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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 16 x + 3$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 16 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 60}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{196}}{10}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{196}}{10}$ = $\frac{- 16+14}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{196}}{10}$ = $\frac{- 16-14}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 0,2$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 37$ = $- 24 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} + 37

=

- 24 x

|

+ 24 x

$4 x^{2} + 24 x + 37$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 37}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 592}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{(- 16)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + x + 30$ = 0

Lösung einblenden

$- x^{2} + x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 30}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{- 1+11}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{- 1-11}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

L={ $- 5$ ; $6$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 2 x + 8$ = $(- 3 x - 5) (x - 7) - 9 x - 27$

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$- 2 x^{2} + 2 x + 8$	=	$(- 3 x - 5) (x - 7) - 9 x - 27$
$- 2 x^{2} + 2 x + 8$	=	$- 3 x^{2} + 16 x + 35 - 9 x - 27$
$- 2 x^{2} + 2 x + 8$	=	$- 3 x^{2} + 7 x + 8$	\| $- 8$
$- 2 x^{2} + 2 x$	=	$- 3 x^{2} + 7 x$	\| $- (- 3 x^{2} + 7 x)$
$- 2 x^{2} + 3 x^{2} + 2 x - 7 x$	=	0
$x^{2} - 5 x$	=	0
$x (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

L={0; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 15$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 3$ |0) und N₂( $5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} + 11 x + 7$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} + 5 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} + 11 x + 7

=

2 x^{2} + 5 x - 2

|

- 2 x^{2}

- 5 x

+ 2

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $2 \cdot {(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3) - 2$ = $2 \cdot 9 - 15 - 2$ = $18 - 15 - 2$ = $1$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 3$ | $1$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} - 4 x + 6$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -1 und x₂ = 1.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 1) \cdot (x - 1)$ = $- x^{2} + 1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 1

=

- 2 x^{2} - 4 x + 6

|

+ 2 x^{2}

+ 4 x

- 6

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- 2 \cdot {(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 5) + 6$ = $- 2 \cdot 25 + 20 + 6$ = $- 50 + 20 + 6$ = $- 24$

g( $1$ ) = $- 2 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 + 6$ = $- 2 \cdot 1 - 4 + 6$ = $- 2 - 4 + 6$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $- 24$ ) und S₂( $1$ |0).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)