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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$24 + 2 x^{2} + 16 x$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 16 x + 24

= 0 |:2

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{31}{4} x - 2$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{31}{4} x - 2$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{31}{4} x - 2)$	=	0

$4 x^{2} - 31 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 + 128}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{1 089}}{8}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{1 089}}{8}$ = $\frac{31+33}{8}$ = $\frac{64}{8}$ = $8$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{1 089}}{8}$ = $\frac{31-33}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

L={ $- 0,25$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 7 x - 5$ = $(4 x - 7) (x + 3) + 3 x + 22$

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 7 x - 5$	=	$(4 x - 7) (x + 3) + 3 x + 22$
$5 x^{2} + 7 x - 5$	=	$4 x^{2} + 5 x - 21 + 3 x + 22$
$5 x^{2} + 7 x - 5$	=	$4 x^{2} + 8 x + 1$	\| $- 4 x^{2}$ $- 8 x$ $- 1$

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{3}{2} x - 10$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{3}{2} x - 10$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{3}{2} x - 10)$	=	0

$2 x^{2} - 3 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{3+13}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{3-13}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

L={ $- 2,5$ ; $4$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 2,5$ |0) und N₂( $4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $6 x^{2} + 4 x$
und
$g(x) =$ $5 x^{2} + 4 x + 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$6 x^{2} + 4 x$	=	$5 x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 5 x^{2}$ $- 4 x$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $5 \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 4$ = $5 \cdot 4 - 8 + 4$ = $20 - 8 + 4$ = $16$

g( $2$ ) = $5 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 4$ = $5 \cdot 4 + 8 + 4$ = $20 + 8 + 4$ = $32$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $16$ ) und S₂( $2$ | $32$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + 9 x - 9$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 1 und x₂ = 3.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot (x - 3)$ = $- x^{2} + 4 x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 4 x - 3

=

- 2 x^{2} + 9 x - 9

|

+ 2 x^{2}

- 9 x

+ 9

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $- 2 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 - 9$ = $- 2 \cdot 4 + 18 - 9$ = $- 8 + 18 - 9$ = $1$

g( $3$ ) = $- 2 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3 - 9$ = $- 2 \cdot 9 + 27 - 9$ = $- 18 + 27 - 9$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $1$ ) und S₂( $3$ |0).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)