Aufgabenbeispiele von Erwartungswert

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(
Ein Würfel mit nebenstehendem Netz wird 2 mal geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz zwischen der größeren Augenzahl und der kleineren Augenzahl der beiden Würfe. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Würfe' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = 0X = 2X = 3X = 5
zugehörige
Ereignisse
1 - 1
4 - 4
6 - 6
4 - 6
6 - 4
1 - 4
4 - 1
1 - 6
6 - 1

Zufallsgröße WS-Verteilung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei gleiche Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz der größeren Zahl minus der kleineren Zahl der beiden Glücksräder. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

Lösung einblenden

Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Glücksräder' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = 0X = 1X = 2
zugehörige
Ereignisse
1 - 1
2 - 2
3 - 3
1 - 2
2 - 1
2 - 3
3 - 2
1 - 3
3 - 1
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(


Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.


Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße XX = 0X = 1X = 2
zugehörige
Wahrscheinlichkeit P(X)
5 8 5 8
+ 1 4 1 4
+ 1 8 1 8
5 8 1 4
+ 1 4 5 8
+ 1 4 1 8
+ 1 8 1 4
5 8 1 8
+ 1 8 5 8
  = 25 64 + 1 16 + 1 64 5 32 + 5 32 + 1 32 + 1 32 5 64 + 5 64



Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X012
P(X=k) 15 32 3 8 5 32

Zufallsgröße (auch ohne zur.)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind nur noch vier Karten mit dem Wert 4, vier Karten mit dem Wert 6 und zwei 10er.
Es werden zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Werte der beiden gezogenen Karten. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Summe der beiden Karten' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = 8X = 10X = 12X = 14X = 16X = 20
zugehörige
Ereignisse
4 - 44 - 6
6 - 4
6 - 64 - 10
10 - 4
6 - 10
10 - 6
10 - 10
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Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.


Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße XX = 8X = 10X = 12X = 14X = 16X = 20
zugehörige
Wahrscheinlichkeit P(X)
2 5 3 9 2 5 4 9
+ 2 5 4 9
2 5 3 9 2 5 2 9
+ 1 5 4 9
2 5 2 9
+ 1 5 4 9
1 5 1 9
  = 2 15 8 45 + 8 45 2 15 4 45 + 4 45 4 45 + 4 45 1 45



Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X81012141620
P(X=k) 2 15 16 45 2 15 8 45 8 45 1 45

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 5 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint.
Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der Ziehungen, bis die erste Herz-Karte gezogen worden ist. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)

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Da ja nur 3 Karten vom Typ 'kein Herz' vorhanden sind, muss spätestens im 4-ten Versuch (wenn dann alle Karten vom Typ 'kein Herz' bereits gezogen und damit weg sind) eine Karte vom Typ 'Herz' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 4 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X1234
P(X=k) 5 8 15 56 5 56 1 56

Zufallsgröße rückwärts

Beispiel:

In einer Urne sind 20 Kugeln, die mit verschiedenen Zahlen beschriftet sind. Dabei gibt es nur die Zahlen 3, 4 und 8 als Beschriftung. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle).
Wie viele Kugeln mit den oben genannten Zahlen als Beschriftung müssen jeweils in der Urne sein?

Zufallsgröße X678111216
P(X=k) 49 400 ???? 9 100

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Für X=6 gibt es nur das Ereignis: '3'-'3', also dass zwei mal hintereinander '3' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '3' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '3' kommt, gelten: P(X=6) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=6) = 49 400 heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)2 = 49 400 und somit p1 = 7 20 .

Ebenso gibt es für X=16 nur das Ereignis: '8'-'8', also dass zwei mal hintereinander '8' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '8' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '8' kommt, gelten: P(X=16) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

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Aus der Tabelle können wir aber P(X=16) = 9 100 heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)2 = 9 100 und somit p3 = 3 10 .

