$\text{f(x)}=$ $\sin \left(3\left(x+\frac{1}{4}\pi \right)\right)+3$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(3\left(x+\frac{1}{4}\pi \right)\right)·\left(3\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(3\left(x+\frac{1}{4}\pi \right)\right)·3$

= $3\cdot \cos \left(3\left(x+\frac{1}{4}\pi \right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(x\right)$

= ${\left[-3\cdot \cos \left(x-\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-3\cdot \cos \left(\pi -\frac{3}{2}\pi \right)+3\cdot \cos \left(0-\frac{3}{2}\pi \right)$

= $-3\cdot \cos \left(-\frac{1}{2}\pi \right)+3\cdot \cos \left(-\frac{3}{2}\pi \right)$

= $-3\cdot 0+3\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{4}{3}\pi$ ≈ $\frac{4}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{8}{3}\pi$ = $\frac{8}{3}\pi$ und $\frac{4}{3}\pi +\frac{8}{3}\pi$ = $4\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-2) und einen bei ( $\frac{4}{3}\pi$|-2) und einen bei ( $\frac{8}{3}\pi$|-2) und einen bei ( $4\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-3) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{2}{3}\pi$ und $\frac{1}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-3) und einen bei ( $\frac{1}{3}\pi$|-3) und einen bei ( $\frac{2}{3}\pi$|-3) und einen bei ( $\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-\frac{2}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{2}{3}\pi$|1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-\frac{2}{3}\pi$|1) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-\frac{2}{3}\pi$ + $0$ ≈ $-\frac{2}{3}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $2\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{2}{3}\pi +\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$ und bei x₂= $-\frac{2}{3}\pi$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $-\frac{1}{6}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $2\pi$) liegt,
also x₂= $-\frac{1}{6}\pi +\pi$ ≈ $\frac{5}{6}\pi$.

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{3}\pi +\pi$ = $\frac{4}{3}\pi$ und $\frac{5}{6}\pi +\pi$ = $\frac{11}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{3}\pi$|1) und bei ( $\frac{5}{6}\pi$|1) und bei ( $\frac{4}{3}\pi$|1) und bei ( $\frac{11}{6}\pi$|1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.45102681179626

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(2x\right)$ = $\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{0,451}$
bzw. bei - $\mathrm{0,451}$+2π= $\mathrm{5,832}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,2255}$; $\mathrm{2,916}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,2255}$ und x₂ = $\mathrm{2,916}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. t-Werte mit f(t) ≥ 19.5

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 19.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 19.5 gleich:

   $5\cdot \sin \left(\frac{1}{12}\pi \left(t-11\right)\right)+15$ = 19.5

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)+15$ = $\mathrm{19,5}$ | $-15$

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)$

   =

   $\mathrm{4,5}$

   |:$5$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)$

   =

   $\mathrm{0,9}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

   1. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,8798}$	=	$\mathrm{1,12}$	| $+\mathrm{2,8798}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{3,9998}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x1	=	$\mathrm{15,2781}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)$ = $\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{1,12}$= $\mathrm{2,022}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,8798}$	=	$\mathrm{2,022}$	| $+\mathrm{2,8798}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{4,9018}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x2	=	$\mathrm{18,7235}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 11 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 11 h nach oben und erreicht erstmals nach 15.28 h den Wert 19.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 18.72 h zum zweiten mal den Wert 19.5 erreicht. Während dieser 18.72 - 15.28 = 3.44 h ist der Wert der Funktion also höher als 19.5.

2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 6 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 11 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 11 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 6 + 11 h = 17 h. Die Lösung ist also: 17 Uhr.