Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl einen, zwei, drei oder vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= 1 6

2: p= 3 6 = 1 2

3: p= 1 6

4: p= 1 6

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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EreignisP
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl 1 27
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er 2 27
3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl 2 27
3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er 4 27
nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl 2 27
nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er 4 27
nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl 4 27
nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er 8 27

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: 1 3 ; nicht 3er: 2 3 ;

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'3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= 1 27 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 27 = 1 27


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

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EreignisP
prim -> prim 1 4
prim -> nicht prim 1 4
nicht prim -> prim 1 4
nicht prim -> nicht prim 1 4

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: 1 2 ; nicht prim: 1 2 ;

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'prim'-'nicht prim' (P= 1 4 )
'nicht prim'-'prim' (P= 1 4 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 4 + 1 4 = 1 2


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 2 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 1 3 ; "nicht blau": 2 3 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'blau')=1- 2 91 = 89 91

EreignisP
blau -> blau -> blau 2 91
blau -> blau -> nicht blau 20 273
blau -> nicht blau -> blau 20 273
blau -> nicht blau -> nicht blau 15 91
nicht blau -> blau -> blau 20 273
nicht blau -> blau -> nicht blau 15 91
nicht blau -> nicht blau -> blau 15 91
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau 24 91

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: 1 3 ; nicht blau: 2 3 ;

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'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= 20 273 )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= 20 273 )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= 20 273 )
'blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P= 15 91 )
'nicht blau'-'blau'-'nicht blau' (P= 15 91 )
'nicht blau'-'nicht blau'-'blau' (P= 15 91 )
'nicht blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P= 24 91 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

20 273 + 20 273 + 20 273 + 15 91 + 15 91 + 15 91 + 24 91 = 89 91


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 3 mal blau"?

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EreignisP
rot -> rot -> rot 14 55
rot -> rot -> blau 28 165
rot -> blau -> rot 28 165
rot -> blau -> blau 4 55
blau -> rot -> rot 28 165
blau -> rot -> blau 4 55
blau -> blau -> rot 4 55
blau -> blau -> blau 1 55

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 2 3 ; blau: 1 3 ;

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'blau'-'blau'-'blau' (P= 1 55 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 55 = 1 55


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 8 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 11 8 10
= 3 11 8 10
= 12 55

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nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 26 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '13' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13' und 'nicht 13'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13": 10 19 ; "nicht 13": 9 19 ;

EreignisP
13 -> 13 5 19
13 -> nicht 13 5 19
nicht 13 -> 13 5 19
nicht 13 -> nicht 13 4 19

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 13: 10 19 ; nicht 13: 9 19 ;

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'13'-'13' (P= 5 19 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 19 = 5 19


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

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EreignisP
1 -> 1 4 25
1 -> 2 8 75
1 -> 3 2 15
2 -> 1 8 75
2 -> 2 16 225
2 -> 3 4 45
3 -> 1 2 15
3 -> 2 4 45
3 -> 3 1 9

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 2 5 ; 2: 4 15 ; 3: 1 3 ;

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'1'-'2' (P= 8 75 )
'2'-'1' (P= 8 75 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

8 75 + 8 75 = 16 75


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 24 Schüler, in der 8b 27 Schüler und in der in der 8c 24 Schüler hat.

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Für die Kategorie '8a' gibt es 24 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 27 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 24 ⋅ 27 = 648 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 24 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 24 ⋅ 27 ⋅ 24 = 15552 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 27 Schüler, in der 8b 21 Schüler und in der in der 8c 30 Schüler hat.

Lösung einblenden

Für die Kategorie '8a' gibt es 27 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 21 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 27 ⋅ 21 = 567 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 30 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 27 ⋅ 21 ⋅ 30 = 17010 Möglichkeiten ergeben.