Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} + 64 x + 65$ = 0

Lösung einblenden

$16 x^{2} + 64 x + 65$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 64 \pm \sqrt{64^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 65}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 64 \pm \sqrt{4 096 - 4 160}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 64 \pm \sqrt{(- 64)}}{32}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 10 - 9 x + x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 9 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{9+11}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{9-11}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{43}{5} x + \frac{24}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{43}{5} x + \frac{24}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{43}{5} x + \frac{24}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 43 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{43^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 24}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 849 - 480}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 369}}{10}$

x₁ = $\frac{- 43 + \sqrt{1 369}}{10}$ = $\frac{- 43+37}{10}$ = $\frac{- 6}{10}$ = $- 0,6$

x₂ = $\frac{- 43 - \sqrt{1 369}}{10}$ = $\frac{- 43-37}{10}$ = $\frac{- 80}{10}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $- 0,6$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} + 2 x - 7$ = $(8 x - 5) (x - 2) + 19 x - 12$

Lösung einblenden

$9 x^{2} + 2 x - 7$	=	$(8 x - 5) (x - 2) + 19 x - 12$
$9 x^{2} + 2 x - 7$	=	$8 x^{2} - 21 x + 10 + 19 x - 12$
$9 x^{2} + 2 x - 7$	=	$8 x^{2} - 2 x - 2$	\| $- 8 x^{2}$ $+ 2 x$ $+ 2$

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{9}{2} x - \frac{81}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{9}{2} x - \frac{81}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{9}{2} x - \frac{81}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 9 x - 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 81)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 648}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{729}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{9+27}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{9-27}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

L={ $- 4,5$ ; $9$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 4,5$ |0) und N₂( $9$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 x^{2} - 8 x + 30$
und
$g(x) =$ $- 4 x^{2} + 2 x + 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 3 x^{2} - 8 x + 30

=

- 4 x^{2} + 2 x + 4

|

+ 4 x^{2}

- 2 x

- 4

$x^{2} - 10 x + 26$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

Es gibt also keine Schnittpunkte.

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 5 x - 8$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -2 und x₂ = 2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 2) \cdot (x - 2)$ = $x^{2} - 4$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} - 4

=

- 5 x - 8

|

+ 5 x

+ 8

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 5 \cdot (- 4) - 8$ = $20 - 8$ = $12$

g( $- 1$ ) = $- 5 \cdot (- 1) - 8$ = $5 - 8$ = $- 3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $12$ ) und S₂( $- 1$ | $- 3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)