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = 1 - 7 20 - 3 10 = 20 20 - 7 20 - 6 20 = 7 20

Um nun noch die jeweilige Anzahl der Kugeln mit gleicher Zahl zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 20 multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit für eine der n Kugeln mit einer bestimmten Zahl gilt: p = n 20

Somit erhalten wir:

n3 = 7 20 ⋅ 20 = 7

n4 = 7 20 ⋅ 20 = 7

n8 = 3 10 ⋅ 20 = 6

Erwartungswerte

Beispiel:

Bei einer Tombola steht auf jedem zehnten Los 300 Punkte, auf jedem fünften Los 45 Punkte, auf jedem vierten Los 8 Punkte und auf allen anderen 1 Punkt. Wie viele Punkte bringt ein Los durchschnttlich ein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Punkte auf einem Los.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 300 45 8 1
Zufallsgröße xi 300 45 8 1
P(X=xi) 1 10 1 5 1 4 9 20
xi ⋅ P(X=xi) 30 9 2 9 20

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 300⋅ 1 10 + 45⋅ 1 5 + 8⋅ 1 4 + 1⋅ 9 20

= 30+ 9+ 2+ 9 20
= 829 20

41.45

Einsatz für faires Spiel bestimmen

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Bei einem Glücksrad wie rechts abgebildet soll das noch fehlende Feld mit einem Betrag so bestückt werden, dass das Spiel bei einem Einsatz von 10,75€ fair ist.

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis 2 8 12 ?
Zufallsgröße xi 2 8 12 x
Zufallsgröße yi (Gewinn) -8.75 -2.75 1.25 x-10.75
P(X=xi) 3 8 2 8 2 8 1 8
xi ⋅ P(X=xi) 3 4 2 3 1 8 ⋅ x
yi ⋅ P(Y=yi) - 26.25 8 - 5.5 8 2.5 8 1 8 ⋅(x-10.75)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 10.75

3 8 · 2 + 2 8 · 8 + 2 8 · 12 + 1 8 x = 10.75

3 4 +2 +3 + 1 8 x = 10.75

3 4 +2 +3 + 1 8 x = 10,75
1 8 x + 23 4 = 10,75 |⋅ 8
8( 1 8 x + 23 4 ) = 86
x +46 = 86 | -46
x = 40

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

3 8 · ( -8,75 ) + 2 8 · ( -2,75 ) + 2 8 · 1,25 + 1 8 ( x -10,75 ) = 0

- 26.25 8 - 2.75 4 + 1.25 4 + 1 8 x -1,34375 = 0

-3,28125 -0,6875 +0,3125 + 1 8 x -1,34375 = 0
1 8 x -5 = 0 |⋅ 8
8( 1 8 x -5 ) = 0
x -40 = 0 | +40
x = 40

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 40

Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Eine Klasse möchte beim Schulfest ein Glücksrad mit Spielgeld anbieten. Dabei soll das Glücksrad in Sektoren aufgeteilt werden, in denen der Auszahlungsbetrag (z.B. 3€) drin steht. Nach langer Diskussion einigt man sich auf folgende Punkte:
• Das Spiel mit dem Glücksrad muss fair sein
• Der Einsatz soll 2€ betragen
• Der minimale Auszahlungsbetrag soll 1€ sein
• Der maximale Auszahlungsbetrag soll soll 9€ sein
• Es sollen genau 4 Sektoren mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen auf dem Glücksrad sein
Finde eine Möglichkeit für solch ein Glücksrad und trage diese in die Tabelle ein.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

  Feld1 Feld2 Feld3 Feld4
X (z.B. Auszahlung) 1 9
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -1 7
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

  Feld1 Feld2 Feld3 Feld4
X (z.B. Auszahlung) 1 9
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -1 7
P(X) = P(Y) 1 2 1 14
Y ⋅ P(Y) - 1 2 1 2

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von 1 2 + 1 14 = 4 7
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- 4 7 = 3 7 .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

  Feld1 Feld2 Feld3 Feld4
X (z.B. Auszahlung) 1 9
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -1 7
P(X) = P(Y) 1 2 3 14 3 14 1 14
Y ⋅ P(Y) - 1 2 1 2

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich 1 2 ) setzt.

