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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 15 x + 25$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 15 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 25}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 15+5}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 15-5}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 25 + 10 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{35}{4} x - \frac{25}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{35}{4} x - \frac{25}{2}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{35}{4} x - \frac{25}{2})$	=	0

$4 x^{2} + 35 x - 50$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{35^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{1 225 + 800}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{2 025}}{8}$

x₁ = $\frac{- 35 + \sqrt{2 025}}{8}$ = $\frac{- 35+45}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = $1,25$

x₂ = $\frac{- 35 - \sqrt{2 025}}{8}$ = $\frac{- 35-45}{8}$ = $\frac{- 80}{8}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $1,25$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x - 8$ = $(- x + 2) (x - 6) + x + 1$

Lösung einblenden

$5 x - 8$	=	$(- x + 2) (x - 6) + x + 1$
$5 x - 8$	=	$- x^{2} + 8 x - 12 + x + 1$
$5 x - 8$	=	$- x^{2} + 9 x - 11$	\| $+ x^{2}$ $- 9 x$ $+ 11$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 4 x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 4 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} - 9 x + 12$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} - 3 x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} - 9 x + 12

=

- 3 x^{2} - 3 x + 3

|

+ 3 x^{2}

+ 3 x

- 3

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ }

$3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$ ) = $- 3 \cdot 3^{2} - 3 \cdot 3 + 3$ = $- 3 \cdot 9 - 9 + 3$ = $- 27 - 9 + 3$ = $- 33$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $3$ | $- 33$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $3 x + 6$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -4 und x₂ = -2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 4) \cdot (x + 2)$ = $x^{2} + 6 x + 8$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} + 6 x + 8

=

3 x + 6

|

- 3 x

- 6

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $3 \cdot (- 2) + 6$ = $- 6 + 6$ = 0

g( $- 1$ ) = $3 \cdot (- 1) + 6$ = $- 3 + 6$ = $3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ |0) und S₂( $- 1$ | $3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)