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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 8 x - 32$ = 0

4 x^{2} - 8 x - 32

= 0 |:4

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$18 + 17 x$ = $- 4 x^{2}$

Lösung einblenden

17 x + 18

=

- 4 x^{2}

|

+ 4 x^{2}

$4 x^{2} + 17 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 18}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{1}}{8}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{- 17+1}{8}$ = $\frac{- 16}{8}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{- 17-1}{8}$ = $\frac{- 18}{8}$ = $- 2,25$

L={ $- 2,25$ ; $- 2$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{27}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{27}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{27}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 3 x - 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 3+15}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 3-15}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

L={ $- 4,5$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 2 x + 6$ = $(x + 2) (x - 8) + 2 x + 37$

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 2 x + 6$	=	$(x + 2) (x - 8) + 2 x + 37$
$2 x^{2} - 2 x + 6$	=	$x^{2} - 6 x - 16 + 2 x + 37$
$2 x^{2} - 2 x + 6$	=	$x^{2} - 4 x + 21$	\| $- x^{2}$ $+ 4 x$ $- 21$

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} - 12 x + 15$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

3 x^{2} - 12 x + 15

= 0 |:3

$x^{2} - 4 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- x^{2} + 8 x - 1$
und
$g(x) =$ $- 2 x^{2} + 5 x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 8 x - 1

=

- 2 x^{2} + 5 x + 3

|

+ 2 x^{2}

- 5 x

- 3

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 2 \cdot {(- 4)}^{2} + 5 \cdot (- 4) + 3$ = $- 2 \cdot 16 - 20 + 3$ = $- 32 - 20 + 3$ = $- 49$

g( $1$ ) = $- 2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 + 3$ = $- 2 \cdot 1 + 5 + 3$ = $- 2 + 5 + 3$ = $6$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 49$ ) und S₂( $1$ | $6$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + x - 2$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 4.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 0) \cdot (x - 4)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 0) \cdot (x - 4)$ = $- x^{2} + 4 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 4 x

=

- 2 x^{2} + x - 2

|

+ 2 x^{2}

- x

+ 2

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 - 2$ = $- 2 \cdot 4 - 2 - 2$ = $- 8 - 2 - 2$ = $- 12$

g( $- 1$ ) = $- 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 1 - 2$ = $- 2 \cdot 1 - 1 - 2$ = $- 2 - 1 - 2$ = $- 5$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $- 12$ ) und S₂( $- 1$ | $- 5$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)