$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{2}{3}\left(x+3\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{2}{3}\left(x+3\right)\right)·\left(\frac{2}{3}\left(1+0\right)\right)$

= $\cos \left(\frac{2}{3}\left(x+3\right)\right)·\left(\frac{2}{3}\left(1\right)\right)$

= $\frac{2}{3}\cdot \cos \left(\frac{2}{3}\left(x+3\right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $-3x·\sin \left(-4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3·1·\sin \left(-4x\right)-3x·\cos \left(-4x\right)·\left(-4\right)$

= $-3\cdot \sin \left(-4x\right)-3x·\left(-4\cdot \cos \left(-4x\right)\right)$

= $-3\cdot \sin \left(-4x\right)+12x·\cos \left(-4x\right)$

= ${\left[\frac{5}{3}\cdot \cos \left(-3x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\frac{5}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \pi \right)-\frac{5}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{5}{3}\cdot \left(-1\right)-\frac{5}{3}\cdot 0$

= $-\frac{5}{3}+0$

= $-\frac{5}{3}+0$

= $-\frac{5}{3}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $4\pi$ ≈ $4\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|1) und einen bei ( $4\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|-2) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $\frac{1}{6}\pi$. und bei x₂= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{6}\pi$|-2) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-3$|1).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-3$ + $\frac{2}{3}\pi$ ≈ $-\mathrm{0,906}$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{16}{3}\pi$) liegt,
also x₁= $-\mathrm{0,906}+\frac{8}{3}\pi$ ≈ $\mathrm{7,472}$ und bei x₂= $-3$ + $2\pi$ ≈ $\mathrm{3,283}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{7,472}+\frac{8}{3}\pi$ ≈ 15.85 und $\mathrm{3,283}+\frac{8}{3}\pi$ ≈ 11.661 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{7,472}$|1) und bei ( $\mathrm{3,283}$|1) und bei (15.85|1) und bei (11.661|1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert -0.92729521800161

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{5,356}$

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\frac{1}{2}x\right)$ = $-\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{5,356}$=-2.2144 bzw. bei -2.2144+2π= $\mathrm{4,069}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{8,138}$; $\mathrm{10,712}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $4\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{8,138}$ und x₂ = $\mathrm{10,712}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{2}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 4

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 75 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 75. Somit ist der tiefste Wert bei 75 cm - 30 cm = 45 cm.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 78

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 78 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 78 gleich:

   $30\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi t\right)+75$ = 78

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)+75$ = $78$ | $-75$

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$

   =

   $3$

   |:$30$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,1}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

   1. Fall:

   $\mathrm{1,5708}x$	=	$\mathrm{0,1}$	|:$\mathrm{1,5708}$
   x1	=	$\mathrm{0,0637}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{1,5708}t\right)$ = $\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,1}$= $\mathrm{3,041}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{1,5708}x$	=	$\mathrm{3,041}$	|:$\mathrm{1,5708}$
   x2	=	$\mathrm{1,936}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.06 s den Wert 78. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 1.94 s zum zweiten mal den Wert 78 erreicht. Während dieser 1.94 - 0.06 = 1.88 s ist der Wert der Funktion also höher als 78.

4. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 1 s.

   Die Lösung ist also: 1 s.