  Feld1 Feld2 Feld3 Feld4
X (z.B. Auszahlung) 1 1.5 2.5 9
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -1 -0.5 0.5 7
P(X) = P(Y) 1 2 3 14 3 14 1 14
Winkel 180 77.14 77.14 25.71
Y ⋅ P(Y) - 1 2 - 3 28 3 28 1 2

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -1⋅ 1 2 + -0.5⋅ 3 14 + 0.5⋅ 3 14 + 7⋅ 1 14

= - 1 2 - 3 28 + 3 28 + 1 2
= - 14 28 - 3 28 + 3 28 + 14 28
= 0 28
= 0

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Mit wie vielen Hausaufgabenüberprüfungen muss die Lehrerin im Durchschnitt rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 1-ten Versuch st: 6 7

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 2-ten Versuch st: 9 70

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 3-ten Versuch st: 9 665

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 4-ten Versuch st: 1 1330

Die Zufallsgröße X beschreibt Anzahl der eingesammelten Hausaufgaben bis das erste Mädchen gezogen wird.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 1 2 3 4
Zufallsgröße xi 1 2 3 4
P(X=xi) 6 7 9 70 9 665 1 1330
xi ⋅ P(X=xi) 6 7 9 35 27 665 2 665

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ 6 7 + 2⋅ 9 70 + 3⋅ 9 665 + 4⋅ 1 1330

= 6 7 + 9 35 + 27 665 + 2 665
= 570 665 + 171 665 + 27 665 + 2 665
= 770 665
= 22 19

1.16

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 14 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
As -> As -> As 1 204
As -> As -> andereKarte 7 204
As -> andereKarte -> As 7 204
As -> andereKarte -> andereKarte 91 612
andereKarte -> As -> As 7 204
andereKarte -> As -> andereKarte 91 612
andereKarte -> andereKarte -> As 91 612
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte 91 204

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: 91 204

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: 91 612 + 91 612 + 91 612 = 91 204

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: 7 204 + 7 204 + 7 204 = 7 68

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: 1 204

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 10 20 30
P(X=xi) 91 204 91 204 7 68 1 204
xi ⋅ P(X=xi) 0 455 102 35 17 5 34

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ 91 204 + 10⋅ 91 204 + 20⋅ 7 68 + 30⋅ 1 204

= 0+ 455 102 + 35 17 + 5 34
= 0 102 + 455 102 + 210 102 + 15 102
= 680 102
= 20 3

6.67

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 7 Asse, 10 Könige, 6 Damen und 7 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 500, 2 Könige 250, 2 Damen 220 und 2 Buben 90 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 20 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
As -> As 7 145
As -> König 7 87
As -> Dame 7 145
As -> Bube 49 870
König -> As 7 87
König -> König 3 29
König -> Dame 2 29
König -> Bube 7 87
Dame -> As 7 145
Dame -> König 2 29
Dame -> Dame 1 29
Dame -> Bube 7 145
Bube -> As 49 870
Bube -> König 7 87
Bube -> Dame 7 145
Bube -> Bube 7 145

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= 7 145

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= 3 29

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= 1 29

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= 7 145

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= 2 29 + 2 29 = 4 29

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 2 Asse 2 Könige 2 Damen 2 Buben Paar (D&K)
Zufallsgröße xi 500 250 220 90 20
P(X=xi) 7 145 3 29 1 29 7 145 4 29
xi ⋅ P(X=xi) 700 29 750 29 220 29 126 29 80 29

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 500⋅ 7 145 + 250⋅ 3 29 + 220⋅ 1 29 + 90⋅ 7 145 + 20⋅ 4 29

= 700 29 + 750 29 + 220 29 + 126 29 + 80 29
= 1876 29

64.69