Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 10 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 4 den evangelischen, und 6 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 10 + 4 + 6=20

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{10}{20}$ = $\frac{1}{2}$

ev: p= $\frac{4}{20}$ = $\frac{1}{5}$

Eth: p= $\frac{6}{20}$ = $\frac{3}{10}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine 6 zu würfeln?

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Ereignis	P
6er -> 6er	$\frac{1}{36}$
6er -> keine_6	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> 6er	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> keine_6	$\frac{25}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: $\frac{1}{6}$ ; keine_6: $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'6er' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{36}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Ereignis	P
prim -> prim	$\frac{1}{4}$
prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: $\frac{1}{2}$ ; nicht prim: $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften mindestens 2 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Da ja ausschließlich nach 'deutsch' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'deutsch' und 'nicht deutsch'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"deutsch": $\frac{1}{4}$ ; "nicht deutsch": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> nicht deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> nicht deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
nicht deutsch -> deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> nicht deutsch -> deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: deutsch: $\frac{1}{4}$ ; nicht deutsch: $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{3}{70}$ )
'deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{3}{70}$ )
'nicht deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{3}{70}$ )
'deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{1}{140}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ + $\frac{1}{140}$ = $\frac{19}{140}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{14}{95}$
1 -> 2	$\frac{14}{95}$
1 -> 3	$\frac{2}{19}$
2 -> 1	$\frac{14}{95}$
2 -> 2	$\frac{21}{190}$
2 -> 3	$\frac{7}{76}$
3 -> 1	$\frac{2}{19}$
3 -> 2	$\frac{7}{76}$
3 -> 3	$\frac{1}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{2}{5}$ ; 2: $\frac{7}{20}$ ; 3: $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{14}{95}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{14}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{14}{95}$ + $\frac{14}{95}$ = $\frac{28}{95}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{10}$ ⋅ $\frac{3}{9}$ ⋅ $\frac{6}{8}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{3}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{10}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 17 ist?

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Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{2}{15}$
7 -> 8	$\frac{4}{45}$
7 -> 9	$\frac{8}{45}$
8 -> 7	$\frac{4}{45}$
8 -> 8	$\frac{1}{45}$
8 -> 9	$\frac{4}{45}$
9 -> 7	$\frac{8}{45}$
9 -> 8	$\frac{4}{45}$
9 -> 9	$\frac{2}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 7: $\frac{2}{5}$ ; 8: $\frac{1}{5}$ ; 9: $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'8'-'9' (P= $\frac{4}{45}$ )
'9'-'8' (P= $\frac{4}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{45}$ + $\frac{4}{45}$ = $\frac{8}{45}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 26 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '13' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13' und 'nicht 13'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13": $\frac{5}{9}$ ; "nicht 13": $\frac{4}{9}$ ;

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{35}{117}$
13 -> nicht 13	$\frac{10}{39}$
nicht 13 -> 13	$\frac{10}{39}$
nicht 13 -> nicht 13	$\frac{22}{117}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 13: $\frac{5}{9}$ ; nicht 13: $\frac{4}{9}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'13' (P= $\frac{35}{117}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{35}{117}$ = $\frac{35}{117}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 21 Schüler, in der 8b 21 Schüler und in der in der 8c 24 Schüler hat.

Lösung einblenden

Für die Kategorie '8a' gibt es 21 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 21 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 21 ⋅ 21 = 441 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 24 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 21 ⋅ 21 ⋅ 24 = 10584 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 24 Schüler, in der 8b 21 Schüler und in der in der 8c 27 Schüler hat.

Lösung einblenden

Für die Kategorie '8a' gibt es 24 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 21 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 24 ⋅ 21 = 504 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 27 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 24 ⋅ 21 ⋅ 27 = 13608 Möglichkeiten ergeben.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

nur Summen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik