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Aufgabenbeispiele von umwandeln in Scheitelform

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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 2 x 2 + x

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Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

2 x 2 + x = 0
x ( 2x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

2x +1 = 0 | -1
2x = -1 |:2
x2 = - 1 2 = -0.5

L={ - 1 2 ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 -4x

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Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 -4x = 0
x ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

L={0; 4 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+4 2 = 2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2|f(2)) mit f(2) = 2 2 -4⋅2 = 4 -8 = -4.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=4 , Scheitel: S(2|-4).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -10x +4 .

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1. Weg

x 2 -10x +4

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -10x +25 -25 +4

= ( x -5 ) 2 -25 +4

= ( x -5 ) 2 -21

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-21).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -10x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -10x +4 nur um 4 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -10x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -10x = 0
x ( x -10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -10 = 0 | +10
x2 = 10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|f(5)).

f(5) = 5 2 -10⋅5 +4 = 25 -50 +4 = -21

also: S(5|-21).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 +5x -3 .

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1. Weg

1 2 x 2 +5x -3

= 1 2 ( x 2 +10x ) -3

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 1 2 ( x 2 +10x +25 -25 ) -3

= 1 2 ( x 2 +10x +25 ) + 1 2 · ( -25 ) -3

= 1 2 ( x +5 ) 2 - 25 2 -3

= 1 2 ( x +5 ) 2 - 31 2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-15.5).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 1 2 x 2 +5x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 1 2 x 2 +5x -3 nur um -3 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 1 2 x 2 +5x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

1 2 x 2 +5x = 0 |⋅ 2
2( 1 2 x 2 +5x ) = 0
x 2 +10x = 0
x ( x +10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +10 = 0 | -10
x2 = -10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|f(-5)).

f(-5) = 1 2 ⋅ ( -5 ) 2 +5⋅( -5 ) -3 = 25 2 -25 -3 = -15.5

also: S(-5|-15.5).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 200 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

- x 2 +100x

= -( x 2 -100x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -100x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -100x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -50 zu 2500. Diese 2500 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 2500, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -100x +2500 -2500 )

= -( x 2 -100x +2500 ) -1 · ( -2500 )

= - ( x -50 ) 2 +2500

= - ( x -50 ) 2 +2500

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(50|2500).


2. Weg

Von - x 2 +100x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +100x = 0
x ( -x +100 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +100 = 0 | -100
-x = -100 |:(-1 )
x2 = 100

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(50|f(50)).

f(50) = - 50 2 +100⋅50 = -2500 +5000 = 2500

also: S(50|2500).


Für x=50 bekommen wir also mit 2500 einen extremalen Wert von - x 2 +100x