Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$-x+3\cdot 6$ = $21$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-x+3\cdot 6$	=	$21$
$-x+18$	=	$21$	| $-18$
$-x$	=	$3$	|:($-1$)
$x$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (-3|6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|3)
denn 4⋅( - 6 ) -3⋅3 = -24 -9 = $-33$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-9|-1)
denn 4⋅( - 9 ) -3⋅( - 1 ) = -36 +3 = $-33$

Oder : (-3|7)
denn 4⋅( - 3 ) -3⋅7 = -12 -21 = $-33$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-2·6$	=	$-3$
$-3x-12$	=	$-3$	| $+12$
$-3x$	=	$9$	|:($-3$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $12-3x$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(12-3y\right)+y$	=	$-1$
$-6y+24+y$	=	$-1$
$-5y+24$	=	$-1$	| $-24$
$-5y$	=	$-25$	|:($-5$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $12-3\cdot 5$

= $12-15$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-5+\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+4·\left(-5+\frac{5}{3}x\right)$	=	$-20$
$-5x+\frac{20}{3}x-20$	=	$-20$
$\frac{5}{3}x-20$	=	$-20$	|⋅ 3
$3\left(\frac{5}{3}x-20\right)$	=	$-60$
$5x-60$	=	$-60$	| $+60$
$5x$	=	0	|:$5$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-5+\frac{5}{3}\cdot 0$

= $-5+0$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5-\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-3·\left(5-\frac{3}{4}x\right)$	=	$-15$
$3x+\frac{9}{4}x-15$	=	$-15$
$\frac{21}{4}x-15$	=	$-15$	|⋅ 4
$4\left(\frac{21}{4}x-15\right)$	=	$-60$
$21x-60$	=	$-60$	| $+60$
$21x$	=	0	|:$21$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5-\frac{3}{4}\cdot 0$

= $5+0$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (0|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -1y = ?

-5x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-3x -1y = -6 +1 = -5

-5x -4y = -10 +4 = -6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -1y = -5

-5x -4y = -6

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{3}-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12x+12·\left(\frac{1}{3}-x\right)$	=	$4$
$12x-12x+4$	=	$4$
$4$	=	$4$	| $-4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-190+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x-5·\left(-190+\frac{3}{2}x\right)$	=	$725$
$6x-\frac{15}{2}x+950$	=	$725$
$-\frac{3}{2}x+950$	=	$725$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{3}{2}x+950\right)$	=	$1450$
$-3x+1900$	=	$1450$	| $-1900$
$-3x$	=	$-450$	|:($-3$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-190+\frac{3}{2}\cdot 150$

= $-190+225$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35