Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p=$\frac{\mathrm{Anzahl\; gesuchter\; Möglichkeiten}}{\mathrm{Anzahl\; aller\; Möglichkeiten}}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 5 + 3 + 2 + 5=15

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p=$\frac{5}{15}$ =$\frac{1}{3}$

König: p=$\frac{3}{15}$ =$\frac{1}{5}$

Dame: p=$\frac{2}{15}$

Bube: p=$\frac{5}{15}$ =$\frac{1}{3}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: $\frac{1}{2}$; nicht prim: $\frac{1}{2}$;

'prim'-'prim'-'prim' (P=$\frac{1}{8}$)

$\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{4}{15}$; blau: $\frac{1}{5}$; gelb: $\frac{1}{5}$; schwarz: $\frac{1}{3}$;

'blau'-'gelb' (P=$\frac{1}{25}$)
'gelb'-'blau' (P=$\frac{1}{25}$)

$\frac{1}{25}$ + $\frac{1}{25}$ = $\frac{2}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{1}{6}$; Herz: $\frac{1}{4}$; Pik: $\frac{1}{3}$; Karo: $\frac{1}{4}$;

'Kreuz'-'Kreuz' (P=$\frac{1}{46}$)
'Herz'-'Herz' (P=$\frac{5}{92}$)
'Pik'-'Pik' (P=$\frac{7}{69}$)
'Karo'-'Karo' (P=$\frac{5}{92}$)

$\frac{1}{46}$ + $\frac{5}{92}$ + $\frac{7}{69}$ + $\frac{5}{92}$ = $\frac{16}{69}$

Da ja ausschließlich nach 'Karo' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Karo' und 'nicht Karo'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Karo": $\frac{3}{25}$; "nicht Karo": $\frac{22}{25}$;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Karo' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Karo' bzw. 0 mal 'Karo'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Karo')=1- $\frac{77}{100}$ = $\frac{23}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Karo: $\frac{3}{25}$; nicht Karo: $\frac{22}{25}$;

'Karo'-'nicht Karo' (P=$\frac{11}{100}$)
'nicht Karo'-'Karo' (P=$\frac{11}{100}$)
'Karo'-'Karo' (P=$\frac{1}{100}$)

$\frac{11}{100}$ + $\frac{11}{100}$ + $\frac{1}{100}$ = $\frac{23}{100}$

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P=$\frac{3}{27}$ ⋅ $\frac{2}{26}$ ⋅ $\frac{1}{25}$ ⋅ $\frac{24}{24}$
= $\frac{1}{9}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{1}{25}$ ⋅ $\frac{4}{4}$
= $\frac{1}{2925}$

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{1}{3}$; "nicht 3": $\frac{2}{3}$;

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: $\frac{1}{3}$; nicht 3: $\frac{2}{3}$;

'3'-'3' (P=$\frac{2}{21}$)

$\frac{2}{21}$ = $\frac{2}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{2}{5}$; blau: $\frac{3}{5}$;

'rot'-'rot' (P=$\frac{2}{15}$)
'blau'-'blau' (P=$\frac{1}{3}$)

$\frac{2}{15}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{7}{15}$

Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 Möglichkeiten.

Bei jedem der 10 'Zufallsversuche' gibt es 2 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 10 Ebenen immer 2-fach verzweigt.

Es entstehen so also 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2¹⁰ = 1024 Möglichkeiten.