Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 9 Asse, 4 Könige, 3 Damen, und 4 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 9 + 4 + 3 + 4=20

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= 9 20

König: p= 4 20 = 1 5

Dame: p= 3 20

Bube: p= 4 20 = 1 5

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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EreignisP
3er-Zahl -> 3er-Zahl 1 9
3er-Zahl -> nicht 3er 2 9
nicht 3er -> 3er-Zahl 2 9
nicht 3er -> nicht 3er 4 9

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: 1 3 ; nicht 3er: 2 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'3er-Zahl'-'nicht 3er' (P= 2 9 )
'nicht 3er'-'3er-Zahl' (P= 2 9 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 9 + 2 9 = 4 9


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 7 ist?

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EreignisP
1 -> 1 9 64
1 -> 2 3 32
1 -> 3 3 32
1 -> 4 3 64
2 -> 1 3 32
2 -> 2 1 16
2 -> 3 1 16
2 -> 4 1 32
3 -> 1 3 32
3 -> 2 1 16
3 -> 3 1 16
3 -> 4 1 32
4 -> 1 3 64
4 -> 2 1 32
4 -> 3 1 32
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 3 8 ; 2: 1 4 ; 3: 1 4 ; 4: 1 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'3'-'4' (P= 1 32 )
'4'-'3' (P= 1 32 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 32 + 1 32 = 1 16


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 6 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 3 an ein Mädchen gehen?

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EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 1 6
Mädchen -> Mädchen -> Jungs 1 6
Mädchen -> Jungs -> Mädchen 1 6
Mädchen -> Jungs -> Jungs 1 10
Jungs -> Mädchen -> Mädchen 1 6
Jungs -> Mädchen -> Jungs 1 10
Jungs -> Jungs -> Mädchen 1 10
Jungs -> Jungs -> Jungs 1 30

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: 3 5 ; Jungs: 2 5 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= 1 6 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 6 = 1 6


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 2 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 3 Kugeln mit einer Zwei, 4 mit Drei und 3 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 3 ergeben?

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EreignisP
1 -> 1 1 66
1 -> 2 1 22
1 -> 3 2 33
1 -> 4 1 22
2 -> 1 1 22
2 -> 2 1 22
2 -> 3 1 11
2 -> 4 3 44
3 -> 1 2 33
3 -> 2 1 11
3 -> 3 1 11
3 -> 4 1 11
4 -> 1 1 22
4 -> 2 3 44
4 -> 3 1 11
4 -> 4 1 22

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 6 ; 2: 1 4 ; 3: 1 3 ; 4: 1 4 ;

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'1'-'2' (P= 1 22 )
'2'-'1' (P= 1 22 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 22 + 1 22 = 1 11


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 2 3 1 2
= 1 2 1 1 2
= 1 4

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nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 27 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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EreignisP
13 -> 13 5 19
13 -> 14 25 171
13 -> 15 20 171
14 -> 13 25 171
14 -> 14 10 171
14 -> 15 10 171
15 -> 13 20 171
15 -> 14 10 171
15 -> 15 2 57

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 13: 10 19 ; 14: 5 19 ; 15: 4 19 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'13'-'14' (P= 25 171 )
'14'-'13' (P= 25 171 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

25 171 + 25 171 = 50 171


mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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EreignisP
3er-Zahl -> 3er-Zahl 1 9
3er-Zahl -> nicht 3er 2 9
nicht 3er -> 3er-Zahl 2 9
nicht 3er -> nicht 3er 4 9

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: 1 3 ; nicht 3er: 2 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'nicht 3er'-'nicht 3er' (P= 4 9 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 9 = 4 9


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine 5-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 5 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden

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Bei jedem der 5 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 5 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 65 = 7776 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine 2-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 2 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden.

Lösung einblenden

Bei jedem der 2 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 2 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 = 62 = 36 Möglichkeiten.