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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(3 + 2 b)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(3 + 2 b)}^{2}$ = $3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot 2 b + {(2 b)}^{2}$ = $9 + 12 b + 4 b^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $x^{2} + 14 x + 49$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $14 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $14 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $x^{2}$ ) als auch der letzte ( $49$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $x$ und für b dann $7$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $14 x$ = 2⋅ $x$ ⋅ $7$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(x + 7)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(x + 7)}^{2}$ = $x \cdot x + x \cdot 7 + 7 \cdot x + 7 \cdot 7$ = $x^{2} + 14 x + 49$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 x^{2} + 8 x + 4$

$4 x^{2} + 8 x + 4$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $4$ aus.

$4 (x^{2} + 2 x + 1)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$4 {(x + 1)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 1$

Der hintere Term $1$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $1$ = 1⋅1 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=1

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅1

somit gilt: ☐= $2 x$