Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Abstand von A auf der Geraden AB

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten der beiden Punkte, die auf der Geraden durch A $(5 | 5 | 2)$ und B $(19 | 13 | 10)$ liegen und von A den Abstand 54 haben.

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir den Verbindungsvektor $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 14 \\ 8 \\ 8 \end{matrix})$ und dessen Länge: d=| $\vec{AB}$ |= $\sqrt{14^{2} + 8^{2} + 8^{2}} = \sqrt{324} = 18$
Wir verkürzen nun den Vektor zu einem Einheitsvektor, indem wir durch dessen Länge teilen:

$\vec{e}$ = $\frac{1}{18}$ $(\begin{matrix} 14 \\ 8 \\ 8 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} \frac{7}{9} \\ \frac{4}{9} \\ \frac{4}{9} \end{matrix})$
Damit können wir die Gerade durch A und B mit einem Einheitsvektor als Richtungsvektor darstellen: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} \frac{7}{9} \\ \frac{4}{9} \\ \frac{4}{9} \end{matrix})$ .
Das heißt der Punkt X (vom Ortsvektor $\vec{x}$ ) ist immer t Einheiten vom Aufpunkt der Geraden A entfernt.

Für t=-54 und t=54 erhalten wir so also die gesuchten Punkte:

$\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 2 \end{matrix}) + 54 \cdot (\begin{matrix} \frac{7}{9} \\ \frac{4}{9} \\ \frac{4}{9} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 2 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} 42 \\ 24 \\ 24 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 47 \\ 29 \\ 26 \end{matrix})$ . Der erste gesuchte Punkt ist also P₁ $(47 | 29 | 26)$

$\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 2 \end{matrix}) - 54 \cdot (\begin{matrix} \frac{7}{9} \\ \frac{4}{9} \\ \frac{4}{9} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 2 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} - 42 \\ - 24 \\ - 24 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} - 37 \\ - 19 \\ - 22 \end{matrix})$ . Der zweite gesuchte Punkt ist also P₂ $(- 37 | - 19 | - 22)$

Gerade mit best. Abstand zu E bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Ebene E: $-4 x_{1} - 4 x_{2} - 7 x_{3} = -56$ . Bestimme die Gleichung einer beliebigen Geraden, die parallel zu E ist und den Abstand d=18 zu E hat.

Lösung einblenden

An der Skizze erkennt man, dass eine zu E parallele Gerade einen Richtungsvektor haben muss, der orthogonal zum Normalenvektor $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ -7 \end{matrix})$ der Ebene E ist. Es muss also gelten $\vec{rv}$ ⋅ $(\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ -7 \end{matrix})$ =0.

Davon gibt es natürlich ziemlich viele, einer davon ist z.B. $(\begin{matrix} 7 \\ 7 \\ -8 \end{matrix})$ ,
denn $(\begin{matrix} 7 \\ 7 \\ -8 \end{matrix})$ ⋅ $(\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ -7 \end{matrix})$ = $7 \cdot (-4) + 7 \cdot (-4) + (-8) \cdot (-7)$ = 0.

Jetzt brauchen wir als Stützvektor noch einen Punkt, der den Abstand d=18 von der Ebene E hat.

Dazu suchen wir zuerst mal einen beliebigen Punkt der Ebene, z.B. einen Spurpunkt P_E $(14 | 0 | 0)$ . Wenn wir von diesem aus um eine Vielfaches des Normalenvektors von der Ebene weg gehen, dann ist die Länge dieses vervielfachten Normalenvektors gerade der Abstand des erreichten Punktes von der Ebene E.

Die Länge des Normalenvektors berechnen wir mit | $\vec{n}$ | = $\sqrt{{(-4)}^{2} + {(-4)}^{2} + {(-7)}^{2}}$ = 9, also gerade $\frac{1}{2}$ des geforderten Abstands.

Wenn wir also von P_E $(14 | 0 | 0)$ 2 mal den Normalenvektor draufaddieren landen wir bei einem Punkt, der den Abstand d=18 von P_E und damit auch von E hat:

$\vec{OA}$ = $\vec{{OP}_{E}}$ + 2⋅ $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 14 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ + 2⋅ $(\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ -7 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 6 \\ -8 \\ -14 \end{matrix})$

Eine mögliche Gerade wäre also g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 6 \\ -8 \\ -14 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 7 \\ -8 \end{matrix})$ .

