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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 20 x + 25$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 20 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 20}{8}$ = $- \frac{5}{2}$

L={ $- \frac{5}{2}$ }

$- \frac{5}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 72 + 7 x + 2 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 7 x - 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 576}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{625}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{- 7+25}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{- 7-25}{4}$ = $\frac{- 32}{4}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $4,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{16}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{16}$	=	0	\|⋅ 16
$16 (x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{16})$	=	0

$16 x^{2} - 24 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{576 - 576}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{24}{32}$ = $\frac{3}{4}$

L={ $\frac{3}{4}$ }

$\frac{3}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} + 8 x - 7$ = $(- 9 x + 2) (x - 9) - 67 x - 4$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} + 8 x - 7$	=	$(- 9 x + 2) (x - 9) - 67 x - 4$
$- 8 x^{2} + 8 x - 7$	=	$- 9 x^{2} + 83 x - 18 - 67 x - 4$
$- 8 x^{2} + 8 x - 7$	=	$- 9 x^{2} + 16 x - 22$	\| $+ 9 x^{2}$ $- 16 x$ $+ 22$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 5 x + \frac{25}{4}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - 5 x + \frac{25}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 20 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{20}{8}$ = $\frac{5}{2}$

L={ $\frac{5}{2}$ }

$\frac{5}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $\frac{5}{2}$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 x^{2} - 8 x + 30$
und
$g(x) =$ $x^{2} + 2 x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x^{2} - 8 x + 30

=

x^{2} + 2 x + 5

|

- x^{2}

- 2 x

- 5

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $5$ ) = $5^{2} + 2 \cdot 5 + 5$ = $25 + 10 + 5$ = $40$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $5$ | $40$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 8 x + 5$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 4.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 0) \cdot (x - 4)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 0) \cdot (x - 4)$ = $x^{2} - 4 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} - 4 x

=

- 8 x + 5

|

+ 8 x

- 5

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 8 \cdot (- 5) + 5$ = $40 + 5$ = $45$

g( $1$ ) = $- 8 \cdot 1 + 5$ = $- 8 + 5$ = $- 3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $45$ ) und S₂( $1$ | $- 3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)