Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$x+\left(-3\right)$ = $-5$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x+\left(-3\right)$	=	$-5$
$x-3$	=	$-5$	| $+3$
$x$	=	$-2$

Die Lösung ist somit: (-2|-3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-3)
denn -5⋅6 -4⋅( - 3 ) = -30 +12 = $-18$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|2)
denn -5⋅2 -4⋅2 = -10 -8 = $-18$

Oder : (10|-8)
denn -5⋅10 -4⋅( - 8 ) = -50 +32 = $-18$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $6$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·6-y$	=	$22$
$18-y$	=	$22$
$-y+18$	=	$22$	| $-18$
$-y$	=	$4$	|:($-1$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $17-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-4·\left(17-3x\right)$	=	$-16$
$x+12x-68$	=	$-16$
$13x-68$	=	$-16$	| $+68$
$13x$	=	$52$	|:$13$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $17-3\cdot 4$

= $17-12$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-10-3x$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-5·\left(-10-3y\right)+2y$	=	$16$
$15y+50+2y$	=	$16$
$17y+50$	=	$16$	| $-50$
$17y$	=	$-34$	|:$17$
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-10-3\cdot \left(-2\right)$

= $-10+6$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2}x+\frac{2}{5}·\left(1-3x\right)$	=	$\frac{11}{10}$
$\frac{1}{2}x-\frac{6}{5}x+\frac{2}{5}$	=	$\frac{11}{10}$
$-\frac{7}{10}x+\frac{2}{5}$	=	$\frac{11}{10}$	|⋅ 10
$10\left(-\frac{7}{10}x+\frac{2}{5}\right)$	=	$11$
$-7x+4$	=	$11$	| $-4$
$-7x$	=	$7$	|:($-7$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1-3\cdot \left(-1\right)$

= $1+3$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +1y = ?

1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-3x +1y = -15 -4 = -19

1x +2y = 5 -8 = -3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +1y = -19

1x +2y = -3

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{11}{16}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+4·\left(-\frac{11}{16}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$-3$
$-3x+3x-\frac{11}{4}$	=	$-3$
$-\frac{11}{4}$	=	$-3$	| $+\frac{11}{4}$
0	=	$-\frac{1}{4}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-65+\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-4·\left(-65+\frac{4}{5}x\right)$	=	$830$
$7x-\frac{16}{5}x+260$	=	$830$
$\frac{19}{5}x+260$	=	$830$	|⋅ 5
$5\left(\frac{19}{5}x+260\right)$	=	$4150$
$19x+1300$	=	$4150$	| $-1300$
$19x$	=	$2850$	|:$19$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-65+\frac{4}{5}\cdot 150$

= $-65+120$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (150|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55