Aufgabenbeispiele von LGS

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -x -3y = 18 .

Bestimme y so, dass (-3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -3 in die Gleichung ein und erhält:

-( -3 ) -3y = 18

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

-( -3 ) -3y = 18
3 -3y = 18
-3y +3 = 18 | -3
-3y = 15 |:(-3 )
y = -5

Die Lösung ist somit: (-3|-5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 4x -5y = -18 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|2)
denn 4⋅( - 2 ) -52 = -8 -10 = -18

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|-2)
denn 4⋅( - 7 ) -5( - 2 ) = -28 +10 = -18

Oder : (3|6)
denn 4⋅3 -56 = 12 -30 = -18

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-3x +y = -12 (I) +2y = -6 (II)

Lösung einblenden
-3x +y = -12 (I) +2y = -6 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

2y = -6 |:2
y = -3

Als neues LGS erhält man so:

-3x +y = -12 (I) +y = -3 (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch -3 ersetzen und dann nach x auflösen:

-3x + 1 · ( -3 ) = -12
-3x -3 = -12 | +3
-3x = -9 |:(-3 )
x = 3

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-4x +y = -26 (I) x +4y = -19 (II)

Lösung einblenden
-4x +y = -26 (I) x +4y = -19 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +4y = -19 | -4y
x = -19 -4y

Als neues LGS erhält man so:

-4x +y = -26 (I) x = ( -19 -4y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( -19 -4x ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-4 · ( -19 -4y ) + y = -26
16y +76 + y = -26
17y +76 = -26 | -76
17y = -102 |:17
y = -6

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = -19 -4( -6 )

= -19 +24

= 5

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-x +4y = -14 (I) x +4y = -10 (II)

Lösung einblenden
-x +4y = -14 (I) x +4y = -10 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +4y = -10 | -4y
x = -10 -4y

Als neues LGS erhält man so:

-x +4y = -14 (I) x = ( -10 -4y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( -10 -4x ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-1 · ( -10 -4y ) +4y = -14
4y +10 +4y = -14
8y +10 = -14 | -10
8y = -24 |:8
y = -3

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = -10 -4( -3 )

= -10 +12

= 2

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

2x +17 - y = 2 (I)
0 = -2x +5( -7 + y) (II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

2x +17 - y = 2 (I)
0 = -2x +5( -7 + y) (II)
2x +17 - y = 2 | -17 (I)
0 = -2x -35 +5y | + 2x -5y (II)
2x -y = -15 (I) 2x -5y = -35 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

2x - y = -15
-y +2x = -15 | -2x
-y = -15 -2x |:(-1 )
y = 15 +2x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 15 +2x ) (I) 2x -5y = -35 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 15 +2x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

2x -5 · ( 15 +2x ) = -35
2x -10x -75 = -35
-8x -75 = -35 | +75
-8x = 40 |:(-8 )
x = -5

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 15 +2( -5 )

= 15 -10

= 5

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -3y = ?

5x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

2x -3y = 10 +15 = 25

5x -7y = 25 +35 = 60

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -3y = 25

5x -7y = 60

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

2x +y = -1 (I) -4x -2y = 2 (II)

Lösung einblenden
2x +y = -1 (I) -4x -2y = 2 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

2x + y = -1
y +2x = -1 | -2x
y = -1 -2x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( -1 -2x ) (I) -4x -2y = 2 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( -1 -2x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-4x -2 · ( -1 -2x ) = 2
-4x +4x +2 = 2
2 = 2 | -2
0 = 0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 33.
Wenn man aber vom 3-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -16.
Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

x +6y = 33 (I) 3x -5y = -16 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +6y = 33 | -6y
x = 33 -6y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 33 -6y ) (I) 3x -5y = -16 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 33 -6x ) ersetzen und dann nach y auflösen:

3 · ( 33 -6y ) -5y = -16
-18y +99 -5y = -16
-23y +99 = -16 | -99
-23y = -115 |:(-23 )
y = 5

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 33 -65

= 33 -30

= 3

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 5