=

- 4 x^{2}

|

+ 4 x^{2}

$4 x^{2} - 37 x + 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{{(- 37)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 40}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{1 369 - 640}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{729}}{8}$

x₁ = $\frac{37 + \sqrt{729}}{8}$ = $\frac{37+27}{8}$ = $\frac{64}{8}$ = $8$

x₂ = $\frac{37 - \sqrt{729}}{8}$ = $\frac{37-27}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = $1,25$

L={ $1,25$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{16}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{16}$	=	0	\|⋅ 16
$16 (x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{16})$	=	0

$16 x^{2} - 24 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{576 - 576}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{24}{32}$ = $\frac{3}{4}$

L={ $\frac{3}{4}$ }

$\frac{3}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 3 x + 4$ = $(- 4 x - 6) (x - 4) - 16 x - 40$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} + 3 x + 4$	=	$(- 4 x - 6) (x - 4) - 16 x - 40$
$- 3 x^{2} + 3 x + 4$	=	$- 4 x^{2} + 10 x + 24 - 16 x - 40$
$- 3 x^{2} + 3 x + 4$	=	$- 4 x^{2} - 6 x - 16$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ 6 x$ $+ 16$

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{31}{5} x + \frac{6}{5}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{31}{5} x + \frac{6}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{31}{5} x + \frac{6}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 31 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 6}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 - 120}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{841}}{10}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{31+29}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = $6$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{31-29}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

L={ $0,2$ ; $6$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $0,2$ |0) und N₂( $6$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 x^{2} + 7 x + 19$
und
$g(x) =$ $3 x^{2} - x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

4 x^{2} + 7 x + 19

=

3 x^{2} - x + 3

|

- 3 x^{2}

+ x

- 3

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $3 \cdot {(- 4)}^{2} - (- 4) + 3$ = $3 \cdot 16 + 4 + 3$ = $48 + 4 + 3$ = $55$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 4$ | $55$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ 0 .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -2 und x₂ = 2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 2) \cdot (x - 2)$ = $x^{2} - 4$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = 0 = 0

g( $2$ ) = 0 = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ |0) und S₂( $2$ |0).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)