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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 42 x + 80$ = 0

4 x^{2} - 42 x + 80

= 0 |:2

$2 x^{2} - 21 x + 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 40}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 320}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{21+11}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{21-11}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

L={ $2,5$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 11 x - 63$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 11 x - 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 504}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{625}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{11+25}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{11-25}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

L={ $- 3,5$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 30 x + 112$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} - 30 x + 112

= 0 |:2

$x^{2} - 15 x + 56$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{15+1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{15-1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

L={ $7$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x^{2} + 5 x - 8$ = $(6 x + 8) (x + 6) - 34 x - 60$

Lösung einblenden

$7 x^{2} + 5 x - 8$	=	$(6 x + 8) (x + 6) - 34 x - 60$
$7 x^{2} + 5 x - 8$	=	$6 x^{2} + 44 x + 48 - 34 x - 60$
$7 x^{2} + 5 x - 8$	=	$6 x^{2} + 10 x - 12$	\| $- 6 x^{2}$ $- 10 x$ $+ 12$

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{4}{5} x - \frac{12}{5}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{4}{5} x - \frac{12}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{4}{5} x - \frac{12}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{256}}{10}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{256}}{10}$ = $\frac{4+16}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = $2$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{256}}{10}$ = $\frac{4-16}{10}$ = $\frac{- 12}{10}$ = $- 1,2$

L={ $- 1,2$ ; $2$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 1,2$ |0) und N₂( $2$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 x^{2} + 3 x + 2$
und
$g(x) =$ $x^{2} - 2 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x^{2} + 3 x + 2

=

x^{2} - 2 x - 2

|

- x^{2}

+ 2 x

+ 2

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} - 2 \cdot (- 4) - 2$ = $16 + 8 - 2$ = $22$

g( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - 2$ = $1 + 2 - 2$ = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $22$ ) und S₂( $- 1$ | $1$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} - 8 x - 12$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -2 und x₂ = 2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot (x - 2)$ = $- x^{2} + 4$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 4

=

- 2 x^{2} - 8 x - 12

|

+ 2 x^{2}

+ 8 x

+ 12

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 2 \cdot {(- 4)}^{2} - 8 \cdot (- 4) - 12$ = $- 2 \cdot 16 + 32 - 12$ = $- 32 + 32 - 12$ = $- 12$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 4$ | $- 12$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)