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Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Aufgabenbeispiele von Erwartungswert

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Beispiel:

Eine (faire) Münze wird 3 mal geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Würfe, bei denen "Zahl" erscheint. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.

Lösung einblenden

Für die Zufallsgröße X: 'Summe' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = 0
zugehörige
Ereignisse
rot - rot
rot - blau
blau - rot
blau - blau

Zufallsgröße WS-Verteilung

Beispiel:

Eine (faire) Münze wird 3 mal geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl, der Würfe bei denen "Zahl" erscheint. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

Lösung einblenden

Für die Zufallsgröße X: 'Anzahl von Zahl-Würfen' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = 0X = 1X = 2X = 3
zugehörige
Ereignisse
0 - 0 - 00 - 0 - 1
0 - 1 - 0
1 - 0 - 0
0 - 1 - 1
1 - 0 - 1
1 - 1 - 0
1 - 1 - 1
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Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.


Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße XX = 0X = 1X = 2X = 3
zugehörige
Wahrscheinlichkeit P(X)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
+ 1 2 1 2 1 2
+ 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
+ 1 2 1 2 1 2
+ 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
  = 1 8 1 8 + 1 8 + 1 8 1 8 + 1 8 + 1 8 1 8



Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X0123
P(X=k) 1 8 3 8 3 8 1 8

Zufallsgröße (auch ohne zur.)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind nur noch zwei Karten mit dem Wert 4, zwei Karten mit dem Wert 7 und zwei 10er.
Es werden zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Werte der beiden gezogenen Karten. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

Lösung einblenden

Für die Zufallsgröße X: 'Summe der beiden Karten' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = 8X = 11X = 14X = 17X = 20
zugehörige
Ereignisse
4 - 44 - 7
7 - 4
4 - 10
7 - 7
10 - 4
7 - 10
10 - 7
10 - 10
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Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.


Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße XX = 8X = 11X = 14X = 17X = 20
zugehörige
Wahrscheinlichkeit P(X)
1 3 1 5 1 3 2 5
+ 1 3 2 5
1 3 2 5
+ 1 3 1 5
+ 1 3 2 5
1 3 2 5
+ 1 3 2 5
1 3 1 5
  = 1 15 2 15 + 2 15 2 15 + 1 15 + 2 15 2 15 + 2 15 1 15



Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X811141720
P(X=k) 1 15 4 15 1 3 4 15 1 15

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Beispiel:

In einer Urne sind 12 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint.
Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen worden ist. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)

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Da ja nur 2 Kugeln vom Typ 'blau' vorhanden sind, muss spätestens im 3-ten Versuch (wenn dann alle Kugeln vom Typ 'blau' bereits gezogen und damit weg sind) eine Kugel vom Typ 'rot' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 3 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X123
P(X=k) 6 7 12 91 1 91

Zufallsgröße rückwärts

Beispiel:

Ein Glücksrad hat drei Sektoren, die mit den Zahlen 1, 2 und 3 beschriftet sind. Es wird zwei mal gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei das Produkt der Zahlen die bei den beiden Glücksraddrehungen erscheinen. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle).
Wie groß müssen jeweils die Winkel der Sektoren sein?
Zufallsgröße X123469
P(X=k) 169 1296 ???? 1 9

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Für X=1 gibt es nur das Ereignis: '1'-'1', also dass zwei mal hintereinander '1' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '1' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '1' kommt, gelten: P(X=1) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=1) = 169 1296 heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)2 = 169 1296 und somit p1 = 13 36 .

Ebenso gibt es für X=9 nur das Ereignis: '3'-'3', also dass zwei mal hintereinander '3' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '3' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '3' kommt, gelten: P(X=9) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

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Aus der Tabelle können wir aber P(X=9) = 1 9 heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)2 = 1 9 und somit p3 = 1 3 .

