Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$21 x + 2 x^{2} + 27$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 21 x + 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 27}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 216}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 21+15}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 21-15}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $- 1,5$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{26}{5} x - \frac{63}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{26}{5} x - \frac{63}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{26}{5} x - \frac{63}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 26 x - 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{26^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{676 + 1 260}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{1 936}}{10}$

x₁ = $\frac{- 26 + \sqrt{1 936}}{10}$ = $\frac{- 26+44}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = $1,8$

x₂ = $\frac{- 26 - \sqrt{1 936}}{10}$ = $\frac{- 26-44}{10}$ = $\frac{- 70}{10}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $1,8$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 x^{2} + 7 x - 7$ = $(5 x + 1) (x - 6) + 43 x - 11$

Lösung einblenden

$6 x^{2} + 7 x - 7$	=	$(5 x + 1) (x - 6) + 43 x - 11$
$6 x^{2} + 7 x - 7$	=	$5 x^{2} - 29 x - 6 + 43 x - 11$
$6 x^{2} + 7 x - 7$	=	$5 x^{2} + 14 x - 17$	\| $- 5 x^{2}$ $- 14 x$ $+ 17$

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 10 x + 25$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $- 5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} - 12 x + 23$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} - 2 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} - 12 x + 23

=

- 3 x^{2} - 2 x - 2

|

+ 3 x^{2}

+ 2 x

+ 2

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $5$ ) = $- 3 \cdot 5^{2} - 2 \cdot 5 - 2$ = $- 3 \cdot 25 - 10 - 2$ = $- 75 - 10 - 2$ = $- 87$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $5$ | $- 87$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} - 3 x - 10$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -4 und x₂ = -2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 4) \cdot (x + 2)$ = $- x^{2} - 6 x - 8$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} - 6 x - 8

=

- 2 x^{2} - 3 x - 10

|

+ 2 x^{2}

+ 3 x

+ 10

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $- 2 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1 - 10$ = $- 2 \cdot 1 - 3 - 10$ = $- 2 - 3 - 10$ = $- 15$

g( $2$ ) = $- 2 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 10$ = $- 2 \cdot 4 - 6 - 10$ = $- 8 - 6 - 10$ = $- 24$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $- 15$ ) und S₂( $2$ | $- 24$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)