Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$5x-5\cdot \left(-5\right)$ = 0

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5x-5\cdot \left(-5\right)$	=	0
$5x+25$	=	0	| $-25$
$5x$	=	$-25$	|:$5$
$x$	=	$-5$

Die Lösung ist somit: (-5|-5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|5)
denn -4⋅2 -1⋅5 = -8 -5 = $-13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|9)
denn -4⋅1 -1⋅9 = -4 -9 = $-13$

Oder : (3|1)
denn -4⋅3 -1⋅1 = -12 -1 = $-13$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-3·3$	=	$-1$
$2x-9$	=	$-1$	| $+9$
$2x$	=	$8$	|:$2$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $10-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-2·\left(10-2x\right)$	=	$-2$
$-x+4x-20$	=	$-2$
$3x-20$	=	$-2$	| $+20$
$3x$	=	$18$	|:$3$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $10-2\cdot 6$

= $10-12$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{54}{5}-\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-6·\left(\frac{54}{5}-\frac{4}{5}x\right)$	=	$-60$
$-4x+\frac{24}{5}x-\frac{324}{5}$	=	$-60$
$\frac{4}{5}x-\frac{324}{5}$	=	$-60$	|⋅ 5
$5\left(\frac{4}{5}x-\frac{324}{5}\right)$	=	$-300$
$4x-324$	=	$-300$	| $+324$
$4x$	=	$24$	|:$4$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{54}{5}-\frac{4}{5}\cdot 6$

= $\frac{54}{5}-\frac{24}{5}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{26}{5}+\frac{1}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+2·\left(\frac{26}{5}+\frac{1}{5}x\right)$	=	$20$
$-2x+\frac{2}{5}x+\frac{52}{5}$	=	$20$
$-\frac{8}{5}x+\frac{52}{5}$	=	$20$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{8}{5}x+\frac{52}{5}\right)$	=	$100$
$-8x+52$	=	$100$	| $-52$
$-8x$	=	$48$	|:($-8$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{26}{5}+\frac{1}{5}\cdot \left(-6\right)$

= $\frac{26}{5}-\frac{6}{5}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +5y = ?

-1x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

3x +5y = -6 +5 = -1

-1x -5y = 2 -5 = -3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +5y = -1

-1x -5y = -3

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{4}-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$16x+16·\left(-\frac{1}{4}-x\right)$	=	$-4$
$16x-16x-4$	=	$-4$
$-4$	=	$-4$	| $+4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-415+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-3·\left(-415+3x\right)$	=	$495$
$4x-9x+1245$	=	$495$
$-5x+1245$	=	$495$	| $-1245$
$-5x$	=	$-750$	|:($-5$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-415+3\cdot 150$

= $-415+450$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35