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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 12 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 12 x + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ }

$- 6$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 21 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 21 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 10}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 80}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{21+19}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = $10$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{21-19}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

L={ $0,5$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{19}{2} x + \frac{9}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{19}{2} x + \frac{9}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{19}{2} x + \frac{9}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 19 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{19+17}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{19-17}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

L={ $0,5$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 x^{2} + 2 x - 9$ = $(5 x + 7) (x + 8) - 45 x - 49$

Lösung einblenden

$6 x^{2} + 2 x - 9$	=	$(5 x + 7) (x + 8) - 45 x - 49$
$6 x^{2} + 2 x - 9$	=	$5 x^{2} + 47 x + 56 - 45 x - 49$
$6 x^{2} + 2 x - 9$	=	$5 x^{2} + 2 x + 7$	\| $+ 9$
$6 x^{2} + 2 x$	=	$5 x^{2} + 2 x + 16$	\| $- 5 x^{2}$ $- 2 x$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 13 x + 36$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 13 x + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 13+5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 13-5}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $- 4$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 9$ |0) und N₂( $- 4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $5 x^{2} - 6 x + 7$
und
$g(x) =$ $4 x^{2} - 3 x + 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

5 x^{2} - 6 x + 7

=

4 x^{2} - 3 x + 5

|

- 4 x^{2}

+ 3 x

- 5

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $4 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1 + 5$ = $4 \cdot 1 - 3 + 5$ = $4 - 3 + 5$ = $6$

g( $2$ ) = $4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 + 5$ = $4 \cdot 4 - 6 + 5$ = $16 - 6 + 5$ = $15$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $6$ ) und S₂( $2$ | $15$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} - x + 6$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -2 und x₂ = 2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot (x - 2)$ = $- x^{2} + 4$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 4

=

- 2 x^{2} - x + 6

|

+ 2 x^{2}

+ x

- 6

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - (- 2) + 6$ = $- 2 \cdot 4 + 2 + 6$ = $- 8 + 2 + 6$ = 0

g( $1$ ) = $- 2 \cdot 1^{2} - 1 + 6$ = $- 2 \cdot 1 - 1 + 6$ = $- 2 - 1 + 6$ = $3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ |0) und S₂( $1$ | $3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)