Man setzt einfach x = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$2\cdot \left(-1\right)-2y$ = $12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2\cdot \left(-1\right)-2y$	=	$12$
$-2-2y$	=	$12$
$-2y-2$	=	$12$	| $+2$
$-2y$	=	$14$	|:($-2$)
$y$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (-1|-7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-3)
denn 2⋅( - 2 ) -3⋅( - 3 ) = -4 +9 = $5$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|-5)
denn 2⋅( - 5 ) -3⋅( - 5 ) = -10 +15 = $5$

Oder : (1|-1)
denn 2⋅1 -3⋅( - 1 ) = 2 +3 = $5$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-2\right)+y$	=	$-3$
$-6+y$	=	$-3$
$y-6$	=	$-3$	| $+6$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-5-3x$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-5-3y\right)-2y$	=	$2$
$6y+10-2y$	=	$2$
$4y+10$	=	$2$	| $-10$
$4y$	=	$-8$	|:$4$
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-5-3\cdot \left(-2\right)$

= $-5+6$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-6-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-1·\left(-6-x\right)$	=	$-9$
$2x+x+6$	=	$-9$
$3x+6$	=	$-9$	| $-6$
$3x$	=	$-15$	|:$3$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-6-\left(-5\right)$

= $-6+5$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{10}{3}-\frac{1}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}·\left(-\frac{10}{3}-\frac{1}{3}x\right)$	=	$-\frac{12}{5}$
$\frac{3}{5}x-\frac{1}{5}x-2$	=	$-\frac{12}{5}$
$\frac{2}{5}x-2$	=	$-\frac{12}{5}$	|⋅ 5
$5\left(\frac{2}{5}x-2\right)$	=	$-12$
$2x-10$	=	$-12$	| $+10$
$2x$	=	$-2$	|:$2$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{10}{3}-\frac{1}{3}\cdot \left(-1\right)$

= $-\frac{10}{3}+\frac{1}{3}$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +5y = ?

3x +7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

4x +5y = -12 +25 = 13

3x +7y = -9 +35 = 26

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +5y = 13

3x +7y = 26

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-6x+3·\left(2+2x\right)$	=	$6$
$-6x+6x+6$	=	$6$
$6$	=	$6$	| $-6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Gewicht einer Scheibe und y als Gewicht der Hantelstange und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $47-10x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12x+1·\left(47-10x\right)$	=	$55$
$12x-10x+47$	=	$55$
$2x+47$	=	$55$	| $-47$
$2x$	=	$8$	|:$2$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $47-10\cdot 4$

= $47-40$

= $7$

also

y = 7

Die Lösung des LGS ist damit: (4|7)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Gewicht einer Scheibe (x-Wert): 4

Gewicht der Hantelstange (y-Wert): 7