Aufgabenbeispiele von Tests
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Hypothesen-Test linksseitig
Beispiel:
Ein Großhändler beklagt sich, dass gelieferte LED-Leuchtmittel mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,09 bereits nach wenigen Stunden defekt werden. Die herstellende Firma glaubt das nicht und hält die Ausschussquote für viel geringer. Deswegen führt sie einen Test mit 81 Leuchtmitteln durch. Als Signifikanzniveau für diesen Test wird 5% festgelegt. In welchem Bereich muss die Anzahl der defekten LED-Leuchtmittel liegen, damit die Firma die Aussage des Großhändlers widerlegt? Wie hoch bleibt die Irrtumswahrscheinlichkeit?
| k | P(X≤k) |
|---|---|
| 0 | 0.0005 |
| 1 | 0.0043 |
| 2 | 0.0196 |
| 3 | 0.0593 |
| 4 | 0.1359 |
| 5 | 0.2526 |
| 6 | 0.3987 |
| ... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.09 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.09 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(81,0.09,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 2 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.09 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.09 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0196 =1.96% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Ablehnungsbereich von H0: [0;2]
Annahmebereich von H0: [3;81]
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;2], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Annahmebereich von H0: [3;81], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Hypothesen-Test rechtseitig
Beispiel:
Die Kursstufenschüler Maxi und Noah verbringen ihr Pausen leidenschaftlich gerne mit einem Bäckertüten-Mülleimer-Contest. Dabei geht es darum, eine zusammengeknüllte Bäckertüte in den an der entferntesten Ecke stehenden Mülleimer zu treffen. Der interessiert zuschauende Mathelehrer rät ihnen doch etwas näher an den Mülleimer ran zu gehen, weil sie eh höchstens jedes zehnte mal treffen. Empfindlich in ihre Macho-Ehre verletzt, beschließen sie darauf hin ein Test mit 77 Würfen durchzuführen, der die absurd niedrige vom Lehrer behauptete Trefferquote auf einem Signifikanzniveau von 5% widerlegen soll. In welchem Bereich müsste die Trefferzahl liegen, um über den Mathelehrer zu triumphieren zu können?
| k | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 7 | 0.4902 |
| 8 | 0.6367 |
| 9 | 0.7615 |
| 10 | 0.8558 |
| 11 | 0.9196 |
| 12 | 0.9586 |
| 13 | 0.9803 |
| 14 | 0.9913 |
| 15 | 0.9964 |
| 16 | 0.9986 |
| ... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.1 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.1 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Das heißt, dass der Annahmebereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(77,0.1,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 12 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.
Annahmebereich von H0: [0;12]
Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 13 Treffern beginnt.
Ablehnungsbereich von H0: [13;77]
Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.1 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.1 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0414 =4.14% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [13;77], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Annahmebereich von H0: [0;12], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Hypothesen-Test rechtseitig
Beispiel:
Mandy und Sandy, zwei D-Promis, treffen sich im australischen Dschungel. Mandy behauptet, dass höchstens 90% aller Deutschen Sandy kennen würden. Das möchte aber Sandy nicht wahrhaben und möchte einen Hypothesentest, der Mandys H0: "Höchstens 90% aller Deutschen kennen Sandy" verwirft. Dazu werden 48 Personen befragt. Als Signifikanzniveau - was auch immer Mandy und Sandy darunter verstehen - wird 5% ausgemacht. In welchem Intervall muss nun die Anzahl der Personen liegen, die Sandy kennen, damit sie Mandys Nullhypothese verwerfen kann? Gib die Irrtumswahrscheinlichkeit an.
| k | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 41 | 0.2 |
| 42 | 0.3469 |
| 43 | 0.5314 |
| 44 | 0.7201 |
| 45 | 0.8711 |
| 46 | 0.9597 |
| 47 | 0.9936 |
| 48 | 1 |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.9 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.9 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Das heißt, dass der Annahmebereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(48,0.9,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 46 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.
Annahmebereich von H0: [0;46]
Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 47 Treffern beginnt.
Ablehnungsbereich von H0: [47;48]
Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.9 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.9 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0403 =4.03% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [47;48], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Annahmebereich von H0: [0;46], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Fehler 2. Art
Beispiel:
Eine Pharmafirma behauptet, dass durch eine Verbesserung der Rezeptur die Nebenwirkungen eines Medikament unter p=0,1 gesunken ist. Um dies nachzuweisen, soll ein 91-stufiger Test mit einer maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% durchgeführt werden.
a) In welchem Intervall muss hierfür die Anzahl der Nebenwirkungen liegen?
b) In Wirklichkeit liegt die Wahrscheinlickeit für Nebenwirkungen bei p=0,05. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der Nebenwirkungen nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?
| k | P(X≤k) |
|---|---|
| 0 | 0.0001 |
| 1 | 0.0008 |
| 2 | 0.0042 |
| 3 | 0.0157 |
| 4 | 0.0436 |
| 5 | 0.0976 |
| 6 | 0.1836 |
| 7 | 0.2996 |
| 8 | 0.4349 |
| ... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.1 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.1 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(91,0.1,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 4 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.1 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.1 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0436 =4.36% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Ablehnungsbereich von H0: [0;4]
Annahmebereich von H0: [5;91]
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;4], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Annahmebereich von H0: [5;91], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p=0.1 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.05 ist.
Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 5 bis 91, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.
Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.05) beträgt nun: =1- ≈ 1-0.52 ≈ 0.48
Mit 48% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.
