Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 blaue, 5 grüne, 4 gelbe und 6 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 9 + 5 + 4 + 6=24

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= 9 24 = 3 8

grün: p= 5 24

gelb: p= 4 24 = 1 6

rot: p= 6 24 = 1 4

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 8 gelbe, 7 blaue und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal gelb"?

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EreignisP
rot -> rot 9 100
rot -> blau 7 100
rot -> gelb 2 25
rot -> schwarz 3 50
blau -> rot 7 100
blau -> blau 49 900
blau -> gelb 14 225
blau -> schwarz 7 150
gelb -> rot 2 25
gelb -> blau 14 225
gelb -> gelb 16 225
gelb -> schwarz 4 75
schwarz -> rot 3 50
schwarz -> blau 7 150
schwarz -> gelb 4 75
schwarz -> schwarz 1 25

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 3 10 ; blau: 7 30 ; gelb: 4 15 ; schwarz: 1 5 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'gelb' (P= 2 25 )
'gelb'-'rot' (P= 2 25 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 25 + 2 25 = 4 25


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Würfelspiel Mäxle würfelt man mit zwei Würfeln. Die größere Augenzahl nimmt man als Zehner, die kleinere als Einer (z.B. 3 und 5 ergibt 53). Ein Pasch (gleiche Zahlen bei beiden Würfeln) zählt mehr als alle anderen Ergebnisse. Lediglich ein Mäxle (eine 1 und ein 2) schlägt auch einen Pasch. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also 31 und 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

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EreignisP
1 -> 1 1 36
1 -> 2 1 36
1 -> 3 1 36
1 -> höher 1 12
2 -> 1 1 36
2 -> 2 1 36
2 -> 3 1 36
2 -> höher 1 12
3 -> 1 1 36
3 -> 2 1 36
3 -> 3 1 36
3 -> höher 1 12
höher -> 1 1 12
höher -> 2 1 12
höher -> 3 1 12
höher -> höher 1 4

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 6 ; 2: 1 6 ; 3: 1 6 ; höher: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'1'-'3' (P= 1 36 )
'3'-'1' (P= 1 36 )
'2'-'3' (P= 1 36 )
'3'-'2' (P= 1 36 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 = 1 9


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 5 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 1 an ein Mädchen gehen?

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Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": 1 2 ; "nicht Mädchen": 1 2 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Mädchen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Mädchen' bzw. 0 mal 'Mädchen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Mädchen')=1- 1 12 = 11 12

EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 1 12
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen 5 36
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen 5 36
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen 5 36
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 5 36
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen 5 36
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen 5 36
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen 1 12

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: 1 2 ; nicht Mädchen: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= 5 36 )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= 5 36 )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= 5 36 )
'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= 5 36 )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= 5 36 )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= 5 36 )
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= 1 12 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 36 + 5 36 + 5 36 + 5 36 + 5 36 + 5 36 + 1 12 = 11 12


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 4 vom Typ rot, 5 vom Typ blau, 8 vom Typ gelb und 3 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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EreignisP
rot -> rot 3 95
rot -> blau 1 19
rot -> gelb 8 95
rot -> schwarz 3 95
blau -> rot 1 19
blau -> blau 1 19
blau -> gelb 2 19
blau -> schwarz 3 76
gelb -> rot 8 95
gelb -> blau 2 19
gelb -> gelb 14 95
gelb -> schwarz 6 95
schwarz -> rot 3 95
schwarz -> blau 3 76
schwarz -> gelb 6 95
schwarz -> schwarz 3 190

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 1 5 ; blau: 1 4 ; gelb: 2 5 ; schwarz: 3 20 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'rot' (P= 3 95 )
'blau'-'blau' (P= 1 19 )
'gelb'-'gelb' (P= 14 95 )
'schwarz'-'schwarz' (P= 3 190 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 95 + 1 19 + 14 95 + 3 190 = 47 190


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 24 2 23 21 22
= 3 4 1 23 7 22
= 21 2024

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": 3 20 ; "nicht 3": 17 20 ;

EreignisP
3 -> 3 3 190
3 -> nicht 3 51 380
nicht 3 -> 3 51 380
nicht 3 -> nicht 3 68 95

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: 3 20 ; nicht 3: 17 20 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'3'-'3' (P= 3 190 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 190 = 3 190


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal Ass"?

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Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": 1 2 ; "nicht Ass": 1 2 ;

EreignisP
Ass -> Ass 3 14
Ass -> nicht Ass 2 7
nicht Ass -> Ass 2 7
nicht Ass -> nicht Ass 3 14

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Ass: 1 2 ; nicht Ass: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Ass'-'Ass' (P= 3 14 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 14 = 3 14


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine 5-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 5 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden

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Bei jedem der 5 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 5 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 65 = 7776 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine 3-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 3 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden.

Lösung einblenden

Bei jedem der 3 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 3 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 63 = 216 Möglichkeiten.