$\sqrt{10}·\sqrt{40}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10·4}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{4}$
= $10·2$
= $20$

$\frac{\sqrt{\frac{1}{40}}}{\sqrt{\frac{1}{10}}}$
= $\sqrt{\frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{10}}}$
= $\sqrt{\frac{1}{40}·10}$
= $\sqrt{\frac{1}{4}·1}$
= $\sqrt{\frac{1}{4}}$
= $\frac{1}{2}$

$\left(\sqrt{10}+\sqrt{160}\right)·\sqrt{10}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10}+\sqrt{160}·\sqrt{10}$
= $10+\sqrt{10·16}·\sqrt{10}$
= $10+\sqrt{16}·\sqrt{10}·\sqrt{10}$
= $10+4·10$
= $10+40$
= $50$

Nach der 2. biniomischen Formel ((a-b)²=a²-2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{10}-\sqrt{250}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{10}\right)}^2-2·\sqrt{10}·\sqrt{250}+{\left(\sqrt{250}\right)}^2$
= $10-2·\sqrt{10}·\sqrt{10·25}+250$
= $10-2·\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{25}+250$
= $10-2·10·5+250$
= $10-100+250$
= $160$

$\frac{\sqrt{27x}}{\sqrt{3x}}$
= $\frac{\sqrt{27}·\sqrt{x}}{\sqrt{3}·\sqrt{x}}$
= $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$
= $\sqrt{\frac{27}{3}}$
= $\sqrt{9}$
= $3$

$\sqrt{0+16+9}$
= $\sqrt{25}$
= $5$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{0}$ + $\sqrt{16}$ + $\sqrt{9}$ = 0 + $4$ + $3$ = 7 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $5$.