Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 5 + 3 x$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 3 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 3+7}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 3-7}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

L={ $- 2,5$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 20 x - 50$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} - 20 x - 50

= 0 |:2

$- x^{2} - 10 x - 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 25)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{2} - 8 x - 8$ = $(- 8 x + 3) (x - 9) - 88 x + 15$

Lösung einblenden

$- 7 x^{2} - 8 x - 8$	=	$(- 8 x + 3) (x - 9) - 88 x + 15$
$- 7 x^{2} - 8 x - 8$	=	$- 8 x^{2} + 75 x - 27 - 88 x + 15$
$- 7 x^{2} - 8 x - 8$	=	$- 8 x^{2} - 13 x - 12$	\| $+ 8 x^{2}$ $+ 13 x$ $+ 12$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} - 8 x - 10$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

2 x^{2} - 8 x - 10

= 0 |:2

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 1$ |0) und N₂( $5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 x^{2} - 14$
und
$g(x) =$ $- 5 x^{2} + x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 4 x^{2} - 14

=

- 5 x^{2} + x - 2

|

+ 5 x^{2}

- x

+ 2

$x^{2} - x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 5 \cdot {(- 3)}^{2} - 3 - 2$ = $- 5 \cdot 9 - 3 - 2$ = $- 45 - 3 - 2$ = $- 50$

g( $4$ ) = $- 5 \cdot 4^{2} + 4 - 2$ = $- 5 \cdot 16 + 4 - 2$ = $- 80 + 4 - 2$ = $- 78$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- 50$ ) und S₂( $4$ | $- 78$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + 3 x - 1$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -1 und x₂ = 1.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 1) \cdot (x - 1)$ = $- x^{2} + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 1

=

- 2 x^{2} + 3 x - 1

|

+ 2 x^{2}

- 3 x

+ 1

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$ = $- 2 \cdot 1 + 3 - 1$ = $- 2 + 3 - 1$ = 0

g( $2$ ) = $- 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 1$ = $- 2 \cdot 4 + 6 - 1$ = $- 8 + 6 - 1$ = $- 3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ |0) und S₂( $2$ | $- 3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)