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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 40 x + 101$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 40 x + 101$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 101}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{1 600 - 1 616}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{(- 16)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 17 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 17 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{225}}{8}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 17+15}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 17-15}{8}$ = $\frac{- 32}{8}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 0,25$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 4 x + 7$ = $(4 x + 1) (x + 2) - 12 x + 25$

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 4 x + 7$	=	$(4 x + 1) (x + 2) - 12 x + 25$
$5 x^{2} - 4 x + 7$	=	$4 x^{2} + 9 x + 2 - 12 x + 25$
$5 x^{2} - 4 x + 7$	=	$4 x^{2} - 3 x + 27$	\| $- 4 x^{2}$ $+ 3 x$ $- 27$

$x^{2} - x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 6 x + 10$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 6 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $5 x^{2} + 7 x - 3$
und
$g(x) =$ $4 x^{2} + 4 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

5 x^{2} + 7 x - 3

=

4 x^{2} + 4 x + 1

|

- 4 x^{2}

- 4 x

- 1

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $4 \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot (- 4) + 1$ = $4 \cdot 16 - 16 + 1$ = $64 - 16 + 1$ = $49$

g( $1$ ) = $4 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 + 1$ = $4 \cdot 1 + 4 + 1$ = $4 + 4 + 1$ = $9$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $49$ ) und S₂( $1$ | $9$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 8 x + 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 4.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 0) \cdot (x - 4)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 0) \cdot (x - 4)$ = $x^{2} - 4 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} - 4 x

=

- 8 x + 5

|

+ 8 x

- 5

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 8 \cdot (- 5) + 5$ = $40 + 5$ = $45$

g( $1$ ) = $- 8 \cdot 1 + 5$ = $- 8 + 5$ = $- 3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $45$ ) und S₂( $1$ | $- 3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)