Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente
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Zufallsexperiment (einstufig)
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:
blau: Man erkennt einen Halbkreis => p=
grün: Man erkennt einen Viertelkreis => p=
gelb: Man erkennt einen Viertelkreis => p=
mit Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine Primzahl zu würfeln?
| Ereignis | P |
|---|---|
| prim -> prim -> prim | |
| prim -> prim -> nicht prim | |
| prim -> nicht prim -> prim | |
| prim -> nicht prim -> nicht prim | |
| nicht prim -> prim -> prim | |
| nicht prim -> prim -> nicht prim | |
| nicht prim -> nicht prim -> prim | |
| nicht prim -> nicht prim -> nicht prim |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: ; nicht prim: ;
Die relevanten Pfade sind:
'prim'-'prim'-'nicht prim' (P=)
'prim'-'nicht prim'-'prim' (P=)
'nicht prim'-'prim'-'prim' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1 -> 1 | |
| 1 -> 2 | |
| 1 -> 3 | |
| 1 -> 4 | |
| 2 -> 1 | |
| 2 -> 2 | |
| 2 -> 3 | |
| 2 -> 4 | |
| 3 -> 1 | |
| 3 -> 2 | |
| 3 -> 3 | |
| 3 -> 4 | |
| 4 -> 1 | |
| 4 -> 2 | |
| 4 -> 3 | |
| 4 -> 4 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: ; 2: ; 3: ; 4: ;
Die relevanten Pfade sind:
'3'-'4' (P=)
'4'-'3' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ =
ohne Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
In einer Urne sind 8 rote, 7 blaue , 6 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?
Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": ; "nicht rot": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| rot -> rot | |
| rot -> nicht rot | |
| nicht rot -> rot | |
| nicht rot -> nicht rot |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: ; nicht rot: ;
Die relevanten Pfade sind:
'rot'-'rot' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 9 Mädchen und 3 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 1 an ein Mädchen gehen?
Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": ; "nicht Mädchen": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Mädchen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Mädchen' bzw. 0 mal 'Mädchen'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(0 mal 'Mädchen')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| Mädchen -> Mädchen -> Mädchen | |
| Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen | |
| Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen | |
| Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen | |
| nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen | |
| nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen | |
| nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen | |
| nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: ; nicht Mädchen: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P=)
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P=)
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P=)
'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P=)
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P=)
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P=)
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + + + + =
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅
= ⋅
=
nur Summen
Beispiel:
In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1 -> 1 | |
| 1 -> 2 | |
| 1 -> 3 | |
| 2 -> 1 | |
| 2 -> 2 | |
| 2 -> 3 | |
| 3 -> 1 | |
| 3 -> 2 | |
| 3 -> 3 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: ; 2: ; 3: ;
Die relevanten Pfade sind:
'1'-'3' (P=)
'3'-'1' (P=)
'2'-'2' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?
| Ereignis | P |
|---|---|
| Teiler -> Teiler | |
| Teiler -> kein Teiler | |
| kein Teiler -> Teiler | |
| kein Teiler -> kein Teiler |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Teiler: ; kein Teiler: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Teiler'-'kein Teiler' (P=)
'kein Teiler'-'Teiler' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ =
Kombinatorik (ohne Binom.)
Beispiel:
Eine Mathelehrerin war bei 4 SchülerInnen ihrer Klasse mit den Ergebnissen der letzten Klassenarbeit nicht zufrieden. Deswegen möchte sie jetzt diese Schüler immer in kleinen Abfragen erneut überprüfen. Als sie sich eine Reihenfolge überlegen wollte, bemerkt sie, dass es dafür ja ziemlich viele Möglichkeiten gibt. Wie viele genau?
Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
also 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 Möglichkeiten.
Kombinatorik
Beispiel:
In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 21 Schüler, in der 8b 24 Schüler und in der in der 8c 30 Schüler hat.
Für die Kategorie '8a' gibt es 21 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 24 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 21 ⋅ 24 = 504 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 30 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 21 ⋅ 24 ⋅ 30 = 15120 Möglichkeiten ergeben.
