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Aufgabenbeispiele von LGS

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

2 x1 +x2 -3 x3 = -25 (I) 2 x1 +7 x2 -1 x3 = -35 (II) 4 x1 -1 x2 -10 x3 = -57 (III)

Lösung einblenden
2 x1 +x2 -3 x3 = -25 (I) 2 x1 +7 x2 -1 x3 = -35 (II) 4 x1 -1 x2 -10 x3 = -57 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -1·(II)

2·(I) -1·(III)

2 x1 1 x2 -3 x3 = -25 (I) ( 2 -2 )x1 +( 1 -7 )x2 +( -3 +1 )x3 = ( -25 +35 ) (II) ( 4 -4 )x1 +( 2 +1 )x2 +( -6 +10 )x3 = ( -50 +57 ) (III)
2 x1 +x2 -3 x3 = -25 (I) -6 x2 -2 x3 = 10 (II) +3 x2 +4 x3 = 7 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) + 2·(III)

2 x1 1 x2 -3 x3 = -25 (I) -6 x2 -2 x3 = 10 (II) +( -6 +6 )x2 +( -2 +8 )x3 = ( 10 +14 ) (III)
2 x1 +x2 -3 x3 = -25 (I) -6 x2 -2 x3 = 10 (II) +6 x3 = 24 (III)
Zeile (III): +6 x3 = 24

x3 = 4

eingesetzt in Zeile (II):

-6 x2 -2 ·(4 ) = 10 | +8
-6 x2 = 18 | : (-6)

x2 = -3

eingesetzt in Zeile (I):

2 x1 +(-3 ) -3 ·(4 ) = -25 | +15
2 x1 = -10 | : 2

x1 = -5

L={( -5 |-3 |4 )}

3x3-LGS BF (versch. Lsg.-mengen)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

9 x1 +x2 +10 x3 = -25 (I) 2 x1 +x2 +2 x3 = -9 (II) 5 x1 -1 x2 +7 x3 = -9 (III)

Lösung einblenden
9 x1 +x2 +10 x3 = -25 (I) 2 x1 +x2 +2 x3 = -9 (II) 5 x1 -1 x2 +7 x3 = -9 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -9·(II)

5·(I) -9·(III)

9 x1 1 x2 10 x3 = -25 (I) ( 18 -18 )x1 +( 2 -9 )x2 +( 20 -18 )x3 = ( -50 +81 ) (II) ( 45 -45 )x1 +( 5 +9 )x2 +( 50 -63 )x3 = ( -125 +81 ) (III)
9 x1 +x2 +10 x3 = -25 (I) -7 x2 +2 x3 = 31 (II) +14 x2 -13 x3 = -44 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) + 1·(III)

9 x1 1 x2 10 x3 = -25 (I) -7 x2 2 x3 = 31 (II) +( -14 +14 )x2 +( 4 -13 )x3 = ( 62 -44 ) (III)
9 x1 +x2 +10 x3 = -25 (I) -7 x2 +2 x3 = 31 (II) -9 x3 = 18 (III)
Zeile (III): -9 x3 = 18

x3 = -2

eingesetzt in Zeile (II):

-7 x2 +2 ·(-2 ) = 31 | +4
-7 x2 = 35 | : (-7)

x2 = -5

eingesetzt in Zeile (I):

9 x1 +(-5 ) +10 ·(-2 ) = -25 | +25
9 x1 = 0 | : 9

x1 = 0

L={( 0 |-5 |-2 )}

3x3-LGS (unendliche Lösungsmenge)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-2 x1 +7 x2 -4 x3 = -18 (I) 2 x1 +2 x2 +9 x3 = -54 (II) -8 x1 +x2 -31 x3 = 144 (III)

Lösung einblenden
-2 x1 +7 x2 -4 x3 = -18 (I) 2 x1 +2 x2 +9 x3 = -54 (II) -8 x1 +x2 -31 x3 = 144 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

4·(I) -1·(III)

