Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl einen, zwei, drei oder vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= 1 6

2: p= 3 6 = 1 2

3: p= 1 6

4: p= 1 6

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": 1 2 ; "nicht prim": 1 2 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal prim' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'prim' bzw. 0 mal 'prim'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'prim')=1- 1 4 = 3 4

EreignisP
prim -> prim 1 4
prim -> nicht prim 1 4
nicht prim -> prim 1 4
nicht prim -> nicht prim 1 4

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: 1 2 ; nicht prim: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'prim'-'nicht prim' (P= 1 4 )
'nicht prim'-'prim' (P= 1 4 )
'prim'-'prim' (P= 1 4 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 4 + 1 4 + 1 4 = 3 4


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 4 vom Typ rot, 3 vom Typ blau, 8 vom Typ gelb und 5 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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EreignisP
rot -> rot 1 25
rot -> blau 3 100
rot -> gelb 2 25
rot -> schwarz 1 20
blau -> rot 3 100
blau -> blau 9 400
blau -> gelb 3 50
blau -> schwarz 3 80
gelb -> rot 2 25
gelb -> blau 3 50
gelb -> gelb 4 25
gelb -> schwarz 1 10
schwarz -> rot 1 20
schwarz -> blau 3 80
schwarz -> gelb 1 10
schwarz -> schwarz 1 16

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 1 5 ; blau: 3 20 ; gelb: 2 5 ; schwarz: 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'rot' (P= 1 25 )
'blau'-'blau' (P= 9 400 )
'gelb'-'gelb' (P= 4 25 )
'schwarz'-'schwarz' (P= 1 16 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 25 + 9 400 + 4 25 + 1 16 = 57 200


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 4 Schüler mit NWT-Profil, 2 Schüler mit sprachlichem Profil, 10 Schüler mit Musik-Profil und 4 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": 1 5 ; "nicht NWT": 4 5 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'NWT' bzw. 0 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'NWT')=1- 12 19 = 7 19

EreignisP
NWT -> NWT 3 95
NWT -> nicht NWT 16 95
nicht NWT -> NWT 16 95
nicht NWT -> nicht NWT 12 19

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: 1 5 ; nicht NWT: 4 5 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'NWT'-'nicht NWT' (P= 16 95 )
'nicht NWT'-'NWT' (P= 16 95 )
'NWT'-'NWT' (P= 3 95 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

16 95 + 16 95 + 3 95 = 7 19


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 9 Mädchen und 3 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 1 an ein Mädchen gehen?

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Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": 3 4 ; "nicht Mädchen": 1 4 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Mädchen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Mädchen' bzw. 0 mal 'Mädchen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Mädchen')=1- 1 220 = 219 220

EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 21 55
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen 9 55
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen 9 55
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen 9 220
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 9 55
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen 9 220
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen 9 220
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen 1 220

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: 3 4 ; nicht Mädchen: 1 4 ;

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'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= 9 220 )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= 9 220 )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= 9 220 )
'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= 9 55 )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= 9 55 )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= 9 55 )
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= 21 55 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 220 + 9 220 + 9 220 + 9 55 + 9 55 + 9 55 + 21 55 = 219 220


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 7 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 2 9 1 8 7 7
= 1 9 1 4 7 7
= 1 36

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nur Summen

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

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EreignisP
1 -> 1 1 4
1 -> 2 1 8
1 -> 3 1 16
1 -> 4 1 16
2 -> 1 1 8
2 -> 2 1 16
2 -> 3 1 32
2 -> 4 1 32
3 -> 1 1 16
3 -> 2 1 32
3 -> 3 1 64
3 -> 4 1 64
4 -> 1 1 16
4 -> 2 1 32
4 -> 3 1 64
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 2 ; 2: 1 4 ; 3: 1 8 ; 4: 1 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'1'-'4' (P= 1 16 )
'4'-'1' (P= 1 16 )
'2'-'3' (P= 1 32 )
'3'-'2' (P= 1 32 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 16 + 1 16 + 1 32 + 1 32 = 3 16


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote, 4 blaue , 6 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal blau und 1 mal gelb"?

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EreignisP
rot -> rot 1 19
rot -> blau 1 19
rot -> gelb 3 38
rot -> schwarz 5 76
blau -> rot 1 19
blau -> blau 3 95
blau -> gelb 6 95
blau -> schwarz 1 19
gelb -> rot 3 38
gelb -> blau 6 95
gelb -> gelb 3 38
gelb -> schwarz 3 38
schwarz -> rot 5 76
schwarz -> blau 1 19
schwarz -> gelb 3 38
schwarz -> schwarz 1 19

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 1 4 ; blau: 1 5 ; gelb: 3 10 ; schwarz: 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'blau'-'gelb' (P= 6 95 )
'gelb'-'blau' (P= 6 95 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

6 95 + 6 95 = 12 95


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Kristin hat die ganze Nacht durch MatheBattle gespielt und ist jetzt erste im Highscore in ihrer Klasse, die aus 18 Schülerinnen und Schülern besteht. Da überlegt sie sich, wie viele Möglichkeiten es eigentlich gibt, wie die ersten 5 Plätze belegt sein können. Berechne diese Anzahl aller Möglichkeiten?

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Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 18 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 17 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 16 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 = 1028160 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine Mathelehrerin war bei 4 SchülerInnen ihrer Klasse mit den Ergebnissen der letzten Klassenarbeit nicht zufrieden. Deswegen möchte sie jetzt diese Schüler immer in kleinen Abfragen erneut überprüfen. Als sie sich eine Reihenfolge überlegen wollte, bemerkt sie, dass es dafür ja ziemlich viele Möglichkeiten gibt. Wie viele genau?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 Möglichkeiten.