Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p=$\frac{\mathrm{Anzahl\; gesuchter\; Möglichkeiten}}{\mathrm{Anzahl\; aller\; Möglichkeiten}}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 7 + 6 + 8 + 3=24

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p=$\frac{7}{24}$

grün: p=$\frac{6}{24}$ =$\frac{1}{4}$

gelb: p=$\frac{8}{24}$ =$\frac{1}{3}$

rot: p=$\frac{3}{24}$ =$\frac{1}{8}$

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{3}{25}$; "nicht rot": $\frac{22}{25}$;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{484}{625}$ = $\frac{141}{625}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{3}{25}$; nicht rot: $\frac{22}{25}$;

'rot'-'nicht rot' (P=$\frac{66}{625}$)
'nicht rot'-'rot' (P=$\frac{66}{625}$)
'rot'-'rot' (P=$\frac{9}{625}$)

$\frac{66}{625}$ + $\frac{66}{625}$ + $\frac{9}{625}$ = $\frac{141}{625}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{3}{10}$; blau: $\frac{7}{10}$;

'rot'-'rot'-'rot' (P=$\frac{27}{1000}$)
'blau'-'blau'-'blau' (P=$\frac{343}{1000}$)

$\frac{27}{1000}$ + $\frac{343}{1000}$ = $\frac{37}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: deutsch: $\frac{1}{4}$; andere: $\frac{3}{4}$;

'deutsch'-'andere'-'andere' (P=$\frac{11}{70}$)
'andere'-'deutsch'-'andere' (P=$\frac{11}{70}$)
'andere'-'andere'-'deutsch' (P=$\frac{11}{70}$)

$\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ = $\frac{33}{70}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{3}{10}$; Herz: $\frac{1}{3}$; Pik: $\frac{7}{30}$; Karo: $\frac{2}{15}$;

'Kreuz'-'Kreuz' (P=$\frac{12}{145}$)
'Herz'-'Herz' (P=$\frac{3}{29}$)
'Pik'-'Pik' (P=$\frac{7}{145}$)
'Karo'-'Karo' (P=$\frac{2}{145}$)

$\frac{12}{145}$ + $\frac{3}{29}$ + $\frac{7}{145}$ + $\frac{2}{145}$ = $\frac{36}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P=$\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{3}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{3}$

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{4}{15}$; "nicht 3": $\frac{11}{15}$;

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: $\frac{4}{15}$; nicht 3: $\frac{11}{15}$;

'3'-'3' (P=$\frac{2}{35}$)

$\frac{2}{35}$ = $\frac{2}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{1}{5}$; blau: $\frac{9}{25}$; gelb: $\frac{8}{25}$; schwarz: $\frac{3}{25}$;

'rot'-'rot' (P=$\frac{1}{30}$)
'blau'-'blau' (P=$\frac{3}{25}$)
'gelb'-'gelb' (P=$\frac{7}{75}$)
'schwarz'-'schwarz' (P=$\frac{1}{100}$)

$\frac{1}{30}$ + $\frac{3}{25}$ + $\frac{7}{75}$ + $\frac{1}{100}$ = $\frac{77}{300}$

Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 25 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 24 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 23 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 25 ⋅ 24 ⋅ 23 = 13800 Möglichkeiten.

Für die Kategorie 'Vollmilch' gibt es 5 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 5 Möglichkeiten der Kategorie 'Nuss' kombinieren. Dies ergibt also 5 ⋅ 5 = 25 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 9 Möglichkeiten der Kategorie 'weiß' kombinieren, so dass sich insgesamt 5 ⋅ 5 ⋅ 9 = 225 Möglichkeiten ergeben.