-2 x1 7 x2 -4 x3 = -18 (I) ( -2 +2 )x1 +( 7 +2 )x2 +( -4 +9 )x3 = ( -18 -54 ) (II) ( -8 +8 )x1 +( 28 -1 )x2 +( -16 +31 )x3 = ( -72 -144 ) (III)
-2 x1 +7 x2 -4 x3 = -18 (I) +9 x2 +5 x3 = -72 (II) +27 x2 +15 x3 = -216 (III)

langsame Rechnung einblenden3·(II) -1·(III)

-2 x1 7 x2 -4 x3 = -18 (I) 9 x2 5 x3 = -72 (II) +( 27 -27 )x2 +( 15 -15 )x3 = ( -216 +216 ) (III)
-2 x1 +7 x2 -4 x3 = -18 (I) +9 x2 +5 x3 = -72 (II) 0 = 0 (III)
Setze x3 = t

eingesetzt in Zeile (II):

+9 x2 +5 ·(0+t ) = -72 | -0-5 t
9 x2 = -72 -5 t | : 9

x2 = -8 - 5 9 t

eingesetzt in Zeile (I):

-2 x1 +7 ·(-8 - 5 9 t ) -4 ·(0+t ) = -18 | +56+ 71 9 t
-2 x1 = 38 + 71 9 t | : (-2)

x1 = -19 - 71 18 t

L={( -19 - 71 18 t|-8 - 5 9 t|0+t)}

Um die Zahlen noch etwas schöner zu machen ersetzen wir t durch t= 18s:

L={( -19 -71 s|-8 -10 s|0+18 s)}

3x3-LGS (versch. Lsg.-mengen)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

x1 +5 x2 +x3 = -27 (I) 5 x1 -2 x2 +8 x3 = -54 (II) -14 x1 +11 x2 -23 x3 = 135 (III)

Lösung einblenden
x1 +5 x2 +x3 = -27 (I) 5 x1 -2 x2 +8 x3 = -54 (II) -14 x1 +11 x2 -23 x3 = 135 (III)

langsame Rechnung einblenden5·(I) -1·(II)

14·(I) + 1·(III)

1 x1 5 x2 1 x3 = -27 (I) ( 5 -5 )x1 +( 25 +2 )x2 +( 5 -8 )x3 = ( -135 +54 ) (II) ( 14 -14 )x1 +( 70 +11 )x2 +( 14 -23 )x3 = ( -378 +135 ) (III)
x1 +5 x2 +x3 = -27 (I) +27 x2 -3 x3 = -81 (II) +81 x2 -9 x3 = -243 (III)

langsame Rechnung einblenden3·(II) -1·(III)

1 x1 5 x2 1 x3 = -27 (I) 27 x2 -3 x3 = -81 (II) +( 81 -81 )x2 +( -9 +9 )x3 = ( -243 +243 ) (III)
x1 +5 x2 +x3 = -27 (I) +27 x2 -3 x3 = -81 (II) 0 = 0 (III)
Setze x3 = t

eingesetzt in Zeile (II):

+27 x2 -3 ·(0+t ) = -81 | -0+3t
27 x2 = -81 +3t | : 27

x2 = -3 + 1 9 t

eingesetzt in Zeile (I):

x1 +5 ·(-3 + 1 9 t ) +(0+t ) = -27 | +15- 14 9 t
1 x1 = -12 - 14 9 t | : 1

x1 = -12 - 14 9 t

L={( -12 - 14 9 t|-3 + 1 9 t|0+t)}

Um die Zahlen noch etwas schöner zu machen ersetzen wir t durch t= 9s:

L={( -12 -14 s|-3 +s|0+9 s)}

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-1 x1 -1 x2 +3 x3 = -4 (I) x1 -1 x3 = 0 (II) 2 x1 -2 x2 -2 x3 = 12r -8 (III)

Lösung einblenden
-1 x1 -1 x2 +3 x3 = -4 (I) x1 -1 x3 = 0 (II) 2 x1 -2 x2 -2 x3 = 12r -8 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

2·(I) + 1·(III)

-1 x1 -1 x2 3 x3 = -4 (I) ( -1 +1 )x1 +( -1 +0 )x2 +( 3 -1 )x3 = ( -4 +0 ) (II) ( -2 +2 )x1 +( -2 -2 )x2 +( 6 -2 )x3 = ( -8 + 12r -8 ) (III)
-1 x1 -1 x2 +3 x3 = -4 (I) -1 x2 +2 x3 = -4 (II) -4 x2 +4 x3 = 12r -16 (III)

langsame Rechnung einblenden4·(II) -1·(III)

