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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 7 x - 72$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 7 x - 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 576}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{625}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{7+25}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{7-25}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

L={ $- 4,5$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 50 + x^{2} - 5 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 5 x - 50$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{5+15}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{5-15}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 20 x + 101$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 20 x + 101$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 101}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 404}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} + 2 x - 4$ = $(8 x - 9) (x + 9) - 62 x + 89$

Lösung einblenden

$9 x^{2} + 2 x - 4$	=	$(8 x - 9) (x + 9) - 62 x + 89$
$9 x^{2} + 2 x - 4$	=	$8 x^{2} + 63 x - 81 - 62 x + 89$
$9 x^{2} + 2 x - 4$	=	$8 x^{2} + x + 8$	\| $- 8 x^{2}$ $- x$ $- 8$

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + x + \frac{1}{4}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + x + \frac{1}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + x + \frac{1}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 4 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{8}$ = $- \frac{1}{2}$

L={ $- \frac{1}{2}$ }

$- \frac{1}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- \frac{1}{2}$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} + 4 x - 28$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} + 4 x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$6 x^{2} + 4 x - 28$	=	$5 x^{2} + 4 x - 3$	\| $+ 28$
$6 x^{2} + 4 x$	=	$5 x^{2} + 4 x + 25$	\| $- 5 x^{2}$ $- 4 x$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $5 \cdot {(- 5)}^{2} + 4 \cdot (- 5) - 3$ = $5 \cdot 25 - 20 - 3$ = $125 - 20 - 3$ = $102$

g( $5$ ) = $5 \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5 - 3$ = $5 \cdot 25 + 20 - 3$ = $125 + 20 - 3$ = $142$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $102$ ) und S₂( $5$ | $142$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x + 10$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 4.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 0) \cdot (x - 4)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 0) \cdot (x - 4)$ = $x^{2} - 4 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} - 4 x

=

- x + 10

|

+ x

- 10

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- (- 2) + 10$ = $2 + 10$ = $12$

g( $5$ ) = $- 5 + 10$ = $5$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $12$ ) und S₂( $5$ | $5$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)