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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 17 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 17 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{529}}{10}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{17+23}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{17-23}{10}$ = $\frac{- 6}{10}$ = $- 0,6$

L={ $- 0,6$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$19 x + 2 x^{2} + 45$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 19 x + 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 45}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 19+1}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 19-1}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 4,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ }

$3$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 x^{2} - 6 x + 6$ = $(5 x + 4) (x - 1) - 7 x + 25$

Lösung einblenden

$6 x^{2} - 6 x + 6$	=	$(5 x + 4) (x - 1) - 7 x + 25$
$6 x^{2} - 6 x + 6$	=	$5 x^{2} - x - 4 - 7 x + 25$
$6 x^{2} - 6 x + 6$	=	$5 x^{2} - 8 x + 21$	\| $- 5 x^{2}$ $+ 8 x$ $- 21$

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{19}{4} x - \frac{15}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{19}{4} x - \frac{15}{2}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{19}{4} x - \frac{15}{2})$	=	0

$4 x^{2} + 19 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 480}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{841}}{8}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{- 19+29}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = $1,25$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{- 19-29}{8}$ = $\frac{- 48}{8}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $1,25$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 6$ |0) und N₂( $1,25$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 x^{2} - 8 x + 3$
und
$g(x) =$ $3 x^{2} - 4 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

4 x^{2} - 8 x + 3

=

3 x^{2} - 4 x - 1

|

- 3 x^{2}

+ 4 x

+ 1

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 1$ = $3 \cdot 4 - 8 - 1$ = $12 - 8 - 1$ = $3$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $2$ | $3$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $13 x - 17$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -3 und x₂ = -1.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 3) \cdot (x + 1)$ = $x^{2} + 4 x + 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} + 4 x + 3

=

13 x - 17

|

- 13 x

+ 17

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $13 \cdot 4 - 17$ = $52 - 17$ = $35$

g( $5$ ) = $13 \cdot 5 - 17$ = $65 - 17$ = $48$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $4$ | $35$ ) und S₂( $5$ | $48$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)