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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 8 x - 10$ = 0

2 x^{2} + 8 x - 10

= 0 |:2

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 17 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 17 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 8}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 17+15}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 17-15}{4}$ = $\frac{- 32}{4}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $- 0,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 12 x + 20$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 12 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 12+8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 12-8}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $- 2$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 x^{2} - 2 x - 4$ = $(7 x + 6) (x - 4) + 12 x + 5$

Lösung einblenden

$8 x^{2} - 2 x - 4$	=	$(7 x + 6) (x - 4) + 12 x + 5$
$8 x^{2} - 2 x - 4$	=	$7 x^{2} - 22 x - 24 + 12 x + 5$
$8 x^{2} - 2 x - 4$	=	$7 x^{2} - 10 x - 19$	\| $- 7 x^{2}$ $+ 10 x$ $+ 19$

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 16 x - 60$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$- x^{2} - 16 x - 60$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{16+4}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{16-4}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

L={ $- 10$ ; $- 6$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 10$ |0) und N₂( $- 6$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} - 4 x + 8$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} + 2 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} - 4 x + 8

=

- 3 x^{2} + 2 x - 1

|

+ 3 x^{2}

- 2 x

+ 1

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ }

$3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$ ) = $- 3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1$ = $- 3 \cdot 9 + 6 - 1$ = $- 27 + 6 - 1$ = $- 22$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $3$ | $- 22$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + 3 x + 20$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 0) \cdot (x - 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 0) \cdot (x - 2)$ = $- x^{2} + 2 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 2 x

=

- 2 x^{2} + 3 x + 20

|

+ 2 x^{2}

- 3 x

- 20

$x^{2} - x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 2 \cdot {(- 4)}^{2} + 3 \cdot (- 4) + 20$ = $- 2 \cdot 16 - 12 + 20$ = $- 32 - 12 + 20$ = $- 24$

g( $5$ ) = $- 2 \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5 + 20$ = $- 2 \cdot 25 + 15 + 20$ = $- 50 + 15 + 20$ = $- 15$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 24$ ) und S₂( $5$ | $- 15$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)