Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x 2 -7x +5 = 0

Lösung einblenden

2 x 2 -7x +5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 2 · 5 22

x1,2 = +7 ± 49 -40 4

x1,2 = +7 ± 9 4

x1 = 7 + 9 4 = 7 +3 4 = 10 4 = 2,5

x2 = 7 - 9 4 = 7 -3 4 = 4 4 = 1

L={ 1 ; 2,5 }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 x 2 -45x = -40

Lösung einblenden
5 x 2 -45x = -40 | +40
5 x 2 -45x +40 = 0 |:5

x 2 -9x +8 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +9 ± ( -9 ) 2 -4 · 1 · 8 21

x1,2 = +9 ± 81 -32 2

x1,2 = +9 ± 49 2

x1 = 9 + 49 2 = 9 +7 2 = 16 2 = 8

x2 = 9 - 49 2 = 9 -7 2 = 2 2 = 1

L={ 1 ; 8 }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 + 9 2 x + 81 16 = 0

Lösung einblenden
x 2 + 9 2 x + 81 16 = 0 |⋅ 16
16( x 2 + 9 2 x + 81 16 ) = 0

16 x 2 +72x +81 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -72 ± 72 2 -4 · 16 · 81 216

x1,2 = -72 ± 5184 -5184 32

x1,2 = -72 ± 0 32

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -72 32 = - 9 4

L={ - 9 4 }

- 9 4 ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-7 x 2 +5x -4 = ( -8x +3 ) ( x +2 ) +20x -11

Lösung einblenden
-7 x 2 +5x -4 = ( -8x +3 ) ( x +2 ) +20x -11
-7 x 2 +5x -4 = -8 x 2 -13x +6 +20x -11
-7 x 2 +5x -4 = -8 x 2 +7x -5 | +8 x 2 -7x +5

x 2 -2x +1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 21

x1,2 = +2 ± 4 -4 2

x1,2 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 2 2 = 1

L={ 1 }

1 ist 2-fache Lösung!

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit f(x)= x 2 -2x +1 .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

x 2 -2x +1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 21

x1,2 = +2 ± 4 -4 2

x1,2 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 2 2 = 1

L={ 1 }

1 ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( 1 |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
f(x)= 7x +3
und
g(x)= - x 2 +5x +2 .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

7x +3 = - x 2 +5x +2 | + x 2 -5x -2

x 2 +2x +1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · 1 21

x1,2 = -2 ± 4 -4 2

x1,2 = -2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -2 2 = -1

L={ -1 }

-1 ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( -1 ) = - ( -1 ) 2 +5( -1 ) +2 = -1 -5 +2 = -4

Der einzige Schnittpunkt ist also S( -1 | -4 ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

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Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit g(x)= 11x +4 .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x1 = -4 und x2 = -2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also f(x)= a · ( x +4 ) · ( x +2 ) .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
f(x)= ( x +4 ) · ( x +2 ) = x 2 +6x +8 .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x 2 +6x +8 = 11x +4 | -11x -4

x 2 -5x +4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · 4 21

x1,2 = +5 ± 25 -16 2

x1,2 = +5 ± 9 2

x1 = 5 + 9 2 = 5 +3 2 = 8 2 = 4

x2 = 5 - 9 2 = 5 -3 2 = 2 2 = 1

L={ 1 ; 4 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( 1 ) = 111 +4 = 11 +4 = 15

g( 4 ) = 114 +4 = 44 +4 = 48

Die Schnittpunkte sind also S1( 1 | 15 ) und S2( 4 | 48 ).