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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(a + 3 b)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(a + 3 b)}^{2}$ = $a^{2} + 2 a \cdot 3 b + {(3 b)}^{2}$ = $a^{2} + 6 a b + 9 b^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 + 20 x + 25 x^{2}$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $20 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $20 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $4$ ) als auch der letzte ( $25 x^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $2$ und für b dann $5 x$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $20 x$ = 2⋅ $2$ ⋅ $5 x$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(2 + 5 x)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(2 + 5 x)}^{2}$ = $2 \cdot 2 + 2 \cdot 5 x + 5 x \cdot 2 + 5 x \cdot 5 x$ = $4 + 20 x + 25 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $2 x^{2} + 12 x + 18$

$2 x^{2} + 12 x + 18$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $2$ aus.

$2 (x^{2} + 6 x + 9)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$2 {(x + 3)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + 14 x + ☐$

Der gemischte Term $14 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$14 x$ = 2⋅x⋅◇

also $7$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $7$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $7$ ²

somit gilt: ☐= $49$