Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p=$\frac{\mathrm{Anzahl\; gesuchter\; Möglichkeiten}}{\mathrm{Anzahl\; aller\; Möglichkeiten}}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 9 + 8 + 6 + 7=30

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p=$\frac{9}{30}$ =$\frac{3}{10}$

König: p=$\frac{8}{30}$ =$\frac{4}{15}$

Dame: p=$\frac{6}{30}$ =$\frac{1}{5}$

Bube: p=$\frac{7}{30}$

Da ja ausschließlich nach 'Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Zahl' und 'nicht Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Zahl": $\frac{1}{2}$; "nicht Zahl": $\frac{1}{2}$;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Zahl' bzw. 0 mal 'Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Zahl')=1- $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Zahl: $\frac{1}{2}$; nicht Zahl: $\frac{1}{2}$;

'Zahl'-'nicht Zahl'-'nicht Zahl' (P=$\frac{1}{8}$)
'nicht Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P=$\frac{1}{8}$)
'nicht Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P=$\frac{1}{8}$)
'Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P=$\frac{1}{8}$)
'Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P=$\frac{1}{8}$)
'nicht Zahl'-'Zahl'-'Zahl' (P=$\frac{1}{8}$)
'Zahl'-'Zahl'-'Zahl' (P=$\frac{1}{8}$)

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{18}{37}$; schwarz: $\frac{18}{37}$; grün: $\frac{1}{37}$;

'schwarz'-'grün' (P=$\frac{18}{1369}$)
'grün'-'schwarz' (P=$\frac{18}{1369}$)

$\frac{18}{1369}$ + $\frac{18}{1369}$ = $\frac{36}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{1}{5}$; blau: $\frac{4}{5}$;

'blau'-'blau' (P=$\frac{28}{45}$)

$\frac{28}{45}$ = $\frac{28}{45}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{2}{3}$; blau: $\frac{1}{3}$;

'rot'-'rot' (P=$\frac{3}{7}$)

$\frac{3}{7}$ = $\frac{3}{7}$

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P=$\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{21}{23}$
= $\frac{3}{8}$ ⋅ $\frac{7}{23}$
= $\frac{21}{184}$

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{4}{15}$; "nicht 3": $\frac{11}{15}$;

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: $\frac{4}{15}$; nicht 3: $\frac{11}{15}$;

'3'-'3' (P=$\frac{2}{35}$)

$\frac{2}{35}$ = $\frac{2}{35}$

Da ja ausschließlich nach 'König' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'König' und 'nicht König'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"König": $\frac{1}{3}$; "nicht König": $\frac{2}{3}$;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal König' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'König' bzw. 0 mal 'König'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'König')=1- $\frac{2}{5}$ = $\frac{3}{5}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: König: $\frac{1}{3}$; nicht König: $\frac{2}{3}$;

'König'-'nicht König' (P=$\frac{4}{15}$)
'nicht König'-'König' (P=$\frac{4}{15}$)
'König'-'König' (P=$\frac{1}{15}$)

$\frac{4}{15}$ + $\frac{4}{15}$ + $\frac{1}{15}$ = $\frac{3}{5}$

Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 7 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 362880 Möglichkeiten.

Für die erste Stelle ist jede(r/s) Schülerin möglich. Es gibt also 21 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die/das an erster Stelle stehende Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 20 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 19 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 = 2441880 Möglichkeiten, die 21 Möglichkeiten (Schülerin) auf die 5 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen wurde. Also wären zum Beispiel Anton-Berta-Caesar und Berta-Caesar-Anton zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welche Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
• Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 2441880 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{2441880}}{\mathrm{120}}$ = 20349 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 21 Elementen (Schülerin) gebildet werden.