Aufgabenbeispiele von lineare Gleichungen
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lineare Gleichungen (einfach)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | | | ||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
L={ }
lineare Gleichungen (schwerer)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
L={ }
lineare Gleichungen (Brüche)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | |⋅ 12 | ||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
L={ }
lin. Gleich. - Anwendungen (ohne schwere)
Beispiel:
Welche Zahl ist um 50 kleiner als ihr Sechsfaches?
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
L={ }
lineare Gleichungen - Anwendungen
Beispiel:
Bei einem Trapez ist eine der beiden parallelen Grundseiten a=2cm lang. Die Höhe des Trapezes ist h=5cm, der Flächeninhalt A=35cm². Wie lang muss dann die andere Grundseite c sein?
| = | |||
| = | |||
| = | |⋅ 2 | ||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
L={ }
Geradengleichung durch 2 Punkte
Beispiel:
Eine Gerade geht durch die Punkte A(1|3) und B(4|0). Bestimme eine Geradengleichung von g.
Wenn man die beiden Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man am Steigungsdreieck jeweils die Differenzen der x-Werte und der y-Werte ablesen.
Dazu sortieren wir die beiden Punkte von links nach rechts:
links: (1|3) und rechts: (4|0)
Für die Differenzen subtrahieren wie nun immer die Werte des linken Punkts von denen des rechten:
Differenz der x-Werte: 4 -
Differenz der y-Werte: 0 -
Daraus ergibt sich für die Steigung m = = = = .
Mit der nun bekonnten Steigung m wissen wir nun, dass die gesuchte Geradengleichung
y = ⋅ x +c sein muss, wir müssen
jetzt also nur noch das c bestimmen.
Dazu können wir einfach einen der beiden Punkte in diese Geradengleichung einsetzen:
Punktprobe mit A(1|3) in y = ⋅ x +c :
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Die gesuchte Geradengsleichung ist somit y = .
Schnittpunkt zweier Geraden
Beispiel:
Deswegen muss man diesen eben berechnen. Lies dazu erst die beiden Funktionsterme aus dem Schaubild.
Da die die beiden Geraden an ihrem Schnittpunkt auch den gleichen y-Wert haben müssen, können wir die Terme einfach gleichsetzen um den gemeinsamen x-Wert zu erhalten:
| = | | | ||
| = | |⋅ 6 | ||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
L={ }
Damit haben wir den x-Wert des Schnittpunkts. Diesen müssen wir nun noch links oder rechts einsetzen um den y-Wert des Schnittpunkts zu erhalten:
= oder =
Wir erhalten also den Schnittpunkt S(| ).
lineare Ungleich. (nur graphisch)
Beispiel:
>
Der linke Term der Ungleichung ist im Schaubild als blaue Gerade y= eingezeichnet, der rechte Term als die rote Gerade : y= .
Im Schaubild kann man leicht ablesen, dass die beiden Geraden sich bei x=-2 schneiden. Bei x=-2 ist also gerade der Grenzfall, wo die linke Seite und die rechte Seite gleich groß sind.
Im Schaubild sieht man sofort, dass links vom Schnittpunkt, also für x<-2 die blaue Gerade, also y= über der rote Gerade, also y= liegt und rechts davon gerade umgekehrt.
Gesucht ist ja der Bereich, wo > gilt, also wo die blaue Gerade über der roten liegt.
Man sieht am Schaubild leicht, dass dies links vom Schnittpunkt bei x=-2 sein muss.
Es gilt also x<-2
lineare Ungleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Ungleichung:
≤
Um die Ungleichung zu lösen, betrachten und lösen wir erst einmal die 'verwandte Gleichung':
=
,
die ja den Grenzfall der Ungleichung darstellt.
| = | | | ||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Bei x= ist also gerade der Grenzfall, wo die linke Seite und die rechte Seite gleich groß sind.
Man kann auch beide Seiten als Geraden betrachten, die sich dann bei x= schneiden.
Das heißt auf der einen Seite von x=
sind die Funktionswerte von
größer als die von
, und auf der anderen Seite ist es gerade umgekehrt.
Um heraus zu bekommen, wo welcher Term größer ist, müssen wir einfach jeweils einen Wert in die Terme einsetzen:
Für die linke Seite von x= wählen wir x=2:
|
in
eingesetzt: = |
in
eingesetzt: = |
Für x=2 und damit für alle x< gilt:
<
Für die rechte linke Seite von x= wählen wir x=4:
|
in
eingesetzt: = |
in
eingesetzt: = |
Für x=4 und damit für alle x> gilt:
>
also nicht ≤
x=
Der richtige Bereich muss somit links von x= liegen, also muss x ≤ gelten.
(Für x= ist die Ungleichung ja auch erfüllt)
