Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: Man erkennt einen Halbkreis => p= 1 2

grün: Man erkennt einen Viertelkreis => p= 1 4

gelb: Man erkennt einen Viertelkreis => p= 1 4

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 3 mal Wappen"?

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EreignisP
Zahl -> Zahl -> Zahl 1 8
Zahl -> Zahl -> Wappen 1 8
Zahl -> Wappen -> Zahl 1 8
Zahl -> Wappen -> Wappen 1 8
Wappen -> Zahl -> Zahl 1 8
Wappen -> Zahl -> Wappen 1 8
Wappen -> Wappen -> Zahl 1 8
Wappen -> Wappen -> Wappen 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Zahl: 1 2 ; Wappen: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Wappen'-'Wappen'-'Wappen' (P= 1 8 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 = 1 8


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine 6 zu würfeln?

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EreignisP
6er -> 6er 1 36
6er -> keine_6 5 36
keine_6 -> 6er 5 36
keine_6 -> keine_6 25 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: 1 6 ; keine_6: 5 6 ;

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'6er'-'6er' (P= 1 36 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 36 = 1 36


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 4 vom Typ Kreuz, 10 vom Typ Herz, 4 vom Typ Pik und 6 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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EreignisP
Kreuz -> Kreuz 1 46
Kreuz -> Herz 5 69
Kreuz -> Pik 2 69
Kreuz -> Karo 1 23
Herz -> Kreuz 5 69
Herz -> Herz 15 92
Herz -> Pik 5 69
Herz -> Karo 5 46
Pik -> Kreuz 2 69
Pik -> Herz 5 69
Pik -> Pik 1 46
Pik -> Karo 1 23
Karo -> Kreuz 1 23
Karo -> Herz 5 46
Karo -> Pik 1 23
Karo -> Karo 5 92

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 1 6 ; Herz: 5 12 ; Pik: 1 6 ; Karo: 1 4 ;

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'Kreuz'-'Kreuz' (P= 1 46 )
'Herz'-'Herz' (P= 15 92 )
'Pik'-'Pik' (P= 1 46 )
'Karo'-'Karo' (P= 5 92 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 46 + 15 92 + 1 46 + 5 92 = 6 23


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften mindestens 2 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Da ja ausschließlich nach 'deutsch' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'deutsch' und 'nicht deutsch'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"deutsch": 1 4 ; "nicht deutsch": 3 4 ;

EreignisP
deutsch -> deutsch -> deutsch 1 140
deutsch -> deutsch -> nicht deutsch 3 70
deutsch -> nicht deutsch -> deutsch 3 70
deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch 11 70
nicht deutsch -> deutsch -> deutsch 3 70
nicht deutsch -> deutsch -> nicht deutsch 11 70
nicht deutsch -> nicht deutsch -> deutsch 11 70
nicht deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch 11 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: deutsch: 1 4 ; nicht deutsch: 3 4 ;

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'deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P= 3 70 )
'deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P= 3 70 )
'nicht deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= 3 70 )
'deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= 1 140 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 70 + 3 70 + 3 70 + 1 140 = 19 140


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 7 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 5.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 11 3 10 2 9 1 8 7 7
= 1 11 1 5 1 3 1 2 7 7
= 1 330

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nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

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EreignisP
1 -> 1 1 5
1 -> 2 1 6
1 -> 3 1 10
2 -> 1 1 6
2 -> 2 2 21
2 -> 3 1 14
3 -> 1 1 10
3 -> 2 1 14
3 -> 3 1 35

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 7 15 ; 2: 1 3 ; 3: 1 5 ;

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'1'-'3' (P= 1 10 )
'3'-'1' (P= 1 10 )
'2'-'2' (P= 2 21 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 10 + 1 10 + 2 21 = 31 105


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 5 Karten der Farbe Kreuz, 6 der Farbe Pik, 10 der Farbe Herz und 3 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Pik"?

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Da ja ausschließlich nach 'Pik' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Pik' und 'nicht Pik'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Pik": 1 4 ; "nicht Pik": 3 4 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Pik' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Pik' bzw. 0 mal 'Pik'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Pik')=1- 51 92 = 41 92

EreignisP
Pik -> Pik 5 92
Pik -> nicht Pik 9 46
nicht Pik -> Pik 9 46
nicht Pik -> nicht Pik 51 92

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Pik: 1 4 ; nicht Pik: 3 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Pik'-'nicht Pik' (P= 9 46 )
'nicht Pik'-'Pik' (P= 9 46 )
'Pik'-'Pik' (P= 5 92 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 46 + 9 46 + 5 92 = 41 92


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine bestimmte Variable soll im Computer mit 8 Bit abgespeichert werden. Ein Bit kann immer nur die Werte 0 und 1 annehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Variable mit verschiedenen Werten zu belegen?

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Bei jedem der 8 'Zufallsversuche' gibt es 2 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 8 Ebenen immer 2-fach verzweigt.

Es entstehen so also 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 28 = 256 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Kristin hat die ganze Nacht durch MatheBattle gespielt und ist jetzt erste im Highscore in ihrer Klasse, die aus 23 Schülerinnen und Schülern besteht. Da überlegt sie sich, wie viele Möglichkeiten es eigentlich gibt, wie die ersten 3 Plätze belegt sein können. Berechne diese Anzahl aller Möglichkeiten?

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Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 23 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 22 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 21 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 23 ⋅ 22 ⋅ 21 = 10626 Möglichkeiten.