Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$-5\cdot \left(-5\right)-5y$ = $15$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-5\cdot \left(-5\right)-5y$	=	$15$
$25-5y$	=	$15$
$-5y+25$	=	$15$	| $-25$
$-5y$	=	$-10$	|:($-5$)
$y$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (-5|2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|6)
denn -2⋅( - 5 ) -1⋅6 = 10 -6 = $4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|8)
denn -2⋅( - 6 ) -1⋅8 = 12 -8 = $4$

Oder : (-4|4)
denn -2⋅( - 4 ) -1⋅4 = 8 -4 = $4$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+3·\left(-5\right)$	=	$1$
$-4x-15$	=	$1$	| $+15$
$-4x$	=	$16$	|:($-4$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-6+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+4·\left(-6+2x\right)$	=	$12$
$x+8x-24$	=	$12$
$9x-24$	=	$12$	| $+24$
$9x$	=	$36$	|:$9$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-6+2\cdot 4$

= $-6+8$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{23}{4}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+3·\left(\frac{23}{4}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$18$
$-3x+\frac{9}{4}x+\frac{69}{4}$	=	$18$
$-\frac{3}{4}x+\frac{69}{4}$	=	$18$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{4}x+\frac{69}{4}\right)$	=	$72$
$-3x+69$	=	$72$	| $-69$
$-3x$	=	$3$	|:($-3$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{23}{4}+\frac{3}{4}\cdot \left(-1\right)$

= $\frac{23}{4}-\frac{3}{4}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{9}{2}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{5}·\left(\frac{9}{2}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$-\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{10}x-\frac{9}{10}$	=	$-\frac{1}{2}$
$-\frac{2}{5}x-\frac{9}{10}$	=	$-\frac{1}{2}$	|⋅ 10
$10\left(-\frac{2}{5}x-\frac{9}{10}\right)$	=	$-5$
$-4x-9$	=	$-5$	| $+9$
$-4x$	=	$4$	|:($-4$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)$

= $\frac{9}{2}+\frac{1}{2}$

= $\mathrm{4,5}+\mathrm{0,5}$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +5y = ?

-1x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-3x +5y = 6 +5 = 11

-1x +1y = 2 +1 = 3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +5y = 11

-1x +1y = 3

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+4·\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$2$
$2x-2x+2$	=	$2$
$2$	=	$2$	| $-2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-415+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-3·\left(-415+\frac{3}{2}x\right)$	=	$1995$
$7x-\frac{9}{2}x+1245$	=	$1995$
$\frac{5}{2}x+1245$	=	$1995$	|⋅ 2
$2\left(\frac{5}{2}x+1245\right)$	=	$3990$
$5x+2490$	=	$3990$	| $-2490$
$5x$	=	$1500$	|:$5$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-415+\frac{3}{2}\cdot 300$

= $-415+450$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (300|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35