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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 14 x + 24$ = 0

2 x^{2} + 14 x + 24

= 0 |:2

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 11 x + 2 x^{2}$ = $- 15$

Lösung einblenden

2 x^{2} - 11 x

=

- 15

|

+ 15

$2 x^{2} - 11 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{11+1}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{11-1}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

L={ $2,5$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 40 x - 200$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} - 40 x - 200

= 0 |:2

$- x^{2} - 20 x - 100$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 100)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ }

$- 10$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 9 x + 5$ = $(3 x - 5) (x + 7) - 24 x + 40$

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 9 x + 5$	=	$(3 x - 5) (x + 7) - 24 x + 40$
$4 x^{2} - 9 x + 5$	=	$3 x^{2} + 16 x - 35 - 24 x + 40$
$4 x^{2} - 9 x + 5$	=	$3 x^{2} - 8 x + 5$	\| $- 5$
$4 x^{2} - 9 x$	=	$3 x^{2} - 8 x$	\| $- (3 x^{2} - 8 x)$
$4 x^{2} - 3 x^{2} - 9 x + 8 x$	=	0
$x^{2} - x$	=	0
$x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

L={0; $1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{13}{2} x - \frac{7}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{13}{2} x - \frac{7}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{13}{2} x - \frac{7}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 13 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{13+15}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{13-15}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

L={ $- 0,5$ ; $7$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 0,5$ |0) und N₂( $7$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} - 9 x + 11$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} - x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} - 9 x + 11

=

5 x^{2} - x - 5

|

- 5 x^{2}

+ x

+ 5

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $5 \cdot 4^{2} - 4 - 5$ = $5 \cdot 16 - 4 - 5$ = $80 - 4 - 5$ = $71$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $4$ | $71$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 5 x - 20$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -4 und x₂ = 0.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 0)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 4) \cdot (x + 0)$ = $x^{2} + 4 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} + 4 x

=

- 5 x - 20

|

+ 5 x

+ 20

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 5 \cdot (- 5) - 20$ = $25 - 20$ = $5$

g( $- 4$ ) = $- 5 \cdot (- 4) - 20$ = $20 - 20$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $5$ ) und S₂( $- 4$ |0).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)