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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 7 x - 9$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 7 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 7+11}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 7-11}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

L={ $- 4,5$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 + 2 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$- 8 + 2 x^{2}$	=	0
$2 x^{2} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$2 x^{2}$	=	$8$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{5}{4} x - \frac{21}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{5}{4} x - \frac{21}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{5}{4} x - \frac{21}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 5 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 336}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{361}}{8}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{5+19}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{5-19}{8}$ = $\frac{- 14}{8}$ = $- 1,75$

L={ $- 1,75$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 5 x - 1$ = $(4 x - 2) (x - 7) + 36 x - 9$

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 5 x - 1$	=	$(4 x - 2) (x - 7) + 36 x - 9$
$5 x^{2} + 5 x - 1$	=	$4 x^{2} - 30 x + 14 + 36 x - 9$
$5 x^{2} + 5 x - 1$	=	$4 x^{2} + 6 x + 5$	\| $- 4 x^{2}$ $- 6 x$ $- 5$

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{16}{5} x + \frac{89}{25}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{16}{5} x + \frac{89}{25}$	=	0	\|⋅ 25
$25 (x^{2} - \frac{16}{5} x + \frac{89}{25})$	=	0

$25 x^{2} - 80 x + 89$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 80 \pm \sqrt{{(- 80)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 89}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+ 80 \pm \sqrt{6 400 - 8 900}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+ 80 \pm \sqrt{(- 2 500)}}{50}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 6 x + 2$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} + 4 x + 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} + 6 x + 2

=

- 3 x^{2} + 4 x + 1

|

+ 3 x^{2}

- 4 x

- 1

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- 3 \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) + 1$ = $- 3 \cdot 1 - 4 + 1$ = $- 3 - 4 + 1$ = $- 6$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 1$ | $- 6$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 5 x - 13$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -3 und x₂ = 1.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 1)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 3) \cdot (x - 1)$ = $x^{2} + 2 x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} + 2 x - 3

=

- 5 x - 13

|

+ 5 x

+ 13

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 5 \cdot (- 5) - 13$ = $25 - 13$ = $12$

g( $- 2$ ) = $- 5 \cdot (- 2) - 13$ = $10 - 13$ = $- 3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $12$ ) und S₂( $- 2$ | $- 3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)