Aufgabenbeispiele von LGS
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Wert zum Einsetzen finden
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme x so, dass (x|-7) eine Lösung dieser Gleichung ist.
Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:
=
Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:
| = | |||
| = | | | ||
| = |
Die Lösung ist somit: (4|-7)
Wert zum Einsetzen finden (offen)
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.
Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-5)
denn
3⋅
Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|-8)
denn 3⋅
Oder : (-5|-2)
denn 3⋅
LGS (1 Var. schon aufgelöst)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:
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= |
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|:( |
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= |
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Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch
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= |
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= |
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= |
|
|:( |
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|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y =
Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)
LGS (1 Var. ohne Koeff.)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
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= |
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= |
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= |
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|:( |
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= |
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Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
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= |
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= |
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|: |
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= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 4
Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)
LGS (Standard)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
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= |
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= |
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= |
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Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
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= |
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= | |: |
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= |
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 6
Die Lösung des LGS ist damit: (0|6)
LGS (vorher umformen)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
| | = | | (I) | ||
| | = | | (II) |
Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:
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| = |
|
(I) | ||
|
| = |
|
(II) |
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| = |
|
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| (I) | |
|
| = |
|
|
| (II) |
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
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= |
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= |
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= |
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|:( |
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= |
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Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
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= |
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|⋅ 4 |
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= |
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= |
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= |
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|: |
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= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 4
Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)
LGS zu Lösungen finden
Beispiel:
Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.
Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:
-3x
-5x
Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:
-3x
-5x
So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:
-3x
-5x
LGS Lösungsvielfalt erkennen
Beispiel:
Bestimme die Lösungsmenge:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
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= |
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= |
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= |
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|: |
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= |
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Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
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= |
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| = |
Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!
Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.
LGS Anwendungen
Beispiel:
In einem Raum brennen 6 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 286 Watt.
In einem anderen Raum verbrauchen 6 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 246 Watt.
Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?
Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und
Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
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= |
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= |
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= |
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|: |
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= |
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Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
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= |
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|⋅ 7 |
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= |
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= |
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= |
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|: |
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|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 40
Die Lösung des LGS ist damit: (1|40)
Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:
Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1
Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40
