Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Winkel zwischen zwei Vektoren

Beispiel:

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u}$ = $(\begin{matrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$ und $\vec{v}$ = $(\begin{matrix} 5 \\ -5 \\ 2 \end{matrix})$

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Wir bilden (wie immer bei Winkeln) das Sklarprodukt der beiden Vektoren, also von $(\begin{matrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 5 \\ -5 \\ 2 \end{matrix})$ und teilen dieses durch die Längen der Vektoren.

Der Betrag des normierten Skalarprodukts ist gleich dem cos des gesuchten Winkels zwischen den Ebenen.

Wir berechnen den Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u}$ = $(\begin{matrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$ und $\vec{v}$ = $(\begin{matrix} 5 \\ -5 \\ 2 \end{matrix})$

cos(α) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | \cdot | \vec{v} |} = \frac{(-2) \cdot 5 + 3 \cdot (-5) + 4 \cdot 2}{\sqrt{{(-2)}^{2} + 3^{2} + 4^{2}}⋅\sqrt{5^{2} + {(-5)}^{2} + 2^{2}}} = \frac{-17}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{54}} \approx -0.4296

also $α \approx 115.4 °$

Innenwinkel im Dreieck

Beispiel:

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A $(-1 | 0 | 0)$ , B $(1 | -5 | 3)$ und C $(-3 | -1 | 3)$ . Berechne den Innenwinkel des Dreiecks im Punkt A.

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Wir berechnen den Winkel zwischen den Vektoren $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{matrix})$ und $\vec{AC}$ = $(\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{matrix})$

cos(α) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{| \vec{AB} | \cdot | \vec{AC} |} = \frac{2 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-1) + 3 \cdot 3}{\sqrt{2^{2} + {(-5)}^{2} + 3^{2}}⋅\sqrt{{(-2)}^{2} + {(-1)}^{2} + 3^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{14}} \approx 0.4336

also $α \approx 64.3 °$

Winkel zwischen 2 Geraden

Beispiel:

Berechne den Winkel unter dem sich die Geraden
g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -1 \\ 5 \\ -5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix})$ und h: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ -2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ -3 \\ -2 \end{matrix})$ schneiden.

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Wir bilden (wie immer bei Winkeln) das Sklarprodukt von den Richtungsvektoren der beiden Geraden, also von

(\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 3 \\ -3 \\ -2 \end{matrix})

, und teilen dieses durch die Längen der Vektoren. (Um immer den kleineren der beiden Schnittwinkel α und (180°-α) zu erhalten, muss davon immer noch der Betrag genommen werden.)
Der Betrag des normierten Skalarprodukts ist gleich dem cos des gesuchten Winkels zwischen den sich schneidenden Geraden.

cos(α) =

\frac{| (\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ -3 \\ -2 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 3 \\ -3 \\ -2 \end{matrix}) |}

=

\frac{| (-1) \cdot 3 + 2 \cdot (-3) + (-3) \cdot (-2) |}{\sqrt{{(-1)}^{2} + 2^{2} + {(-3)}^{2}} \cdot \sqrt{3^{2} + {(-3)}^{2} + {(-2)}^{2}}}

= \frac{| -3 |}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{22}} \approx 0.1709

also Schnittwinkel $α \approx 80.2 °$

Winkel zwischen 2 Ebenen

Beispiel:

Berechne den Winkel zwischen den Ebenen
E: $7 x_{1} - 10 x_{2} - 2 x_{3} = 140$ und F: $-2 x_{1} + 6 x_{2} + 5 x_{3} = 30$

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Wir bilden (wie immer bei Winkeln) das Sklarprodukt von den Normalenvektoren der beiden Ebenen, also von $(\begin{matrix} 7 \\ -10 \\ -2 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} -2 \\ 6 \\ 5 \end{matrix})$ , und teilen dieses durch die Längen der Vektoren. (Um immer den kleineren der beiden Schnittwinkel α und (180°-α) zu erhalten, muss davon immer noch der Betrag genommen werden.)

