$4x^2+12x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-12\pm \sqrt{{12}^2-4·4·9}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{-12\pm \sqrt{144-144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{-12\pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-12}{8}$ = $-\frac{3}{2}$

L={ $-\frac{3}{2}$}

$-\frac{3}{2}$ ist 2-fache Lösung!

$x^2+8x-20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·1·\left(-20\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64+80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{-8+\sqrt{144}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>12</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-8-\sqrt{144}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>12</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-20}{2}$ = $-10$

L={ $-10$; $2$}

$x^2-16x+65$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+16\pm \sqrt{{\left(-16\right)}^2-4·1·65}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+16\pm \sqrt{256-260}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+16\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

$x^2-x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $2$}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^2+18x+82$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-18\pm \sqrt{{18}^2-4·1·82}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-18\pm \sqrt{324-328}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-18\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2-8x+15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·1·15}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$; $5$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$) = $5\cdot 3^2+2\cdot 3+5$ = $5\cdot 9+6+5$ = $45+6+5$ = $56$

g( $5$) = $5\cdot 5^2+2\cdot 5+5$ = $5\cdot 25+10+5$ = $125+10+5$ = $140$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $3$| $56$) und S₂( $5$| $140$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $\text{f(x)}=$ $a·\left(x+0\right)·\left(x-2\right)$.

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$\text{f(x)}=$ $-\left(x+0\right)·\left(x-2\right)$ = $-x^2+2x$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

L={ $-3$; $3$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-3$) = $-2\cdot {\left(-3\right)}^2+2\cdot \left(-3\right)+9$ = $-2\cdot 9-6+9$ = $-18-6+9$ = $-15$

g( $3$) = $-2\cdot 3^2+2\cdot 3+9$ = $-2\cdot 9+6+9$ = $-18+6+9$ = $-3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-3$| $-15$) und S₂( $3$| $-3$).