Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl einen, zwei, drei oder vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= 1 6

2: p= 3 6 = 1 2

3: p= 1 6

4: p= 1 6

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 1 2 ; "nicht rot": 1 2 ;

EreignisP
rot -> rot 1 4
rot -> nicht rot 1 4
nicht rot -> rot 1 4
nicht rot -> nicht rot 1 4

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 1 2 ; nicht rot: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'rot' (P= 1 4 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 4 = 1 4


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 2 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Teiler' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Teiler' und 'nicht Teiler'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Teiler": 2 3 ; "nicht Teiler": 1 3 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Teiler' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'Teiler'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'Teiler')=1- 8 27 = 19 27

EreignisP
Teiler -> Teiler -> Teiler 8 27
Teiler -> Teiler -> nicht Teiler 4 27
Teiler -> nicht Teiler -> Teiler 4 27
Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler 2 27
nicht Teiler -> Teiler -> Teiler 4 27
nicht Teiler -> Teiler -> nicht Teiler 2 27
nicht Teiler -> nicht Teiler -> Teiler 2 27
nicht Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler 1 27

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Teiler: 2 3 ; nicht Teiler: 1 3 ;

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'Teiler'-'Teiler'-'nicht Teiler' (P= 4 27 )
'Teiler'-'nicht Teiler'-'Teiler' (P= 4 27 )
'nicht Teiler'-'Teiler'-'Teiler' (P= 4 27 )
'Teiler'-'nicht Teiler'-'nicht Teiler' (P= 2 27 )
'nicht Teiler'-'Teiler'-'nicht Teiler' (P= 2 27 )
'nicht Teiler'-'nicht Teiler'-'Teiler' (P= 2 27 )
'nicht Teiler'-'nicht Teiler'-'nicht Teiler' (P= 1 27 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 27 + 4 27 + 4 27 + 2 27 + 2 27 + 2 27 + 1 27 = 19 27


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 3 blaue , 3 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 4 15 ; "nicht rot": 11 15 ;

EreignisP
rot -> rot 2 35
rot -> nicht rot 22 105
nicht rot -> rot 22 105
nicht rot -> nicht rot 11 21

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 4 15 ; nicht rot: 11 15 ;

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'rot'-'rot' (P= 2 35 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 35 = 2 35


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 8 blaue , 4 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal schwarz"?

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Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": 1 4 ; "nicht schwarz": 3 4 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- 51 92 = 41 92

EreignisP
schwarz -> schwarz 5 92
schwarz -> nicht schwarz 9 46
nicht schwarz -> schwarz 9 46
nicht schwarz -> nicht schwarz 51 92

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: schwarz: 1 4 ; nicht schwarz: 3 4 ;

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'schwarz'-'nicht schwarz' (P= 9 46 )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= 9 46 )
'schwarz'-'schwarz' (P= 5 92 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 46 + 9 46 + 5 92 = 41 92


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 2 3 1 2
= 1 2 1 1 2
= 1 4

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nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 29 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden
EreignisP
13 -> 13 45 136
13 -> 14 25 136
13 -> 15 5 68
14 -> 13 25 136
14 -> 14 5 68
14 -> 15 5 136
15 -> 13 5 68
15 -> 14 5 136
15 -> 15 1 136

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 13: 10 17 ; 14: 5 17 ; 15: 2 17 ;

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'14'-'15' (P= 5 136 )
'15'-'14' (P= 5 136 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 136 + 5 136 = 5 68


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 6 vom Typ rot, 4 vom Typ blau, 5 vom Typ gelb und 5 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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EreignisP
rot -> rot 9 100
rot -> blau 3 50
rot -> gelb 3 40
rot -> schwarz 3 40
blau -> rot 3 50
blau -> blau 1 25
blau -> gelb 1 20
blau -> schwarz 1 20
gelb -> rot 3 40
gelb -> blau 1 20
gelb -> gelb 1 16
gelb -> schwarz 1 16
schwarz -> rot 3 40
schwarz -> blau 1 20
schwarz -> gelb 1 16
schwarz -> schwarz 1 16

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 3 10 ; blau: 1 5 ; gelb: 1 4 ; schwarz: 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'rot' (P= 9 100 )
'blau'-'blau' (P= 1 25 )
'gelb'-'gelb' (P= 1 16 )
'schwarz'-'schwarz' (P= 1 16 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 100 + 1 25 + 1 16 + 1 16 = 51 200


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Petra hat sich ein 5-stelliges Passwort erstellt. Als sie eine Woche später das Passwort wieder braucht, erinnert sie sich nur noch, dass jede der Zahlen zwischen 1 und 5 genau einmal vorkam. Wie viele verschiedene Passwörter können es dann noch sein?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine 2-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 2 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden.

Lösung einblenden

Bei jedem der 2 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 2 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 = 62 = 36 Möglichkeiten.