Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 21 x - 54$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 21 x - 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 + 1 080}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{1 521}}{10}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{1 521}}{10}$ = $\frac{21+39}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = $6$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{1 521}}{10}$ = $\frac{21-39}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

L={ $- 1,8$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 56 + 27 x$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 27 x - 56$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 + 1 120}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{1 849}}{10}$

x₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{1 849}}{10}$ = $\frac{- 27+43}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

x₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{1 849}}{10}$ = $\frac{- 27-43}{10}$ = $\frac{- 70}{10}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $1,6$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 11 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 11 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 11+5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 11-5}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $- 3$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 8 x - 6$ = $(- 3 x + 2) (x - 6) - 35 x - 6$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} - 8 x - 6$	=	$(- 3 x + 2) (x - 6) - 35 x - 6$
$- 2 x^{2} - 8 x - 6$	=	$- 3 x^{2} + 20 x - 12 - 35 x - 6$
$- 2 x^{2} - 8 x - 6$	=	$- 3 x^{2} - 15 x - 18$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 15 x$ $+ 18$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 1$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 11 x + 30$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} + x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} + 11 x + 30

=

- 3 x^{2} + x + 5

|

+ 3 x^{2}

- x

- 5

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 3 \cdot {(- 5)}^{2} - 5 + 5$ = $- 3 \cdot 25 - 5 + 5$ = $- 75 - 5 + 5$ = $- 75$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 5$ | $- 75$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $4 x + 28$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -3 und x₂ = -1.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 3) \cdot (x + 1)$ = $x^{2} + 4 x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^{2} + 4 x + 3$	=	$4 x + 28$	\| $- 3$
$x^{2} + 4 x$	=	$4 x + 25$	\| $- 4 x$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $4 \cdot (- 5) + 28$ = $- 20 + 28$ = $8$

g( $5$ ) = $4 \cdot 5 + 28$ = $20 + 28$ = $48$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $8$ ) und S₂( $5$ | $48$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)