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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 17 x - 15$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 17 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{529}}{8}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{- 17+23}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{- 17-23}{8}$ = $\frac{- 40}{8}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $0,75$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 27 x - 81$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 27 x - 81$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 81)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 + 1 296}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{2 025}}{8}$

x₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{2 025}}{8}$ = $\frac{- 27+45}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = $2,25$

x₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{2 025}}{8}$ = $\frac{- 27-45}{8}$ = $\frac{- 72}{8}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $2,25$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} - 24 x - 51$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} - 24 x - 51

= 0 |:3

$- x^{2} - 8 x - 17$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 17)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} + x - 6$ = $(2 x + 7) (x - 8) + 17 x + 40$

Lösung einblenden

$3 x^{2} + x - 6$	=	$(2 x + 7) (x - 8) + 17 x + 40$
$3 x^{2} + x - 6$	=	$2 x^{2} - 9 x - 56 + 17 x + 40$
$3 x^{2} + x - 6$	=	$2 x^{2} + 8 x - 16$	\| $- 2 x^{2}$ $- 8 x$ $+ 16$

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 5 x + \frac{29}{4}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 5 x + \frac{29}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - 5 x + \frac{29}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 20 x + 29$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 29}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 464}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{(- 64)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $5 x^{2} - 10 x + 12$
und
$g(x) =$ $4 x^{2} - 2 x - 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

5 x^{2} - 10 x + 12

=

4 x^{2} - 2 x - 4

|

- 4 x^{2}

+ 2 x

+ 4

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $4 \cdot 4^{2} - 2 \cdot 4 - 4$ = $4 \cdot 16 - 8 - 4$ = $64 - 8 - 4$ = $52$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $4$ | $52$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $4 x + 16$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -4 und x₂ = 0.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 0)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 4) \cdot (x + 0)$ = $x^{2} + 4 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^{2} + 4 x$	=	$4 x + 16$	\| $- 4 x$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $4 \cdot (- 4) + 16$ = $- 16 + 16$ = 0

g( $4$ ) = $4 \cdot 4 + 16$ = $16 + 16$ = $32$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ |0) und S₂( $4$ | $32$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)