Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: Man erkennt einen Halbkreis => p= 1 2

grün: Man erkennt einen Viertelkreis => p= 1 4

gelb: Man erkennt einen Viertelkreis => p= 1 4

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine 6 zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": 1 6 ; "nicht 6er": 5 6 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 6er' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '6er' bzw. 0 mal '6er'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '6er')=1- 25 36 = 11 36

EreignisP
6er -> 6er 1 36
6er -> nicht 6er 5 36
nicht 6er -> 6er 5 36
nicht 6er -> nicht 6er 25 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: 1 6 ; nicht 6er: 5 6 ;

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'6er'-'nicht 6er' (P= 5 36 )
'nicht 6er'-'6er' (P= 5 36 )
'6er'-'6er' (P= 1 36 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 36 + 5 36 + 1 36 = 11 36


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 1 4
1 -> 2 1 10
1 -> 3 3 20
2 -> 1 1 10
2 -> 2 1 25
2 -> 3 3 50
3 -> 1 3 20
3 -> 2 3 50
3 -> 3 9 100

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 2 ; 2: 1 5 ; 3: 3 10 ;

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'1'-'3' (P= 3 20 )
'3'-'1' (P= 3 20 )
'2'-'2' (P= 1 25 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 20 + 3 20 + 1 25 = 17 50


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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EreignisP
rot -> rot -> rot 14 55
rot -> rot -> blau 28 165
rot -> blau -> rot 28 165
rot -> blau -> blau 4 55
blau -> rot -> rot 28 165
blau -> rot -> blau 4 55
blau -> blau -> rot 4 55
blau -> blau -> blau 1 55

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 2 3 ; blau: 1 3 ;

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'rot'-'rot'-'blau' (P= 28 165 )
'rot'-'blau'-'rot' (P= 28 165 )
'blau'-'rot'-'rot' (P= 28 165 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

28 165 + 28 165 + 28 165 = 28 55


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 7 vom Typ rot, 5 vom Typ blau, 2 vom Typ gelb und 6 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden
EreignisP
rot -> rot 21 190
rot -> blau 7 76
rot -> gelb 7 190
rot -> schwarz 21 190
blau -> rot 7 76
blau -> blau 1 19
blau -> gelb 1 38
blau -> schwarz 3 38
gelb -> rot 7 190
gelb -> blau 1 38
gelb -> gelb 1 190
gelb -> schwarz 3 95
schwarz -> rot 21 190
schwarz -> blau 3 38
schwarz -> gelb 3 95
schwarz -> schwarz 3 38

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 7 20 ; blau: 1 4 ; gelb: 1 10 ; schwarz: 3 10 ;

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'rot'-'rot' (P= 21 190 )
'blau'-'blau' (P= 1 19 )
'gelb'-'gelb' (P= 1 190 )
'schwarz'-'schwarz' (P= 3 38 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

21 190 + 1 19 + 1 190 + 3 38 = 47 190


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 2 6 1 5 4 4
= 1 3 1 5 2 2
= 1 15

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nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 30 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '15' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '15' und 'nicht 15'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"15": 2 17 ; "nicht 15": 15 17 ;

EreignisP
15 -> 15 1 136
15 -> nicht 15 15 136
nicht 15 -> 15 15 136
nicht 15 -> nicht 15 105 136

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 15: 2 17 ; nicht 15: 15 17 ;

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'15'-'15' (P= 1 136 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 136 = 1 136


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

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EreignisP
1 -> 1 9 38
1 -> 2 3 19
1 -> 3 2 19
2 -> 1 3 19
2 -> 2 3 38
2 -> 3 6 95
3 -> 1 2 19
3 -> 2 6 95
3 -> 3 3 95

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 2 ; 2: 3 10 ; 3: 1 5 ;

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'1'-'3' (P= 2 19 )
'3'-'1' (P= 2 19 )
'2'-'2' (P= 3 38 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 19 + 2 19 + 3 38 = 11 38


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine 5-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 5 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden

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Bei jedem der 5 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 5 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 65 = 7776 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine Mathelehrerin war bei 4 SchülerInnen ihrer Klasse mit den Ergebnissen der letzten Klassenarbeit nicht zufrieden. Deswegen möchte sie jetzt diese Schüler immer in kleinen Abfragen erneut überprüfen. Als sie sich eine Reihenfolge überlegen wollte, bemerkt sie, dass es dafür ja ziemlich viele Möglichkeiten gibt. Wie viele genau?

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Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 Möglichkeiten.