Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$-x-3\cdot 5$ = $-13$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-x-3\cdot 5$	=	$-13$
$-x-15$	=	$-13$	| $+15$
$-x$	=	$2$	|:($-1$)
$x$	=	$-2$

Die Lösung ist somit: (-2|5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|6)
denn -3⋅( - 2 ) -5⋅6 = 6 -30 = $-24$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|9)
denn -3⋅( - 7 ) -5⋅9 = 21 -45 = $-24$

Oder : (3|3)
denn -3⋅3 -5⋅3 = -9 -15 = $-24$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·5+2y$	=	$9$
$15+2y$	=	$9$
$2y+15$	=	$9$	| $-15$
$2y$	=	$-6$	|:$2$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-15-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+4·\left(-15-2x\right)$	=	$-36$
$4x-8x-60$	=	$-36$
$-4x-60$	=	$-36$	| $+60$
$-4x$	=	$24$	|:($-4$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-15-2\cdot \left(-6\right)$

= $-15+12$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-4+2x$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-4+2y\right)-5y$	=	$17$
$-4y+8-5y$	=	$17$
$-9y+8$	=	$17$	| $-8$
$-9y$	=	$9$	|:($-9$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-4+2\cdot \left(-1\right)$

= $-4-2$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-\frac{12}{5}-\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{4}x-\frac{1}{3}·\left(-\frac{12}{5}-\frac{3}{5}x\right)$	=	$\frac{3}{4}$
$-\frac{1}{4}x+\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}$	=	$\frac{3}{4}$
$-\frac{1}{20}x+\frac{4}{5}$	=	$\frac{3}{4}$	|⋅ 20
$20\left(-\frac{1}{20}x+\frac{4}{5}\right)$	=	$15$
$-x+16$	=	$15$	| $-16$
$-x$	=	$-1$	|:($-1$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-\frac{12}{5}-\frac{3}{5}\cdot 1$

= $-\frac{12}{5}-\frac{3}{5}$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +2y = ?

5x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

4x +2y = 12 +10 = 22

5x +5y = 15 +25 = 40

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +2y = 22

5x +5y = 40

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{9}{16}-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-4·\left(-\frac{9}{16}-x\right)$	=	$3$
$-4x+4x+\frac{9}{4}$	=	$3$
$\frac{9}{4}$	=	$3$	| $-\frac{9}{4}$
0	=	$\frac{3}{4}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $33-6x$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(33-6y\right)-4y$	=	$-5$
$-30y+165-4y$	=	$-5$
$-34y+165$	=	$-5$	| $-165$
$-34y$	=	$-170$	|:($-34$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $33-6\cdot 5$

= $33-30$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 5