Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente
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Zufallsexperiment (einstufig)
Beispiel:
In einer Klasse besuchen 6 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 4 den evangelischen, und 5 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p=
Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 6 + 4 + 5=15
Hieraus ergibt sich für ...
rk: p= =
ev: p=
Eth: p= =
mit Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
In einer Urne sind 9 rote, 10 gelbe, 6 blaue und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?
Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": ; "nicht rot": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| rot -> rot | |
| rot -> nicht rot | |
| nicht rot -> rot | |
| nicht rot -> nicht rot |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: ; nicht rot: ;
Die relevanten Pfade sind:
'rot'-'rot' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal 1-12"?
Da ja ausschließlich nach '1-12' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '1-12' und 'nicht 1-12'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"1-12": ; "nicht 1-12": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 1-12' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal '1-12'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(2 mal '1-12')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1-12 -> 1-12 | |
| 1-12 -> nicht 1-12 | |
| nicht 1-12 -> 1-12 | |
| nicht 1-12 -> nicht 1-12 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1-12: ; nicht 1-12: ;
Die relevanten Pfade sind:
'1-12'-'nicht 1-12' (P=)
'nicht 1-12'-'1-12' (P=)
'nicht 1-12'-'nicht 1-12' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
ohne Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 5 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 3 an ein Mädchen gehen?
| Ereignis | P |
|---|---|
| Mädchen -> Mädchen -> Mädchen | |
| Mädchen -> Mädchen -> Jungs | |
| Mädchen -> Jungs -> Mädchen | |
| Mädchen -> Jungs -> Jungs | |
| Jungs -> Mädchen -> Mädchen | |
| Jungs -> Mädchen -> Jungs | |
| Jungs -> Jungs -> Mädchen | |
| Jungs -> Jungs -> Jungs |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: ; Jungs: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 9 vom Typ Kreuz, 6 vom Typ Herz, 6 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?
| Ereignis | P |
|---|---|
| Kreuz -> Kreuz | |
| Kreuz -> Herz | |
| Kreuz -> Pik | |
| Kreuz -> Karo | |
| Herz -> Kreuz | |
| Herz -> Herz | |
| Herz -> Pik | |
| Herz -> Karo | |
| Pik -> Kreuz | |
| Pik -> Herz | |
| Pik -> Pik | |
| Pik -> Karo | |
| Karo -> Kreuz | |
| Karo -> Herz | |
| Karo -> Pik | |
| Karo -> Karo |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: ; Herz: ; Pik: ; Karo: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Kreuz'-'Kreuz' (P=)
'Herz'-'Herz' (P=)
'Pik'-'Pik' (P=)
'Karo'-'Karo' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
nur Summen
Beispiel:
In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?
Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": ; "nicht 3": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| 3 -> 3 | |
| 3 -> nicht 3 | |
| nicht 3 -> 3 | |
| nicht 3 -> nicht 3 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: ; nicht 3: ;
Die relevanten Pfade sind:
'3'-'3' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 7 Mädchen und 3 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 3 an ein Mädchen gehen?
| Ereignis | P |
|---|---|
| Mädchen -> Mädchen -> Mädchen | |
| Mädchen -> Mädchen -> Jungs | |
| Mädchen -> Jungs -> Mädchen | |
| Mädchen -> Jungs -> Jungs | |
| Jungs -> Mädchen -> Mädchen | |
| Jungs -> Mädchen -> Jungs | |
| Jungs -> Jungs -> Mädchen | |
| Jungs -> Jungs -> Jungs |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: ; Jungs: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Kombinatorik (ohne Binom.)
Beispiel:
Ein spezielles Zahlenschloss hat 4 Ringe mit jeweils 4 verschiedenen Zahlen drauf. Wie viele verschiedene Möglichkeiten kann man bei diesem Zahlenschloss einstellen?
Bei jedem der 4 'Zufallsversuche' gibt es 4 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 4 Ebenen immer 4-fach verzweigt.
Es entstehen so also 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 44 = 256 Möglichkeiten.
Kombinatorik
Beispiel:
Eine 2-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 2 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden.
Bei jedem der 2 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 2 Ebenen immer 6-fach verzweigt.
Es entstehen so also 6 ⋅ 6 = 62 = 36 Möglichkeiten.
