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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 2$ = 0

$2 x^{2} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 x^{2}$	=	$2$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$11 x + 14$ = $- 2 x^{2}$

Lösung einblenden

11 x + 14

=

- 2 x^{2}

|

+ 2 x^{2}

$2 x^{2} + 11 x + 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 11+3}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 11-3}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

L={ $- 3,5$ ; $- 2$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} - 7 x - 1$ = $(- 9 x + 6) (x + 5) + 40 x - 46$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} - 7 x - 1$	=	$(- 9 x + 6) (x + 5) + 40 x - 46$
$- 8 x^{2} - 7 x - 1$	=	$- 9 x^{2} - 39 x + 30 + 40 x - 46$
$- 8 x^{2} - 7 x - 1$	=	$- 9 x^{2} + x - 16$	\| $+ 9 x^{2}$ $- x$ $+ 16$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{23}{5} x - \frac{42}{5}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{23}{5} x - \frac{42}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{23}{5} x - \frac{42}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 23 x - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 840}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{1 369}}{10}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{1 369}}{10}$ = $\frac{23+37}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = $6$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{1 369}}{10}$ = $\frac{23-37}{10}$ = $\frac{- 14}{10}$ = $- 1,4$

L={ $- 1,4$ ; $6$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 1,4$ |0) und N₂( $6$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} - 9 x + 7$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} - 4 x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} - 9 x + 7

=

- 3 x^{2} - 4 x + 3

|

+ 3 x^{2}

+ 4 x

- 3

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 3 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 + 3$ = $- 3 \cdot 1 - 4 + 3$ = $- 3 - 4 + 3$ = $- 4$

g( $4$ ) = $- 3 \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 + 3$ = $- 3 \cdot 16 - 16 + 3$ = $- 48 - 16 + 3$ = $- 61$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $- 4$ ) und S₂( $4$ | $- 61$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + x + 10$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -2 und x₂ = 0.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x + 0)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot (x + 0)$ = $- x^{2} - 2 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} - 2 x

=

- 2 x^{2} + x + 10

|

+ 2 x^{2}

- x

- 10

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 + 10$ = $- 2 \cdot 4 - 2 + 10$ = $- 8 - 2 + 10$ = 0

g( $5$ ) = $- 2 \cdot 5^{2} + 5 + 10$ = $- 2 \cdot 25 + 5 + 10$ = $- 50 + 5 + 10$ = $- 35$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ |0) und S₂( $5$ | $- 35$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)