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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{2}$ = $6$

L={ $6$ }

$6$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 7 - 2 x$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 2 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{10}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{10}$ = $\frac{2+12}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{10}$ = $\frac{2-12}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $1,4$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + 10 x - 26$ = 0

Lösung einblenden

$- x^{2} + 10 x - 26$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 26)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 104}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 x^{2} - 5 x - 7$ = $(5 x + 9) (x + 5) - 39 x - 36$

Lösung einblenden

$6 x^{2} - 5 x - 7$	=	$(5 x + 9) (x + 5) - 39 x - 36$
$6 x^{2} - 5 x - 7$	=	$5 x^{2} + 34 x + 45 - 39 x - 36$
$6 x^{2} - 5 x - 7$	=	$5 x^{2} - 5 x + 9$	\| $+ 7$
$6 x^{2} - 5 x$	=	$5 x^{2} - 5 x + 16$	\| $- 5 x^{2}$ $+ 5 x$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 9 x + 18$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 9 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 9+3}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 9-3}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $- 3$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 6$ |0) und N₂( $- 3$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 4 x + 3$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} - x - 3$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} + 4 x + 3

=

- 3 x^{2} - x - 3

|

+ 3 x^{2}

+ x

+ 3

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 3 \cdot {(- 3)}^{2} - (- 3) - 3$ = $- 3 \cdot 9 + 3 - 3$ = $- 27 + 3 - 3$ = $- 27$

g( $- 2$ ) = $- 3 \cdot {(- 2)}^{2} - (- 2) - 3$ = $- 3 \cdot 4 + 2 - 3$ = $- 12 + 2 - 3$ = $- 13$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- 27$ ) und S₂( $- 2$ | $- 13$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} + 6 x + 12$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = 1 und x₂ = 3.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot (x - 3)$ = $- x^{2} + 4 x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 4 x - 3

=

- 2 x^{2} + 6 x + 12

|

+ 2 x^{2}

- 6 x

- 12

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 2 \cdot {(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 12$ = $- 2 \cdot 9 - 18 + 12$ = $- 18 - 18 + 12$ = $- 24$

g( $5$ ) = $- 2 \cdot 5^{2} + 6 \cdot 5 + 12$ = $- 2 \cdot 25 + 30 + 12$ = $- 50 + 30 + 12$ = $- 8$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- 24$ ) und S₂( $5$ | $- 8$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)