Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Beispiel:

Eine (faire) Münze wird 3 mal geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Würfe, bei denen "Zahl" erscheint. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.

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Für die Zufallsgröße X: 'Summe' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 0
zugehörige Ereignisse	rot - rot rot - blau blau - rot blau - blau

Zufallsgröße WS-Verteilung

Beispiel:

Drei normale Würfel werden gleichzeitig geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der gewürfelten 6er. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Anzahl der 6er' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 0	X = 1	X = 2	X = 3
zugehörige Ereignisse	0 - 0 - 0	0 - 0 - 1 0 - 1 - 0 1 - 0 - 0	0 - 1 - 1 1 - 0 - 1 1 - 1 - 0	1 - 1 - 1

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 0	X = 1	X = 2	X = 3
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$	$\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ + $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ + $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$	$\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$	$\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$
=	$\frac{125}{216}$	$\frac{25}{216}$ + $\frac{25}{216}$ + $\frac{25}{216}$	$\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$	$\frac{1}{216}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	0	1	2	3
P(X=k)	$\frac{125}{216}$	$\frac{25}{72}$	$\frac{5}{72}$	$\frac{1}{216}$

Zufallsgröße (auch ohne zur.)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind nur noch vier Karten mit dem Wert 4, zwei Karten mit dem Wert 5 und zwei 8er.
Es werden zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Werte der beiden gezogenen Karten. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Summe der beiden Karten' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 8	X = 9	X = 10	X = 12	X = 13	X = 16
zugehörige Ereignisse	4 - 4	4 - 5 5 - 4	5 - 5	4 - 8 8 - 4	5 - 8 8 - 5	8 - 8

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 8	X = 9	X = 10	X = 12	X = 13	X = 16
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{3}{7}$	$\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{2}{7}$ + $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{4}{7}$	$\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{7}$	$\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{2}{7}$ + $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{4}{7}$	$\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{2}{7}$ + $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{2}{7}$	$\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{7}$
=	$\frac{3}{14}$	$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$	$\frac{1}{28}$	$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$	$\frac{1}{14}$ + $\frac{1}{14}$	$\frac{1}{28}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	8	9	10	12	13	16
P(X=k)	$\frac{3}{14}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{1}{28}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{1}{7}$	$\frac{1}{28}$

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 12 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint.
Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der Ziehungen, bis die erste Herz-Karte gezogen worden ist. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)

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Da ja nur 2 Karten vom Typ 'kein Herz' vorhanden sind, muss spätestens im 3-ten Versuch (wenn dann alle Karten vom Typ 'kein Herz' bereits gezogen und damit weg sind) eine Karte vom Typ 'Herz' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 3 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X	1	2	3
P(X=k)	$\frac{6}{7}$	$\frac{12}{91}$	$\frac{1}{91}$

Zufallsgröße rückwärts

Beispiel:

Ein Glücksrad hat drei Sektoren, die mit den Zahlen 1, 2 und 3 beschriftet sind. Es wird zwei mal gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei das Produkt der Zahlen die bei den beiden Glücksraddrehungen erscheinen. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle).
Wie groß müssen jeweils die Winkel der Sektoren sein?

Zufallsgröße X 1 2 3 4 6 9

P(X=k) $\frac{49}{324}$ ? ? ? ? $\frac{1}{1296}$

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Für X=1 gibt es nur das Ereignis: '1'-'1', also dass zwei mal hintereinander '1' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '1' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '1' kommt, gelten: P(X=1) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=1) = $\frac{49}{324}$ heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)² = $\frac{49}{324}$ und somit p1 = $\frac{7}{18}$ .

Ebenso gibt es für X=9 nur das Ereignis: '3'-'3', also dass zwei mal hintereinander '3' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '3' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '3' kommt, gelten: P(X=9) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=9) = $\frac{1}{1296}$ heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)² = $\frac{1}{1296}$ und somit p3 = $\frac{1}{36}$ .

