Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente
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Zufallsexperiment (einstufig)
Beispiel:
Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl einen, zwei, drei oder vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p=
Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6
Hieraus ergibt sich für ...
1: p=
2: p= =
3: p=
4: p=
mit Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal Zahl"?
| Ereignis | P |
|---|---|
| Zahl -> Zahl -> Zahl | |
| Zahl -> Zahl -> Wappen | |
| Zahl -> Wappen -> Zahl | |
| Zahl -> Wappen -> Wappen | |
| Wappen -> Zahl -> Zahl | |
| Wappen -> Zahl -> Wappen | |
| Wappen -> Wappen -> Zahl | |
| Wappen -> Wappen -> Wappen |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Zahl: ; Wappen: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Zahl'-'Zahl'-'Wappen' (P=)
'Zahl'-'Wappen'-'Zahl' (P=)
'Wappen'-'Zahl'-'Zahl' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Beim Würfelspiel Mäxle würfelt man mit zwei Würfeln. Die größere Augenzahl nimmt man als Zehner, die kleinere als Einer (z.B. 3 und 5 ergibt 53). Ein Pasch (gleiche Zahlen bei beiden Würfeln) zählt mehr als alle anderen Ergebnisse. Lediglich ein Mäxle (eine 1 und ein 2) schlägt auch einen Pasch. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also 31 und 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1 -> 1 | |
| 1 -> 2 | |
| 1 -> 3 | |
| 1 -> höher | |
| 2 -> 1 | |
| 2 -> 2 | |
| 2 -> 3 | |
| 2 -> höher | |
| 3 -> 1 | |
| 3 -> 2 | |
| 3 -> 3 | |
| 3 -> höher | |
| höher -> 1 | |
| höher -> 2 | |
| höher -> 3 | |
| höher -> höher |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: ; 2: ; 3: ; höher: ;
Die relevanten Pfade sind:
'1'-'3' (P=)
'3'-'1' (P=)
'2'-'3' (P=)
'3'-'2' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
ohne Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften mindestens 1 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?
Da ja ausschließlich nach 'deutsch' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'deutsch' und 'nicht deutsch'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"deutsch": ; "nicht deutsch": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal deutsch' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'deutsch' bzw. 0 mal 'deutsch'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(0 mal 'deutsch')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| deutsch -> deutsch -> deutsch | |
| deutsch -> deutsch -> nicht deutsch | |
| deutsch -> nicht deutsch -> deutsch | |
| deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch | |
| nicht deutsch -> deutsch -> deutsch | |
| nicht deutsch -> deutsch -> nicht deutsch | |
| nicht deutsch -> nicht deutsch -> deutsch | |
| nicht deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: deutsch: ; nicht deutsch: ;
Die relevanten Pfade sind:
'deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P=)
'nicht deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P=)
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P=)
'deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P=)
'deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P=)
'nicht deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P=)
'deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + + + + =
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal Ass"?
Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": ; "nicht Ass": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| Ass -> Ass | |
| Ass -> nicht Ass | |
| nicht Ass -> Ass | |
| nicht Ass -> nicht Ass |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Ass: ; nicht Ass: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Ass'-'Ass' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅
= ⋅
=
nur Summen
Beispiel:
Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 9 ist?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1 -> 1 | |
| 1 -> 2 | |
| 1 -> 3 | |
| 1 -> 4 | |
| 1 -> 5 | |
| 1 -> 6 | |
| 2 -> 1 | |
| 2 -> 2 | |
| 2 -> 3 | |
| 2 -> 4 | |
| 2 -> 5 | |
| 2 -> 6 | |
| 3 -> 1 | |
| 3 -> 2 | |
| 3 -> 3 | |
| 3 -> 4 | |
| 3 -> 5 | |
| 3 -> 6 | |
| 4 -> 1 | |
| 4 -> 2 | |
| 4 -> 3 | |
| 4 -> 4 | |
| 4 -> 5 | |
| 4 -> 6 | |
| 5 -> 1 | |
| 5 -> 2 | |
| 5 -> 3 | |
| 5 -> 4 | |
| 5 -> 5 | |
| 5 -> 6 | |
| 6 -> 1 | |
| 6 -> 2 | |
| 6 -> 3 | |
| 6 -> 4 | |
| 6 -> 5 | |
| 6 -> 6 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: ; 2: ; 3: ; 4: ; 5: ; 6: ;
Die relevanten Pfade sind:
'3'-'6' (P=)
'6'-'3' (P=)
'4'-'5' (P=)
'5'-'4' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
mit Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": ; "nicht rot": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| rot -> rot | |
| rot -> nicht rot | |
| nicht rot -> rot | |
| nicht rot -> nicht rot |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: ; nicht rot: ;
Die relevanten Pfade sind:
'rot'-'rot' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Kombinatorik (ohne Binom.)
Beispiel:
Eine Mathelehrerin war bei 8 SchülerInnen ihrer Klasse mit den Ergebnissen der letzten Klassenarbeit nicht zufrieden. Deswegen möchte sie jetzt diese Schüler immer in kleinen Abfragen erneut überprüfen. Als sie sich eine Reihenfolge überlegen wollte, bemerkt sie, dass es dafür ja ziemlich viele Möglichkeiten gibt. Wie viele genau?
Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
also 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 40320 Möglichkeiten.
Kombinatorik
Beispiel:
Kristin hat die ganze Nacht durch MatheBattle gespielt und ist jetzt erste im Highscore in ihrer Klasse, die aus 18 Schülerinnen und Schülern besteht. Da überlegt sie sich, wie viele Möglichkeiten es eigentlich gibt, wie die ersten 3 Plätze belegt sein können. Berechne diese Anzahl aller Möglichkeiten?
Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 18 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 17 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 16 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
also 18 ⋅ 17 ⋅ 16 = 4896 Möglichkeiten.
