Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p=$\frac{\mathrm{Anzahl\; gesuchter\; Möglichkeiten}}{\mathrm{Anzahl\; aller\; Möglichkeiten}}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 2 + 10 + 5 + 3=20

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p=$\frac{2}{20}$ =$\frac{1}{10}$

König: p=$\frac{10}{20}$ =$\frac{1}{2}$

Dame: p=$\frac{5}{20}$ =$\frac{1}{4}$

Bube: p=$\frac{3}{20}$

Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": $\frac{1}{3}$; "nicht 3er-Zahl": $\frac{2}{3}$;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 3er-Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal '3er-Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal '3er-Zahl')=1- $\frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: $\frac{1}{3}$; nicht 3er-Zahl: $\frac{2}{3}$;

'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P=$\frac{2}{9}$)
'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P=$\frac{2}{9}$)
'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P=$\frac{4}{9}$)

$\frac{2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ + $\frac{4}{9}$ = $\frac{8}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{3}{8}$; 2: $\frac{1}{4}$; 3: $\frac{1}{4}$; 4: $\frac{1}{8}$;

'1'-'4' (P=$\frac{3}{64}$)
'4'-'1' (P=$\frac{3}{64}$)
'2'-'3' (P=$\frac{1}{16}$)
'3'-'2' (P=$\frac{1}{16}$)

$\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{7}{32}$

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{3}$; "nicht blau": $\frac{2}{3}$;

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: $\frac{1}{3}$; nicht blau: $\frac{2}{3}$;

'blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P=$\frac{28}{165}$)
'nicht blau'-'blau'-'nicht blau' (P=$\frac{28}{165}$)
'nicht blau'-'nicht blau'-'blau' (P=$\frac{28}{165}$)
'nicht blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P=$\frac{14}{55}$)

$\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{14}{55}$ = $\frac{42}{55}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{7}{10}$; blau: $\frac{3}{10}$;

'rot'-'rot'-'rot' (P=$\frac{7}{24}$)
'blau'-'blau'-'blau' (P=$\frac{1}{120}$)

$\frac{7}{24}$ + $\frac{1}{120}$ = $\frac{3}{10}$

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P=$\frac{4}{10}$ ⋅ $\frac{3}{9}$ ⋅ $\frac{6}{8}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{3}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{10}$

Da ja ausschließlich nach '15' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '15' und 'nicht 15'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"15": $\frac{4}{29}$; "nicht 15": $\frac{25}{29}$;

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 15: $\frac{4}{29}$; nicht 15: $\frac{25}{29}$;

'15'-'15' (P=$\frac{3}{203}$)

$\frac{3}{203}$ = $\frac{3}{203}$

Da ja ausschließlich nach 'König' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'König' und 'nicht König'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"König": $\frac{1}{4}$; "nicht König": $\frac{3}{4}$;

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: König: $\frac{1}{4}$; nicht König: $\frac{3}{4}$;

'König'-'König' (P=$\frac{1}{28}$)

$\frac{1}{28}$ = $\frac{1}{28}$

Für die Kategorie 'Vollmilch' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 5 Möglichkeiten der Kategorie 'Nuss' kombinieren. Dies ergibt also 6 ⋅ 5 = 30 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 9 Möglichkeiten der Kategorie 'weiß' kombinieren, so dass sich insgesamt 6 ⋅ 5 ⋅ 9 = 270 Möglichkeiten ergeben.

Bei jedem der 3 'Zufallsversuche' gibt es 4 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 3 Ebenen immer 4-fach verzweigt.

Es entstehen so also 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 4³ = 64 Möglichkeiten.