Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 21 x + 54$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 21 x + 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 54}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 432}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 21+3}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 21-3}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $- 4,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 9 - 7 x$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 7 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{7+11}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{7-11}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $4,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{17}{2} x + \frac{21}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{17}{2} x + \frac{21}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{17}{2} x + \frac{21}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 17 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 21}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 168}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{17+11}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{17-11}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

L={ $1,5$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 2 x + 8$ = $(x + 7) (x - 6) + 48$

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 2 x + 8$	=	$(x + 7) (x - 6) + 48$
$2 x^{2} - 2 x + 8$	=	$x^{2} + x - 42 + 48$
$2 x^{2} - 2 x + 8$	=	$x^{2} + x + 6$	\| $- x^{2}$ $- x$ $- 6$

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 1$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} + 9 x + 7$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} + 3 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} + 9 x + 7

=

2 x^{2} + 3 x - 2

|

- 2 x^{2}

- 3 x

+ 2

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $2 \cdot {(- 3)}^{2} + 3 \cdot (- 3) - 2$ = $2 \cdot 9 - 9 - 2$ = $18 - 9 - 2$ = $7$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 3$ | $7$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $10 x + 13$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -4 und x₂ = -2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 4) \cdot (x + 2)$ = $x^{2} + 6 x + 8$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} + 6 x + 8

=

10 x + 13

|

- 10 x

- 13

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $10 \cdot (- 1) + 13$ = $- 10 + 13$ = $3$

g( $5$ ) = $10 \cdot 5 + 13$ = $50 + 13$ = $63$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $3$ ) und S₂( $5$ | $63$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)