$x^2+2x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·1}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$}

$-1$ ist 2-fache Lösung!

$x^2+20x+100$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-20\pm \sqrt{{20}^2-4·1·100}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-20\pm \sqrt{400-400}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-20\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-20}{2}$ = $-10$

L={ $-10$}

$-10$ ist 2-fache Lösung!

$4x^2+12x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-12\pm \sqrt{{12}^2-4·4·9}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{-12\pm \sqrt{144-144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{-12\pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-12}{8}$ = $-\frac{3}{2}$

L={ $-\frac{3}{2}$}

$-\frac{3}{2}$ ist 2-fache Lösung!

$x^2-2x-15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-15\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{64}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{64}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $5$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$-x^2-x+6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·\left(-1\right)·6}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+24}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{25}}{-2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{25}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{25}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

L={ $-3$; $2$}

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $-3$|0) und N₂( $2$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2+10x+25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4·1·25}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{100-100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$}

$-5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-5$) = $-4\cdot {\left(-5\right)}^2-\left(-5\right)-4$ = $-4\cdot 25+5-4$ = $-100+5-4$ = $-99$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $-5$| $-99$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 1 und x₂ = 3.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $\text{f(x)}=$ $a·\left(x-1\right)·\left(x-3\right)$.

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·\left(x-3\right)$ = $x^2-4x+3$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2+7x+10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4·1·10}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{49-40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{-7+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

x₂ = $\frac{-7-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $-2$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-5$) = $-11\cdot \left(-5\right)-7$ = $55-7$ = $48$

g( $-2$) = $-11\cdot \left(-2\right)-7$ = $22-7$ = $15$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-5$| $48$) und S₂( $-2$| $15$).