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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(5 y + 8 x)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(5 y + 8 x)}^{2}$ = ${(5 y)}^{2} + 2 \cdot 5 y \cdot 8 x + {(8 x)}^{2}$ = $25 y^{2} + 80 y x + 64 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $81 x^{2} + 108 x + 36$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $108 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $108 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $81 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $36$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $9 x$ und für b dann $6$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $108 x$ = 2⋅ $9 x$ ⋅ $6$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(9 x + 6)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(9 x + 6)}^{2}$ = $9 x \cdot 9 x + 9 x \cdot 6 + 6 \cdot 9 x + 6 \cdot 6$ = $81 x^{2} + 108 x + 36$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $2 x^{2} - 8$

$2 x^{2} - 8$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $2$ aus.

$2 (x^{2} - 4)$

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

$2 (x + 2) \cdot (x - 2)$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} - 2 x + ☐$

Der gemischte Term $- 2 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$- 2 x$ = 2⋅x⋅◇

also $- 1$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $- 1$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $(- 1)$ ²

somit gilt: ☐= $1$