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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 28 x + 32$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 28 x + 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 32}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 640}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{144}}{10}$

x₁ = $\frac{- 28 + \sqrt{144}}{10}$ = $\frac{- 28+12}{10}$ = $\frac{- 16}{10}$ = $- 1,6$

x₂ = $\frac{- 28 - \sqrt{144}}{10}$ = $\frac{- 28-12}{10}$ = $\frac{- 40}{10}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1,6$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} + 1 - 8 x$ = 0

Lösung einblenden

$16 x^{2} - 8 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{32}$ = $\frac{1}{4}$

L={ $\frac{1}{4}$ }

$\frac{1}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{65}{16}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{65}{16}$	=	0	\|⋅ 16
$16 (x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{65}{16})$	=	0

$16 x^{2} + 56 x + 65$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 56 \pm \sqrt{56^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 65}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 56 \pm \sqrt{3 136 - 4 160}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 56 \pm \sqrt{(- 1 024)}}{32}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{2} - 3 x - 3$ = $(- 8 x - 3) (x + 6) + 50 x + 18$

Lösung einblenden

$- 7 x^{2} - 3 x - 3$	=	$(- 8 x - 3) (x + 6) + 50 x + 18$
$- 7 x^{2} - 3 x - 3$	=	$- 8 x^{2} - 51 x - 18 + 50 x + 18$
$- 7 x^{2} - 3 x - 3$	=	$- 8 x^{2} - x$	\| $+ 8 x^{2}$ $+ x$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{25}{16}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{25}{16}$	=	0	\|⋅ 16
$16 (x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{25}{16})$	=	0

$16 x^{2} + 40 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 40 \pm \sqrt{1 600 - 1 600}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 40 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 40}{32}$ = $- \frac{5}{4}$

L={ $- \frac{5}{4}$ }

$- \frac{5}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- \frac{5}{4}$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 x^{2} - 5 x - 12$
und
$g(x) =$ $x^{2} - 5 x + 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$2 x^{2} - 5 x - 12$	=	$x^{2} - 5 x + 4$	\| $+ 12$
$2 x^{2} - 5 x$	=	$x^{2} - 5 x + 16$	\| $- x^{2}$ $+ 5 x$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} - 5 \cdot (- 4) + 4$ = $16 + 20 + 4$ = $40$

g( $4$ ) = $4^{2} - 5 \cdot 4 + 4$ = $16 - 20 + 4$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $40$ ) und S₂( $4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} - 7 x - 9$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -1 und x₂ = 1.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 1) \cdot (x - 1)$ = $- x^{2} + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 1

=

- 2 x^{2} - 7 x - 9

|

+ 2 x^{2}

+ 7 x

+ 9

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 2 \cdot {(- 5)}^{2} - 7 \cdot (- 5) - 9$ = $- 2 \cdot 25 + 35 - 9$ = $- 50 + 35 - 9$ = $- 24$

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 7 \cdot (- 2) - 9$ = $- 2 \cdot 4 + 14 - 9$ = $- 8 + 14 - 9$ = $- 3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- 24$ ) und S₂( $- 2$ | $- 3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)