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = $1$ $- \frac{7}{18}$ $- \frac{1}{36}$ = $\frac{36}{36}$ $- \frac{14}{36}$ $- \frac{1}{36}$ = $\frac{21}{36}$ = $\frac{7}{12}$

Um nun noch die Mittelpunktswinkel der drei Sektoren zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 360° multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit eines Sektors mit Mittelpunktswinkel α gilt: p = $\frac{α}{360°}$

Somit erhalten wir:

α₁ = $\frac{7}{18}$ ⋅ 360° = 140°

α₂ = $\frac{7}{12}$ ⋅ 360° = 210°

α₃ = $\frac{1}{36}$ ⋅ 360° = 10°

Erwartungswerte

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Wie viele Punkte kann man bei dem abgebildeten Glücksrad erwarten?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Punktezahl auf einem Sektor des Glücksrads.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	3	6	20	50
Zufallsgröße x_i	3	6	20	50
P(X=x_i)	$\frac{3}{8}$	$\frac{2}{8}$	$\frac{2}{8}$	$\frac{1}{8}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{9}{8}$	$\frac{3}{2}$	$5$	$\frac{25}{4}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 3⋅ $\frac{3}{8}$ + 6⋅ $\frac{2}{8}$ + 20⋅ $\frac{2}{8}$ + 50⋅ $\frac{1}{8}$

= $\frac{9}{8}$ $+$ $\frac{3}{2}$ $+$ $5$ $+$ $\frac{25}{4}$
= $\frac{9}{8}$ $+$ $\frac{12}{8}$ $+$ $\frac{40}{8}$ $+$ $\frac{50}{8}$
= $\frac{111}{8}$

≈ 13.88

Einsatz für faires Spiel bestimmen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit 4€ beschriftet sind, 10 Kugeln, die mit 20€ und 5 Kugeln, die mit 30€ beschriftet sind. Bei dem Spiel bekommt man den Betrag, der auf der Kugel steht, ausbezahlt. Außerdem sind noch weitere 6 Kugeln in der Urne. Mit welchem Betrag müsste man diese beschriften, damit das Spiel bei einem Einsatz von 23,08€ fair wäre?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	4	20	30	?
Zufallsgröße x_i	4	20	30	x
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-19.08	-3.08	6.92	x-23.08
P(X=x_i)	$\frac{3}{24}$	$\frac{10}{24}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{6}{24}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{1}{2}$	$\frac{25}{3}$	$\frac{25}{4}$	$\frac{6}{24}$ ⋅ x
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- \frac{57.24}{24}$	$- \frac{30.8}{24}$	$\frac{34.6}{24}$	$\frac{6}{24}$ ⋅(x-23.08)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 23.08

$\frac{3}{24} \cdot 4 + \frac{10}{24} \cdot 20 + \frac{5}{24} \cdot 30 + \frac{6}{24} x$ = 23.08

\frac{1}{2} + \frac{25}{3} + \frac{25}{4} + \frac{6}{24} x

= 23.08

$\frac{1}{2} + \frac{25}{3} + \frac{25}{4} + \frac{1}{4} x$	=	$23,08$
$\frac{1}{4} x + \frac{181}{12}$	=	$23,08$	\|⋅ 12
$12 (\frac{1}{4} x + \frac{181}{12})$	=	$276,96$
$3 x + 181$	=	$276,96$	\| $- 181$
$3 x$	=	$95,96$	\|: $3$
$x$	=	$31,9867$

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

\frac{3}{24} \cdot (- 19,08) + \frac{10}{24} \cdot (- 3,08) + \frac{5}{24} \cdot 6,92 + \frac{6}{24} (x - 23,08)

= 0

- \frac{19.08}{8} - \frac{15.4}{12} + \frac{34.6}{24} + \frac{1}{4} x - 5,77

= 0

$- 2,385 - 1,2833333333333 + 1,4416666666667 + \frac{1}{4} x - 5,77$	=	0
$\frac{1}{4} x - 7,9966666666667$	=	0	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} x - 7,9966666666667)$	=	0
$x - 31,986666666667$	=	0	\| $+ 31,986666666667$
$x$	=	$31,986666666667$

