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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 3 x - 14$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 3 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{3+11}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{3-11}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $3,5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$30 - 26 x + 4 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} - 26 x + 30

= 0 |:2

$2 x^{2} - 13 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{13+7}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{13-7}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

L={ $1,5$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{7}{2}$ = 0

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$x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{7}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{7}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 15 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{15+13}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{15-13}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

L={ $0,5$ ; $7$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 x^{2} + 8 x - 8$ = $(9 x - 7) (x - 8) + 92 x - 64$

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$10 x^{2} + 8 x - 8$	=	$(9 x - 7) (x - 8) + 92 x - 64$
$10 x^{2} + 8 x - 8$	=	$9 x^{2} - 79 x + 56 + 92 x - 64$
$10 x^{2} + 8 x - 8$	=	$9 x^{2} + 13 x - 8$	\| $+ 8$
$10 x^{2} + 8 x$	=	$9 x^{2} + 13 x$	\| $- (9 x^{2} + 13 x)$
$10 x^{2} - 9 x^{2} + 8 x - 13 x$	=	0
$x^{2} - 5 x$	=	0
$x (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

L={0; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 6 x + 140$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 2 x^{2} + 6 x + 140

= 0 |:2

$- x^{2} + 3 x + 70$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 70}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{289}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{289}}{- 2}$ = $\frac{- 3+17}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{289}}{- 2}$ = $\frac{- 3-17}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

L={ $- 7$ ; $10$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 7$ |0) und N₂( $10$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 x^{2} - 3 x - 10$
und
$g(x) =$ $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

4 x^{2} - 3 x - 10

=

3 x^{2} - 4 x + 2

|

- 3 x^{2}

+ 4 x

- 2

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $3 \cdot {(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 4) + 2$ = $3 \cdot 16 + 16 + 2$ = $48 + 16 + 2$ = $66$

g( $3$ ) = $3 \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3 + 2$ = $3 \cdot 9 - 12 + 2$ = $27 - 12 + 2$ = $17$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $66$ ) und S₂( $3$ | $17$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + 5 x + 1$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 1 und x₂ = 5.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 5)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot (x - 5)$ = $- x^{2} + 6 x - 5$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 6 x - 5

=

- 2 x^{2} + 5 x + 1

|

+ 2 x^{2}

- 5 x

- 1

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 2 \cdot {(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3) + 1$ = $- 2 \cdot 9 - 15 + 1$ = $- 18 - 15 + 1$ = $- 32$

g( $2$ ) = $- 2 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 + 1$ = $- 2 \cdot 4 + 10 + 1$ = $- 8 + 10 + 1$ = $3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- 32$ ) und S₂( $2$ | $3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)