Aufgabenbeispiele von LGS

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -x +5y = 19 .

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

-x +55 = 19

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

-x +55 = 19
-x +25 = 19 | -25
-x = -6 |:(-1 )
x = 6

Die Lösung ist somit: (6|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 4x - y = -6 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-2)
denn 4⋅( - 2 ) -1( - 2 ) = -8 +2 = -6

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-6)
denn 4⋅( - 3 ) -1( - 6 ) = -12 +6 = -6

Oder : (-1|2)
denn 4⋅( - 1 ) -12 = -4 -2 = -6

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

4x +2y = -16 (I) -2x = 2 (II)

Lösung einblenden
4x +2y = -16 (I) -2x = 2 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

-2x = 2 |:(-2 )
x = -1

Als neues LGS erhält man so:

4x +2y = -16 (I) x = -1 (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch -1 ersetzen und dann nach y auflösen:

4 · ( -1 ) +2y = -16
-4 +2y = -16
2y -4 = -16 | +4
2y = -12 |:2
y = -6

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-2x -4y = -10 (I) 4x +y = 13 (II)

Lösung einblenden
-2x -4y = -10 (I) 4x +y = 13 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

4x + y = 13
y +4x = 13 | -4x
y = 13 -4x

Als neues LGS erhält man so:

-2x -4y = -10 (I) +y = ( 13 -4x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( 13 -4x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-2x -4 · ( 13 -4x ) = -10
-2x +16x -52 = -10
14x -52 = -10 | +52
14x = 42 |:14
x = 3

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = 13 -43

= 13 -12

= 1

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-4x +3y = -3 (I) x +y = -1 (II)

Lösung einblenden
-4x +3y = -3 (I) x +y = -1 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

x + y = -1
y + x = -1 | - x
y = -1 - x

Als neues LGS erhält man so:

-4x +3y = -3 (I) +y = ( -1 - x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( -1 - x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-4x + 3 · ( -1 - x ) = -3
-4x -3x -3 = -3
-7x -3 = -3 | +3
-7x = 0 |:(-7 )
x = 0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = -1 - ( 0 )

= -1 +0

= -1

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

- 3 2 x - 3 5 y = - 9 2 (I) -3x +y = 2 (II)

Lösung einblenden
- 3 2 x - 3 5 y = - 9 2 (I) -3x +y = 2 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

-3x + y = 2
y -3x = 2 | +3x
y = 2 +3x

Als neues LGS erhält man so:

- 3 2 x - 3 5 y = - 9 2 (I) +y = ( 2 +3x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( 2 +3x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

- 3 2 x - 3 5 · ( 2 +3x ) = - 9 2
- 3 2 x - 9 5 x - 6 5 = - 9 2
- 33 10 x - 6 5 = - 9 2 |⋅ 10
10( - 33 10 x - 6 5 ) = -45
-33x -12 = -45 | +12
-33x = -33 |:(-33 )
x = 1

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = 2 +31

= 2 +3

= 5

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -5y = ?

5x -24y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

1x -5y = 5 +10 = 15

5x -24y = 25 +48 = 73

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -5y = 15

5x -24y = 73

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

-x +4y = -11 (I) 5x -4y = -9 (II)

Lösung einblenden
-x +4y = -11 (I) 5x -4y = -9 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

-x +4y = -11 | -4y
-x = -11 -4y |:(-1 )
x = 11 +4y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 11 +4y ) (I) 5x -4y = -9 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 11 +4x ) ersetzen und dann nach y auflösen:

5 · ( 11 +4y ) -4y = -9
20y +55 -4y = -9
16y +55 = -9 | -55
16y = -64 |:16
y = -4

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 11 +4( -4 )

= 11 -16

= -5

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 27.
Wenn man aber vom 2-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -14.
Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

x +6y = 27 (I) 2x -5y = -14 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +6y = 27 | -6y
x = 27 -6y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 27 -6y ) (I) 2x -5y = -14 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 27 -6x ) ersetzen und dann nach y auflösen:

2 · ( 27 -6y ) -5y = -14
-12y +54 -5y = -14
-17y +54 = -14 | -54
-17y = -68 |:(-17 )
y = 4

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 27 -64

= 27 -24

= 3

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 4