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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(5 - 7 b)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(5 - 7 b)}^{2}$ = $5^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 7 b + {(7 b)}^{2}$ = $25 - 70 b + 49 b^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $25 x^{2} - 20 x + 4$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 20 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 20 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $25 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $4$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $5 x$ und für b dann $2$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 20 x$ = -2⋅ $5 x$ ⋅ $2$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(5 x - 2)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(5 x - 2)}^{2}$ = $5 x \cdot 5 x + 5 x \cdot (- 2) - 2 \cdot 5 x - 2 \cdot (- 2)$ = $25 x^{2} - 20 x + 4$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- v^{2} - 6 v - 9$

$- v^{2} - 6 v - 9$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 1$ aus.

$- (v^{2} + 6 v + 9)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$- {(v + 3)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} - 12 x + ☐$

Der gemischte Term $- 12 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$- 12 x$ = 2⋅x⋅◇

also $- 6$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $- 6$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $(- 6)$ ²

somit gilt: ☐= $36$