-1 x1 -1 x2 3 x3 = -4 (I) -1 x2 2 x3 = -4 (II) +( -4 +4 )x2 +( 8 -4 )x3 = ( -16 + -12r +16 ) (III)
-1 x1 -1 x2 +3 x3 = -4 (I) -1 x2 +2 x3 = -4 (II) +4 x3 = -12 r (III)
Zeile (III): +4 x3 = -12 r

x3 = -3 r

eingesetzt in Zeile (II):

-1 x2 +2 ·(-3 r ) = -4
-1 x2 -6 r = -4 | +6 r
-1 x2 = 6r -4 | : (-1)

x2 = -6r +4

eingesetzt in Zeile (I):

-1 x1 -1 ( -6r +4 ) +3 ·(-3 r ) = -4
-1 x1 + ( 6r -4 ) -9 r = -4 | + 3r +4
-1 x1 = 3 r | : (-1)

x1 = -3 r

L={( -3 r | -6r +4 |-3 r )}

3x3-LGS (Parameter r bestimmen)

Beispiel:

Für welchen Wert von r hat das LGS eine unendlich große Lösungsmenge?

-2 x1 +4 x2 -2 x3 = 2 (I) -4 x1 +6 x2 -1 x3 = 1 (II) 2 x1 -4 x3 = -2 r (III)

Lösung einblenden
-2 x1 +4 x2 -2 x3 = 2 (I) -4 x1 +6 x2 -1 x3 = 1 (II) 2 x1 -4 x3 = -2 r (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -1·(II)

1·(I) + 1·(III)

-2 x1 4 x2 -2 x3 = 2 (I) ( -4 +4 )x1 +( 8 -6 )x2 +( -4 +1 )x3 = ( 4 -1 ) (II) ( -2 +2 )x1 +( 4 +0 )x2 +( -2 -4 )x3 = ( 2 -2 r ) (III)
-2 x1 +4 x2 -2 x3 = 2 (I) +2 x2 -3 x3 = 3 (II) +4 x2 -6 x3 = -2r +2 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) -1·(III)

-2 x1 4 x2 -2 x3 = 2 (I) 2 x2 -3 x3 = 3 (II) +( 4 -4 )x2 +( -6 +6 )x3 = ( 6 + 2r -2 ) (III)
-2 x1 +4 x2 -2 x3 = 2 (I) +2 x2 -3 x3 = 3 (II) 0 = 2r +4 (III)

Da in der untersten Zeile auf der linken Seite eine 0 steht, kann das LGS nur noch entweder unendlich viele oder gar keine Lösung haben.

Damit es unendlich viele Lösungen gibt, muss die unterste Gleichung eine wahre Aussage geben, was nur dann möglich ist, wenn auch die rechte Seite = 0 ist, es muss also 2r +4 = 0 gelten.

2r +4 = 0 | -4
2r = -4 |:2
r = -2

Funktionstermbestimmung (quadr. Fkt.)

Beispiel:

Bestimme den Term der quadratischen Funktion, die durch die Punkte A(1|1), B(-2|-5)und C(-3|-15) geht.

Lösung einblenden

Wir setzen die drei Punkte in die allgemeine quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c ein (Punktprobe).

Dabei erhalten wir folgende drei Gleichungen zu den drei Punkten:

A: f(1)=1 => a ⋅ 1 2 + b ⋅ 1 + c = 1

B: f(-2)=-5 => a ⋅ ( - 2 ) 2 + b ⋅ ( - 2 ) + c = -5

C: f(-3)=-15 => a ⋅ ( - 3 ) 2 + b ⋅ ( - 3 ) + c = -15

a +b +c = 1 (I) 4 a -2 b +c = -5 (II) 9 a -3 b +c = -15 (III)

langsame Rechnung einblenden4·(I) -1·(II)

9·(I) -1·(III)

