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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 10 x - 28$ = 0

2 x^{2} + 10 x - 28

= 0 |:2

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $2$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 + 8 x$ = $- 4 x^{2}$

Lösung einblenden

8 x + 5

=

- 4 x^{2}

|

+ 4 x^{2}

$4 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 80}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{(- 16)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{14}{5} x - \frac{3}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{14}{5} x - \frac{3}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{14}{5} x - \frac{3}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 14 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 60}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{256}}{10}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{256}}{10}$ = $\frac{- 14+16}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{256}}{10}$ = $\frac{- 14-16}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $0,2$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 1$ = $(- x - 7) (x + 3) + 17 x + 12$

Lösung einblenden

$x - 1$	=	$(- x - 7) (x + 3) + 17 x + 12$
$x - 1$	=	$- x^{2} - 10 x - 21 + 17 x + 12$
$x - 1$	=	$- x^{2} + 7 x - 9$	\| $+ x^{2}$ $- 7 x$ $+ 9$

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 6 x + 10$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 6 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 x^{2} + 5 x - 1$
und
$g(x) =$ $- 4 x^{2} + 5 x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- 3 x^{2} + 5 x - 1$	=	$- 4 x^{2} + 5 x + 3$	\| $+ 1$
$- 3 x^{2} + 5 x$	=	$- 4 x^{2} + 5 x + 4$	\| $+ 4 x^{2}$ $- 5 x$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- 4 \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 3$ = $- 4 \cdot 4 - 10 + 3$ = $- 16 - 10 + 3$ = $- 23$

g( $2$ ) = $- 4 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 + 3$ = $- 4 \cdot 4 + 10 + 3$ = $- 16 + 10 + 3$ = $- 3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $- 23$ ) und S₂( $2$ | $- 3$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 6 x + 14$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 1 und x₂ = 5.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 5)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x - 1) \cdot (x - 5)$ = $x^{2} - 6 x + 5$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^{2} - 6 x + 5$	=	$- 6 x + 14$	\| $- 5$
$x^{2} - 6 x$	=	$- 6 x + 9$	\| $+ 6 x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 6 \cdot (- 3) + 14$ = $18 + 14$ = $32$

g( $3$ ) = $- 6 \cdot 3 + 14$ = $- 18 + 14$ = $- 4$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $32$ ) und S₂( $3$ | $- 4$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)