Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 10 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 9 den evangelischen, und 5 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 10 + 9 + 5=24

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{10}{24}$ = $\frac{5}{12}$

ev: p= $\frac{9}{24}$ = $\frac{3}{8}$

Eth: p= $\frac{5}{24}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal Wappen"?

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Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Zahl: $\frac{1}{2}$ ; Wappen: $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'Zahl'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'Wappen'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{3}{20}$ ; "nicht 3": $\frac{17}{20}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{9}{400}$
3 -> nicht 3	$\frac{51}{400}$
nicht 3 -> 3	$\frac{51}{400}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{289}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: $\frac{3}{20}$ ; nicht 3: $\frac{17}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{9}{400}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{400}$ = $\frac{9}{400}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 3 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 10 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 0 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{8}$ ; "nicht NWT": $\frac{7}{8}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{92}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{21}{184}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{21}{184}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{35}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: $\frac{1}{8}$ ; nicht NWT: $\frac{7}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{35}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{35}{46}$ = $\frac{35}{46}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 5 Karten der Farbe Kreuz, 6 der Farbe Pik, 5 der Farbe Herz und 4 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Pik"?

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Da ja ausschließlich nach 'Pik' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Pik' und 'nicht Pik'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Pik": $\frac{3}{10}$ ; "nicht Pik": $\frac{7}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Pik' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Pik' bzw. 0 mal 'Pik'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Pik')=1- $\frac{91}{190}$ = $\frac{99}{190}$

Ereignis	P
Pik -> Pik	$\frac{3}{38}$
Pik -> nicht Pik	$\frac{21}{95}$
nicht Pik -> Pik	$\frac{21}{95}$
nicht Pik -> nicht Pik	$\frac{91}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Pik: $\frac{3}{10}$ ; nicht Pik: $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Pik'-'nicht Pik' (P= $\frac{21}{95}$ )
'nicht Pik'-'Pik' (P= $\frac{21}{95}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{95}$ + $\frac{21}{95}$ + $\frac{3}{38}$ = $\frac{99}{190}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 7 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{9}{64}$
1 -> 3	$\frac{3}{64}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{9}{64}$
2 -> 2	$\frac{9}{64}$
2 -> 3	$\frac{3}{64}$
2 -> 4	$\frac{3}{64}$
3 -> 1	$\frac{3}{64}$
3 -> 2	$\frac{3}{64}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{3}{64}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{3}{8}$ ; 2: $\frac{3}{8}$ ; 3: $\frac{1}{8}$ ; 4: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'4' (P= $\frac{1}{64}$ )
'4'-'3' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{64}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{32}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{10}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine bestimmte Variable soll im Computer mit 9 Bit abgespeichert werden. Ein Bit kann immer nur die Werte 0 und 1 annehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Variable mit verschiedenen Werten zu belegen?

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Bei jedem der 9 'Zufallsversuche' gibt es 2 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 9 Ebenen immer 2-fach verzweigt.

Es entstehen so also 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2⁹ = 512 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Ein spezielles Zahlenschloss hat 4 Ringe mit jeweils 4 verschiedenen Zahlen drauf. Wie viele verschiedene Möglichkeiten kann man bei diesem Zahlenschloss einstellen?

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Bei jedem der 4 'Zufallsversuche' gibt es 4 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 4 Ebenen immer 4-fach verzweigt.

Es entstehen so also 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 4⁴ = 256 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik