Aufgabenbeispiele von LGS

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 4x +5y = 43 .

Bestimme y so, dass (2|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

42 +5y = 43

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

42 +5y = 43
8 +5y = 43
5y +8 = 43 | -8
5y = 35 |:5
y = 7

Die Lösung ist somit: (2|7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -3x +3y = -33 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|-7)
denn -3⋅4 +3( - 7 ) = -12 -21 = -33

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (7|-4)
denn -3⋅7 +3( - 4 ) = -21 -12 = -33

Oder : (1|-10)
denn -3⋅1 +3( - 10 ) = -3 -30 = -33

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-y = 1 (I) -2x +3y = 3 (II)

Lösung einblenden
-y = 1 (I) -2x +3y = 3 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

-y = 1 |:(-1 )
y = -1

Als neues LGS erhält man so:

+y = -1 (I) -2x +3y = 3 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch -1 ersetzen und dann nach x auflösen:

-2x + 3 · ( -1 ) = 3
-2x -3 = 3 | +3
-2x = 6 |:(-2 )
x = -3

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

x +4y = 18 (I) 4x +3y = -6 (II)

Lösung einblenden
x +4y = 18 (I) 4x +3y = -6 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +4y = 18 | -4y
x = 18 -4y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 18 -4y ) (I) 4x +3y = -6 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 18 -4x ) ersetzen und dann nach y auflösen:

4 · ( 18 -4y ) +3y = -6
-16y +72 +3y = -6
-13y +72 = -6 | -72
-13y = -78 |:(-13 )
y = 6

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 18 -46

= 18 -24

= -6

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-x -y = 9 (I) x +5y = -33 (II)

Lösung einblenden
-x -y = 9 (I) x +5y = -33 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +5y = -33 | -5y
x = -33 -5y

Als neues LGS erhält man so:

-x -y = 9 (I) x = ( -33 -5y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( -33 -5x ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-1 · ( -33 -5y ) - y = 9
5y +33 - y = 9
4y +33 = 9 | -33
4y = -24 |:4
y = -6

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = -33 -5( -6 )

= -33 +30

= -3

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-32 = -4x -3y (I)
9( -x +3 ) = -5x -1 +2y (II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

-32 = -4x -3y (I)
9( -x +3 ) = -5x -1 +2y (II)
-32 = -4x -3y | + 32 +4x +3y (I)
-9x +27 = -5x -1 +2y | -27 +5x -2y (II)
4x +3y = 32 (I) -4x -2y = -28 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

4x +3y = 32
3y +4x = 32 | -4x
3y = 32 -4x |:3
y = 32 3 - 4 3 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 32 3 - 4 3 x ) (I) -4x -2y = -28 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 32 3 - 4 3 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-4x -2 · ( 32 3 - 4 3 x ) = -28
-4x + 8 3 x - 64 3 = -28
- 4 3 x - 64 3 = -28 |⋅ 3
3( - 4 3 x - 64 3 ) = -84
-4x -64 = -84 | +64
-4x = -20 |:(-4 )
x = 5

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 32 3 - 4 3 5

= 32 3 - 20 3

= 4

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -1y = ?

3x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

5x -1y = -10 -3 = -13

3x +2y = -6 +6 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -1y = -13

3x +2y = 0

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

3x +3y = 27 (I) 2x +3y = 22 (II)

Lösung einblenden
3x +3y = 27 (I) 2x +3y = 22 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

3x +3y = 27
3y +3x = 27 | -3x
3y = 27 -3x |:3
y = 9 - x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 9 - x ) (I) 2x +3y = 22 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 9 - x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

2x + 3 · ( 9 - x ) = 22
2x -3x +27 = 22
-x +27 = 22 | -27
-x = -5 |:(-1 )
x = 5

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 9 - 5

= 4

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 13.
Wenn man aber vom 6-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 0.
Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

x +6y = 13 (I) 6x -3y = 0 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +6y = 13 | -6y
x = 13 -6y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 13 -6y ) (I) 6x -3y = 0 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 13 -6x ) ersetzen und dann nach y auflösen:

6 · ( 13 -6y ) -3y = 0
-36y +78 -3y = 0
-39y +78 = 0 | -78
-39y = -78 |:(-39 )
y = 2

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 13 -62

= 13 -12

= 1

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 2