Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$4x+5\cdot 2$ = $10$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4x+5\cdot 2$	=	$10$
$4x+10$	=	$10$	| $-10$
$4x$	=	0	|:$4$
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|3)
denn 4⋅( - 4 ) -4⋅3 = -16 -12 = $-28$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|-1)
denn 4⋅( - 8 ) -4⋅( - 1 ) = -32 +4 = $-28$

Oder : (0|7)
denn 4⋅0 -4⋅7 = 0 -28 = $-28$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·3-2y$	=	$13$
$9-2y$	=	$13$
$-2y+9$	=	$13$	| $-9$
$-2y$	=	$4$	|:($-2$)
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-15-3x$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(-15-3y\right)+3y$	=	$-3$
$3y+15+3y$	=	$-3$
$6y+15$	=	$-3$	| $-15$
$6y$	=	$-18$	|:$6$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-15-3\cdot \left(-3\right)$

= $-15+9$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{25}{2}+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-2·\left(-\frac{25}{2}+\frac{3}{2}x\right)$	=	$30$
$4x-3x+25$	=	$30$
$x+25$	=	$30$	| $-25$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{25}{2}+\frac{3}{2}\cdot 5$

= $-\frac{25}{2}+\frac{15}{2}$

= $-\mathrm{12,5}+\mathrm{7,5}$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-4+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+2·\left(-4+x\right)$	=	$-22$
$5x+2x-8$	=	$-22$
$7x-8$	=	$-22$	| $+8$
$7x$	=	$-14$	|:$7$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-4-2$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -1y = ?

-5x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-4x -1y = -20 -3 = -23

-5x -2y = -25 -6 = -31

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -1y = -23

-5x -2y = -31

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-3·\left(-1+\frac{3}{4}x\right)$	=	$3$
$-3x-\frac{9}{4}x+3$	=	$3$
$-\frac{21}{4}x+3$	=	$3$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{21}{4}x+3\right)$	=	$12$
$-21x+12$	=	$12$	| $-12$
$-21x$	=	0	|:($-21$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-1+\frac{3}{4}\cdot \left(0\right)$

= $-1+0$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-1)

Wir bezeichnen x als kg-Preis der Äpfel und y als kg-Preis der Birnen und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{9}{2}-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+5·\left(\frac{9}{2}-x\right)$	=	$16.5$
$2x-5x+\frac{45}{2}$	=	$16.5$
$-3x+\frac{45}{2}$	=	$\mathrm{16,5}$	|⋅ 2
$2\left(-3x+\frac{45}{2}\right)$	=	$33$
$-6x+45$	=	$33$	| $-45$
$-6x$	=	$-12$	|:($-6$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{9}{2}-2$

= $\mathrm{4,5}-2$

also

y = 2.5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2.5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kg-Preis der Äpfel (x-Wert): 2

kg-Preis der Birnen (y-Wert): 2.5