Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 14 x + 49$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 14 x + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ }

$- 7$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 8$ = $- 6 x$

Lösung einblenden

2 x^{2} - 8

=

- 6 x

|

+ 6 x

2 x^{2} + 6 x - 8

= 0 |:2

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{54}{5} x + 8$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{54}{5} x + 8$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{54}{5} x + 8)$	=	0

$5 x^{2} - 54 x + 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 54 \pm \sqrt{{(- 54)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 40}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 54 \pm \sqrt{2 916 - 800}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 54 \pm \sqrt{2 116}}{10}$

x₁ = $\frac{54 + \sqrt{2 116}}{10}$ = $\frac{54+46}{10}$ = $\frac{100}{10}$ = $10$

x₂ = $\frac{54 - \sqrt{2 116}}{10}$ = $\frac{54-46}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = $0,8$

L={ $0,8$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 4 x + 4$ = $(x + 3) (x - 8) + 9 x + 37$

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 4 x + 4$	=	$(x + 3) (x - 8) + 9 x + 37$
$2 x^{2} + 4 x + 4$	=	$x^{2} - 5 x - 24 + 9 x + 37$
$2 x^{2} + 4 x + 4$	=	$x^{2} + 4 x + 13$	\| $- 4$
$2 x^{2} + 4 x$	=	$x^{2} + 4 x + 9$	\| $- x^{2}$ $- 4 x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 33 x - 30$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 3 x^{2} - 33 x - 30

= 0 |:3

$- x^{2} - 11 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{11+9}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{11-9}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

L={ $- 10$ ; $- 1$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 10$ |0) und N₂( $- 1$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} - x + 2$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} - 5 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} - x + 2

=

5 x^{2} - 5 x - 2

|

- 5 x^{2}

+ 5 x

+ 2

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $5 \cdot {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2) - 2$ = $5 \cdot 4 + 10 - 2$ = $20 + 10 - 2$ = $28$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 2$ | $28$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $4 x + 12$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -3 und x₂ = 1.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 1)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 3) \cdot (x - 1)$ = $x^{2} + 2 x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} + 2 x - 3

=

4 x + 12

|

- 4 x

- 12

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $4 \cdot (- 3) + 12$ = $- 12 + 12$ = 0

g( $5$ ) = $4 \cdot 5 + 12$ = $20 + 12$ = $32$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ |0) und S₂( $5$ | $32$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)