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 32€

Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Ein Spielautomatenhersteller bekommt von einem Kunden den Auftrag einen Automaten zu entwickeln, der folgenden Bedingungen erfüllt.
- Der Einsatz für ein Spiel soll 2€ betragen
- auf lange Sicht soll er 10ct Gewinn pro Spiel für den Betreiber abwerfen
- es sollen 5 verschiedene Felder (Kirsche, Zitrone, Apfel, Banane, Erdbeere) mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen sein
- bei einem Feld soll keine Auszahlung erfolgen
- um Kunden zu locken soll bei einem Feld 50€ ausgezahlt werden
Ordne den 5 Optionen so Wahrscheinlichkeiten und Auszahlungsbeträge zu, dass diese Bedingungen erfüllt sind.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0				50
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2				48
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0				50
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2				48
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$				$\frac{1}{48}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$				$1$

Bei der mittleren Option setzen wir den Betrag einfach gleich wie den Einsatz, so dass diese den Erwartungswert nicht verändert.
Als Wahrscheinlichkeit wählen wir einen Bruch so, dass die Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden zwei Optionen nicht allzu kompliziert wird.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0		2		50
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2		0		48
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$		$\frac{11}{48}$		$\frac{1}{48}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$		$0$		$1$

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{2}$ + $\frac{11}{48}$ + $\frac{1}{48}$ = $\frac{3}{4}$
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{4}$ .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0		2		50
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2		0		48
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{11}{48}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{48}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$		$0$		$1$

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich $1$ ) setzt.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0	1	2	3	50
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2	-1	0	1	48
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{11}{48}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{48}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{1}{8}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$1$

Weil der Erwartungswert ja aber nicht 0 sondern $- \frac{1}{10}$ sein soll, müssen wir nun noch den Auszahlungsbetrag bei der 2. Option (betragsmäßig) vergrößern. Und zwar so, dass er mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{8}$ multipliziert gerade um $- \frac{1}{10}$ wächst.
Also x ⋅ $\frac{1}{8}$ = $- \frac{1}{10}$ => x= $- \frac{1}{10}$ : $\frac{1}{8}$ = $- \frac{4}{5}$ = -0.8
Die neue Auszahlung für 'Zitrone' ist also 0.2

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0	0.2	2	3	50
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2	-1.8	0	1	48
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{11}{48}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{48}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{9}{40}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$1$

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -2⋅ $\frac{1}{2}$ + -1.8⋅ $\frac{1}{8}$ + 0⋅ $\frac{11}{48}$ + 1⋅ $\frac{1}{8}$ + 48⋅ $\frac{1}{48}$

= $- 1$ $- \frac{9}{40}$ $+$ $0$ $+$ $\frac{1}{8}$ $+$ $1$
= $- \frac{40}{40}$ $- \frac{9}{40}$ $+$ $\frac{0}{40}$ $+$ $\frac{5}{40}$ $+$ $\frac{40}{40}$
= $- \frac{4}{40}$
= $- \frac{1}{10}$

≈ -0.1

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen ist.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 1-ten Versuch st: $\frac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 2-ten Versuch st: $\frac{2}{7}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 3-ten Versuch st: $\frac{1}{7}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 4-ten Versuch st: $\frac{2}{35}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 5-ten Versuch st: $\frac{1}{70}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis die erste rote Kugel gezogen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	1	2	3	4	5
P(X=x_i)	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{1}{7}$	$\frac{2}{35}$	$\frac{1}{70}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{1}{2}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{8}{35}$	$\frac{1}{14}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ $\frac{1}{2}$ + 2⋅ $\frac{2}{7}$ + 3⋅ $\frac{1}{7}$ + 4⋅ $\frac{2}{35}$ + 5⋅ $\frac{1}{70}$