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = 1 - 13 36 - 1 3 = 36 36 - 13 36 - 12 36 = 11 36

Um nun noch die Mittelpunktswinkel der drei Sektoren zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 360° multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit eines Sektors mit Mittelpunktswinkel α gilt: p = α 360°

Somit erhalten wir:

α1 = 13 36 ⋅ 360° = 130°

α2 = 11 36 ⋅ 360° = 110°

α3 = 1 3 ⋅ 360° = 120°

Erwartungswerte

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 6 blauen, 10 roten, 5 grünen und 3 weißen Kugeln eine Kugel ziehen. Erwischt er eine blaue, so erhält er 8€. Bei rot erhält er 12€, bei grün erhält er 24€ und bei weiß erhält er 40€. Wieviel bringt ein Zug durchschnittlich ein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten €-Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis blau rot grün weiß
Zufallsgröße xi 8 12 24 40
P(X=xi) 6 24 10 24 5 24 3 24
xi ⋅ P(X=xi) 2 5 5 5

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 8⋅ 6 24 + 12⋅ 10 24 + 24⋅ 5 24 + 40⋅ 3 24

= 2+ 5+ 5+ 5
= 17

Einsatz für faires Spiel bestimmen

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 6 blauen, 6 roten, 8 grünen und 4 weißen Kugeln eine Kugel ziehen. Erwischt er eine blaue, so erhält er 24€. Bei rot erhält er 48€ und bei grün erhält er 12€. Welchen Betrag muss er bei weiß erhalten damit das Spiel fair ist, wenn der Einsatz 25€ beträgt ?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis blau rot grün weiß
Zufallsgröße xi 24 48 12 x
Zufallsgröße yi (Gewinn) -1 23 -13 x-25
P(X=xi) 6 24 6 24 8 24 4 24
xi ⋅ P(X=xi) 6 12 4 4 24 ⋅ x
yi ⋅ P(Y=yi) - 1 4 23 4 - 13 3 4 24 ⋅(x-25)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 25

6 24 · 24 + 6 24 · 48 + 8 24 · 12 + 4 24 x = 25

6 +12 +4 + 4 24 x = 25

6 +12 +4 + 1 6 x = 25
1 6 x +22 = 25 |⋅ 6
6( 1 6 x +22 ) = 150
x +132 = 150 | -132
x = 18

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

6 24 · ( -1 ) + 6 24 · 23 + 8 24 · ( -13 ) + 4 24 ( x -25 ) = 0

- 1 4 + 23 4 - 13 3 + 1 6 x - 25 6 = 0

- 1 4 + 23 4 - 13 3 + 1 6 x - 25 6 = 0
1 6 x -3 = 0 |⋅ 6
6( 1 6 x -3 ) = 0
x -18 = 0 | +18
x = 18

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 18

Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Eine Klasse möchte beim Schulfest ein Glücksrad mit Spielgeld anbieten. Dabei soll das Glücksrad in Sektoren aufgeteilt werden, in denen der Auszahlungsbetrag (z.B. 3€) drin steht. Nach langer Diskussion einigt man sich auf folgende Punkte:
• Das Spiel mit dem Glücksrad muss fair sein
• Der Einsatz soll 7€ betragen
• Der minimale Auszahlungsbetrag soll 6€ sein
• Der maximale Auszahlungsbetrag soll soll 35€ sein
• Es sollen genau 4 Sektoren mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen auf dem Glücksrad sein
Finde eine Möglichkeit für solch ein Glücksrad und trage diese in die Tabelle ein.

Lösung einblenden

Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

  Feld1 Feld2 Feld3 Feld4
X (z.B. Auszahlung) 6 35
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -1 28
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

  Feld1 Feld2 Feld3 Feld4
X (z.B. Auszahlung) 6 35
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -1 28
P(X) = P(Y) 1 2 1 56
Y ⋅ P(Y) - 1 2 1 2

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von 1 2 + 1 56 = 29 56
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- 29 56 = 27 56 .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

  Feld1 Feld2 Feld3 Feld4
X (z.B. Auszahlung) 6 35
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -1 28
P(X) = P(Y) 1 2 27 112 27 112 1 56
Y ⋅ P(Y) - 1 2 1 2

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich 1 2 ) setzt.

