Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 9 x - 35$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 9 x - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 280}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 9+19}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 9-19}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $2,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 8 + 6 x$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 6 x - 8

= 0 |:2

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{23}{2} x + \frac{45}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{23}{2} x + \frac{45}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{23}{2} x + \frac{45}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 23 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 45}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{23+13}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{23-13}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

L={ $2,5$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} - 9 x + 2$ = $(8 x - 7) (x + 3) - 30 x + 20$

Lösung einblenden

$9 x^{2} - 9 x + 2$	=	$(8 x - 7) (x + 3) - 30 x + 20$
$9 x^{2} - 9 x + 2$	=	$8 x^{2} + 17 x - 21 - 30 x + 20$
$9 x^{2} - 9 x + 2$	=	$8 x^{2} - 13 x - 1$	\| $- 8 x^{2}$ $+ 13 x$ $+ 1$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{28}{5} x + \frac{32}{5}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{28}{5} x + \frac{32}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{28}{5} x + \frac{32}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 28 x + 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 32}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{784 - 640}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{144}}{10}$

x₁ = $\frac{28 + \sqrt{144}}{10}$ = $\frac{28+12}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{28 - \sqrt{144}}{10}$ = $\frac{28-12}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

L={ $1,6$ ; $4$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $1,6$ |0) und N₂( $4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 11 x + 13$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} + 3 x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} + 11 x + 13

=

- 3 x^{2} + 3 x - 3

|

+ 3 x^{2}

- 3 x

+ 3

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 3 \cdot {(- 4)}^{2} + 3 \cdot (- 4) - 3$ = $- 3 \cdot 16 - 12 - 3$ = $- 48 - 12 - 3$ = $- 63$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 4$ | $- 63$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $4 x + 8$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -2 und x₂ = 0.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x + 0)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 2) \cdot (x + 0)$ = $x^{2} + 2 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} + 2 x

=

4 x + 8

|

- 4 x

- 8

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $4 \cdot (- 2) + 8$ = $- 8 + 8$ = 0

g( $4$ ) = $4 \cdot 4 + 8$ = $16 + 8$ = $24$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ |0) und S₂( $4$ | $24$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)