Abstand Punkt - Ebene E (mit Hesse-Form)

Beispiel:

Bestimme den Abstand des Punktes
P $(-28 | -1 | -10)$ von der Ebene E: $6 x_{1} + 8 x_{3} = -48$

Lösung einblenden

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d =

\frac{| 6 \cdot (- 28) + 0 \cdot (- 1) + 8 \cdot (- 10) + 48 |}{\sqrt{6^{2} + 0^{2} + 8^{2}}}

=

\frac{| -200 |}{\sqrt{100}}

=

\frac{200}{10}

= 20

Abstand Punkt - Ebene E (mit Lotfußpunkt)

Beispiel:

Bestimme den Abstand des Punktes P $(5 | 14 | -15)$ von der Ebene E: $-6 x_{1} + 7 x_{2} - 6 x_{3} = -84$ .
Berechne dabei auch den Lotfußpunkt.

Lösung einblenden

Der Normalenvektor der Ebene ist: $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} -6 \\ 7 \\ -6 \end{matrix})$ .

Wir bilden eine Gerade mit diesem Normalenvektor als Richtungsvektor, welche durch unseren Punkt P $(5 | 14 | -15)$ geht:

g:

\vec{x} =

(\begin{matrix} 5 \\ 14 \\ -15 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -6 \\ 7 \\ -6 \end{matrix})

Nun berechnen wir den Durchstoßpunkt dieser Geraden mit unserer Ebene E: $-6 x_{1} + 7 x_{2} - 6 x_{3} = -84$ .

Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 5 \\ 14 \\ -15 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -6 \\ 7 \\ -6 \end{matrix})$ und der Ebene E : $-6 x_{1} + 7 x_{2} - 6 x_{3} = -84$ .

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden $G_{t} (5 - 6 t | 14 + 7 t | -15 - 6 t)$ in die Ebene ein und lösen nach t auf:

$- 6 \cdot (5 - 6 t) + 7 \cdot (14 + 7 t) - 6 \cdot (- 15 - 6 t)$	=	$- 84$
$36 t - 30 + 49 t + 98 + 36 t + 90$	=	$- 84$
$121 t + 158$	=	$- 84$	\| $- 158$
$121 t$	=	$- 242$	\|: $121$
$t$	=	$- 2$

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt $G_{t} (5 - 6 t | 14 + 7 t | -15 - 6 t)$ einsetzen.
=> D $(17 | 0 | -3)$ .

Dieser Durchstoßpunkt D ist der gesuchte Lotfußpunkt L $(17 | 0 | -3)$ .

Nun ist nur noch der Abstand zwischen diesem Lotfußpunkt L und unserem Punkt P $(5 | 14 | -15)$ zu berechnen. Dieser Abstand ist gleich dem Abstand zwischen unserem Punkt und der Ebene.

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P

(5 | 14 | -15)

und L

(17 | 0 | -3)

:

\vec{PL}

=

(\begin{matrix} 17 - 5 \\ 0 - 14 \\ -3 - (-15) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 12 \\ -14 \\ 12 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P und L
d=|

\vec{PL}

| =

| (\begin{matrix} 12 \\ -14 \\ 12 \end{matrix}) |

=

\sqrt{12^{2} + {(-14)}^{2} + 12^{2}}

=

\sqrt{484}

= 22

Abstand Pkt-Ebene + 2. Pkt mit d

Beispiel:

Bestimme den Abstand des Punktes P $(7 | -5 | -1)$ von der Ebene E: $4 x_{1} + 3 x_{2} = -12$ .
Gib einen weiteren Punkt Q an, der den gleichen Abstand zu E hat.

Lösung einblenden

Der Normalenvektor der Ebene ist: $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})$ .

Wir bilden eine Gerade mit diesem Normalenvektor als Richtungsvektor, welche durch unseren Punkt P $(7 | -5 | -1)$ geht:

g:

\vec{x} =

(\begin{matrix} 7 \\ -5 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

Nun berechnen wir den Durchstoßpunkt dieser Geraden mit unserer Ebene E: $4 x_{1} + 3 x_{2} = -12$ .

Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 7 \\ -5 \\ -1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})$ und der Ebene E : $4 x_{1} + 3 x_{2} = -12$ .

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden $G_{t} (7 + 4 t | -5 + 3 t | -1 + 0 t)$ in die Ebene ein und lösen nach t auf:

$4 \cdot (7 + 4 t) + 3 \cdot (- 5 + 3 t) + 0 \cdot (- 1 + 0)$	=	$- 12$
$16 t + 28 + 9 t - 15$	=	$- 12$
$25 t + 13$	=	$- 12$	\| $- 13$
$25 t$	=	$- 25$	\|: $25$
$t$	=	$- 1$

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt $G_{t} (7 + 4 t | -5 + 3 t | -1 + 0 t)$ einsetzen.
=> D $(3 | -8 | -1)$ .

Dieser Durchstoßpunkt D ist der gesuchte Lotfußpunkt L $(3 | -8 | -1)$ .

Nun ist nur noch der Abstand zwischen diesem Lotfußpunkt L und unserem Punkt P $(7 | -5 | -1)$ zu berechnen. Dieser Abstand ist gleich dem Abstand zwischen unserem Punkt und der Ebene.

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P

(7 | -5 | -1)

und L

(3 | -8 | -1)

:

\vec{PL}

=

(\begin{matrix} 3 - 7 \\ -8 - (-5) \\ -1 - (-1) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -4 \\ -3 \\ 0 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P und L
d=|

\vec{PL}

| =

| (\begin{matrix} -4 \\ -3 \\ 0 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-4)}^{2} + {(-3)}^{2} + 0^{2}}

=

\sqrt{25}

= 5

Wenn wir nun diesen Vektor $\vec{PL}$ an den Ortsvektor des Lotfußpunkts L anhängen, landen wir an dem an E gespiegelten Punkt von P, der natürlich den gleichen Abstand von E haben:

$\vec{OQ}$ = $\vec{OL}$ + $\vec{PL}$ = $(\begin{matrix} 3 \\ -8 \\ -1 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} -4 \\ -3 \\ 0 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1 \\ -11 \\ -1 \end{matrix})$

Der Punkt Q $(-1 | -11 | -1)$ hat also wie P auch den Abstand d = 5 zur Ebene E.

Pyramidenvolumen rückwärts

Beispiel:

Eine gerade (senkrechte) Pyramide hat die quadratische Grundfläche ABCD mit A $(0 | 0 | 4)$ , B $(6 | 0 | 4)$ , C $(6 | 6 | 4)$ und D $(0 | 6 | 4)$ .

Ihr Volumen beträgt 72 VE.

Bestimme die Koordinaten von einer der beiden möglichen Spitzen der Pyramide.

Lösung einblenden

Man erkennt, dass alle 4 Punkte den x₃-Wert 4 haben. Die quadratische Grundfläche liegt also in der Ebene: x₃ = 4.

Eine gerade (senkrechte) Pyramide bedeutet, dass der Mittelpunkt der Punkt der Grundfläche mit den kleinsten Abstand zur Spitze S der Pyramide ist (S liegt direkt "über dem"/orthogonal zum Mittelpunkt)

Als Mittelpunkt können wir beim Quadrat die Mitte zwischen A und C oder B und D wählen: . M $(\frac{0 + 6}{2} | \frac{0 + 6}{2} | \frac{4 + 4}{2})$ = M $(3 | 3 | 4)$ .

Da $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ der Normalenvektor der Grundflächenebene x₃ = 4 ist, muss also die Pyramidenspitze S auf der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ liegen.

Um die Höhe der Pyramide zu berechnen, setzen wir einfach alle bekannten Größen in die Volumenformel der Pyramide ein:

V = $\frac{1}{3}$ ⋅ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅ a² ⋅ h

72 = $\frac{1}{3}$ ⋅ 6² ⋅ h

72 = $\frac{36}{3}$ ⋅ h | ⋅ $\frac{3}{36}$

6 = h

Weil der Normalenvektor $\vec{n}$ die Länge 1 hat, muss man also 6 mal den Normalenvektor zum Ortsvektor des Grundflächenmittelpunkts M addieren, um auf den Ortsvektor der Pyramidenspitze S zu kommen.

