Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 6 Könige, 5 Damen, und 7 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 2 + 6 + 5 + 7=20

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{2}{20}$ = $\frac{1}{10}$

König: p= $\frac{6}{20}$ = $\frac{3}{10}$

Dame: p= $\frac{5}{20}$ = $\frac{1}{4}$

Bube: p= $\frac{7}{20}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine 6 zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": $\frac{1}{6}$ ; "nicht 6er": $\frac{5}{6}$ ;

Ereignis	P
6er -> 6er -> 6er	$\frac{1}{216}$
6er -> 6er -> nicht 6er	$\frac{5}{216}$
6er -> nicht 6er -> 6er	$\frac{5}{216}$
6er -> nicht 6er -> nicht 6er	$\frac{25}{216}$
nicht 6er -> 6er -> 6er	$\frac{5}{216}$
nicht 6er -> 6er -> nicht 6er	$\frac{25}{216}$
nicht 6er -> nicht 6er -> 6er	$\frac{25}{216}$
nicht 6er -> nicht 6er -> nicht 6er	$\frac{125}{216}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: $\frac{1}{6}$ ; nicht 6er: $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'nicht 6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{25}{216}$ )
'nicht 6er'-'6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{25}{216}$ )
'nicht 6er'-'nicht 6er'-'6er' (P= $\frac{25}{216}$ )
'nicht 6er'-'nicht 6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{125}{216}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{216}$ + $\frac{25}{216}$ + $\frac{25}{216}$ + $\frac{125}{216}$ = $\frac{25}{27}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{25}{144}$
1 -> 2	$\frac{5}{32}$
1 -> 3	$\frac{25}{288}$
2 -> 1	$\frac{5}{32}$
2 -> 2	$\frac{9}{64}$
2 -> 3	$\frac{5}{64}$
3 -> 1	$\frac{25}{288}$
3 -> 2	$\frac{5}{64}$
3 -> 3	$\frac{25}{576}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{5}{12}$ ; 2: $\frac{3}{8}$ ; 3: $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{25}{288}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{25}{288}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{9}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{288}$ + $\frac{25}{288}$ + $\frac{9}{64}$ = $\frac{181}{576}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 2 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 4 vom Typ Pik und 5 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{105}$
Kreuz -> Herz	$\frac{4}{105}$
Kreuz -> Pik	$\frac{4}{105}$
Kreuz -> Karo	$\frac{1}{21}$
Herz -> Kreuz	$\frac{4}{105}$
Herz -> Herz	$\frac{2}{35}$
Herz -> Pik	$\frac{8}{105}$
Herz -> Karo	$\frac{2}{21}$
Pik -> Kreuz	$\frac{4}{105}$
Pik -> Herz	$\frac{8}{105}$
Pik -> Pik	$\frac{2}{35}$
Pik -> Karo	$\frac{2}{21}$
Karo -> Kreuz	$\frac{1}{21}$
Karo -> Herz	$\frac{2}{21}$
Karo -> Pik	$\frac{2}{21}$
Karo -> Karo	$\frac{2}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{2}{15}$ ; Herz: $\frac{4}{15}$ ; Pik: $\frac{4}{15}$ ; Karo: $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{105}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{2}{35}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{2}{35}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{2}{21}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{105}$ + $\frac{2}{35}$ + $\frac{2}{35}$ + $\frac{2}{21}$ = $\frac{23}{105}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 9 vom Typ Kreuz, 2 vom Typ Herz, 6 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{18}{95}$
Kreuz -> Herz	$\frac{9}{190}$
Kreuz -> Pik	$\frac{27}{190}$
Kreuz -> Karo	$\frac{27}{380}$
Herz -> Kreuz	$\frac{9}{190}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{190}$
Herz -> Pik	$\frac{3}{95}$
Herz -> Karo	$\frac{3}{190}$
Pik -> Kreuz	$\frac{27}{190}$
Pik -> Herz	$\frac{3}{95}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{38}$
Pik -> Karo	$\frac{9}{190}$
Karo -> Kreuz	$\frac{27}{380}$
Karo -> Herz	$\frac{3}{190}$
Karo -> Pik	$\frac{9}{190}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{9}{20}$ ; Herz: $\frac{1}{10}$ ; Pik: $\frac{3}{10}$ ; Karo: $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{18}{95}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{1}{190}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{38}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{18}{95}$ + $\frac{1}{190}$ + $\frac{3}{38}$ + $\frac{3}{190}$ = $\frac{11}{38}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$ ⋅ $\frac{1}{22}$ ⋅ $\frac{21}{21}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{23}$ ⋅ $\frac{1}{22}$ ⋅ $\frac{7}{7}$
= $\frac{1}{2024}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 6 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{3}{8}$ ; 2: $\frac{1}{4}$ ; 3: $\frac{1}{4}$ ; 4: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{1}{32}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{1}{32}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{8}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 6 vom Typ Kreuz, 6 vom Typ Herz, 3 vom Typ Pik und 5 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Kreuz -> Herz	$\frac{9}{95}$
Kreuz -> Pik	$\frac{9}{190}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{38}$
Herz -> Kreuz	$\frac{9}{95}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{38}$
Herz -> Pik	$\frac{9}{190}$
Herz -> Karo	$\frac{3}{38}$
Pik -> Kreuz	$\frac{9}{190}$
Pik -> Herz	$\frac{9}{190}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{190}$
Pik -> Karo	$\frac{3}{76}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Karo -> Herz	$\frac{3}{38}$
Karo -> Pik	$\frac{3}{76}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{3}{10}$ ; Herz: $\frac{3}{10}$ ; Pik: $\frac{3}{20}$ ; Karo: $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{38}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{38}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{190}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{38}$ + $\frac{3}{38}$ + $\frac{3}{190}$ + $\frac{1}{19}$ = $\frac{43}{190}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine Mathelehrerin hat für die 8 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, eine Schokoladentafel, ein Pack Gummibärchen und eine Packung Kekse dabei. Jede der Süßigkeiten wird unter den 8 SchülerInnen verlost, wobei man nie mehr als eine Süßigkeit gewinnen kann. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Gesamtverlosung?

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Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine bestimmte Variable soll im Computer mit 10 Bit abgespeichert werden. Ein Bit kann immer nur die Werte 0 und 1 annehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Variable mit verschiedenen Werten zu belegen?

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Bei jedem der 10 'Zufallsversuche' gibt es 2 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 10 Ebenen immer 2-fach verzweigt.

Es entstehen so also 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2¹⁰ = 1024 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen ohne Zurücklegen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik