$x^2+16x+64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-16\pm \sqrt{{16}^2-4·1·64}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-16\pm \sqrt{256-256}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-16\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-16}{2}$ = $-8$

L={ $-8$}

$-8$ ist 2-fache Lösung!

$2x^2+10x+13$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4·2·13}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{100-104}}{4}$

x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{4}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

$16x^2+24x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-24\pm \sqrt{{24}^2-4·16·9}}{2\cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{-24\pm \sqrt{576-576}}{32}$

x_1,2 = $\frac{-24\pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-24}{32}$ = $-\frac{3}{4}$

L={ $-\frac{3}{4}$}

$-\frac{3}{4}$ ist 2-fache Lösung!

L={ $-4$; $4$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2+4x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$}

$-2$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $-2$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2+2x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·1}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$}

$-1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-1$) = $3\cdot {\left(-1\right)}^2-2\cdot \left(-1\right)+4$ = $3\cdot 1+2+4$ = $3+2+4$ = $9$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $-1$| $9$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -3 und x₂ = -1.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $\text{f(x)}=$ $a·\left(x+3\right)·\left(x+1\right)$.

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$\text{f(x)}=$ $-\left(x+3\right)·\left(x+1\right)$ = $-x^2-4x-3$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2+3x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·1·2}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9-8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $-1$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-2$) = $-2\cdot {\left(-2\right)}^2-7\cdot \left(-2\right)-5$ = $-2\cdot 4+14-5$ = $-8+14-5$ = $1$

g( $-1$) = $-2\cdot {\left(-1\right)}^2-7\cdot \left(-1\right)-5$ = $-2\cdot 1+7-5$ = $-2+7-5$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-2$| $1$) und S₂( $-1$|0).