1 a 1 b 1 c = 1 (I) ( 4 -4 )a +( 4 +2 )b +( 4 -1 )c = ( 4 +5 ) (II) ( 9 -9 )a +( 9 +3 )b +( 9 -1 )c = ( 9 +15 ) (III)
a +b +c = 1 (I) +6 b +3 c = 9 (II) +12 b +8 c = 24 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) -1·(III)

1 a 1 b 1 c = 1 (I) 6 b 3 c = 9 (II) +( 12 -12 )b +( 6 -8 )c = ( 18 -24 ) (III)
a +b +c = 1 (I) +6 b +3 c = 9 (II) -2 c = -6 (III)
Zeile (III): -2 c = -6

c = 3

eingesetzt in Zeile (II):

+6 b +3 ·(3 ) = 9 | -9
6 b = 0 | : 6

b = 0

eingesetzt in Zeile (I):

a +(0 ) +(3 ) = 1 | -3
1 a = -2 | : 1

a = -2

L={( -2 |0 |3 )}

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = -2 x 2 +3

Funktionstermbestimmung (Symmetrie)

Beispiel:

Bestimme den Term einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist und bei E(-2|-16) einen Extrempunkte hat.

Lösung einblenden

Wenn eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, muss ihr Graph auch durch den Ursprung gehen.

f(-x) = -f(x) => f(0) = -f(0) => f(0) = 0

Und da jede ganzrationale Funktion 3. Grades immer genau 1 Wendepunkt hat, muss dieser aus Symmetriegründen im Ursprung liegen.

Außerdem wissen wir ja, dass E(-2|-16) ein Extrempunkt ist, also muss f'(-2)=0 sein.

Somit haben wir 4 Informationen:

  1. f(-2)=-16 (E(-2|-16) liegt auf dem Graph)
  2. f(0)=0 (Ursprung liegt auf dem Graph)
  3. f'(-2)=0 (Extrempunkt bei x=-2)
  4. f''(0)=0 (Wendepunkt im Ursprung)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine kubische Funktion und deren Ableitungen ein:
f(x)=ax3+bx2+cx+d
f'(x)=3ax2+2bx+c
f''(x)=6ax+b

Daraus ergibt sich:

  1. f(-2)=-16: a⋅(-8) + b⋅4 + c⋅(-2) + d = -16
  2. f(0)=0: a⋅0 + b⋅0 + c⋅0 + d = 0
  3. f'(-2)=0: 3a⋅4 + 2b⋅(-2) + c = 0
  4. f''(0)=0: 6a⋅0 + 2b = 0

Wir sehen beim Betrachten der zweiten Gleichungen, dass d=0 ist und setzen dies in die erste Gleichung ein:

Gleiches gilt für die 4. Gleichung, aus der direkt b=0 folgt.

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

f(-2)=-16: a⋅(-8) + c⋅(-2) + 0 = -16

f'(-2)=0: 3a⋅4 + c = 0

-8 a -2 c = -16 (I) 12 a +c = 0 (II)

langsame Rechnung einblenden3·(I) + 2·(II)

-8 a -2 c = -16 (I) ( -24 +24 )a +( -6 +2 )c = ( -48 +0 ) (II)
-8 a -2 c = -16 (I) -4 c = -48 (II)
Zeile (II): -4 c = -48

c = 12

eingesetzt in Zeile (I):

-8 a -2 ·(12 ) = -16 | +24
-8 a = 8 | : (-8)

a = -1

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = - x 3 +12x

Funktionstermbestimmung (kubische Fkt.)

Beispiel:

Bestimme den Term einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, die bei W(-2|30) einen Wendepunkt und bei E(0|-2) einen Extrempunkte hat.

Lösung einblenden

Da W(-2|30) und E(0|-2) Punkte auf dem Graph der gesuchten Funktion f sind, muss f(-2) =30 und f(0) =-2 gelten:

Außerdem wissen wir ja, dass E(0|-2) ein Extrempunkt ist. Also muss f'(0)=0 sein.

