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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 35$ = $- 12 x$

Lösung einblenden

x^{2} + 35

=

- 12 x

|

+ 12 x

$x^{2} + 12 x + 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 12+2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 12-2}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $- 5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0

Lösung einblenden

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 2 x - 9$ = $(3 x + 5) (x + 8) - 31 x - 53$

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 2 x - 9$	=	$(3 x + 5) (x + 8) - 31 x - 53$
$4 x^{2} + 2 x - 9$	=	$3 x^{2} + 29 x + 40 - 31 x - 53$
$4 x^{2} + 2 x - 9$	=	$3 x^{2} - 2 x - 13$	\| $- 3 x^{2}$ $+ 2 x$ $+ 13$

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{7}{2} x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{7}{2} x + 3$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{7}{2} x + 3)$	=	0

$2 x^{2} - 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{7+1}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{7-1}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

L={ $1,5$ ; $2$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $1,5$ |0) und N₂( $2$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- x^{2} - 2 x - 14$
und
$g(x) =$ $- 2 x^{2} - 3 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} - 2 x - 14

=

- 2 x^{2} - 3 x - 2

|

+ 2 x^{2}

+ 3 x

+ 2

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 2 \cdot {(- 4)}^{2} - 3 \cdot (- 4) - 2$ = $- 2 \cdot 16 + 12 - 2$ = $- 32 + 12 - 2$ = $- 22$

g( $3$ ) = $- 2 \cdot 3^{2} - 3 \cdot 3 - 2$ = $- 2 \cdot 9 - 9 - 2$ = $- 18 - 9 - 2$ = $- 29$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 22$ ) und S₂( $3$ | $- 29$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x + 22$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -1 und x₂ = 3.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 1) \cdot (x - 3)$ = $x^{2} - 2 x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^{2} - 2 x - 3$	=	$- 2 x + 22$	\| $+ 3$
$x^{2} - 2 x$	=	$- 2 x + 25$	\| $+ 2 x$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 2 \cdot (- 5) + 22$ = $10 + 22$ = $32$

g( $5$ ) = $- 2 \cdot 5 + 22$ = $- 10 + 22$ = $12$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $32$ ) und S₂( $5$ | $12$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)