Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: Man erkennt einen Kreisausschnitt, der so groß ist wie ein Viertelskreis zusammen mit einem Achtelskreis => p= $\frac{3}{8}$

grün: Man erkennt einen Kreisausschnitt, der so groß ist wie ein Viertelskreis zusammen mit einem Achtelskreis => p= $\frac{3}{8}$

gelb: Man erkennt einen Viertelkreis => p= $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{3}{8}$ ; "nicht rot": $\frac{5}{8}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{25}{64}$ = $\frac{39}{64}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{64}$
rot -> nicht rot	$\frac{15}{64}$
nicht rot -> rot	$\frac{15}{64}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{25}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{3}{8}$ ; nicht rot: $\frac{5}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{15}{64}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{15}{64}$ )
'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{64}$ + $\frac{15}{64}$ + $\frac{9}{64}$ = $\frac{39}{64}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote, 4 gelbe, 9 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{7}{24}$ ; "nicht rot": $\frac{17}{24}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{49}{576}$
rot -> nicht rot	$\frac{119}{576}$
nicht rot -> rot	$\frac{119}{576}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{289}{576}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{7}{24}$ ; nicht rot: $\frac{17}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{49}{576}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{49}{576}$ = $\frac{49}{576}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 2 Schüler mit NWT-Profil, 10 Schüler mit sprachlichem Profil, 4 Schüler mit Musik-Profil und 4 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{10}$ ; "nicht NWT": $\frac{9}{10}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{190}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{9}{95}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{9}{95}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{153}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: $\frac{1}{10}$ ; nicht NWT: $\frac{9}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'NWT' (P= $\frac{1}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{190}$ = $\frac{1}{190}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 2 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 9 Kugeln mit einer Zwei, 3 mit Drei und 6 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 6 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{190}$
1 -> 2	$\frac{9}{190}$
1 -> 3	$\frac{3}{190}$
1 -> 4	$\frac{3}{95}$
2 -> 1	$\frac{9}{190}$
2 -> 2	$\frac{18}{95}$
2 -> 3	$\frac{27}{380}$
2 -> 4	$\frac{27}{190}$
3 -> 1	$\frac{3}{190}$
3 -> 2	$\frac{27}{380}$
3 -> 3	$\frac{3}{190}$
3 -> 4	$\frac{9}{190}$
4 -> 1	$\frac{3}{95}$
4 -> 2	$\frac{27}{190}$
4 -> 3	$\frac{9}{190}$
4 -> 4	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{10}$ ; 2: $\frac{9}{20}$ ; 3: $\frac{3}{20}$ ; 4: $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{27}{190}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{27}{190}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{3}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{27}{190}$ + $\frac{27}{190}$ + $\frac{3}{190}$ = $\frac{3}{10}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 1 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{16}{225}$
1 -> 2	$\frac{28}{225}$
1 -> 3	$\frac{16}{225}$
2 -> 1	$\frac{28}{225}$
2 -> 2	$\frac{49}{225}$
2 -> 3	$\frac{28}{225}$
3 -> 1	$\frac{16}{225}$
3 -> 2	$\frac{28}{225}$
3 -> 3	$\frac{16}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{4}{15}$ ; 2: $\frac{7}{15}$ ; 3: $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{28}{225}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{28}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{28}{225}$ + $\frac{28}{225}$ = $\frac{56}{225}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Ein Vater möchte seinen 3 Kindern Schokolade mitbringen. Für Markus sucht er dessen Lieblingssorte Vollmilch. Davon findet er im Supermarkt 9 verschiedene Marken. Für Torsten möchte er Nußschokolade kaufen. Dafür muss er sich zwischen 7 Marken entscheiden. Maries Lieblingssorte "weiße Schokolade" hat der Supermarkt von 8 Marken. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt wie der Papa seine 3 Schokoladentafeln zusammenstellen kann.

Lösung einblenden

Für die Kategorie 'Vollmilch' gibt es 9 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 7 Möglichkeiten der Kategorie 'Nuss' kombinieren. Dies ergibt also 9 ⋅ 7 = 63 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 8 Möglichkeiten der Kategorie 'weiß' kombinieren, so dass sich insgesamt 9 ⋅ 7 ⋅ 8 = 504 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Sandy möchte sich ein Outfit zusammenstellen. Dabei kann sie beim Oberteil zwischen einer Bluse, einem T-Shirt und einem Pullover wählen. Außerdem muss sie sich für eine ihrer 5 Hosen entscheiden. Für die Füße stehen ihr 6 Paar Schuhe zur Verfügung. Wie viele verschiedene Outfits kann sie sich mit diesen Kleidungsstücken zusammenkombinieren?

Lösung einblenden

Für die Kategorie 'Oberteile' gibt es 3 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 5 Möglichkeiten der Kategorie 'Hosen' kombinieren. Dies ergibt also 3 ⋅ 5 = 15 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 6 Möglichkeiten der Kategorie 'Schuhe' kombinieren, so dass sich insgesamt 3 ⋅ 5 ⋅ 6 = 90 Möglichkeiten ergeben.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik