Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=0.51.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 36 Treffer bei 55 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.51 zu erzielen, also $P_{0.51}^{55}(24\le X\le 36)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.51}^{55}(X\le 36)$ - $P_{0.51}^{55}(X\le 23)$ ≈ 0.9892 - 0.1098 ≈ 0.8794 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(55,0.51,36)- binompdf(55,0.51,23)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.69.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 20 und 30 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.69 zu erzielen, also $P_{0.69}^{50}(20\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.69}^{50}(X\le 30)$ - $P_{0.69}^{50}(X\le 19)$ ≈ 0.1121 - 0 ≈ 0.1121 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(50,0.69,30)- binompdf(50,0.69,19)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.8794 ⋅ 0.1121 ≈ 0.0986

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}9\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^4$

Dabei gibt ja ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^4$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 4 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}9\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}9\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOOOO

OXXXXXOOO

OOXXXXXOO

OOOXXXXXO

OOOOXXXXX

Es gibt also genau 5 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 5 ⋅ ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^4$ ≈ 0.0068

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.88.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.88,
also $P_{0.88}^{20}(X\ge 15)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.88}^{20}(X\ge 15)$ = 1 - $P_{0.88}^{20}(X\le 14)$

≈ 1 - 0.026 ≈ 0.974 (TI-Befehl: 1-binompdf(20,0.88,14))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.974) und 'zu wenig'(p=0.026).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $0.974$; zu wenig: $0.026$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$0.025324$)
'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$0.025324$)
'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$0.948676$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.025324$ + $0.025324$ + $0.948676$ = $0.999324$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 11 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. X ist binomialverteilt mit n=11 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.5}^{11}(X\le 7)$ ≈ 0.8867.

Analog betrachten wir nun die restlichen 11 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. Y ist binomialverteilt mit n=11 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.5}^{11}(Y=6)$ ≈ 0.2256.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.5}^{11}(X\le 7)$ ⋅ $P_{0.5}^{11}(Y=6)$ = 0.8867 ⋅ 0.2256 ≈ 0.2