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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 13 x - 70$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 13 x - 70$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 70)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 560}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{729}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{- 13+27}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{- 13-27}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $3,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 34 x$ = $- 16$

Lösung einblenden

4 x^{2} + 34 x

=

- 16

|

+ 16

4 x^{2} + 34 x + 16

= 0 |:2

$2 x^{2} + 17 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 8}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 17+15}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 17-15}{4}$ = $\frac{- 32}{4}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $- 0,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} - 18 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

3 x^{2} - 18 x + 30

= 0 |:3

$x^{2} - 6 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 6 x + 1$ = $(- 3 x - 3) (x + 4) + 26 x + 7$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} + 6 x + 1$	=	$(- 3 x - 3) (x + 4) + 26 x + 7$
$- 2 x^{2} + 6 x + 1$	=	$- 3 x^{2} - 15 x - 12 + 26 x + 7$
$- 2 x^{2} + 6 x + 1$	=	$- 3 x^{2} + 11 x - 5$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 11 x$ $+ 5$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{17}{2} x + \frac{35}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{17}{2} x + \frac{35}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{17}{2} x + \frac{35}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 17 x + 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 35}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 280}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 17+3}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 17-3}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 3,5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 5$ |0) und N₂( $- 3,5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 x^{2} + 5 x - 23$
und
$g(x) =$ $- 5 x^{2} + 5 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- 4 x^{2} + 5 x - 23$	=	$- 5 x^{2} + 5 x + 2$	\| $+ 23$
$- 4 x^{2} + 5 x$	=	$- 5 x^{2} + 5 x + 25$	\| $+ 5 x^{2}$ $- 5 x$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 5 \cdot {(- 5)}^{2} + 5 \cdot (- 5) + 2$ = $- 5 \cdot 25 - 25 + 2$ = $- 125 - 25 + 2$ = $- 148$

g( $5$ ) = $- 5 \cdot 5^{2} + 5 \cdot 5 + 2$ = $- 5 \cdot 25 + 25 + 2$ = $- 125 + 25 + 2$ = $- 98$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- 148$ ) und S₂( $5$ | $- 98$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 7 x - 23$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -3 und x₂ = 1.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 1)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 3) \cdot (x - 1)$ = $x^{2} + 2 x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} + 2 x - 3

=

- 7 x - 23

|

+ 7 x

+ 23

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 7 \cdot (- 5) - 23$ = $35 - 23$ = $12$

g( $- 4$ ) = $- 7 \cdot (- 4) - 23$ = $28 - 23$ = $5$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $12$ ) und S₂( $- 4$ | $5$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)