$25x^2-20x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+20\pm \sqrt{{\left(-20\right)}^2-4·25·4}}{2\cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+20\pm \sqrt{400-400}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+20\pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{20}{50}$ = $\frac{2}{5}$

L={ $\frac{2}{5}$}

$\frac{2}{5}$ ist 2-fache Lösung!

$5x^2-34x+45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+34\pm \sqrt{{\left(-34\right)}^2-4·5·45}}{2\cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+34\pm \sqrt{1156-900}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+34\pm \sqrt{256}}{10}$

x₁ = $\frac{34+\sqrt{256}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>34</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>16</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

x₂ = $\frac{34-\sqrt{256}}{10}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>34</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>16</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{18}{10}$ = $\mathrm{1,8}$

L={ $\mathrm{1,8}$; $5$}

$x^2-12x+20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+12\pm \sqrt{{\left(-12\right)}^2-4·1·20}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+12\pm \sqrt{144-80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+12\pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12+\sqrt{64}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>12</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12-\sqrt{64}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>12</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$; $10$}

$x^2+7x+10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4·1·10}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{49-40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{-7+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

x₂ = $\frac{-7-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $-2$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$2x^2-5x+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·2·3}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25-24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{5+\sqrt{1}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{4}$ = $\mathrm{1,5}$

x₂ = $\frac{5-\sqrt{1}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

L={ $1$; $\mathrm{1,5}$}

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $1$|0) und N₂( $\mathrm{1,5}$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2-9x+20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{{\left(-9\right)}^2-4·1·20}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{81-80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$; $5$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$) = $4\cdot 4^2+4+4$ = $4\cdot 16+4+4$ = $64+4+4$ = $72$

g( $5$) = $4\cdot 5^2+5+4$ = $4\cdot 25+5+4$ = $100+5+4$ = $109$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $4$| $72$) und S₂( $5$| $109$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -1 und x₂ = 3.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $\text{f(x)}=$ $a·\left(x+1\right)·\left(x-3\right)$.

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\left(x-3\right)$ = $x^2-2x-3$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2+8x+15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·1·15}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{-8+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

x₂ = $\frac{-8-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $-3$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-5$) = $-10\cdot \left(-5\right)-18$ = $50-18$ = $32$

g( $-3$) = $-10\cdot \left(-3\right)-18$ = $30-18$ = $12$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-5$| $32$) und S₂( $-3$| $12$).