Zusätzlich wissen wir noch, dass W(-2|30) ein Wendepunkt ist. Also muss f''(-2)=0 sein.

wir erhalten somit 4 Bedingungen:

  1. f(-2) =30
  2. f(0) =-2
  3. f'(0)=0
  4. f''(-2)=0

Diese 4 Bedingungen setzen wir nun in die allgemeine kubische Funktion und ihre Ableitungen ein:

f(x)=ax3+bx2+cx+d

f'(x)=3ax2+2bx+c

f''(x)=6ax+2b

Daraus ergibt sich:

f(-2)=30: a⋅(-8) + b⋅4 + c⋅(-2) + d = 30

f(0)=-2: a⋅0 + b⋅0 + c⋅0 + d = -2

f'(0)=0: 3a⋅0 + 2b⋅0 + c = 0

f''(-2)=0: 6a⋅(-2) + 2b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten beiden Gleichungen, dass d=-2 ist und setzen dies in die andere Gleichung ein, in der noch ein d vorkommt:

f(-2)=30: a⋅(-8) + b⋅4 + c⋅(-2) + -2 = 30

Wenn wir jetzt noch das -2 auf die rechte Seite rüberbringen erhalten wir zusammen mit den unteren beiden Gleichungen das folgende LGS:

-8 a +4 b -2 c = 32 (I) +c = 0 (II) -12 a +2 b = 0 (III)

3·(I) -2·(III)

-8 a +4 b -2 c = +32 (I) 0 a +0 b +1 c = +0 (II) ( -24 +24 )a +( 12 -4 )b +( -6 +0 )c = ( 96 +0 ) (III)
-8 a +4 b -2 c = 32 (I) +c = 0 (II) +8 b -6 c = 96 (III)

Wir tauschen die Zeilen 2 und 3, um auf die gewünschte Dreiecksform zu kommen.

-8 a +4 b -2 c = 32 (I) +8 b -6 c = 96 (II) +c = 0 (III)
-8 a +4 b -2 c = +32 (I) 0 a +0 b +1 c = +0 (II) ( -24 +24 )a +( 12 -4 )b +( -6 +0 )c = ( 96 +0 ) (III)
-8 a +4 b -2 c = 32 (I) +8 b -6 c = 96 (II) +c = 0 (III)
Zeile (III): +c = 0

c = 0

eingesetzt in Zeile (II):

+8 b -6 ·(0 ) = 96

b = 12

eingesetzt in Zeile (I):

-8 a +4 ·(12 ) -2 ·(0 ) = 32 | -48
-8 a = -16 | : (-8)

a = 2

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = 2 x 3 +12 x 2 -2

Funktionstermbestimmung (berührende Fkt.)

Beispiel:

Bestimme den Term einer quadratischen Funktion, deren Graph durch den Punkt P(1|-13) geht und den Graph der Funktion g(x)= - 21 5 x 2 -28 an der Stelle x=5 berührt.

Lösung einblenden

Wir setzen erstmal den Punkt in die allgemeine quadratische Funktion f(x)=ax2+bx+c ein (Punktprobe).

f(1)=-13:a⋅1 + b⋅1 + c = -13

Jetzt müssen wir noch die Information nutzen, dass die gesuchte Funktion die andere Funktion g(x)= - 21 5 x 2 -28 an der Stelle x=5 berührt. Berühren sich die Graphen von zwei Funktionen in einem Punkt, so müssen dort die Funktionswerte und die Ableitungswerte gleich sein, d.h:
f(5)=g(5) und f'(5)=g'(5)

Um diese Gleichungen verwenden zu können, müssen wir erstmal g(5) und g'(5) berechnen:
g(5)= - 21 5 ⋅ 5 2 -28 = -133 , also muss auch f(5)= -133 sein.
g'(x)= - 42 5 x
g'(5)= - 42 5 ⋅5 = -42 , also muss auch f'(5)= -42 sein.

