Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 7 x + 3$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 7 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{7+5}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{7-5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

L={ $0,5$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 49 + 4 x^{2} + 21 x$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 21 x - 49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 49)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 784}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{1 225}}{8}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{1 225}}{8}$ = $\frac{- 21+35}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = $1,75$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{1 225}}{8}$ = $\frac{- 21-35}{8}$ = $\frac{- 56}{8}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $1,75$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 32 x - 128$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} - 32 x - 128

= 0 |:2

$- x^{2} - 16 x - 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 64)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ }

$- 8$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 9 x + 5$ = $(4 x - 8) (x - 4) + 32 x - 7$

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 9 x + 5$	=	$(4 x - 8) (x - 4) + 32 x - 7$
$5 x^{2} + 9 x + 5$	=	$4 x^{2} - 24 x + 32 + 32 x - 7$
$5 x^{2} + 9 x + 5$	=	$4 x^{2} + 8 x + 25$	\| $- 4 x^{2}$ $- 8 x$ $- 25$

$x^{2} + x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{9}{2} x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{9}{2} x + 2$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{9}{2} x + 2)$	=	0

$2 x^{2} - 9 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{9+7}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{9-7}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

L={ $0,5$ ; $4$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $0,5$ |0) und N₂( $4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} - 6 x$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} - x - 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} - 6 x

=

5 x^{2} - x - 4

|

- 5 x^{2}

+ x

+ 4

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $5 \cdot 1^{2} - 1 - 4$ = $5 \cdot 1 - 1 - 4$ = $5 - 1 - 4$ = 0

g( $4$ ) = $5 \cdot 4^{2} - 4 - 4$ = $5 \cdot 16 - 4 - 4$ = $80 - 4 - 4$ = $72$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ |0) und S₂( $4$ | $72$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} - 3 x + 8$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -2 und x₂ = 2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot (x - 2)$ = $- x^{2} + 4$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 4

=

- 2 x^{2} - 3 x + 8

|

+ 2 x^{2}

+ 3 x

- 8

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 2 \cdot {(- 4)}^{2} - 3 \cdot (- 4) + 8$ = $- 2 \cdot 16 + 12 + 8$ = $- 32 + 12 + 8$ = $- 12$

g( $1$ ) = $- 2 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1 + 8$ = $- 2 \cdot 1 - 3 + 8$ = $- 2 - 3 + 8$ = $3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 12$ ) und S₂( $1$ | $3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)