Man setzt einfach x = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$2\cdot \left(-1\right)+5y$ = $23$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2\cdot \left(-1\right)+5y$	=	$23$
$-2+5y$	=	$23$
$5y-2$	=	$23$	| $+2$
$5y$	=	$25$	|:$5$
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (-1|5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-1)
denn 2⋅( - 3 ) +2⋅( - 1 ) = -6 -2 = $-8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-3)
denn 2⋅( - 1 ) +2⋅( - 3 ) = -2 -6 = $-8$

Oder : (-5|1)
denn 2⋅( - 5 ) +2⋅1 = -10 +2 = $-8$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+2·\left(-5\right)$	=	$-12$
$-2x-10$	=	$-12$	| $+10$
$-2x$	=	$-2$	|:($-2$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-5$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-4+2x$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-4+2y\right)+y$	=	$-19$
$-8y+16+y$	=	$-19$
$-7y+16$	=	$-19$	| $-16$
$-7y$	=	$-35$	|:($-7$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-4+2\cdot 5$

= $-4+10$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-8-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+4·\left(-8-3x\right)$	=	$-5$
$3x-12x-32$	=	$-5$
$-9x-32$	=	$-5$	| $+32$
$-9x$	=	$27$	|:($-9$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-8-3\cdot \left(-3\right)$

= $-8+9$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1+\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-\frac{2}{3}·\left(1+\frac{2}{3}x\right)$	=	$-\frac{28}{3}$
$-x-\frac{4}{9}x-\frac{2}{3}$	=	$-\frac{28}{3}$
$-\frac{13}{9}x-\frac{2}{3}$	=	$-\frac{28}{3}$	|⋅ 9
$9\left(-\frac{13}{9}x-\frac{2}{3}\right)$	=	$-84$
$-13x-6$	=	$-84$	| $+6$
$-13x$	=	$-78$	|:($-13$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $1+\frac{2}{3}\cdot 6$

= $1+4$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -5y = ?

7x -8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

4x -5y = -4 -10 = -14

7x -8y = -7 -16 = -23

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -5y = -14

7x -8y = -23

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $3-3x$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(3-3y\right)-9y$	=	$-9$
$9y-9-9y$	=	$-9$
$-9$	=	$-9$	| $+9$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $27-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+2·\left(27-x\right)$	=	$56$
$3x-2x+54$	=	$56$
$x+54$	=	$56$	| $-54$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $27-2$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (2|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25