$x^2+6x+8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·1·8}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{-6+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

x₂ = $\frac{-6-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$; $-2$}

$4x^2+28x+49$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-28\pm \sqrt{{28}^2-4·4·49}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{-28\pm \sqrt{784-784}}{8}$

x_1,2 = $\frac{-28\pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-28}{8}$ = $-\frac{7}{2}$

L={ $-\frac{7}{2}$}

$-\frac{7}{2}$ ist 2-fache Lösung!

$2x^2+13x-7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-13\pm \sqrt{{13}^2-4·2·\left(-7\right)}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{-13\pm \sqrt{169+56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{-13\pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{-13+\sqrt{225}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>13</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>15</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{4}$ = $\mathrm{0,5}$

x₂ = $\frac{-13-\sqrt{225}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>13</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>15</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-28}{4}$ = $-7$

L={ $-7$; $\mathrm{0,5}$}

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-5$; 0}

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$-x^2+12x-20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-12\pm \sqrt{{12}^2-4·\left(-1\right)·\left(-20\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-12\pm \sqrt{144-80}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-12\pm \sqrt{64}}{-2}$

x₁ = $\frac{-12+\sqrt{64}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>12</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-12-\sqrt{64}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>12</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-20}{-2}$ = $10$

L={ $2$; $10$}

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $2$|0) und N₂( $10$|0).

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$x^2+8x+16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·1·16}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

L={ $-4$}

$-4$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-4$) = $2\cdot {\left(-4\right)}^2+4\cdot \left(-4\right)-2$ = $2\cdot 16-16-2$ = $32-16-2$ = $14$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $-4$| $14$).

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -4 und x₂ = -2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $\text{f(x)}=$ $a·\left(x+4\right)·\left(x+2\right)$.

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$\text{f(x)}=$ $-\left(x+4\right)·\left(x+2\right)$ = $-x^2-6x-8$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

L={ $-5$; $5$}

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $-5$) = $-2\cdot {\left(-5\right)}^2-6\cdot \left(-5\right)+17$ = $-2\cdot 25+30+17$ = $-50+30+17$ = $-3$

g( $5$) = $-2\cdot 5^2-6\cdot 5+17$ = $-2\cdot 25-30+17$ = $-50-30+17$ = $-63$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $-5$| $-3$) und S₂( $5$| $-63$).