$\vec{OS}$ = $\vec{OM}$ + 6 ⋅ $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$ + 6 ⋅ $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 10 \end{matrix})$

Die gesuchte Spitze der Pyramide ist also bei S $(3 | 3 | 10)$ .

Theoretisch kann man die Spitze auch nach unten machen, dann müsste man eben 6 mal den Gegenvektor von $\vec{n}$ zum Grundflächenmittelpunkt addieren:

$\vec{OS2}$ = $\vec{OM}$ - 6 ⋅ $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$ - 6 ⋅ $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ -2 \end{matrix})$

Kegelvolumen rückwärts

Beispiel:

Ein Kegel dessen Grundfläche den Radius r = 3 m hat, besitzt das Volumen V = 90 m³.
Berechne seine Höhe.

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Wir setzen einfach alle gegebenen Werte in die Volumenformel für einen Kegel ein:

V = $\frac{1}{3}$ ⋅ G ⋅ h
V = $\frac{1}{3}$ ⋅ π r² ⋅ h
90 m³ = $\frac{1}{3}$ ⋅ π (3 m)² ⋅ h
90 m³ = $\frac{1}{3}$ ⋅ π ⋅ 9 m² ⋅ h
90 m³ = 9.42 m² ⋅ h | :9.42 m²
9.5 m ≈ h

Abstand Punkt-Gerade (LF)

Beispiel:

Bestimme den Abstand des Punktes
P $(-5 | -7 | -5)$ von der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 25 \\ 12 \\ -37 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -12 \\ -6 \\ 19 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Um den Abstand zwischen Punkt und Gerade zu bestimmen, müssen wir eine Hilfsebene bilden.
Diese Hilfsebene ist orthogonal zu unserer Geraden $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 25 \\ 12 \\ -37 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -12 \\ -6 \\ 19 \end{matrix})$ und enthält unseren Punkt P $(-5 | -7 | -5)$ .
Der Normalenvektor der Hilfsebene ist also der Richtungsvektor der Geraden, $(\begin{matrix} -12 \\ -6 \\ 19 \end{matrix})$ . Die Hilfsebene in der Koordinatenform ist somit $-12 x_{1} - 6 x_{2} + 19 x_{3} = 7$
Nun berechnen wir den Durchstoßpunkt der Geraden mit der Hilfsebene.

Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 25 \\ 12 \\ -37 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -12 \\ -6 \\ 19 \end{matrix})$ und der Ebene E : $-12 x_{1} - 6 x_{2} + 19 x_{3} = 7$ .

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden $G_{t} (25 - 12 t | 12 - 6 t | -37 + 19 t)$ in die Ebene ein und lösen nach t auf:

$- 12 \cdot (25 - 12 t) - 6 \cdot (12 - 6 t) + 19 \cdot (- 37 + 19 t)$	=	$7$
$144 t - 300 + 36 t - 72 + 361 t - 703$	=	$7$
$541 t - 1 075$	=	$7$	\| $+ 1 075$
$541 t$	=	$1 082$	\|: $541$
$t$	=	$2$

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt $G_{t} (25 - 12 t | 12 - 6 t | -37 + 19 t)$ einsetzen.
=> D $(1 | 0 | 1)$ .

Der gesuchte Abstand zwischen dem Punkt P

(-5 | -7 | -5)

und der Geraden

\vec{x} =

(\begin{matrix} 25 \\ 12 \\ -37 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -12 \\ -6 \\ 19 \end{matrix})

ist nun der Abstand zwischen Punkt P

(-5 | -7 | -5)

und dem Durchstoßpunkt D

(1 | 0 | 1)

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(1 | 0 | 1)

und P₂

(-5 | -7 | -5)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} -5 - 1 \\ -7 - 0 \\ -5 - 1 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -6 \\ -7 \\ -6 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} -6 \\ -7 \\ -6 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-6)}^{2} + {(-7)}^{2} + {(-6)}^{2}}

=

\sqrt{121}

= 11

Abstand zweier windschiefer Geraden (LF)

Beispiel:

Bestimme den Abstand der beiden windschiefen Geraden
g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$ und h: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$

Lösung einblenden

Zuerst bilden wir eine Ebene, welche die Gerade h: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$ enthält und parallel zur Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$ ist, also $\vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$
Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Normalenvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.

