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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 14 x - 30$ = 0

4 x^{2} + 14 x - 30

= 0 |:2

$2 x^{2} + 7 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 7+13}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 7-13}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $1,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$81 + 4 x^{2} + 36 x$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 36 x + 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{36^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 81}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{1 296 - 1 296}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 36}{8}$ = $- \frac{9}{2}$

L={ $- \frac{9}{2}$ }

$- \frac{9}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} - 30 x - 75$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} - 30 x - 75

= 0 |:3

$- x^{2} - 10 x - 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 25)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{2} - x + 5$ = $(- 8 x - 9) (x + 1) + 10 x + 9$

Lösung einblenden

$- 7 x^{2} - x + 5$	=	$(- 8 x - 9) (x + 1) + 10 x + 9$
$- 7 x^{2} - x + 5$	=	$- 8 x^{2} - 17 x - 9 + 10 x + 9$
$- 7 x^{2} - x + 5$	=	$- 8 x^{2} - 7 x$	\| $+ 8 x^{2}$ $+ 7 x$

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{2}{5} x + \frac{1}{25}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{2}{5} x + \frac{1}{25}$	=	0	\|⋅ 25
$25 (x^{2} + \frac{2}{5} x + \frac{1}{25})$	=	0

$25 x^{2} + 10 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{50}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{50}$ = $- \frac{1}{5}$

L={ $- \frac{1}{5}$ }

$- \frac{1}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- \frac{1}{5}$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} + 7 x + 6$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} + 2 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

6 x^{2} + 7 x + 6

=

5 x^{2} + 2 x + 2

|

- 5 x^{2}

- 2 x

- 2

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $5 \cdot {(- 4)}^{2} + 2 \cdot (- 4) + 2$ = $5 \cdot 16 - 8 + 2$ = $80 - 8 + 2$ = $74$

g( $- 1$ ) = $5 \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 2$ = $5 \cdot 1 - 2 + 2$ = $5 - 2 + 2$ = $5$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $74$ ) und S₂( $- 1$ | $5$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x - 8$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -4 und x₂ = 0.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 0)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 4) \cdot (x + 0)$ = $x^{2} + 4 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} + 4 x

=

- 2 x - 8

|

+ 2 x

+ 8

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 2 \cdot (- 4) - 8$ = $8 - 8$ = 0

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot (- 2) - 8$ = $4 - 8$ = $- 4$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ |0) und S₂( $- 2$ | $- 4$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)