Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl einen, zwei, drei oder vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= 1 6

2: p= 3 6 = 1 2

3: p= 1 6

4: p= 1 6

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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EreignisP
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl 1 27
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er 2 27
3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl 2 27
3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er 4 27
nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl 2 27
nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er 4 27
nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl 4 27
nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er 8 27

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: 1 3 ; nicht 3er: 2 3 ;

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'3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er' (P= 2 27 )
'3er-Zahl'-'nicht 3er'-'3er-Zahl' (P= 2 27 )
'nicht 3er'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= 2 27 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 27 + 2 27 + 2 27 = 2 9


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

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EreignisP
prim -> prim 1 4
prim -> nicht prim 1 4
nicht prim -> prim 1 4
nicht prim -> nicht prim 1 4

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: 1 2 ; nicht prim: 1 2 ;

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'prim'-'nicht prim' (P= 1 4 )
'nicht prim'-'prim' (P= 1 4 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 4 + 1 4 = 1 2


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 5 Schüler mit NWT-Profil, 5 Schüler mit sprachlichem Profil, 7 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": 1 4 ; "nicht NWT": 3 4 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'NWT' bzw. 0 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'NWT')=1- 21 38 = 17 38

EreignisP
NWT -> NWT 1 19
NWT -> nicht NWT 15 76
nicht NWT -> NWT 15 76
nicht NWT -> nicht NWT 21 38

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: 1 4 ; nicht NWT: 3 4 ;

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'NWT'-'nicht NWT' (P= 15 76 )
'nicht NWT'-'NWT' (P= 15 76 )
'NWT'-'NWT' (P= 1 19 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

15 76 + 15 76 + 1 19 = 17 38


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 2 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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EreignisP
deutsch -> deutsch -> deutsch 1 140
deutsch -> deutsch -> andere 3 70
deutsch -> andere -> deutsch 3 70
deutsch -> andere -> andere 11 70
andere -> deutsch -> deutsch 3 70
andere -> deutsch -> andere 11 70
andere -> andere -> deutsch 11 70
andere -> andere -> andere 11 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: deutsch: 1 4 ; andere: 3 4 ;

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'deutsch'-'deutsch'-'andere' (P= 3 70 )
'deutsch'-'andere'-'deutsch' (P= 3 70 )
'andere'-'deutsch'-'deutsch' (P= 3 70 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 70 + 3 70 + 3 70 = 9 70


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 5 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 9 3 8 5 7
= 1 3 1 2 5 7
= 5 42

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nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

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EreignisP
1 -> 1 1 4
1 -> 2 1 8
1 -> 3 1 8
2 -> 1 1 8
2 -> 2 1 16
2 -> 3 1 16
3 -> 1 1 8
3 -> 2 1 16
3 -> 3 1 16

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 2 ; 2: 1 4 ; 3: 1 4 ;

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'2'-'3' (P= 1 16 )
'3'-'2' (P= 1 16 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 16 + 1 16 = 1 8


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 9 vom Typ Kreuz, 6 vom Typ Herz, 2 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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EreignisP
Kreuz -> Kreuz 18 95
Kreuz -> Herz 27 190
Kreuz -> Pik 9 190
Kreuz -> Karo 27 380
Herz -> Kreuz 27 190
Herz -> Herz 3 38
Herz -> Pik 3 95
Herz -> Karo 9 190
Pik -> Kreuz 9 190
Pik -> Herz 3 95
Pik -> Pik 1 190
Pik -> Karo 3 190
Karo -> Kreuz 27 380
Karo -> Herz 9 190
Karo -> Pik 3 190
Karo -> Karo 3 190

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 9 20 ; Herz: 3 10 ; Pik: 1 10 ; Karo: 3 20 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Kreuz'-'Kreuz' (P= 18 95 )
'Herz'-'Herz' (P= 3 38 )
'Pik'-'Pik' (P= 1 190 )
'Karo'-'Karo' (P= 3 190 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

18 95 + 3 38 + 1 190 + 3 190 = 11 38


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine bestimmte Variable soll im Computer mit 8 Bit abgespeichert werden. Ein Bit kann immer nur die Werte 0 und 1 annehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Variable mit verschiedenen Werten zu belegen?

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Bei jedem der 8 'Zufallsversuche' gibt es 2 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 8 Ebenen immer 2-fach verzweigt.

Es entstehen so also 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 28 = 256 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Petra hat sich ein 5-stelliges Passwort erstellt. Als sie eine Woche später das Passwort wieder braucht, erinnert sie sich nur noch, dass jede der Zahlen zwischen 1 und 5 genau einmal vorkam. Wie viele verschiedene Passwörter können es dann noch sein?

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Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 Möglichkeiten.