Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel
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Mitternachtsformel (alles links)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
x = =
L={ }
ist 2-fache Lösung!
Mitternachtsformel (erst sortieren)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | | |
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 = = = =
x2 = = = =
L={ ; }
Mitternachtsformel (mit Durchmult.)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | |⋅ 2 | ||
| = |
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 = = = =
x2 = = = =
L={ ; }
Mitternachtsformel (mit vereinfachen)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = | | | ||
| = | |||
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| x2 | = |
L={
;
Nullstellen mit MNF
Beispiel:
Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit .
Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also
f(x)=0
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
x = =
L={ }
ist 2-fache Lösung!
Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.
Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N(
|
Schnittpunkte mit MNF
Beispiel:
Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
und
.
Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also
f(x)=g(x)
| = | | | ||
| = | | | ||
| = | | | ||
| x1 | = | = | |
| x2 | = | = |
L={ ; }
Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:
g( ) = = = =
g(
) =
=
=
=
Die Schnittpunkte sind also S1(
|
) und
S2(
|
Schnittpunkte mit MNF (Graph)
Beispiel:
Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.
Nicht abgebildet ist der Graph von g mit .
Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.
Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:
Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x1 = -1 und x2 = 3.
Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also .
Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
=
.
Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also
f(x)=g(x)
| = | | |
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 = = = =
x2 = = = =
L={ ; }
Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:
g( ) = = =
g( ) = = =
Die Schnittpunkte sind also S1( | ) und S2( | ).
