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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 22 x - 48$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 22 x - 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 960}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{1 444}}{10}$

x₁ = $\frac{- 22 + \sqrt{1 444}}{10}$ = $\frac{- 22+38}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

x₂ = $\frac{- 22 - \sqrt{1 444}}{10}$ = $\frac{- 22-38}{10}$ = $\frac{- 60}{10}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $1,6$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 100$ = $- 20 x$

Lösung einblenden

x^{2} + 100

=

- 20 x

|

+ 20 x

$x^{2} + 20 x + 100$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ }

$- 10$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + x + \frac{1}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + x + \frac{1}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + x + \frac{1}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 4 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{8}$ = $- \frac{1}{2}$

L={ $- \frac{1}{2}$ }

$- \frac{1}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} + 6 x - 9$ = $(8 x - 4) (x - 8) + 73 x - 21$

Lösung einblenden

$9 x^{2} + 6 x - 9$	=	$(8 x - 4) (x - 8) + 73 x - 21$
$9 x^{2} + 6 x - 9$	=	$8 x^{2} - 68 x + 32 + 73 x - 21$
$9 x^{2} + 6 x - 9$	=	$8 x^{2} + 5 x + 11$	\| $- 8 x^{2}$ $- 5 x$ $- 11$

$x^{2} + x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + x + \frac{5}{4}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + x + \frac{5}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + x + \frac{5}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 4 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 80}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{(- 64)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 x^{2} - 3 x + 9$
und
$g(x) =$ $3 x^{2} + x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

4 x^{2} - 3 x + 9

=

3 x^{2} + x + 5

|

- 3 x^{2}

- x

- 5

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $3 \cdot 2^{2} + 2 + 5$ = $3 \cdot 4 + 2 + 5$ = $12 + 2 + 5$ = $19$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $2$ | $19$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} - 3 x - 6$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 0) \cdot (x - 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 0) \cdot (x - 2)$ = $- x^{2} + 2 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 2 x

=

- 2 x^{2} - 3 x - 6

|

+ 2 x^{2}

+ 3 x

+ 6

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 2 \cdot {(- 3)}^{2} - 3 \cdot (- 3) - 6$ = $- 2 \cdot 9 + 9 - 6$ = $- 18 + 9 - 6$ = $- 15$

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2) - 6$ = $- 2 \cdot 4 + 6 - 6$ = $- 8 + 6 - 6$ = $- 8$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- 15$ ) und S₂( $- 2$ | $- 8$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)