Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 36 x + 7$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 36 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{36^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 7}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{1 296 - 140}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{1 156}}{10}$

x₁ = $\frac{- 36 + \sqrt{1 156}}{10}$ = $\frac{- 36+34}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

x₂ = $\frac{- 36 - \sqrt{1 156}}{10}$ = $\frac{- 36-34}{10}$ = $\frac{- 70}{10}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $- 0,2$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 12 x$ = $- 36$

Lösung einblenden

x^{2} + 12 x

=

- 36

|

+ 36

$x^{2} + 12 x + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ }

$- 6$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{2}{5} x - \frac{16}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{2}{5} x - \frac{16}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{2}{5} x - \frac{16}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 2 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 320}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{324}}{10}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{- 2+18}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{- 2-18}{10}$ = $\frac{- 20}{10}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $1,6$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - x - 9$ = $(3 x - 3) (x + 6) - 15 x + 15$

Lösung einblenden

$4 x^{2} - x - 9$	=	$(3 x - 3) (x + 6) - 15 x + 15$
$4 x^{2} - x - 9$	=	$3 x^{2} + 15 x - 18 - 15 x + 15$
$4 x^{2} - x - 9$	=	$3 x^{2} - 3$	\| $- 3 x^{2}$ $+ 3$

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{25}{16}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{25}{16}$	=	0	\|⋅ 16
$16 (x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{25}{16})$	=	0

$16 x^{2} - 40 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{1 600 - 1 600}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{40}{32}$ = $\frac{5}{4}$

L={ $\frac{5}{4}$ }

$\frac{5}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $\frac{5}{4}$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 x^{2} + 5 x + 9$
und
$g(x) =$ $3 x^{2} + x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

4 x^{2} + 5 x + 9

=

3 x^{2} + x + 5

|

- 3 x^{2}

- x

- 5

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $3 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 + 5$ = $3 \cdot 4 - 2 + 5$ = $12 - 2 + 5$ = $15$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 2$ | $15$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x + 2$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -3 und x₂ = 1.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 1)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 3) \cdot (x - 1)$ = $x^{2} + 2 x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} + 2 x - 3

=

- 2 x + 2

|

+ 2 x

- 2

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 2 \cdot (- 5) + 2$ = $10 + 2$ = $12$

g( $1$ ) = $- 2 \cdot 1 + 2$ = $- 2 + 2$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $12$ ) und S₂( $1$ |0).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)