Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 13 x + 3$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 13 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{- 13+11}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{- 13-11}{8}$ = $\frac{- 24}{8}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 0,25$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$64 + 4 x^{2}$ = $- 32 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} + 64

=

- 32 x

|

+ 32 x

4 x^{2} + 32 x + 64

= 0 |:4

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{13}{2} x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{13}{2} x + 9$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{13}{2} x + 9)$	=	0

$2 x^{2} + 13 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 13+5}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 13-5}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

L={ $- 4,5$ ; $- 2$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 2 x - 1$ = $(- 4 x - 8) (x - 8) - 18 x - 60$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} + 2 x - 1$	=	$(- 4 x - 8) (x - 8) - 18 x - 60$
$- 3 x^{2} + 2 x - 1$	=	$- 4 x^{2} + 24 x + 64 - 18 x - 60$
$- 3 x^{2} + 2 x - 1$	=	$- 4 x^{2} + 6 x + 4$	\| $+ 4 x^{2}$ $- 6 x$ $- 4$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 2 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 x^{2} - 15$
und
$g(x) =$ $3 x^{2} - 3 x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

4 x^{2} - 15

=

3 x^{2} - 3 x - 5

|

- 3 x^{2}

+ 3 x

+ 5

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $3 \cdot {(- 5)}^{2} - 3 \cdot (- 5) - 5$ = $3 \cdot 25 + 15 - 5$ = $75 + 15 - 5$ = $85$

g( $2$ ) = $3 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 5$ = $3 \cdot 4 - 6 - 5$ = $12 - 6 - 5$ = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $85$ ) und S₂( $2$ | $1$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + 7 x + 15$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 1 und x₂ = 5.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 5)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot (x - 5)$ = $- x^{2} + 6 x - 5$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 6 x - 5

=

- 2 x^{2} + 7 x + 15

|

+ 2 x^{2}

- 7 x

- 15

$x^{2} - x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 2 \cdot {(- 4)}^{2} + 7 \cdot (- 4) + 15$ = $- 2 \cdot 16 - 28 + 15$ = $- 32 - 28 + 15$ = $- 45$

g( $5$ ) = $- 2 \cdot 5^{2} + 7 \cdot 5 + 15$ = $- 2 \cdot 25 + 35 + 15$ = $- 50 + 35 + 15$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 45$ ) und S₂( $5$ |0).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)