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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 16 x + 65$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 16 x + 65$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 260}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 20 - 13 x$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 13 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{13+3}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{13-3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

L={ $2,5$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 7 x + 2$ = $(- 4 x - 3) (x - 3) - 7 x - 7$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} + 7 x + 2$	=	$(- 4 x - 3) (x - 3) - 7 x - 7$
$- 3 x^{2} + 7 x + 2$	=	$- 4 x^{2} + 9 x + 9 - 7 x - 7$
$- 3 x^{2} + 7 x + 2$	=	$- 4 x^{2} + 2 x + 2$	\| $- 2$
$- 3 x^{2} + 7 x$	=	$- 4 x^{2} + 2 x$	\| $- (- 4 x^{2} + 2 x)$
$- 3 x^{2} + 4 x^{2} + 7 x - 2 x$	=	0
$x^{2} + 5 x$	=	0
$x (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; 0}

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 16 x + 65$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 16 x + 65$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 260}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 x^{2} + 2 x - 14$
und
$g(x) =$ $- 4 x^{2} + 2 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- 3 x^{2} + 2 x - 14$	=	$- 4 x^{2} + 2 x + 2$	\| $+ 14$
$- 3 x^{2} + 2 x$	=	$- 4 x^{2} + 2 x + 16$	\| $+ 4 x^{2}$ $- 2 x$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 4 \cdot {(- 4)}^{2} + 2 \cdot (- 4) + 2$ = $- 4 \cdot 16 - 8 + 2$ = $- 64 - 8 + 2$ = $- 70$

g( $4$ ) = $- 4 \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4 + 2$ = $- 4 \cdot 16 + 8 + 2$ = $- 64 + 8 + 2$ = $- 54$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 70$ ) und S₂( $4$ | $- 54$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + 10 x - 8$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 4.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 0) \cdot (x - 4)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 0) \cdot (x - 4)$ = $- x^{2} + 4 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 4 x

=

- 2 x^{2} + 10 x - 8

|

+ 2 x^{2}

- 10 x

+ 8

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $- 2 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2 - 8$ = $- 2 \cdot 4 + 20 - 8$ = $- 8 + 20 - 8$ = $4$

g( $4$ ) = $- 2 \cdot 4^{2} + 10 \cdot 4 - 8$ = $- 2 \cdot 16 + 40 - 8$ = $- 32 + 40 - 8$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $4$ ) und S₂( $4$ |0).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)