Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 blaue, 5 grüne, 7 gelbe und 6 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 6 + 5 + 7 + 6=24

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= 6 24 = 1 4

grün: p= 5 24

gelb: p= 7 24

rot: p= 6 24 = 1 4

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote, 4 gelbe, 4 blaue und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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EreignisP
rot -> rot 49 400
rot -> blau 7 100
rot -> gelb 7 100
rot -> schwarz 7 80
blau -> rot 7 100
blau -> blau 1 25
blau -> gelb 1 25
blau -> schwarz 1 20
gelb -> rot 7 100
gelb -> blau 1 25
gelb -> gelb 1 25
gelb -> schwarz 1 20
schwarz -> rot 7 80
schwarz -> blau 1 20
schwarz -> gelb 1 20
schwarz -> schwarz 1 16

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 7 20 ; blau: 1 5 ; gelb: 1 5 ; schwarz: 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'blau' (P= 7 100 )
'blau'-'rot' (P= 7 100 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 100 + 7 100 = 7 50


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 4 vom Typ rot und 6 vom Typ blau. Es wird 3 mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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EreignisP
rot -> rot -> rot 8 125
rot -> rot -> blau 12 125
rot -> blau -> rot 12 125
rot -> blau -> blau 18 125
blau -> rot -> rot 12 125
blau -> rot -> blau 18 125
blau -> blau -> rot 18 125
blau -> blau -> blau 27 125

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 2 5 ; blau: 3 5 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'rot'-'rot' (P= 8 125 )
'blau'-'blau'-'blau' (P= 27 125 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

8 125 + 27 125 = 7 25


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 5 blaue , 7 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 1 4 ; "nicht blau": 3 4 ;

EreignisP
blau -> blau 1 19
blau -> nicht blau 15 76
nicht blau -> blau 15 76
nicht blau -> nicht blau 21 38

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: 1 4 ; nicht blau: 3 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'blau'-'blau' (P= 1 19 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 19 = 1 19


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 9 Mädchen und 3 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 2 an ein Mädchen gehen?

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EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 21 55
Mädchen -> Mädchen -> Jungs 9 55
Mädchen -> Jungs -> Mädchen 9 55
Mädchen -> Jungs -> Jungs 9 220
Jungs -> Mädchen -> Mädchen 9 55
Jungs -> Mädchen -> Jungs 9 220
Jungs -> Jungs -> Mädchen 9 220
Jungs -> Jungs -> Jungs 1 220

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: 3 4 ; Jungs: 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Mädchen'-'Mädchen'-'Jungs' (P= 9 55 )
'Mädchen'-'Jungs'-'Mädchen' (P= 9 55 )
'Jungs'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= 9 55 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 55 + 9 55 + 9 55 = 27 55


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 10 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 13 2 12 10 11
= 1 13 2 2 5 11
= 5 143

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nur Summen

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?

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EreignisP
1 -> 1 25 64
1 -> 2 5 64
1 -> 3 5 64
1 -> 4 5 64
2 -> 1 5 64
2 -> 2 1 64
2 -> 3 1 64
2 -> 4 1 64
3 -> 1 5 64
3 -> 2 1 64
3 -> 3 1 64
3 -> 4 1 64
4 -> 1 5 64
4 -> 2 1 64
4 -> 3 1 64
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 5 8 ; 2: 1 8 ; 3: 1 8 ; 4: 1 8 ;

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'1'-'3' (P= 5 64 )
'3'-'1' (P= 5 64 )
'2'-'2' (P= 1 64 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 64 + 5 64 + 1 64 = 11 64


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 2 5 ; "nicht blau": 3 5 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- 1 6 = 5 6

EreignisP
blau -> blau -> blau 1 30
blau -> blau -> nicht blau 1 10
blau -> nicht blau -> blau 1 10
blau -> nicht blau -> nicht blau 1 6
nicht blau -> blau -> blau 1 10
nicht blau -> blau -> nicht blau 1 6
nicht blau -> nicht blau -> blau 1 6
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau 1 6

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: 2 5 ; nicht blau: 3 5 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P= 1 6 )
'nicht blau'-'blau'-'nicht blau' (P= 1 6 )
'nicht blau'-'nicht blau'-'blau' (P= 1 6 )
'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= 1 10 )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= 1 10 )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= 1 10 )
'blau'-'blau'-'blau' (P= 1 30 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 6 + 1 6 + 1 6 + 1 10 + 1 10 + 1 10 + 1 30 = 5 6


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 27 Schüler, in der 8b 27 Schüler und in der in der 8c 27 Schüler hat.

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Für die Kategorie '8a' gibt es 27 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 27 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 27 ⋅ 27 = 729 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 27 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 27 ⋅ 27 ⋅ 27 = 19683 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine Mathelehrerin war bei 8 SchülerInnen ihrer Klasse mit den Ergebnissen der letzten Klassenarbeit nicht zufrieden. Deswegen möchte sie jetzt diese Schüler immer in kleinen Abfragen erneut überprüfen. Als sie sich eine Reihenfolge überlegen wollte, bemerkt sie, dass es dafür ja ziemlich viele Möglichkeiten gibt. Wie viele genau?

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Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 40320 Möglichkeiten.