\vec{n} = (\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 2 - (- 2) \cdot 2 \\ -2 \cdot 1 - 2 \cdot 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 - 1 \\ 2 - (- 4) \\ -2 - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ -6 \end{matrix})

= 3⋅

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{matrix})

Wenn wir den Aufpunkt von h A_h $(3 | 3 | 3)$ in die allgemeine Ebenengleichung $x_{1} + 2 x_{2} - 2 x_{3} = d$ einsetzen erhalten wir für diese Hilfsebene die Koordinatengleichung:

x_{1} + 2 x_{2} - 2 x_{3} = 3

Nun können wir den Abstand zwischen der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$ und dieser (zu g parallelen) Ebene berechnen, indem wir aus der Geraden einen Punkt, am besten den Aufpunkt $(2 | 1 | 5)$ , nehmen und den Abstand zwischen diesem Punkt und der Ebene mit Hilfe der Hesse-Formel (Abstand Punkt-Ebene) berechnen. Dieser Abstand ist auch der Abstand der beiden windschiefen Geraden zueinander.

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d =

\frac{| 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 2 \cdot 5 - 3 |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 2)}^{2}}}

=

\frac{| -9 |}{\sqrt{9}}

=

\frac{9}{3}

= 3

Abstand windschiefer Geraden mit Lotfußpunkte (LF)

Beispiel:

Bestimme den Abstand der beiden windschiefen Geraden
g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$ und h: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -8 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$
Bestimme zusätzlich die Koordinaten der beiden Lotfußpunkte, also jener Punkte, auf den beiden Geraden, die den kleinsten Abstand zueinander haben;

Lösung einblenden

Wir bilden zunächst den Normalenvektor auf die Richtungsvektoren der beiden Geraden.

\vec{n} = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} -3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \cdot 4 - 4 \cdot 3 \\ 4 \cdot (- 3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 3 - 3 \cdot (- 3) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 12 - 12 \\ -12 - 12 \\ 9 - (- 9) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ -24 \\ 18 \end{matrix})

Nun stellen wir eine Hilfsebene auf, welche die Gerade g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$ und den Normalenvektor enthält. Dies ist die Ebene $\vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ -24 \\ 18 \end{matrix})$ .

Diese Ebene formen wir nun in die Koordinatenform um. (Detail-Rechnung einblenden)

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes:

\vec{n} = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ -24 \\ 18 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \cdot 18 - 4 \cdot (- 24) \\ 4 \cdot 0 - 3 \cdot 18 \\ 3 \cdot (- 24) - 3 \cdot 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 54 - (- 96) \\ 0 - 54 \\ -72 - 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 150 \\ -54 \\ -72 \end{matrix})

= 6⋅

(\begin{matrix} 25 \\ -9 \\ -12 \end{matrix})

Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also

25 x_{1} - 9 x_{2} - 12 x_{3} = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A $(3 | 3 | 1)$ erhält man
d = $25 \cdot 3 + (-9) \cdot 3 + (-12) \cdot 1$
also:

25 x_{1} - 9 x_{2} - 12 x_{3} = 36

25 x_{1} - 9 x_{2} - 12 x_{3} = 36

Nun bestimmen wir den Durchstoßpunkt der Gerade h: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -8 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$ mit dieser Ebene. (Detail-Rechnung einblenden)

Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -8 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$ und der Ebene E : $25 x_{1} - 9 x_{2} - 12 x_{3} = 36$ .

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden $G_{t} (0 - 3 t | -8 + 3 t | 3 + 4 t)$ in die Ebene ein und lösen nach t auf:

$25 \cdot (0 - 3 t) - 9 \cdot (- 8 + 3 t) - 12 \cdot (3 + 4 t)$	=	$36$
$- 75 t - 27 t + 72 - 48 t - 36$	=	$36$
$- 150 t + 36$	=	$36$	\| $- 36$
$- 150 t$	=	0	\|:( $- 150$ )
$t$	=	0

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt $G_{t} (0 - 3 t | -8 + 3 t | 3 + 4 t)$ einsetzen.
=> D $(0 | -8 | 3)$ .

