Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt, Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x=-4 einen VZW von + nach -. Also muss die Originalfunktion f bei x=-4 einen Hochpunkt haben.

Wir erkennen bei x=-1 einen VZW von - nach +. Also muss die Originalfunktion f bei x=-1 einen Tiefpunkt haben.

Wir erkennen bei x=1 einen VZW von + nach -. Also muss die Originalfunktion f bei x=1 einen Hochpunkt haben.

Wir erkennen bei x=4 einen VZW von - nach +. Also muss die Originalfunktion f bei x=4 einen Tiefpunkt haben.

Da Wendepunkte immer Extrempunkte der Ableitung sind, müssen wir nur nach den Extrempunkten suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = -1.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ' positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Man erkennt am Schaubild von f', dass bei x = 0 ein maximales Gefälle (m ≈ -4) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Tiefpunkt.

Bei x = 2 ist dagegen eine maximale Steigung (m ≈ 4) in f', also ein Hochpunkt in f'' zu erkennnen.

Man erkennt am Schaubild von f einen Wendepunkt bei x=2, also muss f'' ( - die 2. Ableitung von f - ) mindestens eine Nullstelle haben und somit auch mindestens vom Grad 1 sein.

Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss die Originalfunktion f um 2 höher, also vom Grad 3 sein.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist deren Ableitung f '.

Da die Gerade g die Steigung 1 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 1 haben. Es muss also f '(x) = 1 gelten.

Am Schaubild kann man f '(-2) = 1 und f '(2) = 1 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also bei x₁ = -2 und x₂ = 2.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $-2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-2) = -1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-2) + f '(-2) = -1 + -2 = $-3$.

Wir können der Zeichnung rechts f(3) = 1 entnehmen.

Also gilt h(3) = g(f(3)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(3) = g(f(3)) = g(1) = 4.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(1|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(1)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(1) gilt also f(x) = 1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|1) und Q₂(2|1), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($0$) = $-\frac{5}{2}$.

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -1 und g(-2) = -1 entnehmen.

Also gilt h(-2)= f(-2)⋅g(-2) = ( - 1 )⋅( - 1 ) = 1

Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)

Also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2)

Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=-2 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(-2) als auch g'(-2) als Steigung m=$-2$ der Geraden ablesen, also gilt f'(-2) = g'(-2) = $-2$.

Somit gilt:
h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2)
= $-2$⋅( - 1 ) + ( - 1 )⋅ $\left(-2\right)$
= $4$.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist deren Ableitung f '.

Da die Gerade g die Steigung 0 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 0 haben. Es muss also f '(x) = 0 gelten.

Am Schaubild kann man f '(-1) = 0 und f '(3) = 0 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also bei x₁ = -1 und x₂ = 3.