Aufgabenbeispiele von Tests
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Hypothesen-Test linksseitig
Beispiel:
Durch einen Test soll statistisch belegt werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p< 0,65 ist. Dazu soll die Nullhypothese H0: p=0,65 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=83 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 0,1% betragen.
In welchem Bereich muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
34 | 0 |
35 | 0 |
36 | 0 |
37 | 0.0001 |
38 | 0.0003 |
39 | 0.0006 |
40 | 0.0012 |
41 | 0.0025 |
42 | 0.0049 |
43 | 0.009 |
... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.65 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.65 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(83,0.65,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 39 weniger als 0.1% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.65 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.65 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0006 =0.06% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Ablehnungsbereich von H0: [0;39]
Annahmebereich von H0: [40;83]
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;39], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Annahmebereich von H0: [40;83], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Hypothesen-Test rechtseitig
Beispiel:
An einem Roulettetisch fällt die Kugel auffallend oft auf die (so selten gesetzte) grüne Null. Ein spielsüchtiger 12-Klässler bezweifelt deswegen, dass diese tatsächlich die angegebene Wahrscheinlichkeit von p=1/37 hat. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 99 Würfen und einem Signifikanzniveau von 5%. In welchem Bereich muss die Häufigkeit der grünen Null liegen, damit er nachweisen kann, dass deren tatsächliche Wahrscheinlichkeit über 1/37 liegt. Wie hoch ist dann die Irrtumswahrscheinlichkeit?
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
1 | 0.2489 |
2 | 0.4973 |
3 | 0.7204 |
4 | 0.8692 |
5 | 0.9477 |
6 | 0.9819 |
7 | 0.9945 |
8 | 0.9985 |
9 | 0.9996 |
10 | 0.9999 |
... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 137 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>137 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Das heißt, dass der Annahmebereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.05= 0.95 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(99,137,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 6 erstmals mindestens 95% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.
Annahmebereich von H0: [0;6]
Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 7 Treffern beginnt.
Ablehnungsbereich von H0: [7;99]
Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=137 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>137 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0181 =1.81% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [7;99], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Annahmebereich von H0: [0;6], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Hypothesen-Test linksseitig
Beispiel:
Ein spielsüchtiger 12-Klässler möchte nachweisen, dass ein bestimmter Würfel gezinkt ist und zu selten eine 6 kommt. Dazu macht er einen Signifikanztest mit 69 Würfen und einem Signifikanzniveau von 5%. In welchem Bereich muss die Anzahl der 6er liegen, damit er die Spielbank verklagen kann. Wie hoch ist dann die Irrtumswahrscheinlichkeit?
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
1 | 0.0001 |
2 | 0.0004 |
3 | 0.0018 |
4 | 0.0066 |
5 | 0.0189 |
6 | 0.0453 |
7 | 0.0928 |
8 | 0.1665 |
9 | 0.2663 |
10 | 0.386 |
... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 16 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<16 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(69,16,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 6 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=16 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<16 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0453 =4.53% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Ablehnungsbereich von H0: [0;6]
Annahmebereich von H0: [7;69]
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;6], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Annahmebereich von H0: [7;69], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Fehler 2. Art
Beispiel:
Ein Großhändler beklagt sich, dass gelieferte LED-Leuchtmittel mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,2 bereits nach wenigen Stunden defekt werden. Die herstellende Firma glaubt das nicht und hält die Ausschussquote für viel geringer. Deswegen führt sie einen Test mit 59 Leuchtmitteln durch. Als Signifikanzniveau für diesen Test wird 5% festgelegt.
a) In welchem Bereich muss die Anzahl der defekten LED-Leuchtmittel liegen, damit die Firma die Aussage des Großhändlers widerlegt?
b) In Wirklichkeit liegt die Ausfallwahrscheinlickeit der Leuchtmittel nur bei p=0,17. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der defekten Leuchtmittel nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
1 | 0 |
2 | 0.0002 |
3 | 0.0012 |
4 | 0.0046 |
5 | 0.014 |
6 | 0.0351 |
7 | 0.0749 |
8 | 0.1398 |
9 | 0.2316 |
10 | 0.3464 |
... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.2 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.2 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(59,0.2,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 6 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.2 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.2 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0351 =3.51% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Ablehnungsbereich von H0: [0;6]
Annahmebereich von H0: [7;59]
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;6], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Annahmebereich von H0: [7;59], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p=0.2 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.17 ist.
Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 7 bis 59, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.
Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.17) beträgt nun: P590.17(X≥7)=1- P590.17(X≤6) ≈ 1-0.1059 ≈ 0.8941
Mit 89.41% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.