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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 36 x + 82$ = 0

4 x^{2} + 36 x + 82

= 0 |:2

$2 x^{2} + 18 x + 41$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 41}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 328}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{(- 4)}}{4}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 10 x + 2 x^{2}$ = $- 8$

Lösung einblenden

2 x^{2} - 10 x

=

- 8

|

+ 8

2 x^{2} - 10 x + 8

= 0 |:2

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{1}{4} x - \frac{3}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{1}{4} x - \frac{3}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{1}{4} x - \frac{3}{4})$	=	0

$4 x^{2} - x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{8}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{1+7}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{1-7}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

L={ $- 0,75$ ; $1$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} + x - 7$ = $(2 x - 2) (x + 2) - 4 x + 1$

Lösung einblenden

$3 x^{2} + x - 7$	=	$(2 x - 2) (x + 2) - 4 x + 1$
$3 x^{2} + x - 7$	=	$2 x^{2} + 2 x - 4 - 4 x + 1$
$3 x^{2} + x - 7$	=	$2 x^{2} - 2 x - 3$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 2 x$ $+ 3$

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $1$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 36 x + 164$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

2 x^{2} + 36 x + 164

= 0 |:2

$x^{2} + 18 x + 82$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 82}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 328}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Es gibt also keine Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- x^{2} - 4 x - 21$
und
$g(x) =$ $- 2 x^{2} - 3 x - 1$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} - 4 x - 21

=

- 2 x^{2} - 3 x - 1

|

+ 2 x^{2}

+ 3 x

+ 1

$x^{2} - x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $- 2 \cdot {(- 4)}^{2} - 3 \cdot (- 4) - 1$ = $- 2 \cdot 16 + 12 - 1$ = $- 32 + 12 - 1$ = $- 21$

g( $5$ ) = $- 2 \cdot 5^{2} - 3 \cdot 5 - 1$ = $- 2 \cdot 25 - 15 - 1$ = $- 50 - 15 - 1$ = $- 66$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $- 21$ ) und S₂( $5$ | $- 66$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Normalparabel der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- 2 x^{2} - x + 10$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort die Nullstellen der Normalparabel bei x₁ = -2 und x₂ = 2.

Der faktorisierte Funktionsterm von f ist also $f(x) =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$ .

Da es sich aber um eine Normalparabel handelt, muss das a=1 oder a=-1 sein. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt also
$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot (x - 2)$ = $- x^{2} + 4$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x^{2} + 4

=

- 2 x^{2} - x + 10

|

+ 2 x^{2}

+ x

- 10

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- 2 \cdot {(- 3)}^{2} - (- 3) + 10$ = $- 2 \cdot 9 + 3 + 10$ = $- 18 + 3 + 10$ = $- 5$

g( $2$ ) = $- 2 \cdot 2^{2} - 2 + 10$ = $- 2 \cdot 4 - 2 + 10$ = $- 8 - 2 + 10$ = 0

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $- 5$ ) und S₂( $2$ |0).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)