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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 34 x + 16$ = 0

4 x^{2} - 34 x + 16

= 0 |:2

$2 x^{2} - 17 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 8}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{17+15}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{17-15}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

L={ $0,5$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 15 x - 20$ = 0

Lösung einblenden

5 x^{2} + 15 x - 20

= 0 |:5

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 16 x - 34$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} - 16 x - 34

= 0 |:2

$- x^{2} - 8 x - 17$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 17)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - 3 x + 5$ = $(- 2 x + 8) (x - 3) - 18 x + 31$

Lösung einblenden

$- x^{2} - 3 x + 5$	=	$(- 2 x + 8) (x - 3) - 18 x + 31$
$- x^{2} - 3 x + 5$	=	$- 2 x^{2} + 14 x - 24 - 18 x + 31$
$- x^{2} - 3 x + 5$	=	$- 2 x^{2} - 4 x + 7$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 7$

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{17}{4} x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{17}{4} x + 1$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{17}{4} x + 1)$	=	0

$4 x^{2} + 17 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{225}}{8}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 17+15}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 17-15}{8}$ = $\frac{- 32}{8}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 0,25$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 4$ |0) und N₂( $- 0,25$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 x^{2} + 3 x - 7$
und
$g(x) =$ $- 5 x^{2} + 2 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 4 x^{2} + 3 x - 7

=

- 5 x^{2} + 2 x - 1

|

+ 5 x^{2}

- 2 x

+ 1

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 5 \cdot {(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3) - 1$ = $- 5 \cdot 9 - 6 - 1$ = $- 45 - 6 - 1$ = $- 52$

g( $2$ ) = $- 5 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - 1$ = $- 5 \cdot 4 + 4 - 1$ = $- 20 + 4 - 1$ = $- 17$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- 52$ ) und S₂( $2$ | $- 17$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $3 x + 6$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -4 und x₂ = -2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 4) \cdot (x + 2)$ = $x^{2} + 6 x + 8$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} + 6 x + 8

=

3 x + 6

|

- 3 x

- 6

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $3 \cdot (- 2) + 6$ = $- 6 + 6$ = 0

g( $- 1$ ) = $3 \cdot (- 1) + 6$ = $- 3 + 6$ = $3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ |0) und S₂( $- 1$ | $3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)