Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$-5x-\left(-2\right)$ = $-8$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-5x-\left(-2\right)$	=	$-8$
$-5x+2$	=	$-8$	| $-2$
$-5x$	=	$-10$	|:($-5$)
$x$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (2|-2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-2)
denn -5⋅6 +1⋅( - 2 ) = -30 -2 = $-32$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (7|3)
denn -5⋅7 +1⋅3 = -35 +3 = $-32$

Oder : (5|-7)
denn -5⋅5 +1⋅( - 7 ) = -25 -7 = $-32$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $-2$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-3·\left(-2\right)$	=	$-3$
$3x+6$	=	$-3$	| $-6$
$3x$	=	$-9$	|:$3$
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $10-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+3·\left(10-4x\right)$	=	$-18$
$-4x-12x+30$	=	$-18$
$-16x+30$	=	$-18$	| $-30$
$-16x$	=	$-48$	|:($-16$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $10-4\cdot 3$

= $10-12$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-3-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+1·\left(-3-x\right)$	=	$-1$
$3x-x-3$	=	$-1$
$2x-3$	=	$-1$	| $+3$
$2x$	=	$2$	|:$2$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-3-1$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-4)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{32}{5}+\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+5·\left(\frac{32}{5}+\frac{2}{5}x\right)$	=	$8$
$2x+2x+32$	=	$8$
$4x+32$	=	$8$	| $-32$
$4x$	=	$-24$	|:$4$
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{32}{5}+\frac{2}{5}\cdot \left(-6\right)$

= $\frac{32}{5}-\frac{12}{5}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -4y = ?

-4x -14y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-1x -4y = -5 +4 = -1

-4x -14y = -20 +14 = -6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -4y = -1

-4x -14y = -6

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+8·\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$-4$
$4x-4x-4$	=	$-4$
$-4$	=	$-4$	| $+4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{125}{2}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-5·\left(-\frac{125}{2}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$50$
$2x-\frac{15}{4}x+\frac{625}{2}$	=	$50$
$-\frac{7}{4}x+\frac{625}{2}$	=	$50$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{7}{4}x+\frac{625}{2}\right)$	=	$200$
$-7x+1250$	=	$200$	| $-1250$
$-7x$	=	$-1050$	|:($-7$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{125}{2}+\frac{3}{4}\cdot 150$

= $-\frac{125}{2}+\frac{225}{2}$

= $-\mathrm{62,5}+\mathrm{112,5}$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (150|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50