Der Betrag des normierten Skalarprodukts ist gleich dem cos des gesuchten Winkels zwischen den Ebenen (weil dieser ja gleich ist, wie der zwischen den Normalenvektoren).

cos(α) =

\frac{| (\begin{matrix} 7 \\ -10 \\ -2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 6 \\ 5 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} 7 \\ -10 \\ -2 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} -2 \\ 6 \\ 5 \end{matrix}) |}

\frac{| 7 \cdot (-2) + (-10) \cdot 6 + (-2) \cdot 5 |}{\sqrt{7^{2} + {(-10)}^{2} + {(-2)}^{2}} \cdot \sqrt{{(-2)}^{2} + 6^{2} + 5^{2}}}

= \frac{| -84 |}{\sqrt{153} \cdot \sqrt{65}} \approx 0.8423

also Schnittwinkel $α \approx 32.6 °$

Winkel zwischen Ebene und Gerade

Beispiel:

Berechne den Winkel zwischen der Ebene
E: $-4 x_{1} + x_{2} + 4 x_{3} = -4$ und der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ -5 \\ -4 \end{matrix})$

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Wir bilden (wie immer bei Winkeln) das Sklarprodukt,
diesesmal von Normalenvektor der Ebene

(\begin{matrix} -4 \\ 1 \\ 4 \end{matrix})

mit dem Richtungsvektor der Geraden

(\begin{matrix} 2 \\ -5 \\ -4 \end{matrix})

, und teilen dieses durch die Längen der Vektoren. (Um immer den kleineren der beiden Schnittwinkel α und (180°-α) zu erhalten, muss davon immer noch der Betrag genommen werden.)
Da wir so ja eigentlich den Winkel zwischen Normalenvektor und Gerade berechnen würden, müssen wir das diesesmal = sin(α) setzen.

sin(α) =

\frac{| (\begin{matrix} -4 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ -5 \\ -4 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} -4 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 2 \\ -5 \\ -4 \end{matrix}) |}

=

\frac{| (-4) \cdot 2 + 1 \cdot (-5) + 4 \cdot (-4) |}{\sqrt{{(-4)}^{2} + 1^{2} + 4^{2}} \cdot \sqrt{2^{2} + {(-5)}^{2} + {(-4)}^{2}}}

= \frac{| -29 |}{\sqrt{33} \cdot \sqrt{45}} \approx 0.7525

also Schnittwinkel $α \approx 48.8 °$

Winkel zwischen Ebene und Gerade

Beispiel:

Berechne den Winkel zwischen der Ebene
E: $4 x_{1} - x_{2} + x_{3} = 4$ und der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} -3 \\ 2 \\ -3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Wir bilden (wie immer bei Winkeln) das Sklarprodukt,
diesesmal von Normalenvektor der Ebene

(\begin{matrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{matrix})

mit dem Richtungsvektor der Geraden

(\begin{matrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})

, und teilen dieses durch die Längen der Vektoren. (Um immer den kleineren der beiden Schnittwinkel α und (180°-α) zu erhalten, muss davon immer noch der Betrag genommen werden.)
Da wir so ja eigentlich den Winkel zwischen Normalenvektor und Gerade berechnen würden, müssen wir das diesesmal = sin(α) setzen.

sin(α) =

\frac{| (\begin{matrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) |}

=

\frac{| 4 \cdot (-4) + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 3 |}{\sqrt{4^{2} + {(-1)}^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{{(-4)}^{2} + 1^{2} + 3^{2}}}

= \frac{| -14 |}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{26}} \approx 0.6472

also Schnittwinkel $α \approx 40.3 °$

Aufgabenbeispiele von Winkel

Winkel zwischen zwei Vektoren

Innenwinkel im Dreieck

Winkel zwischen 2 Geraden

Winkel zwischen 2 Ebenen

Winkel zwischen Ebene und Gerade

Winkel zwischen Ebene und Gerade