Dieser Durchstoßpunkt L_h

(0 | -8 | 3)

ist bereits einer der zwei gesuchten Lotfuß-Punkte (der auf h), zwischen denen der Abstand der beiden windschiefen Geraden gemessen wird.

Das ganze Spiel führen wir für den zweiten Punkt erneut durch. Wir stellen eine Hilfsebene auf, welche diesmal die andere Gerade h: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ -8 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$ sowie den Normalenvektor enthält.

Auch diese Ebene formen wir nun in die Koordinatenform um. (Detail-Rechnung einblenden)

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes:

\vec{n} = (\begin{matrix} -3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ -24 \\ 18 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \cdot 18 - 4 \cdot (- 24) \\ 4 \cdot 0 - (- 3) \cdot 18 \\ -3 \cdot (- 24) - 3 \cdot 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 54 - (- 96) \\ 0 - (- 54) \\ 72 - 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 150 \\ 54 \\ 72 \end{matrix})

= 6⋅

(\begin{matrix} 25 \\ 9 \\ 12 \end{matrix})

Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also

25 x_{1} + 9 x_{2} + 12 x_{3} = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A $(0 | -8 | 3)$ erhält man
d = $25 \cdot 0 + 9 \cdot (-8) + 12 \cdot 3$
also:

25 x_{1} + 9 x_{2} + 12 x_{3} = -36

25 x_{1} + 9 x_{2} + 12 x_{3} = -36

Jetzt bestimmen wir den Durchstoßpunkt der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$ mit dieser Ebene. (Detail-Rechnung einblenden)

Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$ und der Ebene E : $25 x_{1} + 9 x_{2} + 12 x_{3} = -36$ .

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden $G_{t} (3 + 3 t | 3 + 3 t | 1 + 4 t)$ in die Ebene ein und lösen nach t auf:

$25 \cdot (3 + 3 t) + 9 \cdot (3 + 3 t) + 12 \cdot (1 + 4 t)$	=	$- 36$
$75 t + 75 + 27 t + 27 + 48 t + 12$	=	$- 36$
$150 t + 114$	=	$- 36$	\| $- 114$
$150 t$	=	$- 150$	\|: $150$
$t$	=	$- 1$

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt $G_{t} (3 + 3 t | 3 + 3 t | 1 + 4 t)$ einsetzen.
=> D $(0 | 0 | -3)$ .

Dieser Durchstoßpunkt L_g

(0 | 0 | -3)

ist der andere gesuchte Lotfuß-Punkt (auf g), zwischen denen der Abstand der beiden windschiefen Geraden gemessen wird.

Schlussendlich bestimmen wir den Abstand zwischen diesen beiden Lotfußpunkten L_h $(0 | -8 | 3)$ und L_g $(0 | 0 | -3)$ , also den Abstand der beiden windschiefen Geraden.

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P₁

(0 | -8 | 3)

und P₂

(0 | 0 | -3)

:

\vec{P_{1} P_{2}}

=

(\begin{matrix} 0 - 0 \\ 0 - (-8) \\ -3 - 3 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 0 \\ 8 \\ -6 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P₁ und P₂
d=|

\vec{P_{1} P_{2}}

| =

| (\begin{matrix} 0 \\ 8 \\ -6 \end{matrix}) |

=

\sqrt{0^{2} + 8^{2} + {(-6)}^{2}}

=

\sqrt{100}

= 10

Aufgabenbeispiele von Abstände

Abstand von A auf der Geraden AB

Gerade mit best. Abstand zu E bestimmen

Abstand Punkt - Ebene E (mit Hesse-Form)

Abstand Punkt - Ebene E (mit Lotfußpunkt)

Abstand Pkt-Ebene + 2. Pkt mit d

Pyramidenvolumen rückwärts

Kegelvolumen rückwärts

Abstand Punkt-Gerade (LF)

Abstand zweier windschiefer Geraden (LF)

Abstand windschiefer Geraden mit Lotfußpunkte (LF)