$\text{f(x)}=$ $-5x^2·\sin \left(-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-5·2x·\sin \left(-4x\right)-5x^2·\cos \left(-4x\right)·\left(-4\right)$

= $-10x·\sin \left(-4x\right)-5x^2·\left(-4\cdot \cos \left(-4x\right)\right)$

= $-10x·\sin \left(-4x\right)+20x^2·\cos \left(-4x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-2x^2·\cos \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2·2x·\cos \left(4x\right)-2x^2·(-\sin \left(4x\right)·4)$

= $-4x·\cos \left(4x\right)-2x^2·\left(-4\cdot \sin \left(4x\right)\right)$

= $-4x·\cos \left(4x\right)+8x^2·\sin \left(4x\right)$

= ${\left[-\frac{3}{4}\cdot \sin \left(4x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-\frac{3}{4}\cdot \sin \left(4\cdot \pi \right)+\frac{3}{4}\cdot \sin \left(4\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{3}{4}\cdot 0+\frac{3}{4}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $4\pi$ ≈ $4\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+8\pi$ = $8\pi$ und $4\pi +8\pi$ = $12\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|2) und einen bei ( $4\pi$|2) und einen bei ( $8\pi$|2) und einen bei ( $12\pi$|2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\pi$ ≈ $\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+2\pi$ = $2\pi$ und $\pi +2\pi$ = $3\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-2) und einen bei ( $\pi$|-2) und einen bei ( $2\pi$|-2) und einen bei ( $3\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{2}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{2}\pi$|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-\frac{1}{2}\pi$|-2) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \sin \left(4\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)-2$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{2}\pi$ + $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $-\frac{3}{8}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{3}{8}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{8}\pi$.

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{8}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{5}{8}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -2, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{8}\pi$|-5) und bei ( $\frac{5}{8}\pi$|-5)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.4706289056333

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{3}{4}x\right)$ = $\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,471}$
bzw. bei - $\mathrm{1,471}$+2π= $\mathrm{4,813}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{1,9613}$; $\mathrm{6,4173}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{8}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{1,9613}$ und x₂ = $\mathrm{6,4173}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $2\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 1

2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.25 s.

   Die Lösung ist also: 0.25 s.