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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 9 x + 7$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 9 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{9+5}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{9-5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

L={ $1$ ; $3,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 x + 25 + x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} + 30 x + 75$ = 0

Lösung einblenden

3 x^{2} + 30 x + 75

= 0 |:3

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} + 6 x - 7$ = $(- 9 x + 8) (x - 9) - 82 x + 65$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} + 6 x - 7$	=	$(- 9 x + 8) (x - 9) - 82 x + 65$
$- 8 x^{2} + 6 x - 7$	=	$- 9 x^{2} + 89 x - 72 - 82 x + 65$
$- 8 x^{2} + 6 x - 7$	=	$- 9 x^{2} + 7 x - 7$	\| $+ 7$
$- 8 x^{2} + 6 x$	=	$- 9 x^{2} + 7 x$	\| $- (- 9 x^{2} + 7 x)$
$- 8 x^{2} + 9 x^{2} + 6 x - 7 x$	=	0
$x^{2} - x$	=	0
$x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

L={0; $1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 12 x + 18$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

2 x^{2} + 12 x + 18

= 0 |:2

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 3$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 13 x + 17$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} + 13 x + 17

=

- 3 x^{2} + 5 x + 1

|

+ 3 x^{2}

- 5 x

- 1

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 3 \cdot {(- 4)}^{2} + 5 \cdot (- 4) + 1$ = $- 3 \cdot 16 - 20 + 1$ = $- 48 - 20 + 1$ = $- 67$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 4$ | $- 67$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} - x - 15$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 1 und x₂ = 5.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 5)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot (x - 5)$ = $- x^{2} + 6 x - 5$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 6 x - 5

=

- 2 x^{2} - x - 15

|

+ 2 x^{2}

+ x

+ 15

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 2 \cdot {(- 5)}^{2} - (- 5) - 15$ = $- 2 \cdot 25 + 5 - 15$ = $- 50 + 5 - 15$ = $- 60$

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - (- 2) - 15$ = $- 2 \cdot 4 + 2 - 15$ = $- 8 + 2 - 15$ = $- 21$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- 60$ ) und S₂( $- 2$ | $- 21$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)