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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 81$ = 0

$x^{2} - 81$	=	0	\| $+ 81$
$x^{2}$	=	$81$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{81}$	= $- 9$
x₂	=	$\sqrt{81}$	= $9$

L={ $- 9$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 16 + 8 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{5}{2} x + 1$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{5}{2} x + 1$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{5}{2} x + 1)$	=	0

$2 x^{2} - 5 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{5+3}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{5-3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

L={ $0,5$ ; $2$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} + 3 x + 2$ = $(- 9 x - 2) (x + 4) + 47 x + 2$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} + 3 x + 2$	=	$(- 9 x - 2) (x + 4) + 47 x + 2$
$- 8 x^{2} + 3 x + 2$	=	$- 9 x^{2} - 38 x - 8 + 47 x + 2$
$- 8 x^{2} + 3 x + 2$	=	$- 9 x^{2} + 9 x - 6$	\| $+ 9 x^{2}$ $- 9 x$ $+ 6$

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $4$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{17}{2} x + 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - \frac{17}{2} x + 4$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{17}{2} x + 4)$	=	0

$2 x^{2} - 17 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 8}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{17+15}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{17-15}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

L={ $0,5$ ; $8$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $0,5$ |0) und N₂( $8$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} + 7 x - 5$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} + 5 x - 2$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} + 7 x - 5

=

2 x^{2} + 5 x - 2

|

- 2 x^{2}

- 5 x

+ 2

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $2 \cdot {(- 3)}^{2} + 5 \cdot (- 3) - 2$ = $2 \cdot 9 - 15 - 2$ = $18 - 15 - 2$ = $1$

g( $1$ ) = $2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 2$ = $2 \cdot 1 + 5 - 2$ = $2 + 5 - 2$ = $5$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $1$ ) und S₂( $1$ | $5$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x + 10$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -2 und x₂ = 0.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x + 0)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $(x + 2) \cdot (x + 0)$ = $x^{2} + 2 x$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x^{2} + 2 x

=

- x + 10

|

+ x

- 10

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- (- 5) + 10$ = $5 + 10$ = $15$

g( $2$ ) = $- 2 + 10$ = $8$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 5$ | $15$ ) und S₂( $2$ | $8$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)