Wir erhalten so also die folgenden drei Gleichungen:

f(1)=-13:a⋅1 + b⋅1 + c = -13
f(5)= -133 :a⋅25 + b⋅5 + c = -133
f'(5)= -42 :2⋅a⋅5 + b = -42 (die Ableitung der allgemeinen quadratischen Funktion ist f(x)=2ax+b)

a +b +c = -13 (I) 25 a +5 b +c = -133 (II) 10 a +b = -42 (III)

langsame Rechnung einblenden25·(I) -1·(II)

10·(I) -1·(III)

1 a 1 b 1 c = -13 (I) ( 25 -25 )a +( 25 -5 )b +( 25 -1 )c = ( -325 +133 ) (II) ( 10 -10 )a +( 10 -1 )b +( 10 +0 )c = ( -130 +42 ) (III)
a +b +c = -13 (I) +20 b +24 c = -192 (II) +9 b +10 c = -88 (III)

langsame Rechnung einblenden9·(II) -20·(III)

1 a 1 b 1 c = -13 (I) 20 b 24 c = -192 (II) +( 180 -180 )b +( 216 -200 )c = ( -1728 +1760 ) (III)
a +b +c = -13 (I) +20 b +24 c = -192 (II) +16 c = 32 (III)
Zeile (III): +16 c = 32

c = 2

eingesetzt in Zeile (II):

+20 b +24 ·(2 ) = -192 | -48
20 b = -240 | : 20

b = -12

eingesetzt in Zeile (I):

a +(-12 ) +(2 ) = -13 | +10
1 a = -3 | : 1

a = -3

L={( -3 |-12 |2 )}

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = -3 x 2 -12x +2

Funktionstermbestimmung (kubische Fkt.)

Beispiel:

Bestimme den Term einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, die bei W(0|-1) einen Wendepunkt und bei E(2|-17) einen Extrempunkte hat.

Lösung einblenden

Da W(0|-1) und E(2|-17) Punkte auf dem Graph der gesuchten Funktion f sind, muss f(0) =-1 und f(2) =-17 gelten:

Außerdem wissen wir ja, dass E(2|-17) ein Extrempunkt ist. Also muss f'(2)=0 sein.

Zusätzlich wissen wir noch, dass W(0|-1) ein Wendepunkt ist. Also muss f''(0)=0 sein.

wir erhalten somit 4 Bedingungen:

  1. f(0) =-1
  2. f(2) =-17
  3. f'(2)=0
  4. f''(0)=0

Diese 4 Bedingungen setzen wir nun in die allgemeine kubische Funktion und ihre Ableitungen ein:

f(x)=ax3+bx2+cx+d

f'(x)=3ax2+2bx+c

f''(x)=6ax+2b

Daraus ergibt sich:

f(0)=-1: a⋅0 + b⋅0 + c⋅0 + d = -1

f(2)=-17: a⋅8 + b⋅4 + c⋅2 + d = -17

f'(2)=0: 3a⋅4 + 2b⋅2 + c = 0

f''(0)=0: 6a⋅0 + 2b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten beiden Gleichungen, dass d=-1 ist und setzen dies in die andere Gleichung ein, in der noch ein d vorkommt:

f(2)=-17: a⋅8 + b⋅4 + c⋅2 + -1 = -17

Wenn wir jetzt noch das -1 auf die rechte Seite rüberbringen erhalten wir zusammen mit den unteren beiden Gleichungen das folgende LGS:

8 a +4 b +2 c = -16 (I) 12 a +4 b +c = 0 (II) +2 b = 0 (III)

langsame Rechnung einblenden3·(I) -2·(II)

8 a 4 b 2 c = -16 (I) ( 24 -24 )a +( 12 -8 )b +( 6 -2 )c = ( -48 +0 ) (II) 2 b = 0 (III)
8 a +4 b +2 c = -16 (I) +4 b +4 c = -48 (II) +2 b = 0 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) -2·(III)

8 a 4 b 2 c = -16 (I) 4 b 4 c = -48 (II) +( 4 -4 )b +( 4 +0 )c = ( -48 +0 ) (III)
8 a +4 b +2 c = -16 (I) +4 b +4 c = -48 (II) +4 c = -48 (III)
Zeile (III): +4 c = -48

c = -12

eingesetzt in Zeile (II):

+4 b +4 ·(-12 ) = -48 | +48
4 b = 0 | : 4

b = 0

eingesetzt in Zeile (I):

8 a +4 ·(0 ) +2 ·(-12 ) = -16 | +24
8 a = 8 | : 8

a = 1

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = x 3 -12x -1