Aufgabenbeispiele von LGS

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 3x -5y = -5 .

Bestimme x so, dass (x|-2) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

3x -5( -2 ) = -5

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

3x -5( -2 ) = -5
3x +10 = -5 | -10
3x = -15 |:3
x = -5

Die Lösung ist somit: (-5|-2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 2x +3y = -13 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|-5)
denn 2⋅1 +3( - 5 ) = 2 -15 = -13

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-7)
denn 2⋅4 +3( - 7 ) = 8 -21 = -13

Oder : (-2|-3)
denn 2⋅( - 2 ) +3( - 3 ) = -4 -9 = -13

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-4x = -8 (I) 3x -3y = 9 (II)

Lösung einblenden
-4x = -8 (I) 3x -3y = 9 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

-4x = -8 |:(-4 )
x = 2

Als neues LGS erhält man so:

x = 2 (I) 3x -3y = 9 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch 2 ersetzen und dann nach y auflösen:

3 · 2 -3y = 9
6 -3y = 9
-3y +6 = 9 | -6
-3y = 3 |:(-3 )
y = -1

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

x +4y = 0 (I) 4x -2y = 18 (II)

Lösung einblenden
x +4y = 0 (I) 4x -2y = 18 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +4y = 0 | -4y
x = -4y

Als neues LGS erhält man so:

x = -4 y (I) 4x -2y = 18 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch -4x ersetzen und dann nach y auflösen:

4 · ( -4y ) -2y = 18
-16y -2y = 18
-18y = 18 |:(-18 )
y = -1

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = -4( -1 )

= 4

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

5x -5y = -5 (I) 3x +2y = 22 (II)

Lösung einblenden
5x -5y = -5 (I) 3x +2y = 22 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

5x -5y = -5
-5y +5x = -5 | -5x
-5y = -5 -5x |:(-5 )
y = 1 + x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 1 + x ) (I) 3x +2y = 22 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 1 + x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

3x + 2 · ( 1 + x ) = 22
3x +2x +2 = 22
5x +2 = 22 | -2
5x = 20 |:5
x = 4

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 1 +4

= 5

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

3 2 x - 3 5 y = - 33 5 (I) 2x + 2 3 y = - 44 3 (II)

Lösung einblenden
3 2 x - 3 5 y = - 33 5 (I) 2x + 2 3 y = - 44 3 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

3 2 x - 3 5 y = - 33 5
- 3 5 y + 3 2 x = - 33 5 |⋅ 10
10( - 3 5 y + 3 2 x) = -66
-6y +15x = -66 | -15x
-6y = -66 -15x |:(-6 )
y = 11 + 5 2 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 11 + 5 2 x ) (I) 2x + 2 3 y = - 44 3 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 11 + 5 2 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

2x + 2 3 · ( 11 + 5 2 x ) = - 44 3
2x + 5 3 x + 22 3 = - 44 3
11 3 x + 22 3 = - 44 3 |⋅ 3
3( 11 3 x + 22 3 ) = -44
11x +22 = -44 | -22
11x = -66 |:11
x = -6

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 11 + 5 2 ( -6 )

= 11 -15

= -4

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -1y = ?

5x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

2x -1y = -6 -2 = -8

5x -4y = -15 -8 = -23

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -1y = -8

5x -4y = -23

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

5x +y = 31 (I) 2x -y = 4 (II)

Lösung einblenden
5x +y = 31 (I) 2x -y = 4 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

2x - y = 4
-y +2x = 4 | -2x
-y = 4 -2x |:(-1 )
y = -4 +2x

Als neues LGS erhält man so:

5x +y = 31 (I) +y = ( -4 +2x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( -4 +2x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

5x + 1 · ( -4 +2x ) = 31
5x +2x -4 = 31
7x -4 = 31 | +4
7x = 35 |:7
x = 5

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = -4 +25

= -4 +10

= 6

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (5|6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 13.
Wenn man aber vom 4-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -12.
Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

x +3y = 13 (I) 4x -4y = -12 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +3y = 13 | -3y
x = 13 -3y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 13 -3y ) (I) 4x -4y = -12 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 13 -3x ) ersetzen und dann nach y auflösen:

4 · ( 13 -3y ) -4y = -12
-12y +52 -4y = -12
-16y +52 = -12 | -52
-16y = -64 |:(-16 )
y = 4

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 13 -34

= 13 -12

= 1

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 4