Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$-x+2\cdot 6$ = $5$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-x+2\cdot 6$	=	$5$
$-x+12$	=	$5$	| $-12$
$-x$	=	$-7$	|:($-1$)
$x$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (7|6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|5)
denn 4⋅1 -4⋅5 = 4 -20 = $-16$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|1)
denn 4⋅( - 3 ) -4⋅1 = -12 -4 = $-16$

Oder : (5|9)
denn 4⋅5 -4⋅9 = 20 -36 = $-16$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·5+2y$	=	$-2$
$10+2y$	=	$-2$
$2y+10$	=	$-2$	| $-10$
$2y$	=	$-12$	|:$2$
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $4+2x$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(4+2y\right)+3y$	=	$-3$
$-4y-8+3y$	=	$-3$
$-y-8$	=	$-3$	| $+8$
$-y$	=	$5$	|:($-1$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $4+2\cdot \left(-5\right)$

= $4-10$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-16-4x$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(-16-4y\right)-5y$	=	$45$
$-20y-80-5y$	=	$45$
$-25y-80$	=	$45$	| $+80$
$-25y$	=	$125$	|:($-25$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-16-4\cdot \left(-5\right)$

= $-16+20$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{13}{4}+\frac{1}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{2}{3}x-\frac{2}{5}·\left(-\frac{13}{4}+\frac{1}{4}x\right)$	=	$\frac{18}{5}$
$-\frac{2}{3}x-\frac{1}{10}x+\frac{13}{10}$	=	$\frac{18}{5}$
$-\frac{23}{30}x+\frac{13}{10}$	=	$\frac{18}{5}$	|⋅ 30
$30\left(-\frac{23}{30}x+\frac{13}{10}\right)$	=	$108$
$-23x+39$	=	$108$	| $-39$
$-23x$	=	$69$	|:($-23$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{13}{4}+\frac{1}{4}\cdot \left(-3\right)$

= $-\frac{13}{4}-\frac{3}{4}$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -1y = ?

-1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-5x -1y = 10 -2 = 8

-1x +2y = 2 +4 = 6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -1y = 8

-1x +2y = 6

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $3-2x$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(3-2y\right)-4y$	=	$-6$
$4y-6-4y$	=	$-6$
$-6$	=	$-6$	| $+6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $17-6x$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(17-6y\right)-2y$	=	$6$
$-12y+34-2y$	=	$6$
$-14y+34$	=	$6$	| $-34$
$-14y$	=	$-28$	|:($-14$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $17-6\cdot 2$

= $17-12$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 2