Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 6 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 10 den evangelischen, und 4 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 6 + 10 + 4=20

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{6}{20}$ = $\frac{3}{10}$

ev: p= $\frac{10}{20}$ = $\frac{1}{2}$

Eth: p= $\frac{4}{20}$ = $\frac{1}{5}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{27}$
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: $\frac{1}{3}$ ; nicht 3er: $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{1}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{27}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{4}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{64}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{3}{64}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{3}{64}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{9}{64}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{3}{64}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{9}{64}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{9}{64}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{27}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: $\frac{1}{4}$ ; nicht blau: $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{3}{64}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{3}{64}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{3}{64}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{5}{32}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 8 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{45}$
rot -> blau	$\frac{8}{45}$
blau -> rot	$\frac{8}{45}$
blau -> blau	$\frac{28}{45}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{1}{5}$ ; blau: $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{45}$ = $\frac{1}{45}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Karten der Farbe Kreuz, 4 der Farbe Pik, 7 der Farbe Herz und 5 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal Karo"?

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Da ja ausschließlich nach 'Karo' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Karo' und 'nicht Karo'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Karo": $\frac{1}{4}$ ; "nicht Karo": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
Karo -> Karo	$\frac{1}{19}$
Karo -> nicht Karo	$\frac{15}{76}$
nicht Karo -> Karo	$\frac{15}{76}$
nicht Karo -> nicht Karo	$\frac{21}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Karo: $\frac{1}{4}$ ; nicht Karo: $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Karo'-'nicht Karo' (P= $\frac{15}{76}$ )
'nicht Karo'-'Karo' (P= $\frac{15}{76}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{76}$ + $\frac{15}{76}$ = $\frac{15}{38}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{49}{400}$
1 -> 2	$\frac{7}{40}$
1 -> 3	$\frac{21}{400}$
2 -> 1	$\frac{7}{40}$
2 -> 2	$\frac{1}{4}$
2 -> 3	$\frac{3}{40}$
3 -> 1	$\frac{21}{400}$
3 -> 2	$\frac{3}{40}$
3 -> 3	$\frac{9}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{7}{20}$ ; 2: $\frac{1}{2}$ ; 3: $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{7}{40}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{7}{40}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ = $\frac{7}{20}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 28 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{35}{92}$
13 -> 14	$\frac{25}{184}$
13 -> 15	$\frac{5}{46}$
14 -> 13	$\frac{25}{184}$
14 -> 14	$\frac{5}{138}$
14 -> 15	$\frac{5}{138}$
15 -> 13	$\frac{5}{46}$
15 -> 14	$\frac{5}{138}$
15 -> 15	$\frac{1}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 13: $\frac{5}{8}$ ; 14: $\frac{5}{24}$ ; 15: $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'15' (P= $\frac{5}{46}$ )
'15'-'13' (P= $\frac{5}{46}$ )
'14'-'14' (P= $\frac{5}{138}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{46}$ + $\frac{5}{46}$ + $\frac{5}{138}$ = $\frac{35}{138}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Ein spezielles Zahlenschloss hat 4 Ringe mit jeweils 8 verschiedenen Zahlen drauf. Wie viele verschiedene Möglichkeiten kann man bei diesem Zahlenschloss einstellen?

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Bei jedem der 4 'Zufallsversuche' gibt es 8 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 4 Ebenen immer 8-fach verzweigt.

Es entstehen so also 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 = 8⁴ = 4096 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine Mathelehrerin hat für die 10 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, eine Schokoladentafel, ein Pack Gummibärchen und eine Packung Kekse dabei. Jede der Süßigkeiten wird unter den 10 SchülerInnen verlost, wobei man nie mehr als eine Süßigkeit gewinnen kann. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Gesamtverlosung?

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Für die erste Stelle (Schokolade) ist jede(r) SchülerInnen möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle (Gummibärchen) ist der/die an erster Stelle (Schokolade) stehende SchülerInnen nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle (Kekse) fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

nur Summen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik