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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{2}$ = $6$

L={ $6$ }

$6$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 37 x + 5 x^{2}$ = $72$

Lösung einblenden

5 x^{2} - 37 x

=

72

|

- 72

$5 x^{2} - 37 x - 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{{(- 37)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{1 369 + 1 440}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 37 \pm \sqrt{2 809}}{10}$

x₁ = $\frac{37 + \sqrt{2 809}}{10}$ = $\frac{37+53}{10}$ = $\frac{90}{10}$ = $9$

x₂ = $\frac{37 - \sqrt{2 809}}{10}$ = $\frac{37-53}{10}$ = $\frac{- 16}{10}$ = $- 1,6$

L={ $- 1,6$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 4 x - 45$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 4 x - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4+14}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4-14}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - 6 x - 4$ = $(- 2 x - 9) (x + 1) + 4 x + 7$

Lösung einblenden

$- x^{2} - 6 x - 4$	=	$(- 2 x - 9) (x + 1) + 4 x + 7$
$- x^{2} - 6 x - 4$	=	$- 2 x^{2} - 11 x - 9 + 4 x + 7$
$- x^{2} - 6 x - 4$	=	$- 2 x^{2} - 7 x - 2$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 7 x$ $+ 2$

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{25}{2} x + 25$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{25}{2} x + 25$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{25}{2} x + 25)$	=	0

$2 x^{2} + 25 x + 50$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 50}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 400}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 25+15}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 25-15}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $- 2,5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 10$ |0) und N₂( $- 2,5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 x^{2} + x - 14$
und
$g(x) =$ $- 5 x^{2} + x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- 4 x^{2} + x - 14$	=	$- 5 x^{2} + x - 5$	\| $+ 14$
$- 4 x^{2} + x$	=	$- 5 x^{2} + x + 9$	\| $+ 5 x^{2}$ $- x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 5 \cdot {(- 3)}^{2} - 3 - 5$ = $- 5 \cdot 9 - 3 - 5$ = $- 45 - 3 - 5$ = $- 53$

g( $3$ ) = $- 5 \cdot 3^{2} + 3 - 5$ = $- 5 \cdot 9 + 3 - 5$ = $- 45 + 3 - 5$ = $- 47$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- 53$ ) und S₂( $3$ | $- 47$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 7 x + 7$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 1 und x₂ = 5.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 5)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x - 1) \cdot (x - 5)$ = $x^{2} - 6 x + 5$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} - 6 x + 5

=

- 7 x + 7

|

+ 7 x

- 7

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- 7 \cdot (- 2) + 7$ = $14 + 7$ = $21$

g( $1$ ) = $- 7 \cdot 1 + 7$ = $- 7 + 7$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $21$ ) und S₂( $1$ |0).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)