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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 20 x + 101$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 20 x + 101$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 101}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 404}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x - 18 + 2 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 9 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 9+15}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 9-15}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $1,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{35}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{35}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{35}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 9 x - 35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 280}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 9+19}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 9-19}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $2,5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + x - 9$ = $(4 x + 8) (x - 5) + 21 x + 16$

Lösung einblenden

$5 x^{2} + x - 9$	=	$(4 x + 8) (x - 5) + 21 x + 16$
$5 x^{2} + x - 9$	=	$4 x^{2} - 12 x - 40 + 21 x + 16$
$5 x^{2} + x - 9$	=	$4 x^{2} + 9 x - 24$	\| $- 4 x^{2}$ $- 9 x$ $+ 24$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 20 x - 50$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

- 2 x^{2} + 20 x - 50

= 0 |:2

$- x^{2} + 10 x - 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 25)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 x^{2} + 7 x + 15$
und
$g(x) =$ $- 4 x^{2} - x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 3 x^{2} + 7 x + 15

=

- 4 x^{2} - x - 1

|

+ 4 x^{2}

+ x

+ 1

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 4 \cdot {(- 4)}^{2} - (- 4) - 1$ = $- 4 \cdot 16 + 4 - 1$ = $- 64 + 4 - 1$ = $- 61$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 4$ | $- 61$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 3 x + 12$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 0 und x₂ = 2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 0) \cdot (x - 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 0) \cdot (x - 2)$ = $x^{2} - 2 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} - 2 x

=

- 3 x + 12

|

+ 3 x

- 12

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 3 \cdot (- 4) + 12$ = $12 + 12$ = $24$

g( $3$ ) = $- 3 \cdot 3 + 12$ = $- 9 + 12$ = $3$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $24$ ) und S₂( $3$ | $3$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)