Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 5 Asse, 2 Könige, 1 Damen, und 4 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 5 + 2 + 1 + 4=12

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= 5 12

König: p= 2 12 = 1 6

Dame: p= 1 12

Bube: p= 4 12 = 1 3

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

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EreignisP
prim -> prim -> prim 1 8
prim -> prim -> nicht prim 1 8
prim -> nicht prim -> prim 1 8
prim -> nicht prim -> nicht prim 1 8
nicht prim -> prim -> prim 1 8
nicht prim -> prim -> nicht prim 1 8
nicht prim -> nicht prim -> prim 1 8
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: 1 2 ; nicht prim: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= 1 8 )
'nicht prim'-'prim'-'nicht prim' (P= 1 8 )
'nicht prim'-'nicht prim'-'prim' (P= 1 8 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 + 1 8 = 3 8


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine 6 zu würfeln?

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EreignisP
6er -> 6er -> 6er 1 216
6er -> 6er -> keine_6 5 216
6er -> keine_6 -> 6er 5 216
6er -> keine_6 -> keine_6 25 216
keine_6 -> 6er -> 6er 5 216
keine_6 -> 6er -> keine_6 25 216
keine_6 -> keine_6 -> 6er 25 216
keine_6 -> keine_6 -> keine_6 125 216

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: 1 6 ; keine_6: 5 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'keine_6'-'keine_6'-'keine_6' (P= 125 216 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

125 216 = 125 216


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 6 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 2 an ein Mädchen gehen?

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Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": 3 5 ; "nicht Mädchen": 2 5 ;

EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 1 6
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen 1 6
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen 1 6
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen 1 10
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 1 6
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen 1 10
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen 1 10
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen 1 30

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: 3 5 ; nicht Mädchen: 2 5 ;

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'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= 1 6 )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= 1 6 )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= 1 6 )
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= 1 6 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 6 + 1 6 + 1 6 + 1 6 = 2 3


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 2 vom Typ rot und 8 vom Typ blau. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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EreignisP
rot -> rot 1 45
rot -> blau 8 45
blau -> rot 8 45
blau -> blau 28 45

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 1 5 ; blau: 4 5 ;

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'rot'-'rot' (P= 1 45 )
'blau'-'blau' (P= 28 45 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 45 + 28 45 = 29 45


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 8 4 7
= 4 2 1 7
= 2 7

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nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 27 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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EreignisP
13 -> 13 15 77
13 -> 14 50 231
13 -> 15 10 231
14 -> 13 50 231
14 -> 14 15 77
14 -> 15 10 231
15 -> 13 10 231
15 -> 14 10 231
15 -> 15 1 231

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 13: 5 11 ; 14: 5 11 ; 15: 1 11 ;

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'13'-'14' (P= 50 231 )
'14'-'13' (P= 50 231 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

50 231 + 50 231 = 100 231


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 2 5 ; "nicht blau": 3 5 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'blau')=1- 2 15 = 13 15

EreignisP
blau -> blau 2 15
blau -> nicht blau 4 15
nicht blau -> blau 4 15
nicht blau -> nicht blau 1 3

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: 2 5 ; nicht blau: 3 5 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'blau'-'nicht blau' (P= 4 15 )
'nicht blau'-'blau' (P= 4 15 )
'nicht blau'-'nicht blau' (P= 1 3 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 15 + 4 15 + 1 3 = 13 15


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Ein Vater möchte seinen 3 Kindern Schokolade mitbringen. Für Markus sucht er dessen Lieblingssorte Vollmilch. Davon findet er im Supermarkt 5 verschiedene Marken. Für Torsten möchte er Nußschokolade kaufen. Dafür muss er sich zwischen 3 Marken entscheiden. Maries Lieblingssorte "weiße Schokolade" hat der Supermarkt von 7 Marken. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt wie der Papa seine 3 Schokoladentafeln zusammenstellen kann.

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Für die Kategorie 'Vollmilch' gibt es 5 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 3 Möglichkeiten der Kategorie 'Nuss' kombinieren. Dies ergibt also 5 ⋅ 3 = 15 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 7 Möglichkeiten der Kategorie 'weiß' kombinieren, so dass sich insgesamt 5 ⋅ 3 ⋅ 7 = 105 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Ein spezielles Zahlenschloss hat 4 Ringe mit jeweils 10 verschiedenen Zahlen drauf. Wie viele verschiedene Möglichkeiten kann man bei diesem Zahlenschloss einstellen?

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Bei jedem der 4 'Zufallsversuche' gibt es 10 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 4 Ebenen immer 10-fach verzweigt.

Es entstehen so also 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 104 = 10000 Möglichkeiten.