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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 15 x + 54$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 15 x + 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 54}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 15+3}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 15-3}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $- 6$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 9 x$ = $- 7$

Lösung einblenden

2 x^{2} + 9 x

=

- 7

|

+ 7

$2 x^{2} + 9 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 9+5}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 9-5}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

L={ $- 3,5$ ; $- 1$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 x^{2} + 3 x - 2$ = $(9 x - 6) (x - 3) + 36 x - 19$

Lösung einblenden

$10 x^{2} + 3 x - 2$	=	$(9 x - 6) (x - 3) + 36 x - 19$
$10 x^{2} + 3 x - 2$	=	$9 x^{2} - 33 x + 18 + 36 x - 19$
$10 x^{2} + 3 x - 2$	=	$9 x^{2} + 3 x - 1$	\| $+ 2$
$10 x^{2} + 3 x$	=	$9 x^{2} + 3 x + 1$	\| $- 9 x^{2}$ $- 3 x$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 12 x + 36$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 12 x + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ }

$- 6$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 6$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- x^{2} - 4 x - 14$
und
$g(x) =$ $- 2 x^{2} - 4 x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- x^{2} - 4 x - 14$	=	$- 2 x^{2} - 4 x - 5$	\| $+ 14$
$- x^{2} - 4 x$	=	$- 2 x^{2} - 4 x + 9$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 4 x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 2 \cdot {(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 3) - 5$ = $- 2 \cdot 9 + 12 - 5$ = $- 18 + 12 - 5$ = $- 11$

g( $3$ ) = $- 2 \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3 - 5$ = $- 2 \cdot 9 - 12 - 5$ = $- 18 - 12 - 5$ = $- 35$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- 11$ ) und S₂( $3$ | $- 35$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} - 13$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 1 und x₂ = 5.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 5)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot (x - 5)$ = $- x^{2} + 6 x - 5$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 6 x - 5

=

- 2 x^{2} - 13

|

+ 2 x^{2}

+ 13

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 2 \cdot {(- 4)}^{2} - 13$ = $- 2 \cdot 16 - 13$ = $- 32 - 13$ = $- 45$

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 13$ = $- 2 \cdot 4 - 13$ = $- 8 - 13$ = $- 21$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 45$ ) und S₂( $- 2$ | $- 21$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)