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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 30 x + 40$ = 0

5 x^{2} - 30 x + 40

= 0 |:5

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x + 2 x^{2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 2 x - 4

= 0 |:2

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{9}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 9 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 9+3}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 9-3}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 1,5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x + 1$ = $(- x + 5) (x - 6) - 13 x + 19$

Lösung einblenden

$5 x + 1$	=	$(- x + 5) (x - 6) - 13 x + 19$
$5 x + 1$	=	$- x^{2} + 11 x - 30 - 13 x + 19$
$5 x + 1$	=	$- x^{2} - 2 x - 11$	\| $+ x^{2}$ $+ 2 x$ $+ 11$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{17}{5} x - 8$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{17}{5} x - 8$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{17}{5} x - 8)$	=	0

$5 x^{2} - 17 x - 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 800}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{1 089}}{10}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{1 089}}{10}$ = $\frac{17+33}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{1 089}}{10}$ = $\frac{17-33}{10}$ = $\frac{- 16}{10}$ = $- 1,6$

L={ $- 1,6$ ; $5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 1,6$ |0) und N₂( $5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 x^{2} - 4 x + 14$
und
$g(x) =$ $- 4 x^{2} + 4 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 3 x^{2} - 4 x + 14

=

- 4 x^{2} + 4 x - 1

|

+ 4 x^{2}

- 4 x

+ 1

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$ ) = $- 4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 1$ = $- 4 \cdot 9 + 12 - 1$ = $- 36 + 12 - 1$ = $- 25$

g( $5$ ) = $- 4 \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5 - 1$ = $- 4 \cdot 25 + 20 - 1$ = $- 100 + 20 - 1$ = $- 81$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $3$ | $- 25$ ) und S₂( $5$ | $- 81$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + x + 6$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 0) \cdot (x - 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 0) \cdot (x - 2)$ = $- x^{2} + 2 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 2 x

=

- 2 x^{2} + x + 6

|

+ 2 x^{2}

- x

- 6

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 2 \cdot {(- 3)}^{2} - 3 + 6$ = $- 2 \cdot 9 - 3 + 6$ = $- 18 - 3 + 6$ = $- 15$

g( $2$ ) = $- 2 \cdot 2^{2} + 2 + 6$ = $- 2 \cdot 4 + 2 + 6$ = $- 8 + 2 + 6$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- 15$ ) und S₂( $2$ |0).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)