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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(8 + 5 b)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(8 + 5 b)}^{2}$ = $8^{2} + 2 \cdot 8 \cdot 5 b + {(5 b)}^{2}$ = $64 + 80 b + 25 b^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $49 + 28 x + 4 x^{2}$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $28 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $28 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $49$ ) als auch der letzte ( $4 x^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $7$ und für b dann $2 x$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $28 x$ = 2⋅ $7$ ⋅ $2 x$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(7 + 2 x)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(7 + 2 x)}^{2}$ = $7 \cdot 7 + 7 \cdot 2 x + 2 x \cdot 7 + 2 x \cdot 2 x$ = $49 + 28 x + 4 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $3 v^{2} - 24 v + 48$

$3 v^{2} - 24 v + 48$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $3$ aus.

$3 (v^{2} - 8 v + 16)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$3 {(v - 4)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 9$

Der hintere Term $9$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $9$ = 3⋅3 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=3

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅3

somit gilt: ☐= $6 x$