Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + x - 15$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 1+11}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 1-11}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $2,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 + 4 x + 2 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{5}{4} x - \frac{9}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{5}{4} x - \frac{9}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{5}{4} x - \frac{9}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 5 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{- 5+13}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{- 5-13}{8}$ = $\frac{- 18}{8}$ = $- 2,25$

L={ $- 2,25$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 x^{2} + 2 x - 8$ = $(7 x - 8) (x - 2) + 18 x - 29$

Lösung einblenden

$8 x^{2} + 2 x - 8$	=	$(7 x - 8) (x - 2) + 18 x - 29$
$8 x^{2} + 2 x - 8$	=	$7 x^{2} - 22 x + 16 + 18 x - 29$
$8 x^{2} + 2 x - 8$	=	$7 x^{2} - 4 x - 13$	\| $- 7 x^{2}$ $+ 4 x$ $+ 13$

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 48 x - 192$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 3 x^{2} - 48 x - 192

= 0 |:3

$- x^{2} - 16 x - 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 64)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ }

$- 8$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 8$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 x^{2} + 8 x - 7$
und
$g(x) =$ $3 x^{2} + 5 x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

4 x^{2} + 8 x - 7

=

3 x^{2} + 5 x + 3

|

- 3 x^{2}

- 5 x

- 3

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $3 \cdot {(- 5)}^{2} + 5 \cdot (- 5) + 3$ = $3 \cdot 25 - 25 + 3$ = $75 - 25 + 3$ = $53$

g( $2$ ) = $3 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 + 3$ = $3 \cdot 4 + 10 + 3$ = $12 + 10 + 3$ = $25$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $53$ ) und S₂( $2$ | $25$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + x - 18$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -4 und x₂ = -2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 4) \cdot (x + 2)$ = $- x^{2} - 6 x - 8$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} - 6 x - 8

=

- 2 x^{2} + x - 18

|

+ 2 x^{2}

- x

+ 18

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $- 2 \cdot 2^{2} + 2 - 18$ = $- 2 \cdot 4 + 2 - 18$ = $- 8 + 2 - 18$ = $- 24$

g( $5$ ) = $- 2 \cdot 5^{2} + 5 - 18$ = $- 2 \cdot 25 + 5 - 18$ = $- 50 + 5 - 18$ = $- 63$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $- 24$ ) und S₂( $5$ | $- 63$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)