Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$-4x+5\cdot 1$ = $-23$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-4x+5\cdot 1$	=	$-23$
$-4x+5$	=	$-23$	| $-5$
$-4x$	=	$-28$	|:($-4$)
$x$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (7|1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-4)
denn -4⋅( - 7 ) -5⋅( - 4 ) = 28 +20 = $48$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-12|0)
denn -4⋅( - 12 ) -5⋅0 = 48 +0 = $48$

Oder : (-2|-8)
denn -4⋅( - 2 ) -5⋅( - 8 ) = 8 +40 = $48$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-3\right)+3y$	=	$24$
$6+3y$	=	$24$
$3y+6$	=	$24$	| $-6$
$3y$	=	$18$	|:$3$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $8+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+4·\left(8+2x\right)$	=	$-1$
$3x+8x+32$	=	$-1$
$11x+32$	=	$-1$	| $-32$
$11x$	=	$-33$	|:$11$
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $8+2\cdot \left(-3\right)$

= $8-6$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $9-3x$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(9-3y\right)+2y$	=	$22$
$6y-18+2y$	=	$22$
$8y-18$	=	$22$	| $+18$
$8y$	=	$40$	|:$8$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $9-3\cdot 5$

= $9-15$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3-\frac{1}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x+\frac{1}{4}·\left(3-\frac{1}{5}x\right)$	=	$\frac{3}{4}$
$-x-\frac{1}{20}x+\frac{3}{4}$	=	$\frac{3}{4}$
$-\frac{21}{20}x+\frac{3}{4}$	=	$\frac{3}{4}$	|⋅ 20
$20\left(-\frac{21}{20}x+\frac{3}{4}\right)$	=	$15$
$-21x+15$	=	$15$	| $-15$
$-21x$	=	0	|:($-21$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $3-\frac{1}{5}\cdot \left(0\right)$

= $3+0$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (0|3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -4y = ?

5x -8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

4x -4y = -12 +12 = 0

5x -8y = -15 +24 = 9

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -4y = 0

5x -8y = 9

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+3·\left(1+\frac{4}{3}x\right)$	=	$2$
$-4x+4x+3$	=	$2$
$3$	=	$2$	| $-3$
0	=	$-1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $15-5x$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(15-5y\right)-3y$	=	$14$
$-20y+60-3y$	=	$14$
$-23y+60$	=	$14$	| $-60$
$-23y$	=	$-46$	|:($-23$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $15-5\cdot 2$

= $15-10$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 2