Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$x+5\cdot \left(-7\right)$ = $-31$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x+5\cdot \left(-7\right)$	=	$-31$
$x-35$	=	$-31$	| $+35$
$x$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (4|-7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-5)
denn 3⋅( - 1 ) +4⋅( - 5 ) = -3 -20 = $-23$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|-8)
denn 3⋅3 +4⋅( - 8 ) = 9 -32 = $-23$

Oder : (-5|-2)
denn 3⋅( - 5 ) +4⋅( - 2 ) = -15 -8 = $-23$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+3·5$	=	$5$
$-2x+15$	=	$5$	| $-15$
$-2x$	=	$-10$	|:($-2$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-11+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+4·\left(-11+3x\right)$	=	$21$
$x+12x-44$	=	$21$
$13x-44$	=	$21$	| $+44$
$13x$	=	$65$	|:$13$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-11+3\cdot 5$

= $-11+15$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $6-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-4·\left(6-3x\right)$	=	$-24$
$-4x+12x-24$	=	$-24$
$8x-24$	=	$-24$	| $+24$
$8x$	=	0	|:$8$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $6-3\cdot 0$

= $6+0$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (0|6)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{31}{4}-\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-5·\left(\frac{31}{4}-\frac{3}{4}x\right)$	=	$-30$
$-2x+\frac{15}{4}x-\frac{155}{4}$	=	$-30$
$\frac{7}{4}x-\frac{155}{4}$	=	$-30$	|⋅ 4
$4\left(\frac{7}{4}x-\frac{155}{4}\right)$	=	$-120$
$7x-155$	=	$-120$	| $+155$
$7x$	=	$35$	|:$7$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{31}{4}-\frac{3}{4}\cdot 5$

= $\frac{31}{4}-\frac{15}{4}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +2y = ?

-5x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-3x +2y = -6 -2 = -8

-5x +1y = -10 -1 = -11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +2y = -8

-5x +1y = -11

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{2}+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-2·\left(-\frac{1}{2}+x\right)$	=	$1$
$2x-2x+1$	=	$1$
$1$	=	$1$	| $-1$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{286}{7}-\frac{6}{7}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x+6·\left(\frac{286}{7}-\frac{6}{7}x\right)$	=	$246$
$6x-\frac{36}{7}x+\frac{1716}{7}$	=	$246$
$\frac{6}{7}x+\frac{1716}{7}$	=	$246$	|⋅ 7
$7\left(\frac{6}{7}x+\frac{1716}{7}\right)$	=	$1722$
$6x+1716$	=	$1722$	| $-1716$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{286}{7}-\frac{6}{7}\cdot 1$

= $\frac{286}{7}-\frac{6}{7}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (1|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40