$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{1}{3}\left(x+3\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{1}{3}\left(x+3\right)\right)·\left(\frac{1}{3}\left(1+0\right)\right)$

= $\cos \left(\frac{1}{3}\left(x+3\right)\right)·\left(\frac{1}{3}\left(1\right)\right)$

= $\frac{1}{3}\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x+3\right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(4x-4\right)+4x$

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \cos \left(4x-4\right)·\left(4+0\right)+4$

= $-4\cdot \cos \left(4x-4\right)·\left(4\right)+4$

= $-16\cdot \cos \left(4x-4\right)+4$

= ${\left[-\frac{3}{5}\cdot \cos \left(-5x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-\frac{3}{5}\cdot \cos \left(-5\cdot \pi \right)+\frac{3}{5}\cdot \cos \left(-5\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-\frac{3}{5}\cdot \left(-1\right)+\frac{3}{5}\cdot 0$

= $\frac{3}{5}+0$

= $\frac{3}{5}+0$

= $\frac{3}{5}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $8\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+4\pi$ = $4\pi$ und $2\pi +4\pi$ = $6\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-2) und einen bei ( $2\pi$|-2) und einen bei ( $4\pi$|-2) und einen bei ( $6\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|2) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x+0\right)\right)+2$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $3\pi$ ≈ $3\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 2, also bei y=5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $3\pi$|5)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $3$|-1).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $3$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{4,571}$. und bei x₂= $3$ + $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{7,712}$.
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt, also x₂= $\mathrm{7,712}-2\pi$ ≈ $\mathrm{1,429}$.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{4,571}$|-1) und bei ( $\mathrm{1,429}$|-1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.8754889808103

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{2}x\right)$ = $-\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,875}$
bzw. bei - $\mathrm{1,875}$+2π= $\mathrm{4,408}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{3,75}$; $\mathrm{8,816}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $4\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{3,75}$ und x₂ = $\mathrm{8,816}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. t-Werte mit f(t) ≥ 14

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 14 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 14 gleich:

   $4\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-30\right)\right)+12$ = 14

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)+12$ = $14$ | $-12$

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)$

   =

   $2$

   |:$4$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)$

   =

   $\mathrm{0,5}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,515}$	=	$\frac{5}{6}\pi$	| $+\mathrm{0,515}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{0,515}+\frac{5}{6}\pi$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{3,133}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{182,1512}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,515}\right)$ = $\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6}\pi$= $\frac{1}{6}\pi$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,515}$	=	$\frac{1}{6}\pi$	| $+\mathrm{0,515}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{0,515}+\frac{1}{6}\pi$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{1,0386}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{60,3837}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 30 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 30 d nach oben und erreicht erstmals nach 60.38 d den Wert 14. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 182.15 d zum zweiten mal den Wert 14 erreicht. Während dieser 182.15 - 60.38 = 121.77 d ist der Wert der Funktion also höher als 14.

2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 30 d = 121.5 d. Die Lösung ist also: 121.5 d.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 h + 4 h = 16 h.