Aufgabenbeispiele von Erwartungswert

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei gleiche Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen die bei den beiden Glücksräder erscheinen. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.

Lösung einblenden

Für die Zufallsgröße X: 'Summe der beiden Glücksräder' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = 2X = 3X = 4X = 5X = 6
zugehörige
Ereignisse
1 - 11 - 2
2 - 1
1 - 3
2 - 2
3 - 1
2 - 3
3 - 2
3 - 3

Zufallsgröße WS-Verteilung

Beispiel:

In einer Urne sind zwei Kugeln, die mit der Zahl 1 beschriftet sind und fünf Kugeln, die mit der Zahl 9 beschriftet sind. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Die Zufallsgröße X beschreibt das Produkt der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

Lösung einblenden

Für die Zufallsgröße X: 'Produkt der beiden Kugeln' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = 1X = 9X = 81
zugehörige
Ereignisse
1 - 11 - 9
9 - 1
9 - 9
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(


Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.


Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße XX = 1X = 9X = 81
zugehörige
Wahrscheinlichkeit P(X)
2 7 2 7 2 7 5 7
+ 5 7 2 7
5 7 5 7
  = 4 49 10 49 + 10 49 25 49



Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X1981
P(X=k) 4 49 20 49 25 49

Zufallsgröße (auch ohne zur.)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind nur noch zwei Karten mit dem Wert 4, vier Karten mit dem Wert 5 und zwei 10er.
Es werden zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz zwischen dem größeren und dem kleineren Wert der beiden gezogenen Karten. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

Lösung einblenden

Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Karten' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = 0X = 1X = 5X = 6
zugehörige
Ereignisse
4 - 4
5 - 5
10 - 10
4 - 5
5 - 4
5 - 10
10 - 5
4 - 10
10 - 4
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(


Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.


Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße XX = 0X = 1X = 5X = 6
zugehörige
Wahrscheinlichkeit P(X)
1 4 1 7
+ 1 2 3 7
+ 1 4 1 7
1 4 4 7
+ 1 2 2 7
1 2 2 7
+ 1 4 4 7
1 4 2 7
+ 1 4 2 7
  = 1 28 + 3 14 + 1 28 1 7 + 1 7 1 7 + 1 7 1 14 + 1 14



Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X0156
P(X=k) 2 7 2 7 2 7 1 7

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 2 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint.
Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der Ziehungen, bis die erste Herz-Karte gezogen worden ist. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Da ja nur 3 Karten vom Typ 'kein Herz' vorhanden sind, muss spätestens im 4-ten Versuch (wenn dann alle Karten vom Typ 'kein Herz' bereits gezogen und damit weg sind) eine Karte vom Typ 'Herz' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 4 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X1234
P(X=k) 2 5 3 10 1 5 1 10

Zufallsgröße rückwärts

Beispiel:

In einer Urne sind 15 Kugeln, die mit verschiedenen Zahlen beschriftet sind. Dabei gibt es nur die Zahlen 1, 4 und 7 als Beschriftung. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle).
Wie viele Kugeln mit den oben genannten Zahlen als Beschriftung müssen jeweils in der Urne sein?

Zufallsgröße X2581114
P(X=k) 1 25 ??? 16 225

Lösung einblenden

Für X=2 gibt es nur das Ereignis: '1'-'1', also dass zwei mal hintereinander '1' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '1' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '1' kommt, gelten: P(X=2) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=2) = 1 25 heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)2 = 1 25 und somit p1 = 1 5 .

Ebenso gibt es für X=14 nur das Ereignis: '7'-'7', also dass zwei mal hintereinander '7' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '7' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '7' kommt, gelten: P(X=14) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Aus der Tabelle können wir aber P(X=14) = 16 225 heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)2 = 16 225 und somit p3 = 4 15 .

