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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 33 x - 56$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 33 x - 56$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{{(- 33)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{1 089 + 1 120}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{2 209}}{10}$

x₁ = $\frac{33 + \sqrt{2 209}}{10}$ = $\frac{33+47}{10}$ = $\frac{80}{10}$ = $8$

x₂ = $\frac{33 - \sqrt{2 209}}{10}$ = $\frac{33-47}{10}$ = $\frac{- 14}{10}$ = $- 1,4$

L={ $- 1,4$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 70$ = $57 x$

Lösung einblenden

5 x^{2} + 70

=

57 x

|

- 57 x

$5 x^{2} - 57 x + 70$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 57 \pm \sqrt{{(- 57)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 70}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 57 \pm \sqrt{3 249 - 1 400}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 57 \pm \sqrt{1 849}}{10}$

x₁ = $\frac{57 + \sqrt{1 849}}{10}$ = $\frac{57+43}{10}$ = $\frac{100}{10}$ = $10$

x₂ = $\frac{57 - \sqrt{1 849}}{10}$ = $\frac{57-43}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

L={ $1,4$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 15 x + 150$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} + 15 x + 150

= 0 |:3

$- x^{2} + 5 x + 50$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 50}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{225}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{225}}{- 2}$ = $\frac{- 5+15}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{225}}{- 2}$ = $\frac{- 5-15}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

L={ $- 5$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + x + 9$ = $(x + 1) (x - 6) + 2 x + 15$

Lösung einblenden

$2 x^{2} + x + 9$	=	$(x + 1) (x - 6) + 2 x + 15$
$2 x^{2} + x + 9$	=	$x^{2} - 5 x - 6 + 2 x + 15$
$2 x^{2} + x + 9$	=	$x^{2} - 3 x + 9$	\| $- 9$
$2 x^{2} + x$	=	$x^{2} - 3 x$	\| $- (x^{2} - 3 x)$
$2 x^{2} - x^{2} + x + 3 x$	=	0
$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; 0}

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 5 x + \frac{25}{4}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - 5 x + \frac{25}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 20 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{20}{8}$ = $\frac{5}{2}$

L={ $\frac{5}{2}$ }

$\frac{5}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $\frac{5}{2}$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $9 x + 26$
und
$g(x) =$ $- x^{2} - x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

9 x + 26

=

- x^{2} - x + 1

|

+ x^{2}

+ x

- 1

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - (- 5) + 1$ = $- 25 + 5 + 1$ = $- 19$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 5$ | $- 19$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x + 6$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 1 und x₂ = 3.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x - 1) \cdot (x - 3)$ = $x^{2} - 4 x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} - 4 x + 3

=

- 2 x + 6

|

+ 2 x

- 6

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- 2 \cdot (- 1) + 6$ = $2 + 6$ = $8$

g( $3$ ) = $- 2 \cdot 3 + 6$ = $- 6 + 6$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $8$ ) und S₂( $3$ |0).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)