  Feld1 Feld2 Feld3 Feld4
X (z.B. Auszahlung) 6 6.5 7.5 35
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -1 -0.5 0.5 28
P(X) = P(Y) 1 2 27 112 27 112 1 56
Winkel 180 86.79 86.79 6.43
Y ⋅ P(Y) - 1 2 - 27 224 27 224 1 2

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -1⋅ 1 2 + -0.5⋅ 27 112 + 0.5⋅ 27 112 + 28⋅ 1 56

= - 1 2 - 27 224 + 27 224 + 1 2
= - 112 224 - 27 224 + 27 224 + 112 224
= 0 224
= 0

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen ist.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 1-ten Versuch st: 4 7

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 2-ten Versuch st: 2 7

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 3-ten Versuch st: 4 35

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 4-ten Versuch st: 1 35

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis die erste rote Kugel gezogen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 1 2 3 4
Zufallsgröße xi 1 2 3 4
P(X=xi) 4 7 2 7 4 35 1 35
xi ⋅ P(X=xi) 4 7 4 7 12 35 4 35

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ 4 7 + 2⋅ 2 7 + 3⋅ 4 35 + 4⋅ 1 35

= 4 7 + 4 7 + 12 35 + 4 35
= 56 35
= 8 5

1.6

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 9 blauen und 3 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 6561€, bei 2 blauen bekommt er noch 81€, bei einer 9€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
blau -> blau -> blau 21 55
blau -> blau -> rot 9 55
blau -> rot -> blau 9 55
blau -> rot -> rot 9 220
rot -> blau -> blau 9 55
rot -> blau -> rot 9 220
rot -> rot -> blau 9 220
rot -> rot -> rot 1 220

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: 1 220

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: 9 220 + 9 220 + 9 220 = 27 220

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: 9 55 + 9 55 + 9 55 = 27 55

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: 21 55

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 9 81 6561
P(X=xi) 1 220 27 220 27 55 21 55
xi ⋅ P(X=xi) 0 243 220 2187 55 137.781 55

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ 1 220 + 9⋅ 27 220 + 81⋅ 27 55 + 6561⋅ 21 55

= 0+ 243 220 + 2187 55 + 137.781 55
= 0 220 + 243 220 + 8748 220 + 551.124 220
= 560.115 220
= 112.023 44

2545.98

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 2 Asse, 7 Könige, 2 Damen und 4 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 500, 2 Könige 300, 2 Damen 180 und 2 Buben 70 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 15 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
As -> As 1 105
As -> König 1 15
As -> Dame 2 105
As -> Bube 4 105
König -> As 1 15
König -> König 1 5
König -> Dame 1 15
König -> Bube 2 15
Dame -> As 2 105
Dame -> König 1 15
Dame -> Dame 1 105
Dame -> Bube 4 105
Bube -> As 4 105
Bube -> König 2 15
Bube -> Dame 4 105
Bube -> Bube 2 35

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= 1 105

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= 1 5

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= 1 105

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= 2 35

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= 1 15 + 1 15 = 2 15

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 2 Asse 2 Könige 2 Damen 2 Buben Paar (D&K)
Zufallsgröße xi 500 300 180 70 15
P(X=xi) 1 105 1 5 1 105 2 35 2 15
xi ⋅ P(X=xi) 100 21 60 12 7 4 2

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 500⋅ 1 105 + 300⋅ 1 5 + 180⋅ 1 105 + 70⋅ 2 35 + 15⋅ 2 15

= 100 21 + 60+ 12 7 + 4+ 2
= 100 21 + 1260 21 + 36 21 + 84 21 + 42 21
= 1522 21

72.48