Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 11 x - 21$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 11 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 168}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 11+17}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 11-17}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $1,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 18 + 5 x^{2}$ = $9 x$

Lösung einblenden

5 x^{2} - 18

=

9 x

|

- 9 x

$5 x^{2} - 9 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 360}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{441}}{10}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{9+21}{10}$ = $\frac{30}{10}$ = $3$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{9-21}{10}$ = $\frac{- 12}{10}$ = $- 1,2$

L={ $- 1,2$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - 17 x - 70$ = 0

Lösung einblenden

$- x^{2} - 17 x - 70$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 70)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 280}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{17+3}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{17-3}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

L={ $- 10$ ; $- 7$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 x^{2} + 8 x + 8$ = $(- 7 x - 8) (x + 8) + 66 x + 67$

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$- 6 x^{2} + 8 x + 8$	=	$(- 7 x - 8) (x + 8) + 66 x + 67$
$- 6 x^{2} + 8 x + 8$	=	$- 7 x^{2} - 64 x - 64 + 66 x + 67$
$- 6 x^{2} + 8 x + 8$	=	$- 7 x^{2} + 2 x + 3$	\| $+ 7 x^{2}$ $- 2 x$ $- 3$

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{13}{2} x - 35$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{13}{2} x - 35$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{13}{2} x - 35)$	=	0

$2 x^{2} - 13 x - 70$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 70)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 560}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{729}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{13+27}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = $10$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{13-27}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

L={ $- 3,5$ ; $10$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 3,5$ |0) und N₂( $10$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- x^{2} + 9 x + 13$
und
$g(x) =$ $- 2 x^{2} + 3 x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 9 x + 13

=

- 2 x^{2} + 3 x + 5

|

+ 2 x^{2}

- 3 x

- 5

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 2 \cdot {(- 4)}^{2} + 3 \cdot (- 4) + 5$ = $- 2 \cdot 16 - 12 + 5$ = $- 32 - 12 + 5$ = $- 39$

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) + 5$ = $- 2 \cdot 4 - 6 + 5$ = $- 8 - 6 + 5$ = $- 9$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 39$ ) und S₂( $- 2$ | $- 9$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 6 x + 15$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 4.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 0) \cdot (x - 4)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 0) \cdot (x - 4)$ = $x^{2} - 4 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} - 4 x

=

- 6 x + 15

|

+ 6 x

- 15

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 6 \cdot (- 5) + 15$ = $30 + 15$ = $45$

g( $3$ ) = $- 6 \cdot 3 + 15$ = $- 18 + 15$ = $- 3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $45$ ) und S₂( $3$ | $- 3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)