Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente
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Zufallsexperiment (einstufig)
Beispiel:
In einer Urne sind 8 blaue, 6 grüne, 3 gelbe und 3 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p=
Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 8 + 6 + 3 + 3=20
Hieraus ergibt sich für ...
blau: p= =
grün: p= =
gelb: p=
rot: p=
mit Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "2 mal Zahl und 1 mal Wappen"?
| Ereignis | P |
|---|---|
| Zahl -> Zahl -> Zahl | |
| Zahl -> Zahl -> Wappen | |
| Zahl -> Wappen -> Zahl | |
| Zahl -> Wappen -> Wappen | |
| Wappen -> Zahl -> Zahl | |
| Wappen -> Zahl -> Wappen | |
| Wappen -> Wappen -> Zahl | |
| Wappen -> Wappen -> Wappen |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Zahl: ; Wappen: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Zahl'-'Zahl'-'Wappen' (P=)
'Zahl'-'Wappen'-'Zahl' (P=)
'Wappen'-'Zahl'-'Zahl' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 2 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?
Da ja ausschließlich nach 'Teiler' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Teiler' und 'nicht Teiler'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Teiler": ; "nicht Teiler": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Teiler' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'Teiler'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(3 mal 'Teiler')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| Teiler -> Teiler -> Teiler | |
| Teiler -> Teiler -> nicht Teiler | |
| Teiler -> nicht Teiler -> Teiler | |
| Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler | |
| nicht Teiler -> Teiler -> Teiler | |
| nicht Teiler -> Teiler -> nicht Teiler | |
| nicht Teiler -> nicht Teiler -> Teiler | |
| nicht Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Teiler: ; nicht Teiler: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Teiler'-'Teiler'-'nicht Teiler' (P=)
'Teiler'-'nicht Teiler'-'Teiler' (P=)
'nicht Teiler'-'Teiler'-'Teiler' (P=)
'Teiler'-'nicht Teiler'-'nicht Teiler' (P=)
'nicht Teiler'-'Teiler'-'nicht Teiler' (P=)
'nicht Teiler'-'nicht Teiler'-'Teiler' (P=)
'nicht Teiler'-'nicht Teiler'-'nicht Teiler' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + + + + =
ohne Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "mindestens 1 mal Dame"?
Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": ; "nicht Dame": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Dame' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Dame' bzw. 0 mal 'Dame'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(0 mal 'Dame')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| Dame -> Dame | |
| Dame -> nicht Dame | |
| nicht Dame -> Dame | |
| nicht Dame -> nicht Dame |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Dame: ; nicht Dame: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Dame'-'nicht Dame' (P=)
'nicht Dame'-'Dame' (P=)
'Dame'-'Dame' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?
Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": ; "nicht 7": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| 7 -> 7 | |
| 7 -> nicht 7 | |
| nicht 7 -> 7 | |
| nicht 7 -> nicht 7 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 7: ; nicht 7: ;
Die relevanten Pfade sind:
'7'-'7' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅
= ⋅
=
nur Summen
Beispiel:
In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 kugel mit einer 2 und 7 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1 -> 1 | |
| 1 -> 2 | |
| 1 -> 3 | |
| 2 -> 1 | |
| 2 -> 2 | |
| 2 -> 3 | |
| 3 -> 1 | |
| 3 -> 2 | |
| 3 -> 3 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: ; 2: ; 3: ;
Die relevanten Pfade sind:
'2'-'3' (P=)
'3'-'2' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ =
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine 6 zu würfeln?
Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": ; "nicht 6er": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 6er' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '6er' bzw. 0 mal '6er'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(0 mal '6er')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| 6er -> 6er | |
| 6er -> nicht 6er | |
| nicht 6er -> 6er | |
| nicht 6er -> nicht 6er |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: ; nicht 6er: ;
Die relevanten Pfade sind:
'6er'-'nicht 6er' (P=)
'nicht 6er'-'6er' (P=)
'6er'-'6er' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Kombinatorik (ohne Binom.)
Beispiel:
Eine 5-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 5 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden
Bei jedem der 5 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 5 Ebenen immer 6-fach verzweigt.
Es entstehen so also 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 65 = 7776 Möglichkeiten.
Kombinatorik
Beispiel:
Eine 5-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 5 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden.
Bei jedem der 5 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 5 Ebenen immer 6-fach verzweigt.
Es entstehen so also 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 65 = 7776 Möglichkeiten.
