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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 10 x + 8$ = 0

2 x^{2} + 10 x + 8

= 0 |:2

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 4 x$ = $5$

Lösung einblenden

x^{2} - 4 x

=

5

|

- 5

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 6 x + 80$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} - 6 x + 80

= 0 |:2

$- x^{2} - 3 x + 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 40}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{169}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{3+13}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{3-13}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

L={ $- 8$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 x^{2} + 8 x - 9$ = $(7 x + 7) (x + 9) - 66 x - 72$

Lösung einblenden

$8 x^{2} + 8 x - 9$	=	$(7 x + 7) (x + 9) - 66 x - 72$
$8 x^{2} + 8 x - 9$	=	$7 x^{2} + 70 x + 63 - 66 x - 72$
$8 x^{2} + 8 x - 9$	=	$7 x^{2} + 4 x - 9$	\| $+ 9$
$8 x^{2} + 8 x$	=	$7 x^{2} + 4 x$	\| $- (7 x^{2} + 4 x)$
$8 x^{2} - 7 x^{2} + 8 x - 4 x$	=	0
$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; 0}

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{19}{5} x - \frac{4}{5}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{19}{5} x - \frac{4}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{19}{5} x - \frac{4}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 19 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 80}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{441}}{10}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{19+21}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{19-21}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

L={ $- 0,2$ ; $4$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 0,2$ |0) und N₂( $4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 x^{2} - 2 x - 3$
und
$g(x) =$ $x^{2} - 2 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$2 x^{2} - 2 x - 3$	=	$x^{2} - 2 x - 2$	\| $+ 3$
$2 x^{2} - 2 x$	=	$x^{2} - 2 x + 1$	\| $- x^{2}$ $+ 2 x$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - 2$ = $1 + 2 - 2$ = $1$

g( $1$ ) = $1^{2} - 2 \cdot 1 - 2$ = $1 - 2 - 2$ = $- 3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $1$ ) und S₂( $1$ | $- 3$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 12 x - 25$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 0) \cdot (x - 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 0) \cdot (x - 2)$ = $x^{2} - 2 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} - 2 x

=

- 12 x - 25

|

+ 12 x

+ 25

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 12 \cdot (- 5) - 25$ = $60 - 25$ = $35$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 5$ | $35$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)