$4x^2+36x+81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-36\pm \sqrt{{36}^2-4·4·81}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{-36\pm \sqrt{1296-1296}}{8}$

x_1,2 = $\frac{-36\pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-36}{8}$ = $-\frac{9}{2}$

L={ $-\frac{9}{2}$}

$-\frac{9}{2}$ ist 2-fache Lösung!

$2x^2-17x-9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{{\left(-17\right)}^2-4·2·\left(-9\right)}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{289+72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+17\pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{17+\sqrt{361}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{17-\sqrt{361}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>19</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{4}$ = $-\mathrm{0,5}$

L={ $-\mathrm{0,5}$; $9$}

$-x^2-20x-100$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+20\pm \sqrt{{\left(-20\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-100\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+20\pm \sqrt{400-400}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+20\pm \sqrt{0}}{-2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{20}{-2}$ = $-10$

L={ $-10$}

$-10$ ist 2-fache Lösung!

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $2$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2-16x+64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+16\pm \sqrt{{\left(-16\right)}^2-4·1·64}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+16\pm \sqrt{256-256}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+16\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{16}{2}$ = $8$

L={ $8$}

$8$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $8$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2-6x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·1·9}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$}

$3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$) = $-2\cdot 3^2+3\cdot 3+5$ = $-2\cdot 9+9+5$ = $-18+9+5$ = $-4$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $3$| $-4$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 4.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $\text{f(x)}=$ $a·\left(x+0\right)·\left(x-4\right)$.

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$\text{f(x)}=$ $\left(x+0\right)·\left(x-4\right)$ = $x^2-4x$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

L={ $-4$; $4$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-4$) = $-4\cdot \left(-4\right)+16$ = $16+16$ = $32$

g( $4$) = $-4\cdot 4+16$ = $-16+16$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-4$| $32$) und S₂( $4$|0).