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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 40 x + 100$ = 0

4 x^{2} - 40 x + 100

= 0 |:4

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$18 + 2 x^{2} + 12 x$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 12 x + 18

= 0 |:2

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{23}{5} x - \frac{42}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{23}{5} x - \frac{42}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{23}{5} x - \frac{42}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 23 x - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 840}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{1 369}}{10}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{1 369}}{10}$ = $\frac{23+37}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = $6$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{1 369}}{10}$ = $\frac{23-37}{10}$ = $\frac{- 14}{10}$ = $- 1,4$

L={ $- 1,4$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} + x - 9$ = $(2 x + 3) (x - 1) + 8 x - 21$

Lösung einblenden

$3 x^{2} + x - 9$	=	$(2 x + 3) (x - 1) + 8 x - 21$
$3 x^{2} + x - 9$	=	$2 x^{2} + x - 3 + 8 x - 21$
$3 x^{2} + x - 9$	=	$2 x^{2} + 9 x - 24$	\| $- 2 x^{2}$ $- 9 x$ $+ 24$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{11}{2} x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{11}{2} x - 3$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{11}{2} x - 3)$	=	0

$2 x^{2} - 11 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{11+13}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{11-13}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

L={ $- 0,5$ ; $6$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 0,5$ |0) und N₂( $6$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 5 x + 11$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} - 3 x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} + 5 x + 11

=

- 3 x^{2} - 3 x - 5

|

+ 3 x^{2}

+ 3 x

+ 5

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 3 \cdot {(- 4)}^{2} - 3 \cdot (- 4) - 5$ = $- 3 \cdot 16 + 12 - 5$ = $- 48 + 12 - 5$ = $- 41$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 4$ | $- 41$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + 14 x - 25$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 4.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 0) \cdot (x - 4)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 0) \cdot (x - 4)$ = $- x^{2} + 4 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 4 x

=

- 2 x^{2} + 14 x - 25

|

+ 2 x^{2}

- 14 x

+ 25

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $5$ ) = $- 2 \cdot 5^{2} + 14 \cdot 5 - 25$ = $- 2 \cdot 25 + 70 - 25$ = $- 50 + 70 - 25$ = $- 5$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $5$ | $- 5$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)