Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 4 x - 45$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 4 x - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4+14}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4-14}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 18$ = $34 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} - 18

=

34 x

|

- 34 x

4 x^{2} - 34 x - 18

= 0 |:2

$2 x^{2} - 17 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{17+19}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{17-19}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

L={ $- 0,5$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16}$	=	0	\|⋅ 16
$16 (x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16})$	=	0

$16 x^{2} + 8 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{32}$ = $- \frac{1}{4}$

L={ $- \frac{1}{4}$ }

$- \frac{1}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 9 x + 3$ = $(4 x - 7) (x - 7) + 19 x - 56$

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 9 x + 3$	=	$(4 x - 7) (x - 7) + 19 x - 56$
$5 x^{2} - 9 x + 3$	=	$4 x^{2} - 35 x + 49 + 19 x - 56$
$5 x^{2} - 9 x + 3$	=	$4 x^{2} - 16 x - 7$	\| $- 4 x^{2}$ $+ 16 x$ $+ 7$

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 14 x + 49$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 14 x + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ }

$- 7$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 7$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 x^{2} + x - 2$
und
$g(x) =$ $3 x^{2} + x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$4 x^{2} + x - 2$	=	$3 x^{2} + x - 1$	\| $+ 2$
$4 x^{2} + x$	=	$3 x^{2} + x + 1$	\| $- 3 x^{2}$ $- x$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $3 \cdot {(- 1)}^{2} - 1 - 1$ = $3 \cdot 1 - 1 - 1$ = $3 - 1 - 1$ = $1$

g( $1$ ) = $3 \cdot 1^{2} + 1 - 1$ = $3 \cdot 1 + 1 - 1$ = $3 + 1 - 1$ = $3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $1$ ) und S₂( $1$ | $3$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} - 13 x - 20$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -4 und x₂ = -2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 4) \cdot (x + 2)$ = $- x^{2} - 6 x - 8$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} - 6 x - 8

=

- 2 x^{2} - 13 x - 20

|

+ 2 x^{2}

+ 13 x

+ 20

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 2 \cdot {(- 4)}^{2} - 13 \cdot (- 4) - 20$ = $- 2 \cdot 16 + 52 - 20$ = $- 32 + 52 - 20$ = 0

g( $- 3$ ) = $- 2 \cdot {(- 3)}^{2} - 13 \cdot (- 3) - 20$ = $- 2 \cdot 9 + 39 - 20$ = $- 18 + 39 - 20$ = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ |0) und S₂( $- 3$ | $1$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)