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = 1 - 1 5 - 4 15 = 15 15 - 3 15 - 4 15 = 8 15

Um nun noch die jeweilige Anzahl der Kugeln mit gleicher Zahl zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 15 multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit für eine der n Kugeln mit einer bestimmten Zahl gilt: p = n 15

Somit erhalten wir:

n1 = 1 5 ⋅ 15 = 3

n4 = 8 15 ⋅ 15 = 8

n7 = 4 15 ⋅ 15 = 4

Erwartungswerte

Beispiel:

Bei einer Tombola steht auf jedem zehnten Los 300 Punkte, auf jedem fünften Los 30 Punkte, auf jedem vierten Los 12 Punkte und auf allen anderen 1 Punkt. Wie viele Punkte bringt ein Los durchschnttlich ein?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Punkte auf einem Los.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 300 30 12 1
Zufallsgröße xi 300 30 12 1
P(X=xi) 1 10 1 5 1 4 9 20
xi ⋅ P(X=xi) 30 6 3 9 20

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 300⋅ 1 10 + 30⋅ 1 5 + 12⋅ 1 4 + 1⋅ 9 20

= 30+ 6+ 3+ 9 20
= 789 20

39.45

Einsatz für faires Spiel bestimmen

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 6 blauen, 4 roten, 9 grünen und 5 weißen Kugeln eine Kugel ziehen. Erwischt er eine blaue, so erhält er 20€. Bei rot erhält er 30€ und bei grün erhält er 8€. Welchen Betrag muss er bei weiß erhalten damit das Spiel fair ist, wenn der Einsatz 18€ beträgt ?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis blau rot grün weiß
Zufallsgröße xi 20 30 8 x
Zufallsgröße yi (Gewinn) 2 12 -10 x-18
P(X=xi) 6 24 4 24 9 24 5 24
xi ⋅ P(X=xi) 5 5 3 5 24 ⋅ x
yi ⋅ P(Y=yi) 1 2 2 - 15 4 5 24 ⋅(x-18)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 18

6 24 · 20 + 4 24 · 30 + 9 24 · 8 + 5 24 x = 18

5 +5 +3 + 5 24 x = 18

5 +5 +3 + 5 24 x = 18
5 24 x +13 = 18 |⋅ 24
24( 5 24 x +13 ) = 432
5x +312 = 432 | -312
5x = 120 |:5
x = 24

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

6 24 · 2 + 4 24 · 12 + 9 24 · ( -10 ) + 5 24 ( x -18 ) = 0

1 2 +2 - 15 4 + 5 24 x - 15 4 = 0

1 2 +2 - 15 4 + 5 24 x - 15 4 = 0
5 24 x -5 = 0 |⋅ 24
24( 5 24 x -5 ) = 0
5x -120 = 0 | +120
5x = 120 |:5
x = 24

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 24

Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Ein Spielautomatenhersteller bekommt von einem Kunden den Auftrag einen Automaten zu entwickeln, der folgenden Bedingungen erfüllt.
- Der Einsatz für ein Spiel soll 2€ betragen
- auf lange Sicht soll er 10ct Gewinn pro Spiel für den Betreiber abwerfen
- es sollen 5 verschiedene Felder (Kirsche, Zitrone, Apfel, Banane, Erdbeere) mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen sein
- bei einem Feld soll keine Auszahlung erfolgen
- um Kunden zu locken soll bei einem Feld 32€ ausgezahlt werden
Ordne den 5 Optionen so Wahrscheinlichkeiten und Auszahlungsbeträge zu, dass diese Bedingungen erfüllt sind.

Lösung einblenden

Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 32
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 30
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 32
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 30
P(X) = P(Y) 1 2 1 30
Y ⋅ P(Y) -1 1

Bei der mittleren Option setzen wir den Betrag einfach gleich wie den Einsatz, so dass diese den Erwartungswert nicht verändert.
Als Wahrscheinlichkeit wählen wir einen Bruch so, dass die Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden zwei Optionen nicht allzu kompliziert wird.

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 2 32
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 0 30
P(X) = P(Y) 1 2 13 60 1 30
Y ⋅ P(Y) -1 0 1

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von 1 2 + 13 60 + 1 30 = 3 4
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- 3 4 = 1 4 .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 2 32
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 0 30
P(X) = P(Y) 1 2 1 8 13 60 1 8 1 30
Y ⋅ P(Y) -1 0 1

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich 1) setzt.

