Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 5 Asse, 5 Könige, 10 Damen, und 4 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 5 + 5 + 10 + 4=24

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= 5 24

König: p= 5 24

Dame: p= 10 24 = 5 12

Bube: p= 4 24 = 1 6

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal blau"?

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EreignisP
rot -> rot 25 64
rot -> blau 15 64
blau -> rot 15 64
blau -> blau 9 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 5 8 ; blau: 3 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'blau'-'blau' (P= 9 64 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 64 = 9 64


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

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EreignisP
1 -> 1 4 25
1 -> 2 4 25
1 -> 3 2 25
2 -> 1 4 25
2 -> 2 4 25
2 -> 3 2 25
3 -> 1 2 25
3 -> 2 2 25
3 -> 3 1 25

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 2 5 ; 2: 2 5 ; 3: 1 5 ;

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'2'-'3' (P= 2 25 )
'3'-'2' (P= 2 25 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 25 + 2 25 = 4 25


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 7 vom Typ Kreuz, 8 vom Typ Herz, 8 vom Typ Pik und 7 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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EreignisP
Kreuz -> Kreuz 7 145
Kreuz -> Herz 28 435
Kreuz -> Pik 28 435
Kreuz -> Karo 49 870
Herz -> Kreuz 28 435
Herz -> Herz 28 435
Herz -> Pik 32 435
Herz -> Karo 28 435
Pik -> Kreuz 28 435
Pik -> Herz 32 435
Pik -> Pik 28 435
Pik -> Karo 28 435
Karo -> Kreuz 49 870
Karo -> Herz 28 435
Karo -> Pik 28 435
Karo -> Karo 7 145

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 7 30 ; Herz: 4 15 ; Pik: 4 15 ; Karo: 7 30 ;

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'Kreuz'-'Kreuz' (P= 7 145 )
'Herz'-'Herz' (P= 28 435 )
'Pik'-'Pik' (P= 28 435 )
'Karo'-'Karo' (P= 7 145 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 145 + 28 435 + 28 435 + 7 145 = 98 435


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "mindestens 1 mal Ass"?

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Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": 1 5 ; "nicht Ass": 4 5 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Ass' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Ass' bzw. 0 mal 'Ass'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Ass')=1- 28 45 = 17 45

EreignisP
Ass -> Ass 1 45
Ass -> nicht Ass 8 45
nicht Ass -> Ass 8 45
nicht Ass -> nicht Ass 28 45

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Ass: 1 5 ; nicht Ass: 4 5 ;

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'Ass'-'nicht Ass' (P= 8 45 )
'nicht Ass'-'Ass' (P= 8 45 )
'Ass'-'Ass' (P= 1 45 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

8 45 + 8 45 + 1 45 = 17 45


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 24 21 23
= 3 8 7 23
= 21 184

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nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 17 ist?

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EreignisP
7 -> 7 1 15
7 -> 8 2 15
7 -> 9 2 15
8 -> 7 2 15
8 -> 8 1 15
8 -> 9 2 15
9 -> 7 2 15
9 -> 8 2 15
9 -> 9 1 15

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 7: 1 3 ; 8: 1 3 ; 9: 1 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'8'-'9' (P= 2 15 )
'9'-'8' (P= 2 15 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 15 + 2 15 = 4 15


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach 'Teiler' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Teiler' und 'nicht Teiler'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Teiler": 2 3 ; "nicht Teiler": 1 3 ;

EreignisP
Teiler -> Teiler -> Teiler 8 27
Teiler -> Teiler -> nicht Teiler 4 27
Teiler -> nicht Teiler -> Teiler 4 27
Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler 2 27
nicht Teiler -> Teiler -> Teiler 4 27
nicht Teiler -> Teiler -> nicht Teiler 2 27
nicht Teiler -> nicht Teiler -> Teiler 2 27
nicht Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler 1 27

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Teiler: 2 3 ; nicht Teiler: 1 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Teiler'-'nicht Teiler'-'nicht Teiler' (P= 2 27 )
'nicht Teiler'-'Teiler'-'nicht Teiler' (P= 2 27 )
'nicht Teiler'-'nicht Teiler'-'Teiler' (P= 2 27 )
'nicht Teiler'-'nicht Teiler'-'nicht Teiler' (P= 1 27 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 27 + 2 27 + 2 27 + 1 27 = 7 27


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine Mathelehrerin war bei 4 SchülerInnen ihrer Klasse mit den Ergebnissen der letzten Klassenarbeit nicht zufrieden. Deswegen möchte sie jetzt diese Schüler immer in kleinen Abfragen erneut überprüfen. Als sie sich eine Reihenfolge überlegen wollte, bemerkt sie, dass es dafür ja ziemlich viele Möglichkeiten gibt. Wie viele genau?

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Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine Mathelehrerin hat für die 10 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, eine Schokoladentafel, ein Pack Gummibärchen und eine Packung Kekse dabei. Jede der Süßigkeiten wird unter den 10 SchülerInnen verlost, wobei man nie mehr als eine Süßigkeit gewinnen kann. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Gesamtverlosung?

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Für die erste Stelle (Schokolade) ist jede(r) SchülerInnen möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle (Gummibärchen) ist der/die an erster Stelle (Schokolade) stehende SchülerInnen nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle (Kekse) fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 Möglichkeiten.