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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 24$ = $- 11 x$

Lösung einblenden

x^{2} + 24

=

- 11 x

|

+ 11 x

$x^{2} + 11 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 11+5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 11-5}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $- 3$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{56}{5} x + 12$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{56}{5} x + 12$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{56}{5} x + 12)$	=	0

$5 x^{2} - 56 x + 60$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 56 \pm \sqrt{{(- 56)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 60}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 56 \pm \sqrt{3 136 - 1 200}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 56 \pm \sqrt{1 936}}{10}$

x₁ = $\frac{56 + \sqrt{1 936}}{10}$ = $\frac{56+44}{10}$ = $\frac{100}{10}$ = $10$

x₂ = $\frac{56 - \sqrt{1 936}}{10}$ = $\frac{56-44}{10}$ = $\frac{12}{10}$ = $1,2$

L={ $1,2$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} - 2 x + 6$ = $(- 9 x + 8) (x + 7) + 54 x - 30$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} - 2 x + 6$	=	$(- 9 x + 8) (x + 7) + 54 x - 30$
$- 8 x^{2} - 2 x + 6$	=	$- 9 x^{2} - 55 x + 56 + 54 x - 30$
$- 8 x^{2} - 2 x + 6$	=	$- 9 x^{2} - x + 26$	\| $+ 9 x^{2}$ $+ x$ $- 26$

$x^{2} - x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{25}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{25}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{25}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 15 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 25}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{15+5}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{15-5}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

L={ $2,5$ ; $5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $2,5$ |0) und N₂( $5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 x^{2} - 4 x$
und
$g(x) =$ $- 4 x^{2} - 2 x + 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 3 x^{2} - 4 x

=

- 4 x^{2} - 2 x + 3

|

+ 4 x^{2}

+ 2 x

- 3

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- 4 \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) + 3$ = $- 4 \cdot 1 + 2 + 3$ = $- 4 + 2 + 3$ = $1$

g( $3$ ) = $- 4 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 + 3$ = $- 4 \cdot 9 - 6 + 3$ = $- 36 - 6 + 3$ = $- 39$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $1$ ) und S₂( $3$ | $- 39$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + 15 x - 25$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 1 und x₂ = 5.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 5)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot (x - 5)$ = $- x^{2} + 6 x - 5$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 6 x - 5

=

- 2 x^{2} + 15 x - 25

|

+ 2 x^{2}

- 15 x

+ 25

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $- 2 \cdot 4^{2} + 15 \cdot 4 - 25$ = $- 2 \cdot 16 + 60 - 25$ = $- 32 + 60 - 25$ = $3$

g( $5$ ) = $- 2 \cdot 5^{2} + 15 \cdot 5 - 25$ = $- 2 \cdot 25 + 75 - 25$ = $- 50 + 75 - 25$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $4$ | $3$ ) und S₂( $5$ |0).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)