Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$x+4\cdot 5$ = $16$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x+4\cdot 5$	=	$16$
$x+20$	=	$16$	| $-20$
$x$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (-4|5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|6)
denn -1⋅7 -1⋅6 = -7 -6 = $-13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|7)
denn -1⋅6 -1⋅7 = -6 -7 = $-13$

Oder : (8|5)
denn -1⋅8 -1⋅5 = -8 -5 = $-13$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-3·2$	=	$-10$
$-x-6$	=	$-10$	| $+6$
$-x$	=	$-4$	|:($-1$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-2-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+1·\left(-2-3x\right)$	=	$-3$
$4x-3x-2$	=	$-3$
$x-2$	=	$-3$	| $+2$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-2-3\cdot \left(-1\right)$

= $-2+3$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $11-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-2·\left(11-2x\right)$	=	$23$
$5x+4x-22$	=	$23$
$9x-22$	=	$23$	| $+22$
$9x$	=	$45$	|:$9$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $11-2\cdot 5$

= $11-10$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{3}{2}-\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{1}{4}·\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{4}y\right)+\frac{1}{4}y$	=	0
$-\frac{3}{16}y+\frac{3}{8}+\frac{1}{4}y$	=	0
$\frac{1}{16}y+\frac{3}{8}$	=	0	|⋅ 16
$16\left(\frac{1}{16}y+\frac{3}{8}\right)$	=	0
$y+6$	=	0	| $-6$
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{3}{2}-\frac{3}{4}\cdot \left(-6\right)$

= $\frac{3}{2}+\frac{9}{2}$

= $\mathrm{1,5}+\mathrm{4,5}$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -1y = ?

2x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-2x -1y = -4 +4 = 0

2x +3y = 4 -12 = -8

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -1y = 0

2x +3y = -8

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12x+4·\left(3-3x\right)$	=	$12$
$12x-12x+12$	=	$12$
$12$	=	$12$	| $-12$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $16-6x$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(16-6y\right)-6y$	=	$8$
$-30y+80-6y$	=	$8$
$-36y+80$	=	$8$	| $-80$
$-36y$	=	$-72$	|:($-36$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $16-6\cdot 2$

= $16-12$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 2