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 1 2 3 32
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 -1 0 1 30
P(X) = P(Y) 1 2 1 8 13 60 1 8 1 30
Y ⋅ P(Y) -1 - 1 8 0 1 8 1

Weil der Erwartungswert ja aber nicht 0 sondern - 1 10 sein soll, müssen wir nun noch den Auszahlungsbetrag bei der 2. Option (betragsmäßig) vergrößern. Und zwar so, dass er mit der Wahrscheinlichkeit 1 8 multipliziert gerade um - 1 10 wächst.
Also x ⋅ 1 8 = - 1 10 => x= - 1 10 : 1 8 = - 4 5 = -0.8
Die neue Auszahlung für 'Zitrone' ist also 0.2

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 0.2 2 3 32
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 -1.8 0 1 30
P(X) = P(Y) 1 2 1 8 13 60 1 8 1 30
Y ⋅ P(Y) -1 - 9 40 0 1 8 1

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -2⋅ 1 2 + -1.8⋅ 1 8 + 0⋅ 13 60 + 1⋅ 1 8 + 30⋅ 1 30

= -1 - 9 40 + 0+ 1 8 + 1
= - 40 40 - 9 40 + 0 40 + 5 40 + 40 40
= - 4 40
= - 1 10

-0.1

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 7 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis das erste Herz erscheint.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 1-ten Versuch st: 7 9

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 2-ten Versuch st: 7 36

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 3-ten Versuch st: 1 36

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis das erste Herz gekommen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 1 2 3
Zufallsgröße xi 1 2 3
P(X=xi) 7 9 7 36 1 36
xi ⋅ P(X=xi) 7 9 7 18 1 12

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ 7 9 + 2⋅ 7 36 + 3⋅ 1 36

= 7 9 + 7 18 + 1 12
= 28 36 + 14 36 + 3 36
= 45 36
= 5 4

1.25

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 10 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
As -> As -> As 1 91
As -> As -> andereKarte 5 91
As -> andereKarte -> As 5 91
As -> andereKarte -> andereKarte 15 91
andereKarte -> As -> As 5 91
andereKarte -> As -> andereKarte 15 91
andereKarte -> andereKarte -> As 15 91
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte 30 91

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: 30 91

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: 15 91 + 15 91 + 15 91 = 45 91

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: 5 91 + 5 91 + 5 91 = 15 91

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: 1 91

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 10 20 30
P(X=xi) 30 91 45 91 15 91 1 91
xi ⋅ P(X=xi) 0 450 91 300 91 30 91

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ 30 91 + 10⋅ 45 91 + 20⋅ 15 91 + 30⋅ 1 91

= 0+ 450 91 + 300 91 + 30 91
= 0 91 + 450 91 + 300 91 + 30 91
= 780 91
= 60 7

8.57

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 9 Asse, 9 Könige, 4 Damen und 3 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 1000, 2 Könige 300, 2 Damen 160 und 2 Buben 80 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 35 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
As -> As 3 25
As -> König 27 200
As -> Dame 3 50
As -> Bube 9 200
König -> As 27 200
König -> König 3 25
König -> Dame 3 50
König -> Bube 9 200
Dame -> As 3 50
Dame -> König 3 50
Dame -> Dame 1 50
Dame -> Bube 1 50
Bube -> As 9 200
Bube -> König 9 200
Bube -> Dame 1 50
Bube -> Bube 1 100

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= 3 25

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= 3 25

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= 1 50

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= 1 100

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= 3 50 + 3 50 = 3 25

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 2 Asse 2 Könige 2 Damen 2 Buben Paar (D&K)
Zufallsgröße xi 1000 300 160 80 35
P(X=xi) 3 25 3 25 1 50 1 100 3 25
xi ⋅ P(X=xi) 120 36 16 5 4 5 21 5

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅ 3 25 + 300⋅ 3 25 + 160⋅ 1 50 + 80⋅ 1 100 + 35⋅ 3 25

= 120+ 36+ 16 5 + 4 5 + 21 5
= 821 5

164.2