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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 13 x - 70$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 13 x - 70$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 70)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 560}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{729}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{13+27}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = $10$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{13-27}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

L={ $- 3,5$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$24 x + 4 x^{2} + 36$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} + 24 x + 36

= 0 |:4

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} - 9 x + 3$ = $(- 6 x - 4) (x - 5) - 31 x - 12$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} - 9 x + 3$	=	$(- 6 x - 4) (x - 5) - 31 x - 12$
$- 5 x^{2} - 9 x + 3$	=	$- 6 x^{2} + 26 x + 20 - 31 x - 12$
$- 5 x^{2} - 9 x + 3$	=	$- 6 x^{2} - 5 x + 8$	\| $+ 6 x^{2}$ $+ 5 x$ $- 8$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{17}{2} x - 15$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{17}{2} x - 15$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{17}{2} x - 15)$	=	0

$2 x^{2} - 17 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{17+23}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = $10$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{17-23}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

L={ $- 1,5$ ; $10$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 1,5$ |0) und N₂( $10$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 x^{2} - 7 x + 1$
und
$g(x) =$ $- 5 x^{2} - x - 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 4 x^{2} - 7 x + 1

=

- 5 x^{2} - x - 4

|

+ 5 x^{2}

+ x

+ 4

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 5 \cdot 1^{2} - 1 - 4$ = $- 5 \cdot 1 - 1 - 4$ = $- 5 - 1 - 4$ = $- 10$

g( $5$ ) = $- 5 \cdot 5^{2} - 5 - 4$ = $- 5 \cdot 25 - 5 - 4$ = $- 125 - 5 - 4$ = $- 134$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $- 10$ ) und S₂( $5$ | $- 134$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + 9 x - 1$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 1 und x₂ = 5.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 5)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot (x - 5)$ = $- x^{2} + 6 x - 5$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 6 x - 5

=

- 2 x^{2} + 9 x - 1

|

+ 2 x^{2}

- 9 x

+ 1

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- 2 \cdot {(- 1)}^{2} + 9 \cdot (- 1) - 1$ = $- 2 \cdot 1 - 9 - 1$ = $- 2 - 9 - 1$ = $- 12$

g( $4$ ) = $- 2 \cdot 4^{2} + 9 \cdot 4 - 1$ = $- 2 \cdot 16 + 36 - 1$ = $- 32 + 36 - 1$ = $3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $- 12$ ) und S₂( $4$ | $3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)