Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${\left(5+9d\right)}^2$ = $5^2+2·5·9d+{\left(9d\right)}^2$ = $25+90d+81d^2$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $-6z$) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $-6z$) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $z^2$) als auch der letzte ( $9$) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $z$ und für b dann $3$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $-6z$ = -2⋅ $z$⋅ $3$

Das Ergbenis wäre dann also: ${\left(z-3\right)}^2$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${\left(z-3\right)}^2$ = $z·z+z·\left(-3\right)-3·z-3·\left(-3\right)$ = $z^2-6z+9$

$-4v^2+100$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $-4$ aus.

$-4\left(v^2-25\right)$

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

$-4\left(v+5\right)·\left(v-5\right)$

Der gemischte Term $8x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$8x$ = 2⋅x⋅◇

also $4$x = x⋅◇

somit gilt: ◇=$4$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²=$4$²