Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl einen, zwei, drei oder vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= 1 6

2: p= 3 6 = 1 2

3: p= 1 6

4: p= 1 6

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": 1 3 ; "nicht 3er-Zahl": 2 3 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 3er-Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal '3er-Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal '3er-Zahl')=1- 1 9 = 8 9

EreignisP
3er-Zahl -> 3er-Zahl 1 9
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl 2 9
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl 2 9
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl 4 9

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: 1 3 ; nicht 3er-Zahl: 2 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= 2 9 )
'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= 2 9 )
'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= 4 9 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 9 + 2 9 + 4 9 = 8 9


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

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EreignisP
Teiler -> Teiler -> Teiler 8 27
Teiler -> Teiler -> kein Teiler 4 27
Teiler -> kein Teiler -> Teiler 4 27
Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler 2 27
kein Teiler -> Teiler -> Teiler 4 27
kein Teiler -> Teiler -> kein Teiler 2 27
kein Teiler -> kein Teiler -> Teiler 2 27
kein Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler 1 27

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Teiler: 2 3 ; kein Teiler: 1 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Teiler'-'kein Teiler'-'kein Teiler' (P= 2 27 )
'kein Teiler'-'Teiler'-'kein Teiler' (P= 2 27 )
'kein Teiler'-'kein Teiler'-'Teiler' (P= 2 27 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 27 + 2 27 + 2 27 = 2 9


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 3 10 ; "nicht blau": 7 10 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- 7 15 = 8 15

EreignisP
blau -> blau 1 15
blau -> nicht blau 7 30
nicht blau -> blau 7 30
nicht blau -> nicht blau 7 15

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: 3 10 ; nicht blau: 7 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'blau'-'nicht blau' (P= 7 30 )
'nicht blau'-'blau' (P= 7 30 )
'blau'-'blau' (P= 1 15 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 30 + 7 30 + 1 15 = 8 15


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 8 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 3 an ein Mädchen gehen?

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EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 14 55
Mädchen -> Mädchen -> Jungs 28 165
Mädchen -> Jungs -> Mädchen 28 165
Mädchen -> Jungs -> Jungs 4 55
Jungs -> Mädchen -> Mädchen 28 165
Jungs -> Mädchen -> Jungs 4 55
Jungs -> Jungs -> Mädchen 4 55
Jungs -> Jungs -> Jungs 1 55

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: 2 3 ; Jungs: 1 3 ;

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'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= 14 55 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

14 55 = 14 55


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 7 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 5. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 11 3 10 2 9 1 8 7 7
= 1 11 1 5 1 3 1 2 7 7
= 1 330

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nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 15 ist?

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EreignisP
7 -> 7 2 15
7 -> 8 4 45
7 -> 9 8 45
8 -> 7 4 45
8 -> 8 1 45
8 -> 9 4 45
9 -> 7 8 45
9 -> 8 4 45
9 -> 9 2 15

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 7: 2 5 ; 8: 1 5 ; 9: 2 5 ;

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'7'-'8' (P= 4 45 )
'8'-'7' (P= 4 45 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 45 + 4 45 = 8 45


nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 17 ist?

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EreignisP
7 -> 7 1 28
7 -> 8 1 14
7 -> 9 1 7
8 -> 7 1 14
8 -> 8 1 28
8 -> 9 1 7
9 -> 7 1 7
9 -> 8 1 7
9 -> 9 3 14

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 7: 1 4 ; 8: 1 4 ; 9: 1 2 ;

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'8'-'9' (P= 1 7 )
'9'-'8' (P= 1 7 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 7 + 1 7 = 2 7


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 21 Schüler, in der 8b 21 Schüler und in der in der 8c 27 Schüler hat.

Lösung einblenden

Für die Kategorie '8a' gibt es 21 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 21 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 21 ⋅ 21 = 441 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 27 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 21 ⋅ 21 ⋅ 27 = 11907 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Kristin hat die ganze Nacht durch MatheBattle gespielt und ist jetzt erste im Highscore in ihrer Klasse, die aus 20 Schülerinnen und Schülern besteht. Da überlegt sie sich, wie viele Möglichkeiten es eigentlich gibt, wie die ersten 4 Plätze belegt sein können. Berechne diese Anzahl aller Möglichkeiten?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 20 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 19 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 18 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 = 116280 Möglichkeiten.