$5x^2-34x+45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+34\pm \sqrt{{\left(-34\right)}^2-4·5·45}}{2\cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+34\pm \sqrt{1156-900}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+34\pm \sqrt{256}}{10}$

x₁ = $\frac{34+\sqrt{256}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>34</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>16</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

x₂ = $\frac{34-\sqrt{256}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>34</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>16</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{18}{10}$ = $\mathrm{1,8}$

L={ $\mathrm{1,8}$; $5$}

$4x^2-5x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·4·1}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25-16}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{9}}{8}$

x₁ = $\frac{5+\sqrt{9}}{8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

x₂ = $\frac{5-\sqrt{9}}{8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{8}$ = $\mathrm{0,25}$

L={ $\mathrm{0,25}$; $1$}

$-x^2+16x-65$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-16\pm \sqrt{{16}^2-4·\left(-1\right)·\left(-65\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-16\pm \sqrt{256-260}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-16\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{-2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $2$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$2x^2-9x+7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{{\left(-9\right)}^2-4·2·7}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{81-56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{9+\sqrt{25}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{14}{4}$ = $\mathrm{3,5}$

x₂ = $\frac{9-\sqrt{25}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

L={ $1$; $\mathrm{3,5}$}

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $1$|0) und N₂( $\mathrm{3,5}$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2+2x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·1}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$}

$-1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-1$) = $3\cdot {\left(-1\right)}^2-5\cdot \left(-1\right)-5$ = $3\cdot 1+5-5$ = $3+5-5$ = $3$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $-1$| $3$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -1 und x₂ = 1.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $\text{f(x)}=$ $a·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)$.

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$\text{f(x)}=$ $-\left(x+1\right)·\left(x-1\right)$ = $-x^2+1$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2+3x-4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·1·\left(-4\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $1$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-4$) = $-2\cdot {\left(-4\right)}^2-3\cdot \left(-4\right)+5$ = $-2\cdot 16+12+5$ = $-32+12+5$ = $-15$

g( $1$) = $-2\cdot 1^2-3\cdot 1+5$ = $-2\cdot 1-3+5$ = $-2-3+5$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-4$| $-15$) und S₂( $1$|0).