Aufgabenbeispiele von Tests
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Hypothesen-Test linksseitig
Beispiel:
Durch einen Test soll statistisch belegt werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p< 0,3 ist. Dazu soll die Nullhypothese H0: p=0,3 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=52 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen.
In welchem Bereich muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
4 | 0.0001 |
5 | 0.0004 |
6 | 0.0015 |
7 | 0.0047 |
8 | 0.0122 |
9 | 0.028 |
10 | 0.0572 |
11 | 0.1049 |
12 | 0.1747 |
13 | 0.2668 |
... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.3 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.3 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(52,0.3,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 9 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.3 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.3 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.028 =2.8% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Ablehnungsbereich von H0: [0;9]
Annahmebereich von H0: [10;52]
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;9], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Annahmebereich von H0: [10;52], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Hypothesen-Test rechtseitig
Beispiel:
Mandy und Sandy, zwei D-Promis, treffen sich im australischen Dschungel. Mandy behauptet, dass höchstens 20% aller Deutschen Sandy kennen würden. Das möchte aber Sandy nicht wahrhaben und möchte einen Hypothesentest, der Mandys H0: "Höchstens 20% aller Deutschen kennen Sandy" verwirft. Dazu werden 49 Personen befragt. Als Signifikanzniveau - was auch immer Mandy und Sandy darunter verstehen - wird 5% ausgemacht. In welchem Intervall muss nun die Anzahl der Personen liegen, die Sandy kennen, damit sie Mandys Nullhypothese verwerfen kann? Gib die Irrtumswahrscheinlichkeit an.
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
10 | 0.6115 |
11 | 0.7355 |
12 | 0.8336 |
13 | 0.9034 |
14 | 0.9483 |
15 | 0.9744 |
16 | 0.9883 |
17 | 0.9951 |
18 | 0.9981 |
19 | 0.9993 |
... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.2 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.2 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Das heißt, dass der Annahmebereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(49,0.2,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 15 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.
Annahmebereich von H0: [0;15]
Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 16 Treffern beginnt.
Ablehnungsbereich von H0: [16;49]
Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.2 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.2 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0256 =2.56% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [16;49], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Annahmebereich von H0: [0;15], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Hypothesen-Test rechtseitig
Beispiel:
Durch einen Test soll statistisch belegt werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p> 0,35 ist. Dazu soll die Nullhypothese H0: p=0,35 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=66 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen.
In welchem Bereich muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
25 | 0.7346 |
26 | 0.8107 |
27 | 0.8713 |
28 | 0.9168 |
29 | 0.9489 |
30 | 0.9702 |
31 | 0.9835 |
32 | 0.9914 |
33 | 0.9957 |
34 | 0.998 |
... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.35 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.35 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Das heißt, dass der Annahmebereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(66,0.35,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 30 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.
Annahmebereich von H0: [0;30]
Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 31 Treffern beginnt.
Ablehnungsbereich von H0: [31;66]
Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.35 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.35 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0298 =2.98% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [31;66], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Annahmebereich von H0: [0;30], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Fehler 2. Art
Beispiel:
Ein spielsüchtiger 12-Klässler möchte nachweisen, dass ein bestimmter Würfel gezinkt ist und zu selten eine 6 kommt. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 77 Würfen und einem Signifikanzniveau von 5%.
a) In welchem Bereich muss die Anzahl der 6er liegen, damit er die Spielbank verklagen kann.
b) In Wirklichkeit ist der Würfel tatsächlich manipuliert und würfelt nur mit der Wahrscheinlichkeit von 10% eine sechs. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der Sechsen nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
2 | 0.0001 |
3 | 0.0006 |
4 | 0.0023 |
5 | 0.0074 |
6 | 0.0195 |
7 | 0.0441 |
8 | 0.0872 |
9 | 0.1533 |
10 | 0.2431 |
11 | 0.3526 |
... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p< ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(77,,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 7 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p= so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p< als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0441 =4.41% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Ablehnungsbereich von H0: [0;7]
Annahmebereich von H0: [8;77]
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;7], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Annahmebereich von H0: [8;77], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p= falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.1 ist.
Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 8 bis 77, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.
Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.1) beträgt nun: =1- ≈ 1-0.4902 ≈ 0.5098
Mit 50.98% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.