= $\frac{1}{2}$ $+$ $\frac{4}{7}$ $+$ $\frac{3}{7}$ $+$ $\frac{8}{35}$ $+$ $\frac{1}{14}$
= $\frac{35}{70}$ $+$ $\frac{40}{70}$ $+$ $\frac{30}{70}$ $+$ $\frac{16}{70}$ $+$ $\frac{5}{70}$
= $\frac{126}{70}$
= $\frac{9}{5}$

≈ 1.8

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 10 blauen und 5 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 10000€, bei 2 blauen bekommt er noch 100€, bei einer 10€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{24}{91}$
blau -> blau -> rot	$\frac{15}{91}$
blau -> rot -> blau	$\frac{15}{91}$
blau -> rot -> rot	$\frac{20}{273}$
rot -> blau -> blau	$\frac{15}{91}$
rot -> blau -> rot	$\frac{20}{273}$
rot -> rot -> blau	$\frac{20}{273}$
rot -> rot -> rot	$\frac{2}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{2}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ = $\frac{20}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ = $\frac{45}{91}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{24}{91}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	10	100	10000
P(X=x_i)	$\frac{2}{91}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{45}{91}$	$\frac{24}{91}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{200}{91}$	$\frac{4500}{91}$	$\frac{240.000}{91}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{2}{91}$ + 10⋅ $\frac{20}{91}$ + 100⋅ $\frac{45}{91}$ + 10000⋅ $\frac{24}{91}$

= $0$ $+$ $\frac{200}{91}$ $+$ $\frac{4500}{91}$ $+$ $\frac{240.000}{91}$
= $\frac{0}{91}$ $+$ $\frac{200}{91}$ $+$ $\frac{4500}{91}$ $+$ $\frac{240.000}{91}$
= $\frac{244.700}{91}$

≈ 2689.01

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

Ein leidenschaftlicher Mäxle-Spieler möchte eine Mäxle-Spielautomat bauen. Wie beim richtigen Mäxle sollen auch hier zwei normale Würfel gleichzeitig geworfen werden (bzw. dies eben simuliert). Bei einem Mäxle (also eine 1 und eine 2) soll dann 12€ ausbezahlt werden, bei einem Pasch (also zwei gleiche Augenzahlen) 5€ und bei 61-65 also (also ein Würfel 6 und der andere keine 6) noch 2€. Wie groß müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Mäxle' ist:

P('1'-'2') + P('2'-'1')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{18}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Pasch' ist:

P('1'-'1') + P('2'-'2') + P('3'-'3') + P('4'-'4') + P('5'-'5') + P('6'-'6')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit für '60er' ist:

P('1'-'6') + P('2'-'6') + P('3'-'6') + P('4'-'6') + P('5'-'6') + P('6'-'1') + P('6'-'2') + P('6'-'3') + P('6'-'4') + P('6'-'5')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{5}{18}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den durch die beiden Würfel ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	Mäxle	Pasch	60er
Zufallsgröße x_i	12	5	2
P(X=x_i)	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{18}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{2}{3}$	$\frac{5}{6}$	$\frac{5}{9}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 12⋅ $\frac{1}{18}$ + 5⋅ $\frac{1}{6}$ + 2⋅ $\frac{5}{18}$

= $\frac{2}{3}$ $+$ $\frac{5}{6}$ $+$ $\frac{5}{9}$
= $\frac{12}{18}$ $+$ $\frac{15}{18}$ $+$ $\frac{10}{18}$
= $\frac{37}{18}$

≈ 2.06

Zufallsgröße X	1	2	3	4	6	9
P(X=k)	$\frac{49}{324}$	?	?	?	?	$\frac{1}{1296}$

Aufgabenbeispiele von Erwartungswert

Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Zufallsgröße WS-Verteilung

Zufallsgröße (auch ohne zur.)

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Zufallsgröße rückwärts

Erwartungswerte

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Einsatz für faires Spiel bestimmen

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Erwartungswert ganz offen

Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X