Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2-3x$	=	0
$x\left(x-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $3$}

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2-8x$	=	0
$x\left(x-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $8$}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{0+8}}{2}$ = 4 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(4|f(4)) mit f(4) = $4^2-8\cdot 4$ = $16-32$ = -16.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=0 und x₂=8 , Scheitel: S(4|-16).

1. Weg

$x^2-8x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-8x+16-16-5$

= ${\left(x-4\right)}^2-16-5$

= ${\left(x-4\right)}^2-21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-8x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-8x$	=	0
$x\left(x-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|f(4)).

f(4) = $4^2-8\cdot 4-5$ = $16-32-5$ = -21

also: S(4|-21).

1. Weg

$2x^2-16x-2$

= $2\left(x^2-8x\right)-2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $2\left(x^2-8x+16-16\right)-2$

= $2\left(x^2-8x+16\right)+2·\left(-16\right)-2$

= $2{\left(x-4\right)}^2-32-2$

= $2{\left(x-4\right)}^2-34$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-34).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $2x^2-16x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $2x^2-16x-2$ nur um $-2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $2x^2-16x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$2x^2-16x$	=	0
$2x\left(x-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|f(4)).

f(4) = $2\cdot 4^2-16\cdot 4-2$ = $32-64-2$ = -34

also: S(4|-34).

1. Weg

$-x^2+160x$

= $-\left(x^2-160x\right)$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-160x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-160x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -80 zu 6400. Diese 6400 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 6400, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $-\left(x^2-160x+6400-6400\right)$

= $-\left(x^2-160x+6400\right)-1·\left(-6400\right)$

= $-{\left(x-80\right)}^2+6400$

= $-{\left(x-80\right)}^2+6400$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(80|6400).

2. Weg

Von $-x^2+160x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$-x^2+160x$	=	0
$x\left(-x+160\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(80|f(80)).

f(80) = $-{80}^2+160\cdot 80$ = $-6400+12800$ = 6400

also: S(80|6400).

Für x=80 bekommen wir also mit 6400 einen extremalen Wert von $-x^2+160x$