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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 35 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 35 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{35^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 24}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{1 225 - 384}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{841}}{8}$

x₁ = $\frac{- 35 + \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{- 35+29}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 35 - \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{- 35-29}{8}$ = $\frac{- 64}{8}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $- 0,75$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 21$ = $- 17 x$

Lösung einblenden

2 x^{2} + 21

=

- 17 x

|

+ 17 x

$2 x^{2} + 17 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 21}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 168}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 17+11}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 17-11}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $- 1,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 18 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} + 18 x - 30

= 0 |:3

$- x^{2} + 6 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} + 7 x - 4$ = $(- 5 x - 4) (x + 5) + 42 x + 11$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} + 7 x - 4$	=	$(- 5 x - 4) (x + 5) + 42 x + 11$
$- 4 x^{2} + 7 x - 4$	=	$- 5 x^{2} - 29 x - 20 + 42 x + 11$
$- 4 x^{2} + 7 x - 4$	=	$- 5 x^{2} + 13 x - 9$	\| $+ 5 x^{2}$ $- 13 x$ $+ 9$

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{19}{2} x + \frac{35}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{19}{2} x + \frac{35}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{19}{2} x + \frac{35}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 19 x + 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 35}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 280}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{19+9}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{19-9}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

L={ $2,5$ ; $7$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $2,5$ |0) und N₂( $7$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x + 3$
und
$g(x) =$ $- x^{2} + 3 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x + 3

=

- x^{2} + 3 x + 1

|

+ x^{2}

- 3 x

- 1

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) + 1$ = $- 4 - 6 + 1$ = $- 9$

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) + 1$ = $- 1 - 3 + 1$ = $- 3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $- 9$ ) und S₂( $- 1$ | $- 3$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + 6 x - 1$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 1 und x₂ = 5.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 5)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot (x - 5)$ = $- x^{2} + 6 x - 5$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- x^{2} + 6 x - 5$	=	$- 2 x^{2} + 6 x - 1$	\| $+ 5$
$- x^{2} + 6 x$	=	$- 2 x^{2} + 6 x + 4$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 6 x$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 6 \cdot (- 2) - 1$ = $- 2 \cdot 4 - 12 - 1$ = $- 8 - 12 - 1$ = $- 21$

g( $2$ ) = $- 2 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 1$ = $- 2 \cdot 4 + 12 - 1$ = $- 8 + 12 - 1$ = $3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $- 21$ ) und S₂( $2$ | $3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)