Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 3 x - 54$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 3 x - 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 432}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{3+21}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{3-21}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

L={ $- 4,5$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{2}$ = $6$

L={ $6$ }

$6$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 x^{2} - 2 x + 8$ = $(9 x + 5) (x + 8) - 84 x - 36$

Lösung einblenden

$10 x^{2} - 2 x + 8$	=	$(9 x + 5) (x + 8) - 84 x - 36$
$10 x^{2} - 2 x + 8$	=	$9 x^{2} + 77 x + 40 - 84 x - 36$
$10 x^{2} - 2 x + 8$	=	$9 x^{2} - 7 x + 4$	\| $- 9 x^{2}$ $+ 7 x$ $- 4$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{43}{5} x - \frac{18}{5}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{43}{5} x - \frac{18}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{43}{5} x - \frac{18}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 43 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{{(- 43)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{1 849 + 360}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{2 209}}{10}$

x₁ = $\frac{43 + \sqrt{2 209}}{10}$ = $\frac{43+47}{10}$ = $\frac{90}{10}$ = $9$

x₂ = $\frac{43 - \sqrt{2 209}}{10}$ = $\frac{43-47}{10}$ = $\frac{- 4}{10}$ = $- 0,4$

L={ $- 0,4$ ; $9$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 0,4$ |0) und N₂( $9$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 x^{2} - x + 7$
und
$g(x) =$ $x^{2} - 5 x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x^{2} - x + 7

=

x^{2} - 5 x + 3

|

- x^{2}

+ 5 x

- 3

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2) + 3$ = $4 + 10 + 3$ = $17$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 2$ | $17$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} - 3 x - 10$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 4.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 0) \cdot (x - 4)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 0) \cdot (x - 4)$ = $- x^{2} + 4 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 4 x

=

- 2 x^{2} - 3 x - 10

|

+ 2 x^{2}

+ 3 x

+ 10

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 2 \cdot {(- 5)}^{2} - 3 \cdot (- 5) - 10$ = $- 2 \cdot 25 + 15 - 10$ = $- 50 + 15 - 10$ = $- 45$

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2) - 10$ = $- 2 \cdot 4 + 6 - 10$ = $- 8 + 6 - 10$ = $- 12$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- 45$ ) und S₂( $- 2$ | $- 12$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)