$x^2-x-30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-30\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{121}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>11</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{121}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>11</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $6$}

$x^2-4x-45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·\left(-45\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16+180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{4+\sqrt{196}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{4-\sqrt{196}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $9$}

$5x^2-18x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+18\pm \sqrt{{\left(-18\right)}^2-4·5·9}}{2\cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+18\pm \sqrt{324-180}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+18\pm \sqrt{144}}{10}$

x₁ = $\frac{18+\sqrt{144}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>18</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>12</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{30}{10}$ = $3$

x₂ = $\frac{18-\sqrt{144}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>18</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>12</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{10}$ = $\mathrm{0,6}$

L={ $\mathrm{0,6}$; $3$}

$x^2-3x-4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·\left(-4\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{9+16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $4$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$-x^2-10x-25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{{\left(-10\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-25\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{100-100}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{0}}{-2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{-2}$ = $-5$

L={ $-5$}

$-5$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $-5$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2+4x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$}

$-2$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-2$) = $-4\cdot {\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)-2$ = $-4\cdot 4+8-2$ = $-16+8-2$ = $-10$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $-2$| $-10$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -2 und x₂ = 0.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $\text{f(x)}=$ $a·\left(x+2\right)·\left(x+0\right)$.

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·\left(x+0\right)$ = $x^2+2x$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2-4x-5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·\left(-5\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16+20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $5$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-1$) = $6\cdot \left(-1\right)+5$ = $-6+5$ = $-1$

g( $5$) = $6\cdot 5+5$ = $30+5$ = $35$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-1$| $-1$) und S₂( $5$| $35$).