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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 28 x + 49$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 28 x + 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 49}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{784 - 784}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{28}{8}$ = $\frac{7}{2}$

L={ $\frac{7}{2}$ }

$\frac{7}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$15 + 17 x$ = $- 4 x^{2}$

Lösung einblenden

17 x + 15

=

- 4 x^{2}

|

+ 4 x^{2}

$4 x^{2} + 17 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 15}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{49}}{8}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{- 17+7}{8}$ = $\frac{- 10}{8}$ = $- 1,25$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{- 17-7}{8}$ = $\frac{- 24}{8}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 1,25$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16}$	=	0	\|⋅ 16
$16 (x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16})$	=	0

$16 x^{2} + 8 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{32}$ = $- \frac{1}{4}$

L={ $- \frac{1}{4}$ }

$- \frac{1}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x + 1$ = $(- x - 8) (x + 9) + 28 x + 61$

Lösung einblenden

$4 x + 1$	=	$(- x - 8) (x + 9) + 28 x + 61$
$4 x + 1$	=	$- x^{2} - 17 x - 72 + 28 x + 61$
$4 x + 1$	=	$- x^{2} + 11 x - 11$	\| $+ x^{2}$ $- 11 x$ $+ 11$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{11}{2} x + \frac{15}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{11}{2} x + \frac{15}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{11}{2} x + \frac{15}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 11 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{11+1}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{11-1}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

L={ $2,5$ ; $3$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $2,5$ |0) und N₂( $3$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} - 3 x + 9$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} + 3 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} - 3 x + 9

=

2 x^{2} + 3 x + 1

|

- 2 x^{2}

- 3 x

- 1

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1$ = $2 \cdot 4 + 6 + 1$ = $8 + 6 + 1$ = $15$

g( $4$ ) = $2 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$ = $2 \cdot 16 + 12 + 1$ = $32 + 12 + 1$ = $45$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $15$ ) und S₂( $4$ | $45$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $2 x - 8$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 4.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 0) \cdot (x - 4)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 0) \cdot (x - 4)$ = $x^{2} - 4 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} - 4 x

=

2 x - 8

|

- 2 x

+ 8

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $2 \cdot 2 - 8$ = $4 - 8$ = $- 4$

g( $4$ ) = $2 \cdot 4 - 8$ = $8 - 8$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $- 4$ ) und S₂( $4$ |0).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)