Freitag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und p=0.54.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 34 Treffer bei 65 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.54 zu erzielen, also $P_{0.54}^{65}(30\le X\le 34)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.54}^{65}(X\le 34)$ - $P_{0.54}^{65}(X\le 29)$ ≈ 0.4394 - 0.0819 ≈ 0.3575 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(65,0.54,34)- binompdf(65,0.54,29)

Samstag:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.75.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 25 und 32 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.75 zu erzielen, also $P_{0.75}^{50}(25\le X\le 32)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.75}^{50}(X\le 32)$ - $P_{0.75}^{50}(X\le 24)$ ≈ 0.0551 - 0 ≈ 0.0551 berechnen.
TI-Befehl: binompdf(50,0.75,32)- binompdf(50,0.75,24)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.3575 ⋅ 0.0551 ≈ 0.0197

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.9}^3$ ⋅ ${0.1}^3$

Dabei gibt ja ${0.9}^3$ ⋅ ${0.1}^3$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOO

OXXXOO

OOXXXO

OOOXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${0.9}^3$ ⋅ ${0.1}^3$ ≈ 0.0029

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.84.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.84,
also $P_{0.84}^{20}(X\ge 18)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.84}^{20}(X\ge 18)$ = 1 - $P_{0.84}^{20}(X\le 17)$

≈ 1 - 0.642 ≈ 0.358 (TI-Befehl: 1-binompdf(20,0.84,17))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.358) und 'zu wenig'(p=0.642).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $0.358$; zu wenig: $0.642$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$0.229836$)
'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$0.229836$)
'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$0.128164$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0.229836$ + $0.229836$ + $0.128164$ = $0.587836$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 15 Durchgänge:

Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=15 und p=0.6.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.6}^{15}(X=11)$ ≈ 0.1268.

Analog betrachten wir nun die restlichen 10 Durchgänge:

Die Zufallsvariable Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.6.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.6}^{10}(Y\le 7)$ ≈ 0.8327.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.6}^{15}(X=11)$ ⋅ $P_{0.6}^{10}(Y\le 7)$ = 0.1268 ⋅ 0.8327 ≈ 0.1056