Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - x - 45$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - x - 45$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 360}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{1+19}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{1-19}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

L={ $- 4,5$ ; $5$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 26 - 10 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 10 x + 26$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 14 x + 60$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} + 14 x + 60

= 0 |:2

$- x^{2} + 7 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 30}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{169}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{- 7+13}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{- 7-13}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

L={ $- 3$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} + 2 x + 7$ = $(- 5 x - 4) (x + 8) + 50 x + 44$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} + 2 x + 7$	=	$(- 5 x - 4) (x + 8) + 50 x + 44$
$- 4 x^{2} + 2 x + 7$	=	$- 5 x^{2} - 44 x - 32 + 50 x + 44$
$- 4 x^{2} + 2 x + 7$	=	$- 5 x^{2} + 6 x + 12$	\| $+ 5 x^{2}$ $- 6 x$ $- 12$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $5$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 5 x - 36$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + 5 x - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5+13}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5-13}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $4$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 9$ |0) und N₂( $4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} - x - 15$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} + 2 x - 5$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} - x - 15

=

2 x^{2} + 2 x - 5

|

- 2 x^{2}

- 2 x

+ 5

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $2 \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) - 5$ = $2 \cdot 4 - 4 - 5$ = $8 - 4 - 5$ = $- 1$

g( $5$ ) = $2 \cdot 5^{2} + 2 \cdot 5 - 5$ = $2 \cdot 25 + 10 - 5$ = $50 + 10 - 5$ = $55$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ | $- 1$ ) und S₂( $5$ | $55$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} - 2 x + 4$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -2 und x₂ = 0.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x + 0)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot (x + 0)$ = $- x^{2} - 2 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- x^{2} - 2 x$	=	$- 2 x^{2} - 2 x + 4$	\| $+ 2 x^{2}$ $+ 2 x$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2) + 4$ = $- 2 \cdot 4 + 4 + 4$ = $- 8 + 4 + 4$ = 0

g( $2$ ) = $- 2 \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 + 4$ = $- 2 \cdot 4 - 4 + 4$ = $- 8 - 4 + 4$ = $- 8$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 2$ |0) und S₂( $2$ | $- 8$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)