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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 x^{2} - 70 x + 49$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} - 70 x + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 70 \pm \sqrt{{(- 70)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 49}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+ 70 \pm \sqrt{4 900 - 4 900}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+ 70 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{70}{50}$ = $\frac{7}{5}$

L={ $\frac{7}{5}$ }

$\frac{7}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x - 6 + 2 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} - 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - 3 x + \frac{9}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 12 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{8}$ = $\frac{3}{2}$

L={ $\frac{3}{2}$ }

$\frac{3}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} + 6 x + 4$ = $(2 x - 2) (x + 8) - 3 x + 14$

Lösung einblenden

$3 x^{2} + 6 x + 4$	=	$(2 x - 2) (x + 8) - 3 x + 14$
$3 x^{2} + 6 x + 4$	=	$2 x^{2} + 14 x - 16 - 3 x + 14$
$3 x^{2} + 6 x + 4$	=	$2 x^{2} + 11 x - 2$	\| $- 2 x^{2}$ $- 11 x$ $+ 2$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{11}{2} x + 6$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{11}{2} x + 6$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{11}{2} x + 6)$	=	0

$2 x^{2} - 11 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{11+5}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{11-5}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

L={ $1,5$ ; $4$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $1,5$ |0) und N₂( $4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} - 9 x - 1$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} - 4 x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} - 9 x - 1

=

- 3 x^{2} - 4 x - 5

|

+ 3 x^{2}

+ 4 x

+ 5

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 3 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 - 5$ = $- 3 \cdot 1 - 4 - 5$ = $- 3 - 4 - 5$ = $- 12$

g( $4$ ) = $- 3 \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 - 5$ = $- 3 \cdot 16 - 16 - 5$ = $- 48 - 16 - 5$ = $- 69$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $- 12$ ) und S₂( $4$ | $- 69$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + 6 x + 4$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 1 und x₂ = 5.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 5)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot (x - 5)$ = $- x^{2} + 6 x - 5$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- x^{2} + 6 x - 5$	=	$- 2 x^{2} + 6 x + 4$	\| $+ 5$
$- x^{2} + 6 x$	=	$- 2 x^{2} + 6 x + 9$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 6 x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 2 \cdot {(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 4$ = $- 2 \cdot 9 - 18 + 4$ = $- 18 - 18 + 4$ = $- 32$

g( $3$ ) = $- 2 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3 + 4$ = $- 2 \cdot 9 + 18 + 4$ = $- 18 + 18 + 4$ = $4$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- 32$ ) und S₂( $3$ | $4$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)