Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 21 x - 20$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 21 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 + 400}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{841}}{10}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{21+29}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{21-29}{10}$ = $\frac{- 8}{10}$ = $- 0,8$

L={ $- 0,8$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 34 x + 4 x^{2} - 60$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} - 34 x - 60

= 0 |:2

$2 x^{2} - 17 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{17+23}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = $10$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{17-23}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

L={ $- 1,5$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - x + \frac{1}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - x + \frac{1}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - x + \frac{1}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 4 x + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{8}$ = $\frac{1}{2}$

L={ $\frac{1}{2}$ }

$\frac{1}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 x^{2} + 4 x - 7$ = $(- 7 x + 1) (x - 5) - 31 x$

Lösung einblenden

$- 6 x^{2} + 4 x - 7$	=	$(- 7 x + 1) (x - 5) - 31 x$
$- 6 x^{2} + 4 x - 7$	=	$- 7 x^{2} + 36 x - 5 - 31 x$
$- 6 x^{2} + 4 x - 7$	=	$- 7 x^{2} + 5 x - 5$	\| $+ 7 x^{2}$ $- 5 x$ $+ 5$

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 16 x - 63$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$- x^{2} - 16 x - 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 63)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{16+2}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{16-2}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

L={ $- 9$ ; $- 7$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 9$ |0) und N₂( $- 7$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 x^{2} + 6 x + 6$
und
$g(x) =$ $x^{2} + 2 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 x^{2} + 6 x + 6

=

x^{2} + 2 x + 2

|

- x^{2}

- 2 x

- 2

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) + 2$ = $4 - 4 + 2$ = $2$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 2$ | $2$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} - 2 x + 16$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -1 und x₂ = 1.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 1) \cdot (x - 1)$ = $- x^{2} + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 1

=

- 2 x^{2} - 2 x + 16

|

+ 2 x^{2}

+ 2 x

- 16

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 2 \cdot {(- 5)}^{2} - 2 \cdot (- 5) + 16$ = $- 2 \cdot 25 + 10 + 16$ = $- 50 + 10 + 16$ = $- 24$

g( $3$ ) = $- 2 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 + 16$ = $- 2 \cdot 9 - 6 + 16$ = $- 18 - 6 + 16$ = $- 8$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- 24$ ) und S₂( $3$ | $- 8$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)