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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 20 x + 101$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 20 x + 101$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 101}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 404}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 21 - 11 x + 2 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 11 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 168}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{11+17}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{11-17}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

L={ $- 1,5$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} - 18 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} - 18 x - 30

= 0 |:3

$- x^{2} - 6 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x^{2} - 5 x - 6$ = $(6 x + 6) (x + 8) - 59 x - 53$

Lösung einblenden

$7 x^{2} - 5 x - 6$	=	$(6 x + 6) (x + 8) - 59 x - 53$
$7 x^{2} - 5 x - 6$	=	$6 x^{2} + 54 x + 48 - 59 x - 53$
$7 x^{2} - 5 x - 6$	=	$6 x^{2} - 5 x - 5$	\| $+ 6$
$7 x^{2} - 5 x$	=	$6 x^{2} - 5 x + 1$	\| $- 6 x^{2}$ $+ 5 x$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 2 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} - 11 x + 30$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} - x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} - 11 x + 30

=

2 x^{2} - x + 5

|

- 2 x^{2}

+ x

- 5

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $5$ ) = $2 \cdot 5^{2} - 5 + 5$ = $2 \cdot 25 - 5 + 5$ = $50 - 5 + 5$ = $50$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $5$ | $50$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + 10 x - 8$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 1 und x₂ = 3.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot (x - 3)$ = $- x^{2} + 4 x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 4 x - 3

=

- 2 x^{2} + 10 x - 8

|

+ 2 x^{2}

- 10 x

+ 8

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 2 \cdot 1^{2} + 10 \cdot 1 - 8$ = $- 2 \cdot 1 + 10 - 8$ = $- 2 + 10 - 8$ = 0

g( $5$ ) = $- 2 \cdot 5^{2} + 10 \cdot 5 - 8$ = $- 2 \cdot 25 + 50 - 8$ = $- 50 + 50 - 8$ = $- 8$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ |0) und S₂( $5$ | $- 8$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)