Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^2+6x$	=	0
$x\left(x+6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-6$; 0}

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$2x^2+10x$	=	0
$2x\left(x+5\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-5$; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{\mathrm{-5+0}}{2}$ = -2.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-2.5|f(-2.5)) mit f(-2.5) = $2\cdot {\left(-2.5\right)}^2+10\cdot \left(-2.5\right)$ = $\mathrm{12,5}-25$ = -12.5.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=-5 und x₂=0 , Scheitel: S(-2.5|-12.5).

1. Weg

$x^2-8x+2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-8x+16-16+2$

= ${\left(x-4\right)}^2-16+2$

= ${\left(x-4\right)}^2-14$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-14).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-8x+2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-8x$	=	0
$x\left(x-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|f(4)).

f(4) = $4^2-8\cdot 4+2$ = $16-32+2$ = -14

also: S(4|-14).

1. Weg

$x^2-2x+3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1+3$

= $x^2-2x+1+1·\left(-1\right)+3$

= ${\left(x-1\right)}^2-1+3$

= ${\left(x-1\right)}^2+2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x+3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|f(1)).

f(1) = $1^2-2\cdot 1+3$ = $1-2+3$ = 2

also: S(1|2).

1. Weg

$-x^2+120x$

= $-\left(x^2-120x\right)$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-120x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-120x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -60 zu 3600. Diese 3600 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 3600, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $-\left(x^2-120x+3600-3600\right)$

= $-\left(x^2-120x+3600\right)-1·\left(-3600\right)$

= $-{\left(x-60\right)}^2+3600$

= $-{\left(x-60\right)}^2+3600$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(60|3600).

2. Weg

Von $-x^2+120x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$-x^2+120x$	=	0
$x\left(-x+120\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(60|f(60)).

f(60) = $-{60}^2+120\cdot 60$ = $-3600+7200$ = 3600

also: S(60|3600).

Für x=60 bekommen wir also mit 3600 einen extremalen Wert von $-x^2+120x$