Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$-3x+5\cdot \left(-1\right)$ = $4$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-3x+5\cdot \left(-1\right)$	=	$4$
$-3x-5$	=	$4$	| $+5$
$-3x$	=	$9$	|:($-3$)
$x$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (-3|-1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-4)
denn 5⋅( - 7 ) +2⋅( - 4 ) = -35 -8 = $-43$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|-9)
denn 5⋅( - 5 ) +2⋅( - 9 ) = -25 -18 = $-43$

Oder : (-9|1)
denn 5⋅( - 9 ) +2⋅1 = -45 +2 = $-43$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+4·2$	=	$-10$
$-3x+8$	=	$-10$	| $-8$
$-3x$	=	$-18$	|:($-3$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $18-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-4·\left(18-4x\right)$	=	$42$
$3x+16x-72$	=	$42$
$19x-72$	=	$42$	| $+72$
$19x$	=	$114$	|:$19$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $18-4\cdot 6$

= $18-24$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{5}{2}+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-4·\left(-\frac{5}{2}+\frac{1}{2}x\right)$	=	$7$
$3x-2x+10$	=	$7$
$x+10$	=	$7$	| $-10$
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\cdot \left(-3\right)$

= $-\frac{5}{2}-\frac{3}{2}$

= $-\mathrm{2,5}-\mathrm{1,5}$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+1·\left(1+\frac{3}{2}x\right)$	=	$-4$
$x+\frac{3}{2}x+1$	=	$-4$
$\frac{5}{2}x+1$	=	$-4$	|⋅ 2
$2\left(\frac{5}{2}x+1\right)$	=	$-8$
$5x+2$	=	$-8$	| $-2$
$5x$	=	$-10$	|:$5$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $1+\frac{3}{2}\cdot \left(-2\right)$

= $1-3$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +4y = ?

-1x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-2x +4y = 6 +16 = 22

-1x +5y = 3 +20 = 23

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +4y = 22

-1x +5y = 23

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $3+3x$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(3+3y\right)-9y$	=	$12$
$9y+9-9y$	=	$12$
$9$	=	$12$	| $-9$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-250+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x-3·\left(-250+x\right)$	=	$1650$
$6x-3x+750$	=	$1650$
$3x+750$	=	$1650$	| $-750$
$3x$	=	$900$	|:$3$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-250+300$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (300|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50