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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 x^{2} + 60 x + 37$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} + 60 x + 37$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 60 \pm \sqrt{60^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 37}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{- 60 \pm \sqrt{3 600 - 3 700}}{50}$

x_1,2 = $\frac{- 60 \pm \sqrt{(- 100)}}{50}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 1 + 2 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1+3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1-3}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $0,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{29}{4} x - 6$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{29}{4} x - 6$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{29}{4} x - 6)$	=	0

$4 x^{2} + 29 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{29^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{841 + 384}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{1 225}}{8}$

x₁ = $\frac{- 29 + \sqrt{1 225}}{8}$ = $\frac{- 29+35}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 29 - \sqrt{1 225}}{8}$ = $\frac{- 29-35}{8}$ = $\frac{- 64}{8}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $0,75$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 x^{2} - 5 x - 8$ = $(5 x + 4) (x - 4) + 14 x + 18$

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$6 x^{2} - 5 x - 8$	=	$(5 x + 4) (x - 4) + 14 x + 18$
$6 x^{2} - 5 x - 8$	=	$5 x^{2} - 16 x - 16 + 14 x + 18$
$6 x^{2} - 5 x - 8$	=	$5 x^{2} - 2 x + 2$	\| $- 5 x^{2}$ $+ 2 x$ $- 2$

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 12 x + 27$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 12 x + 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12+6}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{12-6}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $9$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $3$ |0) und N₂( $9$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 x^{2} - 5 x + 2$
und
$g(x) =$ $3 x^{2} - 4 x + 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

4 x^{2} - 5 x + 2

=

3 x^{2} - 4 x + 4

|

- 3 x^{2}

+ 4 x

- 4

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $3 \cdot {(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) + 4$ = $3 \cdot 1 + 4 + 4$ = $3 + 4 + 4$ = $11$

g( $2$ ) = $3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 4$ = $3 \cdot 4 - 8 + 4$ = $12 - 8 + 4$ = $8$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $11$ ) und S₂( $2$ | $8$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $2 x - 11$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 1 und x₂ = 5.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 5)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x - 1) \cdot (x - 5)$ = $x^{2} - 6 x + 5$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} - 6 x + 5

=

2 x - 11

|

- 2 x

+ 11

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $2 \cdot 4 - 11$ = $8 - 11$ = $- 3$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $4$ | $- 3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)